हैलो बिल्ली के बच्चे! पिछली बार हमने विस्तार से विश्लेषण किया था कि जड़ें क्या हैं (यदि आपको याद नहीं है, तो मैं पढ़ने की सलाह देता हूं)। उस पाठ का मुख्य निष्कर्ष: जड़ों की केवल एक सार्वभौमिक परिभाषा है, जिसे आपको जानना आवश्यक है। बाकी सब बकवास है और समय की बर्बादी है।

आज हम और आगे बढ़ते हैं। हम जड़ों को गुणा करना सीखेंगे, हम गुणन से जुड़ी कुछ समस्याओं का अध्ययन करेंगे (यदि इन समस्याओं को हल नहीं किया जाता है, तो वे परीक्षा में घातक हो सकते हैं) और हम ठीक से अभ्यास करेंगे। तो पॉपकॉर्न पर स्टॉक करें, अपने आप को सहज बनाएं - और हम शुरू करेंगे। :)

आपने अभी तक धूम्रपान नहीं किया है, है ना?

पाठ काफी बड़ा निकला, इसलिए मैंने इसे दो भागों में विभाजित किया:

1. सबसे पहले, हम गुणन के नियमों को देखेंगे। टोपी इशारा कर रही है: यह तब होता है जब दो जड़ें होती हैं, उनके बीच एक "गुणा" चिह्न होता है - और हम इसके साथ कुछ करना चाहते हैं।
2. फिर हम विपरीत स्थिति का विश्लेषण करेंगे: एक बड़ी जड़ है, और हम इसे दो जड़ों के उत्पाद के रूप में सरल तरीके से प्रस्तुत करने के लिए अधीर थे। यह किस डर से जरूरी है, यह एक अलग सवाल है। हम केवल एल्गोरिथम का विश्लेषण करेंगे।

उन लोगों के लिए जो सीधे भाग 2 में कूदने का इंतजार नहीं कर सकते, आपका स्वागत है। आइए बाकी क्रम से शुरू करें।

मूल गुणन नियम

आइए सबसे सरल से शुरू करें - शास्त्रीय वर्गमूल। जिन्हें $\sqrt(a)$ और $\sqrt(b)$ द्वारा दर्शाया जाता है। उनके लिए, सब कुछ आम तौर पर स्पष्ट है:

गुणन नियम। एक वर्गमूल को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको बस उनके मूल भावों को गुणा करना होगा, और परिणाम को सामान्य मूलांक के तहत लिखना होगा:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

दाएं या बाएं संख्याओं पर कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं लगाया गया है: यदि गुणक जड़ें मौजूद हैं, तो उत्पाद भी मौजूद है।

उदाहरण। एक साथ संख्याओं के साथ चार उदाहरणों पर विचार करें:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ और \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ और \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ और \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस नियम का मुख्य अर्थ अपरिमेय अभिव्यक्तियों को सरल बनाना है। और अगर पहले उदाहरण में हमने बिना किसी नए नियम के 25 और 4 से जड़ें निकाली होंगी, तो टिन शुरू होता है: $\sqrt(32)$ और $\sqrt(2)$ खुद से गिनती नहीं करते हैं, लेकिन उनका गुणनफल एक सटीक वर्ग बन जाता है, इसलिए इसका मूल एक परिमेय संख्या के बराबर होता है.

अलग से, मैं अंतिम पंक्ति को नोट करना चाहूंगा। वहां, दोनों मूल भाव भिन्न हैं। उत्पाद के लिए धन्यवाद, कई कारक रद्द हो जाते हैं, और संपूर्ण अभिव्यक्ति पर्याप्त संख्या में बदल जाती है।

बेशक, सब कुछ हमेशा इतना सुंदर नहीं होगा। कभी-कभी जड़ों के नीचे पूरी बकवास होगी - यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है और गुणा के बाद कैसे बदलना है। थोड़ी देर बाद, जब आप अपरिमेय समीकरणों और असमानताओं का अध्ययन करना शुरू करते हैं, तो सामान्य रूप से सभी प्रकार के चर और कार्य होंगे। और बहुत बार, समस्याओं के संकलनकर्ता केवल इस तथ्य पर भरोसा कर रहे हैं कि आपको कुछ अनुबंधित शर्तें या कारक मिलेंगे, जिसके बाद कार्य बहुत सरल हो जाएगा।

इसके अलावा, बिल्कुल दो जड़ों को गुणा करना आवश्यक नहीं है। आप एक साथ तीन गुणा कर सकते हैं, चार - हाँ दस भी! इससे नियम नहीं बदलेगा। जरा देखो तो:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ और \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और फिर दूसरे उदाहरण पर एक छोटी सी टिप्पणी। जैसा कि आप देख सकते हैं, तीसरे गुणक में, जड़ के नीचे एक दशमलव अंश होता है - गणना की प्रक्रिया में, हम इसे नियमित रूप से बदल देते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से कम हो जाता है। इसलिए: मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि किसी भी अपरिमेय भाव में दशमलव अंशों से छुटकारा पाएं (अर्थात, जिसमें कम से कम एक मूल चिह्न हो)। यह आपको भविष्य में बहुत समय और तंत्रिकाओं की बचत करेगा।

लेकिन यह एक गेय विषयांतर था। अब आइए एक अधिक सामान्य मामले पर विचार करें - जब मूल प्रतिपादक में एक मनमाना संख्या $n$ होती है, न कि केवल "शास्त्रीय" दो।

एक मनमाना संकेतक का मामला

इसलिए, हमने वर्गमूलों का पता लगाया। और क्यूब्स के साथ क्या करना है? या सामान्य रूप से मनमानी डिग्री $n$ की जड़ों के साथ? हाँ, सब कुछ वैसा ही है। नियम वही रहता है:

डिग्री $n$ की दो जड़ों को गुणा करने के लिए, उनके मूल भावों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद परिणाम एक मूलांक के तहत लिखा जाता है।

सामान्य तौर पर, कुछ भी जटिल नहीं है। जब तक गणना की मात्रा अधिक नहीं हो सकती। आइए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण। उत्पादों की गणना करें:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ और \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\बाएं(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \अंत (संरेखित करें)\]

और दूसरी अभिव्यक्ति पर फिर से ध्यान दें। हम घन की जड़ों को गुणा करते हैं, दशमलव अंश से छुटकारा पाते हैं, और परिणामस्वरूप हमें हर में संख्या 625 और 25 का गुणनफल मिलता है। यह एक बड़ी संख्या है - व्यक्तिगत रूप से, मैं तुरंत गणना नहीं करूंगा कि यह क्या बराबर है को।

इसलिए, हमने केवल अंश और हर में सटीक घन का चयन किया, और फिर $n$th डिग्री के मूल के एक प्रमुख गुण (या, यदि आप चाहें, तो परिभाषा) का उपयोग किया:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ और \sqrt(((a)^(2n)))=\बाएं| ए\राइट|. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस तरह के "घोटाले" परीक्षा या परीक्षा में आपका बहुत समय बचा सकते हैं, इसलिए याद रखें:

रेडिकल एक्सप्रेशन में संख्याओं को गुणा करने में जल्दबाजी न करें। सबसे पहले, जांचें: क्या होगा यदि किसी अभिव्यक्ति की सटीक डिग्री वहां "एन्क्रिप्टेड" हो?

इस टिप्पणी की पूरी स्पष्टता के साथ, मुझे यह स्वीकार करना होगा कि अधिकांश अप्रस्तुत छात्र बिंदु रिक्त स्थान को सटीक डिग्री नहीं देखते हैं। इसके बजाय, वे आगे सब कुछ गुणा करते हैं, और फिर आश्चर्य करते हैं: उन्हें इतनी क्रूर संख्या क्यों मिली? :)

हालाँकि, अब हम जो अध्ययन करेंगे, उसकी तुलना में यह सब बच्चों का खेल है।

विभिन्न घातांक के साथ जड़ों का गुणन

खैर, अब हम एक ही घातांक के साथ जड़ों को गुणा कर सकते हैं। क्या होगा यदि स्कोर अलग हैं? कहो, आप एक साधारण $\sqrt(2)$ को $\sqrt(23)$ जैसे कुछ बकवास से कैसे गुणा करते हैं? क्या ऐसा करना भी संभव है?

हां बेशक आप कर सकते हैं। सब कुछ इस सूत्र के अनुसार किया जाता है:

मूल गुणन नियम। $\sqrt[n](a)$ को $\sqrt[p](b)$ से गुणा करने के लिए, बस निम्नलिखित परिवर्तन करें:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

हालाँकि, यह सूत्र केवल तभी काम करता है जब कट्टरपंथी अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक हैं. यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण टिप्पणी है, जिस पर हम थोड़ी देर बाद लौटेंगे।

अभी के लिए, आइए कुछ उदाहरण देखें:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ और \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ और \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है। अब आइए जानें कि गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता कहां से आई और यदि हम इसका उल्लंघन करते हैं तो क्या होगा। :)

जड़ों को गुणा करना आसान है।

कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों को गैर-नकारात्मक क्यों होना चाहिए?

बेशक, आप स्कूल के शिक्षकों की तरह बन सकते हैं और एक स्मार्ट लुक वाली पाठ्यपुस्तक को उद्धृत कर सकते हैं:

गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता सम और विषम डिग्री की जड़ों की विभिन्न परिभाषाओं से जुड़ी है (क्रमशः, उनकी परिभाषा के क्षेत्र भी भिन्न हैं)।

अच्छा, यह स्पष्ट हो गया? निजी तौर पर, जब मैंने 8वीं कक्षा में इस बकवास को पढ़ा, तो मैं अपने लिए कुछ इस तरह समझ गया: "गैर-नकारात्मकता की आवश्यकता *#&^@(*#@^#)~%" से जुड़ी है - संक्षेप में, मैं उस समय बकवास समझ में नहीं आया। :)

तो अब मैं सब कुछ सामान्य तरीके से समझाऊंगा।

सबसे पहले, आइए जानें कि उपरोक्त गुणन सूत्र कहाँ से आता है। ऐसा करने के लिए, मैं आपको जड़ की एक महत्वपूर्ण संपत्ति की याद दिलाता हूं:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

दूसरे शब्दों में, हम रूट एक्सप्रेशन को किसी भी प्राकृतिक शक्ति $k$ तक सुरक्षित रूप से बढ़ा सकते हैं - इस मामले में, रूट इंडेक्स को उसी शक्ति से गुणा करना होगा। इसलिए, हम किसी भी मूल को आसानी से एक सामान्य संकेतक तक कम कर सकते हैं, जिसके बाद हम गुणा करते हैं। यह वह जगह है जहाँ से गुणन सूत्र आता है:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

लेकिन एक समस्या है जो इन सभी सूत्रों के आवेदन को गंभीर रूप से सीमित कर देती है। इस संख्या पर विचार करें:

अभी दिए गए फॉर्मूले के अनुसार हम कोई भी डिग्री जोड़ सकते हैं। आइए $k=2$ जोड़ने का प्रयास करें:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

हमने माइनस को ठीक से हटा दिया क्योंकि वर्ग माइनस को जला देता है (किसी भी अन्य डिग्री की तरह)। और अब हम रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन करते हैं: घातांक और डिग्री में दोनों को "कम" करें। आखिरकार, किसी भी समानता को बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों में पढ़ा जा सकता है:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ए); \\ और \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5)। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन फिर कुछ पागल होता है:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ऐसा इसलिए नहीं हो सकता क्योंकि $\sqrt(-5) \lt 0$ और $\sqrt(5) \gt 0$। इसका मतलब है कि सम घातों और ऋणात्मक संख्याओं के लिए, हमारा सूत्र अब काम नहीं करता है। जिसके बाद हमारे पास दो विकल्प होते हैं:

1. दीवार के खिलाफ लड़ने के लिए यह कहने के लिए कि गणित एक बेवकूफ विज्ञान है, जहां "कुछ नियम हैं, लेकिन यह गलत है";
2. अतिरिक्त प्रतिबंध लागू करें जिसके तहत सूत्र 100% काम करने वाला हो जाएगा।

पहले विकल्प में, हमें लगातार "गैर-कामकाजी" मामलों को पकड़ना होगा - यह कठिन, लंबा और आम तौर पर फू है। इसलिए गणितज्ञों ने दूसरा विकल्प पसंद किया। :)

लेकिन घबराना नहीं! व्यवहार में, यह प्रतिबंध किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि सभी वर्णित समस्याएं केवल एक विषम डिग्री की जड़ों की चिंता करती हैं, और उनमें से माइनस निकाले जा सकते हैं।

इसलिए, हम एक और नियम बनाते हैं जो सामान्य रूप से जड़ों के साथ सभी क्रियाओं पर लागू होता है:

जड़ों को गुणा करने से पहले, सुनिश्चित करें कि मूल अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक हैं।

उदाहरण। संख्या $\sqrt(-5)$ में, आप मूल चिह्न के नीचे से ऋण निकाल सकते हैं - तब सब कुछ ठीक हो जाएगा:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

अंतर महसूस करें? यदि आप रूट के नीचे एक माइनस छोड़ते हैं, तो जब रूट एक्सप्रेशन चुकता है, तो यह गायब हो जाएगा, और बकवास शुरू हो जाएगा। और यदि आप पहले माइनस निकालते हैं, तो आप एक वर्ग को तब तक बढ़ा / हटा सकते हैं जब तक कि आप नीले रंग के न हों - संख्या नकारात्मक रहेगी। :)

इस प्रकार, जड़ों को गुणा करने का सबसे सही और सबसे विश्वसनीय तरीका इस प्रकार है:

1. रेडिकल्स के नीचे से सभी माइनस को हटा दें। माइनस केवल विषम बहुलता की जड़ों में होते हैं - उन्हें रूट के सामने रखा जा सकता है और यदि आवश्यक हो, तो कम किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, यदि इनमें से दो माइनस हैं)।
2. आज के पाठ में ऊपर चर्चा किए गए नियमों के अनुसार गुणा करें। यदि मूलों के सूचकांक समान हैं, तो बस मूल व्यंजकों को गुणा करें। और अगर वे अलग हैं, तो हम दुष्ट सूत्र का उपयोग करते हैं \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(एन)))\]।
3. 3. हम परिणाम और अच्छे ग्रेड का आनंद लेते हैं। :)

कुंआ? क्या हम अभ्यास करेंगे?

उदाहरण 1. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ वर्ग (64) = -4; \end(संरेखित)\]

यह सबसे सरल विकल्प है: जड़ों के संकेतक समान और विषम हैं, समस्या केवल दूसरे गुणक के ऋण में है। हम इस माइनस नफिग को सहते हैं, जिसके बाद सब कुछ आसानी से माना जाता है।

उदाहरण 2. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( संरेखित करें)\]

यहाँ, कई लोग इस तथ्य से भ्रमित होंगे कि आउटपुट एक अपरिमेय संख्या निकला। हां, ऐसा होता है: हम पूरी तरह से जड़ से छुटकारा नहीं पा सके, लेकिन कम से कम हमने अभिव्यक्ति को काफी सरल बना दिया।

उदाहरण 3. व्यंजक को सरल कीजिए:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((()) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((ए)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

यही मैं आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। यहाँ दो बिंदु हैं:

1. जड़ के नीचे एक विशिष्ट संख्या या डिग्री नहीं है, लेकिन चर $a$ है। पहली नज़र में, यह थोड़ा असामान्य है, लेकिन वास्तव में, गणितीय समस्याओं को हल करते समय, आपको अक्सर चर से निपटना होगा।
2. अंत में, हम मूल प्रतिपादक और कट्टरपंथी अभिव्यक्ति में डिग्री को "कम" करने में कामयाब रहे। ऐसा काफी बार होता है। और इसका मतलब है कि यदि आप मुख्य सूत्र का उपयोग नहीं करते हैं तो गणनाओं को सरल बनाना संभव था।

उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \अंत (संरेखित करें)\]

वास्तव में, सभी परिवर्तन केवल दूसरे कट्टरपंथी के साथ किए गए थे। और यदि आप सभी मध्यवर्ती चरणों को विस्तार से चित्रित नहीं करते हैं, तो अंत में गणना की मात्रा में काफी कमी आएगी।

वास्तव में, $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ उदाहरण को हल करते समय हम पहले ही ऊपर इसी तरह के कार्य का सामना कर चुके हैं। अब इसे बहुत आसान लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\बाएं(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\वर्ग (75)। \end(संरेखित)\]

खैर, हमने जड़ों के गुणन का पता लगा लिया। अब व्युत्क्रम संक्रिया पर विचार करें: जब कोई कार्य जड़ के नीचे हो तो क्या करें?

मैंने फिर से थाली की तरफ देखा... और, चलते हैं!

आइए एक साधारण से शुरू करें:

एक मिनट रुकिए। यह, जिसका अर्थ है कि हम इसे इस तरह लिख सकते हैं:

समझ गया? यहाँ आपके लिए अगला है:

परिणामी संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं निकाली जाती हैं? चिंता न करें, यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

लेकिन क्या होगा अगर दो गुणक नहीं हैं, लेकिन अधिक हैं? यह वही! मूल गुणन सूत्र किसी भी कारक के साथ काम करता है:

अब पूरी तरह से स्वतंत्र:

उत्तर:बहुत अच्छा! सहमत हूँ, सब कुछ बहुत आसान है, मुख्य बात यह है कि गुणन तालिका को जानना है!

जड़ विभाजन

हमने जड़ों के गुणन का पता लगा लिया, अब विभाजन के गुण पर चलते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि सामान्य रूप से सूत्र इस तरह दिखता है:

और इसका मतलब है कि भागफल का मूल भागफल के मूल भाग के बराबर होता है।

खैर, आइए उदाहरण देखें:

वह सब विज्ञान है। और यहाँ एक उदाहरण है:

सब कुछ पहले उदाहरण की तरह सहज नहीं है, लेकिन जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है।

क्या होगा यदि अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

आपको केवल सूत्र को विपरीत में लागू करने की आवश्यकता है:

और यहाँ एक उदाहरण है:

आप यह अभिव्यक्ति भी देख सकते हैं:

सब कुछ समान है, केवल यहाँ आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि भिन्नों का अनुवाद कैसे किया जाता है (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय को देखें और वापस आएँ!) याद आया? अब हम तय करते हैं!

मुझे यकीन है कि आपने हर चीज, हर चीज का सामना किया है, अब आइए एक हद तक जड़ें बनाने की कोशिश करें।

घातांक

यदि वर्गमूल को चुकता कर दिया जाए तो क्या होगा? यह आसान है, किसी संख्या के वर्गमूल का अर्थ याद रखें - यह वह संख्या है जिसका वर्गमूल बराबर है।

अतः, यदि हम किसी संख्या का वर्गमूल करें जिसका वर्गमूल बराबर हो, तो हमें क्या प्राप्त होता है?

बेशक, !

आइए उदाहरण देखें:

सब कुछ सरल है, है ना? और अगर जड़ एक अलग डिग्री में है? ठीक है!

उसी तर्क पर टिके रहें और शक्तियों के साथ गुणों और संभावित क्रियाओं को याद रखें।

"" विषय पर सिद्धांत पढ़ें और आपके लिए सब कुछ बेहद स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन क्या होगा यदि यह विषम है? फिर से, शक्ति गुण लागू करें और सब कुछ कारक करें:

इससे तो सब कुछ स्पष्ट होने लगता है, लेकिन किसी संख्या से एक अंश में मूल कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत आसान है, है ना? क्या होगा यदि डिग्री दो से अधिक है? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर अपने स्वयं के उदाहरण हल करें:

और यहाँ उत्तर हैं:

जड़ के चिन्ह के तहत परिचय

हमने अभी जड़ों से क्या करना नहीं सीखा है! यह केवल मूल चिह्न के नीचे संख्या दर्ज करने का अभ्यास करने के लिए रहता है!

यह काफी आसान है!

मान लें कि हमारे पास एक नंबर है

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निश्चित रूप से, ट्रिपल को रूट के नीचे छिपाएं, जबकि याद रखें कि ट्रिपल किसका वर्गमूल है!

हमें इसकी जरूरत क्यों है? हां, उदाहरणों को हल करते समय अपनी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? जीवन को बहुत आसान बनाता है? मेरे लिए, यह सही है! केवल हमें याद रखना चाहिए कि हम वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत केवल धनात्मक संख्याएँ ही दर्ज कर सकते हैं।

अपने लिए इस उदाहरण का प्रयास करें:
क्या आप संभाल पाओगे? आइए देखें कि आपको क्या मिलना चाहिए:

बहुत अच्छा! आप रूट साइन के तहत एक नंबर दर्ज करने में कामयाब रहे! आइए कुछ समान रूप से महत्वपूर्ण पर चलते हैं - विचार करें कि वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना कैसे करें!

रूट तुलना

हमें वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना करना क्यों सीखना चाहिए?

बहुत आसान। अक्सर, परीक्षा में सामने आने वाले बड़े और लंबे भावों में, हमें एक तर्कहीन उत्तर मिलता है (याद रखें कि यह क्या है? हमने आज इस बारे में पहले ही बात कर ली है!)

हमें प्राप्त उत्तरों को निर्देशांक रेखा पर रखने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा अंतराल समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त है। और यहीं पर रोड़ा खड़ा होता है: परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं है, और इसके बिना, कैसे कल्पना की जाए कि कौन सी संख्या बड़ी है और कौन सी छोटी है? इतना ही!

उदाहरण के लिए, निर्धारित करें कि कौन सा बड़ा है: या?

आप सीधे बल्ले से नहीं कहेंगे। ठीक है, आइए मूल चिह्न के तहत एक संख्या जोड़ने की पार्स की गई संपत्ति का उपयोग करें?

फिर आगे:

खैर, जाहिर है, जड़ के चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी!

वे। अगर मतलब।

इससे हम दृढ़ता से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि और कोई हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

बड़ी संख्या से जड़ें निकालना

इससे पहले हमने जड़ के चिन्ह के नीचे एक गुणनखंड का परिचय दिया था, लेकिन इसे कैसे निकाला जाए? आपको बस इसे निकालने की जरूरत है और जो निकाला गया है उसे निकालने की जरूरत है!

दूसरी तरफ जाना और अन्य कारकों में विघटित होना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, तय करें कि आप कैसा महसूस करते हैं।

इस तरह के गैर-मानक कार्यों को हल करते समय फैक्टरिंग बहुत उपयोगी होती है:

हम डरते नहीं हैं, हम अभिनय करते हैं! हम जड़ के तहत प्रत्येक कारक को अलग-अलग कारकों में विघटित करते हैं:

और अब इसे स्वयं आज़माएं (कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा में नहीं होगा):

क्या यह अंत है? हम आधे रास्ते में नहीं रुकते!

बस इतना ही, यह सब इतना डरावना नहीं है, है ना?

हो गई? अच्छा किया, तुम सही हो!

अब इस उदाहरण को आजमाएं:

और एक उदाहरण क्रैक करने के लिए एक कठिन अखरोट है, इसलिए आप तुरंत यह नहीं समझ सकते कि इसे कैसे पहुंचाया जाए। लेकिन हम, ज़ाहिर है, दांतों में हैं।

ठीक है, चलो फैक्टरिंग शुरू करते हैं, क्या हम? तुरंत, हम ध्यान दें कि आप एक संख्या को विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता के संकेतों को याद करें):

और अब, इसे स्वयं आज़माएं (फिर से, बिना कैलकुलेटर के!):

अच्छा, क्या यह काम किया? अच्छा किया, तुम सही हो!

उपसंहार

1. एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल) एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है जिसका वर्ग बराबर होता है।
   .
2. अगर हम किसी चीज का वर्गमूल लें, तो हमें हमेशा एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है।
3. अंकगणितीय मूल गुण:
4. वर्गमूलों की तुलना करते समय, यह याद रखना चाहिए कि जड़ के चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी।

आपको वर्गमूल कैसा लगा? सब साफ?

हमने आपको बिना पानी के वह सब कुछ समझाने की कोशिश की जो आपको परीक्षा में वर्गमूल के बारे में जानने की जरूरत है।

यह आपकी बारी है। हमें लिखें कि यह विषय आपके लिए कठिन है या नहीं।

क्या आपने कुछ नया सीखा या सब कुछ पहले से ही इतना स्पष्ट था।

टिप्पणियों में लिखें और परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

इस लेख की सामग्री को अपरिमेय अभिव्यक्तियों के विषय परिवर्तन का हिस्सा माना जाना चाहिए। यहां, उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम उन सभी सूक्ष्मताओं और बारीकियों का विश्लेषण करेंगे (जिनमें से कई हैं) जो जड़ों के गुणों के आधार पर परिवर्तन करते समय उत्पन्न होती हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

जड़ों के गुणों को याद करें

चूंकि हम मूल गुणों का उपयोग करके भावों के परिवर्तन से निपटने जा रहे हैं, इसलिए मुख्य को याद रखने में कोई दिक्कत नहीं होती है, या इससे भी बेहतर, उन्हें कागज पर लिख कर अपने सामने रख दें।

सबसे पहले, वर्गमूल और उनके निम्नलिखित गुणों का अध्ययन किया जाता है (a, b, a 1, a 2, ..., a k वास्तविक संख्याएँ हैं):

और बाद में, जड़ के विचार का विस्तार किया जाता है, n वीं डिग्री की जड़ की परिभाषा पेश की जाती है, और ऐसे गुणों पर विचार किया जाता है (ए, बी, ए 1, ए 2, ..., एक के वास्तविक संख्याएं हैं, एम, एन, एन 1, एन 2, ..., एन के - प्राकृतिक संख्याएं):

मूल चिह्नों के तहत संख्याओं के साथ व्यंजकों को परिवर्तित करना

हमेशा की तरह, वे पहले संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करना सीखते हैं, और उसके बाद ही वे चर के साथ अभिव्यक्तियों पर आगे बढ़ते हैं। हम वही करेंगे, और पहले हम जड़ों के संकेतों के तहत केवल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों वाले अपरिमेय अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से निपटेंगे, और पहले से ही अगले पैराग्राफ में हम जड़ों के संकेतों के तहत चर का परिचय देंगे।

अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए इसका उपयोग कैसे किया जा सकता है? बहुत सरल: उदाहरण के लिए, हम एक अपरिमेय व्यंजक को व्यंजक से या इसके विपरीत प्रतिस्थापित कर सकते हैं। अर्थात्, यदि रूपांतरित व्यंजक में ऐसा व्यंजक है जो मूल के किसी भी सूचीबद्ध गुण के बाएँ (दाएँ) भाग के व्यंजक से मेल खाता है, तो उसे दाएँ (बाएँ) भाग से संगत व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यह जड़ों के गुणों का उपयोग करके भावों का परिवर्तन है।

आइए कुछ और उदाहरण लेते हैं।

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं . संख्याएँ 3 , 5 और 7 धनात्मक हैं, इसलिए हम जड़ों के गुणों को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं। यहां आप अलग तरह से अभिनय कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक संपत्ति-आधारित रूट के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और एक संपत्ति-आधारित रूट k=3 as के साथ, इस दृष्टिकोण के साथ, समाधान इस तरह दिखेगा:

अन्यथा करना संभव था, के साथ प्रतिस्थापित करना, और फिर के साथ, इस मामले में समाधान इस तरह दिखेगा:

अन्य समाधान संभव हैं, उदाहरण के लिए:

आइए एक और उदाहरण देखें। आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें। जड़ों के गुणों की सूची को देखते हुए, हम इसमें से उन गुणों का चयन करते हैं जिन्हें हमें उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है, यह स्पष्ट है कि उनमें से दो और यहां उपयोगी हैं, जो किसी के लिए मान्य हैं। हमारे पास है:

वैकल्पिक रूप से, कोई पहले अभिव्यक्ति को मूल संकेतों के तहत बदल सकता है

और फिर जड़ों के गुणों को लागू करें

इस बिंदु तक, हमने उन व्यंजकों को रूपांतरित किया है जिनमें केवल वर्गमूल हैं। यह उन जड़ों के साथ काम करने का समय है जिनके अन्य संकेतक हैं।

उदाहरण।

अपरिमेय अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें .

फेसला।

संपत्ति से किसी दिए गए उत्पाद के पहले कारक को संख्या -2 से बदला जा सकता है:

आगे बढ़ो। संपत्ति के आधार पर, दूसरे कारक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और यह 81 को तीन की चौगुनी शक्ति के साथ बदलने के लिए चोट नहीं पहुंचाता है, क्योंकि संख्या 3 शेष कारकों में जड़ों के संकेतों के तहत दिखाई देती है:

यह सलाह दी जाती है कि भिन्न की जड़ को रूप की जड़ों के अनुपात से बदल दिया जाए, जिसे और रूपांतरित किया जा सकता है: . हमारे पास है

दो के साथ संचालन करने के बाद परिणामी अभिव्यक्ति रूप लेगी, और यह जड़ों के उत्पाद को बदलने के लिए बनी हुई है।

जड़ों के उत्पादों को बदलने के लिए, उन्हें आमतौर पर एक संकेतक तक कम कर दिया जाता है, जिसके लिए सभी जड़ों के संकेतक लेने की सलाह दी जाती है। हमारे मामले में, LCM(12, 6, 12)=12 , और केवल मूल को इस सूचक तक कम करना होगा, क्योंकि अन्य दो जड़ों में पहले से ही ऐसा संकेतक है। इस कार्य से निपटने के लिए समानता की अनुमति देता है, जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है। इसलिए । इस परिणाम को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है

अब जड़ों के उत्पाद को उत्पाद की जड़ से बदला जा सकता है और शेष, पहले से ही स्पष्ट, परिवर्तन किए जा सकते हैं:

आइए समाधान का एक छोटा संस्करण बनाएं:

जवाब:

.

अलग से, हम इस बात पर जोर देते हैं कि जड़ों के गुणों को लागू करने के लिए, जड़ों के संकेतों (a≥0, आदि) के तहत संख्याओं पर लगाए गए प्रतिबंधों को ध्यान में रखना आवश्यक है। उनकी उपेक्षा करने से गलत परिणाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि संपत्ति गैर-ऋणात्मक a के लिए रखती है। इसके आधार पर, हम सुरक्षित रूप से जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, से, क्योंकि 8 एक सकारात्मक संख्या है। लेकिन अगर हम एक ऋणात्मक संख्या का एक सार्थक मूल लेते हैं, उदाहरण के लिए, और, उपरोक्त संपत्ति के आधार पर, इसे से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम वास्तव में −2 को 2 से बदल देंगे। दरअसल, ए. अर्थात्, ऋणात्मक a के लिए, समानता झूठी हो सकती है, जैसे कि जड़ों के अन्य गुण उनके लिए निर्दिष्ट शर्तों को ध्यान में रखे बिना झूठे हो सकते हैं।

लेकिन पिछले पैराग्राफ में जो कहा गया था उसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि मूल चिह्नों के तहत ऋणात्मक संख्याओं वाले व्यंजकों को मूल के गुणों का उपयोग करके परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। उन्हें संख्याओं के साथ संचालन के नियमों को लागू करने या एक ऋणात्मक संख्या से एक विषम डिग्री रूट की परिभाषा का उपयोग करके पहले से "तैयार" होने की आवश्यकता है, जो समानता से मेल खाती है, जहां -a एक ऋणात्मक संख्या है (जबकि एक सकारात्मक है) . उदाहरण के लिए, इसे तुरंत , द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि −2 और −3 ऋणात्मक संख्याएं हैं, लेकिन यह हमें मूल से , और फिर उत्पाद से मूल के गुण को लागू करने की अनुमति देता है: . और पिछले उदाहरणों में से एक में जड़ से अठारहवीं डिग्री की जड़ तक जाना आवश्यक था, इस तरह नहीं, बल्कि इस तरह .

इसलिए, मूल के गुणों का उपयोग करके व्यंजकों को रूपांतरित करने के लिए, आपको चाहिए

• सूची से उपयुक्त संपत्ति का चयन करें,
• सुनिश्चित करें कि रूट के नीचे की संख्या चयनित संपत्ति के लिए शर्तों को पूरा करती है (अन्यथा, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने की आवश्यकता है),
• और इच्छित परिवर्तन को पूरा करें।

मूल चिह्नों के अंतर्गत चरों के साथ व्यंजकों को परिवर्तित करना

अपरिमेय व्यंजकों को बदलने के लिए जिसमें न केवल संख्याएँ बल्कि मूल चिह्न के नीचे चर भी हों, इस लेख के पहले पैराग्राफ में सूचीबद्ध मूल के गुणों को सावधानी से लागू किया जाना चाहिए। यह अधिकांश भाग के लिए उन शर्तों के कारण है जो सूत्रों में शामिल संख्याओं से संतुष्ट होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, सूत्र के आधार पर, व्यंजक को केवल उन x मानों के लिए व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो x≥0 और x+1≥0 शर्तों को पूरा करते हैं, क्योंकि निर्दिष्ट सूत्र a≥0 और b≥ के लिए सेट है। 0.

इन शर्तों को अनदेखा करने का क्या खतरा है? इस प्रश्न का उत्तर निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट रूप से प्रदर्शित होता है। मान लें कि x=−2 होने पर हमें व्यंजक के मान की गणना करने की आवश्यकता है। यदि हम तुरंत चर x के स्थान पर संख्या -2 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें वह मान प्राप्त होता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है . और अब आइए कल्पना करें कि, कुछ विचारों के आधार पर, हमने दिए गए अभिव्यक्ति को रूप में बदल दिया, और उसके बाद ही हमने मूल्य की गणना करने का निर्णय लिया। हम x के स्थान पर संख्या -2 को प्रतिस्थापित करते हैं और व्यंजक पर पहुंचते हैं , जिसका कोई मतलब नहीं है।

आइए एक नज़र डालते हैं कि जब हम एक्सप्रेशन से एक्सप्रेशन की ओर बढ़ते हैं तो x वेरिएबल के वैलिड वैल्यू (ODV) की रेंज का क्या होता है। हमने ओडीजेड का उल्लेख संयोग से नहीं किया है, क्योंकि यह किए गए परिवर्तनों की स्वीकार्यता को नियंत्रित करने के लिए एक गंभीर उपकरण है, और अभिव्यक्ति के परिवर्तन के बाद ओडीजेड को बदलने से कम से कम सतर्क होना चाहिए। इन भावों के लिए ODZ खोजना कठिन नहीं है। व्यंजक के लिए, ODZ असमानता x (x+1)≥0 से निर्धारित होता है, इसका समाधान संख्यात्मक सेट देता है (−∞, −1]∪∪∪)