चलो दो विमान दिए गए हैं

पहले विमान में एक सामान्य वेक्टर (ए 1; बी 1; सी 1) है, दूसरा विमान (ए 2; बी 2; सी 2) है।

यदि तल समानांतर हैं, तो सदिश और संरेख हैं, अर्थात्। = l कुछ संख्या l के लिए। इसलिए

समतल की समांतरता की स्थिति।

विमानों के संयोग की स्थिति:

,

चूँकि इस स्थिति में, दूसरे समीकरण को l = से गुणा करने पर हमें पहला समीकरण प्राप्त होता है।

यदि समांतरता की स्थिति पूरी नहीं होती है, तो विमान प्रतिच्छेद करते हैं। विशेष रूप से, यदि विमान लंबवत हैं, तो सदिश भी लंबवत हैं। इसलिए, उनका अदिश गुणनफल 0 के बराबर है, अर्थात। = 0, या

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 + सी 1 सी 2 \u003d 0।

विमानों के लंबवत होने के लिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

दो विमानों के बीच का कोण।

दो तलों के बीच का कोण

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 \u003d 0,

ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 \u003d 0

उनके सामान्य वैक्टर के बीच का कोण है और इसलिए

कोसज = =
.

अंतरिक्ष में सीधी रेखा।

एक सीधी रेखा के वेक्टर-पैरामीट्रिक समीकरण।

परिभाषा। दिशा वेक्टर सीधेकिसी रेखा पर या उसके समांतर स्थित किसी सदिश को कहते हैं।

बिंदु M 0 (x 0; y 0; z 0) से गुजरने वाली और एक दिशा सदिश = (a 1; a 2; a 3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण बनाइए।

बिंदु M 0 सदिश से अलग सेट करें . मान लीजिए M(x; y; z) दी गई रेखा का एक मनमाना बिंदु है, और बिंदु 0 की त्रिज्या-सदिश। फिर , , इसीलिए . इस समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा के वेक्टर-पैरामीट्रिक समीकरण।

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण।

सीधी रेखा के सदिश-पैरामीट्रिक समीकरण में समन्वय संबंधों (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t को पास करेगा। यहाँ से हमें मिलता है सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण

एक्स \u003d एक्स 0 + ए 1 टी,

वाई = वाई 0 + ए 2 टी, (4)

एक सीधी रेखा के विहित समीकरण।

समीकरण (4) से हम t व्यक्त करते हैं:

टी =, टी = , टी = ,

हमें कहाँ मिलता है रेखा के विहित समीकरण

= = (5)

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए दो बिंदु M 1 (x 1; y 1; z 1) और M 2 (x 2; y 2; z 2) दिए गए हैं। सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के रूप में, आप सदिश = . ले सकते हैं (एक्स 2 - एक्स 1; वाई 2 - वाई 1; जेड 2 - जेड 1)। चूंकि रेखा बिंदु M 1 (x 1; y 1; z 1) से होकर गुजरती है, तो इसके विहित समीकरण (5) के अनुसार फॉर्म में लिखे जाएंगे

(6)

दो रेखाओं के बीच का कोण।

दिशा सदिशों वाली दो सीधी रेखाओं पर विचार करें = (a 1; a 2; a 3) तथा .

रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है, इसलिए

कोसज = =
(7)

रेखाओं की लंबवतता की स्थिति:

ए 1 इन 1 + ए 2 इन 2 + ए 3 इन 3 = 0।

समानांतर रेखाओं की स्थिति:

मैं,

. (8)

अंतरिक्ष में रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था।

दो पंक्तियाँ दी जाए
और
.

स्पष्ट रूप से, रेखाएँ एक ही तल में होती हैं यदि और केवल यदि सदिश , तथा कोपलानर, यानी

= 0 (9)

यदि (9) में पहली दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं। यदि तीनों रेखाएँ समानुपाती हों, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। यदि शर्त (9) संतुष्ट है और पहली दो पंक्तियाँ समानुपाती नहीं हैं, तो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

अगर
0, तो रेखाएँ तिरछी होती हैं।

एक सीधी रेखा और अंतरिक्ष में एक समतल पर समस्याएँ।

एक सीधी रेखा दो समतलों का प्रतिच्छेदन है।

चलो दो विमान दिए गए हैं

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 \u003d 0,

ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 \u003d 0

यदि विमान समानांतर नहीं हैं, तो स्थिति का उल्लंघन होता है

.

चलो, उदाहरण के लिए, ।

आइए उस सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें जिसके साथ विमान प्रतिच्छेद करते हैं।

वांछित सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में, हम वेक्टर ले सकते हैं

= × = =
.

वांछित रेखा से संबंधित एक बिंदु खोजने के लिए, हम कुछ मान तय करते हैं

z = z 0 और निकाय को हल करना

,

हमें मान \u200b\u200bx \u003d x 0, y \u003d y 0 मिलते हैं। तो, वांछित बिंदु M (x 0; y 0; z 0) है।

आवश्यक समीकरण

.

एक सीधी रेखा और एक समतल की पारस्परिक व्यवस्था।

मान लीजिए कि सरल रेखा x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t दिया गया है।

और विमान

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 \u003d 0।

एक रेखा और एक तल के उभयनिष्ठ बिंदुओं को खोजने के लिए, उनके समीकरणों के निकाय को हल करना आवश्यक है

ए 1 (एक्स 0 + ए 1 टी) + बी 1 (वाई 0 + ए 2 टी) + सी 1 (जेड 0 + ए 3 टी) + डी 1 = 0,

(ए 1 ए 1 + बी 1 ए 2 + सी 1 ए 3) टी + (ए 1 एक्स 0 + बी 1 वाई 0 + सी 1 जेड 0 + डी 1) = 0।

अगर ए 1 ए 1 + बी 1 ए 2 + सी 1 ए 3 ¹ 0, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है

टी = टी 0 = -
.

इस स्थिति में, रेखा और तल एक बिंदु M 1 (x 1; y 1; z 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहाँ

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

यदि ए 1 ए 1 + बी 1 ए 2 + सी 1 ए 3 \u003d 0, ए 1 एक्स 0 + बी 1 वाई 0 + सी 1 जेड 0 + डी 1 ¹ 0, तो रेखा और विमान में सामान्य बिंदु नहीं होते हैं , यानी। समानांतर हैं।

यदि ए 1 ए 1 + बी 1 ए 2 + सी 1 ए 3 \u003d 0, ए 1 एक्स 0 + बी 1 वाई 0 + सी 1 जेड 0 + डी 1 \u003d 0, तो रेखा विमान से संबंधित है।

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण।

अंतरिक्ष में विमानों की पारस्परिक व्यवस्था

अंतरिक्ष में दो विमानों की पारस्परिक व्यवस्था के साथ, दो परस्पर अनन्य मामलों में से एक संभव है।

1. दो तलों का एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है। फिर, दो तलों के प्रतिच्छेदन के अभिगृहीत द्वारा, उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है। अभिगृहीत R5 कहता है: यदि दो तलों का एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो इन तलों का प्रतिच्छेदन उनकी उभयनिष्ठ रेखा है। इस अभिगृहीत से यह निष्कर्ष निकलता है कि समतलों के लिए ऐसे तलों को प्रतिच्छेदी कहते हैं।

दोनों विमानों में एक सामान्य बिंदु नहीं है।

3. दो तल संपाती होते हैं

3. समतल और अंतरिक्ष में सदिश

एक वेक्टर एक निर्देशित रेखा खंड है। इसकी लंबाई को खंड की लंबाई माना जाता है। यदि दो बिंदु M1 (x1, y1, z1) और M2 (x2, y2, z2) दिए गए हैं, तो सदिश

यदि दो सदिश दिए गए हैं और तब

1. वैक्टर की लंबाई

2. वैक्टर का योग:

3. दो सदिशों a और b का योग इन सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है, जो उनके अनुप्रयोग के एक उभयनिष्ठ बिंदु (समांतर चतुर्भुज नियम) से आता है; या एक वेक्टर जो पहले वेक्टर की शुरुआत को अंतिम के अंत से जोड़ता है - त्रिभुज नियम के अनुसार। तीन सदिशों का योग a, b, c इन सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण है (समांतर चतुर्भुज का नियम)।

विचार करना:

• 1. निर्देशांक का मूल बिंदु A पर है;
• 2. घन की भुजा एक खंड है।
• 3. हम OX अक्ष को AB किनारे पर, OY को AD किनारे पर और OZ अक्ष को AA1 किनारे पर निर्देशित करते हैं।

घन के निचले तल के लिए

डीईएफ़। अंतरिक्ष में दो तलों को समानांतर कहा जाता है यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, अन्यथा वे प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रमेय1: यदि एक तल की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्रमशः दूसरे तल की दो रेखाओं के समानांतर हों, तो ये तल समानांतर होते हैं।

प्रमाण:

मान लीजिए और दिए गए समतल, a1 और a2 - समतल में रेखाएँ जो बिंदु A, b1 और b2 पर प्रतिच्छेद करती हैं - उनके समानांतर रेखाएँ, क्रमशः,

विमान आइए मान लें कि विमान और समानांतर नहीं हैं, यानी। किसी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। प्रमेय के अनुसार, रेखाएँ a1 और a2, रेखाओं b1 और b2 के समानांतर होने के कारण, समतल के समानांतर हैं, और इसलिए वे नहीं हैं

इस तल में पड़ी रेखा c को प्रतिच्छेद करें। इस प्रकार, दो सीधी रेखाएँ (a1 और a2) समतल में बिंदु A से होकर रेखा c के समानांतर गुजरती हैं। लेकिन समानांतर स्वयंसिद्ध के अनुसार यह असंभव है। हम सीटीडी के एक विरोधाभास पर पहुंचे हैं।

लंबवत विमान: दो प्रतिच्छेदी तलों को लम्बवत कहा जाता है यदि एक तीसरा तल, इन तलों के प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत्, उन्हें लंब रेखाओं के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है।

प्रमेय 2: यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।

प्रमाण:

मान लीजिए कि एक समतल है, β उस पर लंबवत एक रेखा हो, रेखा β से गुजरने वाला एक तल हो, c एक ऐसी रेखा हो जिसके साथ तल हों और प्रतिच्छेद करें। आइए हम साबित करें कि विमान और लंबवत हैं। आइए हम विमान में रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से विमान को रेखा a के साथ खींचते हैं,

सीधी रेखा के लंबवत। आइए लाइनों के माध्यम से और विमान में ड्रा करें। यह रेखा c के लंबवत है, क्योंकि रेखा c, रेखा a और b के लंबवत है। चूँकि रेखाएँ a और b लंबवत हैं, तल और लंबवत हैं। एच.टी.डी.

42. समतल का सामान्य समीकरण और उसके गुण

सामान्य (सामान्यीकृत) समतल समीकरण

वेक्टर रूप में:

जहां एक इकाई वेक्टर है, मूल से पी की दूरी है। समीकरण (2) समीकरण (1) से सामान्यीकरण कारक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है

(संकेत और विपरीत)।

43. अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरण: सामान्य समीकरण, विहित और पैरामीट्रिक समीकरण।

विहित समीकरण:

हम किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं और दिए गए दिशा वेक्टर के समानांतर। ध्यान दें कि एक बिंदु इस रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि सदिश और संरेख हैं। इसका मतलब है कि इन वैक्टर के निर्देशांक आनुपातिक हैं:

इन समीकरणों को विहित कहा जाता है। ध्यान दें कि एक या दो दिशा सदिश निर्देशांक शून्य हो सकते हैं। लेकिन हम इसे एक अनुपात के रूप में देखते हैं: हम इसे समानता के रूप में समझते हैं।

सामान्य समीकरण:

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0

जहां गुणांक A1-C1 A2-C2 के समानुपाती नहीं है, जो इसे विमानों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा के रूप में स्थापित करने के बराबर है

पैरामीट्रिक:

अलग-अलग मानों के लिए बिंदु वैक्टर से स्थगित, निर्देशन वेक्टर के समरेखीय, हम स्थगित वैक्टर के अंत में हमारी सीधी रेखा के विभिन्न बिंदु प्राप्त करेंगे। समानता से यह निम्नानुसार है:

चर को एक पैरामीटर कहा जाता है। चूंकि रेखा के किसी भी बिंदु के लिए एक समान पैरामीटर मान होता है और चूंकि रेखा के विभिन्न बिंदु पैरामीटर के विभिन्न मानों के अनुरूप होते हैं, इसलिए पैरामीटर मानों और रेखा के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है। . जब पैरामीटर सभी वास्तविक संख्याओं से से तक चलता है, तो संबंधित बिंदु पूरी रेखा से चलता है।

44. रैखिक अंतरिक्ष की अवधारणा। स्वयंसिद्ध। रैखिक रिक्त स्थान के उदाहरण

एक रेखीय स्थान का एक उदाहरण सभी ज्यामितीय सदिशों का समुच्चय है।

रैखिक, या वेक्टरस्थानमैदान के ऊपर पी- यह एक गैर-रिक्त सेट है ली, जिस पर संचालन शुरू किया जाता है

इसके अलावा, अर्थात्, सेट के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी एक ही सेट के एक तत्व से जुड़ी होती है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है

एक अदिश से गुणा (अर्थात, क्षेत्र का एक तत्व पी), यानी किसी भी तत्व और किसी भी तत्व का मिलान उस तत्व से किया जाएगा, जिसे दर्शाया गया है।

इस मामले में, ऑपरेशन पर निम्नलिखित शर्तें लगाई जाती हैं:

किसी के लिए ( जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता);

किसी के लिए ( इसके अलावा सहयोगीता);

एक तत्व ऐसा है कि किसी के लिए ( जोड़ के संबंध में एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व), विशेष रूप से लीखाली नहीं;

किसी के लिए एक ऐसा तत्व है कि (एक विपरीत तत्व का अस्तित्व).

(एक अदिश से गुणन की साहचर्यता);

(एक तटस्थ (गुणा द्वारा) क्षेत्र तत्व द्वारा गुणापीवेक्टर बचाता है).

(अदिश के योग के संबंध में एक सदिश द्वारा गुणन का वितरण);

(वेक्टर जोड़ के संबंध में एक अदिश द्वारा गुणन का वितरण).

तत्वों को सेट करें लीबुलाया वैक्टर, और क्षेत्र तत्व पी-अदिश. गुण 1-4 एबेलियन समूह के स्वयंसिद्धों से मेल खाते हैं।

सबसे सरल गुण

सदिश समष्टि योग द्वारा एक आबेलियन समूह है।

केवल तटस्थ तत्व ही समूह गुणों से उत्पन्न होता है।

किसी के लिए भी ।

किसी भी विपरीत तत्व के लिए केवल वही है जो समूह गुणों से अनुसरण करता है।

किसी के लिए भी ।

किसी और के लिए

किसी के लिए भी ।

एक रैखिक स्थान के तत्वों को सदिश कहा जाता है। एक स्थान को वास्तविक कहा जाता है यदि इसमें एक संख्या से सदिशों को गुणा करने की संक्रिया को केवल वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाता है, और जटिल यदि यह संक्रिया केवल सम्मिश्र संख्याओं के लिए परिभाषित की जाती है।

45. एक रैखिक स्थान का आधार और आयाम, उनके बीच संबंध।

दृश्य का अंतिम योग

गुणांक वाले तत्वों का रैखिक संयोजन कहलाता है।

एक रैखिक संयोजन को गैर-तुच्छ कहा जाता है यदि इसका कम से कम एक गुणांक गैर-शून्य है।

तत्वों को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि उनमें के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन होता है। अन्यथा, इन तत्वों को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है।

L से सदिशों के एक अनंत उपसमुच्चय को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि इसका कुछ परिमित उपसमुच्चय रैखिक रूप से निर्भर है, और रैखिक रूप से स्वतंत्र है यदि इसका कोई परिमित उपसमुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

अंतरिक्ष के अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय के तत्वों (कार्डिनैलिटी) की संख्या इस उपसमुच्चय की पसंद पर निर्भर नहीं करती है और इसे स्थान का रैंक, या आयाम कहा जाता है, और इस उपसमुच्चय को ही आधार (हैमेल आधार) कहा जाता है। या रैखिक आधार)। आधार के तत्वों को आधार सदिश भी कहा जाता है। आधार गुण:

किसी n-आयामी अंतरिक्ष का कोई भी n रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व इस स्थान का आधार बनाता है।

किसी भी वेक्टर को मूल तत्वों के परिमित रैखिक संयोजन के रूप में (विशिष्ट रूप से) दर्शाया जा सकता है:

46. ​​वेक्टर किसी दिए गए आधार पर निर्देशांक करता है। निर्देशांक रूप में वैक्टर के साथ रैखिक संचालन

मद 4. वैक्टर के साथ रैखिक संचालनसमन्वयप्रपत्ररिकॉर्ड।

आज्ञा देना एक आधार स्थान हो और इसके दो मनमाना सदिश हों। आज्ञा देना तथा समन्वय रूप में इन सदिशों का निरूपण करना। आगे, एक मनमाना वास्तविक संख्या होने दें। इन नोटेशन में, निम्नलिखित प्रमेय धारण करता है।

प्रमेय। (समन्वय रूप में वैक्टर के साथ रैखिक संचालन पर।)

मान लीजिए Ln एक मनमाना n-विमीय समष्टि है, B = (e1,….,en) इसमें एक निश्चित आधार है। फिर एलएन से संबंधित किसी भी वेक्टर एक्स में इस आधार पर इसके निर्देशांक के कॉलम के साथ एक-से-एक पत्राचार होता है।

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दो विमानों के लिए, पारस्परिक व्यवस्था के निम्नलिखित रूप संभव हैं: वे समानांतर हैं या एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।

स्टीरियोमेट्री से यह ज्ञात होता है कि दो विमान समानांतर होते हैं यदि एक विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाएं क्रमशः दूसरे विमान की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हों। इस स्थिति को कहा जाता है समानांतर विमानों का संकेत.

यदि दो तल समानांतर हैं, तो वे समानांतर रेखाओं के साथ किसी तीसरे तल को काटते हैं। इसके आधार पर, समानांतर विमान आरऔर क्यूउनके निशान समानांतर सीधी रेखाएं हैं (चित्र 50)।

जब दो विमान आरऔर क्यूअक्ष के समानांतर एक्स, उनके क्षैतिज और ललाट निशान विमानों की एक मनमानी पारस्परिक व्यवस्था के साथ x अक्ष के समानांतर होंगे, अर्थात परस्पर समानांतर। नतीजतन, ऐसी परिस्थितियों में, निशान की समानता एक पर्याप्त संकेत है जो स्वयं विमानों की समानता को दर्शाती है। ऐसे विमानों की समानता के लिए, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि उनके प्रोफ़ाइल निशान भी समानांतर हैं। पीछड़ी क्यूडब्ल्यू विमान आरऔर क्यूआकृति 51 में समानांतर हैं, और आकृति 52 में वे समानांतर नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि पीवी || क्यूवी, और पीएच वाई || क्यूएच ।

मामले में जब विमान समानांतर होते हैं, तो एक विमान के क्षैतिज दूसरे के क्षैतिज के समानांतर होते हैं। इस मामले में, एक विमान के मोर्चे दूसरे के मोर्चे के समानांतर होने चाहिए, क्योंकि इन विमानों में एक ही नाम के समानांतर निशान होते हैं।

एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हुए दो तलों की रचना करने के लिए, उस रेखा का पता लगाना आवश्यक है जिस पर दोनों तल प्रतिच्छेद करते हैं। इस रेखा को बनाने के लिए, इससे संबंधित दो बिंदुओं का पता लगाना पर्याप्त है।

कभी-कभी, जब विमान को निशान द्वारा दिया जाता है, तो आरेख का उपयोग करके और अतिरिक्त निर्माण के बिना इन बिंदुओं को खोजना आसान होता है। यहां परिभाषित सीधी रेखा की दिशा ज्ञात होती है और इसकी रचना भूखंड पर एक बिंदु के उपयोग पर आधारित होती है।

काम का अंत -

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वर्णनात्मक रेखागणित। व्याख्यान नोट्स व्याख्यान। अनुमानों के बारे में

अनुमानों के बारे में व्याख्यान की जानकारी एक ड्राइंग पढ़ने वाले अनुमानों की अवधारणा .. केंद्रीय प्रक्षेपण .. केंद्रीय प्रक्षेपण का एक विचार उस छवि का अध्ययन करके प्राप्त किया जा सकता है जो मानव आंख देता है ..

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अनुमानों की अवधारणा
वर्णनात्मक ज्यामिति एक विज्ञान है जो ड्राइंग का सैद्धांतिक आधार है। इस विज्ञान में विभिन्न निकायों और उनके तत्वों को एक समतल पर चित्रित करने की विधियों का अध्ययन किया जाता है।

समानांतर प्रक्षेपण
समानांतर प्रक्षेपण एक प्रकार का प्रक्षेपण है जो समानांतर प्रक्षेपित किरणों का उपयोग करता है। समानांतर अनुमानों का निर्माण करते समय, आपको सेट करने की आवश्यकता होती है

दो प्रक्षेपण विमानों पर एक बिंदु का अनुमान
दो तलों पर बिंदुओं के प्रक्षेपणों पर विचार करें, जिसके लिए हम दो लंबवत तल (चित्र 4) लेते हैं, जिन्हें हम क्षैतिज ललाट और तल कहते हैं। फ्लैट डेटा चौराहे लाइन

प्रक्षेपण अक्ष गुम है
यह समझाने के लिए कि लंबवत प्रक्षेपण विमानों (चित्र 4) पर एक बिंदु के मॉडल अनुमानों को कैसे प्राप्त किया जाए, एक लम्बी आयत के रूप में मोटे कागज का एक टुकड़ा लेना आवश्यक है। इसके बीच झुकने की जरूरत है

तीन प्रक्षेपण विमानों पर एक बिंदु का अनुमान
अनुमानों के प्रोफाइल विमान पर विचार करें। दो लंबवत विमानों पर अनुमान आमतौर पर आकृति की स्थिति निर्धारित करते हैं और इसके वास्तविक आयामों और आकार का पता लगाना संभव बनाते हैं। लेकिन कई बार ऐसा भी होता है जब

बिंदु निर्देशांक
अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है। प्रत्येक निर्देशांक किसी समतल pr . से एक बिंदु की दूरी से मेल खाता है

एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण
एक रेखा को परिभाषित करने के लिए दो बिंदुओं की आवश्यकता होती है। एक बिंदु को क्षैतिज और ललाट तल पर दो अनुमानों द्वारा परिभाषित किया जाता है, अर्थात क्षैतिज पर इसके दो बिंदुओं के अनुमानों का उपयोग करके एक सीधी रेखा निर्धारित की जाती है।

सीधे निशान
एक सीधी रेखा का निशान किसी समतल या सतह के साथ उसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है (चित्र 20)। एक रेखा का क्षैतिज निशान एक बिंदु H . है

रेखा के विभिन्न पद
एक रेखा सामान्य स्थिति में एक रेखा कहलाती है यदि यह किसी प्रक्षेपण विमान के समानांतर या लंबवत नहीं है। सामान्य स्थिति में एक रेखा के प्रक्षेपण भी न तो समानांतर होते हैं और न ही लंबवत होते हैं।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था
अंतरिक्ष में रेखाओं की व्यवस्था के तीन मामले संभव हैं: 1) रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, अर्थात उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है; 2) रेखाएँ समानांतर हैं, अर्थात उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, लेकिन एक ही तल में स्थित हैं

लम्बवत रेखायें
प्रमेय पर विचार करें: यदि समकोण का एक पक्ष प्रक्षेपण तल के समानांतर है (या उसमें स्थित है), तो समकोण इस तल पर बिना किसी विकृति के प्रक्षेपित होता है। हम इसके लिए एक प्रमाण प्रस्तुत करते हैं

विमान की स्थिति का निर्धारण
एक मनमाने ढंग से स्थित प्रक्षेपण विमान के लिए, इसके बिंदु तीनों प्रक्षेपण विमानों को भरते हैं। इसलिए, पूरे विमान के प्रक्षेपण के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, आपको केवल अनुमानों पर विचार करने की आवश्यकता है

विमान के निशान
विमान पी का निशान किसी दिए गए विमान या सतह के साथ इसके चौराहे की रेखा है (चित्र 36)। क्षैतिज तल के साथ समतल P के प्रतिच्छेदन की रेखा कहलाती है

समतल आकृति और अग्रभाग
एक निश्चित तल में स्थित रेखाओं के बीच, दो वर्गों की रेखाओं को प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जो विभिन्न समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। ये सीधी रेखाएं हैं, जिन्हें क्षैतिज कहा जाता है।

विमान के निशान का निर्माण
समतल P के चिह्नों की रचना पर विचार कीजिए, जो प्रतिच्छेदी रेखाओं I और II के एक युग्म द्वारा दिया गया है (चित्र 45)। यदि कोई रेखा तल P में है, तो उसके निशान उसी नाम के निशान पर होते हैं

विमान की विभिन्न स्थिति
सामान्य स्थिति में एक विमान एक ऐसा विमान है जो न तो समानांतर है और न ही किसी प्रक्षेपण विमान के लंबवत है। ऐसे समतल के निशान भी न तो समानांतर होते हैं और न ही लंबवत।

समतल के समांतर सीधी रेखा
एक निश्चित तल के सापेक्ष एक सीधी रेखा की कई स्थितियाँ हो सकती हैं। 1. रेखा किसी समतल में स्थित है। 2. एक रेखा किसी समतल के समांतर होती है। 3. प्रत्यक्ष हस्तांतरण

एक सीधी रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है
एक रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं का निर्माण करना आवश्यक है। रेखा I और तल P पर विचार करें (चित्र 54)।

प्रिज्म और पिरामिड
एक सीधे प्रिज्म पर विचार करें जो एक क्षैतिज तल पर खड़ा है (चित्र 56)। उसका पक्ष अनाज

सिलेंडर और शंकु
एक बेलन एक आकृति है जिसकी सतह इस सीधी रेखा के साथ एक ही तल में स्थित i-अक्ष के चारों ओर सीधी रेखा m को घुमाकर प्राप्त की जाती है। मामले में जब लाइन एम

बॉल, टोरस और रिंग
जब घूर्णन की कुछ धुरी I एक वृत्त का व्यास है, तो एक गोलाकार सतह प्राप्त होती है (चित्र 66)।

रेखाचित्रों में प्रयुक्त होने वाली रेखाएँ
विभिन्न मोटाई की तीन मुख्य प्रकार की रेखाएँ (ठोस, धराशायी और डैश-बिंदीदार) ड्राइंग में उपयोग की जाती हैं (चित्र। 76)।

दृश्यों का स्थान (अनुमान)
ड्राइंग में, छह प्रकारों का उपयोग किया जाता है, जो चित्र 85 में दिखाए गए हैं। यह आंकड़ा "L" अक्षर के अनुमानों को दर्शाता है।

विचारों की व्यवस्था के लिए उपरोक्त नियमों से विचलन
कुछ मामलों में, अनुमानों के निर्माण के नियमों से विचलन की अनुमति है। इन मामलों में, निम्नलिखित को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: आंशिक विचार और अन्य विचारों के साथ प्रक्षेपण कनेक्शन के बिना स्थित विचार।

इस शरीर को परिभाषित करने वाले अनुमानों की संख्या
अंतरिक्ष, आकार और आकार में निकायों की स्थिति आमतौर पर उचित रूप से चयनित बिंदुओं की एक छोटी संख्या से निर्धारित होती है। यदि, किसी पिंड के प्रक्षेपण का चित्रण करते समय, ध्यान दें

प्रक्षेपण के तल के लंबवत अक्ष के बारे में एक बिंदु का घूर्णन
चित्र 91 रोटेशन I की धुरी को दर्शाता है, जो क्षैतिज तल के लंबवत है, और एक बिंदु A मनमाने ढंग से अंतरिक्ष में स्थित है। अक्ष I के बारे में घूमते समय, यह बिंदु वर्णन करता है

घूर्णन द्वारा किसी खंड की प्राकृतिक लंबाई का निर्धारण
किसी भी प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर एक खंड बिना विरूपण के उस पर प्रक्षेपित होता है। यदि आप खंड को घुमाते हैं ताकि यह प्रक्षेपण विमानों में से एक के समानांतर हो जाए, तो आप परिभाषित कर सकते हैं

खंड आकृति के अनुमानों का निर्माण दो तरह से किया जा सकता है
1. आप पॉलीहेड्रॉन के किनारों के मिलन बिंदुओं को काटने वाले विमान से पा सकते हैं, और फिर पाए गए बिंदुओं के अनुमानों को जोड़ सकते हैं। इसके परिणामस्वरूप, वांछित बहुभुज के अनुमान प्राप्त होंगे। इस मामले में,

पिरामिड
चित्र 98 ललाट प्रोजेक्शन प्लेन P के साथ पिरामिड सतह के प्रतिच्छेदन को दर्शाता है। चित्र 98b प्लेन के साथ रिब केएस के मिलन बिंदु के ललाट प्रक्षेपण को दर्शाता है।

तिरछा खंड
अनुमानित विमान द्वारा विचाराधीन शरीर के प्राकृतिक प्रकार के वर्गों के निर्माण के लिए ओब्लिक वर्गों को कार्यों की एक श्रृंखला के रूप में समझा जाता है। तिरछा खंड करने के लिए, खंडित करना आवश्यक है

ललाट तल द्वारा एक शंकु की सतह के एक भाग के रूप में अतिपरवलय
मान लीजिए कि समतल P द्वारा एक क्षैतिज तल पर खड़े शंकु की सतह के एक खंड का निर्माण करना आवश्यक है, जो तल V के समानांतर है। चित्र 103 ललाट को दर्शाता है।

सिलेंडर की सतह का खंड
एक समतल द्वारा लम्ब वृत्तीय बेलन की सतह के एक खंड के निम्नलिखित मामले हैं: 1) एक वृत्त, यदि छेदक तल P, बेलन की धुरी के लंबवत है, और यह आधारों के समानांतर है

शंकु की सतह का खंड
सामान्य स्थिति में, एक गोलाकार शंक्वाकार सतह में दो पूरी तरह से समान गुहाएं शामिल होती हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है (चित्र। 107c)। एक गुहा के जनक की निरंतरता हैं

गेंद की सतह का खंड
एक समतल द्वारा गेंद की सतह का कोई भी भाग एक वृत्त होता है, जिसे बिना किसी विकृति के प्रक्षेपित किया जाता है, यदि काटने वाला विमान अनुमानों के तल के समानांतर हो। सामान्य मामले में, हम

तिरछा खंड
शरीर के सामने से प्रक्षेपित विमान द्वारा खंड के प्राकृतिक दृश्य का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र 110a तीन बेलनाकार सतहों (1, 3 और 6) से घिरे एक पिंड पर विचार करता है, सतह

पिरामिड
कुछ ज्यामितीय निकाय की सतह पर एक सीधी रेखा के निशान खोजने के लिए, आपको एक सीधे सहायक विमान के माध्यम से आकर्षित करने की आवश्यकता है, फिर इस विमान द्वारा शरीर की सतह का खंड खोजें। वांछित होगा

बेलनाकार हेलिक्स
एक हेलिक्स का गठन। चित्र 113a पर विचार करें जहां बिंदु M एक निश्चित वृत्त के अनुदिश समान रूप से गति करता है, जो समतल P द्वारा एक वृत्ताकार बेलन का एक भाग है। यहाँ यह तल है

क्रांति के दो शरीर
दो क्रांति निकायों की सतहों के चौराहे की रेखा का निर्माण करते समय सहायक विमानों को खींचने की विधि का उपयोग किया जाता है। इस विधि का सार इस प्रकार है। एक सहायक विमान ले जाएँ

धारा
कुछ परिभाषाएँ और नियम हैं जो अनुभागों पर लागू होते हैं। एक खंड एक सपाट आकृति है जो किसी दिए गए शरीर के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त किया गया था

कटौती
परिभाषाएँ और नियम जो कटौती पर लागू होते हैं। कट किसी वस्तु की ऐसी सशर्त छवि होती है, जब उसका हिस्सा, प्रेक्षक की आंख और काटने वाले विमान के बीच स्थित होता है

आंशिक कट या आंसू
कट को पूर्ण कहा जाता है यदि चित्रित वस्तु को पूरी तरह से काट दिया जाता है, तो शेष कटौती को आंशिक, या कटौती कहा जाता है। चित्र 120 में, बाएँ दृश्य में और योजना पर, पूर्ण खंड बनाए गए हैं। बाल शैली