अपेक्षित मूल्य। गणितीय अपेक्षाअसतत यादृच्छिक चर एक्स, जो मूल्यों की एक सीमित संख्या लेता है एक्समैंसंभावनाओं के साथ आरमैं, योग कहा जाता है:

गणितीय अपेक्षानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसके मूल्यों के उत्पाद का अभिन्न अंग कहा जाता है एक्ससंभाव्यता वितरण घनत्व पर एफ(एक्स):

(6बी)

अनुचित अभिन्न (6 .) बी) को पूर्ण रूप से अभिसरण माना जाता है (अन्यथा हम कहते हैं कि अपेक्षा एम(एक्स) मौजूद नहीं होना)। गणितीय अपेक्षा की विशेषता है अर्थअनियमित चर एक्स. इसका आयाम एक यादृच्छिक चर के आयाम के साथ मेल खाता है।

गणितीय अपेक्षा के गुण:

फैलाव। फैलावअनियमित चर एक्सनंबर कहा जाता है:

फैलाव है बिखरने की विशेषताएक यादृच्छिक चर के मूल्य एक्सइसके औसत मूल्य के सापेक्ष एम(एक्स) विचरण का आयाम यादृच्छिक चर वर्ग के आयाम के बराबर है। एक असतत यादृच्छिक चर के लिए विचरण (8) और गणितीय अपेक्षा (5) की परिभाषाओं के आधार पर और (6) एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, हम प्रसरण के लिए समान अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

(9)

यहां एम = एम(एक्स).

फैलाव गुण:

मानक विचलन:

(11)

चूंकि मानक विचलन का आयाम यादृच्छिक चर के समान होता है, इसलिए यह फैलाव के माप के रूप में उपयोग किए जाने वाले विचरण से अधिक होता है।

वितरण क्षण। गणितीय अपेक्षा और विचरण की अवधारणाएँ यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं के लिए अधिक सामान्य अवधारणा के विशेष मामले हैं - वितरण क्षण. एक यादृच्छिक चर के वितरण क्षणों को एक यादृच्छिक चर के कुछ सरल कार्यों की गणितीय अपेक्षाओं के रूप में पेश किया जाता है। तो, आदेश का क्षण कबिंदु के सापेक्ष एक्स 0 उम्मीद कहा जाता है एम(एक्स–एक्स 0 )क. उत्पत्ति के सापेक्ष क्षण एक्स= 0 कहा जाता है प्रारंभिक क्षणऔर चिह्नित हैं:

(12)

पहले क्रम का प्रारंभिक क्षण माना यादृच्छिक चर का वितरण केंद्र है:

(13)

वितरण केंद्र के सापेक्ष क्षण एक्स= एमबुलाया केंद्रीय क्षणऔर चिह्नित हैं:

(14)

से (7) यह इस प्रकार है कि पहले क्रम का केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य के बराबर होता है:

केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के मूल्यों की उत्पत्ति पर निर्भर नहीं करते हैं, क्योंकि एक स्थिर मूल्य द्वारा बदलाव के साथ साथ मेंइसके वितरण के केंद्र को उसी मान से स्थानांतरित कर दिया गया है साथ में, और केंद्र से विचलन नहीं बदलता है: एक्स – एम = (एक्स – साथ में) – (एम – साथ में).
अब यह स्पष्ट है कि फैलाव- यह दूसरा क्रम केंद्रीय क्षण:

विषमता। तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(17)

मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है वितरण विषमता. यदि वितरण बिंदु के बारे में सममित है एक्स= एम, तो तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य के बराबर होगा (साथ ही विषम आदेशों के सभी केंद्रीय क्षण)। इसलिए, यदि तीसरे क्रम का केंद्रीय क्षण शून्य से भिन्न है, तो वितरण सममित नहीं हो सकता है। विषमता के परिमाण का अनुमान एक आयामहीन का उपयोग करके लगाया जाता है विषमता गुणांक:

(18)

विषमता गुणांक (18) का चिह्न दाएं तरफा या बाएं तरफा विषमता (चित्र 2) को इंगित करता है।

चावल। 2. वितरण की विषमता के प्रकार।

अधिकता। चौथे क्रम का केंद्रीय क्षण:

(19)

तथाकथित का मूल्यांकन करने के लिए कार्य करता है कुकुदता, जो सामान्य वितरण वक्र के संबंध में वितरण केंद्र के पास वितरण वक्र की स्थिरता (बिंदु) की डिग्री निर्धारित करता है। चूंकि एक सामान्य वितरण के लिए, कर्टोसिस के रूप में ली गई मात्रा है:

(20)

अंजीर पर। 3 कर्टोसिस के विभिन्न मूल्यों के साथ वितरण घटता के उदाहरण दिखाता है। सामान्य वितरण के लिए इ= 0. सामान्य से अधिक शिखर वाले वक्रों में सकारात्मक कर्टोसिस होता है, और अधिक सपाट चोटियों वाले वक्रों में ऋणात्मक कुर्टोसिस होता है।

चावल। 3. वितरण वक्र विभिन्न डिग्री की स्थिरता (कुर्टोसिस) के साथ।

गणितीय आँकड़ों के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उच्च-क्रम के क्षणों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है।

पहनावा अलगयादृच्छिक चर इसका सबसे संभावित मूल्य है। पहनावा निरंतरएक यादृच्छिक चर इसका वह मान है जिस पर प्रायिकता घनत्व अधिकतम होता है (चित्र 2)। यदि वितरण वक्र में एक अधिकतम है, तो वितरण कहलाता है यूनिमॉडल. यदि वितरण वक्र में एक से अधिक अधिकतम हों, तो वितरण कहलाता है बहुविध. कभी-कभी ऐसे वितरण होते हैं जिनके वक्र अधिकतम नहीं, बल्कि न्यूनतम होते हैं। इस तरह के वितरण को कहा जाता है प्रतिरूप. सामान्य स्थिति में, यादृच्छिक चर का बहुलक और गणितीय अपेक्षा मेल नहीं खाती। किसी विशेष मामले में, के लिए मॉडल, अर्थात। एक मोड, एक सममित वितरण, और बशर्ते कि गणितीय अपेक्षा हो, बाद वाला वितरण के मोड और समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।

मंझला अनियमित चर एक्सइसका अर्थ है मैं, जिसके लिए समानता है: अर्थात। यह समान रूप से संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्सकम या ज्यादा होगा मैं. ज्यामितीय मंझलाउस बिंदु का भुज है जिस पर वितरण वक्र के नीचे का क्षेत्र आधे में विभाजित होता है (चित्र 2)। सममित मोडल वितरण के मामले में, माध्यिका, बहुलक और माध्य समान होते हैं।

गणितीय अपेक्षा और फैलाव के अलावा, संभाव्यता सिद्धांत में कई संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग किया जाता है, जो वितरण की कुछ विशेषताओं को दर्शाता है।

परिभाषा। एक यादृच्छिक चर X का बहुलक Mo(X) इसका सबसे संभावित मान है(जिसके लिए संभावना आर रया संभाव्यता घनत्व

यदि प्रायिकता या प्रायिकता घनत्व अधिकतम एक पर नहीं, बल्कि कई बिंदुओं पर पहुँचता है, तो वितरण कहलाता है बहुविध(चित्र। 3.13)।

पहनावा काई),जिस पर संभावना आर (या संभाव्यता घनत्व (p(x) एक वैश्विक अधिकतम तक पहुँच जाता है, कहलाता है सबसे संभावित मूल्ययादृच्छिक चर (चित्र 3.13 में यह मो (एक्स) 2)।

परिभाषा। एक सतत यादृच्छिक चर X की माध्यिका Me(X) इसका मान है, जिसके लिए

वे। संभावना है कि यादृच्छिक चर एक्समाध्यिका से कम मान लेता है रोयां)या इससे बड़ा, समान और 1/2 के बराबर। ज्यामितीय रूप से लंबवत रेखा एक्स = रोयां) के बराबर भुज के साथ एक बिंदु से गुजरना रोयां), वितरण वक्र की आकृति के क्षेत्र को दो समान भागों (चित्र। 3.14) में विभाजित करता है। जाहिर है, बिंदु पर एक्स = रोयां)वितरण फलन 1/2 के बराबर है, अर्थात। पी (मी (एक्स))= 1/2 (चित्र 3.15)।

यादृच्छिक चर के माध्यिका का एक महत्वपूर्ण गुण नोट करें: स्थिर मान C से यादृच्छिक चर X के विचलन के निरपेक्ष मान की गणितीय अपेक्षा न्यूनतम है तो, जब यह स्थिरांक C माध्यिका Me(X) = m . के बराबर हो, अर्थात।

(संपत्ति गणितीय अपेक्षा से एक यादृच्छिक चर के विचलन के औसत वर्ग की न्यूनतम संपत्ति (3.10") के समान है)।

ओ उदाहरण 3.15। यादृच्छिक चर का बहुलक, माध्यिका और माध्य ज्ञात कीजिए एक्स एस xx के लिए प्रायिकता घनत्व φ(x) = 3x 2।

फेसला।वितरण वक्र अंजीर में दिखाया गया है। 3.16. जाहिर है, संभावना घनत्व φ(x) अधिकतम है एक्स= मो (एक्स) = 1.

मंझला रोयां) = बी हम शर्त (3.28) से पाते हैं:

कहाँ पे

गणितीय अपेक्षा की गणना सूत्र (3.25) द्वारा की जाती है:

अंकों की पारस्परिक व्यवस्था एम (एक्स)> मैं (एक्स) और काई) एब्सिस्सा के आरोही क्रम में अंजीर में दिखाया गया है। 3.16. ?

ऊपर उल्लिखित संख्यात्मक विशेषताओं के साथ, मात्रात्मक और प्रतिशत अंक की अवधारणा का उपयोग यादृच्छिक चर का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा। स्तर मात्रावाई-क्वांटाइल )

यादृच्छिक चर का ऐसा मान x q कहलाता है , जिस पर इसका वितरण फलन के बराबर मान लेता है मरना।

कुछ मात्राओं को एक विशेष नाम मिला है। जाहिर है, उपरोक्त मंझला यादृच्छिक चर 0.5 स्तर की मात्रा है, अर्थात। मैं (एक्स) \u003d एक्स 05। मात्राओं dg 0 2 5 और x 075 को क्रमशः नामित किया गया है निचला और ऊपरी चतुर्थक K

एक मात्रा की अवधारणा से निकटता से संबंधित अवधारणा है फ़ीसदी।नीचे युओउहो-नोई डॉट निहित मात्रा एक्स एक्स (( , वे। यादृच्छिक चर का ऐसा मान एक्स, जिसके अंतर्गत

0 उदाहरण 3.16। उदाहरण के अनुसार 3.15 मात्रा ज्ञात कीजिए एक्स 03 और 30% यादृच्छिक चर बिंदु एक्स।

फेसला। सूत्र (3.23) के अनुसार, वितरण फलन

हम समीकरण (3.29) से मात्रात्मक r 0 z पाते हैं, अर्थात। एक्स$3 \u003d 0.3, जहां से L "oz -0.67। यादृच्छिक चर का 30% बिंदु ज्ञात करें एक्स, या क्वांटाइल x 0 7, समीकरण से एक्स$ 7 = 0.7, जहां से x 0 7 "0.89. ?

एक यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताओं में, क्षण - प्रारंभिक और केंद्रीय - का विशेष महत्व है।

परिभाषा। प्रारंभिक क्षणयादृच्छिक चर X का k-वें क्रम इस चर के k-वें घात की गणितीय अपेक्षा है :

परिभाषा। केन्द्रीय बिन्दुयादृच्छिक चर X का k-वें क्रम, यादृच्छिक चर X के गणितीय अपेक्षा से विचलन की k-वें डिग्री की गणितीय अपेक्षा है:

असतत यादृच्छिक चर के लिए क्षणों की गणना के लिए सूत्र (मान लेते हुए एक्स 1 प्रायिकताओं के साथ p,) और सतत (प्रायिकता घनत्व cp(x) के साथ) तालिका में दिए गए हैं। 3.1.

तालिका 3.1

यह देखना आसान है कि कब कश्मीर = 1 यादृच्छिक चर का पहला प्रारंभिक क्षण एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा है, अर्थात्। एच एक्स \u003d एम [एक्स) \u003d ए,पर को= 2 दूसरा केंद्रीय क्षण फैलाव है, अर्थात। पी 2 = टी) (एक्स)।

केंद्रीय क्षण p A को सूत्रों का उपयोग करके प्रारंभिक क्षणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

आदि।

उदाहरण के लिए, सी 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (व्युत्पन्न करते समय, हमने इसे ध्यान में रखा ए = एम (एक्स)= वी, - गैर-यादृच्छिक मान)। ?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, गणितीय अपेक्षा एम (एक्स),या पहला प्रारंभिक क्षण, औसत मान या स्थिति को दर्शाता है, एक यादृच्छिक चर के वितरण का केंद्र एक्ससंख्या रेखा पर; फैलाव ओह),या दूसरा केंद्रीय क्षण p 2 , - s ts s - वितरण प्रकीर्णन एक्सअपेक्षाकृत एम (एक्स)।उच्च-क्रम के क्षण वितरण के अधिक विस्तृत विवरण के लिए काम करते हैं।

तीसरा केंद्रीय क्षणपी 3 वितरण (तिरछापन) की विषमता को चिह्नित करने का कार्य करता है। इसमें एक यादृच्छिक चर के घन का आयाम है। एक आयाम रहित मान प्राप्त करने के लिए, इसे लगभग 3 से विभाजित किया जाता है, जहाँ a यादृच्छिक चर का मानक विचलन है एक्स।प्राप्त मूल्य लेकिनबुलाया एक यादृच्छिक चर की विषमता का गुणांक।

यदि गणितीय अपेक्षा के संबंध में वितरण सममित है, तो विषमता गुणांक A = 0 है।

अंजीर पर। 3.17 दो वितरण वक्र दिखाता है: I और II। वक्र I में एक सकारात्मक (दाहिनी ओर) विषमता (L> 0) है, और वक्र II में एक ऋणात्मक (बाएं-पक्षीय) (L) है

चौथा केंद्रीय क्षण पी 4 वितरण की स्थिरता (शीर्ष या सपाट शीर्ष-पोस्ट की चोटी) को चिह्नित करने का कार्य करता है।

पहनावा()सतत यादृच्छिक चर इसका मान है, जो इसकी संभाव्यता घनत्व के अधिकतम मान से मेल खाता है।

माध्यिका ()एक सतत यादृच्छिक चर इसका मान है, जो समानता द्वारा निर्धारित किया जाता है:

बी15. द्विपद वितरण कानून और इसकी संख्यात्मक विशेषताएं. द्विपद वितरणबार-बार स्वतंत्र अनुभवों का वर्णन करता है। यह कानून स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के समय की घटना को निर्धारित करता है, यदि इनमें से प्रत्येक प्रयोग में किसी घटना के घटित होने की संभावना अनुभव से अनुभव में नहीं बदलती है। संभावना:

,

कहा पे: प्रयोग में एक घटना के घटित होने की ज्ञात संभावना है, जो अनुभव से अनुभव में नहीं बदलती है;

घटना के प्रयोग में न आने की प्रायिकता है;

प्रयोगों में घटना के घटित होने की निर्दिष्ट संख्या है;

द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या है।

बी15. समान वितरण कानून, वितरण समारोह और घनत्व के ग्राफ, संख्यात्मक विशेषताएं. एक सतत यादृच्छिक चर माना जाता है समान रूप से वितरित, यदि इसकी संभाव्यता घनत्व का रूप है:

अपेक्षित मूल्यसमान वितरण के साथ यादृच्छिक चर:

फैलावनिम्नानुसार गणना की जा सकती है:

मानक विचलनऐसा दिखाई देगा:

.

बी17. वितरण का घातीय नियम, फ़ंक्शन के ग्राफ़ और वितरण घनत्व, संख्यात्मक विशेषताएं. घातांकी रूप से वितरणएक सतत यादृच्छिक चर एक वितरण है जिसे संभाव्यता घनत्व के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित किया गया है:

,

जहां एक निरंतर सकारात्मक मूल्य है।

इस मामले में संभाव्यता वितरण समारोह का रूप है:

एक घातीय वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा सामान्य सूत्र के आधार पर प्राप्त की जाती है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि जब:

.

इस व्यंजक को भागों द्वारा एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं: .

घातीय वितरण के लिए विचरण अभिव्यक्ति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

.

संभाव्यता घनत्व के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं:

भागों द्वारा समाकलन की गणना करने पर, हम प्राप्त करते हैं: .

बी16. सामान्य वितरण कानून, फ़ंक्शन के ग्राफ़ और वितरण घनत्व। मानक सामान्य वितरण। परिलक्षित सामान्य वितरण समारोह। सामान्यएक यादृच्छिक चर के ऐसे वितरण को कहा जाता है, जिसकी संभाव्यता घनत्व गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है:

मानक विचलन कहाँ है;

एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा है।

एक सामान्य वितरण घनत्व प्लॉट को सामान्य गाऊसी वक्र कहा जाता है।

बी18. मार्कोव की असमानता। सामान्यीकृत चेबीशेव की असमानता. यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो किसी के लिए मार्कोव की असमानता .

यह से उपजा है सामान्यीकृत चेबीशेव असमानता: मान लें कि फलन नीरस रूप से बढ़ रहा है और गैर-ऋणात्मक है। यदि एक यादृच्छिक चर के लिए एक्समौजूद है, तो किसी भी असमानता के लिए .

बी19. चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या का कानून। इसका अर्थ। चेबीशेव के रूप में बड़ी संख्या के कानून का परिणाम। बर्नौली रूप में बड़ी संख्या का नियम। नीचे बड़ी संख्या का नियमसंभाव्यता सिद्धांत में, कई प्रमेयों को समझा जाता है, जिनमें से प्रत्येक में एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए बड़ी संख्या में प्रयोगात्मक डेटा के औसत मूल्य के एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन का तथ्य स्थापित होता है। इन प्रमेयों के प्रमाण चेबीशेव की असमानता पर आधारित हैं। संभावित मूल्यों के साथ एक असतत यादृच्छिक चर पर विचार करके यह असमानता प्राप्त की जा सकती है।

प्रमेय। एक परिमित अनुक्रम होने दें स्वतंत्र यादृच्छिक चर, समान गणितीय अपेक्षा और समान स्थिरांक द्वारा सीमित भिन्नताओं के साथ:

फिर, संख्या जो भी हो, घटना की प्रायिकता

पर एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

चेबीशेव का प्रमेय संभाव्यता सिद्धांत के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जो एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के पूरे सेट की औसत विशेषताओं और गणितीय आंकड़ों पर विचार करता है, जो इस चर के मूल्यों के सीमित सेट पर संचालित होता है। यह दर्शाता है कि एक निश्चित यादृच्छिक चर के माप की पर्याप्त बड़ी संख्या के लिए, इन मापों के मूल्यों का अंकगणितीय माध्य गणितीय अपेक्षा के करीब पहुंचता है।

20 में। गणितीय आँकड़ों का विषय और कार्य। सामान्य और नमूना आबादी। चयन विधि. गणित के आँकड़े- संभाव्यता के सिद्धांत के आधार पर वैज्ञानिक और व्यावहारिक निष्कर्षों के लिए सांख्यिकीय डेटा के व्यवस्थितकरण और उपयोग के गणितीय तरीकों का विज्ञान।

गणितीय आँकड़ों के अध्ययन की वस्तुएँ यादृच्छिक घटनाएँ, मात्राएँ और कार्य हैं जो माना जाता है कि यादृच्छिक घटना की विशेषता है। निम्नलिखित घटनाएं यादृच्छिक हैं: नकद लॉटरी का एक टिकट जीतना, स्थापित आवश्यकताओं के साथ नियंत्रित उत्पाद का अनुपालन, इसके संचालन के पहले महीने के दौरान कार का परेशानी मुक्त संचालन, दैनिक कार्य अनुसूची के ठेकेदार द्वारा पूर्ति।

नमूना सेटबेतरतीब ढंग से चयनित वस्तुओं का एक संग्रह है।

सामान्य जनसंख्याउन वस्तुओं के समूह का नाम बताइए जिनसे नमूना बनाया जाता है।

21 पर। चयन के तरीके।

चयन के तरीके: 1 चयन जिसमें सामान्य आबादी को भागों में विभाजित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इनमें ए) सरल यादृच्छिक गैर-दोहराव चयन और बी) सरल यादृच्छिक पुनर्चयन शामिल हैं। 2) चयन, जिसमें सामान्य जनसंख्या को भागों में विभाजित किया जाता है। इनमें ए) टाइप सेलेक्शन, बी) मैकेनिकल सिलेक्शन और सी) सीरियल सिलेक्शन शामिल हैं।

सरल यादृच्छिकचयन कहलाता है, जिसमें सामान्य जनसंख्या से वस्तुओं को एक-एक करके निकाला जाता है।

ठेठचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं का चयन पूरी सामान्य आबादी से नहीं, बल्कि इसके प्रत्येक "विशिष्ट" भागों से किया जाता है।

यांत्रिकचयन कहा जाता है, जिसमें सामान्य जनसंख्या को यंत्रवत् रूप से उतने समूहों में विभाजित किया जाता है जितने कि नमूने में शामिल की जाने वाली वस्तुएं होती हैं, और प्रत्येक समूह से एक वस्तु का चयन किया जाता है।

धारावाहिकचयन कहा जाता है, जिसमें वस्तुओं का चयन सामान्य आबादी से एक-एक करके नहीं, बल्कि "श्रृंखला" से किया जाता है, जो निरंतर सर्वेक्षण के अधीन होते हैं।

बी22. सांख्यिकीय और परिवर्तनशील श्रृंखला। अनुभवजन्य वितरण कार्य और उसके गुण. असतत और निरंतर यादृच्छिक चर के लिए परिवर्तनशील श्रृंखला। सामान्य जनसंख्या से एक नमूना लिया जाए, और अध्ययन के तहत पैरामीटर का मूल्य एक बार देखा गया, - एक बार, आदि। हालांकि, नमूना आकार देखे गए मान कहलाते हैं विकल्प, और अनुक्रम आरोही क्रम में लिखा गया एक प्रकार है - परिवर्तनशील श्रृंखला. प्रेक्षणों की संख्या कहलाती है आवृत्तियों, और नमूना आकार के साथ उनका संबंध - सापेक्ष आवृत्तियों.विविधता श्रृंखलातालिका के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

एक्स			…..
एन			….

नमूने का सांख्यिकीय वितरणविकल्पों की सूची और उनके संबंधित सापेक्ष आवृत्तियों को बुलाओ। सांख्यिकीय वितरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

एक्स			…..
वू			….

सापेक्ष आवृत्तियाँ कहाँ हैं।

अनुभवजन्य वितरण समारोहउस फ़ंक्शन को कॉल करें जो प्रत्येक मान x के लिए घटना X की सापेक्ष आवृत्ति निर्धारित करता है

पाठ का उद्देश्य: संख्याओं के एक सेट के माध्यिका के बारे में छात्रों की समझ और सरल संख्यात्मक सेटों के लिए इसकी गणना करने की क्षमता बनाना, संख्याओं के अंकगणितीय माध्य सेट की अवधारणा को ठीक करना।

पाठ का प्रकार: नई सामग्री की व्याख्या।

उपकरण: बोर्ड, पाठ्यपुस्तक, एड। यू.एन ट्यूरिना "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", प्रोजेक्टर के साथ कंप्यूटर।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

पाठ के विषय को सूचित करें और उसके उद्देश्यों को तैयार करें।

2. पिछले ज्ञान की प्राप्ति।

छात्रों के लिए प्रश्न:

• संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य क्या है?
• अंकगणितीय माध्य संख्याओं के समूह में कहाँ स्थित होता है?
• संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य की क्या विशेषता है?
• संख्याओं के समुच्चय का अंकगणितीय माध्य प्रायः कहाँ प्रयोग किया जाता है?

मौखिक कार्य:

संख्याओं के समुच्चय का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

प्रोजेक्टर से गृहकार्य की जाँच करना ( परिशिष्ट 1):

पाठ्यपुस्तक :: संख्या 12 (बी, डी), संख्या 18 (सी, डी)

3. नई सामग्री सीखना।

पिछले पाठ में, हम संख्याओं के समुच्चय के अंकगणितीय माध्य जैसी सांख्यिकीय विशेषता से परिचित हुए। आज हम एक और सांख्यिकीय विशेषता के लिए एक पाठ समर्पित करेंगे - माध्यिका।

न केवल अंकगणितीय माध्य यह दर्शाता है कि संख्या रेखा पर किसी समुच्चय की संख्याएँ कहाँ स्थित हैं और उनका केंद्र कहाँ है। एक अन्य संकेतक माध्यिका है।

संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका वह संख्या होती है जो समुच्चय को दो बराबर भागों में विभाजित करती है। "मध्य" के बजाय कोई "मध्य" कह सकता है।

सबसे पहले, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम विश्लेषण करेंगे कि माध्यिका कैसे ज्ञात की जाए, और फिर हम एक सख्त परिभाषा देंगे।

प्रोजेक्टर का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मौखिक उदाहरण पर विचार करें ( परिशिष्ट 2)

स्कूल वर्ष के अंत में, 7 वीं कक्षा के 11 छात्रों ने 100 मीटर दौड़ने के लिए मानक पारित किया। निम्नलिखित परिणाम दर्ज किए गए:

लोगों द्वारा दूरी तय करने के बाद, पेट्या ने शिक्षक से संपर्क किया और पूछा कि उसका परिणाम क्या है।

"अधिकतम औसत: 16.9 सेकंड," शिक्षक ने उत्तर दिया

"क्यों?" पेट्या हैरान थी। - आखिरकार, सभी परिणामों का अंकगणितीय माध्य लगभग 18.3 सेकंड है, और मैं एक सेकंड या अधिक बेहतर तरीके से चला। और सामान्य तौर पर, कात्या का परिणाम (18.4) मेरी तुलना में औसत के बहुत करीब है।"

"आपका परिणाम औसत है क्योंकि पांच लोग आपसे बेहतर और पांच खराब भागे। तो तुम ठीक बीच में हो," शिक्षक ने कहा। [ 2 ]

संख्याओं के समुच्चय की माध्यिका ज्ञात करने के लिए एल्गोरिथम लिखिए:

1. संख्यात्मक सेट का आदेश दें (एक रैंक की गई श्रृंखला लिखें)।
2. साथ ही हम संख्याओं के इस समूह की "सबसे बड़ी" और "सबसे छोटी" संख्याओं को तब तक पार करते हैं जब तक कि एक या दो संख्याएँ न रह जाएँ।
3. यदि केवल एक संख्या है, तो वह माध्यिका है।
4. यदि दो संख्याएँ शेष हैं, तो माध्यिका शेष दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य होगा।

विद्यार्थियों को स्वतंत्र रूप से संख्याओं के समूह की माध्यिका की परिभाषा तैयार करने के लिए आमंत्रित करें, फिर पाठ्यपुस्तक में माध्यिका की दो परिभाषाएँ पढ़ें (पृष्ठ 50), फिर पाठ्यपुस्तक के उदाहरण 4 और 5 का विश्लेषण करें (पीपी। 50-52)

टिप्पणी:

छात्रों का ध्यान एक महत्वपूर्ण परिस्थिति की ओर आकर्षित करें: माध्यिका व्यावहारिक रूप से संख्याओं के सेट के व्यक्तिगत चरम मूल्यों के महत्वपूर्ण विचलन के प्रति असंवेदनशील है। आंकड़ों में, इस संपत्ति को स्थिरता कहा जाता है। एक सांख्यिकीय संकेतक की स्थिरता एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है, यह हमें यादृच्छिक त्रुटियों और व्यक्तिगत अविश्वसनीय डेटा के खिलाफ बीमा करती है।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

पाठ्यपुस्तक से आइटम 11 "माध्यिका" तक की संख्याओं का निर्णय।

संख्याओं का समूह: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

संख्याओं का सेट: 1,3,5,7,14।

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

क) संख्याओं का समूह: 3,4,11,17,21

बी) संख्याओं का सेट: 17,18,19,25,28

ग) संख्याओं का समूह: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

निष्कर्ष: विषम संख्या वाले सदस्यों वाली संख्याओं के समूह की माध्यिका बीच की संख्या के बराबर होती है।

ए) संख्याओं का सेट: 2, 4, 8 , 9.

मैं = (4+8):2=12:2=6

बी) संख्याओं का सेट: 1,3, 5,7 ,8,9.

मैं = (5+7):2=12:2=6

संख्याओं के एक समूह का माध्यिका जिसमें सदस्यों की एक सम संख्या होती है, मध्य में दो संख्याओं के योग का आधा होता है।

छात्र ने तिमाही के दौरान बीजगणित में निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

इस सेट का माध्य स्कोर और माध्यिका ज्ञात कीजिए। [ 3 ]

आइए संख्याओं का एक सेट ऑर्डर करें: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

केवल 10 संख्याएँ, माध्यिका ज्ञात करने के लिए आपको दो मध्य संख्याएँ लेनी होंगी और उनका आधा योग ज्ञात करना होगा।

मैं = (5+5):2 = 5

छात्रों से प्रश्न: यदि आप एक शिक्षक होते, तो आप इस छात्र को एक चौथाई के लिए क्या ग्रेड देते? उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

कंपनी के अध्यक्ष को 300,000 रूबल का वेतन मिलता है। उनके तीन प्रतिनियुक्तियों को प्रत्येक को 150,000 रूबल, चालीस कर्मचारी - प्रत्येक को 50,000 रूबल मिलते हैं। और एक क्लीनर का वेतन 10,000 रूबल है। कंपनी में वेतन का अंकगणितीय माध्य और माध्यिका ज्ञात कीजिए। राष्ट्रपति के लिए विज्ञापन उद्देश्यों के लिए उपयोग करने के लिए इनमें से कौन सी विशेषता अधिक लाभदायक है?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (रूबल)

कार्य 3. (छात्रों को स्वयं हल करने के लिए आमंत्रित करें, प्रोजेक्टर का उपयोग करके कार्य को प्रोजेक्ट करें)

तालिका रूस में सबसे बड़ी झीलों और जलाशयों में पानी की अनुमानित मात्रा को घन मीटर में दिखाती है। किमी. (अनुलग्नक 3) [ 4 ]

ए) इन जलाशयों में पानी की औसत मात्रा का पता लगाएं (अंकगणित माध्य);

बी) जलाशय के औसत आकार (डेटा का माध्य) में पानी की मात्रा का पता लगाएं;

ग) आपकी राय में, इनमें से कौन सी विशेषता - अंकगणितीय माध्य या माध्यिका - एक विशिष्ट बड़े रूसी जलाशय के आयतन का सबसे अच्छा वर्णन करती है? उत्तर स्पष्ट कीजिए।

ए) 2459 घन। किमी

बी) 60 घन। किमी

c) माध्यिका, क्योंकि डेटा में वे मान होते हैं जो अन्य सभी से बहुत भिन्न होते हैं।

कार्य 4. मौखिक रूप से।

ए) सेट में कितनी संख्याएं हैं यदि इसका मध्य इसका नौवां सदस्य है?

B) समुच्चय में कितनी संख्याएँ हैं यदि इसका माध्य 7वें और 8वें सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है?

ग) सात संख्याओं के समूह में, सबसे बड़ी संख्या में 14 की वृद्धि की गई। क्या इससे अंकगणितीय माध्य और माध्यिका दोनों बदल जाएंगे?

D) समुच्चय की प्रत्येक संख्या में 3 की वृद्धि की गई है। समांतर माध्य और माध्यिका का क्या होगा?

दुकान में मिठाइयां वजन के हिसाब से बिकती हैं। यह पता लगाने के लिए कि एक किलोग्राम में कितनी मिठाइयाँ होती हैं, माशा ने एक कैंडी का वजन खोजने का फैसला किया। उसने कई मिठाइयों का वजन किया और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त किए:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

दोनों विशेषताएँ एक कैंडी के वजन का अनुमान लगाने के लिए उपयुक्त हैं, क्योंकि वे एक दूसरे से बहुत अलग नहीं हैं।

इसलिए, सांख्यिकीय जानकारी को चिह्नित करने के लिए, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका का उपयोग किया जाता है। कई मामलों में, कुछ विशेषताओं का कोई सार्थक अर्थ नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, यातायात दुर्घटनाओं के समय के बारे में जानकारी होने पर, इन आंकड़ों के अंकगणितीय माध्य के बारे में बात करना शायद ही समझ में आता है)।

1. होमवर्क: पैराग्राफ 11, नंबर 3,4,9,11।
2. सबक परिणाम। प्रतिबिंब।

साहित्य:

1. यू.एन. ट्यूरिन एट अल "संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी", एमसीएनएमओ पब्लिशिंग हाउस, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तक", मॉस्को 2008।
2. ई.ए. बनिमोविच, वी.ए. Bulychev "सांख्यिकी और संभाव्यता के मूल सिद्धांत", DROFA, मास्को 2004।
3. समाचार पत्र "गणित" संख्या 23, 2007।
4. ग्रेड 7, 2007/2008 खाते के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी के सिद्धांत पर परीक्षण का डेमो संस्करण। साल।

पहनावा- प्रेक्षणों के समुच्चय में वह मान जो सबसे अधिक बार होता है

मो \u003d एक्स मो + एच मो * (एफ मो - एफ मो -1) : ((एफ मो - एफ मो -1) + (एफ मो - एफ मो + 1)),

यहाँ X Mo मोडल अंतराल की बाईं सीमा है, h Mo मोडल अंतराल की लंबाई है, f Mo-1 प्रीमॉडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo मोडल अंतराल की आवृत्ति है, f Mo+1 है पोस्टमॉडल अंतराल की आवृत्ति।

पूर्ण रूप से निरंतर वितरण का तरीका वितरण घनत्व के स्थानीय अधिकतम का कोई भी बिंदु है। असतत वितरण के लिए, एक बहुलक कोई भी मान होता है जिसकी प्रायिकता p, पड़ोसी मानों की प्रायिकताओं से अधिक होती है।

मंझलानिरंतर यादृच्छिक चर एक्सइसका मान मुझे ऐसा कहा जाता है, जिसके लिए यह समान रूप से संभावित है कि यादृच्छिक चर कम होगा या अधिक मैं, अर्थात।

एम ई \u003d (एन + 1) / 2 पी(एक्स < मैं) = पी(एक्स > मैं)

समान रूप से वितरित NEW

समान वितरण।एक सतत यादृच्छिक चर को खंड () पर समान रूप से वितरित कहा जाता है यदि इसका वितरण घनत्व कार्य (चित्र। 1.6, ए) की तरह लगता है:

पदनाम:- एसडब्ल्यू को समान रूप से वितरित किया जाता है।

तदनुसार, खंड पर वितरण कार्य (चित्र। 1.6, बी):

चावल। 1.6. एक यादृच्छिक चर के कार्य समान रूप से वितरित किए जाते हैं [ ए,बी]: ए- प्रायिकता घनत्व एफ(एक्स); बी- वितरण एफ(एक्स)

इस RV की गणितीय अपेक्षा और भिन्नता व्यंजकों द्वारा निर्धारित की जाती है:

घनत्व फ़ंक्शन की समरूपता के कारण, यह माध्यिका के साथ मेल खाता है। फैशन का कोई समान वितरण नहीं है

उदाहरण 4 एक फोन कॉल के उत्तर के लिए प्रतीक्षा समय एक यादृच्छिक चर है जो 0 से 2 मिनट की सीमा में एक समान वितरण कानून का पालन करता है। इस यादृच्छिक चर के समाकलन और अवकल वितरण फलन ज्ञात कीजिए।

27. प्रायिकता बंटन का सामान्य नियम

एक सतत यादृच्छिक चर x में मापदंडों के साथ एक सामान्य वितरण होता है: m,s> 0, यदि संभाव्यता वितरण घनत्व का रूप है:

जहाँ: m गणितीय अपेक्षा है, s मानक विचलन है।

जर्मन गणितज्ञ गॉस के बाद सामान्य वितरण को गॉसियन भी कहा जाता है। तथ्य यह है कि एक यादृच्छिक चर का पैरामीटर के साथ सामान्य वितरण होता है: एम, , निम्नानुसार दर्शाया गया है: एन (एम, एस), जहां: एम = ए = एम [एक्स];

अक्सर, सूत्रों में, गणितीय अपेक्षा को द्वारा निरूपित किया जाता है ए . यदि एक यादृच्छिक चर को N(0,1) नियम के अनुसार वितरित किया जाता है, तो इसे सामान्यीकृत या मानकीकृत सामान्य चर कहा जाता है। इसके लिए वितरण फ़ंक्शन का रूप है:

सामान्य वितरण के घनत्व का ग्राफ, जिसे सामान्य वक्र या गाऊसी वक्र कहा जाता है, चित्र 5.4 में दिखाया गया है।

चावल। 5.4. सामान्य वितरण घनत्व

गुणएक सामान्य वितरण कानून के साथ एक यादृच्छिक चर।

1. यदि , तो प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि यह मान किसी दिए गए अंतराल में आता है ( एक्स 1; एक्स 2) सूत्र का उपयोग किया जाता है:

2. एक यादृच्छिक चर का उसकी गणितीय अपेक्षा से विचलन, मान (निरपेक्ष मान में) से अधिक नहीं होने की प्रायिकता के बराबर है।