इस पद्धति के अनुसार, औसत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

X 0- सशर्त शून्य मान

एच- अंतराल चौड़ाई

एम 1- पहले आदेश का सशर्त क्षण

सशर्त क्षणों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना का उपयोग अंतराल भिन्नता श्रृंखला में औसत की गणना के लिए किया जाता है।

13. भिन्नता के संकेतक।जनसंख्या की इकाइयों में एक चर विशेषता का अध्ययन करते समय, कोई व्यक्ति केवल व्यक्तिगत रूपों से औसत मूल्य की गणना करने के लिए खुद को सीमित नहीं कर सकता है, क्योंकि समान औसत उन आबादी पर लागू नहीं हो सकता है जो संरचना में समान हैं।

एक विशेषता की भिन्नता अध्ययन की गई आबादी के भीतर एक विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के बीच का अंतर है।

शब्द "भिन्नता" लैटिन भिन्नता से आया है - परिवर्तन, उतार-चढ़ाव, अंतर। हालांकि, सभी अंतरों को आमतौर पर भिन्नता के रूप में संदर्भित नहीं किया जाता है।

आंकड़ों में भिन्नता को एक सजातीय आबादी के भीतर अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्य में ऐसे मात्रात्मक परिवर्तन के रूप में समझा जाता है, जो विभिन्न कारकों की कार्रवाई के प्रतिच्छेदन प्रभाव के कारण होते हैं। व्यक्तिगत मूल्यों के उतार-चढ़ाव को भिन्नता संकेतकों की विशेषता है। भिन्नता जितनी अधिक होती है, उतनी ही अलग, औसतन, व्यक्तिगत मूल्य एक दूसरे से अलग होते हैं।

निरपेक्ष और सापेक्ष मूल्यों में एक विशेषता की भिन्नता होती है।

निरपेक्ष संकेतकों में शामिल हैं: भिन्नता की सीमा, माध्य रैखिक विचलन, माध्य वर्ग विचलन, विचरण। सभी निरपेक्ष संकेतकों का आयाम अध्ययन किए गए मानों के समान है।

सापेक्ष संकेतकों में दोलन, रैखिक विचलन और भिन्नता के गुणांक शामिल हैं।

आंकड़े निरपेक्ष हैं।आइए हम विशेषता की भिन्नता को दर्शाने वाले निरपेक्ष संकेतकों की गणना करें।

भिन्नता की सीमा एक विशेषता के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है।

आर = एक्समैक्स - एक्समिन।

(6.1)

विविधता संकेतक की सीमा हमेशा लागू नहीं होती है, क्योंकि यह केवल विशेषता के चरम मूल्यों को ध्यान में रखता है, जो अन्य सभी इकाइयों से बहुत भिन्न हो सकता है।

अधिक सटीक रूप से, आप उन संकेतकों का उपयोग करके श्रृंखला में भिन्नता निर्धारित कर सकते हैं जो अंकगणितीय माध्य से सभी विकल्पों के विचलन को ध्यान में रखते हैं।

आँकड़ों में ऐसे दो संकेतक हैं: माध्य रैखिक और माध्य वर्ग विचलन।

औसत रैखिक विचलन (एल) माध्य से अलग-अलग विकल्पों के विचलन के निरपेक्ष मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है।

औसत रैखिक विचलन का व्यावहारिक उपयोग इस प्रकार है, इस सूचक की सहायता से, श्रमिकों की संरचना, उत्पादन की लय और सामग्री की आपूर्ति की एकरूपता का विश्लेषण किया जाता है।

इस सूचक का नुकसान यह है कि यह संभावित प्रकार की गणना को जटिल बनाता है, गणितीय आंकड़ों के तरीकों को लागू करना मुश्किल बनाता है।

मानक विचलन () भिन्नता का सबसे सामान्य और स्वीकृत माप है। यह औसत रैखिक विचलन से कुछ बड़ा है। मध्यम असममित वितरण के लिए, उनके बीच निम्नलिखित संबंध स्थापित होता है

वे। मानक विचलन माध्य से वर्ग विचलन के अंकगणितीय माध्य का वर्गमूल है।

मानक विचलन माध्य की विश्वसनीयता का माप है। जितना छोटा , उतना ही बेहतर अंकगणितीय माध्य संपूर्ण प्रतिनिधित्व वाली जनसंख्या को दर्शाता है।

औसत मूल्य से विशेषता के मूल्यों के लिए विकल्पों के वर्ग विचलन के अंकगणितीय माध्य को विचरण () कहा जाता है, जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

इस सूचक की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि जब वर्ग () छोटे विचलन का अनुपात कम हो जाता है, और विचलन की कुल मात्रा में बड़ी वृद्धि होती है।

फैलाव में कई गुण होते हैं, जिनमें से कुछ की गणना करना आसान हो जाता है:

1. एक स्थिर मान का परिक्षेपण 0 है।

यदि , तो और ।

फिर .

2. यदि फीचर वैल्यू (x) के सभी वेरिएंट्स को एक ही नंबर से कम कर दिया जाए, तो वेरिएंस कम नहीं होगा।

चलो, लेकिन फिर अंकगणितीय माध्य और के गुणों के अनुसार।

नई श्रृंखला में विचरण बराबर होगा

वे। श्रृंखला में विचरण मूल श्रृंखला के प्रसरण के बराबर है।

3. यदि विशेषता मानों के सभी प्रकारों को समान संख्या (k बार) से कम किया जाता है, तो विचरण k2 के कारक से कम हो जाएगा।

चलो, फिर और।

नई श्रृंखला का प्रसरण बराबर होगा

4. अंकगणित माध्य के संबंध में परिकलित फैलाव न्यूनतम है। एक मनमाना संख्या के संबंध में परिकलित विचलन का औसत वर्ग, अंकगणित माध्य और संख्या के बीच अंतर के वर्ग द्वारा, अंकगणितीय माध्य के संबंध में परिकलित विचरण से अधिक है, अर्थात। . माध्य से फैलाव में न्यूनता का गुण होता है, अर्थात। यह हमेशा किसी भी अन्य मात्रा से गणना की गई भिन्नताओं से कम होता है। इस मामले में, जब हम 0 के बराबर होते हैं और इसलिए विचलन की गणना नहीं करते हैं, तो सूत्र बन जाता है:

(6.9)

ऊपर, मात्रात्मक लक्षणों के लिए भिन्नता संकेतकों की गणना पर विचार किया गया था, लेकिन आर्थिक गणना में, गुणात्मक लक्षणों की भिन्नता का आकलन करने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। . उदाहरण के लिए, निर्मित उत्पादों की गुणवत्ता का अध्ययन करते समय, उत्पादों को उच्च-गुणवत्ता और दोषपूर्ण में विभाजित किया जा सकता है।

इस मामले में, हम वैकल्पिक संकेतों के बारे में बात कर रहे हैं।

वैकल्पिक विशेषताएं वे हैं जो जनसंख्या की कुछ इकाइयों के पास होती हैं, जबकि अन्य में नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, आवेदकों के लिए कार्य अनुभव की उपलब्धता, विश्वविद्यालय के शिक्षकों के लिए शैक्षणिक डिग्री आदि। जनसंख्या इकाइयों में एक विशेषता की उपस्थिति को पारंपरिक रूप से 1 से दर्शाया जाता है, और अनुपस्थिति को 0 से दर्शाया जाता है। फिर, यदि एक विशेषता वाली इकाइयों का अनुपात (जनसंख्या की इकाइयों की कुल संख्या में) को पी द्वारा दर्शाया जाता है, और उन इकाइयों का अनुपात जिनमें q द्वारा कोई विशेषता नहीं है, एक वैकल्पिक विशेषता के प्रसरण की गणना एक सामान्य नियम के रूप में की जा सकती है। इसके अलावा, p + q = 1, और इसलिए q = 1-p।

सबसे पहले, हम वैकल्पिक सुविधा के औसत मूल्य की गणना करते हैं:

वैकल्पिक सुविधा के औसत मूल्य की गणना करें

,

वे। एक वैकल्पिक विशेषता का माध्य मान उन इकाइयों के अनुपात के बराबर होता है जिनमें यह विशेषता होती है।

वैकल्पिक चिन्ह का प्रसरण इसके बराबर होगा:

इस प्रकार, एक वैकल्पिक विशेषता का प्रसरण उन इकाइयों के अनुपात के गुणनफल के बराबर होता है जिनके पास एक विशेषता होती है, उन इकाइयों के अनुपात से जिनमें यह विशेषता नहीं होती है।

और मानक विचलन = के बराबर होगा।

संकेतक सापेक्ष हैं।एक ही जनसंख्या में विभिन्न लक्षणों के उतार-चढ़ाव की तुलना करने के उद्देश्य से, या कई आबादी में एक ही विशेषता के उतार-चढ़ाव की तुलना करते समय, सापेक्ष शब्दों में व्यक्त भिन्नता संकेतक रुचि के होते हैं। तुलना का आधार अंकगणित माध्य है। इन संकेतकों की गणना भिन्नता की सीमा, माध्य रैखिक विचलन या मानक विचलन से अंकगणितीय माध्य या माध्यिका के अनुपात के रूप में की जाती है।

सबसे अधिक बार, उन्हें प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है और न केवल भिन्नता का एक तुलनात्मक मूल्यांकन निर्धारित करता है, बल्कि जनसंख्या की एकरूपता को भी दर्शाता है। यदि भिन्नता का गुणांक 33% से अधिक न हो तो समुच्चय को सजातीय माना जाता है। भिन्नता के निम्नलिखित सापेक्ष संकेतक हैं:

1. दोलन का गुणांक औसत के आसपास विशेषता के चरम मूल्यों के सापेक्ष उतार-चढ़ाव को दर्शाता है।

3. भिन्नता का गुणांक माध्य मानों की विशिष्टता का मूल्यांकन करता है।

.

(6.12)

अध्ययन के तहत विशेषता के अनुसार जितनी छोटी, उतनी अधिक सजातीय जनसंख्या और अधिक विशिष्ट औसत। यदि 33%, तो वितरण सामान्य के करीब है, और जनसंख्या को सजातीय माना जाता है। उपरोक्त उदाहरण से, दूसरा सेट सजातीय है।

14. समय के साथ सामाजिक-आर्थिक घटनाओं में परिवर्तन का अध्ययन समय श्रृंखला के निर्माण और विश्लेषण की विधि द्वारा सांख्यिकी द्वारा किया जाता है।

गतिकी की श्रृंखला- ये सांख्यिकीय संकेतकों के मूल्य हैं जो एक निश्चित कालानुक्रमिक क्रम में प्रस्तुत किए जाते हैं।

हर बार श्रृंखला में दो घटक होते हैं:

1) समय अवधि संकेतक(वर्ष, तिमाही, महीने, दिन या तिथियां);

2) अध्ययन के तहत वस्तु की विशेषता वाले संकेतकसमय अवधि के लिए या संबंधित तिथियों पर, जिन्हें श्रृंखला के स्तर कहा जाता है।

समय तकअंतर करना गतिकी का क्षण और अंतराल श्रृंखला.

पल श्रृंखला में, स्तर समय में एक महत्वपूर्ण बिंदु पर घटना की स्थिति को व्यक्त करते हैं- महीने, तिमाही, वर्ष आदि की शुरुआत। उदाहरण के लिए, जनसंख्या, कर्मचारियों की संख्या, आदि। ऐसी पंक्तियों में, प्रत्येक बाद के स्तर में पूर्ण या आंशिक रूप से शामिल होता है पिछले स्तर का मान, इसलिए आप स्तरों का योग नहीं कर सकते, क्योंकि यह कैसे फिर से गिनती की ओर जाता है।

अंतराल में - स्तर एक निश्चित अवधि के लिए घटना की स्थिति को दर्शाते हैं- दिन, महीना, साल आदि। ये रैंक हैं उत्पादन की मात्रा के संकेतक, वर्ष के महीनों तक बिक्री की मात्रा, कार्य दिवसों की संख्या, आदि।

द्वारा स्तर प्रतिनिधित्व प्रपत्रअंतर करना निरपेक्ष, सापेक्ष और औसत मूल्यों की श्रृंखला.

निरपेक्ष स्तर परिवर्तन -इस मामले में इसे कहा जा सकता है पूर्ण वृद्धि -यह तुलना के लिए आधार के रूप में लिए गए तुलनात्मक स्तर और पहले की अवधि के स्तर के बीच का अंतर है। यदि यह आधार सीधे पिछले स्तर पर है, तो संकेतक को कहा जाता है जंजीर,यदि, उदाहरण के लिए, प्रारंभिक स्तर को आधार के रूप में लिया जाता है, तो संकेतक को कहा जाता है बुनियादी।निरपेक्ष स्तर परिवर्तन सूत्र:

यदि पूर्ण परिवर्तन नकारात्मक है, तो इसे पूर्ण कमी कहा जाना चाहिए।

त्वरण -किसी दी गई अवधि के लिए पूर्ण परिवर्तन और उसी अवधि की पिछली अवधि के लिए पूर्ण परिवर्तन के बीच का अंतर है:

पूर्ण त्वरण संकेतक का उपयोग केवल श्रृंखला संस्करण में किया जाता है, लेकिन मूल में नहीं। एक नकारात्मक त्वरण मान वृद्धि में मंदी या श्रृंखला के स्तरों में गिरावट में तेजी को इंगित करता है।

विकास का पहलू Ki को किसी दिए गए स्तर के पिछले या मूल स्तर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, श्रृंखला में परिवर्तन की सापेक्ष दर को दर्शाता है। यदि विकास दर को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो इसे विकास दर कहा जाता है।

विकास का पहलू

बुनियादी -

या विकास दर।

श्रृंखला वृद्धि दर के मूल्य, प्रत्येक के अपने आधार पर गणना की जाती है, न केवल प्रतिशत की संख्या में भिन्न होती है, बल्कि प्रत्येक प्रतिशत को बनाने वाले पूर्ण परिवर्तन के परिमाण में भी भिन्न होती है। इसलिए, श्रृंखला वृद्धि दर को जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता है। 1% की वृद्धि का निरपेक्ष मान पिछले स्तर या आधार स्तर के सौवें हिस्से के बराबर है।

सामान्य तौर पर, वैकल्पिक शेयरों में से एक की वृद्धि दर दूसरे शेयर की वृद्धि दर और इस शेयर के आकार पर निम्नानुसार निर्भर करती है:

अंकों में शेयरों में पूर्ण परिवर्तन शेयर के आकार और विकास दर पर निम्नानुसार निर्भर करता है:

यदि कुल में दो नहीं, बल्कि अधिक समूह हैं, तो अंकों में प्रत्येक शेयर में पूर्ण परिवर्तन आधार अवधि में इस समूह की हिस्सेदारी और वॉल्यूम विशेषता के निरपेक्ष मूल्य की वृद्धि दर के अनुपात पर निर्भर करता है। इस समूह की संपूर्ण जनसंख्या में मात्रा विशेषता की औसत वृद्धि दर के लिए। तुलनात्मक (वर्तमान) अवधि में f-वें समूह की हिस्सेदारी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

गतिकी के औसत संकेतक - श्रृंखला का औसत स्तर, औसत पूर्ण परिवर्तन और त्वरण, औसत विकास दर - प्रवृत्ति की विशेषता है।

औसत स्तरगतिकी की अंतराल श्रृंखला को समान अवधियों के लिए स्तरों के एक साधारण अंकगणितीय औसत के रूप में परिभाषित किया गया है:

या असमान समय अंतराल पर स्तरों के भारित अंकगणितीय औसत के रूप में, जिसकी अवधि भार है।

अंकगणित माध्य का एक विशेष रूप जिसे कहा जाता है कालानुक्रमिक औसत:

यदि क्षण श्रृंखला के स्तरों में परिवर्तन की सटीक तिथियां ज्ञात हैं, तो औसत स्तर इस प्रकार निर्धारित किया जाता है

कहाँ पे ती- वह समय जिसके दौरान स्तर बनाए रखा गया था।

औसत पूर्ण वृद्धि (पूर्ण परिवर्तन)समान समय अंतराल (श्रृंखला निरपेक्ष परिवर्तन) पर निरपेक्ष परिवर्तनों के एक साधारण अंकगणितीय औसत के रूप में परिभाषित किया गया है या आधार से तुलना की गई अवधि के लिए औसत समय अंतराल की संख्या से मूल निरपेक्ष परिवर्तन को विभाजित करने वाले भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है:

परिवर्तन की औसत दरसबसे सटीक रूप से निर्धारित किया जाता है जब गतिशील श्रृंखला को विश्लेषणात्मक रूप से घातीय रूप से बराबर किया जाता है। यदि उतार-चढ़ाव की उपेक्षा की जा सकती है, तो औसत दर को परिभाषित किया जाता है जियोमेट्रिक माध्यके लिए श्रृंखला विकास दर से पीवर्ष या कुल (मूल) विकास दर से पीवर्षों:

औसत विकास दर() की गणना निश्चित अवधि के लिए विकास दर के संकेतकों के ज्यामितीय माध्य के सूत्र द्वारा की जाती है:

जहां р1, Кр2, ..., р n-1 - पिछली अवधि की तुलना में वृद्धि कारक; n पंक्ति में स्तरों की संख्या है।

औसत वृद्धि कारक को अलग तरह से परिभाषित किया जा सकता है:

गतिशील श्रृंखला के मुख्य संकेतक

गतिकी का अध्ययन करते समय, विभिन्न संकेतकों और विश्लेषण के तरीकों का उपयोग किया जाता है, दोनों प्राथमिक, सरल और अधिक जटिल, तदनुसार, गणित के अधिक जटिल वर्गों के उपयोग की आवश्यकता होती है। विश्लेषण के सबसे सरल संकेतक जो कई समस्याओं को हल करने में उपयोग किए जाते हैं, मुख्य रूप से गतिशीलता की एक श्रृंखला के स्तर में परिवर्तन की दर को मापते समय, पूर्ण विकास, विकास और विकास दर, साथ ही साथ निरपेक्ष मूल्य (सामग्री) हैं। एक प्रतिशत की वृद्धि। इन संकेतकों की गणना एक दूसरे के साथ गतिकी की एक श्रृंखला के स्तरों की तुलना करने पर आधारित है। जिस स्तर से तुलना की जाती है उसे कहते हैं बुनियादी,क्योंकि यह तुलना का आधार है। आमतौर पर, या तो पिछले स्तर या कुछ पिछले स्तर, उदाहरण के लिए, श्रृंखला के पहले स्तर को तुलना के आधार के रूप में लिया जाता है। यदि प्रत्येक स्तर की तुलना पिछले स्तर से की जाती है, तो परिणामी संकेतक कहलाते हैं जंजीर,चूंकि वे एक "श्रृंखला" में लिंक होते हैं, जो एक श्रृंखला के स्तरों को जोड़ता है। यदि सभी स्तर एक ही स्तर से जुड़े हों, जो तुलना के निरंतर आधार के रूप में कार्य करता है, तो इस मामले में प्राप्त संकेतक कहलाते हैं बुनियादी।अक्सर, गतिकी की एक श्रृंखला का निर्माण उस स्तर से शुरू होता है जिसका उपयोग तुलना के निरंतर आधार के रूप में किया जाएगा। अध्ययन के तहत घटना के विकास की ऐतिहासिक और सामाजिक-आर्थिक विशेषताओं द्वारा इस आधार की पसंद को उचित ठहराया जाना चाहिए। कुछ विशिष्ट, विशिष्ट स्तर को बुनियादी स्तर के रूप में लेना समीचीन है, उदाहरण के लिए, विकास के पिछले चरण का अंतिम स्तर (या इसका औसत स्तर, यदि पिछले चरण में स्तर या तो बढ़ा या घटा है)। पूर्ण विकासदिखाता है कि बेसलाइन की तुलना में स्तर में कितनी इकाइयाँ बढ़ी हैं (या घटी हैं), यानी किसी विशेष अवधि (अवधि) के लिए। पूर्ण वृद्धि तुलनात्मक स्तरों के बीच के अंतर के बराबर है और इन स्तरों के समान इकाइयों में मापा जाता है: ? =यी?यी?1; ? =yi?y0,कहाँ पे यी- प्रथम वर्ष का स्तर; यी-1- पिछले वर्ष का स्तर; y0आधार वर्ष स्तर है। यदि बेसलाइन की तुलना में स्तर कम हुआ है, तो ? 0; यह स्तर में पूर्ण कमी की विशेषता है। समय की प्रति इकाई पूर्ण वृद्धि (माह, वर्ष) उपाय स्तर की वृद्धि (या गिरावट) की पूर्ण दर।श्रृंखला और बुनियादी निरपेक्ष विकास परस्पर जुड़े हुए हैं: क्रमिक श्रृंखला वृद्धि का योग संबंधित मूल वृद्धि के बराबर है, यानी पूरी अवधि के लिए कुल वृद्धि। विकास का एक अधिक पूर्ण लक्षण वर्णन केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब निरपेक्ष मूल्यों को सापेक्ष लोगों द्वारा पूरक किया जाता है। गतिकी के सापेक्ष संकेतक विकास दर और विकास दर की विशेषता हैं विकास प्रक्रिया की तीव्रता। विकास दर(Тр) - एक सांख्यिकीय संकेतक जो गतिकी की एक श्रृंखला के स्तरों में परिवर्तन की तीव्रता को दर्शाता है और दिखाता है कि आधार रेखा की तुलना में स्तर कितनी बार बढ़ा है, और कमी के मामले में, आधार रेखा के किस भाग की तुलना की जाती है स्तर; वर्तमान स्तर के अनुपात से पिछले या आधार से मापा जाता है: अन्य सापेक्ष मूल्यों की तरह, विकास दर को न केवल एक गुणांक (स्तरों का एक साधारण अनुपात) के रूप में, बल्कि प्रतिशत के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। निरपेक्ष विकास दर की तरह, किसी भी समय श्रृंखला के लिए विकास दर अपने आप में अंतराल संकेतक हैं, अर्थात वे समय की एक या दूसरी अवधि (अंतराल) की विशेषता रखते हैं। श्रृंखला और आधार विकास दर के बीच एक निश्चित संबंध है, जो गुणांक के रूप में व्यक्त किया गया है: क्रमिक श्रृंखला विकास दर का उत्पाद संपूर्ण इसी अवधि के लिए आधार विकास दर के बराबर है, उदाहरण के लिए: y2/ y1 y3/ y2 = y3/ y1. वृद्धि की दर(टीपीआर) विकास के सापेक्ष मूल्य की विशेषता है, यानी, यह पिछले या आधार स्तर पर पूर्ण वृद्धि का अनुपात है: प्रतिशत के रूप में व्यक्त की गई वृद्धि दर दर्शाती है कि 100% के रूप में लिए गए बेसलाइन की तुलना में कितने प्रतिशत स्तर में वृद्धि (या कमी) हुई है। विकास की दरों का विश्लेषण करते समय, किसी को यह नहीं देखना चाहिए कि विकास और विकास की दर के पीछे कौन से निरपेक्ष मूल्य - स्तर और पूर्ण वृद्धि - छिपे हुए हैं। विशेष रूप से, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि वृद्धि और विकास दर में कमी (मंदी) के साथ, पूर्ण वृद्धि बढ़ सकती है। इस संबंध में गतिकी के एक अन्य संकेतक का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है - निरपेक्ष मूल्य (सामग्री) 1% की वृद्धि,जिसे निरपेक्ष वृद्धि को संगत वृद्धि दर से विभाजित करने के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया है: यह मान दर्शाता है कि निरपेक्ष रूप से विकास का प्रत्येक प्रतिशत कितना देता है। कभी-कभी एक वर्ष के लिए घटना के स्तर क्षेत्रीय, विभागीय और अन्य परिवर्तनों (लेखांकन की पद्धति में परिवर्तन और संकेतकों की गणना, आदि) के कारण अन्य वर्षों के स्तरों के साथ तुलनीय नहीं होते हैं। तुलना सुनिश्चित करने और विश्लेषण के लिए उपयुक्त समय श्रृंखला प्राप्त करने के लिए, उन स्तरों की सीधे पुनर्गणना करना आवश्यक है जो दूसरों के साथ अतुलनीय हैं। हालाँकि, कभी-कभी इसके लिए आवश्यक डेटा उपलब्ध नहीं होता है। ऐसे मामलों में, आप एक विशेष तकनीक का उपयोग कर सकते हैं जिसे कहा जाता है गतिकी की पंक्तियों को बंद करना।उदाहरण के लिए, उस क्षेत्र की सीमाओं में परिवर्तन हुआ, जिस पर किसी घटना के विकास की गतिशीलता का अध्ययन i-वें वर्ष में किया गया था। फिर इस वर्ष से पहले प्राप्त आंकड़ों की तुलना बाद के वर्षों के आंकड़ों से नहीं की जा सकेगी। इन श्रृंखलाओं को बंद करने के लिए और पूरी अवधि के लिए श्रृंखला की गतिशीलता का विश्लेषण करने में सक्षम होने के लिए, हम उनमें से प्रत्येक को तुलना आधार के रूप में i-वें वर्ष के स्तर के रूप में लेंगे, जिसके लिए दोनों में डेटा हैं पुराने और क्षेत्र की नई सीमाओं में। तुलना के समान आधार वाली इन दो पंक्तियों को फिर एक बंद गतिकी पंक्ति से बदला जा सकता है। एक बंद श्रृंखला के आंकड़ों से, किसी भी वर्ष की तुलना में विकास दर की गणना की जा सकती है, नई सीमाओं के भीतर पूरी अवधि के लिए पूर्ण स्तरों की गणना भी की जा सकती है। फिर भी, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि गतिकी की श्रृंखला को बंद करके प्राप्त परिणामों में कुछ त्रुटि होती है। ग्राफिक रूप से, घटना की गतिशीलता को अक्सर बार और लाइन चार्ट के रूप में दर्शाया जाता है। चार्ट के अन्य रूपों का भी उपयोग किया जाता है: घुंघराले, वर्ग, सेक्टर, आदि। विश्लेषणात्मक चार्ट आमतौर पर लाइन चार्ट के रूप में बनाए जाते हैं।

16. उद्यम में आर्थिक और आर्थिक प्रक्रियाएं निरंतर विकास में हैं। समय श्रृंखला के निर्माण और विश्लेषण द्वारा समय में उनके परिवर्तन का अध्ययन किया जा सकता है।

गतिशीलता की सीमा- समय क्रम में प्रस्तुत संकेतक के संख्यात्मक मान। इसमें दो कॉलम होते हैं: पहले में अवधि (या तिथियां) होती हैं, दूसरे में इन अवधियों (या इन तिथियों के लिए) के अध्ययन के तहत वस्तु को दर्शाने वाले संकेतक होते हैं।

इस संबंध में, गतिकी की श्रृंखला दो प्रकार की हो सकती है: अंतराल (कई वर्षों के लिए वार्षिक दूध उपज पर डेटा) और क्षण (वर्ष की शुरुआत में उद्यम की अचल संपत्तियों के मूल्य पर डेटा)।

समय के साथ श्रृंखला के स्तरों में परिवर्तन की तीव्रता का अध्ययन करने के लिए, गतिकी के निम्नलिखित संकेतकों की गणना की जाती है।

गतिकी के प्रस्तुत संकेतकों की गणना एक चर या स्थिर आधार के साथ की जा सकती है। यदि प्रत्येक स्तर की तुलना पिछले स्तर से की जाती है, तो एक चर आधार (गतिशीलता के श्रृंखला संकेतक) के साथ गतिकी के संकेतक प्राप्त होते हैं। यदि प्रत्येक स्तर की तुलना आधार रेखा से की जाती है, तो निरंतर-आधार प्रगति उपाय (आधारभूत प्रगति उपाय) प्राप्त होते हैं।

पूर्ण विकासदिखाता है कि निरपेक्ष रूप से कितना (रूबल, हे, लोग, क्यू) वर्तमान अवधि का स्तर आधार एक से अधिक (कम) है।

विकास का पहलूदिखाता है कि वर्तमान अवधि का स्तर आधार एक की तुलना में कितनी बार अधिक (या कम) है।

विकास दरवृद्धि कारक है, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है; दिखाता है कि आधार अवधि के स्तर के संबंध में वर्तमान अवधि का स्तर कितने प्रतिशत है।

वृद्धि की दर- दिखाता है कि वर्तमान अवधि का स्तर आधार अवधि के स्तर से कितने प्रतिशत अधिक (+) या कम (-) है।

1% वृद्धि का निरपेक्ष मूल्यदिखाता है कि सापेक्ष संकेतक के पीछे क्या निरपेक्ष मूल्य छिपा है - एक प्रतिशत की वृद्धि।

गतिकी संकेतकों की गणना के तरीके तालिका 1 में प्रस्तुत किए गए हैं, वे क्षण और अंतराल श्रृंखला के लिए समान हैं।

तालिका 1 - गतिकी के संकेतक

अनुक्रमणिका	गणना विधि
परिवर्तनीय आधार (श्रृंखला)	निश्चित आधार के साथ (मूल)
1. पूर्ण वृद्धि (Δ)
2. वृद्धि कारक ( के रे)
3. विकास दर ( टी आर), %
4. विकास दर ( टी पी), %
5. 1% वृद्धि का निरपेक्ष मूल्य ( लेकिन)

कहाँ पे: मैं- किसी भी अवधि का स्तर (पहले को छोड़कर), जिसे वर्तमान अवधि का स्तर कहा जाता है;

मैं -1- वर्तमान अवधि से पहले की अवधि का स्तर;

के पर- तुलना के निरंतर आधार के रूप में लिया गया स्तर (अक्सर प्रारंभिक स्तर)।

17-21. 1. सूचकांकों की अवधारणा, सूचकांकों का वर्गीकरण

सूचकांक सबसे महत्वपूर्ण सामान्यीकरण संकेतकों में से हैं। अनुवाद में "इंडेक्स" शब्द का अर्थ है संकेतक, सूचक। इसका उपयोग गणित, अर्थशास्त्र, मेट्रोलॉजी और अन्य विज्ञानों में एक अवधारणा के रूप में किया जाता है।

सांख्यिकीय सूचकांकसमय, स्थान या किसी मानक की तुलना में जटिल समुच्चय और उनकी व्यक्तिगत इकाइयों की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक सापेक्ष मूल्य है। उसी समय, एक जटिल को ऐसे सांख्यिकीय सेट के रूप में समझा जाता है, जिसके व्यक्तिगत तत्व सीधे योग के अधीन नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, भौतिक दृष्टि से विभिन्न प्रकार के खाद्य या गैर-खाद्य उत्पादों के उत्पादित और बेचे जाने की संख्या पर डेटा। कुल बिक्री मात्रा प्राप्त करने के लिए, उदाहरण के लिए, कपड़े (मीटर में), सूट (टुकड़ों में), जूते (जोड़े में) आदि की बिक्री पर डेटा को संक्षेप में प्रस्तुत करने का कोई मतलब नहीं है।

परिवर्तनों को निर्धारित करने में सूचकांक पद्धति का आधार, उदाहरण के लिए, माल के उत्पादन और संचलन में, कमोडिटी जनता की अभिव्यक्ति के प्राकृतिक-भौतिक रूप से लागत, श्रम या लागत उपायों में संक्रमण है। चूंकि, व्यक्तिगत वस्तुओं के उपयोग मूल्यों में अंतर के बावजूद, वे सभी श्रम का परिणाम हैं और इसलिए लागत, श्रम लागत और उत्पादन लागत के संदर्भ में एक सामान्य उपाय द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

सभी सूचकांकों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है: घटनाओं का कवरेज(समग्रता के तत्व) वे व्यक्तिगत और सामान्य में विभाजित हैं, अनुक्रमित मूल्यों की सामग्री के अनुसार- मात्रा और गुणवत्ता, निर्माण के रूप में -व्यक्ति के कुल और औसत पर (अंकगणित माध्य भारित और हार्मोनिक माध्य भारित), तुलना आधार द्वारा- गतिशील (श्रृंखला, मूल) और क्षेत्रीय, लागू वजन के अनुसार- निरंतर भार के साथ, चर भार के साथ, संयोजन- परिवर्तनीय संरचना के सूचकांक और निरंतर संरचना के सूचकांक , गणना की अवधि के अनुसार- वार्षिक, त्रैमासिक, मासिक, साप्ताहिक।

2. व्यक्तिगत और सामान्य सूचकांक

आइए हम संकेतन का परिचय दें:

i - व्यक्तिगत (सरल, एकल) सूचकांक;

मैं - समग्र सामान्य सूचकांक।

संकेतों को निर्दिष्ट करने के लिए पत्र कोई भी हो सकते हैं, लेकिन अक्सर निरूपित करते हैं:

पी उत्पादन की एक इकाई की कीमत है;

जेड - उत्पादन की इकाई लागत;

क्यू - उत्पादित, बेचे और उपभोग किए गए उत्पादों की भौतिक मात्रा;

च - वेतन;

डब्ल्यू - श्रम उत्पादकता (औसत उत्पादन);

टी उत्पादन की एक इकाई के निर्माण की जटिलता है;

टी - कुल श्रम लागत (टीक्यू), (मानव-घंटे, मानव-दिन, लोग);

Z - इस प्रकार के उत्पादों के लिए कुल उत्पादन लागत (zq);

P इस प्रकार के विनिर्मित उत्पादों (pq) की कुल लागत है।

आंकड़ों में रिपोर्टिंग डेटा (जिसकी तुलना की जाती है) को सबस्क्रिप्ट "1", मूल डेटा (जिसके साथ उनकी तुलना की जाती है) - "ओ" द्वारा दर्शाया जाता है। नियोजित डेटा, पिछली अवधि के डेटा, अन्य समान वस्तुओं पर डेटा सूचकांक संबंधों में आधार के रूप में काम कर सकते हैं।

व्यक्तिगत सूचकांक एक जटिल सेट के व्यक्तिगत तत्वों में परिवर्तन को चिह्नित करने के लिए काम करते हैं, वे गतिशीलता, योजना कार्यान्वयन, तुलना के सापेक्ष मूल्य हैं। उनकी गणना के लिए विशेष नियमों के ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है। उनकी गणना केवल विकास दर के रूप में की जाती है। यदि यह आवश्यक है, उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्पाद के लिए मूल्य या मात्रा की गतिशीलता दिखाने के लिए, तो रिपोर्टिंग अवधि के संबंधित मूल्य को आधार अवधि के मूल्य से विभाजित और विभाजित किया जाता है।

व्यक्तिगत मात्रा सूचकांक

व्यक्तिगत मूल्य सूचकांक

व्यक्तिगत कारोबार सूचकांक

सामान्य सूचकांकपरिवर्तनों को प्रतिबिंबित करें, एक जटिल घटना के सभी तत्वों में परिवर्तन को चिह्नित करने के लिए कार्य करें। यदि सूचकांक एक जटिल घटना के तत्वों के हिस्से को कवर करते हैं, तो उन्हें कहा जाता है समूहया उप-सूचकांक.

सामान्य सूचकांकों की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि उनमें सिंथेटिक और विश्लेषणात्मक गुण होते हैं। इंडेक्स के सिंथेटिक गुणों में यह तथ्य शामिल है कि इंडेक्स विधि के माध्यम से, सांख्यिकीय आबादी की पूरी इकाइयों में एक कनेक्शन (एकत्रीकरण) किया जाता है। सूचकांकों के विश्लेषणात्मक गुण यह हैं कि अध्ययन किए गए संकेतक के परिवर्तन पर कारकों का प्रभाव सूचकांक पद्धति के माध्यम से निर्धारित होता है। कारकों की संरचना और भूमिका के अध्ययन के आधार पर, उनकी कार्रवाई की ताकत की पहचान करते हुए, आर्थिक प्रक्रियाओं के विकास के योग्य प्रबंधन की संभावनाओं को न केवल सही दिशा में, बल्कि पूर्व निर्धारित मापदंडों के साथ भी किया जाता है।

उदाहरण 1. हमारे पास निम्नलिखित डेटा है (जीआर 1-5)

उत्पादों	आधार अवधि	रिपोर्टिंग अवधि	व्यक्तिगत सूचकांक	माल का कारोबार, हजार रूबल	व्यक्तिगत कारोबार सूचकांक
माल की संख्या, हजार टुकड़े,	यूनिट मूल्य, रगड़।	माल की संख्या, हजार टुकड़े,	यूनिट मूल्य, रगड़।	कीमतों	मात्रा	आधार अवधि	रिपोर्टिंग अवधि
ए बी					20/6= =3,333 30/15==2,000	50/40==1,25 600/500= =1,2	40x6==240 500x15==7500	50x20= 600x30==18000	1000/240=4,167 18000/7500=2,4
	एक्स	एक्स	एक्स	एक्स	एक्स	एक्स	पी 0 क्यू 0 =7740	पी 1 क्यू 1 =19000	एक्स

अलग-अलग सूचकांक निर्धारित करें (i p , i q , i pq) सामान्य सूचकांक ( , J p , J pq)।

1. व्यक्तिगत सूचकांकों के मूल्य, जीआर देखें।6,7,10। सूचकांकों को गुणांक या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।

आंकड़ों में, अक्सर ऐसे संकेतकों से निपटना पड़ता है जो एक दूसरे से संबंधित होते हैं, क्योंकि कारक उत्पाद से संबंधित होते हैं। उदाहरण के लिए, व्यापार की भौतिक मात्रा द्वारा मूल्य के उत्पाद के बराबर व्यापार होता है। ऐसे मामलों में अलग-अलग सूचकांकों के बीच संबंध वही है जो संबंधित संकेतकों के बीच है:

ऐसा संबंध दो उपलब्ध सूचकांकों का उपयोग करके तीसरे को खोजना संभव बनाता है। ऐसे सूचकांकों को संयुग्म कहा जाता है और परस्पर जुड़े सूचकांकों की एक प्रणाली बनाते हैं।

इस मामले में व्यक्तिगत कारोबार सूचकांक दो तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है (स्तंभ 10 देखें):

सामान्य सूचकांकों को तीन तरीकों से निर्धारित किया जा सकता है: 1) एक समग्र सूत्र द्वारा; 2) भारित औसत सूचकांक के सूत्र द्वारा और 3) सूचकांकों के संबंध पर आधारित। अध्ययन के उद्देश्य के आधार पर, निर्माण के एक या दूसरे रूप का उपयोग किया जाता है।

3. सकल सूचकांक

कुल सूचकांक एक जटिल घटना में औसत परिवर्तन की विशेषता है। लैटिन शब्द "एग्रीगेट" (एग्रीगेटस) का अर्थ है "जोड़ा गया", संक्षेप में। सूचकांक के इस रूप की ख़ासियत यह है कि एक ही संकेतक के दो योगों की तुलना समग्र रूप में की जाती है। कुल सूचकांक का अंश और हर दो मात्राओं के उत्पादों का योग है, जिनमें से एक में परिवर्तन (अनुक्रमित मूल्य) होता है, और दूसरा अंश और हर (सूचकांक भार) में अपरिवर्तित रहता है। अनुक्रमित मूल्यचिन्ह कहलाता है, जिसके परिवर्तन का अध्ययन किया जा रहा है। सूचकांक वजन- यह वह मान है जो अनुक्रमित मानों की तुलना करने के उद्देश्य से कार्य करता है।

प्रत्येक आर्थिक सूचकांक एक विशिष्ट समस्या का समाधान करता है। सूचकांक की आर्थिक सामग्री इसकी गणना की विधि को पूर्व निर्धारित करती है। एक समग्र सूचकांक के निर्माण की पद्धति तीन प्रश्नों के समाधान प्रदान करती है:

1. क्या मूल्य अनुक्रमित किया जाएगा;

2. घटना के विषम तत्वों की संरचना के अनुसार सूचकांक की गणना करना आवश्यक है;

3. सूचकांक की गणना करते समय वजन के रूप में क्या काम करेगा।

सूचकांक का वजन चुनते समय, निम्नलिखित नियम द्वारा निर्देशित होने की प्रथा है: यदि एक मात्रात्मक संकेतक का सूचकांक बनाया जा रहा है, तो आधार अवधि के लिए वजन लिया जाता है; गुणात्मक संकेतक के सूचकांक का निर्माण करते समय, रिपोर्टिंग अवधि के भार का उपयोग किया जाता है। मात्रात्मक (थोक) सूचकांकव्यापक कारकों में परिवर्तन की विशेषताएँ, उदाहरण के लिए, विभिन्न मात्राएँ। इनमें भौतिक मात्रा के सभी सूचकांक शामिल हैं: व्यापार की भौतिक मात्रा, सकल घरेलू उत्पाद, विदेशी मुद्रा बिक्री, आदि।

गुणवत्ता सूचकांक- ये कीमतों, लागत, श्रम उत्पादकता, विनिमय दरों आदि के सूचकांक हैं। इन सूचकांकों के अनुक्रमित मूल्य गुणात्मक (गहन) संकेतक हैं जो प्रति इकाई जनसंख्या (उत्पादन की प्रति इकाई मूल्य) की घटना के स्तर को दर्शाते हैं। , उत्पादन की इकाई लागत, आदि)।

आइए तीन समग्र इंडेक्स बनाएं: ट्रेड टर्नओवर इंडेक्स, प्राइस इंडेक्स और ट्रेड वॉल्यूम इंडेक्स।

रिपोर्टिंग कीमतों में रिपोर्टिंग अवधि का कारोबार

मूल कीमतों में आधार अवधि का कारोबार

, 245,5%

इसका मतलब है कि व्यापार कारोबार में औसतन 2.455 गुना की वृद्धि हुई, जो निरपेक्ष रूप से होगा

हज़ार रगड़ना।

निर्मित उत्पादों की लागत, उपभोग किए गए उत्पादों की लागत आदि के सूचकांकों की गणना इसी तरह की जाती है।

सामान्य कारोबार सूचकांक के इस सूत्र से यह देखा जा सकता है कि इसका मूल्य दो कारकों में परिवर्तन पर निर्भर करता है:

व्यापार की भौतिक मात्रा (बेची गई वस्तुओं की संख्या),

बेचे गए माल की प्रत्येक इकाई के लिए पी मूल्य।

प्रत्येक चर के प्रभाव को अलग से पहचानने के लिए, उनमें से एक के प्रभाव को बाहर करना आवश्यक है, अर्थात इसे सशर्त रूप से रिपोर्टिंग या आधार अवधि के स्तर पर एक स्थिर मूल्य के रूप में स्वीकार करना है।

कीमतों में समग्र परिवर्तन निर्धारित किया जा सकता है बशर्ते कि रिपोर्टिंग या आधार अवधि के लिए बेचे गए माल की मात्रा को स्थिर मूल्य (वजन) के रूप में लिया जाए।

मूल कीमतों में रिपोर्टिंग अवधि का कारोबार

यह G.Paasche कुल सूचकांक(इस सूचकांक को प्रस्तावित करने वाले जर्मन वैज्ञानिक के नाम पर)।

पाशे सूचकांक दर्शाता है कि समीक्षाधीन अवधि में जनसंख्या द्वारा खरीदी गई वस्तुओं के द्रव्यमान का मूल्य स्तर कैसे बदल गया है और माल की कीमतों में कमी (वृद्धि) से जनसंख्या का लाभ (हानि) क्या है। उदाहरण 1

इसका मतलब यह है कि रिपोर्टिंग अवधि में औसतन दो वस्तुओं की कीमतों में बेसलाइन की तुलना में 2.043 गुना की वृद्धि हुई है, और मूल्य वृद्धि से आबादी को होने वाले नुकसान हैं:

हज़ार रगड़ना।

यह भी कहा जा सकता है कि कीमतों में औसतन 9,700 हजार रूबल की वृद्धि के परिणामस्वरूप व्यापार का कारोबार बढ़ा। आधार अवधि की तुलना में रिपोर्टिंग अवधि में। परिभाषित किया जा सकता है मूल्य सूचकांकऔर तक लेस्पीयर सूत्र,यदि वजन (माल की संख्या) आधार अवधि में लिया जाता है।

E. Laspeyres सूचकांक दर्शाता है कि किस प्रकार आधार अवधि में बेचे गए माल की कीमतों में औसतन परिवर्तन हुआ है। इस सूचकांक के अंश और हर के बीच का अंतर व्यापार की मात्रा में सशर्त परिवर्तन का एक विचार देता है जब आने वाली अवधि में समान मात्रा में माल की बिक्री आधार अवधि में होती है, लेकिन नई कीमतों पर

इस सूचकांक का उपयोग आने वाली अवधि में वस्तुओं की कीमतों में नियोजित परिवर्तनों के संबंध में व्यापार की मात्रा में परिवर्तन के पूर्वानुमान में किया जाता है।

आदर्श फिशर इंडेक्स दो समुच्चय लेस्पेयर्स और पाचे इंडेक्स के उत्पाद का ज्यामितीय माध्य है

व्यापार कारोबार की भौतिक मात्रा का कुल सूचकांक आधार एक की तुलना में रिपोर्टिंग अवधि में भौतिक मात्रा में परिवर्तन को प्रतिबिंबित करना चाहिए, और इसलिए, इसे बनाते समय, रिपोर्टिंग अवधि या तुलनीय (आधार) कीमतों की कीमतों को इस रूप में लिया जाता है वजन।

तुलनीय (मूल) कीमतों में आधार अवधि का कारोबार

यह लेस्पायर्स सूचकांक है

उदाहरण 1

120,2%.

इसका मतलब यह है कि रिपोर्टिंग अवधि में, आधार अवधि की तुलना में, व्यापार की भौतिक मात्रा में औसतन 20.2% की वृद्धि हुई, जो कि निरपेक्ष रूप से थी:

हज़ार रगड़ना।

इसका मतलब यह है कि रिपोर्टिंग अवधि में, बेस टर्नओवर की तुलना में, केवल बेची गई वस्तुओं की मात्रा में बदलाव के कारण, इसमें औसतन 1,560 हजार रूबल की वृद्धि हुई।

आप पाशे सूत्र का उपयोग करके I q भी निर्धारित कर सकते हैं

सामान्य सूचकांकों का संबंध।सामान्य सूचकांकों के बीच संबंध हमेशा संबंधित संकेतकों के बीच के समान नहीं होते हैं, लेकिन केवल तभी जब भार में परिवर्तन के बारे में धारणाएं तुलनीय होती हैं। उदाहरण के लिए,

यदि 2 कारक हैं, तो

11260=9700 + 1560

यदि 2 से अधिक कारक हैं, तो योजना इस प्रकार है:

1. सबसे पहले, हम उस क्रम को चुनते हैं जिसमें कारक बदलते हैं, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि रिपोर्टिंग अवधि के वजन पर गुणात्मक सूचकांक बनाए जाते हैं, और वॉल्यूम सूचकांक आधार अवधि के वजन पर आधारित होते हैं।

3. हम दूसरे सूचकांक की गणना इस धारणा के तहत करते हैं कि पहला कारक बदलने के बाद, दूसरा बदल जाता है।

4. हम तीसरे सूचकांक की गणना इस धारणा के तहत करते हैं कि पहले दो कारकों को बदलने के बाद, तीसरा एक बदल जाता है, और इसी तरह।

सकल सूचकांक प्रणाली

संबंध समीकरण	गुणवत्ता सूचकांक	वॉल्यूम सूचकांक	प्रभावी मूल्य सूचकांक	इंटरलिंक्ड इंडेक्स सिस्टम

4. औसत भारित सूचकांक

भारित औसत सूचकांकों की गणना तब की जाती है जब उपलब्ध जानकारी समग्र समग्र सूचकांक की गणना की अनुमति नहीं देती है।

सांख्यिकीय अभ्यास में, औसत सूचकांकों की गणना मुख्य रूप से अंकगणितीय औसत और हार्मोनिक औसत के रूप में की जाती है:

जहां - अध्ययन किए गए संकेतक के व्यक्तिगत सूचकांक (अनुक्रमित मूल्य);

भार, क्रमशः, अंकगणितीय माध्य और माध्य हार्मोनिक सूचकांकों में।

संपत्ति 1.अंकगणित माध्य स्थिरांक इस स्थिरांक के बराबर होता है: at

संपत्ति 2.अंकगणित माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन का बीजगणितीय योग शून्य है: असमूहीकृत डेटा के लिए और वितरण पंक्तियों के लिए।

इस गुण का अर्थ है कि धनात्मक विचलनों का योग ऋणात्मक विचलनों के योग के बराबर होता है, अर्थात्। यादृच्छिक कारणों से सभी विचलन एक दूसरे को रद्द कर देते हैं।

संपत्ति 3.अंकगणित माध्य से विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का योग न्यूनतम संख्या है: असमूहीकृत डेटा के लिए और वितरण पंक्तियों के लिए। इस गुण का अर्थ है कि अंकगणित माध्य से किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के वर्ग विचलन का योग हमेशा किसी अन्य मूल्य से विशेषता के रूपांतरों के विचलन के योग से कम होता है, भले ही यह औसत से थोड़ा अलग हो।

औसत मूल्य की गणना की शुद्धता की जांच के लिए अंकगणितीय माध्य के दूसरे और तीसरे गुणों का उपयोग किया जाता है; गतिकी की एक श्रृंखला के स्तरों में परिवर्तन के पैटर्न का अध्ययन करते समय; सुविधाओं के बीच सहसंबंध का अध्ययन करते समय प्रतिगमन समीकरण के मापदंडों को खोजने के लिए।

सभी तीन प्रथम गुण एक सांख्यिकीय श्रेणी के रूप में औसत की आवश्यक विशेषताओं को व्यक्त करते हैं।

माध्य के निम्नलिखित गुणों को कम्प्यूटेशनल माना जाता है क्योंकि वे कुछ व्यावहारिक महत्व के हैं।

संपत्ति 4.यदि सभी भारों (आवृत्तियों) को किसी स्थिर संख्या d से विभाजित किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य नहीं बदलेगा, क्योंकि यह कमी माध्य की गणना के लिए सूत्र के अंश और हर दोनों को समान रूप से प्रभावित करेगी।

इस संपत्ति से दो महत्वपूर्ण परिणाम निकलते हैं।

परिणाम 1.यदि सभी भार समान हैं, तो भारित अंकगणितीय माध्य की गणना को सरल अंकगणितीय माध्य की गणना द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

परिणाम 2. आवृत्तियों (वजन) के निरपेक्ष मूल्यों को उनके विशिष्ट भार से बदला जा सकता है।

संपत्ति 5.यदि सभी विकल्पों को किसी स्थिर संख्या d से विभाजित या गुणा किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य d गुना कम या बढ़ जाएगा।

संपत्ति 6.यदि सभी विकल्पों को एक स्थिर संख्या A से घटाया या बढ़ाया जाता है, तो औसत के साथ समान परिवर्तन होंगे।

सशर्त शुरुआत (क्षणों की विधि) से औसत की गणना करने की विधि को लागू करके अंकगणितीय माध्य के लागू गुणों को चित्रित किया जा सकता है।

क्षणों के रास्ते में अंकगणित माध्यसूत्र द्वारा गणना:

जहां ए किसी भी अंतराल का मध्य है (केंद्रीय को वरीयता दी जाती है);

d बराबर अंतराल का मान है, या अंतरालों का सबसे बड़ा गुणज भाजक है;

एम 1 पहले क्रम का क्षण है।

पहले आदेश का क्षणनिम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

.

हम पिछले उदाहरण के डेटा का उपयोग करके इस गणना पद्धति को लागू करने की तकनीक का वर्णन करेंगे।

तालिका 5.6

कार्य अनुभव, वर्ष	श्रमिकों की संख्या	अंतराल x
5 तक		2,5	-10	-2	-28
5-10		7,5	-5	-1	-22
10-15		12,5
15-20		17,5	+5	+1	+25
20 और ऊपर		22,5	+10	+2	+22
कुल		एक्स	एक्स	एक्स	-3

जैसा कि तालिका में दी गई गणनाओं से देखा जा सकता है। 5.6 उनके मूल्यों में से एक 12.5 सभी विकल्पों में से घटाया जाता है, जो शून्य के बराबर है और एक सशर्त संदर्भ बिंदु के रूप में कार्य करता है। अंतरों को अंतराल के मान से विभाजित करने के परिणामस्वरूप - 5, नए रूप प्राप्त होते हैं।

तालिका के परिणामों के अनुसार। 5.6 हमारे पास है: .

क्षणों की विधि द्वारा गणना का परिणाम उस परिणाम के समान है जो अंकगणितीय भारित औसत द्वारा गणना की मुख्य विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया था।

संरचनात्मक औसत

पावर-लॉ औसत के विपरीत, जिसकी गणना विशेषता मूल्यों के सभी प्रकारों के उपयोग के आधार पर की जाती है, संरचनात्मक औसत विशिष्ट मूल्यों के रूप में कार्य करते हैं जो वितरण श्रृंखला के अच्छी तरह से परिभाषित वेरिएंट के साथ मेल खाते हैं। विधा और माध्यिका श्रेणीबद्ध विविधता श्रृंखला में एक निश्चित स्थिति पर कब्जा करने वाले प्रकार के मूल्य की विशेषता है।

फ़ैशनइस आबादी में सबसे अधिक बार होने वाली विशेषता का मूल्य है। विविधता श्रृंखला में, यह उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण होगा।

असतत श्रृंखला में एक मोड ढूँढनावितरण के लिए गणना की आवश्यकता नहीं है। फ़्रीक्वेंसी कॉलम को देखकर, उच्चतम फ़्रीक्वेंसी ज्ञात करें।

उदाहरण के लिए, योग्यता के आधार पर एक उद्यम में श्रमिकों का वितरण तालिका में डेटा की विशेषता है। 5.7.

तालिका 5.7

इस वितरण श्रृंखला में उच्चतम आवृत्ति 80 है, जिसका अर्थ है कि बहुलक चौथे अंक के बराबर है। नतीजतन, चौथी श्रेणी वाले श्रमिकों का सबसे अधिक बार सामना करना पड़ता है।

यदि वितरण श्रृंखला अंतराल है, तब केवल मोडल अंतराल उच्चतम आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है, और फिर मोड की गणना पहले से ही सूत्र द्वारा की जाती है:

,

मोडल अंतराल की निचली सीमा कहाँ है;

मोडल अंतराल का मान है;

मोडल अंतराल की आवृत्ति है;

प्रीमॉडल अंतराल की आवृत्ति है;

पोस्टमॉडल अंतराल की आवृत्ति है।

हम सारणी में दिए गए आँकड़ों के अनुसार बहुलक की गणना करते हैं। 5.8.

तालिका 5.8

इसका मतलब है कि ज्यादातर उद्यमों को 726 मिलियन रूबल का लाभ होता है।

फैशन का व्यावहारिक अनुप्रयोग सीमित है।थोक और खुदरा बाजारों (मुख्य सरणी विधि) में कीमतों का अध्ययन करते समय, उनके उत्पादन और बिक्री की योजना बनाते समय जूते और कपड़ों के सबसे लोकप्रिय आकारों का निर्धारण करते समय उन्हें फैशन के महत्व द्वारा निर्देशित किया जाता है। उत्पादन के संभावित भंडार की गणना करते समय औसत के बजाय मोड का उपयोग किया जाता है।

मंझलारैंक वितरण श्रृंखला के केंद्र में संस्करण से मेल खाती है। यह उस विशेषता का मूल्य है जो संपूर्ण जनसंख्या को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

माध्यिका की स्थिति उसकी संख्या (N) से निर्धारित होती है।

जनसंख्या इकाइयों की संख्या कहाँ है। हम तालिका में दिए गए उदाहरण के डेटा का उपयोग करते हैं। 5.7 माध्यिका निर्धारित करने के लिए।

, अर्थात। माध्यिका गुण के 100वें और 110वें मानों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होती है। संचित आवृत्तियों के आधार पर, हम यह निर्धारित करते हैं कि श्रृंखला की 100वीं और 110वीं इकाइयों का एक विशेषता मान चौथे अंक के बराबर है, अर्थात। माध्यिका चौथा अंक है।

वितरण की अंतराल श्रृंखला में माध्यिका निम्न क्रम में निर्धारित की जाती है।

1. इस क्रमबद्ध वितरण श्रृंखला के लिए संचित आवृत्तियों की गणना की जाती है।

2. संचित आवृत्तियों के आधार पर, एक माध्यिका अंतराल स्थापित किया जाता है। यह वह स्थान है जहाँ पहली संचयी आवृत्ति जनसंख्या (सभी आवृत्तियों की) के आधे के बराबर या उससे अधिक होती है।

3. माध्यिका की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

,

माध्यिका अंतराल की निचली सीमा कहाँ है;

- अंतराल मूल्य;

सभी आवृत्तियों का योग है;

माध्यिका अंतराल से पहले संचित आवृत्तियों का योग है;

माध्यिका अंतराल की आवृत्ति है।

तालिका के अनुसार माध्यिका की गणना करें। 5.8.

पहली संचित आवृत्ति, जो जनसंख्या 30 के आधे के बराबर है, का अर्थ है कि माध्यिका 500-700 की सीमा में है।

इसका मतलब है कि आधे उद्यम 676 मिलियन रूबल तक का लाभ कमाते हैं, और अन्य आधे से अधिक 676 मिलियन रूबल।

जब जनसंख्या विषम होती है तो माध्य के स्थान पर माध्यिका का प्रयोग अक्सर किया जाता है क्योंकि यह विशेषता के चरम मूल्यों से प्रभावित नहीं है। माध्यिका का व्यावहारिक अनुप्रयोग भी इसकी न्यूनतम संपत्ति से संबंधित है। माध्यिका से व्यक्तिगत मानों के विचलन का निरपेक्ष योग सबसे छोटा मान है। इसलिए, विभिन्न संगठनों और व्यक्तियों द्वारा उपयोग की जाने वाली वस्तुओं के स्थान को डिजाइन करते समय माध्यिका का उपयोग गणनाओं में किया जाता है।

एम सीएफ - क्षणों की विधि का उपयोग करके गणना की जाती है = 61.6 किलो

समांतर माध्य के तीन गुण होते हैं।

1. मध्य एक भिन्नता श्रृंखला में मध्य स्थान रखता है . कड़ाई से सममित पंक्ति में: एम \u003d एम 0 \u003d एम ई।

2. औसत एक सामान्यीकरण मूल्य और यादृच्छिक उतार-चढ़ाव है, औसत के पीछे व्यक्तिगत डेटा में अंतर दिखाई नहीं दे रहा है, यह बताता है कि विशिष्ट जो पूरी आबादी की विशेषता है . औसत का उपयोग तब किया जाता है जब व्यक्तिगत कारकों के यादृच्छिक प्रभाव को बाहर करना आवश्यक होता है, सामान्य विशेषताओं, मौजूदा पैटर्न की पहचान करने के लिए, पूरे समूह की सबसे सामान्य और विशिष्ट विशेषताओं का पूर्ण और गहरा विचार प्राप्त करने के लिए।

3. माध्य से सभी विकल्पों के विचलन का योग शून्य है : एस (वी-एम) = 0 . ऐसा इसलिए है क्योंकि औसत मान कुछ प्रकारों के आयामों से अधिक है और अन्य प्रकारों के आयामों से छोटा है।

दूसरे शब्दों में, वास्तविक माध्य से भिन्न का सही विचलन (डी=वी-एम)सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है, इसलिए योग एस सभी "+"d और "-"d शून्य के बराबर हैं।

औसत की इस संपत्ति का उपयोग गणनाओं की शुद्धता की जांच करते समय किया जाता है एम।यदि माध्य से भिन्न के विचलन का योग शून्य है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि माध्य की गणना सही ढंग से की गई है। यह गुण आघूर्णों के निर्धारण की विधि पर आधारित है एम।आखिरकार, यदि सशर्त औसत लेकिनसत्य के बराबर होगा एम,तो सशर्त माध्य से भिन्न के विचलन का योग शून्य के बराबर होगा।

जीव विज्ञान में औसत की भूमिका अत्यंत महान है। एक ओर, उनका उपयोग घटनाओं को समग्र रूप से चित्रित करने के लिए किया जाता है, दूसरी ओर, वे व्यक्तिगत मात्राओं का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक होते हैं। औसत के साथ व्यक्तिगत मूल्यों की तुलना करते समय, उनमें से प्रत्येक के लिए मूल्यवान विशेषताएं प्राप्त की जाती हैं। औसत के उपयोग के लिए जनसंख्या एकरूपता के सिद्धांत के सख्त पालन की आवश्यकता होती है। इस सिद्धांत का उल्लंघन वास्तविक प्रक्रियाओं के विचार को विकृत करता है।

सामाजिक-आर्थिक रूप से विषम जनसंख्या से औसत की गणना उन्हें काल्पनिक, विकृत बनाती है। इसलिए, औसत का सही ढंग से उपयोग करने के लिए, किसी को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि वे सजातीय सांख्यिकीय आबादी की विशेषता रखते हैं।

साइन बी की विविधता के लक्षण

सांख्यिकीय जनसंख्या

इस या उस विशेषता का मूल्य जनसंख्या के सभी सदस्यों के लिए समान नहीं है, इसके सापेक्ष समरूपता के बावजूद। उदाहरण के लिए, उम्र, लिंग और निवास स्थान में सजातीय बच्चों के समूह में, प्रत्येक बच्चे की ऊंचाई उनके साथियों की ऊंचाई से भिन्न होती है। पॉलीक्लिनिक में व्यक्तियों द्वारा की गई यात्राओं की संख्या के बारे में भी यही कहा जा सकता है, गठिया वाले प्रत्येक रोगी में रक्त प्रोटीन के स्तर के बारे में, उच्च रक्तचाप वाले व्यक्तियों में रक्तचाप के स्तर के बारे में आदि। यह विविधता, उतार-चढ़ाव को दर्शाता है। अध्ययन की गई आबादी में साइन इन करें। किशोरों के समूहों में वृद्धि के उदाहरण द्वारा परिवर्तनशीलता का स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

सांख्यिकी हमें इसे विशेष मानदंडों के साथ चिह्नित करने की अनुमति देती है जो किसी विशेष समूह में प्रत्येक विशेषता की विविधता के स्तर को निर्धारित करते हैं। इन मानदंडों में शामिल हैं: सीमा (लिम), श्रृंखला आयाम (पूर्वाह्न),मानक विचलन (एस) और भिन्नता का गुणांक (सी वी)।चूंकि इनमें से प्रत्येक मानदंड का अपना स्वतंत्र मूल्य है, इसलिए उन पर अलग से ध्यान देना आवश्यक है।

सीमा- विविधता श्रृंखला में संस्करण के चरम मूल्यों द्वारा निर्धारित

आयाम (पूर्वाह्न) - चरम का अंतर

सीमा और आयाम - प्रत्येक समूह में वृद्धि में विविधता की डिग्री के बारे में कुछ जानकारी दें। हालांकि, श्रृंखला की सीमा और आयाम दोनों में एक महत्वपूर्ण कमी है।वे केवल चरम रूपों की विविधता को ध्यान में रखते हैं और इसकी आंतरिक संरचना को ध्यान में रखते हुए, कुल में एक विशेषता की विविधता के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति नहीं देते हैं। तथ्य यह है कि विविधता चरम रूपों में इतनी अधिक प्रकट नहीं होती है जितनी कि समूह की संपूर्ण आंतरिक संरचना के विश्लेषण में होती है। इसलिए, इन मानदंडों का उपयोग विविधता के अनुमानित लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है, खासकर टिप्पणियों की एक छोटी संख्या के साथ (एन .)<30).

समुच्चय में किसी विशेषता की विविधता का सबसे पूर्ण विवरण तथाकथित . द्वारा दिया गया है मानक विचलन, ग्रीक अक्षर "सिग्मा" द्वारा निरूपित -एस।

मानक विचलन की गणना करने के दो तरीके हैं: अंकगणित माध्य और क्षणों की विधि.

गणना की अंकगणितीय माध्य विधि के साथ, एक सूत्र का उपयोग किया जाता है जहाँ डी-सही माध्य से भिन्न का सही विचलन (वी-एम)।

सूत्र का प्रयोग कम संख्या में प्रेक्षणों (n .) के साथ किया जाता है<30), когда в вариационном ряду все частоты पी = 1.

पर आर> 1 इस तरह एक सूत्र का प्रयोग करें:

कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की उपस्थिति में, इस सूत्र का उपयोग बड़ी संख्या में प्रेक्षणों के लिए भी किया जाता है।

यह सूत्र क्षणों की विधि द्वारा "सिग्मा" निर्धारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है:

कहाँ पे:एक-सशर्त औसत से सशर्त विचलन ( वी-ए); पी-वेरिएंट के लिए घटना की आवृत्ति; एन-संख्या विकल्प; मैं-समूहों के बीच अंतराल का आकार।

इस पद्धति का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां कोई कंप्यूटर तकनीक नहीं है, और बड़ी संख्या में टिप्पणियों के कारण और बहु-मूल्यवान संख्याओं में व्यक्त संस्करण के कारण भिन्नता श्रृंखला बोझिल है। दूसरी डिग्री के क्षण में 30 या उससे कम के बराबर अवलोकनों की संख्या के साथ पीके लिए बदलें (पी-1).

जैसा कि मानक विचलन (4) के सूत्र से देखा जा सकता है, हर है ( पी-1), यानी। जब अवलोकनों की संख्या 30 (n £ 30) के बराबर या उससे कम हो, तो सूत्र के हर को लेना आवश्यक है ( पी-एक)। यदि, अंकगणित माध्य का निर्धारण करते समय एमश्रृंखला के सभी तत्वों को ध्यान में रखते हुए, गणना एक,सभी मामलों को नहीं, बल्कि एक को कम लेना आवश्यक है (एन -1)।

बड़ी संख्या में प्रेक्षणों (n>30) के साथ, सूत्र का हर है पी,इसलिए एक इकाई के रूप में गणना के परिणामों को नहीं बदलता है और इसलिए स्वचालित रूप से छोड़ दिया जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मानक विचलन एक नामित मान है, इसलिए, इसमें वैरिएंट और अंकगणितीय माध्य (आयाम - किग्रा, किमी देखें, आदि) के लिए एक समान पदनाम होना चाहिए।

क्षणों की विधि द्वारा मानक विचलन की गणना औसत मूल्य की गणना के बाद की जाती है।

एक और मानदंड है जो समुच्चय में विशेषता मूल्यों की विविधता के स्तर की विशेषता है, - गुणांक का परिवर्तन.

भिन्नता का गुणांक (सीवी)- विविधता का एक सापेक्ष माप है, क्योंकि इसकी गणना मानक विचलन के प्रतिशत के रूप में की जाती है (ए) टूअंकगणित औसत (एम)।भिन्नता के गुणांक का सूत्र है:

किसी विशेषता की विविधता की डिग्री के अनुमानित आकलन के लिए, भिन्नता के गुणांक के निम्नलिखित ग्रेडेशन का उपयोग किया जाता है। यदि गुणांक 20% से अधिक है, तो एक मजबूत विविधता नोट की जाती है; 20-10% पर - औसत, और यदि गुणांक 10% से कम है, तो यह माना जाता है कि विविधता कमजोर है।

विविधता के गुणांक का उपयोग सुविधाओं की विविधता की डिग्री की तुलना करते समय किया जाता है, जिसमें सुविधाओं के आकार या उनके असमान आयामों में अंतर होता है। मान लीजिए आप नवजात शिशुओं और 5 साल के बच्चों में शरीर के वजन में विविधता की डिग्री की तुलना करना चाहते हैं। यह स्पष्ट है कि नवजात शिशुओं में हमेशा सात साल के बच्चों की तुलना में कम "सिग्मा" होगा, क्योंकि उनका व्यक्तिगत वजन कम होता है। मानक विचलन छोटा होगा जहां सुविधा का मूल्य ही छोटा है। इस मामले में, विविधता की डिग्री में अंतर निर्धारित करने के लिए, मानक विचलन पर नहीं, बल्कि विविधता के सापेक्ष माप पर ध्यान देना आवश्यक है - भिन्नता का गुणांक v।

विभिन्न आयामों के साथ कई विशेषताओं की विविधता की डिग्री का आकलन और तुलना करने के लिए भिन्नता के गुणांक का भी बहुत महत्व है। मानक विचलन से संकेतित वर्णों की विविधता की डिग्री में अंतर का न्याय करना अभी भी असंभव है। ऐसा करने के लिए, आपको भिन्नता के गुणांक - Cv का उपयोग करने की आवश्यकता है।

मानक विचलन सुविधा वितरण श्रृंखला की संरचना से संबंधित है। योजनाबद्ध रूप से, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है।

आंकड़ों के सिद्धांत ने साबित कर दिया है कि सामान्य वितरण के साथ, सभी मामलों में से 68% एम ± एस के भीतर हैं, सभी मामलों में से 95.5% एम ± 2 एस के भीतर हैं, और 99.7% आबादी वाले सभी मामलों में एम ± 3 एस के भीतर हैं। . इस प्रकार, M±3s लगभग संपूर्ण परिवर्तनशील श्रृंखला को कवर करता है।

मानक विचलन के व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए एक श्रृंखला की संरचना की नियमितता पर आंकड़ों की यह सैद्धांतिक स्थिति बहुत महत्वपूर्ण है। आप इस नियम का उपयोग स्पष्ट करने के लिए कर सकते हैं - औसत की विशिष्टता का प्रश्न। यदि सभी प्रकार के 95% एम ± 2s के भीतर हैं, तो औसत इस श्रृंखला की विशेषता है और कुल में अवलोकनों की संख्या में वृद्धि करने की आवश्यकता नहीं है।माध्य की विशिष्टता निर्धारित करने के लिए, सिग्मा विचलन की गणना करके वास्तविक वितरण की तुलना सैद्धांतिक वितरण से की जाती है।

मानक विचलन का व्यावहारिक महत्व इस तथ्य में भी निहित है कि जानना एमतथा एसव्यावहारिक उपयोग के लिए आवश्यक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाना संभव है। सिग्मा ( एस) का उपयोग सजातीय विशेषताओं की विविधता की डिग्री की तुलना करने के लिए भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, शहरी और ग्रामीण क्षेत्रों में बच्चों के विकास में उतार-चढ़ाव (परिवर्तनशीलता) की तुलना करते समय। सिग्मा को जानना ( एस), माप की विभिन्न इकाइयों (सेंटीमीटर, किलोग्राम, आदि) में व्यक्त सुविधाओं की विविधता की डिग्री की तुलना करने के लिए आवश्यक भिन्नता के गुणांक (सीवी) की गणना करना संभव है। यह आपको कुल में अधिक स्थिर (स्थायी) और कम स्थिर संकेतों की पहचान करने की अनुमति देता है।

भिन्नता के गुणांकों की तुलना करना (सीवी),सुविधाओं की समग्रता में सबसे स्थिर विशेषता क्या है, इसके बारे में निष्कर्ष निकालना संभव है। मानक विचलन (एस)इसका उपयोग एक वस्तु की व्यक्तिगत विशेषताओं का मूल्यांकन करने के लिए भी किया जाता है। मानक विचलन इंगित करता है कि कितने सिग्मा ( एस) औसत से (एम)व्यक्तिगत माप अस्वीकार कर दिए जाते हैं।

मानक विचलन ( एस)मानदंड और विकृति विज्ञान की समस्याओं के विकास में जीव विज्ञान और पारिस्थितिकी में इस्तेमाल किया जा सकता है।

अंत में, मानक विचलन सूत्र का एक महत्वपूर्ण घटक है टी एम- अंकगणितीय माध्य की माध्य त्रुटि (प्रतिनिधित्व की त्रुटि):

कहाँ पे टी एम- अंकगणित माध्य की औसत त्रुटि (प्रतिनिधित्व की त्रुटि), पी- अवलोकनों की संख्या।

प्रतिनिधित्व।नमूनाकरण और सामान्य जनसंख्या पर अनुभाग में प्रतिनिधित्व की सबसे महत्वपूर्ण सैद्धांतिक नींव पर प्रकाश डाला गया था। प्रतिनिधित्व का अर्थ है सामान्य जनसंख्या को बनाने वाली अवलोकन की इकाइयों की सभी मानी गई विशेषताओं (लिंग, आयु, पेशे, सेवा की लंबाई, आदि) के नमूने सेट में प्रतिनिधित्व। सामान्य जनसंख्या के संबंध में नमूना जनसंख्या की यह प्रतिनिधित्व विशेष चयन विधियों की सहायता से प्राप्त की जाती है, जिनका वर्णन नीचे किया गया है।

अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन प्रतिनिधित्व की सैद्धांतिक नींव पर आधारित है।

अनुसंधान परिणामों का विश्वसनीयता आकलन

सांख्यिकीय संकेतकों की विश्वसनीयता को उनके द्वारा प्रतिबिंबित वास्तविकता के अनुपालन की डिग्री के रूप में समझा जाना चाहिए। विश्वसनीय परिणाम वे होते हैं जो वस्तुनिष्ठ वास्तविकता को विकृत और सही ढंग से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं।

अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन करने का मतलब यह निर्धारित करना है कि नमूना आबादी पर प्राप्त परिणामों को पूरी आबादी में स्थानांतरित करना किस संभावना के साथ संभव है।

अधिकांश अध्ययनों में, शोधकर्ता को, एक नियम के रूप में, अध्ययन के तहत घटना के एक हिस्से से निपटना पड़ता है, और इस तरह के अध्ययन के परिणामों के आधार पर निष्कर्षों को पूरी घटना के रूप में पूरी तरह से सामान्य आबादी को स्थानांतरित करना होता है।

इस प्रकार, घटना को समग्र रूप से, उसकी नियमितताओं को, घटना के भाग द्वारा आंकने के लिए विश्वसनीयता का मूल्यांकन आवश्यक है।

अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता के आकलन में निम्नलिखित का निर्धारण शामिल है:

1) प्रतिनिधित्व त्रुटियाँ (अंकगणितीय साधनों और सापेक्ष मूल्यों की औसत त्रुटियाँ) - टी;

2) औसत (या सापेक्ष) मूल्यों की आत्मविश्वास सीमा;

3) औसत (या सापेक्ष) मूल्यों के बीच अंतर की विश्वसनीयता
(मानदंड के अनुसारटी );

4) मानदंड के अनुसार तुलनात्मक समूहों के बीच अंतर की विश्वसनीयतासी 2 .

1. माध्य (या सापेक्ष) मान (प्रतिनिधित्व त्रुटि) की औसत त्रुटि का निर्धारण - अर्थात।

प्रतिनिधि त्रुटि ( एम) अध्ययन के परिणामों की विश्वसनीयता का आकलन करने के लिए आवश्यक सबसे महत्वपूर्ण आँकड़ा है। यह त्रुटि उन मामलों में होती है जब घटना को समग्र रूप से चित्रित करना आवश्यक होता है। ये गलतियाँ अपरिहार्य हैं। वे नमूने की प्रकृति से उपजी हैं; सामान्य जनसंख्या को केवल कुछ त्रुटि के साथ नमूना जनसंख्या द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसे प्रतिनिधित्व त्रुटि द्वारा मापा जाता है।

प्रतिनिधित्व त्रुटियों को त्रुटियों के सामान्य विचार से भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए: पद्धतिगत, माप सटीकता, अंकगणित, आदि।

प्रतिनिधित्व की त्रुटि का परिमाण निर्धारित करता है कि चयनात्मक अवलोकन के दौरान प्राप्त परिणाम उन परिणामों से कितने भिन्न होते हैं जो बिना किसी अपवाद के सामान्य आबादी के सभी तत्वों का निरंतर अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

यह एकमात्र प्रकार की त्रुटि है जिसका सांख्यिकीय विधियों द्वारा लेखा-जोखा किया जाता है, जिसे तब तक समाप्त नहीं किया जा सकता जब तक कि निरंतर अध्ययन में परिवर्तन नहीं किया जाता है। प्रतिनिधित्व त्रुटियों को पर्याप्त रूप से छोटे मान तक कम किया जा सकता है, अर्थात अनुमेय त्रुटि के मान तक। यह नमूने में पर्याप्त संख्या में टिप्पणियों को शामिल करके किया जाता है। (पी)।

प्रत्येक औसत है एम(उपचार की औसत अवधि, औसत ऊंचाई, शरीर का औसत वजन, औसत रक्त प्रोटीन स्तर, आदि), साथ ही प्रत्येक सापेक्ष मूल्य - आर(मृत्यु दर, रुग्णता, आदि) उनकी औसत त्रुटि के साथ प्रस्तुत किया जाना चाहिए - टी।इस प्रकार, नमूने का अंकगणितीय माध्य (एम)एक प्रतिनिधित्व त्रुटि है, जिसे अंकगणितीय माध्य (एम एम) की औसत त्रुटि कहा जाता है और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जैसा कि इस सूत्र से देखा जा सकता है, अंकगणित माध्य की औसत त्रुटि का मान विशेषता की विविधता की डिग्री के सीधे आनुपातिक है और अवलोकनों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए, विविधता की डिग्री निर्धारित करने में इस त्रुटि के परिमाण में कमी ( एस) प्रेक्षणों की संख्या में वृद्धि करके संभव है।

यह सिद्धांत प्रतिदर्श अध्ययन के लिए पर्याप्त संख्या में प्रेक्षणों को निर्धारित करने की विधि का आधार है।

सापेक्ष मूल्य (आर),एक नमूना अध्ययन में प्राप्त की अपनी प्रतिनिधित्व त्रुटि भी होती है, जिसे सापेक्ष मूल्य की औसत त्रुटि कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है एमपी

सापेक्ष मान की औसत त्रुटि का निर्धारण करने के लिए (आर)निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

कहाँ पे आर- सापेक्ष मूल्य। यदि सूचक को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो क्यू = 100-पी,यदि आर-पीपीएम में, तो क्यू = 1000-पी,यदि आर-दशमलव में, तब क्यू = 10000-आरआदि।; पी- अवलोकनों की संख्या। जब प्रेक्षणों की संख्या 30 से कम हो, तो हर लिया जाना चाहिए ( पी - 1 ).

नमूना जनसंख्या से प्राप्त प्रत्येक अंकगणितीय माध्य या सापेक्ष मान को अपनी माध्य त्रुटि के साथ प्रस्तुत किया जाना चाहिए। इससे औसत और सापेक्ष मूल्यों की विश्वास सीमा की गणना करना संभव हो जाता है, साथ ही तुलनात्मक संकेतकों (शोध परिणामों) के बीच अंतर की विश्वसनीयता निर्धारित करना संभव हो जाता है।

1. इसका एक अमूर्त चरित्र है, क्योंकि यह एक सामान्यीकरण मूल्य है, यह मिटा देता है

यादृच्छिक उतार-चढ़ाव

2. एक पंक्ति में एक मध्य स्थान रखता है (कड़ाई से सममित पंक्ति में)

3. औसत मूल्य से सभी विकल्पों के विचलन का योग शून्य है। औसत की यह संपत्ति

औसत मूल्य की गणना की शुद्धता की जांच के लिए मूल्य का उपयोग किया जाता है।

औसत के प्रकार

1. फ़ैशन (मो) - एक प्रकार जो विविधता श्रृंखला में सबसे अधिक बार सामने आता है।

2. माध्यिका (Me) - भिन्नता श्रृंखला में मध्य में रहने वाला संस्करण

स्थिति, यानी, केंद्रीय संस्करण, भिन्नता श्रृंखला को दो में विभाजित करना

समान भाग।

एम ओ और एम ई - सशर्त औसत।

3. अंकगणित माध्य:

ए) सरल अंकगणितीय माध्य

बी) अंकगणित भारित औसत

में)। अंकगणित माध्य, आघूर्णों की विधि द्वारा परिकलित।

अंकगणित माध्य की गणना, सरल और भारित

ऐसे मामलों में जहां हमारे पास एक साधारण परिवर्तनशील श्रृंखला होती है जिसमें प्रत्येक प्रकार

1 के बराबर एक आवृत्ति (पी) से मेल खाती है, अंकगणितीय माध्य सरल ओवर

जहां एम अंकगणितीय माध्य - वी-संस्करण का योग चिह्न है, एन अवलोकनों की संख्या है

इस प्रकार, सरल अंकगणितीय माध्य संख्या से विभाजित सभी विकल्पों के योग के बराबर होता है

अवलोकन।

उदाहरण: 18 वर्ष की आयु में लड़कों के औसत शरीर के वजन का निर्धारण (किलो में)

हालांकि, अक्सर अंकगणितीय भारित औसत की गणना करना आवश्यक होता है, जो

भारित श्रृंखला से प्राप्त किया जाता है, जहां प्रत्येक विकल्प अलग-अलग बार होता है

या, जैसा कि वे कहते हैं, एक अलग वजन है।

अंकगणितीय भारित औसत की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एम =  वीपी,

n जहाँ M समांतर माध्य है योग का चिन्ह है, V भिन्न है,

पी - घटना की आवृत्ति, एन - अवलोकनों की संख्या

इस प्रकार, अंकगणितीय भारित औसत उनके द्वारा विकल्प के उत्पादों के योग के बराबर है

आवृत्ति को सभी प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित किया जाता है।

उदाहरण: 18 वर्ष की आयु में युवा पुरुषों के शरीर के औसत वजन का निर्धारण (किलोग्राम में)

			किलोग्राम।

आघूर्णों की विधि द्वारा अंकगणित माध्य की गणना

बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ या बड़े संख्यात्मक मान के साथ, विकल्प का उपयोग किया जाता है

अंकगणित माध्य की गणना करने का एक सरल तरीका क्षणों की विधि है।

एम = ए+ मैं एआर

जहां एम अंकगणितीय माध्य है; ए - सशर्त औसत; i - समूह विकल्प के बीच अंतराल;

- योग का संकेत ।; ए - सशर्त औसत से प्रत्येक विकल्प का सशर्त विचलन;

पी संस्करण की घटना की आवृत्ति है; n प्रेक्षणों की संख्या है।

क्षणों की विधि द्वारा अंकगणितीय माध्य की गणना का एक उदाहरण (शरीर का औसत वजन .)

18 साल से कम उम्र के लड़के)

			अर = - 10 किग्रा

क्षणों की विधि द्वारा औसत की गणना के चरण:

2) हम "ए" निर्धारित करते हैं - सशर्त औसत से विकल्पों का सशर्त विचलन, इसके लिए हम प्रत्येक विकल्प से सशर्त औसत घटाते हैं: ए \u003d वी - ए, (उदाहरण के लिए, ए \u003d 64 - 62 \u003d + 2, आदि)।

3) हम सशर्त विचलन "ए" को प्रत्येक विकल्प की आवृत्ति "पी" से गुणा करते हैं और उत्पाद एपी प्राप्त करते हैं;

4) योग a ज्ञात कीजिए। पी = - 10 किग्रा

5) आघूर्णों की विधि से अंकगणित माध्य की गणना करें:

एम = ए + आई  एआर\u003d 62 - 10.4 \u003d 61.6 किग्रा

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे द्वारा अध्ययन किए गए युवकों के समूह में, शरीर के औसत वजन

अंकगणित माध्य अपने आप में उस परिवर्तनशील श्रृंखला के बारे में कुछ नहीं कहता जिससे

उसकी गणना की गई। इसकी विशिष्टता (विश्वसनीयता) विचार की एकरूपता से प्रभावित होती है

सामग्री और श्रृंखला परिवर्तनशीलता।

उदाहरण: प्रेक्षणों की संख्या में समान दो परिवर्तनशील श्रंखलाएँ दी गई हैं, जिनमें

1 से 2 वर्ष की आयु के बच्चों के सिर की परिधि का माप डेटा प्रस्तुत करता है

प्रेक्षणों की समान संख्या और समान अंकगणितीय माध्य (M = 46 सेमी) होने पर, श्रृंखला

के भीतर वितरण में अंतर है। तो पहली पंक्ति के वेरिएंट सामान्य रूप से विचलन करते हैं

दूसरी पंक्ति के विकल्पों की तुलना में कम मान के साथ अंकगणितीय माध्य, जो देता है

यह मानने की संभावना है कि अंकगणितीय माध्य (46 सेमी) पहले . के लिए अधिक विशिष्ट है

दूसरे की तुलना में पंक्ति।

आँकड़ों में, विविधता श्रृंखला की विविधता को चिह्नित करने के लिए, वे उपयोग करते हैं औसत

मानक विचलन()

मानक विचलन की गणना करने के दो तरीके हैं: अंकगणितीय माध्य

पलों का रास्ता और रास्ता। गणना की अंकगणितीय माध्य विधि के साथ, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

जहाँ d प्रत्येक विकल्प का सही माध्य M से सही विचलन है। सूत्र का उपयोग तब किया जाता है जब

टिप्पणियों की एक छोटी संख्या (एन 30)

क्षणों की विधि द्वारा निर्धारित करने का सूत्र:

जहां a सशर्त औसत से विकल्पों का सशर्त विचलन है
;

दूसरी डिग्री का क्षण, और
पहली शक्ति का क्षण, चुकता।

यह सैद्धांतिक रूप से और व्यावहारिक रूप से साबित हो गया है कि अगर, बड़ी संख्या में टिप्पणियों के साथ, औसत से

अंकगणित इसमें 1 (M1) जोड़ें और घटाएं, फिर प्राप्त मूल्यों के भीतर

वेरिएशन सीरीज के सभी वेरिएंट्स में से 68.3% मिलेंगे। यदि अंकगणित माध्य से

2 (M2) जोड़ें और घटाएं, फिर 95.5% प्राप्त मूल्यों के भीतर होगा

सभी विकल्प। एम 3 में विविधता श्रृंखला के सभी प्रकार के 99.7% शामिल हैं।

इस प्रावधान के आधार पर, के लिए अंकगणितीय माध्य की विशिष्टता की जांच करना संभव है

परिवर्तनशील श्रृंखला जिससे इसकी गणना की गई थी। इसके लिए यह औसत के लिए आवश्यक है

अंकगणित जोड़ें और उसमें से ट्रिपल (M3) घटाएं। अगर सीमा के भीतर

दी गई परिवर्तनशील श्रृंखला फिट बैठती है, तो अंकगणितीय माध्य विशिष्ट होता है, अर्थात। वह है

श्रृंखला की मूल नियमितता को व्यक्त करता है और इसका उपयोग किया जा सकता है।

इस प्रावधान का व्यापक रूप से विभिन्न मानकों के विकास में उपयोग किया जाता है (कपड़े,

जूते, स्कूल के फर्नीचर, आदि)।

विविधता की डिग्रीपरिवर्तनशील श्रृंखला में विशेषता का अनुमान लगाया जा सकता है गुणक

विविधताओं(मानक विचलन का अंकगणितीय माध्य से अनुपात,

100% से गुणा)

वी = के साथ  एक्स 100

सी वी पर 10% से कम, एक कमजोर विविधता नोट की जाती है, सी वी 10-20% - औसत, और 20% से अधिक पर -

मजबूत विशेषता विविधता।