केटीईके
अर्थशास्त्र और लेखा के पीसीसी

15 प्रतियां, 2006

परिचय। 4

व्युत्पन्न की अवधारणा। 5

निजी डेरिवेटिव। ग्यारह

विवर्तन अंक। सोलह

समाधान अभ्यास। 17

परीक्षण। 20

अभ्यास के उत्तर .. 21

साहित्य। 23

परिचय

च (एक्स एक्स, फिर बुलाया सीमांत उत्पाद; अगर जी (एक्स) जी (एक्स) जी′(एक्स)बुलाया सीमांत लागत.

उदाहरण के लिए, चलो समारोह यू = यू (टी) तुमकाम करते समय टी। t=t 1 - t 0:

जेड सीएफ। =

जेड सीएफ. पर t→ 0: .

उत्पादन लागत क एक्स, तो हम लिख सकते हैं के = के (एक्स) x के (एक्स+∆एक्स)। x ∆K=K(x+∆x)- K(x)।

सीमा बुलाया

एक व्युत्पन्न की अवधारणा

बिंदु x 0 . पर फलन का अवकलजतर्क की वृद्धि के लिए फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है, बशर्ते कि तर्क की वृद्धि शून्य हो।

व्युत्पन्न कार्य संकेतन:

उस। ए-प्राथमिकता:

व्युत्पन्न खोजने के लिए एल्गोरिदम:

चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)खंड पर निरंतर , एक्स

1. तर्क की वृद्धि का पता लगाएं:

एक्सतर्क का नया मूल्य है

X 0- आरंभिक मूल्य

2. फ़ंक्शन वृद्धि का पता लगाएं:

एफ (एक्स)फ़ंक्शन का नया मान है

च(x0)-फ़ंक्शन प्रारंभिक मान

3. तर्क वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वृद्धि का अनुपात खोजें:

4. पर पाए गए अनुपात की सीमा ज्ञात कीजिए

व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला:

चलो हम देते है एक्सवेतन वृद्धि x,तो फ़ंक्शन का नया मान होगा:

आइए फ़ंक्शन की वृद्धि को फ़ंक्शन के नए और प्रारंभिक मानों के बीच अंतर के रूप में खोजें:

तर्क वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वृद्धि का अनुपात ज्ञात करें:

.

आइए इस अनुपात की सीमा ज्ञात करें बशर्ते कि:

इसलिए, व्युत्पन्न की परिभाषा से: .

किसी फलन का अवकलज ज्ञात करना कहलाता है भेदभाव.

समारोह वाई = एफ (एक्स)बुलाया विभेदकअंतराल पर (ए;बी) यदि अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर इसका व्युत्पन्न है।

प्रमेययदि फ़ंक्शन किसी दिए गए बिंदु पर अवकलनीय है एक्स 0, तो यह उस बिंदु पर निरंतर है।

विलोम कथन सत्य नहीं है, क्योंकि ऐसे कार्य हैं जो किसी बिंदु पर निरंतर होते हैं लेकिन उस बिंदु पर भिन्न नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु x 0 = 0 पर फलन।

कार्यों के व्युत्पन्न खोजें

1) .

2) .

आइए फ़ंक्शन के समान परिवर्तन करें:

उच्च आदेशों के डेरिवेटिव

दूसरा क्रम व्युत्पन्नप्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न कहा जाता है। लक्षित

एन-ऑर्डर व्युत्पन्न(n-1)-वें क्रम के अवकलज का अवकलज कहलाता है।

उदाहरण के लिए,

आंशिक अवकलज

निजी व्युत्पन्नइनमें से किसी एक चर के संबंध में कई चरों का एक फलन इस चर के संबंध में लिया गया व्युत्पन्न कहलाता है, बशर्ते कि अन्य सभी चर स्थिर रहें।

उदाहरण के लिए, समारोह के लिए पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न बराबर होगा:

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम

उस तर्क का मान जिस पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान होता है, कहलाता है अधिकतम बिंदु.

उस तर्क का मान जिस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान होता है, कहलाता है न्यूनतम बिंदु.

फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु फ़ंक्शन के बढ़ते से घटते संक्रमण का सीमा बिंदु है, फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु घटते से बढ़ते हुए संक्रमण का सीमा बिंदु है.

समारोह वाई = एफ (एक्स)है (स्थानीय) ज्यादा से ज्यादाबिंदु पर यदि सभी के लिए एक्स

समारोह वाई = एफ (एक्स)है (स्थानीय) न्यूनतमबिंदु पर यदि सभी के लिए एक्स, पर्याप्त रूप से करीब , असमानता

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मानों का एक सामान्य नाम होता है चरम सीमाओं, और जिन बिंदुओं पर वे पहुँचे हैं उन्हें कहा जाता है चरम बिंदु.

प्रमेय (एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)) मान लें कि फ़ंक्शन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है और बिंदु पर सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान है। फिर, यदि इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक बिंदु पर मौजूद है, तो यह शून्य के बराबर है, अर्थात। .

प्रमाण:

माना बिंदु x 0 पर फलन का मान सबसे अधिक है, तो किसी के लिए निम्नलिखित असमानता सत्य है:

किसी भी बिंदु के लिए

यदि x > x 0 , तो , अर्थात्।

यदि x< x 0 , то , т.е.

क्योंकि मौजूद है, जो तभी संभव है जब वे शून्य के बराबर हों, इसलिए,।

परिणाम:

यदि किसी बिंदु पर अवकलनीय फलन सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लेता है, तो उस बिंदु पर इस फलन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

जिन बिंदुओं पर पहला अवकलज शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है, कहलाते हैं गंभीर -ये संभावित चरम बिंदु हैं।

ध्यान दें कि चूंकि पहले व्युत्पन्न की शून्य से समानता केवल एक चरम सीमा के लिए एक आवश्यक शर्त है, इसलिए संभावित चरम के प्रत्येक बिंदु पर एक चरम की उपस्थिति के प्रश्न की अतिरिक्त जांच करना आवश्यक है।

प्रमेय(चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति)

चलो समारोह वाई = एफ (एक्स) बिंदु के कुछ पड़ोस में निरंतर और अलग-अलग है x0.यदि, एक बिंदु से गुजरते समय X 0बाएं से दाएं, पहला व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस (माइनस से प्लस तक) पर हस्ताक्षर करता है, फिर बिंदु पर X 0समारोह वाई = एफ (एक्स) अधिकतम (न्यूनतम) है। यदि पहला व्युत्पन्न संकेत नहीं बदलता है, तो इस फ़ंक्शन का बिंदु पर कोई चरम नहीं है एक्स 0।

एक चरम के लिए एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1. फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें।

2. पहले व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें।

3. समीकरण को हल करें। समीकरण की मिली जड़ें महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

4. पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं को संख्यात्मक अक्ष पर रखें। हमें कई अंतराल मिलते हैं।

5. प्रत्येक अंतराल में प्रथम अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए और फलन का एक्स्ट्रेमा इंगित कीजिए।

6. ग्राफ बनाने के लिए:

चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान निर्धारित करें

Ø निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें

Ø अतिरिक्त अंक खोजें

टिन में त्रिज्या के एक गोल सिलेंडर का आकार हो सकता है आरऔर ऊंचाई एच. यह मानते हुए कि कैन बनाने के लिए स्पष्ट रूप से निश्चित मात्रा में टिन का उपयोग किया जाता है, यह निर्धारित करें कि के बीच किस अनुपात में है आरऔर एचबैंक का वॉल्यूम सबसे ज्यादा होगा।

उपयोग किए गए टिन की मात्रा कैन की पूरी सतह के क्षेत्रफल के बराबर होगी, अर्थात। . (एक)

इस समानता से हम पाते हैं:

तब मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है: . फ़ंक्शन का अधिकतम पता लगाने के लिए समस्या कम हो जाएगी वी (आर). इस फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें: . पहले व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

. हम ढूंढे: । (2)

यह बिंदु अधिकतम बिंदु है, क्योंकि पहला व्युत्पन्न पर सकारात्मक है और पर नकारात्मक है।

आइए अब हम यह स्थापित करें कि त्रिज्या और ऊंचाई के बीच किस अनुपात में बैंक का आयतन सबसे अधिक होगा। ऐसा करने के लिए, हम समानता (1) को . से विभाजित करते हैं r2और उपयोग संबंध (2) के लिए एस. हम पाते हैं: । इस प्रकार, सबसे बड़े आयतन में एक जार होगा जिसकी ऊँचाई व्यास के बराबर होगी।

कभी-कभी संभावित चरम बिंदु के बाईं ओर और दाईं ओर पहले व्युत्पन्न के संकेत का अध्ययन करना काफी कठिन होता है, तो आप इसका उपयोग कर सकते हैं दूसरी पर्याप्त चरम स्थिति:

प्रमेयचलो समारोह वाई = एफ (एक्स) बिंदु पर है X 0संभावित चरम, अंतिम दूसरा व्युत्पन्न। फिर समारोह वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर है X 0अधिकतम अगर , और न्यूनतम अगर .

टिप्पणी यह ​​प्रमेय एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के चरम की समस्या को हल नहीं करता है यदि दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

विभक्ति बिंदु

वक्र के वे बिंदु जिन पर उत्तलता उत्तलता से अलग होती है, कहलाती है विभक्ति बिंदु.

प्रमेय (आवश्यक विभक्ति बिंदु स्थिति): मान लीजिए कि फलन के ग्राफ में एक बिंदु पर एक विभक्ति है और फलन का बिंदु x 0 पर एक सतत द्वितीय अवकलज है, तो

प्रमेय (विभक्ति बिंदु के लिए पर्याप्त स्थिति): मान लें कि फ़ंक्शन का बिंदु x 0 के कुछ पड़ोस में दूसरा व्युत्पन्न है, जिसके बाईं और दाईं ओर अलग-अलग संकेत हैं X 0. तब फ़ंक्शन के ग्राफ़ में बिंदु पर एक विभक्ति होती है।

विभक्ति बिंदु खोजने के लिए एल्गोरिथ्म:

1. फलन का दूसरा अवकलज ज्ञात कीजिए।

2. दूसरे अवकलज को शून्य से समीकृत कीजिए और समीकरण को हल कीजिए। परिणामी जड़ों को एक संख्या रेखा पर रखें। हमें कई अंतराल मिलते हैं।

3. प्रत्येक अंतराल में दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि दो आसन्न अंतरालों में दूसरे अवकलज के चिह्न भिन्न हैं, तो हमारे पास मूल के दिए गए मान पर एक विभक्ति बिंदु है, यदि चिह्न समान हैं, तो कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं।

4. विभक्ति बिंदुओं के निर्देशांक खोजें।

उत्तलता और अवतलता के लिए वक्र का परीक्षण कीजिए। विभक्ति बिंदु खोजें।

1) दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

2) असमानता को हल करें 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) असमानता को हल करें 2x>0 x>0 x के लिए वक्र अवतल है

4) विभक्ति बिंदु खोजें, जिसके लिए हम दूसरे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं: 2x = 0 x = 0। क्योंकि बिंदु पर x=0 दूसरे व्युत्पन्न के बाएं और दाएं अलग-अलग संकेत हैं, फिर x=0 विभक्ति बिंदु का भुज है। विभक्ति बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए:

(0;0) विभक्ति बिंदु।

हल करने के लिए व्यायाम

नंबर 1 इन कार्यों के व्युत्पन्न खोजें, दिए गए तर्क मान के लिए डेरिवेटिव के मूल्य की गणना करें:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

# 2 जटिल कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

नंबर 3 समस्याओं का समाधान करें:

1. बिंदु x=3 पर परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।

2. परवलय y \u003d 3x 2 -x बिंदु x \u003d 1 पर, एक स्पर्शरेखा और एक सामान्य खींचा जाता है। उनके समीकरण लिखिए।

3. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिस पर परवलय y=x 2 +3x-10 की स्पर्श रेखा OX अक्ष के साथ 135 0 का कोण बनाती है।

4. OX अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पर फ़ंक्शन y \u003d 4x-x 2 के ग्राफ़ में स्पर्शरेखा के समीकरण की रचना करें।

5. x के किन मानों पर y \u003d x 3 -x सीधी रेखा y \u003d x के समानांतर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है।

6. नियम S=2t 3 -3t 2 +4 के अनुसार बिंदु एक सीधी रेखा में चलता है। तीसरे सेकंड के अंत में बिंदु का त्वरण और गति पाएं। किस समय त्वरण शून्य होगा?

7. नियम S=t 2 -4t+5 के अनुसार किसी बिंदु की गति कब शून्य के बराबर होती है?

#4 व्युत्पन्न का उपयोग करके कार्यों का अन्वेषण करें:

1. एकरसता के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 2 की जांच करें

2. फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए .

3. फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए।

4. अधिकतम और न्यूनतम फ़ंक्शन का अन्वेषण करें .

5. एक चरम के लिए फ़ंक्शन का अन्वेषण करें .

6. एक चरम के लिए फ़ंक्शन y \u003d x 3 की जांच करें

7. एक चरम के लिए कार्य का अन्वेषण करें .

8. संख्या 24 को दो पदों में विभाजित करें ताकि उनका गुणनफल सबसे बड़ा हो।

9. कागज की एक शीट से, एक आयत को काटना आवश्यक है जिसका क्षेत्रफल 100 सेमी 2 है ताकि इस आयत का परिमाप सबसे छोटा हो। इस आयत की भुजाएँ क्या होनी चाहिए?

10. एक चरम के लिए फलन y=2x 3 -9x 2 +12x-15 की जांच करें और उसका ग्राफ बनाएं।

11. वक्रता और उत्तलता के लिए वक्र का परीक्षण कीजिए।

12. वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल ज्ञात कीजिए .

13. कार्यों के विभक्ति बिंदु खोजें: ए); बी) ।

14. फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और इसका ग्राफ बनाएं।

15. फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और इसका ग्राफ बनाएं।

16. समारोह का अन्वेषण करें और इसे प्लॉट करें।

17. खंड पर फ़ंक्शन y \u003d x 2 -4x + 3 का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

टेस्ट प्रश्न और उदाहरण

1. एक व्युत्पन्न परिभाषित करें।

2. तर्क की वृद्धि को क्या कहते हैं? समारोह वृद्धि?

3. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ क्या है?

4. विभेदन किसे कहते हैं?

5. व्युत्पन्न के मुख्य गुणों की सूची बनाएं।

6. किस प्रकार्य को सम्मिश्र कहते हैं? वापस?

7. द्वितीय कोटि के अवकलज की अवधारणा दीजिए।

8. किसी सम्मिश्र फलन में अंतर करने के लिए एक नियम बनाइए?

9. शरीर S=S(t) नियम के अनुसार एक सीधी रेखा में गति करता है। आंदोलन के बारे में क्या कहा जा सकता है यदि:

5. फलन कुछ अंतराल पर बढ़ रहा है। क्या इससे यह पता चलता है कि इस अंतराल पर इसका व्युत्पन्न धनात्मक है?

6. फलन की चरम सीमा क्या कहलाती है?

7. क्या किसी निश्चित अंतराल पर फलन का सबसे बड़ा मान आवश्यक रूप से अधिकतम बिंदु पर फलन के मान से मेल खाता है?

8. फ़ंक्शन को पर परिभाषित किया गया है। क्या बिंदु x=a इस फलन का चरम बिंदु हो सकता है?

10. बिंदु x 0 पर फलन का अवकलज शून्य है। क्या यहाँ से यह पता चलता है कि x 0 इस फलन का चरम बिंदु है?

परीक्षण

1. इन कार्यों के व्युत्पन्न खोजें:

ए)	इ)
बी)	जी)
साथ)	एच)
इ)	और)

2. परवलय y=x 2 -2x-15 की स्पर्श रेखाओं के समीकरण लिखिए: a) भुज x=0 वाले बिंदु पर; बी) एब्सिस्सा अक्ष के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पर।

3. फलन के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात कीजिए

4. फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और इसे प्लॉट करें

5. समय t=0 पर नियम के अनुसार गतिमान बिंदु की गति और त्वरण ज्ञात कीजिए s =2e 3 t

अभ्यास के उत्तर

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (भागफल के व्युत्पन्न के सूत्र का उपयोग करके परिणाम प्राप्त किया जाता है)। आप इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल कर सकते हैं:

5.

8. यदि प्रत्येक पद 12 के बराबर हो तो गुणनफल सबसे बड़ा होगा।

9. आयत का परिमाप सबसे छोटा होगा यदि आयत की प्रत्येक भुजा 10 सेमी है, अर्थात। एक वर्ग काट लें।

17. खंड पर, फ़ंक्शन सबसे बड़ा मान लेता है, 3 के बराबर जब एक्स = 0और सबसे छोटा मान -1 at . के बराबर है एक्स = 2.

साहित्य

1.	व्लासोव वी.जी. उच्च गणित, मॉस्को, आइरिस, 96 . पर व्याख्यान का सार
2.	तारासोव एन.पी. तकनीकी स्कूलों के लिए उच्च गणित का पाठ्यक्रम, एम., 87
3.	आई.आई. वलुत्से, जी.डी. तकनीकी स्कूलों के लिए दिलीगुल गणित, एम।, विज्ञान, 90g
4.	I.P.Matskevich, G.P.Svirid उच्च गणित, मिन्स्क, उच्च गणित। स्कूल, 93
5.	V.S.Schipachev उच्च गणित की बुनियादी बातों, M.Vyssh.shkola89
6.	V.S.Schipachev उच्च गणित, M.Vyssh.shkola 85g
7.	वी.पी. माइनर्स्की उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, एम. नौका 67g
8.	O.N.Afanasyeva तकनीकी स्कूलों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह, M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik गणित, M.Vyssh.shkola 91g
10.	एन.वी. बोगोमोलोव गणित में व्यावहारिक पाठ, एम. हायर स्कूल 90
11.	अर्थशास्त्रियों के लिए एच.ई. क्रिंस्की गणित, एम. सांख्यिकी 70g
12.	L.G.Korsakova प्रबंधकों के लिए उच्च गणित, कैलिनिनग्राद, KSU, 97।

कलिनिनग्राद वाणिज्य और आर्थिक कॉलेज

विषय के अध्ययन के लिए

"एक समारोह का व्युत्पन्न"

विशेषता 080110 "अर्थशास्त्र और लेखा", 080106 "वित्त" के छात्रों के लिए,
080108 "बैंकिंग", 230103 "स्वचालित सूचना प्रसंस्करण और प्रबंधन प्रणाली"

फेडोरोवा ई.ए. द्वारा संकलित

कैलिनिनग्राद

समीक्षक: गोर्स्काया नताल्या व्लादिमीरोवना, व्याख्याता, कैलिनिनग्राद कॉलेज ऑफ ट्रेड एंड इकोनॉमिक्स

इस मैनुअल में, डिफरेंशियल कैलकुलस की बुनियादी अवधारणाओं पर विचार किया गया है: व्युत्पन्न की अवधारणा, डेरिवेटिव के गुण, विश्लेषणात्मक ज्यामिति और यांत्रिकी में अनुप्रयोग, बुनियादी विभेदन सूत्र दिए गए हैं, उदाहरण दिए गए हैं जो सैद्धांतिक सामग्री को चित्रित करते हैं। मैनुअल स्वतंत्र कार्य के लिए अभ्यास, उनके उत्तर, प्रश्न और मध्यवर्ती ज्ञान नियंत्रण के लिए नमूना कार्यों के साथ पूरक है। माध्यमिक विशेष शैक्षणिक संस्थानों में "गणित" अनुशासन का अध्ययन करने वाले छात्रों के लिए बनाया गया है, पूर्णकालिक, अंशकालिक, शाम की शिक्षा, बाहरी छात्रों का अध्ययन कर रहे हैं या मुफ्त उपस्थिति रखते हैं।

केटीईके
अर्थशास्त्र और लेखा के पीसीसी

15 प्रतियां, 2006

परिचय। 4

ज्ञान और कौशल के लिए आवश्यकताएँ.. 5

व्युत्पन्न की अवधारणा। 5

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ। 7

व्युत्पन्न का यांत्रिक अर्थ। 7

भेदभाव के बुनियादी नियम। आठ

बुनियादी कार्यों को अलग करने के लिए सूत्र। नौ

प्रतिलोम फलन का व्युत्पन्न। नौ

जटिल कार्यों का अंतर। दस

उच्च आदेशों के डेरिवेटिव। ग्यारह

निजी डेरिवेटिव। ग्यारह

डेरिवेटिव की मदद से कार्यों की जांच। ग्यारह

बढ़ते और घटते कार्य। ग्यारह

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम। तेरह

वक्र की उत्तलता और अवतलता। पंद्रह

विवर्तन अंक। सोलह

कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए सामान्य योजना। 17

समाधान अभ्यास। 17

टेस्ट प्रश्न और उदाहरण .. 20

परीक्षण। 20

अभ्यास के उत्तर .. 21

साहित्य। 23

परिचय

गणितीय विश्लेषण कई मूलभूत अवधारणाएँ देता है जिन पर एक अर्थशास्त्री संचालित होता है - यह एक कार्य, सीमा, व्युत्पन्न, अभिन्न, अंतर समीकरण है। आर्थिक अनुसंधान में, डेरिवेटिव को संदर्भित करने के लिए अक्सर विशिष्ट शब्दावली का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि च (एक्स) एक उत्पादन फलन है जो कारक की लागत पर किसी उत्पाद के उत्पादन की निर्भरता को व्यक्त करता है एक्स, फिर बुलाया सीमांत उत्पाद; अगर जी (एक्स)एक लागत फलन है, अर्थात्। समारोह जी (एक्स)उत्पादन की मात्रा x पर कुल लागत की निर्भरता को व्यक्त करता है, तो जी′(एक्स)बुलाया सीमांत लागत.

अर्थशास्त्र में सीमांत विश्लेषण- उत्पादन, खपत आदि की मात्रा में परिवर्तन होने पर बदलती लागत या परिणामों का अध्ययन करने के तरीकों का एक सेट। उनके सीमित मूल्यों के विश्लेषण के आधार पर।

उदाहरण के लिए, उत्पादकता ढूँढना।चलो समारोह यू = यू (टी), उत्पादित उत्पादों की मात्रा को व्यक्त करते हुए तुमकाम करते समय टी।आइए समय के दौरान उत्पादित माल की मात्रा की गणना करें t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0)।

औसत श्रम उत्पादकताखर्च किए गए समय के लिए उत्पादित उत्पादन की मात्रा का अनुपात है, अर्थात। जेड सीएफ। =

कार्यकर्ता उत्पादकताफिलहाल t 0 को वह सीमा कहा जाता है जिस तक जेड सीएफ. पर t→ 0: .इसलिए, श्रम उत्पादकता की गणना व्युत्पन्न की गणना के लिए कम हो जाती है:

उत्पादन लागत कसजातीय उत्पाद उत्पादों की मात्रा का एक कार्य है एक्स, तो हम लिख सकते हैं के = के (एक्स). आइए मान लें कि उत्पादन की मात्रा बढ़ जाती है x. उत्पादन की मात्रा x+∆x उत्पादन लागत से मेल खाती है के (एक्स+∆एक्स)।इसलिए, उत्पादन की मात्रा में वृद्धि xउत्पादन लागत में वृद्धि के अनुरूप है ∆K=K(x+∆x)- K(x)।

उत्पादन लागत की औसत वृद्धि K/∆x है। यह उत्पादन की मात्रा में प्रति इकाई वृद्धि की उत्पादन लागत में वृद्धि है।

सीमा बुलाया उत्पादन की सीमांत लागत।

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गाइड की सूची इज़ोफ़ातोवा नीना मित्रोफ़ानोव्ना - निदेशक

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1999 में, एक अंतरराष्ट्रीय परियोजना के ढांचे के भीतर, अकादमिक मामलों के उप निदेशक, लिडिया इवानोव्ना मोटोलियानेट्स के प्रयासों के लिए धन्यवाद, एक नकली फर्म बनाई गई थी - एक उद्यम मॉडल जो एक वास्तविक व्यापार संगठन की गतिविधियों को दर्शाता है, एक प्रभावी विशेष रूप है लघु व्यवसाय के क्षेत्र में काम करने वाले सभी स्तरों पर कर्मियों के लिए उन्नत प्रशिक्षण।

सामूहिक का मिशन - एक ऐसी शिक्षा की गारंटी देना जो समाज की जरूरतों को पूरा करे, और एक पूरे व्यक्ति के निर्माण में योगदान करे - पूरी तरह से लागू किया जा रहा है। कैलिनिनग्राद कॉलेज ऑफ ट्रेड एंड इकोनॉमिक्स का अर्थ है व्यावसायिकता, जिम्मेदारी और प्रतिष्ठा।