लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.
इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।
लघुगणक का जोड़ और घटाव
समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग ए आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:
- लॉग ए एक्स+लोग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
- लॉग ए एक्स-log ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).
तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!
ये सूत्र आपको लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9.
चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।
आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.
फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.
जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।
घातांक को लघुगणक से हटाना
अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:
यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।
बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।
आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:
[आंकड़ा अनुशीर्षक] मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।
अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.
एक नई नींव में संक्रमण
लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?
एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:
लघुगणक को लॉग करने दें ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।
ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।
हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.
ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;
अब दूसरा लघुगणक पलटें:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.
पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]मूल लघुगणकीय पहचान
अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:
पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।
दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।
वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है ए? यह सही है: यह वही संख्या है ए. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।
नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।
काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]
ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
[आंकड़ा अनुशीर्षक]अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)
लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य
अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।
- लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एइस आधार से ही एक के बराबर है।
- लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।
वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।
लघुगणक की स्वीकार्य सीमा (ODZ)
अब प्रतिबंधों के बारे में बात करते हैं (ओडीजेड - चर के स्वीकार्य मूल्यों का क्षेत्र)।
हमें याद है कि, उदाहरण के लिए, वर्गमूल ऋणात्मक संख्याओं से नहीं लिया जा सकता है; या यदि हमारे पास भिन्न है, तो हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता। लघुगणक के लिए समान प्रतिबंध हैं:
अर्थात्, तर्क और आधार दोनों शून्य से बड़ा होना चाहिए, और आधार बराबर नहीं हो सकता।
ऐसा क्यों है?
आइए सरल शुरू करें: मान लीजिए कि। फिर, उदाहरण के लिए, संख्या मौजूद नहीं है, क्योंकि हम चाहे कितनी भी डिग्री बढ़ा लें, यह हमेशा निकलता है। इसके अलावा, यह किसी के लिए मौजूद नहीं है। लेकिन साथ ही यह किसी भी चीज़ के बराबर हो सकता है (उसी कारण से - यह किसी भी डिग्री के बराबर है)। इसलिए, वस्तु में कोई दिलचस्पी नहीं है, और इसे केवल गणित से बाहर कर दिया गया था।
मामले में हमारे पास एक समान समस्या है: किसी भी सकारात्मक डिग्री में - यह, लेकिन इसे नकारात्मक शक्ति तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, क्योंकि शून्य से विभाजन का परिणाम होगा (मैं आपको याद दिलाता हूं)।
जब हम एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने की समस्या का सामना करते हैं (जिसे जड़ के रूप में दर्शाया जाता है:। उदाहरण के लिए, (अर्थात), लेकिन मौजूद नहीं है।
इसलिए, उनके साथ खिलवाड़ करने की तुलना में नकारात्मक कारणों को दूर करना आसान है।
ठीक है, चूंकि आधार a हमारे लिए केवल सकारात्मक है, फिर चाहे हम इसे किसी भी डिग्री तक बढ़ा दें, हमें हमेशा एक सख्ती से सकारात्मक संख्या मिलेगी। इसलिए तर्क सकारात्मक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि यह किसी भी हद तक ऋणात्मक संख्या नहीं होगी (और शून्य भी, इसलिए इसका अस्तित्व भी नहीं है)।
लॉगरिदम की समस्याओं में, पहला कदम ODZ को लिखना है। मैं एक उदाहरण दूंगा:
आइए समीकरण को हल करें।
परिभाषा को याद करें: लघुगणक वह शक्ति है जिसके लिए तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए। और शर्त के अनुसार यह डिग्री बराबर होती है: .
हमें सामान्य द्विघात समीकरण मिलता है: . हम इसे वियत प्रमेय का उपयोग करके हल करते हैं: जड़ों का योग बराबर है, और उत्पाद। लेने में आसान, ये संख्याएँ हैं और।
लेकिन अगर आप तुरंत इन दोनों नंबरों को उत्तर में लेते हैं और लिखते हैं, तो आप कार्य के लिए 0 अंक प्राप्त कर सकते हैं। क्यों? आइए विचार करें कि यदि हम इन मूलों को प्रारंभिक समीकरण में प्रतिस्थापित कर दें तो क्या होगा?
यह स्पष्ट रूप से गलत है, क्योंकि आधार नकारात्मक नहीं हो सकता है, अर्थात जड़ "तृतीय-पक्ष" है।
ऐसी अप्रिय तरकीबों से बचने के लिए, आपको समीकरण को हल करना शुरू करने से पहले ही ODZ लिखना होगा:
फिर, जड़ों को प्राप्त करने और, हम तुरंत जड़ को त्याग देते हैं, और सही उत्तर लिखते हैं।
उदाहरण 1(इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें) :
समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए। यदि कई मूल हैं, तो अपने उत्तर में छोटे वाले को इंगित करें।
फेसला:
सबसे पहले, आइए ODZ लिखें:
अब हमें याद है कि लघुगणक क्या है: तर्क प्राप्त करने के लिए आपको आधार को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? क्षण में। अर्थात:
ऐसा लगता है कि छोटी जड़ बराबर है। लेकिन ऐसा नहीं है: ODZ के अनुसार, रूट थर्ड-पार्टी है, यानी यह इस समीकरण की जड़ बिल्कुल नहीं है। इस प्रकार, समीकरण का केवल एक मूल है: .
जवाब: .
मूल लघुगणकीय पहचान
सामान्य शब्दों में लघुगणक की परिभाषा को याद करें:
लघुगणक के बजाय दूसरी समानता में रखें:
इस समानता को कहा जाता है बुनियादी लघुगणकीय पहचान. हालांकि संक्षेप में यह समानता अलग तरह से लिखी गई है लघुगणक की परिभाषा:
यह वह शक्ति है जिसे पाने के लिए आपको ऊपर उठाने की जरूरत है।
उदाहरण के लिए:
निम्नलिखित उदाहरणों को हल करें:
उदाहरण 2
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:
खंड से नियम को याद करें: यानी, जब एक डिग्री को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो संकेतक गुणा हो जाते हैं। आइए इसे लागू करें:
उदाहरण 3
साबित करो।
फेसला:
लघुगणक के गुण
दुर्भाग्य से, कार्य हमेशा इतने सरल नहीं होते हैं - अक्सर आपको पहले अभिव्यक्ति को सरल बनाने, इसे सामान्य रूप में लाने की आवश्यकता होती है, और उसके बाद ही मूल्य की गणना करना संभव होगा। यह जानना सबसे आसान है लघुगणक के गुण. तो आइए जानें लघुगणक के मूल गुण। मैं उनमें से प्रत्येक को साबित करूंगा, क्योंकि किसी भी नियम को याद रखना आसान होता है यदि आप जानते हैं कि यह कहां से आता है।
इन सभी गुणों को याद रखना चाहिए; उनके बिना, लघुगणक के साथ अधिकांश समस्याओं का समाधान नहीं किया जा सकता है।
और अब लॉगरिदम के सभी गुणों के बारे में अधिक विस्तार से।
संपत्ति 1:
प्रमाण:
चलो, फिर।
हमारे पास: , एच.टी.डी.
संपत्ति 2: लघुगणक का योग
समान आधार वाले लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर होता है: .
प्रमाण:
चलो, फिर। चलो, फिर।
उदाहरण:व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: .
फेसला: ।
आपने अभी जो सूत्र सीखा है, वह अंतर नहीं, बल्कि लघुगणक के योग को सरल बनाने में मदद करता है, ताकि इन लघुगणकों को तुरंत संयोजित नहीं किया जा सके। लेकिन आप इसके विपरीत कर सकते हैं - पहले लॉगरिदम को दो में "ब्रेक" करें: और यहां वादा किया गया सरलीकरण है:
.
इसकी आवश्यकता क्यों है? खैर, उदाहरण के लिए: इससे क्या फर्क पड़ता है?
अब जाहिर सी बात है।
अभी इसे अपने लिए आसान बनाएं:
कार्य:
उत्तर:
संपत्ति 3: लघुगणक का अंतर:
प्रमाण:
सब कुछ बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि पैराग्राफ 2 में है:
चलो, फिर।
चलो, फिर। हमारे पास है:
अंतिम बिंदु से उदाहरण अब और भी सरल है:
अधिक जटिल उदाहरण: . खुद सोचिए कैसे तय करें?
यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हमारे पास लघुगणक वर्ग के बारे में एक भी सूत्र नहीं है। यह एक अभिव्यक्ति के समान कुछ है - इसे तुरंत सरल नहीं किया जा सकता है।
इसलिए, आइए हम लघुगणक के सूत्रों से हटें, और सोचें कि हम आमतौर पर गणित में किन सूत्रों का सबसे अधिक उपयोग करते हैं? सातवीं कक्षा के बाद से!
ये है - । आपको इस तथ्य की आदत डालनी होगी कि वे हर जगह हैं! और घातांक में, और त्रिकोणमितीय में, और तर्कहीन समस्याओं में, वे पाए जाते हैं। इसलिए उन्हें याद किया जाना चाहिए।
यदि आप पहले दो पदों को करीब से देखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि यह है वर्गों का अंतर:
जाँच का उत्तर:
अपने आप को सरल करें।
उदाहरण
उत्तर।
गुण 4: लघुगणक के तर्क से घातांक की व्युत्पत्ति:
प्रमाण:और यहाँ हम लघुगणक की परिभाषा का भी उपयोग करते हैं: चलो, फिर। हमारे पास: , एच.टी.डी.
आप इस नियम को इस तरह समझ सकते हैं:
अर्थात्, तर्क की डिग्री को गुणांक के रूप में लघुगणक के आगे ले जाया जाता है।
उदाहरण:व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला: .
अपने लिए तय करें:
उदाहरण:
उत्तर:
गुण 5: लघुगणक के आधार से घातांक की व्युत्पत्ति:
प्रमाण:चलो, फिर।
हमारे पास: , एच.टी.डी.
याद रखें: से मैदानडिग्री के रूप में प्रदान किया जाता है उल्टासंख्या, पिछले मामले के विपरीत!
गुण 6: आधार से घातांक की व्युत्पत्ति और लघुगणक का तर्क:
या यदि डिग्री समान हैं: .
संपत्ति 7: नए आधार पर संक्रमण:
प्रमाण:चलो, फिर।
हमारे पास: , एच.टी.डी.
संपत्ति 8: आधार और लघुगणक के तर्क की अदला-बदली:
प्रमाण:यह सूत्र 7 का एक विशेष मामला है: यदि हम स्थानापन्न करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: , p.t.d.
आइए कुछ और उदाहरण देखें।
उदाहरण 4
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
हम लघुगणक संख्या 2 की संपत्ति का उपयोग करते हैं - समान आधार वाले लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर होता है:
उदाहरण 5
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:
हम लघुगणक संख्या 3 और संख्या 4 की संपत्ति का उपयोग करते हैं:
उदाहरण 6
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:
संपत्ति संख्या 7 का उपयोग करना - आधार 2 पर जाएं:
उदाहरण 7
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:
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और यह अच्छा है!
अब हमें बताएं कि आपको लेख कैसा लगा?
क्या आपने लघुगणक को हल करना सीखा है? यदि नहीं, तो समस्या क्या है?
हमें नीचे कमेंट्स में लिखें।
और हाँ, आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ।
यूनिफाइड स्टेट परीक्षा और ओजीई में और सामान्य रूप से जीवन में
(ग्रीक λόγος से - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या") संख्या बीवजह से ए(लॉग α बी) को ऐसी संख्या कहा जाता है सी, और बी= एसी, वह है, लॉग α बी=सीऔर बी = एसीसमकक्ष हैं। लॉगरिदम समझ में आता है अगर a> 0, a 1, b> 0।
दूसरे शब्दों में लोगारित्मनंबर बीवजह से एएक घातांक के रूप में तैयार किया गया है जिसके लिए एक संख्या को उठाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।
इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिकलन x= log α बी, समीकरण a x =b को हल करने के बराबर है।
उदाहरण के लिए:
लॉग 2 8 = 3 क्योंकि 8=2 3 .
हम ध्यान दें कि लघुगणक का संकेतित सूत्रीकरण तुरंत निर्धारित करना संभव बनाता है लघुगणक मानजब लघुगणक के चिन्ह के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति होती है। वास्तव में, लघुगणक का निरूपण यह उचित ठहराना संभव बनाता है कि यदि बी = एक सी, तो संख्या का लघुगणक बीवजह से एबराबरी साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय विषय से निकटता से संबंधित है संख्या की डिग्री.
लघुगणक की गणना को संदर्भित किया जाता है लोगारित्म. लघुगणक एक लघुगणक लेने की गणितीय क्रिया है। लघुगणक लेते समय, कारकों के उत्पाद शब्दों के योग में बदल जाते हैं।
क्षमतालॉगरिदम के विपरीत गणितीय ऑपरेशन है। पोटेंशियेटिंग करते समय, दिए गए आधार को उस अभिव्यक्ति की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है जिस पर पोटेंशिएशन किया जाता है। इस मामले में, शब्दों का योग कारकों के उत्पाद में बदल जाता है।
अक्सर, आधार 2 (बाइनरी), ई यूलर संख्या ई 2.718 (प्राकृतिक लघुगणक) और 10 (दशमलव) के साथ वास्तविक लघुगणक का उपयोग किया जाता है।
इस स्तर पर, यह विचार करने योग्य है लघुगणक के नमूनेलॉग 7 2 , एलएन √ 5, एलजी0.0001.
और प्रविष्टियाँ lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में एक ऋणात्मक संख्या लघुगणक के चिन्ह के नीचे रखी गई है, दूसरे में - एक ऋणात्मक संख्या आधार, और तीसरे में - और आधार में लघुगणक और इकाई के संकेत के तहत एक ऋणात्मक संख्या।
लघुगणक के निर्धारण के लिए शर्तें।
ए> 0, ए 1, बी> 0 शर्तों पर अलग से विचार करना उचित है। लघुगणक की परिभाषा।आइए विचार करें कि ये प्रतिबंध क्यों लिए गए हैं। इससे हमें x = log α . के रूप की समानता में सहायता मिलेगी बी, जिसे मूल लघुगणकीय पहचान कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दिए गए लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है।
शर्त लो ए≠1. चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता x=log α बीकेवल तभी मौजूद हो सकता है जब ख = 1, लेकिन लॉग 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या होगी। इस अस्पष्टता को दूर करने के लिए, हम लेते हैं ए≠1.
आइए हम शर्त की आवश्यकता को साबित करें ए>0. पर ए = 0लघुगणक के निर्माण के अनुसार, केवल तभी मौजूद हो सकता है जब बी = 0. और फिर तदनुसार लॉग 0 0कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी शून्येतर घात शून्य होती है। इस अस्पष्टता को दूर करने के लिए शर्त ए≠0. और जब ए<0 हमें लघुगणक के तर्कसंगत और अपरिमेय मूल्यों के विश्लेषण को अस्वीकार करना होगा, क्योंकि तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक वाले घातांक को केवल गैर-ऋणात्मक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। यही कारण है कि स्थिति ए>0.
और आखिरी शर्त ख>0असमानता से अनुसरण करता है ए>0, क्योंकि x=लॉग α बी, और एक सकारात्मक आधार के साथ डिग्री का मान एहमेशा सकारात्मक।
लघुगणक की विशेषताएं।
लघुगणकविशिष्ट द्वारा विशेषता विशेषताएँ, जिसके कारण श्रमसाध्य गणनाओं को सुविधाजनक बनाने के लिए उनका व्यापक उपयोग हुआ। "लघुगणक की दुनिया में" संक्रमण में, गुणन एक बहुत आसान जोड़ में बदल जाता है, विभाजन घटाव में, और एक शक्ति में वृद्धि और एक जड़ को क्रमशः एक घातांक द्वारा गुणा और विभाजन में बदल दिया जाता है।
लघुगणक का निर्माण और उनके मूल्यों की एक तालिका (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) पहली बार 1614 में स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर द्वारा प्रकाशित की गई थी। अन्य वैज्ञानिकों द्वारा विस्तृत और विस्तृत लघुगणक तालिकाएँ वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग गणनाओं में व्यापक रूप से उपयोग की जाती थीं, और तब तक प्रासंगिक बनी रहीं जब तक कि इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर का उपयोग शुरू नहीं हुआ।
"संक्षिप्त गुणन के सूत्र" - दो बहुपदों को गुणा करते समय, पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है और गुणनफल जोड़े जाते हैं। संक्षिप्त गुणन सूत्र। बहुपदों को जोड़ते और घटाते समय, कोष्ठक खोलने के नियमों का उपयोग किया जाता है। एकपदी संख्या, चर और उनकी प्राकृतिक शक्तियों के उत्पाद हैं।
"समीकरणों की प्रणाली का समाधान" - ग्राफिकल विधि (एल्गोरिदम)। एक समीकरण एक या एक से अधिक चर वाली समानता है। समीकरण और उसके गुण। निर्धारकों की विधि (एल्गोरिदम)। समीकरणों की प्रणाली और इसका समाधान। तुलना विधि द्वारा प्रणाली का समाधान। दो चर के साथ रैखिक समीकरण। जोड़ विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
"असमानताओं की प्रणालियों का समाधान" - अंतराल। गणितीय श्रुतलेख। रैखिक असमानताओं को हल करने वाली प्रणालियों के उदाहरणों पर विचार किया जाता है। असमानताओं की प्रणालियों का समाधान। रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, इसमें शामिल प्रत्येक असमानता को हल करना और उनके समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन खोजना पर्याप्त है। उन असमानताओं को लिखिए जिनके समाधान समुच्चय अंतराल हैं।
"सांकेतिक असमानताएँ" - असमानता का संकेत। असमानता को हल करें। सरलतम घातीय असमानताओं का समाधान। घातीय असमानताओं का समाधान। घातीय असमानताओं को हल करते समय क्या ध्यान में रखा जाना चाहिए? सरलतम घातीय असमानताओं का समाधान। एक असमानता जिसमें घातांक में अज्ञात होता है, घातीय असमानता कहलाती है।
"संख्याओं के संबंध" - अनुपात क्या है? संख्या m और n के अनुपात a: m = n: c के नाम क्या हैं? दो संख्याओं के भागफल को दो संख्याओं का अनुपात कहते हैं। मार्केटिंग लैन। सही अनुपात में, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है और इसके विपरीत। एक रवैया क्या है? अनुपात। अनुपात को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
"एक द्विघात समीकरण का विवेचक" - विएटा का प्रमेय। द्विघातीय समीकरण। भेदभाव करने वाला। अपूर्ण द्विघात समीकरण किसे कहते हैं? यदि किसी समीकरण का विवेचक शून्य है तो उसके कितने मूल हैं? अपूर्ण द्विघात समीकरणों का हल। एक समीकरण की कितनी जड़ें होती हैं यदि उसका विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है?
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