कार्य 1. त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16)। खोजें: 1) भुजा AB की लंबाई; 2) एबी और बीसी पक्षों के समीकरण और उनके ढलान; 3) दो दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ रेडियन में कोण बी; 4) ऊंचाई सीडी और उसकी लंबाई का समीकरण; 5) माध्यिका AE का समीकरण और इस माध्यिका के प्रतिच्छेदन के बिंदु K के निर्देशांक ऊँचाई CD के साथ; 6) AB के समांतर बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण; 7) बिंदु M के निर्देशांक, सीधी रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित हैं।

फेसला:

1. बिंदु A(x 1,y 1) और B(x 2 ,y 2) के बीच की दूरी d सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

(1) लागू करने पर, हम भुजा AB की लंबाई पाते हैं:

2. बिंदु A (x 1, y 1) और B (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है

(2)

(2) में बिंदुओं A और B के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम भुजा AB का समीकरण प्राप्त करते हैं:

y के लिए अंतिम समीकरण को हल करने के बाद, हम एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में भुजा AB का समीकरण पाते हैं:

कहाँ पे

बिंदु B और C के निर्देशांक (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त करते हैं:

या

3. यह ज्ञात है कि दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शरेखा, जिसके कोणीय गुणांक क्रमशः बराबर होते हैं और सूत्र द्वारा परिकलित किए जाते हैं

(3)

वांछित कोण B, सीधी रेखाओं AB और BC से बनता है, जिसके कोणीय गुणांक पाए जाते हैं: (3) लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या खुश।

4. किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई दिशा में गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है

(4)

ऊँचाई CD भुजा AB पर लंबवत है। ऊंचाई सीडी की ढलान को खोजने के लिए, हम रेखाओं की लंबवतता की स्थिति का उपयोग करते हैं। तब से बिंदु C के निर्देशांकों को (4) में प्रतिस्थापित करने पर और ऊँचाई का पाया गया कोणीय गुणांक, हम प्राप्त करते हैं

ऊंचाई सीडी की लंबाई खोजने के लिए, हम पहले बिंदु डी के निर्देशांक निर्धारित करते हैं - रेखा एबी और सीडी के चौराहे के बिंदु। सिस्टम को एक साथ हल करना:

पाना वे। डी (8; 0)।

सूत्र (1) का उपयोग करके, हम ऊंचाई सीडी की लंबाई पाते हैं:

5. माध्यिका AE के समीकरण को खोजने के लिए, हम पहले बिंदु E के निर्देशांक निर्धारित करते हैं, जो कि भुजा BC का मध्य बिंदु है, खंड को दो बराबर भागों में विभाजित करने के लिए सूत्रों का उपयोग करते हुए:

(5)

इसलिये,

बिंदु A और E के निर्देशांक (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम माध्यिका समीकरण पाते हैं:

ऊंचाई सीडी और माध्यिका एई के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, हम संयुक्त रूप से समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

हम ढूंढे ।

6. चूँकि वांछित रेखा भुजा AB के समांतर है, तो इसका ढाल रेखा AB के ढलान के बराबर होगा। (4) में पाए गए बिंदु K के निर्देशांक और ढलान हमें प्राप्त होता है

3x + 4y - 49 = 0 (केएफ)

7. चूँकि रेखा AB रेखा CD पर लंबवत है, वांछित बिंदु M, रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित रूप से स्थित, रेखा AB पर स्थित है। इसके अलावा, बिंदु D खंड AM का मध्यबिंदु है। सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम वांछित बिंदु M के निर्देशांक पाते हैं:

अंजीर में xOy निर्देशांक प्रणाली में त्रिभुज ABC, ऊँचाई CD, माध्य AE, रेखा KF और बिंदु M बनाए गए हैं। एक।

कार्य 2. बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण लिखें, जिसकी दूरी का अनुपात किसी दिए गए बिंदु A (4; 0) और किसी दी गई सीधी रेखा x \u003d 1 से 2 के बराबर है।

फेसला:

xOy निर्देशांक प्रणाली में, हम बिंदु A(4;0) और सीधी रेखा x = 1 बनाते हैं। मान लें कि M(x;y) बिंदुओं के वांछित स्थान का एक मनमाना बिंदु है। आइए हम दी गई रेखा x = 1 पर लंबवत MB छोड़ते हैं और बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। चूंकि बिंदु B दी गई रेखा पर स्थित है, इसलिए इसका भुज 1 के बराबर है। बिंदु B की कोटि, कोटि के बराबर है। बिंदु M का। इसलिए, B(1; y) (चित्र। 2)।

समस्या की स्थिति से |एमए|:|एमवी| = 2. दूरियां |एमए| और |एमबी| हम समस्या 1 के सूत्र (1) से पाते हैं:

बाएँ और दाएँ पक्षों का वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या

परिणामी समीकरण एक अतिपरवलय है, जिसमें वास्तविक अर्ध-अक्ष a = 2 है, और काल्पनिक एक है

आइए हम अतिपरवलय के फोकस को परिभाषित करें। एक अतिपरवलय के लिए, समानता संतुष्ट होती है। इसलिए, तथा हाइपरबोला के केंद्र हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, दिया गया बिंदु A(4;0) अतिपरवलय का दायां फोकस है।

आइए हम परिणामी अतिपरवलय की विलक्षणता का निर्धारण करें:

अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख समीकरणों का रूप होता है और . इसलिए, या और अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख हैं। अतिपरवलय की रचना करने से पहले, हम उसके स्पर्शोन्मुख की रचना करते हैं।

टास्क 3. बिंदु A (4; 3) और सीधी रेखा y \u003d 1 से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के स्थान के लिए एक समीकरण लिखें। परिणामी समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करें।

फेसला:मान लीजिए M(x; y) बिन्दुओं के वांछित बिन्दुपथ के बिन्दुओं में से एक है। आइए हम बिंदु M से लम्बवत MB को दी गई रेखा y = 1 पर छोड़ते हैं (चित्र 3)। आइए बिंदु B के निर्देशांक निर्धारित करें। यह स्पष्ट है कि बिंदु B का भुज बिंदु M के भुज के बराबर है, और बिंदु B की कोटि 1 है, अर्थात B (x; 1)। समस्या की स्थिति से |एमए|=|एमवी|। इसलिए, बिंदुओं के वांछित स्थान से संबंधित किसी भी बिंदु M (x; y) के लिए, समानता सत्य है:

परिणामी समीकरण एक बिंदु पर एक शीर्ष के साथ एक परवलय को परिभाषित करता है परवलय समीकरण को उसके सरलतम रूप में कम करने के लिए, हम सेट करते हैं और y + 2 = Y तब परवलय समीकरण रूप लेता है:

1. त्रिभुज के शीर्षों को देखते हुए एबीसी.लेकिन(–9; –2), पर(3; 7), साथ में(1; –7).

1) पार्श्व लंबाई अब;

2) पार्श्व समीकरण अबऔर एसीऔर उनके ढलान;

3) कोण लेकिनरेडियंस में;

4) ऊंचाई समीकरण साथ मेंडीऔर इसकी लंबाई;

5) एक वृत्त का समीकरण, जिसके लिए ऊँचाई साथ मेंडीएक व्यास है;

6) एक त्रिभुज को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली एबीसी.

फेसला. आइए एक ड्राइंग बनाएं।

1. भुजा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

2. आइए भुजाओं के समीकरण ज्ञात करेंअब औरएसी और उनके ढलान।

आइए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें।

यह एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है। इसे y के सन्दर्भ में हल करने पर हमें प्राप्त होता है

, सीधी रेखा का ढलान बराबर है

इसी तरह, एसी पक्ष के लिए, हमारे पास है

सीधी रेखा का ढलान है

3. हमे पता करने देंइंजेक्शनलेकिन रेडियन में. यह दो सदिशों के बीच का कोण है
और
. आइए वैक्टर के निर्देशांक लिखें। सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है

4. हमे पता करने देंऊंचाई समीकरणसाथ में डी और इसकी लंबाई.
, इसलिए, उनके ढलान संबंध से संबंधित हैं
.

हम ऊंचाई समीकरण को ढलान के पदों में लिखते हैं

दूरसंचार विभाग
रेखा सीडी से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इसलिए हमारे पास है

आखिरकार
या

बिंदु C से रेखा AB तक की दूरी के रूप में ऊंचाई की लंबाई की गणना करें

5. आइए वृत्त समीकरण ज्ञात करें, जिसके लिए ऊंचाईसाथ में डी एक व्यास है।

हम बिंदु D के निर्देशांकों को दो रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन बिंदु के रूप में पाते हैं, जिनके समीकरण ज्ञात हैं।

बिंदु O के निर्देशांक खोजें - वृत्त का केंद्र। यह सीडी का मध्यबिंदु है।

वृत्त की त्रिज्या है

आइए वृत्त समीकरण लिखते हैं।

6) आइए एक त्रिभुज को परिभाषित करेंएबीसी रैखिक असमानताओं की प्रणाली।

आइए हम रेखा CB का समीकरण ज्ञात करें।

रैखिक असमानताओं की प्रणाली इस तरह दिखेगी।

2. क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके समीकरणों की इस प्रणाली को हल करें। प्राप्त समाधान की जाँच करें।

फेसला।आइए हम इस प्रणाली के निर्धारक की गणना करें:

.

आइए निर्धारकों को खोजें
और सिस्टम को हल करें:

इंतिहान:

जवाब:

3. समीकरणों के निकाय को आव्यूह के रूप में लिखिए और इसका प्रयोग करके हल कीजिए

उलटा मैट्रिक्स। प्राप्त समाधान की जाँच करें

फेसला।

सारणिक मैट्रिक्स खोजें A

मैट्रिक्स nondegenerate है और इसका उलटा है। आइए सभी बीजीय योगों को खोजें और संघ मैट्रिक्स की रचना करें।

उलटा मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

चलो गुणा करते हैं
और समाधान वेक्टर खोजें।

इंतिहान

.
जवाब:

फेसला।

एन = (2, 1). सामान्य सदिश के लंबवत एक समतल रेखा खींचिए और इसे अभिलंब की दिशा में ले जाइए,

उद्देश्य फलन अपने न्यूनतम बिंदु A पर और अधिकतम बिंदु B पर पहुंचता है। हम इन बिंदुओं के निर्देशांक को उन रेखाओं के समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करके पाते हैं, जिनके चौराहे पर वे स्थित हैं।

5. ट्रैवल कंपनी को इससे अधिक की आवश्यकता नहीं है एतीन टन बसें और नहीं में

पांच टन बसें। पहले ब्रांड की बसों का विक्रय मूल्य 20,000 USD, दूसरे ब्रांड की है

40000 घन मीटर एक ट्रैवल कंपनी अधिक से अधिक आवंटित नहीं कर सकती है साथसीयू

प्रत्येक ब्रांड की कितनी बसें अलग से खरीदी जानी चाहिए ताकि उनका कुल

(कुल) वहन क्षमता अधिकतम थी। समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें।

ए= 20 में= 18 साथ= 1000000

फेसला. समस्या का गणितीय मॉडल तैयार करें . द्वारा निरूपित करें
- खरीदी जाने वाली प्रत्येक टन भार की बसों की संख्या। क्रय लक्ष्य लक्ष्य फ़ंक्शन द्वारा वर्णित खरीदी गई मशीनों की अधिकतम भार क्षमता प्राप्त करना है

समस्या की सीमाएं खरीदी गई बसों की संख्या और उनकी लागत के कारण हैं।

आइए समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें। . हम समस्या के व्यावहारिक समाधान और सामान्य से स्तर की रेखाओं के क्षेत्र का निर्माण करते हैं एन = (3, 5). सामान्य सदिश के लंबवत एक समतल रेखा खींचिए और इसे अभिलंब की दिशा में ले जाइए।

लक्ष्य फलन बिंदु पर अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है
, लक्ष्य फ़ंक्शन मान लेता है।

फेसला. 1. फ़ंक्शन का दायरा संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है।

2, फलन न तो सम है और न ही विषम।

3. जब x=0, y=20

4. हम एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए कार्य की जांच करते हैं।

व्युत्पन्न के शून्य खोजें

एक समारोह के स्थिर बिंदु।

हम स्थिर बिंदुओं को x-अक्ष पर रखते हैं और अक्ष के प्रत्येक खंड पर अवकलज के चिह्नों की जांच करते हैं।

- अधिकतम बिंदु
;
-न्यूनतम बिंदु

5. हम उत्तलता और अवतलता के लिए फलन के ग्राफ की जांच करते हैं। दूसरा व्युत्पन्न लें

फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु।

पर
- समारोह उत्तल है; पर
- फलन अवतल है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ का रूप है

6. अंतराल पर फलन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए [-1; 4]

खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें
न्यूनतम बिंदु पर, फ़ंक्शन मान लेता है, इसलिए, खंड पर सबसे छोटा मान [-1; 4] फ़ंक्शन न्यूनतम बिंदु पर लेता है, और अंतराल की बाईं सीमा पर सबसे बड़ा होता है।

7. अनिश्चित समाकलन खोजें और एकीकरण परिणाम देखें

भेदभाव।

फेसला.

इंतिहान।

यहाँ त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार कोसाइन के गुणनफल को योग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

1. भुजाओं AB और BC के समीकरण और उनके ढलान।
कार्य उन बिंदुओं के निर्देशांक देता है जिनके माध्यम से ये रेखाएं गुजरती हैं, इसलिए हम दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ स्थानापन्न करें और समीकरण प्राप्त करें
रेखा AB का समीकरण $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ रेखा AB का ढलान है \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
रेखा BC का समीकरण $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ रेखा BC का ढलान है \(k_ (ईसा पूर्व) = -7\)

2. कोण B दो दशमलव स्थानों तक रेडियन में
कोण बी - एबी और बीसी लाइनों के बीच का कोण, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$इन लाइनों के ढलान गुणांक को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \लगभग 0.79$$
3. भुजा AB की लंबाई
भुजा AB की लंबाई की गणना बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में की जाती है और यह \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) के बराबर है ) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. सीडी की ऊंचाई और उसकी लंबाई का समीकरण।
हम किसी दिए गए बिंदु С(4;13) से किसी दिए गए दिशा में गुजरने वाली सीधी रेखा के सूत्र द्वारा ऊंचाई समीकरण पाएंगे - सूत्र के अनुसार सीधी रेखा एबी के लंबवत \(y-y_0=k(x-x_0 )\)। लंब रेखाओं के गुण का उपयोग करके \(k_(CD)\) की ऊंचाई का ढलान ज्ञात कीजिए \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) हमें $$k_(CD)= -\frac(1) मिलता है (k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ (x-4) => y = \frac(4)( 3)x+\frac(23)(3)$$ = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ अंश में रेखा AB का समीकरण है, हम इसे इस रूप में लाएं \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , परिणामी समीकरण और बिंदु निर्देशांक को सूत्र में बदलें $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. माध्यिका AE का समीकरण और बिंदु K के निर्देशांक, ऊँचाई CD के साथ इस माध्यिका का प्रतिच्छेदन।
हम माध्यिका समीकरण को दो दिए गए बिंदुओं A(-6;8) और E से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में देखेंगे, जहां बिंदु E बिंदु B और C के बीच का मध्य बिंदु है और इसके निर्देशांक सूत्र द्वारा पाए जाते हैं \( E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) बिंदुओं के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें \(E(\frac(6+4)(2);\frac( -1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), तो माध्य AE के लिए समीकरण $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y) है -8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$ऊंचाइयों और माध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, सिस्टम समीकरण $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)( 3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\ start( केस)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(केस)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\ start (केस) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ इंटरसेक्शन निर्देशांक \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. एक सीधी रेखा का समीकरण जो भुजा AB के समांतर बिंदु K से होकर गुजरती है।
यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके ढलान समान हैं, अर्थात। \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , बिंदु \(K(-\frac(1)(2);7)\) के निर्देशांक भी ज्ञात हैं , यानी। एक सीधी रेखा के समीकरण को खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र को किसी दिशा में लागू करते हैं \(y - y_0=k(x-x_0)\), हम डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8) $$

8. बिंदु M के निर्देशांक जो रेखा CD के सापेक्ष बिंदु A के सममित हैं।
बिंदु M, रेखा AB पर स्थित है, क्योंकि सीडी - इस तरफ ऊंचाई। सीडी और एबी का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करें $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -\ frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $ $$$\शुरू (मामले)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(मामलों) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ बिंदु निर्देशांक D(-2;5)। शर्त AD=DK के अनुसार, बिंदुओं के बीच की दूरी पाइथागोरस सूत्र \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) द्वारा ज्ञात की जाती है, जहां AD और DK कर्ण हैं। समान समकोण त्रिभुजों के, और \(Δx =x_2-x_1\) और \(Δy=y_2-y_1\) इन त्रिभुजों के पैर हैं, अर्थात। पैर ढूंढें और बिंदु M के निर्देशांक खोजें। \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), और \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), फिर निर्देशांक बिंदु M के बराबर होगा \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), और \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \ ), मिल गया कि बिंदु के निर्देशांक \( M(2;2)\)

विशिष्ट कार्य "विमान पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति" से कुछ कार्यों को हल करने का एक उदाहरण

शिखर दिए गए हैं,
,
त्रिभुज एबीसी। ढूँढ़ने के लिए:

त्रिभुज की सभी भुजाओं के समीकरण;

एक त्रिभुज को परिभाषित करने वाली रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली एबीसी;

एक शीर्ष से खींचे गए त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक के लिए समीकरण लेकिन;

त्रिभुज की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु;

त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु;

ऊँचाई की लंबाई को नीचे की ओर ले जाना अब;

इंजेक्शन लेकिन;

एक चित्र बनाओ।

माना त्रिभुज के शीर्षों में निर्देशांक हैं: लेकिन (1; 4), पर (5; 3), साथ में(3; 6)। आइए एक चित्र बनाएं:

1. त्रिभुज की सभी भुजाओं के समीकरण लिखने के लिए, हम निर्देशांकों के साथ दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं ( एक्स 0 , आप 0 ) और ( एक्स 1 , आप 1 ):

=

इस प्रकार, के बजाय प्रतिस्थापित करना ( एक्स 0 , आप 0 ) बिंदु निर्देशांक लेकिन, और इसके बजाय ( एक्स 1 , आप 1 ) बिंदु निर्देशांक पर, हम एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं अब:

परिणामी समीकरण एक सीधी रेखा का समीकरण होगा अबसामान्य रूप में लिखा है। इसी तरह, हम एक सीधी रेखा का समीकरण पाते हैं एसी:

और एक सीधी रेखा का समीकरण भी रवि:

2. ध्यान दें कि त्रिभुज के बिंदुओं का समुच्चय एबीसीतीन अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है, और प्रत्येक अर्ध-तल को रैखिक असमानता का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। यदि हम दोनों पक्षों का समीकरण लेते हैं एबीसी, उदाहरण के लिए अब, फिर असमानताओं

और

एक सीधी रेखा के विपरीत पक्षों पर बिंदुओं को परिभाषित करें अब. हमें अर्ध-तल का चयन करने की आवश्यकता है जहाँ बिंदु C स्थित है। आइए इसके निर्देशांकों को दोनों असमानताओं में प्रतिस्थापित करें:

दूसरी असमानता सही होगी, जिसका अर्थ है कि आवश्यक बिंदु असमानता से निर्धारित होते हैं

.

हम इसी तरह सीधी रेखा BC के साथ आगे बढ़ते हैं, इसका समीकरण
. एक परीक्षण के रूप में, हम बिंदु A (1, 1) का उपयोग करते हैं:

तो वांछित असमानता है:

.

यदि हम रेखा AC (परीक्षण बिंदु B) की जाँच करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

तो वांछित असमानता फॉर्म की होगी

अंत में, हम असमानताओं की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

संकेतों "≤", "≥" का अर्थ है कि त्रिभुज के किनारों पर स्थित बिंदु भी त्रिभुज को बनाने वाले बिंदुओं के समूह में शामिल होते हैं एबीसी.

3. क) ऊपर से गिराई गई ऊंचाई का समीकरण ज्ञात करने के लिए लेकिनउधर की तरफ रवि, पक्ष समीकरण पर विचार करें रवि:
. निर्देशांक के साथ वेक्टर
पक्ष के लंबवत रविऔर, इसलिए, ऊंचाई के समानांतर। हम एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखते हैं लेकिनवेक्टर के समानांतर
:

यह t से हटाई गई ऊंचाई का समीकरण है। लेकिनउधर की तरफ रवि.

बी) पक्ष के मध्य बिंदु के निर्देशांक खोजें रविसूत्रों के अनुसार:

यहां
निर्देशांक हैं। पर, ए
- निर्देशांक टी। साथ में. प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

इस बिंदु और बिंदु से गुजरने वाली रेखा लेकिनवांछित माध्यिका है:

ग) हम इस तथ्य के आधार पर द्विभाजक समीकरण की तलाश करेंगे कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में ऊंचाई, माध्यिका और द्विभाजक, एक शीर्ष से त्रिभुज के आधार तक कम होते हैं, बराबर होते हैं। आइए दो वैक्टर खोजें
और
और उनकी लंबाई:

फिर वेक्टर
वेक्टर के समान दिशा है
, और इसकी लंबाई
इसी तरह, इकाई वेक्टर
वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है
वैक्टर का योग

एक वेक्टर है जो कोण द्विभाजक के साथ दिशा में मेल खाता है लेकिन. इस प्रकार, वांछित द्विभाजक के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

4) हम पहले ही किसी एक ऊँचाई का समीकरण बना चुके हैं। आइए एक और ऊँचाई का समीकरण बनाएँ, उदाहरण के लिए, ऊपर से पर. पक्ष एसीसमीकरण द्वारा दिया गया है
तो वेक्टर
सीधा एसी, और इस प्रकार वांछित ऊंचाई के समानांतर। फिर शीर्ष से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण परवेक्टर की दिशा में
(यानी लंबवत एसी), का रूप है:

यह ज्ञात है कि त्रिभुज की ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। विशेष रूप से, यह बिंदु पाई गई ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन है, अर्थात्। समीकरणों की प्रणाली का समाधान:

इस बिंदु के निर्देशांक हैं।

5. मध्य अबनिर्देशांक हैं
. आइए माध्यिका का समीकरण भुजा की ओर लिखें एबी.यह रेखा निर्देशांक (3, 2) और (3, 6) वाले बिंदुओं से होकर गुजरती है, इसलिए इसका समीकरण है:

ध्यान दें कि एक सीधी रेखा के समीकरण में भिन्न के हर में शून्य का अर्थ है कि यह सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर चलती है।

मध्यस्थों के प्रतिच्छेदन बिंदु को खोजने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए पर्याप्त है:

एक त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक होते हैं
.

6. ऊंचाई की लंबाई नीचे की तरफ एबी,बिंदु से दूरी के बराबर साथ मेंसीधे करने के लिए अबसमीकरण के साथ
और सूत्र द्वारा दिया गया है:

7. कोण की कोज्या लेकिनसदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है और , जो इन सदिशों के अदिश गुणनफल और उनकी लंबाई के गुणनफल के अनुपात के बराबर है:

.