भिन्न को सरल रूप में लाने के लिए भिन्नों को घटाना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, व्यंजक को हल करने के परिणामस्वरूप प्राप्त उत्तर में।

भिन्नों की कमी, परिभाषा और सूत्र।

अंश कमी क्या है? अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

परिभाषा:
अंश में कमी- यह अंश अंश और हर का एक ही धनात्मक संख्या से विभाजन है जो शून्य और एक के बराबर नहीं है। कमी के परिणामस्वरूप, एक छोटे अंश और हर के साथ एक अंश प्राप्त होता है, जो पिछले अंश के बराबर होता है।

अंश कमी सूत्रपरिमेय संख्याओं की मूल संपत्ति।

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

एक उदाहरण पर विचार करें:
भिन्न को कम करें \(\frac(9)(15)\)

समाधान:
हम भिन्न को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित कर सकते हैं और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को कम कर सकते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

उत्तर: घटाने के बाद हमें भिन्न \(\frac(3)(5)\) मिलता है। परिमेय संख्याओं के मुख्य गुण के अनुसार, प्रारंभिक और परिणामी भिन्न बराबर होते हैं।

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

अंशों को कैसे कम करें? एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में घटाना।

परिणामस्वरूप हमें एक इरेड्यूसिबल फ्रैक्शन प्राप्त करने के लिए, हमें चाहिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें (gcd)भिन्न के अंश और हर के लिए।

GCD को खोजने के कई तरीके हैं, हम उदाहरण में संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में उपयोग करेंगे।

अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करें \(\frac(48)(136)\)।

समाधान:
जीसीडी (48, 136) खोजें। आइए संख्या 48 और 136 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
जीसीडी(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \बार 2) \बार 2 \बार 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \बार 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ फ़्रैक(6)(17)\)

एक अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में कम करने का नियम।

1. अंश और हर के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
2. एक इरेड्यूसबल भिन्न प्राप्त करने के लिए आपको विभाजन के परिणामस्वरूप अंश और हर को सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण:
भिन्न \(\frac(152)(168)\) को कम करें।

समाधान:
GCD(152, 168) खोजें। आइए संख्याओं 152 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
जीसीडी(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

उत्तर: \(\frac(19)(21)\) एक इरेड्यूसबल भिन्न है।

एक अनुचित अंश का संक्षिप्त नाम।

अनुचित अंश को कैसे कम करें?
उचित और अनुचित भिन्नों के लिए भिन्नों को कम करने के नियम समान हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें:
अनुचित अंश को कम करें \(\frac(44)(32)\)।

समाधान:
आइए अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। और फिर हम सामान्य कारकों को कम करते हैं।

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2) \times 11)(\color(red) (2 \times 2) \times 2 \बार 2 \बार 2 )=\frac(11)(2 \बार 2 \बार 2)=\frac(11)(8)\)

मिश्रित अंशों की कमी।

मिश्रित भिन्न सामान्य भिन्नों के समान नियमों का पालन करते हैं। फर्क सिर्फ इतना है कि हम कर सकते हैं पूरे हिस्से को न छुएं, लेकिन आंशिक हिस्से को कम करेंया मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलें, घटाएं और वापस उचित भिन्न में बदलें।

एक उदाहरण पर विचार करें:
मिश्रित भिन्न \(2\frac(30)(45)\) को कम करें।

समाधान:
आइए इसे दो तरीकों से हल करें:
पहला तरीका:
हम भिन्नात्मक भाग को अभाज्य गुणनखंडों में लिखेंगे, और हम पूर्णांक भाग को स्पर्श नहीं करेंगे।

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ फ़्रैक(2)(3)\)

दूसरा तरीका:
पहले हम एक अनुचित भिन्न में अनुवाद करते हैं, और फिर हम इसे प्रमुख कारकों में लिखते हैं और इसे कम करते हैं। परिणामी अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times) 3) \बार 2 \बार 2)(3 \बार \रंग(लाल) (3 \बार 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

संबंधित सवाल:
क्या अंशों को जोड़ने या घटाने पर भिन्नों को घटाया जा सकता है?
उत्तर: नहीं, आपको पहले नियमों के अनुसार भिन्नों को जोड़ना या घटाना होगा, और उसके बाद ही घटाना होगा। एक उदाहरण पर विचार करें:

व्यंजक का मूल्यांकन करें \(\frac(50+20-10)(20)\) ।

समाधान:
वे अक्सर हमारे मामले में, संख्या 20 में अंश और हर में समान संख्याओं को कम करने की गलती करते हैं, लेकिन जब तक आप जोड़ और घटाव नहीं करते हैं, तब तक उन्हें कम नहीं किया जा सकता है।

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

आप भिन्न को किस संख्या से घटा सकते हैं?
उत्तर: आप अंश को सबसे बड़े सामान्य भाजक या अंश और हर के सामान्य भाजक से घटा सकते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(100)(150)\)।

आइए संख्या 100 और 150 को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें।
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 . की संख्या होगी

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

हमें अपरिमेय अंश \(\frac(2)(3)\) मिला है।

लेकिन जीसीडी द्वारा विभाजित करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है, एक अपरिवर्तनीय अंश की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, आप अंश और हर के एक साधारण भाजक द्वारा अंश को कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 100 और 150 में एक उभयनिष्ठ भाजक है। आइए भिन्न \(\frac(100)(150)\) को 2 से कम करें।

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \बार 75)=\frac(50)(75)\)

हमें घटा हुआ अंश \(\frac(50)(75)\) मिला है।

क्या अंशों को कम किया जा सकता है?
उत्तर: आप उन भिन्नों को कम कर सकते हैं जिनमें अंश और हर का एक उभयनिष्ठ भाजक होता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(4)(8)\). संख्या 4 और 8 में एक संख्या है जिससे वे दोनों इस संख्या 2 से विभाज्य हैं। इसलिए, ऐसी भिन्न को संख्या 2 से घटाया जा सकता है।

उदाहरण:
दो भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(8)(12)\) की तुलना करें।

ये दोनों अंश बराबर हैं। भिन्न \(\frac(8)(12)\) पर विस्तार से विचार करें:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \गुना 1=\frac(2)(3)\)

यहाँ से हम पाते हैं, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

दो भिन्न समान होते हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अंश और हर के एक सामान्य कारक द्वारा दूसरे भिन्न को कम करके प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:
यदि संभव हो तो निम्नलिखित भिन्नों को कम करें: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

समाधान:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \गुना 3 \गुना 3)(13)=\frac(18)(13)\)
बी) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
सी) \(\frac(17)(100)\) इरेड्यूसबल अंश
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ टाइम्स 5)=\frac(2)(5)\)

इस लेख में, हम देखेंगे बीजगणितीय अंशों के साथ बुनियादी संचालन:

• अंश में कमी
• भिन्नों का गुणन
• भिन्नों का विभाजन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं बीजीय भिन्नों के संक्षिप्त रूप.

ऐसा लगेगा कि, कलन विधिज़ाहिर।

प्रति बीजीय भिन्नों को कम करें, जरुरत

1. भिन्न के अंश और हर का गुणनखंड कीजिए।

2. समान गुणकों को कम करें।

हालांकि, स्कूली बच्चे अक्सर कारकों को नहीं, बल्कि शर्तों को "कम" करने की गलती करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे शौकिया हैं जो अंशों में "कम" करते हैं और परिणामस्वरूप प्राप्त करते हैं, जो निश्चित रूप से सच नहीं है।

उदाहरणों पर विचार करें:

1. अंश कम करें:

1. हम योग के वर्ग के सूत्र के अनुसार अंश और वर्गों के अंतर के सूत्र के अनुसार हर का गुणनखंड करते हैं

2. अंश और हर को से विभाजित करें

2. अंश कम करें:

1. अंश का गुणनखंड कीजिए। चूँकि अंश में चार पद होते हैं, इसलिए हम समूहीकरण लागू करते हैं।

2. हर का गुणनखंड करें। यही बात ग्रुपिंग पर भी लागू होती है।

3. आइए हम प्राप्त भिन्न को लिख लें और समान गुणनखंडों को घटा दें:

बीजीय भिन्नों का गुणन।

बीजीय भिन्नों को गुणा करते समय, हम अंश को अंश से गुणा करते हैं, और हम हर को हर से गुणा करते हैं।

महत्वपूर्ण!भिन्न के अंश और हर में गुणा करने के लिए जल्दबाजी करने की आवश्यकता नहीं है। अंश में भिन्नों के अंशों का गुणनफल और हर में हर के गुणनफल को लिखने के बाद, हमें प्रत्येक गुणनखंड को गुणनखंड करने और भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरणों पर विचार करें:

3. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

1. आइए भिन्नों का गुणनफल लिखें: अंश में अंशों का गुणनफल, और हर में हर का गुणनफल:

2. हम प्रत्येक ब्रैकेट को फैक्टर करते हैं:

अब हमें समान गुणकों को कम करने की आवश्यकता है। ध्यान दें कि भाव और केवल संकेत में भिन्न हैं: और पहली अभिव्यक्ति को दूसरे से विभाजित करने के परिणामस्वरूप, हमें -1 मिलता है।

इसलिए,

हम निम्नलिखित नियम के अनुसार बीजीय भिन्नों का विभाजन करते हैं:

वह है एक भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको "उल्टे" से गुणा करना होगा।

हम देखते हैं कि भिन्नों का विभाजन गुणन में कम हो जाता है, और गुणन अंततः भिन्नों की कमी के लिए उबलता है।

एक उदाहरण पर विचार करें:

4. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

उनके मुख्य गुण के आधार पर: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य बहुपद से विभाजित किया जाता है, तो उसके बराबर भिन्न प्राप्त होता है।

आप केवल गुणकों को कम कर सकते हैं!

बहुपद के सदस्यों को कम नहीं किया जा सकता है!

बीजीय भिन्न को कम करने के लिए, अंश और हर में बहुपदों को पहले गुणनखंडित किया जाना चाहिए।

अंश में कमी के उदाहरणों पर विचार करें।

एक भिन्न के अंश और हर एकपदी होते हैं। वह प्रतिनिधित्व करते हैं काम(संख्याएं, चर और उनकी डिग्री), मल्टीप्लायरोंहम कम कर सकते हैं।

हम संख्याओं को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से घटाते हैं, अर्थात वह सबसे बड़ी संख्या जिससे दी गई प्रत्येक संख्या विभाज्य है। 24 और 36 के लिए, यह 12 है। 24 से घटने के बाद, 2 शेष रहता है, 36 से - 3।

हम सबसे छोटे संकेतक के साथ डिग्री को डिग्री से कम करते हैं। भिन्न को कम करने का अर्थ है अंश और हर को एक ही भाजक से विभाजित करना और घातांक घटाना।

a² और a⁷ को a² से कम किया जाता है। उसी समय, एक ए² से अंश में रहता है (हम केवल 1 लिखते हैं, अगर कटौती के बाद, कोई अन्य कारक नहीं बचा है। 24 से, 2 शेष है, इसलिए हम ए से शेष 1 नहीं लिखते हैं)। कमी के बाद a⁷ से a⁵ रहता है।

b और b को b द्वारा संक्षिप्त किया जाता है, परिणामी इकाइयाँ नहीं लिखी जाती हैं।

c³º और c⁵ c⁵ से कम हो जाते हैं। c³º से, c²⁵ रहता है, c⁵ - यूनिट से (हम इसे नहीं लिखते हैं)। इस तरह,

इस बीजीय भिन्न के अंश और हर बहुपद हैं। बहुपद की शर्तों को कम करना असंभव है! (घटाया नहीं जा सकता, उदाहरण के लिए, 8x² और 2x!)। इस अंश को कम करने के लिए यह आवश्यक है। अंश का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 4x है। आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें:

अंश और हर दोनों का गुणनखंड (2x-3) समान है। हम इस कारक से भिन्न को कम करते हैं। हमें अंश में 4x, हर में 1 मिला है। बीजीय भिन्नों के 1 गुण के अनुसार, भिन्न 4x है।

आप केवल गुणनखंडों को कम कर सकते हैं (आप किसी दिए गए अंश को 25x² तक कम नहीं कर सकते!)। इसलिए, भिन्न के अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड होना चाहिए।

अंश योग का पूर्ण वर्ग है, और हर वर्गों का अंतर है। संक्षिप्त गुणन के सूत्रों द्वारा विस्तार के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

हम भिन्न को (5x + 1) से कम करते हैं (ऐसा करने के लिए, अंश में दोनों को एक घातांक के रूप में काट दें, (5x + 1) से यह निकल जाएगा (5x + 1)):

अंश में 2 का एक सामान्य गुणनखंड होता है, आइए इसे कोष्ठक से बाहर निकालें। हर में - घनों के अंतर का सूत्र:

अंश और हर में विस्तार के परिणामस्वरूप, हमें वही गुणनखंड (9 + 3a + a²) प्राप्त हुआ। हम उस पर अंश कम करते हैं:

अंश के बहुपद में 4 पद होते हैं। दूसरे के साथ पहला पद, चौथा के साथ तीसरा, और हम पहले कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड x² निकालते हैं। हम घनों के योग के सूत्र के अनुसार हर को विघटित करते हैं:

अंश में, हम कोष्ठक में से उभयनिष्ठ गुणनखंड (x + 2) निकालते हैं:

हम भिन्न को (x + 2) से घटाते हैं:

भिन्न और उनकी कमी एक और विषय है जो 5 वीं कक्षा में शुरू होता है। यहाँ इस क्रिया का आधार बनता है, और फिर इन कौशलों को एक सूत्र द्वारा उच्च गणित में खींचा जाता है। यदि छात्र ने नहीं सीखा है, तो उसे बीजगणित में समस्या हो सकती है। इसलिए, कुछ नियमों को एक बार और सभी के लिए समझना बेहतर है। और एक निषेध याद रखें और उसे कभी न तोड़ें।

भिन्न और उसकी कमी

यह क्या है, हर छात्र जानता है। क्षैतिज पट्टी के बीच स्थित कोई भी दो अंक तुरंत भिन्न के रूप में माने जाते हैं। हालांकि, हर कोई यह नहीं समझता है कि कोई भी संख्या बन सकती है। यदि यह एक पूर्णांक है, तो इसे हमेशा एक से विभाजित किया जा सकता है, तो आपको एक अनुचित भिन्न प्राप्त होता है। लेकिन उस पर बाद में।

शुरुआत हमेशा सरल होती है। सबसे पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि सही अंश को कैसे कम किया जाए। अर्थात् जिसका अंश हर से कम हो। ऐसा करने के लिए, आपको अंश की मुख्य संपत्ति को याद रखना होगा। यह बताता है कि जब इसके अंश और हर को एक ही समय में एक ही संख्या से गुणा (साथ ही विभाजित) किया जाता है, तो एक समान मूल अंश प्राप्त होता है।

इस संपत्ति पर की जाने वाली विभाजन क्रियाओं के परिणामस्वरूप कमी आती है। यानी इसका अधिकतम सरलीकरण। एक अंश को तब तक कम किया जा सकता है जब तक कि रेखा के ऊपर और नीचे सामान्य कारक हों। जब वे अब मौजूद नहीं हैं, तो कमी असंभव है। और वे कहते हैं कि यह अंश अपूरणीय है।

दो रास्ते

1.कदम दर कदम कमी।यह अनुमान लगाने की विधि का उपयोग करता है, जब दोनों संख्याओं को छात्र द्वारा देखे गए न्यूनतम सामान्य कारक से विभाजित किया जाता है। यदि पहली कमी के बाद यह स्पष्ट हो जाता है कि यह अंत नहीं है, तो विभाजन जारी रहता है। जब तक अंश इरेड्यूसेबल नहीं हो जाता।

2. अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।यह सर्वाधिक है तर्कसंगत तरीकाअंशों को कैसे कम करें। इसमें अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना शामिल है। उनमें से, आपको सभी समान चुनने की आवश्यकता है। उनका उत्पाद सबसे बड़ा सामान्य कारक देगा जिससे अंश कम हो जाता है।

ये दोनों विधियां समकक्ष हैं। छात्र को उनमें महारत हासिल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है और जो उसे सबसे अच्छा लगता है उसका उपयोग करता है।

क्या होगा यदि जोड़ और घटाव के अक्षर और संचालन हैं?

प्रश्न के पहले भाग के साथ, सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है। अक्षरों को संख्याओं की तरह ही संक्षिप्त किया जा सकता है। मुख्य बात यह है कि वे गुणक के रूप में कार्य करते हैं। लेकिन दूसरे के साथ, बहुतों को समस्या है।

याद रखना महत्वपूर्ण है! आप केवल उन संख्याओं को कम कर सकते हैं जो कारक हैं। यदि वे शर्तें हैं, तो यह असंभव है।

यह समझने के लिए कि बीजीय व्यंजक की तरह दिखने वाले भिन्नों को कैसे कम किया जाए, आपको नियम सीखने की जरूरत है। सबसे पहले, अंश और हर को गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। तब आप कम कर सकते हैं यदि सामान्य कारक हैं। गुणक के रूप में प्रतिनिधित्व के लिए, निम्नलिखित तरकीबें उपयोगी हैं:

• समूह बनाना;
• ब्रैकेटिंग;
• संक्षिप्त गुणन पहचान का अनुप्रयोग।

इसके अलावा, बाद की विधि कारकों के रूप में शर्तों को तुरंत प्राप्त करना संभव बनाती है। इसलिए, यदि ज्ञात पैटर्न दिखाई दे रहा है तो इसका हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए।

लेकिन यह अभी तक डरावना नहीं है, फिर डिग्री और जड़ों वाले कार्य दिखाई देते हैं। तभी आपको हिम्मत जुटानी होगी और कुछ नए नियम सीखने होंगे।

शक्ति अभिव्यक्ति

अंश। अंश और हर में उत्पाद। अक्षर और संख्याएँ हैं। और वे भी एक शक्ति के लिए उठाए जाते हैं, जिसमें शब्द या कारक भी होते हैं। डरने की बात है।

घातांक के साथ भिन्नों को कम करने का तरीका जानने के लिए, आपको दो बिंदुओं को सीखने की आवश्यकता है:

• यदि घातांक में कोई योग है, तो उसे ऐसे कारकों में विघटित किया जा सकता है, जिनकी घातें मूल पद होंगी;
• यदि अंतर है, तो लाभांश और भाजक में, डिग्री में पहला घटाया जाएगा, दूसरा - घटाया जाएगा।

इन चरणों को पूरा करने के बाद, सामान्य गुणक दिखाई देने लगते हैं। ऐसे उदाहरणों में, सभी शक्तियों की गणना करना आवश्यक नहीं है। यह केवल समान संकेतकों और आधारों के साथ डिग्री को कम करने के लिए पर्याप्त है।

शक्तियों के साथ अंशों को कम करने के तरीके में अंत में महारत हासिल करने के लिए, आपको बहुत अभ्यास की आवश्यकता है। एक ही प्रकार के कई उदाहरणों के बाद, क्रियाएं स्वचालित रूप से की जाएंगी।

क्या होगा यदि व्यंजक में एक जड़ हो?

इसे छोटा भी किया जा सकता है। फिर से, बस नियमों का पालन करें। इसके अलावा, ऊपर वर्णित सभी सत्य हैं। सामान्य तौर पर, यदि प्रश्न यह है कि किसी भिन्न को जड़ों से कैसे कम किया जाए, तो आपको विभाजित करने की आवश्यकता है।

इसे अपरिमेय भावों में भी विभाजित किया जा सकता है। अर्थात्, यदि अंश और हर के गुणनखंड मूल चिह्न के नीचे समान हों, तो उन्हें सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है। यह अभिव्यक्ति को सरल करेगा और काम पूरा करेगा।

यदि, कमी के बाद, अपरिमेयता अंश की रेखा के नीचे रहती है, तो आपको इससे छुटकारा पाने की आवश्यकता है। दूसरे शब्दों में, अंश और हर को इससे गुणा करें। यदि इस ऑपरेशन के बाद सामान्य कारक दिखाई देते हैं, तो उन्हें फिर से कम करने की आवश्यकता होगी।

वह, शायद, भिन्नों को कम करने के तरीके के बारे में है। कुछ नियम, लेकिन एक निषेध। शर्तों को कभी कम न करें!

यह लेख बीजीय अंशों के परिवर्तन के विषय को जारी रखता है: इस तरह की क्रिया को बीजीय अंशों में कमी के रूप में देखें। आइए स्वयं शब्द को परिभाषित करें, संक्षिप्त नाम नियम तैयार करें और व्यावहारिक उदाहरणों का विश्लेषण करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

बीजीय भिन्न का अर्थ

साधारण अंश पर सामग्री में, हमने इसकी कमी पर विचार किया। हमने एक उभयनिष्ठ भिन्न की कमी को उसके अंश और हर को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया है।

बीजगणितीय अंश को कम करना एक समान ऑपरेशन है।

परिभाषा 1

बीजीय अंश में कमीएक सामान्य कारक द्वारा इसके अंश और हर का विभाजन है। इस मामले में, एक साधारण अंश (केवल एक संख्या एक सामान्य हर हो सकती है) की कमी के विपरीत, एक बहुपद, विशेष रूप से, एक मोनोमियल या संख्या, बीजीय अंश के अंश और हर के लिए एक सामान्य कारक के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए, बीजगणितीय भिन्न 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 को संख्या 3 से घटाया जा सकता है, परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. हम उसी भिन्न को चर x से घटा सकते हैं, और इससे हमें व्यंजक 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 प्राप्त होगा। किसी दिए गए भिन्न को एकपदी से घटाना भी संभव है 3 एक्सया बहुपदों में से कोई भी एक्स + 2 वाई, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y या 3 एक्स 2 + 6 एक्स वाई।

बीजीय अंश को कम करने का अंतिम लक्ष्य एक सरल रूप का एक अंश है, सबसे अच्छा एक अपरिवर्तनीय अंश है।

क्या सभी बीजीय भिन्नों में कमी की जा सकती है?

फिर से, साधारण भिन्नों की सामग्री से, हम जानते हैं कि रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस हैं। इरेड्यूसिबल - ये वे भिन्न हैं जिनमें 1 के अलावा अंश और हर के सामान्य गुणनखंड नहीं होते हैं।

बीजीय भिन्नों के साथ, सब कुछ समान है: उनके अंश और हर के सामान्य गुणनखंड हो भी सकते हैं और नहीं भी। सामान्य कारकों की उपस्थिति आपको कमी के माध्यम से मूल अंश को सरल बनाने की अनुमति देती है। जब कोई सामान्य कारक नहीं होते हैं, तो कमी विधि द्वारा दिए गए अंश को अनुकूलित करना असंभव है।

सामान्य मामलों में, किसी दिए गए प्रकार के भिन्न के लिए, यह समझना काफी कठिन है कि क्या यह कमी के अधीन है। बेशक, कुछ मामलों में अंश और हर के एक सामान्य कारक की उपस्थिति स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्न 3 · x 2 3 · y में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि सामान्य गुणनखंड संख्या 3 है।

एक भिन्न में - x · y 5 · x · y · z 3 हम यह भी तुरंत समझ जाते हैं कि इसे x, या y, या x · y से घटाना संभव है। और फिर भी, बीजीय अंशों के उदाहरण बहुत अधिक सामान्य हैं, जब अंश और हर का सामान्य कारक देखना इतना आसान नहीं है, और इससे भी अधिक बार - यह बस अनुपस्थित है।

उदाहरण के लिए, हम भिन्न x 3 - 1 x 2 - 1 को x -1 से कम कर सकते हैं, जबकि निर्दिष्ट सामान्य कारक रिकॉर्ड में नहीं है। लेकिन भिन्न x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 को कम नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अंश और हर का एक सामान्य गुणनखंड नहीं होता है।

इस प्रकार, बीजगणितीय अंश की सिकुड़न का पता लगाने का प्रश्न इतना सरल नहीं है, और यह पता लगाने की कोशिश करने की तुलना में कि क्या यह संविदात्मक है, किसी दिए गए रूप के अंश के साथ काम करना अक्सर आसान होता है। इस मामले में, ऐसे परिवर्तन होते हैं जो विशेष मामलों में हमें अंश और हर के सामान्य कारक को निर्धारित करने या यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देते हैं कि भिन्न अपरिवर्तनीय है। हम लेख के अगले पैराग्राफ में इस मुद्दे का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

बीजीय भिन्न में कमी का नियम

बीजीय भिन्न में कमी का नियमलगातार दो चरणों के होते हैं:

• अंश और हर के सामान्य गुणनखंड ज्ञात करना;
• ऐसा खोजने के मामले में, अंश को कम करने की सीधी कार्रवाई का कार्यान्वयन।

उभयनिष्ठ हर ज्ञात करने का सबसे सुविधाजनक तरीका किसी दिए गए बीजीय भिन्न के अंश और हर में मौजूद बहुपदों का गुणनखंड करना है। यह आपको सामान्य कारकों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को तुरंत देखने की अनुमति देता है।

एक बीजीय अंश को कम करने की क्रिया एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति पर आधारित होती है, जिसे समानता अपरिभाषित द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहां ए, बी, सी कुछ बहुपद हैं, और बी और सी गैर-शून्य हैं। पहला कदम भिन्न को a c b c के रूप में कम करना है, जिसमें हम तुरंत सामान्य कारक c को नोटिस करते हैं। दूसरा चरण कमी करना है, अर्थात। फॉर्म a b के एक अंश में संक्रमण।

विशिष्ट उदाहरण

कुछ स्पष्टता के बावजूद, आइए विशेष मामले के बारे में स्पष्ट करें जब एक बीजीय अंश के अंश और हर बराबर होते हैं। समान भिन्न इस भिन्न के चरों के संपूर्ण ODZ पर समान रूप से 1 के बराबर होते हैं:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; एक्स एक्स = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

चूँकि साधारण भिन्न बीजगणितीय भिन्नों की एक विशेष स्थिति होती है, आइए हम याद करें कि उन्हें कैसे घटाया जाता है। अंश और हर में लिखी गई प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर सार्व गुणनखंड कम हो जाते हैं (यदि कोई हो)।

उदाहरण के लिए, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

साधारण समान कारकों के उत्पाद को डिग्री के रूप में लिखा जा सकता है, और अंश में कमी की प्रक्रिया में, समान आधारों के साथ अंशों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करें। तो उपरोक्त समाधान होगा:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(अंश और हर को एक सामान्य गुणनखंड से विभाजित किया जाता है 2 2 3) या, स्पष्टता के लिए, गुणा और भाग के गुणों के आधार पर, हम समाधान को निम्नलिखित रूप देंगे:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

सादृश्य द्वारा, बीजीय अंशों को घटाया जाता है, जिसमें अंश और हर में पूर्णांक गुणांक वाले एकपदी होते हैं।

उदाहरण 1

एक बीजीय भिन्न दिया गया है - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z । इसे कम करने की जरूरत है।

समाधान

किसी दिए गए भिन्न के अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों और चरों के गुणनफल के रूप में लिखना और फिर घटाना संभव है:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

हालांकि, समाधान को शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति के रूप में लिखने का एक और तर्कसंगत तरीका होगा:

27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 ए 5 बी 2 सी जेड 2 3 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 3 3 2 3 ए 5 ए 2 बी 2 बी 2 सी सी 7 जेड जेड = = - 3 3 - 1 2 ए 5 - 2 1 1 1 सी 7 - 1 1 = - 3 2 ए 3 2 सी 6 = - 9 ए 3 2 सी 6।

उत्तर:- 27 ए 5 बी 2 सी जेड 6 ए 2 बी 2 सी 7 जेड = - 9 ए 3 2 सी 6

जब किसी बीजीय भिन्न के अंश और हर में भिन्नात्मक संख्यात्मक गुणांक होते हैं, तो आगे की कार्रवाई के दो संभावित तरीके होते हैं: या तो इन भिन्नात्मक गुणांकों को अलग-अलग विभाजित करें, या पहले अंश और हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करके भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाएं। . अंतिम परिवर्तन एक बीजीय अंश की मुख्य संपत्ति के कारण किया जाता है (आप इसके बारे में "एक नए भाजक के लिए एक बीजीय अंश को कम करना" लेख में पढ़ सकते हैं)।

उदाहरण 2

भिन्न 2 5 x 0 , 3 x 3 दिया गया है। इसे कम करने की जरूरत है।

समाधान

इस तरह से अंश को कम करना संभव है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

आइए पहले भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के बाद समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें - हम इन गुणांकों के हर के कम से कम सामान्य गुणक द्वारा अंश और हर को गुणा करते हैं, अर्थात। प्रति एलसीएम(5, 10) = 10. तब हमें मिलता है:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2।

उत्तर: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

जब हम सामान्य बीजीय भिन्नों को कम करते हैं, जिसमें अंश और हर एकपदी और बहुपद दोनों हो सकते हैं, एक समस्या संभव है जब सामान्य कारक हमेशा तुरंत दिखाई नहीं देता है। या इससे भी अधिक, यह बस मौजूद नहीं है। फिर, सामान्य कारक निर्धारित करने या इसकी अनुपस्थिति के तथ्य को ठीक करने के लिए, बीजीय अंश के अंश और हर को गुणनखंडित किया जाता है।

उदाहरण 3

एक परिमेय भिन्न 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 दिया गया है। इसे छोटा करने की जरूरत है।

समाधान

आइए हम अंश और हर में बहुपदों का गुणनखंड करें। आइए कोष्ठक करते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49)

हम देखते हैं कि कोष्ठक में व्यंजक को संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके परिवर्तित किया जा सकता है:

2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7)

यह स्पष्ट रूप से देखा गया है कि एक सामान्य कारक द्वारा भिन्न को कम करना संभव है बी 2 (ए + 7). आइए एक कमी करें:

2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

हम समानता की श्रृंखला के रूप में स्पष्टीकरण के बिना एक संक्षिप्त समाधान लिखते हैं:

2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 बी 2 (ए 2 + 14 ए + 49) बी 3 (ए 2 - 49) = = 2 बी 2 (ए + 7) 2 बी 3 (ए - 7) (ए + 7) = 2 (ए + 7) बी (ए - 7) = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी

उत्तर: 2 ए 2 बी 2 + 28 ए बी 2 + 98 बी 2 ए 2 बी 3 - 49 बी 3 = 2 ए + 14 ए बी - 7 बी।

ऐसा होता है कि सामान्य कारक संख्यात्मक गुणांक द्वारा छिपे होते हैं। फिर, अंशों को कम करते समय, अंश और हर की उच्च शक्तियों पर संख्यात्मक कारकों को निकालना इष्टतम होता है।

उदाहरण 4

एक बीजीय भिन्न 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 दिया गया है। हो सके तो इसे कम करना चाहिए।

समाधान

पहली नज़र में, अंश और हर में एक समान भाजक नहीं होता है। हालांकि, आइए दिए गए भिन्न को बदलने का प्रयास करें। हम अंश में गुणनखंड x निकालते हैं:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

अब आप x 2 y के कारण कोष्ठक में दिए गए व्यंजक और हर के व्यंजक में कुछ समानता देख सकते हैं . आइए हम इन बहुपदों की उच्च घातों पर संख्यात्मक गुणांक निकालते हैं:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = - 2 7 x - 7 10 + एक्स 2 वाई 5 एक्स 2 वाई - 7 10

अब सामान्य कारक दिखाई देता है, हम कमी करते हैं:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

उत्तर: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x।

आइए हम इस बात पर जोर दें कि परिमेय भिन्नों को कम करने का कौशल बहुपदों को गुणनखंड करने की क्षमता पर निर्भर करता है।

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