लघुगणक समीकरणएक समीकरण कहलाता है जिसमें अज्ञात (x) और उसके साथ व्यंजक एक लघुगणकीय फलन के चिह्न के अधीन होते हैं। लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करना यह मानता है कि आप पहले से ही और से परिचित हैं।
लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करें?

सबसे सरल समीकरण है लॉग ए एक्स = बी, जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं, x अज्ञात है।
लघुगणक समीकरण को हल करना x = a b प्रदान किया गया है: a > 0, a 1.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि x लॉगरिदम के बाहर कहीं है, उदाहरण के लिए लॉग 2 x \u003d x-2, तो इस तरह के समीकरण को पहले से ही मिश्रित कहा जाता है और इसे हल करने के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

आदर्श स्थिति तब होती है जब आप एक ऐसे समीकरण का सामना करते हैं जिसमें केवल संख्याएँ लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत होती हैं, उदाहरण के लिए x + 2 \u003d लॉग 2 2. यहाँ इसे हल करने के लिए लघुगणक के गुणों को जानना पर्याप्त है। लेकिन ऐसा भाग्य अक्सर नहीं होता है, इसलिए अधिक कठिन चीजों के लिए तैयार हो जाइए।

लेकिन सबसे पहले, आइए सरल समीकरणों से शुरू करें। उन्हें हल करने के लिए, लघुगणक का सबसे सामान्य विचार होना वांछनीय है।

सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करना

इनमें लॉग 2 x \u003d लॉग 2 16 जैसे समीकरण शामिल हैं। इसे नग्न आंखों से देखा जा सकता है कि लॉगरिदम के संकेत को छोड़कर हमें x \u003d 16 मिलता है।

एक अधिक जटिल लघुगणकीय समीकरण को हल करने के लिए, यह आमतौर पर एक साधारण बीजगणितीय समीकरण के समाधान के लिए या सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण लॉग a x = b के समाधान की ओर ले जाता है। सरलतम समीकरणों में, यह एक गति में होता है, इसलिए उन्हें सरलतम कहा जाता है।

लॉगरिदम छोड़ने की उपरोक्त विधि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक है। गणित में, इस ऑपरेशन को पोटेंशिएशन कहा जाता है। इस तरह के संचालन के लिए कुछ नियम या प्रतिबंध हैं:

• लघुगणक के समान संख्यात्मक आधार होते हैं
• समीकरण के दोनों भागों में लघुगणक स्वतंत्र हैं, अर्थात्। बिना किसी गुणांक और अन्य विभिन्न प्रकार के भावों के।

मान लें कि समीकरण में लॉग 2 x \u003d 2log 2 (1- x), पोटेंशिएशन लागू नहीं है - दाईं ओर गुणांक 2 की अनुमति नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण में, लॉग 2 x + लॉग 2 (1 - x) = लॉग 2 (1 + x) प्रतिबंधों में से एक भी संतुष्ट नहीं है - बाईं ओर दो लघुगणक हैं। वह एक होगा - एक पूरी तरह से अलग मामला!

सामान्य तौर पर, आप लघुगणक को तभी हटा सकते हैं जब समीकरण का रूप हो:

लॉग ए (...) = लॉग ए (...)

बिल्कुल कोई भी भाव कोष्ठक में हो सकता है, यह पूरी तरह से पोटेंशिएशन ऑपरेशन को प्रभावित नहीं करता है। और लघुगणक के उन्मूलन के बाद, एक सरल समीकरण बना रहेगा - रैखिक, द्विघात, घातीय, आदि, जिसे आप पहले से ही, मुझे आशा है, हल करना जानते हैं।

आइए एक और उदाहरण लें:

लघुगणक 3 (2x-5) = लघुगणक 3 x

पोटेंशिएशन को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

लघुगणक 3 (2x-1) = 2

लॉगरिदम की परिभाषा के आधार पर, अर्थात्, लॉगरिदम वह संख्या है जिस पर लॉगरिदम के संकेत के तहत एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए, यानी। (4x-1), हम प्राप्त करते हैं:

फिर से, हमें एक अच्छा जवाब मिला। यहां हमने लॉगरिदम को खत्म किए बिना किया, लेकिन यहां भी पोटेंशिएशन लागू है, क्योंकि लॉगरिदम किसी भी संख्या से बनाया जा सकता है, और ठीक वही जिसकी हमें आवश्यकता है। यह विधि लघुगणकीय समीकरणों और विशेष रूप से असमानताओं को हल करने में बहुत सहायक है।

आइए हमारे लघुगणकीय समीकरण को हल करें लॉग 3 (2x-1) = 2 पोटेंशिएशन का उपयोग करके:

आइए संख्या 2 को लघुगणक के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए, ऐसा लघुगणक 3 9, क्योंकि 3 2 =9।

फिर लॉग 3 (2x-1) = लॉग 3 9 और फिर से हमें वही समीकरण 2x-1 = 9 मिलता है। मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है।

इसलिए हमने देखा कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जो वास्तव में बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि लघुगणक समीकरणों का हल, यहां तक ​​​​कि सबसे भयानक और मुड़ वाले, अंत में हमेशा सरलतम समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

हमने ऊपर जो कुछ भी किया है उसमें हमने एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु की अनदेखी की है, जो भविष्य में निर्णायक भूमिका निभाएगा। तथ्य यह है कि किसी भी लघुगणकीय समीकरण का समाधान, यहां तक ​​​​कि सबसे प्राथमिक एक, में दो समकक्ष भाग होते हैं। पहला समीकरण का समाधान है, दूसरा स्वीकार्य मूल्यों (ओडीवी) के क्षेत्र के साथ काम करता है। बस यही पहला भाग है जिसमें हमने महारत हासिल की है। उपरोक्त उदाहरणों में, ODD किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए हमने इस पर विचार नहीं किया।

आइए एक और उदाहरण लें:

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

बाह्य रूप से, यह समीकरण प्राथमिक से अलग नहीं है, जिसे बहुत सफलतापूर्वक हल किया गया है। लेकिन यह वैसा नहीं है। नहीं, निश्चित रूप से हम इसे हल करेंगे, लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि यह गलत होगा, क्योंकि इसमें एक छोटा सा घात है, जिसमें सी छात्र और सम्मान दोनों छात्र तुरंत गिर जाते हैं। आइए इसे करीब से देखें।

मान लीजिए कि आपको समीकरण का मूल या मूलों का योग ज्ञात करना है, यदि कई हैं:

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

हम पोटेंशिएशन लागू करते हैं, यहां इसकी अनुमति है। नतीजतन, हमें सामान्य द्विघात समीकरण मिलता है।

हम समीकरण की जड़ें पाते हैं:

दो जड़ें हैं।

उत्तर: 3 और -1

पहली नज़र में सब कुछ सही है। लेकिन आइए परिणाम की जांच करें और इसे मूल समीकरण में बदलें।

आइए x 1 = 3 से शुरू करें:

लघुगणक 3 6 = लघुगणक 3 6

जाँच सफल रही, अब कतार x 2 = -1:

लघुगणक 3 (-2) = लघुगणक 3 (-2)

हाँ रुको! बाह्य रूप से, सब कुछ परिपूर्ण है। एक क्षण - ऋणात्मक संख्याओं से कोई लघुगणक नहीं होते हैं! और इसका मतलब है कि रूट x \u003d -1 हमारे समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। और इसलिए सही उत्तर 3 होगा, 2 नहीं, जैसा कि हमने लिखा है।

यहीं पर ODZ ने अपनी घातक भूमिका निभाई, जिसके बारे में हम भूल गए।

मैं आपको याद दिला दूं कि स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र में, x के ऐसे मान स्वीकार किए जाते हैं जिनकी अनुमति है या मूल उदाहरण के लिए समझ में आता है।

ODZ के बिना, किसी भी समीकरण का कोई भी समाधान, यहां तक ​​कि बिल्कुल सही समाधान, लॉटरी में बदल जाता है - 50/50।

प्रतीत होता है कि प्राथमिक उदाहरण को हल करते हुए हम कैसे पकड़े जा सकते हैं? और यहाँ यह पोटेंशिएशन के क्षण में है। लघुगणक समाप्त हो गए हैं, और उनके साथ सभी सीमाएं हैं।

ऐसे में क्या करें? लॉगरिदम को खत्म करने से इंकार? और इस समीकरण के हल को पूरी तरह से त्याग दें?

नहीं, हम बस, एक प्रसिद्ध गीत के असली नायकों की तरह, घूमेंगे!

किसी भी लघुगणकीय समीकरण के हल के साथ आगे बढ़ने से पहले, हम ODZ लिखेंगे। लेकिन उसके बाद आप हमारे समीकरण से जो चाहें वो कर सकते हैं। उत्तर प्राप्त करने के बाद, हम केवल उन जड़ों को बाहर निकाल देते हैं जो हमारे ODZ में शामिल नहीं हैं, और अंतिम संस्करण लिख लें।

अब हम तय करते हैं कि ODZ कैसे लिखना है। ऐसा करने के लिए, हम मूल समीकरण की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं और इसमें संदिग्ध स्थानों की तलाश करते हैं, जैसे कि x से भाग, सम अंश का मूल, आदि। जब तक हम समीकरण को हल नहीं कर लेते, हम नहीं जानते कि x किसके बराबर है, लेकिन हम यह निश्चित रूप से जानते हैं कि ऐसे x, जो प्रतिस्थापित करते समय, 0 से भाग देंगे या ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का निष्कर्षण करेंगे, वे हैं स्पष्ट रूप से उत्तर के लिए उपयुक्त नहीं है। इसलिए, ऐसे x अस्वीकार्य हैं, जबकि शेष ODZ का गठन करेंगे।

आइए फिर से उसी समीकरण का उपयोग करें:

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 0 से कोई विभाजन नहीं है, कोई वर्गमूल भी नहीं हैं, लेकिन लघुगणक के शरीर में x के साथ भाव हैं। हमें तुरंत याद आता है कि लघुगणक के अंदर का व्यंजक हमेशा> 0 होना चाहिए। यह शर्त ODZ के रूप में लिखी जाती है:

वे। हमने अभी तक कुछ भी हल नहीं किया है, लेकिन हमने पहले ही संपूर्ण सबलॉगरिदमिक एक्सप्रेशन के लिए एक अनिवार्य शर्त लिख दी है। घुंघराले ब्रेस का मतलब है कि इन शर्तों को एक ही समय में पूरा किया जाना चाहिए।

ODZ लिख दिया गया है, लेकिन असमानताओं की परिणामी प्रणाली को हल करना भी आवश्यक है, जो हम करेंगे। हमें उत्तर x > v3 मिलता है। अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि कौन सा x हमें सूट नहीं करेगा। और फिर हम स्वयं लघुगणकीय समीकरण को हल करना शुरू करते हैं, जो हमने ऊपर किया था।

उत्तर x 1 \u003d 3 और x 2 \u003d -1 प्राप्त करने के बाद, यह देखना आसान है कि केवल x1 \u003d 3 हमारे लिए उपयुक्त है, और हम इसे अंतिम उत्तर के रूप में लिखते हैं।

भविष्य के लिए, निम्नलिखित को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है: हम किसी भी लघुगणकीय समीकरण को 2 चरणों में हल करते हैं। पहला - हम समीकरण को स्वयं हल करते हैं, दूसरा - हम ODZ की स्थिति को हल करते हैं। दोनों चरणों को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से किया जाता है और केवल उत्तर लिखते समय तुलना की जाती है, अर्थात। हम सभी अनावश्यक को त्याग देते हैं और सही उत्तर लिख देते हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम वीडियो देखने की दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं:

वीडियो में, लॉग को हल करने के अन्य उदाहरण। समीकरणों और अभ्यास में अंतराल की विधि को काम करना।

इस विषय पर, लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करेंसब कुछ तक। अगर लॉग के निर्णय के अनुसार कुछ। समीकरण अस्पष्ट या समझ से बाहर रहे, अपने प्रश्न टिप्पणियों में लिखें।

नोट: सामाजिक शिक्षा अकादमी (KSUE) नए छात्रों को स्वीकार करने के लिए तैयार है।

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अनुदेश

दिए गए लघुगणकीय व्यंजक को लिखिए। यदि व्यंजक 10 के लघुगणक का उपयोग करता है, तो उसका अंकन छोटा हो जाता है और ऐसा दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो व्यंजक लिखा जाता है: ln b प्राकृतिक लघुगणक है। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिसके लिए संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाना होगा।

दो कार्यों का योग ज्ञात करते समय, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा, और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न का पता लगाते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"* वी+वी"*यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह आवश्यक है, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से, भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाए, और विभाजित किया जाए यह सब भाजक फलन द्वारा चुकता किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

यदि एक जटिल कार्य दिया जाता है, तो आंतरिक कार्य के व्युत्पन्न और बाहरी के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। चलो y=u(v(x)), फिर y"(x)=y"(u)*v"(x)।

ऊपर प्राप्त का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना के लिए कार्य भी हैं। फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिए जाने दें, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें y"(1)=8*e^0=8

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उपयोगी सलाह

प्राथमिक व्युत्पत्तियों की तालिका जानें। इससे समय की काफी बचत होगी।

स्रोत:

• निरंतर व्युत्पन्न

तो एक अपरिमेय समीकरण और एक परिमेय समीकरण में क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत है, तो समीकरण को अपरिमेय माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों को ऊपर उठाने की विधि है समीकरणएक वर्ग में। हालांकि। यह स्वाभाविक है, पहला कदम संकेत से छुटकारा पाना है। तकनीकी रूप से, यह तरीका मुश्किल नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। इस तरह के समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं है; एक्स = 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में इकाई को x मान के स्थान पर रखें। और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है, अर्थात्। ऐसा मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

अत: अपरिमेय समीकरण को इसके दोनों भागों का वर्ग करने की विधि द्वारा हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करें।

एक और पर विचार करें।
2x+vx-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले समीकरण के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। स्थानांतरण यौगिक समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर और फिर वर्गमूल विधि का उपयोग करें। परिणामी परिमेय समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; वीएक्स = वाई। तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 जैसा समीकरण मिलेगा। यह सामान्य द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो हल करें समीकरणवीएक्स = 1; वीएक्स \u003d -3/2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करने की आवश्यकता के बारे में मत भूलना।

सर्वसमिका को सुलझाना बहुत आसान है। लक्ष्य प्राप्त होने तक इसके लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, सरलतम अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से, कार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - एक कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल परिवर्तन बीजीय संक्षिप्त गुणन (जैसे योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर)) हैं। इसके अलावा, कई त्रिकोणमितीय सूत्र हैं जो अनिवार्य रूप से समान पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले जोड़ के वर्ग के बराबर होता है जो पहले और दूसरे के गुणनफल का दुगुना होता है और दूसरे का वर्ग, यानी (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

दोनों को सरल बनाएं

समाधान के सामान्य सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण या उच्च गणित पर एक पाठ्यपुस्तक से दोहराएं, जो एक निश्चित अभिन्न अंग है। जैसा कि आप जानते हैं, एक निश्चित समाकल का हल एक फलन है जिसका अवकलज एक समाकलन देगा। इस फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, बुनियादी इंटीग्रल का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के रूप से निर्धारित करें कि इस मामले में कौन सा टेबल इंटीग्रल उपयुक्त है। इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, एकीकृत को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि समाकलन एक त्रिकोणमितीय फलन है जिसका तर्क कुछ बहुपद है, तो परिवर्तन विधि का प्रयोग करके देखें। ऐसा करने के लिए, समाकलन के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चर के अनुपात के आधार पर, एकीकरण की नई सीमा निर्धारित करें। इस व्यंजक को विभेदित करके, में एक नया अवकलन ज्ञात कीजिए। इस प्रकार, आपको पुराने समाकलन का एक नया रूप प्राप्त होगा, जो किसी सारणीबद्ध समाकल के निकट या समरूप हो।

दूसरी तरह के इंटीग्रल का समाधान

यदि इंटीग्रल दूसरी तरह का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का सदिश रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल से स्केलर वाले में जाने के लिए नियमों का उपयोग करना होगा। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस अनुपात। यह कानून किसी वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर प्रवाह से किसी दिए गए वेक्टर क्षेत्र के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल में पारित करना संभव बनाता है।

एकीकरण की सीमा का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलन खोजने के बाद, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मूल्य को प्रतिपदार्थ के लिए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेगा। इसके बाद, परिणामी संख्या से दूसरी संख्या घटाएं, परिणामी निचली सीमा प्रतिअवकलन के लिए। यदि एकीकरण सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते समय, सीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति किस ओर जाती है।
यदि समाकल द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको समाकलन की ज्यामितीय सीमाओं को निरूपित करना होगा ताकि आप यह समझ सकें कि समाकलन की गणना कैसे की जाती है। आखिरकार, एक त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं संपूर्ण विमान हो सकती हैं जो मात्रा को एकीकृत करने के लिए सीमित करती हैं।

बीजगणित ग्रेड 11

विषय: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके"

पाठ मकसद:

शैक्षिक: लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों के बारे में ज्ञान का गठन, प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में उन्हें लागू करने की क्षमता और हल करने के लिए किसी भी विधि का चयन करना;

विकासशील: एक नई स्थिति में ज्ञान का निरीक्षण करने, तुलना करने, लागू करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास; आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल का गठन;

शैक्षिक: शैक्षिक कार्य के लिए एक जिम्मेदार रवैये की शिक्षा, पाठ में सामग्री की सावधानीपूर्वक धारणा, रिकॉर्ड रखने की सटीकता।

पाठ प्रकार: नई सामग्री से परिचित होने का पाठ।

"खगोलविद के काम को छोटा करके लघुगणक के आविष्कार ने उनके जीवन को लंबा कर दिया है।"
फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री पी.एस. लाप्लास

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना

लॉगरिदम की अध्ययन की गई परिभाषा, लॉगरिदम के गुण और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन हमें लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने की अनुमति देंगे। सभी लघुगणक समीकरण, चाहे वे कितने भी जटिल क्यों न हों, समान एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं। हम आज पाठ में इन एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। उनमें से कुछ हैं। यदि आप उनमें महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप में से प्रत्येक के लिए लघुगणक के साथ कोई भी समीकरण संभव होगा।

अपनी नोटबुक में पाठ का विषय लिखें: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके।" मैं सभी को सहयोग के लिए आमंत्रित करता हूं।

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतन

आइए पाठ के विषय का अध्ययन करने के लिए तैयार हो जाएं। आप प्रत्येक कार्य को हल करते हैं और उत्तर लिखते हैं, आप शर्त नहीं लिख सकते। जोड़े में काम।

1) x के किन मूल्यों के लिए फ़ंक्शन समझ में आता है:

(प्रत्येक स्लाइड के लिए उत्तरों की जाँच की जाती है और त्रुटियों को दूर किया जाता है)

2) क्या फ़ंक्शन ग्राफ़ मेल खाते हैं?

3) समानता को लघुगणकीय समानता के रूप में फिर से लिखें:

4) संख्याओं को आधार 2 के साथ लघुगणक के रूप में लिखें:

5) गणना करें:

6) इन समानताओं में लापता तत्वों को पुनर्स्थापित करने या पूरा करने का प्रयास करें।

III. नई सामग्री का परिचय

बयान स्क्रीन पर दिखाया गया है:

"समीकरण वह सुनहरी कुंजी है जो सभी गणितीय तिलों को खोलती है।"
आधुनिक पोलिश गणितज्ञ एस. कोवल

एक लघुगणकीय समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें। (एक समीकरण जिसमें लघुगणक के चिह्न के तहत अज्ञात होता है)।

विचार करना सबसे सरल लघुगणक समीकरण:लकड़ी का लट्ठाएकएक्स = बी(जहां ए> 0, ए ≠ 1)। चूंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सकारात्मक संख्याओं के सेट पर बढ़ता है (या घटता है) और सभी वास्तविक मान लेता है, यह मूल प्रमेय से चलता है कि किसी भी बी के लिए, इस समीकरण में, और इसके अलावा, केवल एक समाधान है, और एक सकारात्मक है।

लघुगणक की परिभाषा याद रखें। (संख्या x से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए आधार a को ऊपर उठाया जाना चाहिए)। यह लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है कि एकमेंऐसा समाधान है।

शीर्षक लिखें: लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के तरीके

1. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार.

इस प्रकार फॉर्म के सरल समीकरण हल किए जाते हैं।

विचार करना संख्या 514 (ए): प्रश्न हल करें

आप इसे कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (लघुगणक की परिभाषा के अनुसार)

समाधान। , इसलिए 2x - 4 = 4; एक्स = 4.

इस कार्य में, 2x - 4> 0, चूँकि> 0, इसलिए, बाहरी जड़ें प्रकट नहीं हो सकती हैं, और जाँच करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इस कार्य में लिखने के लिए शर्त 2x - 4 > 0 आवश्यक नहीं है।

2. क्षमता(दिए गए व्यंजक के लघुगणक से इस व्यंजक में ही संक्रमण)।

विचार करना संख्या 519 (जी): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

आपने किस विशेषता पर ध्यान दिया? (आधार समान हैं और दो व्यंजकों के लघुगणक समान हैं)। क्या किया जा सकता है? (शक्तिशाली)।

इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोई भी समाधान सभी एक्स के बीच निहित है जिसके लिए लॉगरिदम अभिव्यक्ति सकारात्मक हैं।

समाधान: ओडीजेड:

X2+8>0 अतिरिक्त असमानता

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

मूल समीकरण को प्रबल कीजिए

हमें समीकरण मिलता है x2+8= 8x+8

हम इसे हल करते हैं: x2-8x=0

उत्तर: 0; आठ

सामान्य रूप में एक समान प्रणाली में संक्रमण:

समीकरण

(सिस्टम में एक अनावश्यक शर्त है - असमानताओं में से एक को अनदेखा किया जा सकता है)।

कक्षा के लिए प्रश्न: आपको इन तीनों में से कौन सा समाधान सबसे ज्यादा पसंद आया? (विधियों की चर्चा)।

आपको किसी भी तरह से निर्णय लेने का अधिकार है।

3. एक नए चर का परिचय.

विचार करना नंबर 520 (जी). .

आपने क्या नोटिस किया? (यह log3x के लिए द्विघात समीकरण है) कोई सुझाव? (नए चर का परिचय दें)

समाधान। ओडीजेड: एक्स> 0।

मान लीजिए, तब समीकरण रूप लेगा:। विभेदक डी > 0. वियत के प्रमेय द्वारा जड़ें:।

आइए प्रतिस्थापन पर लौटते हैं: या ।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: 27;

4. समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक।

प्रश्न हल करें:।

हल: ODZ: x>0, आधार 10 में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लें:

डिग्री के लघुगणक की संपत्ति लागू करें:

(एलजीएक्स + 3) एलजीएक्स = 4

माना lgx = y, तब (y + 3)y = 4

, (डी > 0) वियत प्रमेय के अनुसार जड़ें: y1 = -4 और y2 = 1।

आइए प्रतिस्थापन पर लौटते हैं, हमें मिलता है: lgx = -4,; लॉगएक्स = 1,।

उत्तर: 0.0001; दस।

5. एक आधार में कमी।

संख्या 523 (सी)। प्रश्न हल करें:

समाधान: ओडीजेड: x>0। आइए आधार 3 पर चलते हैं।

6. कार्यात्मक-ग्राफिकल विधि।

№ 509 (डी)।समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें: = 3 - x।

आप कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (दो फ़ंक्शन y \u003d log2x और y \u003d 3 - x के ग्राफ़ बनाएं और ग्राफ़ के चौराहे बिंदुओं के एब्सिसा को देखें)।

स्लाइड पर देखें अपना समाधान।

क्या साजिश से बचने का कोई उपाय है . यह इस प्रकार है : यदि कार्यों में से एकवाई = एफ (एक्स) बढ़ता है और अन्यवाई = जी (एक्स) अंतराल X पर घटता है, तो समीकरणएफ (एक्स) = जी (एक्स) अंतराल X . पर अधिकतम एक जड़ होती है.

यदि कोई जड़ है, तो इसका अनुमान लगाया जा सकता है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन x>0 के लिए बढ़ता है, और फ़ंक्शन y \u003d 3 - x x> 0 सहित x के सभी मानों के लिए घटता है, जिसका अर्थ है कि समीकरण में एक से अधिक रूट नहीं हैं। ध्यान दें कि x = 2 के लिए, समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है, क्योंकि .

"विधियों का सही अनुप्रयोग सीखा जा सकता है,
केवल उन्हें विभिन्न उदाहरणों पर लागू करके।
गणित के डेनिश इतिहासकार जी. जी. ज़ितेन

मैंवी. होमवर्क

पी। 39 उदाहरण 3 पर विचार करें, नंबर 514 (बी), नंबर 529 (बी), नंबर 520 (बी), नंबर 523 (बी) को हल करें।

V. पाठ को सारांशित करना

पाठ में हमने लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की किन विधियों पर विचार किया?

अगले पाठों में, हम अधिक जटिल समीकरणों को देखेंगे। उन्हें हल करने के लिए, अध्ययन की गई विधियाँ उपयोगी हैं।

आखिरी स्लाइड दिखा रहा है:

"दुनिया में किसी भी चीज़ से बढ़कर क्या है?
अंतरिक्ष।
सबसे बुद्धिमान क्या है?
समय।
सबसे सुखद क्या है?
आप जो चाहते हैं उसे हासिल करें।"
थेल्स

मैं चाहता हूं कि हर कोई वह हासिल करे जो वह चाहता है। आपके सहयोग और समझ के लिए धन्यवाद।

इस वीडियो के साथ, मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूँ। अब आपके पास एक साथ तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सरलतम कार्यों को हल करना सीखेंगे, जिन्हें कहा जाता है - प्रोटोजोआ.

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि चर x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फलन f(x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में चर x वाले फलन नहीं हैं।

मूल समाधान के तरीके

ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल के अधिकांश शिक्षक इस तरह से सुझाव देते हैं: सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x) को तुरंत व्यक्त करें एफ( एक्स) = एक ख। यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण को पूरा करते हैं, तो आप अतिरिक्त कार्यों और निर्माणों के बिना तुरंत समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हां, निश्चित तौर पर फैसला सही साबित होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।

नतीजतन, मैं अक्सर बहुत आक्रामक त्रुटियों का निरीक्षण करता हूं, उदाहरण के लिए, इन पत्रों को आपस में बदल दिया जाता है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या याद रखना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुचित और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में त्रुटियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि में।

यही कारण है कि मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फॉर्मूले को छोड़ने और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जैसा कि आप शायद नाम से अनुमान लगाते हैं, कहा जाता है कानूनी फॉर्म.

विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपने कार्य को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास लॉग a है, जबकि अक्षर a का अर्थ बिल्कुल संख्या है, और किसी भी स्थिति में चर x युक्त फ़ंक्शन नहीं है। इसलिए, यह पत्र उन सभी प्रतिबंधों के अधीन है जो लघुगणक के आधार पर लगाए गए हैं। अर्थात्:

1 ए > 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से, हम देखते हैं कि लघुगणक संख्या b के बराबर होना चाहिए, और इस पत्र पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मान ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि f(x) फ़ंक्शन क्या मान लेता है।

और यहाँ हम अपने अद्भुत नियम को याद करते हैं कि किसी भी संख्या b को आधार a से b की घात तक एक लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए ए बी

इस सूत्र को कैसे याद रखें? हाँ, बहुत सरल। आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

बेशक, इस मामले में, सभी प्रतिबंध जो हमने शुरुआत में लिखे थे, उत्पन्न होते हैं। और अब हम लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करते हैं, और गुणनखंड b को a की घात के रूप में दर्ज करते हैं। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिखा जाएगा:

लॉग a f (x) = log a a b → f (x) = a b

बस इतना ही। नए फ़ंक्शन में अब लॉगरिदम नहीं है और इसे मानक बीजीय तकनीकों द्वारा हल किया जाता है।

बेशक, अब किसी को आपत्ति होगी: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, दो अतिरिक्त अनावश्यक कदम क्यों उठाएं, यदि मूल निर्माण से अंतिम सूत्र तक तुरंत जाना संभव था? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह सूत्र कहाँ से आता है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियाँ करते हैं।

लेकिन क्रियाओं का ऐसा क्रम, जिसमें तीन चरण होते हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आप यह न समझें कि वह अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणों के एक बहुत व्यापक वर्ग को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल जिन्हें हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान उदाहरण

अब आइए वास्तविक उदाहरण देखें। तो चलिए तय करते हैं:

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लॉग 0.5 (3x - 1) = लॉग 0.5 0.5 -3

बहुत से छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमारे पास आने वाली शक्ति को तुरंत 0.5 की संख्या बढ़ाने की कोशिश करते हैं। और वास्तव में, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत यह कदम उठा सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो बेहतर है कि कहीं भी जल्दबाजी न करें ताकि आपत्तिजनक गलतियाँ न हों। तो हमारे पास विहित रूप है। हमारे पास है:

3x - 1 = 0.5 -3

यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए पहले −3 की घात के लिए 0.5 की संख्या से निपटें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

जब आप एक लघुगणकीय समीकरण को हल करते हैं तो सभी दशमलवों को भिन्नों में बदलें।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x - 1 = 8
3x=9
एक्स = 3

हमें सबका जवाब मिल गया। पहला कार्य हल हो गया है।

दूसरा कार्य

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं है। यदि केवल इसलिए कि अंतर बाईं ओर है, और एक आधार में एक भी लघुगणक नहीं है।

इसलिए, आपको किसी तरह इस अंतर से छुटकारा पाने की जरूरत है। इस मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर जड़ के नीचे की संख्या है:

सामान्य अनुशंसा: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, मूलांकों से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात, जड़ों वाली प्रविष्टियों से और शक्ति कार्यों पर आगे बढ़ें, केवल इसलिए कि इन शक्तियों के प्रतिपादक आसानी से लघुगणक के संकेत से बाहर हो जाते हैं और अंततः, ऐसे एक अंकन गणना को बहुत सरल और गति देता है। आइए इसे इस तरह लिखें:

अब हम लघुगणक की उल्लेखनीय संपत्ति को याद करते हैं: तर्क से, साथ ही आधार से, आप डिग्री निकाल सकते हैं। आधारों के मामले में, निम्नलिखित होता है:

लॉग a k b = 1/k लोगा b

दूसरे शब्दों में, जो संख्या आधार के अंश में खड़ी होती है उसे आगे लाया जाता है और साथ ही पलट दिया जाता है, अर्थात संख्या का व्युत्क्रम हो जाता है। हमारे मामले में, 1/2 के संकेतक के साथ आधार की एक डिग्री थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18
10 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी स्थिति में आपको इस चरण में लघुगणक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। ग्रेड 4-5 गणित और संचालन के क्रम पर विचार करें: पहले गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक समान तत्व घटाते हैं:

9 लॉग 5 x = 18
लॉग 5 x = 2

अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:

लघुगणक 5 x = लघुगणक 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरी समस्या हल हो गई है।

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

निम्नलिखित सूत्र को याद करें:

लॉग बी = लॉग 10 बी

यदि किसी कारण से आप lg b लिखकर भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय, आप बस लॉग 10 b लिख सकते हैं। आप दशमलव लॉगरिदम के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ: शक्तियों को बाहर निकालें, जोड़ें, और एलजी 10 के रूप में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करें।

यह ठीक ये गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

शुरू करने के लिए, ध्यान दें कि एलजी 5 से पहले कारक 2 डाला जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाता है। इसके अलावा, मुक्त शब्द 3 को लॉगरिदम के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से निरीक्षण करना बहुत आसान है।

अपने लिए न्यायाधीश: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लघुगणक 10 10 3 = लघुगणक 10 3

आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 + एलजी 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 25 000

इससे पहले कि हम फिर से विहित रूप हैं, और हमने इसे परिवर्तनों के चरण को दरकिनार करते हुए प्राप्त किया, अर्थात, सबसे सरल लघुगणक समीकरण हमारे साथ कहीं भी नहीं आया।

यही मैं पाठ की शुरुआत में ही बात कर रहा था। विहित रूप मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं के एक व्यापक वर्ग को हल करने की अनुमति देता है, जो कि अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिया जाता है।

बस इतना ही, हम दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाते हैं, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

एक्स + 3 = 25,000
एक्स = 24997

सभी! समस्या हल हो गई।

दायरे के बारे में एक नोट

यहां मैं परिभाषा के क्षेत्र के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक हैं जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ व्यंजकों को हल करते हैं, तो यह याद रखना अनिवार्य है कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: किसी भी विचाराधीन समस्या में हमें इस असमानता को संतुष्ट करने की आवश्यकता क्यों नहीं थी?

चिंता मत करो। इन मामलों में कोई अतिरिक्त जड़ें नहीं दिखाई देंगी। और यह एक और बढ़िया ट्रिक है जो आपको समाधान में तेजी लाने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में चर x केवल एक ही स्थान पर होता है (या बल्कि, एक और केवल लघुगणक के एक और एकमात्र तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और चर x नहीं होता है, तो डोमेन लिखें कोई ज़रुरत नहीं हैक्योंकि यह स्वचालित रूप से चलेगा।

अपने लिए जज करें: पहले समीकरण में, हमें वह 3x - 1 मिला, यानी, तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ, हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में, x को 5 2 के बराबर होना चाहिए, अर्थात यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित है, लेकिन केवल अगर x केवल एक लॉगरिदम के तर्क में होता है।

साधारण समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। केवल यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: इस तकनीक को अंत में समझने के लिए, लॉगरिदमिक समीकरण के विहित रूप को लागू करने का तरीका जानने के लिए, केवल एक वीडियो पाठ देखना पर्याप्त नहीं है। इसलिए, अभी, एक स्वतंत्र समाधान के विकल्प डाउनलोड करें जो इस वीडियो ट्यूटोरियल से जुड़े हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको बस कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने की तुलना में बहुत अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। विहित रूप लागू करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी कार्य से डरेंगे नहीं। और मेरे पास आज के लिए बस इतना ही है।

दायरा विचार

अब बात करते हैं लॉगरिदमिक फंक्शन के डोमेन के बारे में, साथ ही यह कैसे लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान को प्रभावित करता है। फॉर्म के निर्माण पर विचार करें

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस तरह की अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्याएं ए और बी केवल संख्याएं होती हैं, और किसी भी मामले में एक फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत सरलता से हल किया जाता है। आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

एफ (एक्स) = एक बी

यह पहले से ही स्कूली पाठ्यपुस्तकों का एक परिचित सूत्र है। कई छात्रों के पास शायद एक प्रश्न होगा: चूंकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f ( x ) लॉग साइन के तहत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

एफ (एक्स)> 0

यह प्रतिबंध मान्य है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद इस सीमा के कारण, आपको उत्तरों के लिए एक चेक पेश करना चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है?

नहीं, सरल लघुगणकीय समीकरणों में, एक अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = एक बी

तथ्य यह है कि किसी भी मामले में संख्या 0 से अधिक है - यह आवश्यकता लॉगरिदम द्वारा भी लगाई जाती है। संख्या a आधार है। इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम चाहे कितनी भी सकारात्मक संख्या बढ़ा लें, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वतः ही पूरी हो जाती है।

वास्तव में जाँच के लायक क्या है लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का दायरा। काफी जटिल डिजाइन हो सकते हैं, और उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, आपको निश्चित रूप से उनका पालन करना चाहिए। आइए देखते हैं।

पहला काम:

पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर रूपांतरित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला हमें सूट करता है, क्योंकि दूसरी जड़ शून्य से कम है। इसका एकमात्र उत्तर 9 नंबर होगा। बस, समस्या हल हो गई है। कोई अतिरिक्त जाँच नहीं है कि लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, क्योंकि यह केवल 0 से अधिक नहीं है, लेकिन समीकरण की स्थिति से यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक" स्वचालित रूप से है संतुष्ट।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहॉं सब कुछ वैसा ही है। हम ट्रिपल की जगह, निर्माण को फिर से लिखते हैं:

हम लघुगणक के संकेतों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों भागों को चौकोर करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

हम परिणामी समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल करते हैं:

डी \u003d 49 - 24 \u003d 25

एक्स 1 = -1

एक्स 2 \u003d -6

लेकिन x = −6 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में बराबर हो। लेकिन x = −1 हमें सूट करता है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = -1 है। यही सब समाधान है। आइए अपनी गणनाओं की शुरुआत में वापस जाएं।

इस पाठ से मुख्य निष्कर्ष यह है कि सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन के लिए सीमाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान की प्रक्रिया में सभी बाधाओं को स्वचालित रूप से निष्पादित किया जाता है।

हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप सत्यापन के बारे में पूरी तरह से भूल सकते हैं। एक लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अपरिमेय समीकरण में बदल सकता है, जिसकी दाईं ओर की अपनी सीमाएँ और आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें और यदि तर्क में कोई जड़ है तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणक समीकरण

हम लॉगरिदमिक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और दिलचस्प तरकीबों का विश्लेषण करते हैं जिनके साथ अधिक जटिल संरचनाओं को हल करना फैशनेबल है। लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल कार्यों को कैसे हल किया जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस संकेतन में, a और b केवल संख्याएँ हैं, और फ़ंक्शन f (x) में चर x मौजूद होना चाहिए, और केवल वहाँ, यानी x केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। इसके लिए हम ध्यान दें कि

बी = लॉग ए ए बी

और ए बी सिर्फ एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

ठीक यही हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाईं ओर और दाईं ओर आधार के लिए एक लघुगणक हो। इस मामले में, हम लाक्षणिक रूप से, लॉग के संकेतों को पार कर सकते हैं, और गणित के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों को समान करते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है जिसे बहुत आसान तरीके से हल किया जाएगा। आइए आज इस नियम को अपने कार्यों पर लागू करें।

तो पहला डिजाइन:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक अंश है, जिसका हर लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो यह लॉगरिदम की अद्भुत संपत्ति को याद रखने योग्य है:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार c के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक, 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है जब चर c चर के बराबर है बी। इस मामले में, हमें फॉर्म का निर्माण मिलता है:

यह वह निर्माण है जिसे हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को log a b से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की है। इसके बजाय, हमें भिन्न को पलटना पड़ा।

हमें याद है कि निम्नलिखित नियम के अनुसार किसी भी डिग्री को आधार से निकाला जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो कि आधार की डिग्री है, को उल्टे भिन्न के रूप में निकाला जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में निकालें:

भिन्नात्मक कारक को सामने नहीं छोड़ा जा सकता है, क्योंकि इस मामले में हम इस प्रविष्टि को विहित रूप के रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में, दूसरे लघुगणक के सामने कोई अतिरिक्त कारक नहीं है)। इसलिए, आइए तर्क में अंश 1/4 को एक शक्ति के रूप में रखें:

अब हम उन तर्कों की बराबरी करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे पास वास्तव में समान आधार हैं), और लिखें:

एक्स + 5 = 1

एक्स = −4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणकीय समीकरण का उत्तर मिला। ध्यान दें: मूल समस्या में, चर x केवल एक लॉग में होता है, और यह इसके तर्क में होता है। इसलिए, डोमेन की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में इसका उत्तर है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

लघुगणक 56 = लघुगणक 2 लघुगणक 2 7 - 3 लघुगणक (x + 4)

यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें lg f (x) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? यह एक अप्रस्तुत छात्र को लग सकता है कि यह किसी प्रकार का टिन है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक रूप से हल हो गया है।

शब्द एलजी 2 लॉग 2 7 को ध्यान से देखें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ सुराग मिलना चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से डिग्री कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग a b n = nlog a b

दूसरे शब्दों में, तर्क में b की शक्ति क्या थी, लॉग से पहले ही एक कारक बन जाता है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति lg 2 log 2 7 पर लागू करें। lg 2 से डरो मत - यह सबसे सामान्य अभिव्यक्ति है। आप इसे इस तरह फिर से लिख सकते हैं:

उसके लिए, किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की शक्ति में पेश किया जा सकता है। चलो लिखते है:

बहुत बार, छात्र बिंदु ब्लैंक इस क्रिया को नहीं देखते हैं, क्योंकि एक लॉग को दूसरे के साइन के तहत दर्ज करना अच्छा नहीं है। दरअसल, इसमें कुछ भी क्रिमिनल नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा के रूप में और इसके गुणों में से एक के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को रूपांतरित करते हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी प्रकार जानना चाहिए जैसे किसी संख्या का लघुगणक के रूप में निरूपण।

हम अपने काम पर लौट आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि बराबर चिह्न के दायीं ओर पहला पद केवल एलजी 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

एलजी 56 - एलजी 7 = -3 एलजी (एक्स + 4)

हम बाईं ओर के व्यंजकों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = -3 एलजी (एक्स + 4)

अब आइए हम उस समीकरण पर करीब से नज़र डालें जो हमें मिला है। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक -3 है। आइए इसे सही एलजी तर्क में रखें:

एलजी 8 = एलजी (एक्स + 4) −3

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप हमारे सामने है, इसलिए हम lg के संकेतों को पार करते हैं और तर्कों को समान करते हैं:

(एक्स + 4) -3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणक समीकरण हल किया है। इस मामले में, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

मुझे इस पाठ के मुख्य बिंदुओं का पुनर्कथन करना चाहिए।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में अध्ययन किया जाने वाला मुख्य सूत्र विहित रूप है। और इस तथ्य से विचलित न हों कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको सिखाती हैं कि इस प्रकार की समस्याओं को अलग तरीके से कैसे हल किया जाए। यह उपकरण बहुत कुशलता से काम करता है और आपको हमारे पाठ की शुरुआत में अध्ययन की गई सबसे सरल समस्याओं की तुलना में बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

1. जब हम लॉग फ्लिप करते हैं तो एक आधार और एक विशेष मामले में जाने का सूत्र (यह पहले कार्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
2. लघुगणक के चिन्ह के नीचे से शक्तियाँ लाने और निकालने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और बिंदु-रिक्त नहीं देखते हैं कि निकाली गई और लाई गई शक्ति में स्वयं लॉग f (x) हो सकता है। कुछ गलत नहीं है उसके साथ। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जिसे हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में दायरे की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक संकेत में मौजूद है, और साथ ही साथ इसके तर्क में भी है। परिणामस्वरूप, सभी डोमेन आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएं

आज हम लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक प्रतीत होते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। हम उन भावों के बारे में बात कर रहे हैं जो संख्याओं पर नहीं, बल्कि चर और यहां तक ​​कि कार्यों पर आधारित हैं। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके ऐसे निर्माणों को हल करेंगे, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से।

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि साधारण संख्याओं पर आधारित सरलतम समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। अतः सरलतम रचना कहलाती है

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं, अर्थात हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और सामान्य समस्या को हल करते हैं। इस स्थिति में, समाधान में प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक पर होते हैं, तो रिकॉर्ड को विहित रूप कहा जाता है। यह इस रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के निर्माणों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला काम:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 को लघुगणक x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं, वह वास्तव में संख्या b है, जो बराबर चिह्न के दाईं ओर थी। तो चलिए अपने एक्सप्रेशन को फिर से लिखते हैं। हम पाते हैं:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लघुगणक x - 2 (x - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से तर्कों की बराबरी कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

लेकिन समाधान यहीं खत्म नहीं होता है, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के बराबर नहीं है। आखिरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे कार्य होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह परिभाषित नहीं होते हैं और हमेशा नहीं।

इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए समझदार न बनें और पहले सभी आवश्यकताओं को लिखें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से बड़ा होना चाहिए:

2x 2 - 13x + 18 > 0

एक्स -2 > 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भी भिन्न होना चाहिए:

एक्स -2 1

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को बहुत सरल बनाया जा सकता है।

अपने लिए जज करें: एक ओर, हमें यह आवश्यक है कि द्विघात फलन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन एक निश्चित रैखिक व्यंजक के बराबर होता है, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि यह शून्य से बड़ा हो।

इस स्थिति में, यदि हमें उस x − 2 > 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 - 13x + 18 > 0 भी स्वतः संतुष्ट हो जाएगी। इसलिए, हम द्विघात फलन वाली असमानता को सुरक्षित रूप से पार कर सकते हैं। इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, हम रैखिक असमानता को भी पार कर सकते हैं, यानी x - 2> 0 को पार कर सकते हैं और इसके लिए 2x 2 - 13x + 18> 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आपको यह स्वीकार करना होगा कि सबसे सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज़ और आसान है, द्विघात की तुलना में, भले ही इस पूरी प्रणाली को हल करने के परिणामस्वरूप हमें वही जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो, गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणक समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को पार करें।

आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:

यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक ऐसी प्रणाली है, जिनमें से दो, वास्तव में, हम पहले ही समझ चुके हैं। आइए द्विघात समीकरण को अलग से लिखें और इसे हल करें:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

हमारे सामने एक छोटा वर्ग त्रिपद है और इसलिए, हम Vieta सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स - 5)(एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 5

x2 = 2

अब, हमारे सिस्टम पर वापस, हम पाते हैं कि x = 2 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि हमारे लिए x का 2 से अधिक होना आवश्यक है।

लेकिन x \u003d 5 हमें काफी सूट करता है: संख्या 5 2 से अधिक है, और साथ ही 5 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, इस प्रणाली का एकमात्र समाधान x \u003d 5 होगा।

ODZ को ध्यान में रखते हुए, सब कुछ, कार्य हल हो गया है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। यहां हम और अधिक रोचक और सार्थक गणनाओं की प्रतीक्षा कर रहे हैं:

पहला कदम: साथ ही पिछली बार, हम इस सभी व्यवसाय को एक विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जड़ के साथ आधार को छुआ नहीं जा सकता है, लेकिन तर्क को बदलना बेहतर है। आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ जड़ से घात की ओर बढ़ते हैं। चलो लिखते है:

मुझे अपने पूरे बड़े लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से नहीं लिखना चाहिए, लेकिन तुरंत तर्कों की बराबरी करनी चाहिए:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम फिर से कम किया गया वर्ग ट्रिनोमियल हो, हम Vieta सूत्रों का उपयोग करेंगे और लिखेंगे:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

तो, हमें जड़ें मिल गईं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणक समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना होगा, लेकिन पूरे निर्माण की बोझिलता के कारण, मैंने अलग से परिभाषा के डोमेन की गणना करने का निर्णय लिया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के क्षेत्र द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

हम तुरंत ध्यान देते हैं कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक दूसरे के समान करते हैं, हम उनमें से किसी को भी पार कर सकते हैं। आइए पहले वाले को पार करें क्योंकि यह दूसरे की तुलना में अधिक खतरनाक दिखता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं के समाधान समान सेट होंगे (कुछ संख्या का घन शून्य से बड़ा है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से अधिक है, इसी तरह तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं हैं पूरी तरह से समान है, इसलिए उनमें से एक को हम पार कर सकते हैं)।

लेकिन तीसरी असमानता के साथ, यह काम नहीं करेगा। आइए बाईं ओर रेडिकल के चिन्ह से छुटकारा पाएं, जिसके लिए हम दोनों भागों को एक क्यूब में बढ़ाते हैं। हम पाते हैं:

तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएं मिलती हैं:

−2 ≠ x > −3

हमारी कौन सी जड़ें: x 1 = -3 या x 2 = -1 इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। कुल मिलाकर, अपनी समस्या पर लौटने पर, हमें एक मूल मिलता है: x = -1। बस इतना ही, समस्या हल हो गई।

एक बार फिर, इस कार्य के प्रमुख बिंदु:

1. विहित रूप का उपयोग करके लॉगरिदमिक समीकरणों को लागू करने और हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। जो छात्र इस तरह का रिकॉर्ड बनाते हैं, और मूल समस्या से सीधे लॉग a f ( x ) = b जैसे निर्माण पर नहीं जाते हैं, उन लोगों की तुलना में बहुत कम त्रुटियां करते हैं जो कहीं जल्दी में हैं, गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़ देते हैं;
2. जैसे ही लघुगणक में एक चर आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल हो जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होना चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि 1 के बराबर भी नहीं होना चाहिए।

आप अंतिम आवश्यकताओं को अंतिम उत्तरों पर विभिन्न तरीकों से लागू कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सभी डोमेन आवश्यकताओं वाले पूरे सिस्टम को हल करना संभव है। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र के बारे में याद रख सकते हैं, इसे सिस्टम के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।

किसी विशेष लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय कौन सा तरीका चुनना है, यह आप पर निर्भर है। किसी भी मामले में, जवाब वही होगा।