इस क्रिया में निहित कई परिणामों को नोट किया जा सकता है। इन परिणामों को कहा जाता है प्राकृतिक संख्याओं के योग के गुण. इस लेख में, हम प्राकृतिक संख्याओं के योग के गुणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, उन्हें अक्षरों का उपयोग करके लिखेंगे और व्याख्यात्मक उदाहरण देंगे।

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प्राकृत संख्याओं के योग का साहचर्य गुण।

अब हम एक उदाहरण देते हैं जो प्राकृत संख्याओं के योग के साहचर्य गुण को दर्शाता है।

एक स्थिति की कल्पना करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब गिरा, और दूसरे सेब के पेड़ से 2 सेब और 4 और सेब गिरे। अब निम्नलिखित स्थिति पर विचार करें: पहले सेब के पेड़ से 1 सेब और 2 और सेब गिरे, और दूसरे सेब के पेड़ से 4 सेब गिरे। यह स्पष्ट है कि पहले और दूसरे दोनों मामलों में समान संख्या में सेब जमीन पर होंगे (जिसे पुनर्गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है)। अर्थात् संख्या 2 और 4 के योग में संख्या 1 को जोड़ने का परिणाम संख्या 1 और 2 के योग को संख्या 4 में जोड़ने के परिणाम के बराबर होता है।

माना गया उदाहरण हमें प्राकृतिक संख्याओं के योग की साहचर्य संपत्ति तैयार करने की अनुमति देता है: किसी दी गई संख्या में दो संख्याओं का योग जोड़ने के लिए, आप इस योग के पहले पद को इस संख्या में जोड़ सकते हैं और दूसरे पद को जोड़ सकते हैं प्राप्त परिणाम के लिए यह राशि। इस संपत्ति को इस तरह के अक्षरों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: ए+(बी+सी)=(ए+बी)+सी, जहाँ a , b और c स्वेच्छया प्राकृत संख्याएँ हैं।

कृपया ध्यान दें कि समानता में a+(b+c)=(a+b)+c कोष्ठक "(" और ")" हैं। कोष्ठक में क्रियाओं के क्रम को इंगित करने के लिए अभिव्यक्तियों में उपयोग किया जाता है - कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं (इस पर अनुभाग में अधिक)। दूसरे शब्दों में, कोष्ठक उन भावों को संलग्न करते हैं जिनके मूल्यों का मूल्यांकन पहले किया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि जोड़ की साहचर्य संपत्ति हमें तीन, चार और अधिक प्राकृतिक संख्याओं के जोड़ को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है।

शून्य और एक प्राकृत संख्या को जोड़ने का गुण, शून्य में शून्य जोड़ने का गुण।

हम जानते हैं कि शून्य एक प्राकृत संख्या नहीं है। तो हमने इस लेख में शून्य और एक प्राकृत संख्या के योग गुण पर विचार करने का निर्णय क्यों लिया? इसके लिए यहां तीन कारण हैं। पहला: इस गुण का उपयोग किसी स्तंभ में प्राकृत संख्याओं को जोड़ते समय किया जाता है। दूसरा: प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय इस गुण का उपयोग किया जाता है। तीसरा: यदि हम मानते हैं कि शून्य का अर्थ है किसी चीज़ का अभाव, तो शून्य और एक प्राकृत संख्या को जोड़ने का अर्थ दो प्राकृत संख्याओं को जोड़ने के अर्थ से मेल खाता है।

आइए हम उस तर्क पर अमल करें जो हमें शून्य और एक प्राकृत संख्या का योग गुणनफल बनाने में मदद करेगा। कल्पना कीजिए कि बॉक्स में कोई आइटम नहीं है (दूसरे शब्दों में, बॉक्स में 0 आइटम हैं), और इसमें एक आइटम रखा गया है, जहां कोई भी प्राकृतिक संख्या है। यही है, जोड़ा 0 और एक आइटम। यह स्पष्ट है कि इस क्रिया के बाद बॉक्स में एक आइटम है। इसलिए, समानता 0+a=a सत्य है।

इसी तरह, यदि किसी बॉक्स में एक आइटम है और उसमें 0 आइटम जोड़े जाते हैं (अर्थात कोई आइटम नहीं जोड़ा जाता है), तो इस क्रिया के बाद, एक आइटम बॉक्स में होगा। तो a+0=a ।

अब हम शून्य और एक प्राकृत संख्या के योग का गुण बता सकते हैं: दो संख्याओं का योग, जिनमें से एक शून्य है, दूसरी संख्या के बराबर है. गणितीय रूप से, इस संपत्ति को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: 0+ए=एया ए+0=ए, जहां a एक मनमाना प्राकृत संख्या है।

अलग से, हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि जब एक प्राकृत संख्या और शून्य जोड़ते हैं, तो योग का क्रमविनिमेय गुण सत्य रहता है, अर्थात a+0=0+a ।

अंत में, हम शून्य-शून्य जोड़ संपत्ति तैयार करते हैं (यह काफी स्पष्ट है और अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है): दो संख्याओं का योग जो प्रत्येक शून्य है शून्य है. अर्थात, 0+0=0 .

अब यह पता लगाने का समय है कि प्राकृतिक संख्याओं का योग कैसे किया जाता है।

ग्रंथ सूची।

• गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
• गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

यह पाठ जिस विषय के लिए समर्पित है वह है "जोड़ के गुण।" इसमें, आप विशिष्ट उदाहरणों के साथ उनका परीक्षण करते हुए, जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों से परिचित होंगे। पता करें कि गणना प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए आप उनका उपयोग कब कर सकते हैं। परीक्षण के मामले यह निर्धारित करने में मदद करेंगे कि आपने सामग्री को कितनी अच्छी तरह सीखा है।

पाठ: अतिरिक्त गुण

अभिव्यक्ति पर करीब से नज़र डालें:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

हमें इसका मूल्य खोजना होगा। हो जाए।

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

व्यंजक 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40 का परिणाम।
मुझे बताओ, क्या गणना करना सुविधाजनक था? गणना करना बहुत सुविधाजनक नहीं था। इस व्यंजक में संख्याओं को फिर से देखें। क्या उन्हें स्वैप करना संभव है ताकि गणना अधिक सुविधाजनक हो?

यदि हम संख्याओं को अलग ढंग से पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

व्यंजक का अंतिम परिणाम 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40 है।
हम देखते हैं कि भावों के परिणाम समान हैं।

गणना के लिए सुविधाजनक होने पर शर्तों को आपस में बदला जा सकता है, और योग का मूल्य इससे नहीं बदलेगा।

गणित में एक नियम है: जोड़ का कम्यूटेटिव कानून. यह कहता है कि योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।

चाचा फ्योडोर और शारिक ने तर्क दिया। शारिक ने अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जैसा कि लिखा गया था, और अंकल फ्योडोर ने कहा कि वह गणना करने का एक और अधिक सुविधाजनक तरीका जानता था। क्या आपको गणना करने का अधिक सुविधाजनक तरीका दिखाई देता है?

गेंद ने व्यंजक को वैसे ही हल किया जैसा लिखा है। और अंकल फ्योडोर ने कहा कि वह उस कानून को जानता है जो आपको शर्तों को बदलने की अनुमति देता है, और संख्या 25 और 3 की अदला-बदली की।

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

हम देखते हैं कि परिणाम वही रहता है, लेकिन गणना बहुत आसान हो गई है।

निम्नलिखित भावों को देखें और उन्हें पढ़ें।

6 + (24 + 51) = 81 (6 में 24 और 51 का योग जोड़ें)
क्या गणना करने का कोई सुविधाजनक तरीका है?
हम देखते हैं कि यदि हम 6 और 24 को जोड़ते हैं, तो हमें एक गोल संख्या प्राप्त होती है। गोल संख्या में कुछ जोड़ना हमेशा आसान होता है। कोष्ठकों में संख्या 6 और 24 का योग लीजिए।
(6 + 24) + 51 = …
(संख्या 6 और 24 के योग में 51 जोड़ें)

आइए व्यंजक के मान की गणना करें और देखें कि क्या व्यंजक का मान बदल गया है?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

हम देखते हैं कि व्यंजक का मान वही रहता है।

आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें।

(27 + 19) + 1 = 47 (संख्या 27 और 19 के योग में 1 जोड़ें)
कौन-सी संख्याएँ आसानी से इस प्रकार समूहित की जा सकती हैं कि एक सुविधाजनक तरीका प्राप्त हो?
आपने अनुमान लगाया कि ये संख्याएँ 19 और 1 हैं। आइए संख्याओं 19 और 1 का योग कोष्ठक में लें।
27 + (19 + 1) = …
(27 में 19 और 1 की संख्या का योग जोड़ें)
आइए इस अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करें। हमें याद है कि कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है।
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

हमारी अभिव्यक्ति का अर्थ वही रहता है।

जोड़ का साहचर्य नियम: दो आसन्न पदों को उनके योग से बदला जा सकता है।

आइए अब दोनों नियमों का प्रयोग करके अभ्यास करें। हमें अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है:

38 + 14 + 2 + 6 = …

सबसे पहले, हम जोड़ की कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी का उपयोग करते हैं, जो हमें शर्तों को स्वैप करने की अनुमति देता है। आइए शर्तों 14 और 2 को स्वैप करें।

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

अब हम सहयोगी संपत्ति का उपयोग करते हैं, जो हमें दो पड़ोसी शब्दों को उनके योग से बदलने की अनुमति देता है।

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

सबसे पहले, हम 38 और 2 के योग का मान ज्ञात करते हैं।

अब योग 14 और 6 है।

3. शैक्षणिक विचारों का त्योहार "ओपन लेसन" ()।

घर पर करो

1. विभिन्न तरीकों से पदों के योग की गणना करें:

ए) 5 + 3 + 5 बी) 7 + 8 + 13 सी) 24 + 9 + 16

2. व्यंजकों के परिणामों की गणना करें:

क) 19 + 4 + 16 + 1 ख) 8 + 15 + 12 + 5 ग) 20 + 9 + 30 + 1

3. सुविधाजनक तरीके से राशि की गणना करें:

ए) 10 + 12 + 8 + 20 बी) 17 + 4 + 3 + 16 सी) 9 + 7 + 21 + 13

इसलिए, सामान्य तौर पर, प्राकृतिक संख्याओं के घटाव में कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी नहीं होती है. आइए इस कथन को अक्षरों में लिखें। यदि a और b असमान प्राकृत संख्याएँ हैं, तो a−b≠b−a. उदाहरण के लिए, 45−21≠21−45 ।

एक प्राकृत संख्या में से दो संख्याओं के योग को घटाने का गुण।

अगली संपत्ति एक प्राकृतिक संख्या से दो संख्याओं के योग के घटाव से संबंधित है। आइए एक उदाहरण देखें जो हमें इस संपत्ति की समझ देगा।

कल्पना कीजिए कि हमारे हाथ में 7 सिक्के हैं। हम पहले 2 सिक्के रखने का फैसला करते हैं, लेकिन यह सोचकर कि यह पर्याप्त नहीं होगा, हम एक और सिक्का बचाने का फैसला करते हैं। प्राकृतिक संख्याओं को जोड़ने के अर्थ के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि इस मामले में हमने सिक्कों की संख्या को बचाने का फैसला किया, जो कि 2 + 1 के योग से निर्धारित होता है। तो, हम दो सिक्के लेते हैं, उनमें एक और सिक्का जोड़ते हैं और उन्हें गुल्लक में रख देते हैं। इस मामले में, हमारे हाथ में बचे सिक्कों की संख्या 7−(2+1) के अंतर से निर्धारित होती है।

अब आइए कल्पना करें कि हमारे पास 7 सिक्के हैं, और हम गुल्लक में 2 सिक्के डालते हैं, और उसके बाद - एक और सिक्का। गणितीय रूप से, इस प्रक्रिया को निम्नलिखित संख्यात्मक अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है: (7−2)−1 ।

हाथों में बचे सिक्कों की गिनती करें तो पहले और दूसरे मामले में हमारे पास 4 सिक्के हैं। अर्थात्, 7−(2+1)=4 और (7−2)−1=4 , इसलिए 7−(2+1)=(7−2)−1 ।

माना गया उदाहरण हमें किसी दी गई प्राकृतिक संख्या में से दो संख्याओं के योग को घटाने का गुण तैयार करने की अनुमति देता है। किसी दी गई प्राकृत संख्या में से दो प्राकृत संख्याओं का योग घटाना, इस योग के पहले पद को दी गई प्राकृत संख्या में से घटाने के समान है, और फिर परिणामी अंतर से दूसरे पद को घटाना है।

याद रखें कि हमने प्राकृतिक संख्याओं के घटाव को केवल उस स्थिति के लिए अर्थ दिया है जब माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है, या इसके बराबर है। इसलिए, हम किसी दिए गए योग को किसी दी गई प्राकृतिक संख्या में से तभी घटा सकते हैं जब यह योग प्राकृतिक संख्या के घटाए जाने से अधिक न हो। ध्यान दें कि इस शर्त के तहत, प्रत्येक पद उस प्राकृतिक संख्या से अधिक नहीं है जिससे योग घटाया जाता है।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए दी गई प्राकृत संख्या में से दो संख्याओं के योग को घटाने के गुण को समानता के रूप में लिखा जाता है a−(b+c)=(a−b)−c, जहां a , b और c कुछ प्राकृत संख्याएं हैं, और शर्तें a>b+c या a=b+c संतुष्ट हैं।

मानी गई संपत्ति, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं के योग की साहचर्य संपत्ति, आपको दी गई प्राकृतिक संख्या से तीन या अधिक संख्याओं के योग को घटाने की अनुमति देती है।

दो संख्याओं के योग में से एक प्राकृत संख्या को घटाने का गुण।

हम अगली संपत्ति को पास करते हैं, जो दो प्राकृतिक संख्याओं के दिए गए योग से दी गई प्राकृतिक संख्या के घटाव से संबंधित है। उन उदाहरणों पर विचार करें जो हमें दो संख्याओं के योग से एक प्राकृत संख्या घटाने के इस गुण को "देखने" में मदद करेंगे।

मान लीजिए हमारे पास पहली जेब में 3 कैंडी हैं, और दूसरी में 5 कैंडी हैं, और हमें 2 कैंडी देने की जरूरत है। हम इसे अलग-अलग तरीकों से कर सकते हैं। आइए उन्हें बारी-बारी से लें।

सबसे पहले, हम सभी कैंडीज को एक जेब में रख सकते हैं, फिर वहां से 2 कैंडी निकाल सकते हैं और उन्हें दे सकते हैं। आइए इन क्रियाओं का गणितीय रूप से वर्णन करें। कैंडीज को एक जेब में रखने के बाद, उनकी संख्या 3 + 5 के योग से निर्धारित की जाएगी। अब, कैंडीज की कुल संख्या में से, हम 2 कैंडी देंगे, जबकि हमारे पास शेष कैंडीज की संख्या निम्नलिखित अंतर (3+5)−2 द्वारा निर्धारित की जाएगी।

दूसरे, हम पहली जेब से 2 कैंडी निकाल कर दे सकते हैं। इस मामले में, अंतर 3−2 पहली जेब में कैंडी की शेष संख्या निर्धारित करता है, और हमारे द्वारा छोड़ी गई कैंडी की कुल संख्या योग (3−2)+5 द्वारा निर्धारित की जाएगी।

तीसरा, हम दूसरी जेब से 2 कैंडी दे सकते हैं। तब अंतर 5−2 दूसरी जेब में शेष कैंडी की संख्या के अनुरूप होगा, और कैंडी की कुल शेष संख्या 3+(5−2) के योग से निर्धारित की जाएगी।

यह स्पष्ट है कि सभी मामलों में हमारे पास समान संख्या में मिठाइयाँ होंगी। इसलिए, समानताएं (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) सत्य हैं।

अगर हमें 2 नहीं, बल्कि 4 कैंडी देनी होती, तो हम इसे दो तरह से कर सकते थे। सबसे पहले, 4 कैंडीज दें, पहले उन सभी को एक जेब में रखें। इस मामले में, मिठाई की शेष संख्या (3+5)−4 जैसे व्यंजक द्वारा निर्धारित की जाती है। दूसरे, हम दूसरी जेब से 4 कैंडी दे सकते थे। इस मामले में, कैंडीज की कुल संख्या निम्नलिखित योग देती है 3+(5−4) । यह स्पष्ट है कि पहले और दूसरे मामलों में हमारे पास समान संख्या में मिठाइयाँ होंगी, इसलिए समानता (3+5)−4=3+(5−4) सत्य है।

पिछले उदाहरणों को हल करके प्राप्त परिणामों का विश्लेषण करने के बाद, हम दी गई दो संख्याओं के योग में से दी गई प्राकृतिक संख्या को घटाने का गुण बना सकते हैं। किसी दिए गए प्राकृत संख्या को दो संख्याओं के योग में से घटाना, किसी एक पद से दी गई संख्या को घटाने के समान है, और फिर परिणामी अंतर और दूसरे पद को जोड़ना। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि घटाई गई संख्या उस पद से बड़ी नहीं होनी चाहिए जिससे यह संख्या घटाई गई है।

आइए अक्षरों का उपयोग करके एक योग से एक प्राकृत संख्या घटाने का गुण लिखें। मान लीजिए a , b और c कुछ प्राकृत संख्याएँ हैं। फिर, बशर्ते कि a, c से बड़ा या उसके बराबर हो, तो समानता (ए+बी)−सी=(ए−सी)+बी, और इस शर्त के तहत कि b, c से बड़ा या बराबर है, समानता (ए+बी)−सी=ए+(बी−सी). यदि a और b दोनों, c से बड़े या बराबर हैं, तो दोनों अंतिम समानताएँ सत्य हैं, और उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

सादृश्य द्वारा, कोई व्यक्ति तीन या अधिक संख्याओं के योग से एक प्राकृत संख्या को घटाने का गुण बना सकता है। इस मामले में, इस प्राकृतिक संख्या को किसी भी पद से घटाया जा सकता है (बेशक, यदि यह घटाई जा रही संख्या से अधिक या बराबर है), और शेष पदों को परिणामी अंतर में जोड़ा जा सकता है।

आवाज उठाई गई संपत्ति की कल्पना करने के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं कि हमारे पास कई जेब हैं, और उनमें मिठाई है। मान लीजिए हमें 1 कैंडी देनी है। साफ है कि हम किसी भी जेब से 1 कैंडी दे सकते हैं। उसी समय, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम इसे किस जेब से देते हैं, क्योंकि यह हमारे द्वारा छोड़ी गई मिठाइयों की संख्या को प्रभावित नहीं करता है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए a , b , c और d कुछ प्राकृत संख्याएँ हैं। यदि a>d या a=d , तो अंतर (a+b+c)−d (a−d)+b+c के योग के बराबर है। यदि b>d या b=d , तो (a+b+c)−d=a+(b−d)+c । यदि c>d या c=d , तो समानता (a+b+c)−d=a+b+(c−d) सत्य है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तीन या अधिक संख्याओं के योग से एक प्राकृत संख्या को घटाने का गुण कोई नया गुण नहीं है, क्योंकि यह प्राकृत संख्याओं को जोड़ने के गुण और दो संख्याओं के योग से किसी संख्या को घटाने के गुण का अनुसरण करता है।

ग्रंथ सूची।

• गणित। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 1, 2, 3, 4 के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।
• गणित। शैक्षणिक संस्थानों की 5 कक्षाओं के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।