अब तक, हमने केवल अज्ञात के संबंध में पूर्णांक समीकरणों को हल किया है, यानी ऐसे समीकरण जिनमें हर (यदि कोई हो) में अज्ञात नहीं था।

अक्सर आपको उन समीकरणों को हल करना होता है जिनमें हर में अज्ञात होता है: ऐसे समीकरणों को भिन्नात्मक कहा जाता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम इसके दोनों पक्षों को अज्ञात वाले बहुपद से गुणा करते हैं। क्या नया समीकरण दिए गए समीकरण के बराबर होगा? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए इस समीकरण को हल करें।

इसके दोनों पक्षों को से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पहली डिग्री के इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं:

अत: समीकरण (2) का एक ही मूल है

इसे समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अतः समीकरण (1) का मूल भी है।

समीकरण (1) का कोई अन्य मूल नहीं है। हमारे उदाहरण में, यह देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य से कि समीकरण (1) में

कैसे अज्ञात भाजक भागफल 2 से विभाजित लाभांश 1 के बराबर होना चाहिए, अर्थात।

अत: समीकरण (1) और (2) का एक ही मूल है, अत: वे तुल्य हैं।

2. अब हम निम्नलिखित समीकरण को हल करते हैं:

सबसे सरल आम भाजक: ; समीकरण के सभी पदों को इससे गुणा करें:

कमी के बाद हमें मिलता है:

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

समान पदों को लाना, हमारे पास है:

इस समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर, हमें ऐसे भाव मिले जिनका कोई मतलब नहीं है।

अतः समीकरण (1) का मूल नहीं है। इसका तात्पर्य है कि समीकरण (1) और समतुल्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, हम कहते हैं कि समीकरण (1) ने एक बाह्य मूल प्राप्त कर लिया है।

आइए हम समीकरण (1) के हल की तुलना उन समीकरणों के हल से करें जिन पर हमने पहले विचार किया था (देखें 51)। इस समीकरण को हल करने में, हमें दो ऐसे ऑपरेशन करने पड़े जो पहले नहीं देखे गए थे: पहला, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात (सामान्य भाजक) वाले एक व्यंजक से गुणा किया, और, दूसरा, हमने बीजीय अंशों को उन कारकों से घटाया जिनमें शामिल हैं अज्ञात।

समीकरण (1) की समीकरण (2) से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि समीकरण (2) के लिए मान्य सभी x मान समीकरण (1) के लिए मान्य नहीं हैं।

यह संख्या 1 और 3 है जो समीकरण (1) के लिए अज्ञात के स्वीकार्य मान नहीं हैं, और परिवर्तन के परिणामस्वरूप वे समीकरण (2) के लिए स्वीकार्य हो गए। इनमें से एक संख्या समीकरण (2) का हल निकला, लेकिन निश्चित रूप से यह समीकरण (1) का हल नहीं हो सकता। समीकरण (1) का कोई हल नहीं है।

इस उदाहरण से पता चलता है कि अज्ञात वाले कारक द्वारा समीकरण के दोनों हिस्सों को गुणा करते समय, और बीजीय अंशों को कम करते समय, एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जो दिए गए एक के बराबर नहीं है, अर्थात्: बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं।

इसलिए हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं। हर में एक अज्ञात वाले समीकरण को हल करते समय, परिणामी जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए। बाहरी जड़ों को त्याग दिया जाना चाहिए।

हर में एक चर वाले समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है:

एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना

अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

चुनी गई विधि के बावजूद, यह आवश्यक है, समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, पाए गए मानों में से स्वीकार्य मानों का चयन करें, अर्थात वे जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

1 रास्ता। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

उदाहरण 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

फेसला:

1. भिन्न को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

इसे सही ढंग से करने के लिए, हम याद करते हैं कि जब तत्वों को समीकरण के दूसरे भाग में ले जाया जाता है, तो व्यंजकों के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। अत: यदि भिन्न के आगे दायीं ओर "+" का चिन्ह हो तो बायीं ओर उसके सामने "-" का चिन्ह होगा।

2. अब हम देखते हैं कि भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है कि अंतर को पूरा करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है। आम भाजक मूल भिन्नों के हरों में बहुपदों का गुणनफल होगा: $(2x-1)(x+3)$

एक समान व्यंजक प्राप्त करने के लिए, पहले भिन्न के अंश और हर को बहुपद $(x+3)$ से गुणा किया जाना चाहिए, और दूसरे को बहुपद $(2x-1)$ से गुणा किया जाना चाहिए।

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

आइए पहले अंश के अंश में परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे। याद रखें कि इसके लिए पहले बहुपद के पहले पद को गुणा करना होगा, दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा, फिर पहले बहुपद के दूसरे पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

\[\बाएं(2x+3\दाएं)\बाएं(x+3\दाएं)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

हम परिणामी व्यंजक में समान पद प्रस्तुत करते हैं

\[\बाएं(2x+3\दाएं)\बाएं(x+3\दाएं)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

दूसरे भिन्न के अंश में एक समान परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे

$\बाएं(x-5\दाएं)\बाएं(2x-1\दाएं)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

तब समीकरण रूप लेगा:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

अब एक ही हर के साथ भिन्न, ताकि आप घटा सकें। याद रखें कि पहली भिन्न के अंश से समान हर वाली भिन्नों को घटाते समय, दूसरे भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक होता है, हर को वही छोड़ कर

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

आइए एक्सप्रेशन को अंश में बदलें। "-" चिह्न से पहले कोष्ठक को खोलने के लिए, कोष्ठक में पदों के सामने सभी चिह्नों को उलट देना चाहिए

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

हम समान शब्दों को प्रस्तुत करते हैं

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

तब भिन्न रूप ले लेगा

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. एक भिन्न $0$ के बराबर होती है यदि उसका अंश 0 है। इसलिए, हम भिन्न के अंश को $0$ के बराबर करते हैं।

\[(\rm 20x+4=0)\]

आइए रैखिक समीकरण को हल करें:

4. आइए जड़ों का नमूना लें। इसका मतलब यह है कि यह जांचना आवश्यक है कि मूल भिन्नों के हर मूल के मिलने पर $0$ में बदल जाते हैं या नहीं।

हमने शर्त रखी है कि हर $0$ . के बराबर नहीं है

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

इसका मतलब है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर, चर के सभी मानों की अनुमति है।

हमें जो रूट मिला है वह एक वैध मान है, इसलिए इसे सुरक्षित रूप से समीकरण की जड़ माना जा सकता है। यदि पाया गया मूल मान्य मान नहीं था, तो ऐसी जड़ बाहरी होगी और निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल नहीं की जाएगी।

जवाब:$-0,2.$

अब हम एक समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम लिख सकते हैं जिसमें हर में एक चर शामिल है

एक समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म जिसमें हर में एक चर होता है

समीकरण के दाईं ओर से सभी तत्वों को बाईं ओर ले जाएं। एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए, दाईं ओर के भावों के सामने के सभी चिह्नों को विपरीत में बदलना आवश्यक है

यदि बाईं ओर हमें भिन्न हर के साथ एक व्यंजक मिलता है, तो हम भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करके उन्हें एक सामान्य व्यंजक में लाते हैं। समान परिवर्तनों का उपयोग करके परिवर्तन करें और $0$ के बराबर अंतिम अंश प्राप्त करें।

अंश को $0$ के बराबर करें और परिणामी समीकरण की जड़ें खोजें।

आइए जड़ों का नमूना लें, यानी। वैध चर मान खोजें जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

2 रास्ते। अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

किसी अनुपात का मुख्य गुण यह है कि अनुपात के चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 2

हम इस संपत्ति का उपयोग इस कार्य को हल करने के लिए करते हैं

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. आइए अनुपात के चरम और मध्य सदस्यों के गुणनफल को खोजें और समान करें।

$\बाएं(2x+3\दाएं)\cdot(\ x+3)=\बाएं(x-5\दाएं)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम मूल के मूल ज्ञात करते हैं

2. आइए एक चर के स्वीकार्य मान ज्ञात करें।

पिछले समाधान (पहला तरीका) से हमने पहले ही पाया है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर किसी भी मान की अनुमति है।

फिर, यह स्थापित करने के बाद कि पाया गया रूट एक वैध मान है, हमने पाया कि $-0.2$ रूट होगा।

"भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का समाधान"

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन; भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना; भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है; एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना; परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास; बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण; पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं; महत्वपूर्ण सोच का विकास; अनुसंधान कौशल का विकास।

पोषण:

विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा; शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा; अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे गए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जो हमें एक नए विषय का अध्ययन करने की आवश्यकता है। कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)

2. समीकरण #1 को क्या कहते हैं? ( रैखिक।) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि। ( अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).

3. समीकरण #3 क्या कहलाता है? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)

4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)

5. समीकरणों को हल करने में किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करते हैं, इसके चिह्न को बदलते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर एक समीकरण मिलता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)

6. एक भिन्न शून्य के बराबर कब होती है? ( एक अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर गैर-शून्य होता है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

जवाब: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

जवाब: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

डी=1>0, x1=3, x2=4.

जवाब: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 डी=49
जवाब: 0;5;-2.			जवाब: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, एक बाहरी जड़ की अवधारणा वाले छात्र नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक।) समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है।) कैसे पता करें कि संख्या समीकरण की जड़ है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

जवाब: -2.

आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।

2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य के बराबर होता है, जब अंश शून्य के बराबर होता है, और हर शून्य के बराबर नहीं होता है।

4. समीकरण को हल करें।

5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।

6. उत्तर लिखिए।

चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है तो समाधान कैसे तैयार किया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8", 2007 से कार्य: संख्या 000 (बी, सी, आई); संख्या 000 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

छ) उत्तर: 1; 1.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।

3. नोटबुक नंबर 000 (ए, डी, ई) में हल करें; संख्या 000 (जी, एच)।

4. संख्या 000(ए) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

चादरों पर काम किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

"5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है। "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है। ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिंब।

स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था; 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं; 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य; 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ को सारांशित करना।

इसलिए, आज पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखा, शैक्षिक स्वतंत्र कार्य की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया। आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

अंश कैलकुलेटरभिन्नों के साथ संक्रियाओं की त्वरित गणना के लिए डिज़ाइन किया गया, यह आपको भिन्नों को आसानी से जोड़ने, गुणा करने, विभाजित करने या घटाने में मदद करेगा।

आधुनिक स्कूली बच्चे 5 वीं कक्षा में पहले से ही अंशों का अध्ययन करना शुरू कर देते हैं, और हर साल उनके साथ अभ्यास अधिक जटिल हो जाता है। गणितीय शब्द और मात्राएँ जो हम स्कूल में सीखते हैं, वयस्कता में हमारे लिए शायद ही कभी उपयोगी होती हैं। हालांकि, अंश, लघुगणक और डिग्री के विपरीत, रोजमर्रा की जिंदगी में काफी सामान्य हैं (दूरी मापना, माल तौलना, आदि)। हमारे कैलकुलेटर को अंशों के साथ त्वरित संचालन के लिए डिज़ाइन किया गया है।

सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि भिन्न क्या हैं और वे क्या हैं। भिन्न एक संख्या से दूसरी संख्या का अनुपात है; यह एक संख्या है जिसमें एक इकाई के अंशों की एक पूरी संख्या होती है।

अंश प्रकार:

• साधारण
• दशमलव
• मिला हुआ

उदाहरण साधारण अंश:

शीर्ष मान अंश है, नीचे भाजक है। डैश हमें दिखाता है कि शीर्ष संख्या नीचे की संख्या से विभाज्य है। एक समान लेखन प्रारूप के बजाय, जब डैश क्षैतिज होता है, तो आप अलग तरीके से लिख सकते हैं। आप एक तिरछी रेखा डाल सकते हैं, उदाहरण के लिए:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

दशमलवसबसे लोकप्रिय प्रकार के अंश हैं। इनमें एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है, जिसे अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है।

दशमलव उदाहरण:

0.2 या 6.71 या 0.125

इसमें एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। इस भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको पूर्ण संख्या और भिन्न को जोड़ना होगा।

मिश्रित भिन्नों का उदाहरण:

हमारी वेबसाइट पर अंश कैलकुलेटर ऑनलाइन अंशों के साथ किसी भी गणितीय संचालन को जल्दी से करने में सक्षम है:

• योग
• घटाव
• गुणा
• विभाजन

गणना करने के लिए, आपको फ़ील्ड में संख्याएँ दर्ज करनी होंगी और क्रिया का चयन करना होगा। भिन्नों के लिए, आपको अंश और हर में भरने की आवश्यकता है, एक पूर्णांक नहीं लिखा जा सकता है (यदि अंश सामान्य है)। "बराबर" बटन पर क्लिक करना न भूलें।

यह सुविधाजनक है कि कैलकुलेटर तुरंत एक उदाहरण को अंशों के साथ हल करने के लिए एक प्रक्रिया प्रदान करता है, न कि केवल एक तैयार उत्तर। यह विस्तृत समाधान के लिए धन्यवाद है कि आप इस सामग्री का उपयोग स्कूल की समस्याओं को हल करने और कवर की गई सामग्री में बेहतर महारत हासिल करने के लिए कर सकते हैं।

आपको उदाहरण की गणना करने की आवश्यकता है:

प्रपत्र फ़ील्ड में संकेतक दर्ज करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

एक स्वतंत्र गणना करने के लिए, प्रपत्र में डेटा दर्ज करें।

अंश कैलकुलेटर

दो भिन्न दर्ज करें:

		+ - * :

संबंधित खंड।

एक समीकरण एक समानता है जिसमें एक अक्षर होता है जिसका मूल्य पाया जाना है।

समीकरणों में, अज्ञात को आमतौर पर एक लोअरकेस लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले अक्षर "x" [x] और "y" [y] हैं।

समीकरण का मूल- यह उस अक्षर का मान है, जिस पर समीकरण से सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।

प्रश्न हल करें- इसका अर्थ है इसकी सभी जड़ों को खोजना या यह सुनिश्चित करना कि कोई जड़ें नहीं हैं।

समीकरण को हल करने के बाद, हम हमेशा उत्तर के बाद चेक लिखते हैं।

माता-पिता के लिए सूचना

प्रिय माता-पिता, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि प्राथमिक विद्यालय और 5 वीं कक्षा में, बच्चे "नकारात्मक संख्या" विषय को नहीं जानते हैं।

इसलिए, उन्हें केवल जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना चाहिए। कक्षा 5 के समीकरणों को हल करने की विधियाँ नीचे दी गई हैं।

संकेतों के परिवर्तन के साथ समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में संख्याओं और अक्षरों को स्थानांतरित करके समीकरणों के समाधान की व्याख्या करने का प्रयास न करें।

आप "अंकगणित के नियम" पाठ में जोड़, घटाव, गुणा और भाग से संबंधित अवधारणाओं पर अपने ज्ञान को ताज़ा कर सकते हैं।

जोड़ और घटाव के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
अवधि

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोज्य

अज्ञात को कैसे खोजें
वियोजक

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर को घटाना आवश्यक है।

एक्स + 9 = 15
एक्स = 15 - 9
एक्स = 6
इंतिहान

एक्स - 14 = 2
एक्स = 14 + 2
एक्स = 16
इंतिहान

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - एक्स = 3
एक्स = 5 - 3
एक्स = 2
इंतिहान

गुणा और भाग के समीकरणों को हल करना

अज्ञात को कैसे खोजें
कारक

अज्ञात को कैसे खोजें
लाभांश

अज्ञात को कैसे खोजें
विभक्त

अज्ञात कारक को खोजने के लिए, आपको ज्ञात कारक द्वारा उत्पाद को विभाजित करने की आवश्यकता है।

अज्ञात लाभांश को खोजने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा।

अज्ञात भाजक को खोजने के लिए, भाज्य को भागफल से भाग दें।

वाई 4 = 12
वाई=12:4
वाई = 3
इंतिहान

वाई:7=2
वाई = 2 7
वाई = 14
इंतिहान

8:y=4
वाई=8:4
वाई = 2
इंतिहान

एक समीकरण एक समीकरण होता है जिसमें वह अक्षर होता है जिसका चिन्ह खोजना होता है। समीकरण का हल अक्षर मानों का समुच्चय है जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है:

याद रखें कि हल करने के लिए समीकरणसमानता के एक हिस्से में अज्ञात के साथ शर्तों को स्थानांतरित करना आवश्यक है, और संख्यात्मक शर्तों को दूसरे में स्थानांतरित करना, समान लोगों को लाना और निम्नलिखित समानता प्राप्त करना आवश्यक है:

अंतिम समानता से, हम अज्ञात को नियम द्वारा निर्धारित करते हैं: "कारकों में से एक दूसरे कारक से विभाजित भागफल के बराबर है।"

चूँकि परिमेय संख्याओं a और b में समान और भिन्न चिह्न हो सकते हैं, अज्ञात का चिह्न परिमेय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया

कोष्ठक खोलकर और दूसरे चरण (गुणा और भाग) की क्रियाओं को निष्पादित करके रैखिक समीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए।

अज्ञात को समान चिह्न के एक तरफ और संख्याओं को समान चिह्न के दूसरी तरफ ले जाएं, दी गई समानता के समान हो,

समान चिह्न के बाएँ और दाएँ समान लाएँ, रूप की समानता प्राप्त करें कुल्हाड़ी = बी.

समीकरण की जड़ की गणना करें (अज्ञात खोजें एक्ससमानता से एक्स = बी : ए),

दिए गए समीकरण में अज्ञात को प्रतिस्थापित करके परीक्षण करें।

यदि हमें संख्यात्मक समानता में एक पहचान मिलती है, तो समीकरण को सही ढंग से हल किया जाता है।

समीकरणों को हल करने के विशेष मामले

1. यदि एक समीकरण 0 के बराबर उत्पाद द्वारा दिया जाता है, फिर इसे हल करने के लिए हम गुणन की संपत्ति का उपयोग करते हैं: "उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से एक या दोनों कारक शून्य के बराबर हैं।"

27 (एक्स - 3) = 0
27 0 के बराबर नहीं है, इसलिए एक्स - 3 = 0

दूसरे उदाहरण में समीकरण के दो हल हैं, क्योंकि
यह दूसरी डिग्री का समीकरण है:

यदि समीकरण के गुणांक साधारण भिन्न हैं, तो सबसे पहले आपको हर से छुटकारा पाना होगा। इसके लिए:

एक आम भाजक खोजें;

समीकरण के प्रत्येक पद के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करें;

भिन्नों और पूर्णांकों के अंशों को अतिरिक्त कारकों से गुणा करें और हर के बिना समीकरण के सभी पदों को लिख लें (सामान्य हर को छोड़ दिया जा सकता है);

अज्ञात के साथ पदों को समीकरण के एक भाग में ले जाएं, और संख्यात्मक शब्दों को समान चिह्न से दूसरे में स्थानांतरित करें, एक समान समानता प्राप्त करें;

समान शर्तें लाओ;

समीकरणों के मूल गुण

समीकरण के किसी भी भाग में, आप समान पद ला सकते हैं या कोष्ठक खोल सकते हैं।

समीकरण के किसी भी पद को इसके चिह्न को विपरीत में बदलकर समीकरण के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

समीकरण के दोनों पक्षों को 0 को छोड़कर एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है।

उपरोक्त उदाहरण में, समीकरण को हल करने के लिए इसके सभी गुणों का उपयोग किया गया था।

भिन्न में अज्ञात के साथ समीकरण को कैसे हल करें

कभी-कभी रैखिक समीकरण तब रूप लेते हैं जब अनजानएक या अधिक भिन्नों के अंश में प्रकट होता है। जैसे नीचे समीकरण में।

ऐसे मामलों में, ऐसे समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है।

मैं समाधान का रास्ता
एक समीकरण को एक अनुपात में कम करना

अनुपात विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करते समय, आपको निम्नलिखित चरणों का पालन करना चाहिए:

सभी भिन्नों को एक समान हर में लाएँ और उन्हें बीजीय भिन्नों के रूप में जोड़ें (केवल एक भिन्न बाईं और दाईं ओर रहनी चाहिए);

अनुपात के नियम का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

तो, हमारे समीकरण पर वापस। बाईं ओर, हमारे पास पहले से ही केवल एक अंश है, इसलिए इसमें किसी परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है।

हम समीकरण के दाईं ओर काम करेंगे। समीकरण के दाएँ पक्ष को सरल कीजिए ताकि केवल एक भिन्न रह जाए। ऐसा करने के लिए, बीजीय भिन्न के साथ संख्या जोड़ने के नियमों को याद करें।

अब हम अनुपात के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को अंत तक हल करते हैं।

समाधान की द्वितीय विधि
भिन्नों के बिना एक रैखिक समीकरण में कमी

ऊपर दिए गए समीकरण पर फिर से विचार करें और इसे दूसरे तरीके से हल करें।

हम देखते हैं कि समीकरण में दो भिन्न हैं "

भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें। भिन्नों के साथ समीकरणों का घातीय समाधान।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यहाँ इस तरह की अवधारणा लागू होती है जैसे कि अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र (ODZ) - ये समीकरण की जड़ों के मान हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण को हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

भिन्नों वाले समीकरणों को हल करना ग्रेड 5

भिन्नों के साथ समीकरणों का समाधान। भिन्नों के साथ समस्याओं को हल करना।

दस्तावेज़ सामग्री देखें
"अंश ग्रेड 5 के साथ समीकरणों को हल करना"

- समान हर के साथ भिन्न जोड़ना।

- समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ना।

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, उनके अंशों को जोड़ें और हर को वही छोड़ दें।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए, सबट्रेंड के अंश को मिन्यूएंड के अंश से घटाएं, और हर को वही छोड़ दें।

समीकरणों को हल करते समय, समीकरणों, जोड़ और घटाव के गुणों को हल करने के लिए नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

गुणों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

नियमों का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक योग है।

पद + पद = योग।

अज्ञात पद ज्ञात करने के लिए, ज्ञात पद को योग से घटाएं।

मिन्यूएंड - सबट्रेंड = अंतर

अज्ञात सबट्रेंड को खोजने के लिए, मिन्यूएंड से अंतर घटाएं।

समीकरण के बाईं ओर का व्यंजक अंतर है।

अज्ञात minuend को खोजने के लिए, आपको सबट्रेंड को अंतर में जोड़ना होगा।

समीकरणों को हल करने के लिए नियमों का उपयोग करना।

समीकरण के बाईं ओर, व्यंजक योग है।