एक लघुगणक क्या है?

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और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है?.

2. घातांकीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... ठीक है, समय रखो! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

के संदर्भ में

दिए गए अन्य दो में से तीन संख्याओं में से किसी एक को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है और फिर घातांक द्वारा N पाया जाता है। यदि N दिया जाता है और फिर घात x (या घातांक) का मूल निकालकर a पाया जाता है। अब उस स्थिति पर विचार करें, जब a और N दिए जाने पर x ज्ञात करना आवश्यक हो।

मान लीजिए कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है: ।

परिभाषा। संख्या N से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या N प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है

इस प्रकार, समानता (26.1) में, घातांक N के आधार a के लघुगणक के रूप में पाया जाता है। प्रविष्टियां

एक ही अर्थ रखते हैं। समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मूल पहचान कहा जाता है; वास्तव में, यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। इस परिभाषा के अनुसार, लघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक होता है और एकता से अलग होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में लघुगणक नहीं होते हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या का एक सुपरिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता जरूरी है। ध्यान दें कि यहां शर्त आवश्यक है, अन्यथा निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।

उदाहरण 1. खोजें

फेसला। संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

आप ऐसे उदाहरणों को निम्नलिखित रूप में हल करते समय रिकॉर्ड कर सकते हैं:

उदाहरण 2. खोजें।

फेसला। हमारे पास है

उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की डिग्री के रूप में लघुगणकीय संख्या का प्रतिनिधित्व करके वांछित लघुगणक को आसानी से पाया। सामान्य स्थिति में, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस कथन से संबंधित एक प्रश्न पर ध्यान दें। 12 में हमने किसी दी गई धनात्मक संख्या की वास्तविक घात ज्ञात करने की संभावना की अवधारणा दी है। लॉगरिदम की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्य रूप से, अपरिमेय संख्याएं हो सकती हैं।

लघुगणक के कुछ गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार समान हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार समान हैं।

प्रमाण। चलो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है और कहां से

इसके विपरीत, फिर परिभाषा के अनुसार

गुण 2. किसी भी आधार से एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

प्रमाण। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहां से

क्यू.ई.डी.

विलोम कथन भी सत्य है: यदि , तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास .

लघुगणक के निम्नलिखित गुण बताने से पहले, हम यह कहने के लिए सहमत हैं कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों या तो c से बड़ी हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से छोटी है, तो हम कहते हैं कि वे c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

संपत्ति 3. यदि संख्या और आधार एकता के एक ही तरफ हैं, तो लघुगणक धनात्मक है; यदि संख्या और आधार एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।

गुण 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक धनात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक ऋणात्मक है तो a की घात एक से अधिक है। यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक ऋणात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक धनात्मक है तो अंश एक से कम है।

विचार करने के लिए चार मामले हैं:

हम उनमें से पहले के विश्लेषण के लिए खुद को सीमित रखते हैं, पाठक बाकी पर विचार करेगा।

मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो ऋणात्मक है और न ही शून्य के बराबर है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण 3. ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-से लघुगणक धनात्मक हैं और कौन-से ऋणात्मक हैं:

हल, क) क्योंकि संख्या 15 और आधार 12 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं;

बी) , चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं; साथ ही, यह आवश्यक नहीं है कि आधार लघुगणक संख्या से बड़ा हो;

सी), चूंकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;

जी) ; क्यों?

इ) ; क्यों?

निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे अनुमति देते हैं, कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानने के लिए, उनके उत्पाद के लघुगणक, भागफल, उनमें से प्रत्येक की डिग्री का पता लगाने के लिए।

गुण 4 (उत्पाद के लघुगणक के लिए नियम)। किसी दिए गए आधार में कई धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक एक ही आधार में इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

प्रमाण। सकारात्मक अंक दिए जाने दें।

उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम लघुगणक को परिभाषित करते हुए समानता (26.1) लिखते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं

प्रथम और अंतिम व्यंजकों के घातांकों की तुलना करने पर हमें अपेक्षित समानता प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक समझ में आता है, लेकिन इस मामले में हमें मिलता है

सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक होता है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के मॉड्यूल के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

गुण 5 (भागफल लघुगणक नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक समान आधार में लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। प्रमाण। लगातार खोजें

क्यू.ई.डी.

संपत्ति 6 ​​(डिग्री के लघुगणक का नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक के गुणा के लघुगणक के बराबर होता है।

प्रमाण। हम संख्या के लिए फिर से मुख्य पहचान (26.1) लिखते हैं:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। एक धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होता है जो मूल के घातांक से विभाजित होता है:

हम गुण 6 को कैसे और किस प्रकार उपयोग करके प्रस्तुत करते हैं, हम इस उपफल की वैधता को सिद्ध कर सकते हैं।

उदाहरण 4. आधार का लघुगणक a:

ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);

बी) (ऐसा माना जाता है)।

हल, क) इस व्यंजक में भिन्नात्मक घातों को पारित करना सुविधाजनक है:

समानता के आधार पर (26.5)-(26.7) अब हम लिख सकते हैं:

हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर स्वयं संख्याओं की तुलना में सरल संचालन किया जाता है: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित होने पर उन्हें घटाया जाता है, आदि।

इसीलिए अभिकलनात्मक अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया गया है (देखें भाग 29)।

लघुगणक के विपरीत क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा यह संख्या स्वयं किसी संख्या के दिए गए लघुगणक द्वारा पाई जाती है। संक्षेप में, पोटेंशिएशन कोई विशेष क्रिया नहीं है: यह आधार को एक शक्ति (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए नीचे आता है। शब्द "पोटेंशिएशन" को "एक्सपोनेंटिएशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।

पोटेंशियेटिंग करते समय, उन नियमों का उपयोग करना आवश्यक है जो लघुगणक के नियमों के विपरीत हैं: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, भागफल के लघुगणक के साथ लघुगणक का अंतर, आदि। विशेष रूप से, यदि वहाँ है लॉगरिदम के संकेत के सामने कोई भी कारक, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के संकेत के तहत संकेतक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5. यदि ज्ञात हो कि N ज्ञात कीजिए

फेसला। पोटेंशिएशन नियम के संबंध में अभी कहा गया है, कारक 2/3 और 1/3, जो इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने हैं, इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक को स्थानांतरित कर दिए जाएंगे; हम पाते हैं

अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलते हैं:

समानता की इस श्रृंखला में अंतिम अंश प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले अंश को हर में अपरिमेयता से मुक्त किया (धारा 25)।

संपत्ति 7. यदि आधार एक से बड़ा है, तो बड़ी संख्या में एक बड़ा लघुगणक होता है (और छोटे वाले का एक छोटा होता है), यदि आधार एक से कम होता है, तो बड़ी संख्या में एक छोटा लघुगणक होता है (और छोटा होता है) एक के पास एक बड़ा है)।

यह गुण असमानताओं के लघुगणक के लिए एक नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों भाग धनात्मक हैं:

असमानताओं के लघुगणक को एक से अधिक आधार पर ले जाने पर, असमानता का चिन्ह संरक्षित रहता है, और जब एक लघुगणक को एक से कम के आधार पर ले जाया जाता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है (आइटम 80 भी देखें)।

सबूत गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस स्थिति पर विचार करें जब यदि, तो और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहां से

केस ए इस प्रकार है, पाठक इसे अपने लिए समझ लेगा।

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग ए आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स+ लॉग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
2. लॉग ए एक्स-log ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

लघुगणक को लॉग करने दें ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है ए? यह सही है: यह वही संख्या है ए. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

लघुगणक की परिभाषा

संख्या b से आधार a तक का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको b प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है।

संख्या ईगणित में, यह उस सीमा को निरूपित करने के लिए प्रथागत है जिस तक व्यंजक का झुकाव होता है

संख्या ईएक अपरिमेय संख्या- एक के साथ अतुलनीय संख्या, इसे पूर्ण रूप से या भिन्न के रूप में बिल्कुल व्यक्त नहीं किया जा सकता है विवेकीसंख्या।

पत्र इ- एक लैटिन शब्द का पहला अक्षर एक्सोनरे- फ्लॉन्ट करना, इसलिए गणित में नाम घातीय- घातांक प्रकार्य।

संख्या इगणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और सभी विज्ञानों में, एक तरह से या किसी अन्य गणितीय गणनाओं का उपयोग उनकी आवश्यकताओं के लिए किया जाता है।

लघुगणक। लघुगणक के गुण

परिभाषा: एक धनात्मक संख्या b का आधार लघुगणक वह घातांक c है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।

मूल लघुगणकीय पहचान:

7) नए आधार पर संक्रमण का सूत्र:

lna = लॉग ई ए, ई 2.718…

"लघुगणक" विषय पर कार्य और परीक्षण। लघुगणक के गुण »

• लघुगणक - गणित में परीक्षा दोहराने के लिए महत्वपूर्ण विषय

इस विषय पर कार्यों को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लघुगणक की परिभाषा, लघुगणक के गुण, मूल लघुगणकीय पहचान, दशमलव की परिभाषा और प्राकृतिक लघुगणक का ज्ञान होना चाहिए। इस विषय पर मुख्य प्रकार के कार्य लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों की गणना और रूपांतरण के लिए कार्य हैं। आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर उनके समाधान पर विचार करें।

फेसला:लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

फेसला:डिग्री के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

1) (2 2) लघुगणक 2 5 =(2 लघुगणक 25) 2 =5 2 =25

लघुगणक, सूत्र और प्रमाण के गुण।

लघुगणक में कई विशिष्ट गुण होते हैं। इस लेख में, हम मुख्य का विश्लेषण करेंगे लघुगणक के गुण. यहां हम उनके सूत्र देते हैं, लघुगणक के गुणों को सूत्रों के रूप में लिखते हैं, उनके अनुप्रयोग के उदाहरण दिखाते हैं, और लघुगणक के गुणों का प्रमाण भी देते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

लघुगणक, सूत्रों के मूल गुण

याद रखने और उपयोग करने में आसानी के लिए, हम प्रस्तुत करते हैं लघुगणक के मूल गुणसूत्रों की सूची के रूप में। अगले भाग में हम उनके सूत्र, प्रमाण, उपयोग के उदाहरण और आवश्यक स्पष्टीकरण देंगे।

यूनिट लॉग प्रॉपर्टी: किसी भी a>0 , a≠1 के लिए 1=0 लॉग करें।

आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक: a>0 , a≠1 के लिए a a=1 लॉग करें।

आधार अंश लघुगणक गुण: log a a p =p , जहाँ a>0 , a≠1 और p कोई वास्तविक संख्या है।

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
और n धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के लघुगणक का गुण: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 ।

निजी लघुगणक संपत्ति: , जहां a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ।

किसी संख्या की घात का लघुगणक: log a b p =p log a |b| , जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

परिणाम: , जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, b>0 ।

परिणाम 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 ।

परिणाम 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p और q वास्तविक संख्याएं हैं, q≠0 , विशेष रूप से, b=a के लिए हमारे पास है .

संपत्तियों के विवरण और प्रमाण

हम लघुगणक के रिकॉर्ड किए गए गुणों के निर्माण और प्रमाण को पास करते हैं। लघुगणक के सभी गुण लघुगणक की परिभाषा और उससे आने वाली मूल लघुगणकीय पहचान के साथ-साथ डिग्री के गुणों के आधार पर सिद्ध होते हैं।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी के लिए a>0 , a≠1 । प्रमाण सीधा है: चूंकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए मानी गई संपत्ति के आवेदन के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , lg1=0 तथा ।

आइए अगली संपत्ति पर चलते हैं: आधार के बराबर किसी संख्या का लघुगणक एक के बराबर होता है, अर्थात, लॉग ए = 1 a>0 , a≠1 के लिए। वास्तव में, चूंकि a 1 =a किसी भी a के लिए है, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार a a=1 लॉग करें।

लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 ।

लघुगणक के आधार के बराबर किसी संख्या की घात का लघुगणक घातांक के बराबर होता है. लघुगणक की यह संपत्ति फॉर्म के सूत्र से मेल खाती है लॉग एपी = पी, जहां a>0 , a≠1 और p कोई वास्तविक संख्या है। यह गुण लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है। ध्यान दें कि यह आपको लॉगरिदम के मूल्य को तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है, यदि आधार की डिग्री के रूप में लॉगरिदम के संकेत के तहत संख्या का प्रतिनिधित्व करना संभव है, तो हम लेख में लॉगरिदम की गणना में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।

उदाहरण के लिए, लघुगणक 2 2 7 =7 , लघुगणक 10 -4 = -4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर हैं: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 । आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण a log a x + log a y =a log a x a log a y , और चूंकि मुख्य लघुगणकीय पहचान द्वारा a log a x =x और a log a y =y , तो a log a x a log a y =x y । इस प्रकार, a log a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा के अनुसार होती है।

आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3)=लॉग 5 2+लॉग 5 3 और .

गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1, x 2, …, x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग a (x 1 x 2 ... x n)= लॉग a x 1 +लॉग a x 2 +...+लॉग a x n. इस समानता को गणितीय आगमन विधि द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, ई, और के तीन प्राकृतिक लघुगणकों के योग से बदला जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर हैं। भागफल लघुगणक की संपत्ति फॉर्म के सूत्र से मेल खाती है , जहाँ a>0 , a≠1 , x और y कुछ धनात्मक संख्याएँ हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. एक डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। हम डिग्री के लघुगणक के इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी = पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

हम पहले इस गुण को धनात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को a log a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी व्यंजक, power गुण के कारण, a p log a b के बराबर होता है। इसलिए हम समानता b p =a p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b ।

यह इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना शेष है। यहाँ हम ध्यान दें कि व्यंजक लॉग a b p ऋणात्मक b के लिए केवल सम घातांक p के लिए अर्थ रखता है (क्योंकि घात b p का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई अर्थ नहीं होगा), और इस स्थिति में b p =|b| पी । तब b p=|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , कहाँ से लॉग a b p =p log a |b| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ।

यह पिछली संपत्ति से इस प्रकार है जड़ से लघुगणक की संपत्ति: nth डिग्री के मूल का लघुगणक भिन्न 1/n के गुणनफल और मूल व्यंजक के लघुगणक के बराबर होता है, अर्थात, जहां a>0, a≠1, n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, बी> 0।

सबूत एक समानता पर आधारित है (एक भिन्नात्मक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा देखें), जो किसी भी सकारात्मक b के लिए मान्य है, और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

चलिए अब साबित करते हैं लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रतरह . ऐसा करने के लिए, यह समानता लॉग c b=log a b log c a की वैधता को साबित करने के लिए पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को लॉग a b के रूप में निरूपित करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b के रूप में। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: log c a log a b = log a b log c a । इस प्रकार, समानता लॉग c b=log a b log c a सिद्ध होता है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध होता है .

आइए लघुगणक के इस गुण को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाते हैं: और .

एक नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर स्विच करने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक के मूल्य को खोजने की अनुमति देता है, जब अन्य आधारों के साथ कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

प्रपत्र के c=b के लिए लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण सूत्र का एक विशेष मामला अक्सर उपयोग किया जाता है। इससे पता चलता है कि log a b और log b a परस्पर प्रतिलोम संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, .

सूत्र का भी अक्सर उपयोग किया जाता है, जो लघुगणक मान ज्ञात करते समय सुविधाजनक होता है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि फॉर्म के लॉगरिदम के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। हमारे पास है . सूत्र को सिद्ध करने के लिए, लघुगणक के नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को साबित करने के लिए बनी हुई है।

आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 2 और 0 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों से, इन असमानताओं को फिर से लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निम्नानुसार है कि लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 लॉग बी ए 2, क्रमशः। फिर, समान आधारों वाली घातों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, अर्थात a 1 a 2 । इस प्रकार, हम शर्त a 1 2 के अंतर्विरोध पर पहुंच गए हैं। यह सबूत पूरा करता है।

लघुगणक के मूल गुण

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लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: a x लॉग करें और a y लॉग करें। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र लघुगणक व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 6 4 + लघुगणक 6 9।

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

• लॉग a x n = n लॉग a x ;
• 
• 

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ओडीजेड लॉगरिदम मनाया जाता है: ए> 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें, यानी। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

मान लीजिए कि लघुगणक लघुगणक a x दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c जैसे कि c > 0 और c ≠ 1 के लिए, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, यदि हम c = x डालते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

1. n = लॉग a a n

2. पहले मामले में, संख्या n तर्क में घातांक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

   दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

   वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b संख्या a दे दे? यह सही है: यह वही संख्या a है। इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

   नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

   [आंकड़ा अनुशीर्षक]

   ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस आधार का वर्ग और लॉगरिदम का तर्क लें। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

   [आंकड़ा अनुशीर्षक]

   अगर किसी को पता नहीं है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा से एक वास्तविक कार्य था

   लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

   अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

   1. log a = 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक उस आधार से ही एक के बराबर होता है।
   2. log a 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार a कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क एक है - लघुगणक शून्य है! क्योंकि 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

   वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें - और समस्याओं का समाधान करें।

   लघुगणक। लघुगणक के गुण (जोड़ और घटाव)।

   लघुगणक के गुणइसकी परिभाषा से अनुसरण करें। और इसलिए संख्या का लघुगणक बीवजह से एघातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

   इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना एक्स = एक बी लॉग इन करें, समीकरण को हल करने के बराबर है कुल्हाड़ी = ख।उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की घात के विषय से निकटता से संबंधित है।

   लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या के साथ, आप प्रदर्शन कर सकते हैं जोड़, घटाव संचालनऔर हर संभव तरीके से रूपांतरित करें। लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहां लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

   लघुगणक का जोड़ और घटाव।

   समान आधार वाले दो लघुगणक लें: लॉग एक्सऔर आप लॉग इन करें. फिर इसे हटा दें जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

   जैसा कि हम देखते हैं, लघुगणक का योगउत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर लघुगणक- भागफल का लघुगणक। और यह सच है अगर संख्या ए, एक्सऔर परसकारात्मक और एक 1.

   यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इन सूत्रों में मुख्य पहलू समान आधार हैं। यदि आधार एक दूसरे से भिन्न हैं, तो ये नियम लागू नहीं होते हैं!

   समान आधार वाले लघुगणक को जोड़ने और घटाने के नियमों को न केवल बाएं से दाएं पढ़ा जाता है, बल्कि इसके विपरीत भी पढ़ा जाता है। नतीजतन, हमारे पास उत्पाद के लघुगणक और भागफल के लघुगणक के लिए प्रमेय हैं।

   उत्पाद का लघुगणकदो धनात्मक संख्याएँ उनके लघुगणक के योग के बराबर होती हैं ; इस प्रमेय की व्याख्या करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होते हैं, यदि संख्याएँ ए, एक्सऔर परसकारात्मक और एक 1, तब:

   भागफल का लघुगणकदो धनात्मक संख्याओं का योग लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि संख्या ए, एक्सऔर परसकारात्मक और एक 1, तब:

   हम उपरोक्त प्रमेयों को हल करने के लिए लागू करते हैं उदाहरण:

   अगर संख्या एक्सऔर परनकारात्मक हैं, तो उत्पाद लघुगणक सूत्रअर्थहीन हो जाता है। इसलिए, यह लिखना मना है:

   चूंकि व्यंजक लॉग 2 (-8) और लॉग 2 (-4) बिल्कुल भी परिभाषित नहीं हैं (लघुगणक कार्य पर= लॉग 2 एक्सकेवल तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित एक्स).

   उत्पाद प्रमेयन केवल दो के लिए, बल्कि असीमित संख्या में कारकों के लिए भी लागू होता है। इसका मतलब है कि हर प्राकृतिक के लिए कऔर कोई सकारात्मक संख्या एक्स 1 , एक्स 2 , . . . ,एक्स एनएक पहचान है:

   से भागफल लघुगणक प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सर्वविदित है कि लॉग ए 1= 0, इसलिए,

   तो एक समानता है:

   दो परस्पर पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही आधार पर केवल चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

   लघुगणक। लघुगणक के गुण

   लघुगणक। लघुगणक के गुण

   समानता पर विचार करें। आइए मूल्यों को जानते हैं और हम इसका मूल्य खोजना चाहते हैं।

   यही है, हम एक ऐसे घातांक की तलाश कर रहे हैं, जिसे प्राप्त करने के लिए आपको मुर्गा बनाना होगा।

   रहने दो चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, फिर चर पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं: o” title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0″/ >

   यदि हम और के मूल्यों को जानते हैं, और हमें अज्ञात को खोजने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो इस उद्देश्य के लिए एक गणितीय ऑपरेशन पेश किया जाता है, जिसे कहा जाता है लोगारित्म.

   हम जो मूल्य लेते हैं उसे खोजने के लिए किसी संख्या का लघुगणकपर नींव :

   किसी संख्या का आधार से लघुगणक वह घातांक है जिसे प्राप्त करने के लिए आपको ऊपर उठाना होगा।

   अर्थात बुनियादी लघुगणकीय पहचान:

   ओ" शीर्षक = "ए> ओ" />, 1 शीर्षक = "ए 1" />, 0 शीर्षक = "बी> 0″ />

   अनिवार्य रूप से एक गणितीय संकेतन है लघुगणक परिभाषाएँ.

   गणितीय ऑपरेशन लॉगरिदम घातांक का विलोम है, इसलिए लघुगणक के गुणडिग्री के गुणों से निकटता से संबंधित हैं।

   हम मुख्य सूचीबद्ध करते हैं लघुगणक के गुण:

   (ओ" शीर्षक = "ए> ओ" />, 1 शीर्षक = "ए 1" />, 0 शीर्षक = "बी> 0″ />, 0,

   d>0″/>, 1″ शीर्षक="d1″/>

   4.

   5.

   गुणों का निम्नलिखित समूह आपको लघुगणक के संकेत के तहत अभिव्यक्ति के घातांक का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है, या लघुगणक के आधार पर लघुगणक के संकेत से पहले गुणांक के रूप में खड़ा होता है:

   6.

   7.

   8.

   9.

   सूत्रों का अगला समूह आपको दिए गए आधार वाले लघुगणक से मनमाने आधार वाले लघुगणक में जाने की अनुमति देता है, और इसे कहा जाता है एक नए आधार के लिए संक्रमण सूत्र:

   10.

   12. (संपत्ति 11 से परिणाम)

   

   निम्नलिखित तीन गुण अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, लेकिन उनका उपयोग अक्सर लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय या लॉगरिदम वाले अभिव्यक्तियों को सरल करते समय किया जाता है:

   13.

   14.

   15.

   विशेष स्थितियां:

   — दशमलव लघुगणक

   — प्राकृतिक

   लघुगणक युक्त अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय, एक सामान्य दृष्टिकोण लागू किया जाता है:

   1. हम दशमलव भिन्नों को साधारण अंशों के रूप में निरूपित करते हैं।

   2. हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करते हैं।

   3. लघुगणक के आधार पर और लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में विघटित हो जाती हैं।

   4. हम सभी लघुगणक को एक ही आधार पर लाने का प्रयास करते हैं।

   5. लघुगणक के गुणों को लागू करें।

   आइए लघुगणक वाले व्यंजकों को सरल बनाने के उदाहरण देखें।

   उदाहरण 1

   गणना करें:

   आइए सभी घातांक को सरल करें: हमारा कार्य उन्हें लघुगणक में लाना है, जिसका आधार घातांक के आधार के समान संख्या है।

   ==(संपत्ति से 7)=(संपत्ति 6 ​​द्वारा) =

   मूल व्यंजक में हमें जो संकेतक प्राप्त हुए हैं, उन्हें प्रतिस्थापित कीजिए। हम पाते हैं:

   उत्तर: 5.25

   उदाहरण 2 गणना करें:

   

   हम सभी लघुगणक को आधार 6 पर लाते हैं (इस मामले में, अंश के हर से लघुगणक अंश में "माइग्रेट" करेंगे):

   आइए लॉगरिदम के चिन्ह के तहत संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें:

   गुण 4 और 6 लागू करें:

   हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं

   हम पाते हैं:

   उत्तर 1

   लोगारित्म . बुनियादी लघुगणकीय पहचान।

   लघुगणक के गुण। दशमलव लघुगणक। प्राकृतिक।

   लोगारित्म आधार में धनात्मक संख्या N (बी > 0, बी 1) घातांक x कहलाता है, जिससे आपको N प्राप्त करने के लिए b को ऊपर उठाना होगा .

   यह प्रविष्टि निम्नलिखित के बराबर है: बी एक्स = एन .

   उदाहरण: लॉग 3 81 = 4 क्योंकि 3 4 = 81;

   लॉग 1/3 27 = – 3 क्योंकि (1/3) - 3 = 3 3 = 27।

   लघुगणक की उपरोक्त परिभाषा को एक पहचान के रूप में लिखा जा सकता है:

   

   लघुगणक के मूल गुण।

   2) लॉग 1 = 0 क्योंकि बी 0 = 1 .

   3) उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

   4) भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:

   5) डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है:

   इस संपत्ति का परिणाम निम्नलिखित है: लॉग रूट जड़ की शक्ति से विभाजित मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होती है:

   

   6) यदि लघुगणक का आधार एक डिग्री है, तो मान घातांक के व्युत्क्रम को तुकबंदी लॉग साइन से निकाला जा सकता है:

   

   अंतिम दो गुणों को एक में जोड़ा जा सकता है:

   

   7) संक्रमण मापांक का सूत्र (अर्थात लघुगणक के एक आधार से दूसरे आधार में संक्रमण):

   

   किसी विशेष मामले में, जब एन = एअपने पास:

   

   दशमलव लघुगणक बुलाया आधार लघुगणक 10. इसे lg से दर्शाया जाता है, अर्थात्। लॉग 10 एन= लॉग एन. संख्या 10, 100, 1000, के लघुगणक। p क्रमशः 1, 2, 3, ..., अर्थात् हैं। बहुत सारे सकारात्मक हैं

   इकाइयाँ, एक के बाद एक लघुगणक संख्या में कितने शून्य होते हैं। संख्या 0.1, 0.01, 0.001, के लघुगणक। p क्रमशः -1, -2, -3, ..., अर्थात् हैं। के रूप में कई ऋणात्मक हैं क्योंकि लघुगणक संख्या में एक से पहले शून्य हैं (शून्य पूर्णांक सहित)। शेष संख्याओं के लघुगणक में एक भिन्नात्मक भाग होता है जिसे कहा जाता है अपूर्णांश. लघुगणक का पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषता. व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, दशमलव लघुगणक सबसे सुविधाजनक हैं।

   प्राकृतिक बुलाया आधार लघुगणक इ. इसे ln से निरूपित किया जाता है, अर्थात्। लॉग इ एन= एलएन एन. संख्या इअपरिमेय है, इसका अनुमानित मान 2.718281828 है। यह वह सीमा है जिसकी ओर संख्या (1 + 1 / एन) एनअसीमित वृद्धि के साथ एन(से। मी। पहली अद्भुत सीमासंख्या अनुक्रम सीमा पृष्ठ पर)।
   यह अजीब लग सकता है, कार्यों के विश्लेषण से संबंधित विभिन्न कार्यों को करते समय प्राकृतिक लघुगणक बहुत सुविधाजनक साबित हुए। आधार लघुगणक की गणना इकिसी भी अन्य आधार की तुलना में बहुत तेज।

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे आसान समझाते हैं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) घात के बराबर है \(2\) को \(8\) प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट होता है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:		\(\log_(5)(25)=2\)		क्योंकि \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		क्योंकि \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर इसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक के संकेत के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पच्चीस का लघुगणक से पाँच के आधार तक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस हद तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा। इसलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी भी संख्या को एक इकाई बनाती है? जीरो, बिल्कुल!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? प्रथम में - प्रथम अंश में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ई) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, और इसलिए वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

फेसला :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		क्या लिंक \(4\sqrt(2)\) और \(8\)? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो से दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर, हम डिग्री गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता के लिए आगे बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी जड़ लघुगणक का मान है

जवाब : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लॉगरिदम का आविष्कार क्यों किया गया था?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\)। समानता कार्य करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\)।

अब समीकरण को हल करें: \(3^(x)=8\)। x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे सरल कहेगा: "X दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या वास्तव में कैसे लिखी जाए? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वे लघुगणक के साथ आए। उसके लिए धन्यवाद, यहाँ उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714.....\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

फेसला :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर कम नहीं किया जा सकता है। तो यहाँ आप लघुगणक के बिना नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		समीकरण को पलटें ताकि x बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमारे सामने। \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक नियमित संख्या की तरह मानें।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 . से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यहाँ हमारी जड़ है। हां, यह असामान्य लग रहा है, लेकिन उत्तर नहीं चुना गया है।

जवाब : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में कहा गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है। और सभी संभावित आधारों में से दो ऐसे होते हैं जो इतनी बार होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु संकेतन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

अर्थात, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है \(\lg(a)\) लिखा है।

अर्थात, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कुछ संख्या है।

मूल लघुगणकीय पहचान

लॉगरिदम में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "मूल लघुगणकीय पहचान" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह संपत्ति सीधे परिभाषा से आती है। आइए देखें कि यह सूत्र वास्तव में कैसा दिखाई दिया।

लघुगणक की संक्षिप्त परिभाषा को याद करें:

अगर \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह निकला \(a^(\log_(a)(c))=c\) - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के शेष गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ भावों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

फेसला :

जवाब : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है। विलोम भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता है, तो हम दोनों को किसी भी आधार के साथ लॉगरिदम के रूप में कहीं भी लिख सकते हैं (यहां तक ​​​​कि एक समीकरण में, यहां तक ​​​​कि एक अभिव्यक्ति में, यहां तक ​​​​कि असमानता में भी) - हम केवल वर्ग आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं।

ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में लिखा जा सकता है) 64) \) ... यहाँ हम घन में आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और माइनस वन के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

फेसला :

जवाब : \(1\)