ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में बड़ी संख्या में स्टीरियोमेट्रिक कार्यों के बीच, कार्यों के विभिन्न संग्रहों में, विश्वविद्यालयों की तैयारी के लिए पाठ्यपुस्तकें, तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी खोजने के कार्य अत्यंत दुर्लभ हैं। शायद यह उनके व्यावहारिक अनुप्रयोग की संकीर्णता (स्कूल के पाठ्यक्रम के सापेक्ष, क्षेत्रों और संस्करणों की गणना के लिए "जीतने" कार्यों के विपरीत), और इस विषय की जटिलता दोनों के कारण है।

यूनिफाइड स्टेट परीक्षा आयोजित करने की प्रथा से पता चलता है कि बहुत से छात्र ज्यामिति में उन कार्यों को पूरा करना शुरू नहीं करते हैं जो परीक्षा के पेपर में शामिल हैं। जटिलता के बढ़े हुए स्तर के ज्यामितीय कार्यों के सफल समापन को सुनिश्चित करने के लिए, सोच के लचीलेपन को विकसित करना आवश्यक है, प्रस्तावित कॉन्फ़िगरेशन का विश्लेषण करने की क्षमता और इसमें भागों को अलग करना, जिस पर विचार करना आपको हल करने का एक तरीका खोजने की अनुमति देता है। समस्या।

स्कूल पाठ्यक्रम में प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए समस्याओं को हल करने के चार तरीकों का अध्ययन शामिल है। विधि का चुनाव, सबसे पहले, किसी विशेष कार्य की विशेषताओं, उसके द्वारा प्रदान की गई पसंद के अवसरों और दूसरे, किसी विशेष छात्र की "स्थानिक सोच" की क्षमताओं और विशेषताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। इनमें से प्रत्येक विधि आपको समस्या के सबसे महत्वपूर्ण भाग को हल करने की अनुमति देती है - दोनों प्रतिच्छेदन रेखाओं के लंबवत एक खंड का निर्माण (समस्याओं के कम्प्यूटेशनल भाग के लिए, विधियों में विभाजन की आवश्यकता नहीं है)।

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करने की समस्याओं को हल करने की मुख्य विधियाँ

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के उभयनिष्ठ लंब की लंबाई ज्ञात करना, अर्थात् एक खंड जिसके सिरे इन रेखाओं पर होते हैं और इनमें से प्रत्येक रेखा पर लंबवत होते हैं।

किसी एक प्रतिच्छेदी रेखा से दूसरी रेखा से गुजरने वाले उसके समांतर समतल की दूरी ज्ञात करना।

दी गई तिरछी रेखाओं से गुजरने वाले दो समांतर तलों के बीच की दूरी ज्ञात करना।

एक बिंदु से दूरी का पता लगाना जो एक समतल पर तिरछी रेखाओं में से एक का प्रक्षेपण है (तथाकथित "स्क्रीन") उसी विमान पर दूसरी रेखा के प्रक्षेपण के लिए।

हम सभी चार विधियों को निम्नलिखित सरलतम पर प्रदर्शित करेंगे: काम: "एक घन में एक किनारे के साथ एकिसी भी किनारे और चेहरे के विकर्ण के बीच की दूरी पाएं जो इसे काटती नहीं है।" उत्तर:।

चित्र 1

h skr विकर्ण वाले पार्श्व फलक के तल के लंबवत है डीऔर किनारे के लंबवत है, इसलिए एच स्क्रूऔर किनारे के बीच की दूरी है एऔर विकर्ण डी.

चित्र 2

तल A किनारे के समानांतर है और दिए गए विकर्ण से होकर गुजरता है, इसलिए दिया गया एच स्क्रून केवल किनारे से विमान A तक की दूरी है, बल्कि किनारे से दिए गए विकर्ण तक की दूरी भी है।

चित्र तीन

विमान ए और बी समानांतर हैं और दो तिरछी रेखाओं से गुजरते हैं, इसलिए इन विमानों के बीच की दूरी दो तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।

चित्र 4

समतल A घन के किनारे पर लंबवत है। जब विकर्ण A . पर प्रक्षेपित किया जाता है डीयह विकर्ण घन के आधार की किसी एक भुजा की ओर मुड़ जाता है। यह एच स्क्रूकिनारे वाली रेखा और विमान C पर विकर्ण के प्रक्षेपण के बीच की दूरी है, और इसलिए किनारे और विकर्ण वाली रेखा के बीच की दूरी है।

आइए हम स्कूल में अध्ययन किए गए पॉलीहेड्रा के लिए प्रत्येक विधि के आवेदन पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

पहली विधि का अनुप्रयोग काफी सीमित है: इसका उपयोग केवल कुछ समस्याओं में ही किया जाता है, क्योंकि सरलतम समस्याओं में सटीक स्थान को निर्धारित करना और सही ठहराना मुश्किल है, और जटिल में दो प्रतिच्छेदन रेखाओं के सामान्य लंबवत का अनुमानित स्थान। समस्या। इसके अलावा, जब जटिल समस्याओं में इस लंबवत की लंबाई का पता लगाया जाता है, तो व्यक्ति को दुर्गम कठिनाइयों का सामना करना पड़ सकता है।

समस्या 1. आयामों के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में ए, बी, एचभुजा के किनारे और आधार के विकर्ण के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जो इसके साथ प्रतिच्छेद नहीं करती है।

चित्र 5

चलो एएचबीडी। चूँकि A 1 A समतल ABCD पर लंबवत है, तो A 1 A AH।

AH दोनों दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, इसलिए AH? रेखा A, A और BD के बीच की दूरी है। एक समकोण त्रिभुज ABD में, AB और AD पैरों की लंबाई जानने के बाद, हम एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्रों का उपयोग करके AH की ऊँचाई ज्ञात करते हैं। जवाब:

समस्या 2। एक नियमित 4-पक्षीय पिरामिड में एक किनारे के साथ लीऔर आधार पक्ष एएपोथेम और आधार के किनारे के बीच की दूरी का पता लगाएं जो इस एपोथेम वाले साइड फेस को काटता है।

चित्र 6

एपोथेम के रूप में SHCD, ABCD के रूप में ADCD एक वर्ग है। इसलिए, डीएच लाइनों एसएच और एडी के बीच की दूरी है। DH, CD की आधी भुजा के बराबर है। जवाब:

इस पद्धति का उपयोग इस तथ्य के कारण भी सीमित है कि यदि आप दूसरी रेखा के समानांतर एक प्रतिच्छेदन रेखाओं में से एक से गुजरने वाले विमान को जल्दी से बना सकते हैं (या तैयार-निर्मित ढूंढ सकते हैं), तो दूसरी पंक्ति के किसी भी बिंदु से लंबवत निर्माण कर सकते हैं इस विमान के लिए (बहुफलक के अंदर) कठिनाइयों का कारण बनता है। हालांकि, सरल कार्यों में, जहां संकेतित लंबवत का निर्माण (या खोज) कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, यह विधि सबसे तेज़ और आसान है, और इसलिए सुलभ है।

टास्क 2। इस तरह से ऊपर बताई गई समस्या का समाधान किसी विशेष कठिनाई का कारण नहीं बनता है।

चित्र 7

AD से समतल EFM रेखा AD के समानांतर है || ईएफ. रेखा MF इसी तल में स्थित है, इसलिए रेखा AD और समतल EFM के बीच की दूरी रेखा AD और रेखा MF के बीच की दूरी के बराबर है। चलो एक OHAD करते हैं। OHEF, OHMO, इसलिए OH(EFM), इसलिए OH रेखा AD और समतल EFM के बीच की दूरी है, और इसलिए रेखा AD और रेखा MF के बीच की दूरी है। त्रिभुज AOD से OH ज्ञात करना।

समस्या 3. आयामों के साथ एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में ए, बीऔर एचपार्श्व किनारे और समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जो इसके साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है।

आंकड़ा 8

रेखा एए 1 विमान बीबी 1 डी 1 डी के समानांतर है, बी 1 डी इस विमान से संबंधित है, इसलिए एए 1 से विमान बीबी 1 डी 1 डी की दूरी एए 1 और बी 1 डी के बीच की दूरी के बराबर है। एएचबीडी बनाएं . इसके अलावा, एएच बी 1 बी, इसलिए एएच (बीबी 1 डी 1 डी), इसलिए एएचबी 1 डी, यानी एएच वांछित दूरी है। समकोण त्रिभुज ABD से AH ज्ञात कीजिए।

जवाब:

समस्या 4. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म में A:F 1 ऊंचाई के साथ एचऔर आधार पक्ष एलाइनों के बीच की दूरी का पता लगाएं:

चित्र 9 चित्र 10

ए) एए 1 और ईडी 1.

विमान E 1 EDD 1 पर विचार करें। ए 1 ई 1 ईई 1, ए 1 ई 1 ई 1 डी 1 इसलिए

ए 1 ई 1 (ई 1 ईडीडी 1)। इसके अलावा ए 1 ई 1 एए 1। इसलिए, A 1 E 1 रेखा AA 1 से समतल E 1 EDD 1 की दूरी है। ED 1 (E 1 EDD 1)।, इसलिए AE 1 सीधी रेखा AA 1 से सीधी रेखा ED 1 की दूरी है। हम कोज्या प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज F 1 A 1 E 1 से A 1 E 1 पाते हैं। जवाब:

बी) वायुसेना और विकर्ण बीई 1.

आइए हम बिंदु F से BE पर लंबवत एक रेखा FH खींचते हैं। ईई 1 एफएच, एफएचबीई, इसलिए एफएच (बीईई 1 बी 1), इसलिए एफएच लाइन एएफ और (बीईई 1 बी 1) के बीच की दूरी है, और इसलिए लाइन एएफ और विकर्ण बीई 1 के बीच की दूरी है। जवाब:

विधि III

इस पद्धति का उपयोग बेहद सीमित है, क्योंकि दो समानांतर विमानों की तुलना में किसी एक रेखा (विधि II) के समानांतर एक विमान बनाना आसान है, हालांकि, विधि III का उपयोग प्रिज्म में किया जा सकता है यदि प्रतिच्छेदन रेखाएं समानांतर चेहरों से संबंधित हों, और उन मामलों में भी जहां एक बहुफलक में दी गई रेखाओं वाले समानांतर वर्गों का निर्माण करना आसान होता है।

कार्य 4.

चित्र 11

ए) विमान बीएए 1 बी 1 और डीईई 1 डी 1 समानांतर हैं क्योंकि एबी || ईडी और एए 1 || ईई1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), इसलिए, सीधी रेखाओं AA 1 और ED 1 के बीच की दूरी, BAA 1 B 1 और DEE 1 D 1 के बीच की दूरी के बराबर है। ए 1 ई 1 एए 1, ए 1 ई 1 ए 1 बी 1 इसलिए, ए 1 ई 1 बीएए 1 बी 1। हम इसी तरह साबित करते हैं कि ए 1 ई 1 (डीईई 1 डी 1)। इस प्रकार, ए 1 ई 1 विमान बीएए 1 बी 1 और डीईई 1 डी 1 के बीच की दूरी है, और इसलिए एए 1 और ईडी 1 के बीच की दूरी है। त्रिभुज A 1 F 1 E 1 से A 1 E 1 ज्ञात कीजिए, जो कोण A 1 F 1 E 1 के बराबर समद्विबाहु है। जवाब:

चित्र 12

b) AF और विकर्ण BE 1 के बीच की दूरी समान है।

समस्या 5. एक किनारे वाले घन में एदो आसन्न फलकों के दो अप्रतिच्छेदी विकर्णों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

कुछ मैनुअल में इस समस्या को एक क्लासिक माना जाता है, लेकिन, एक नियम के रूप में, इसका समाधान विधि IV द्वारा दिया गया है, हालांकि, यह विधि III का उपयोग करके समाधान के लिए काफी सुलभ है।

चित्र 13

इस समस्या में कुछ कठिनाई इस बात का प्रमाण है कि विकर्ण A 1 C दोनों समानांतर विमानों (AB 1 D 1 || BC 1 D) के लंबवत है। बी 1 सीबीसी 1 और बीसी 1 ए 1 बी 1 इसलिए, रेखा बीसी 1 विमान ए 1 बी 1 सी के लंबवत है, और इसलिए बीसी 1 ए 1 सी। साथ ही, ए 1 सीबीडी। इसलिए, रेखा ए 1 सी विमान बीसी 1 डी के लंबवत है। समस्या का कम्प्यूटेशनल हिस्सा किसी विशेष कठिनाई का कारण नहीं बनता है, क्योंकि एच स्क्रू= EF को घन विकर्ण और दो समान नियमित पिरामिडों A 1 AB 1 D 1 और CC 1 BD की ऊंचाई के बीच के अंतर के रूप में पाया जाता है।

विधि IV।

इस पद्धति का काफी व्यापक अनुप्रयोग है। मध्यम और बढ़ी हुई कठिनाई के कार्यों के लिए, इसे मुख्य माना जा सकता है। इसे केवल तभी लागू करने की आवश्यकता नहीं है जब पिछले तीन तरीकों में से एक आसान और तेज़ काम करता है, क्योंकि ऐसे मामलों में विधि IV केवल समस्या के समाधान को जटिल बना सकती है, या इसे एक्सेस करना मुश्किल बना सकती है। प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति में उपयोग करने के लिए यह विधि बहुत फायदेमंद है, क्योंकि "स्क्रीन" पर किसी एक रेखा का प्रक्षेपण बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है।

एल और बेस साइड ए.

चित्र 16

इस और इसी तरह की समस्याओं में, विधि IV अन्य तरीकों की तुलना में तेजी से समाधान की ओर ले जाती है, क्योंकि एक खंड का निर्माण करके जो एसी (त्रिकोण बीडीएम) के लंबवत "स्क्रीन" की भूमिका निभाता है, यह स्पष्ट है कि आगे निर्माण करने की कोई आवश्यकता नहीं है इस स्क्रीन पर दूसरी लाइन (बीएम) का प्रक्षेपण। डीएच - वांछित दूरी। डीएच त्रिभुज एमडीबी से क्षेत्र सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है। जवाब: .

"तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी" - प्रमेय। प्रारंभिक मौखिक कार्य। रेखा MN और समतल AA1D1D के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। रेखा B1K और समतल DD1C1C के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। OK=OO1?OM/O1M =a/3 (पायथागॉरियन प्रमेय के अनुसार O1M=3/2?2, OM=1/2?2)। विकर्ण तल AA1C1C रेखा BD पर लंबवत है। बिंदु B और N की नई स्थितियाँ AD और BM एक दूसरे के निकटतम बिंदु होंगे।

"पाठ गति समय दूरी" - गणितीय वार्म-अप। पाठ का उद्देश्य: छात्रों को आंदोलन पर समस्याओं को हल करना सिखाना। दूरी। 5 किमी/घंटा की गति से 30 किमी चलने में कितना समय लगता है? गति, समय और दूरी के बीच संबंध। कितने लोग शहर गए? एक हवाई जहाज शहर A से शहर B की दूरी 1 घंटे 20 मिनट में तय करता है।

"स्पीड टाइम डिस्टेंस मैथमेटिक्स" - संख्या 5 और 65 के योग को 2 गुना कम करें। पता नहीं चाँद पर गया। एक परी कथा पुस्तक के पन्नों के माध्यम से यात्रा करें। फ़िज़्कुल्टमिनुत्का। एक आठ बजे और दूसरा 10 बजे रवाना हुआ। संक्षेप। क्या लौरा सही है? -लौरा ने निम्नलिखित समस्या हल की: “500 किमी। एक कार 10 घंटे में गुजरेगी। समय। उत्तर "38" वाली कुंजी पुस्तक को खोलती है:

"डायलॉग डायरेक्ट स्पीच" - डायरेक्ट स्पीच और डायलॉग में क्या अंतर है? उदाहरण के लिए: एल एन टॉल्स्टॉय ने कहा: "हम सभी को दुनिया में एक दूसरे की जरूरत है।" सीधे भाषण के ग्राफिक्स। ए: "पी।" कार्य 3. सीधे भाषण को संवाद से बदलें। उदाहरण के लिए: "पी?" - ए। "पी!" - ए। निम्नलिखित वाक्यों के लिए सही आरेखों को इंगित करें। संवाद ग्राफिक्स। सीधा भाषण और संवाद लिखित में कैसे लिखें?

"प्रत्यक्ष भाषण के साथ वाक्य" - पेट्रोनियस, प्राचीन रोमन लेखक। खेल "गलती का पता लगाएं" (चेक)। सीधे भाषण का परिचय देने वाले लेखक के शब्द: मैं फिर से प्रकट हुआ और फादर गेरासिम के घर गया। गाँव का एक मित्र मुझसे मिलने आया। प्रत्यक्ष भाषण के साथ प्रस्ताव। रचनात्मक कार्य। लिखित रूप में, प्रत्यक्ष भाषण उद्धरण चिह्नों में संलग्न है। पढ़ना!" कोन्स्टेंटिन जॉर्जीविच पॉस्टोव्स्की ने कहा।

"दूरी और पैमाना" - उच्च आवर्धन पैमाने में परमाणु का मॉडल। एक पैमाने वाले नक्शे पर, दूरी 5 सेमी है। यदि पैमाने को 1 के अंश के साथ एक भिन्न द्वारा दिया जाता है, तो। दमकल का स्केल मॉडल। जमीन पर दूरी खोजने के लिए एल्गोरिदम: राजमार्ग पर, मार्ग की लंबाई 700 किमी है। वाक्य समाप्त करें: दो शहरों के बीच की दूरी 400 किमी है।

इस लेख में, एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 को हल करने के उदाहरण का उपयोग करते हुए, विधि का उपयोग करके निर्देशांक खोजने की विधि का विश्लेषण किया गया है। याद रखें कि रेखाएँ तिरछी होती हैं यदि वे एक ही तल में नहीं होती हैं। विशेष रूप से, यदि एक रेखा एक समतल में स्थित है, और दूसरी रेखा इस तल को उस बिंदु पर काटती है जो पहली रेखा पर नहीं है, तो ऐसी रेखाएँ तिरछी होती हैं (आकृति देखें)।

खोजने के लिए प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरीज़रूरी:

1. एक तिरछी रेखा के माध्यम से एक विमान बनाएं जो दूसरी तिरछी रेखा के समानांतर हो।
2. दूसरी सीधी रेखा के किसी भी बिंदु से परिणामी तल पर एक लंबवत गिराएं। इस लंबवत की लंबाई लाइनों के बीच वांछित दूरी होगी।

आइए हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा से समस्या C2 को हल करने के उदाहरण का उपयोग करके इस एल्गोरिथ्म का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच की दूरी

काम।एक घन में एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए बी ० ए 1 और डी.बी. 1 .

चावल। 1. कार्य के लिए आरेखण

फेसला।घन के विकर्ण के मध्य बिन्दु से होकर डी.बी. 1 (डॉट हे) रेखा के समानांतर एक रेखा खींचना ए 1 बी. किनारों के साथ दी गई रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ईसा पूर्वऔर ए 1 डी 1 क्रमशः निरूपित करें एनऔर एम. सीधा एम.एन.विमान में है एमएनबी 1 और रेखा के समानांतर ए 1 बी, जो इस विमान में नहीं है। इसका मतलब है कि प्रत्यक्ष ए 1 बीविमान के समानांतर एमएनबी 1 एक सीधी रेखा और एक तल की समांतरता के आधार पर (चित्र 2)।

चावल। 2. क्रॉसिंग लाइनों के बीच वांछित दूरी चयनित रेखा के किसी भी बिंदु से चित्रित विमान तक की दूरी के बराबर है

अब हम सरल रेखा पर किसी बिन्दु से दूरी ज्ञात कर रहे हैं ए 1 बीविमान तक एमएनबीएक । यह दूरी, परिभाषा के अनुसार, तिरछी रेखाओं के बीच वांछित दूरी होगी।

इस दूरी को ज्ञात करने के लिए हम निर्देशांक विधि का प्रयोग करते हैं। हम एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पेश करते हैं ताकि इसका मूल बिंदु बी, अक्ष के साथ मेल खाता हो एक्सकिनारे के साथ निर्देशित किया गया था बी ० ए, एक्सिस यू- पसली के साथ ईसा पूर्व, एक्सिस जेड- पसली के साथ बी बी 1 (चित्र 3)।

चावल। 3. जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली का चयन करते हैं

हम समतल का समीकरण ज्ञात करते हैं एमएनबीइस समन्वय प्रणाली में 1. ऐसा करने के लिए, हम पहले बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं एम, एनऔर बी 1: हम प्राप्त निर्देशांक को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के दूसरे समीकरण से, हम तीसरे से प्राप्त करते हैं, और फिर पहले से प्राप्त करते हैं। हम प्राप्त मूल्यों को सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

ध्यान दें कि अन्यथा विमान एमएनबी 1 मूल से होकर गुजरेगा। हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं और हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु से एक समतल की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है।

अंतरिक्ष में अधिकारों के बीच की दूरी अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी इन रेखाओं पर खींचे गए उभयनिष्ठ लंबवत की लंबाई है। यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक समतल में स्थित हो और दूसरी इस तल के समानांतर हो, तो इन रेखाओं के बीच की दूरी रेखा और तल के बीच की दूरी के बराबर होती है। यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ समान्तर तलों में स्थित हों, तो इन रेखाओं के बीच की दूरी समान्तर तलों के बीच की दूरी के बराबर होती है।

घन 1 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर 1।

घन 2 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और CD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर 1।

घन 3 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और B 1 C 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 4 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और C 1 D 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 5 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और BC 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 6 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और B 1 C के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 7 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और CD 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 8 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और DC 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 9 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और CC 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर:

घन 10 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और BD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। फेसला। माना O BD का मध्यबिंदु है। वांछित दूरी खंड AO की लंबाई है। यह उत्तर के बराबर है:

घन 11 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और B 1 D 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर:

घन 12 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और BD 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। हल। मान लीजिए P, Q AA 1, BD 1 का मध्यबिंदु है। वांछित दूरी खंड PQ की लंबाई है। यह उत्तर के बराबर है:

घन 13 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AA 1 और BD 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर:

घन 14 इकाई घन A…D 1 में रेखा AB 1 और CD 1 द्वारा दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर: 1.

घन 15 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AB 1 और BC 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। हल। वांछित दूरी समानांतर विमानों एबी 1 डी 1 और बीडीसी 1 के बीच की दूरी के बराबर है। विकर्ण ए 1 सी इन विमानों के लंबवत है और चौराहे के बिंदुओं पर तीन बराबर भागों में विभाजित है। इसलिए, वांछित दूरी खंड EF की लंबाई के बराबर है और उत्तर के बराबर है:

घन 16 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AB 1 और A 1 C 1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान पिछले वाले के समान है। जवाब:

घन 17 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AB 1 और BD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। समाधान पिछले एक के समान है। जवाब:

घन 18 इकाई घन A…D 1 में रेखाओं AB 1 और BD 1 द्वारा दूरी ज्ञात कीजिए। हल। विकर्ण BD 1 समबाहु त्रिभुज ACB 1 के तल के लंबवत है और इसे इसके उत्कीर्ण वृत्त के केंद्र P पर प्रतिच्छेद करता है। वांछित दूरी इस वृत्त की त्रिज्या OP के बराबर है। ओपी = उत्तर:

पिरामिड 1 इकाई चतुष्फलक ABCD में रेखाओं AD और BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। फेसला। वांछित दूरी खंड EF की लंबाई के बराबर है, जहां E, F किनारों AD, GF के मध्य बिंदु हैं। त्रिभुज में डीएजी डीए = 1, एजी = डीजी = उत्तर: इसलिए, ईएफ =

पिरामिड 2 एक नियमित पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं AB और CD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। उत्तर 1।

पिरामिड 3 एक नियमित पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं SA और BD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। फेसला। वांछित दूरी त्रिभुज SAO की ऊँचाई OH के बराबर है, जहाँ O BD का मध्यबिंदु है। एक समकोण त्रिभुज SAO में हमारे पास है: SA = 1, AO = SO = उत्तर: इसलिए, OH =

पिरामिड 4 एक नियमित पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं SA और BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। फेसला। समतल SAD रेखा BC के समानांतर है। इसलिए, वांछित दूरी रेखा BC और समतल SAD के बीच की दूरी के बराबर है। यह त्रिभुज SEF की ऊँचाई EH के बराबर है, जहाँ E, F किनारों BC, AD के मध्य बिंदु हैं। त्रिभुज SEF में हमारे पास है: EF = 1, SE = SF = ऊँचाई SO इसलिए है, EH = उत्तर:

पिरामिड 5 एक नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसका आधार 1 के बराबर है, रेखाओं AB और DE के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। जवाब:

पिरामिड 6 नियमित छठे पिरामिड SABCDEF में, जिसके किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखा SA और BC के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। हल: BC और AF के किनारों को तब तक बढ़ाएँ जब तक कि वे बिंदु G पर प्रतिच्छेद न कर दें। SA और BC पर उभयनिष्ठ लंबवत त्रिभुज ABG का ऊँचाई AH है। यह उत्तर के बराबर है:

पिरामिड 7 नियमित छठे पिरामिड SABCDEF में, जिसके किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखा SA और BF के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। हल: वांछित दूरी त्रिभुज SAG की ऊँचाई GH है, जहाँ G, BF और AD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज SAG में हमारे पास है: SA = 2, AG = 0.5, ऊँचाई SO बराबर है यहाँ से हम GH = उत्तर पाते हैं:

पिरामिड 8 नियमित छठे पिरामिड SABCDEF में, जिसके किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखा SA और CE के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। हल: वांछित दूरी त्रिभुज SAG की ऊँचाई GH है, जहाँ G CE और AD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। त्रिभुज SAG में हमारे पास है: SA = 2, AG =, ऊँचाई SO के बराबर है यहाँ से हम GH = उत्तर पाते हैं:

पिरामिड 9 नियमित छठे पिरामिड SABCDEF में, जिसके किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखा SA और BD के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। हल : रेखा BD समतल SAE के समांतर है। वांछित दूरी रेखा BD और इस तल के बीच की दूरी के बराबर है और त्रिभुज SPQ की ऊंचाई PH के बराबर है। इस त्रिभुज में ऊँचाई SO है, PQ = 1, SP = SQ = यहाँ से हम PH = उत्तर पाते हैं:

पिरामिड 10 नियमित 6वें पिरामिड SABCDEF में, जिसके पार्श्व किनारे 2 हैं और आधार किनारे 1 हैं, रेखा SA और BG के बीच की दूरी ज्ञात करें, जहाँ G किनारे SC का मध्यबिंदु है। हल: बिंदु G से होकर SA के समांतर एक रेखा खींचिए। मान लीजिए Q रेखा AC के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करता है। वांछित दूरी समकोण त्रिभुज ASQ की ऊँचाई QH के बराबर है, जिसमें AS = 2, AQ =, SQ = यहाँ से हम QH = उत्तर: पाते हैं।

प्रिज्म 1 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: BC और B 1 C 1. उत्तर: 1.

प्रिज्म 2 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: AA 1 और BC। जवाब:

प्रिज्म 3 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: AA 1 और BC 1। उत्तर:

प्रिज्म 4 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: AB और A 1 C 1. उत्तर: 1.

प्रिज्म 5 एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: AB और A 1 C. हल: वांछित दूरी रेखा AB के बीच की दूरी के बराबर है और समतल A 1 B 1 C. आइए हम D और D 1 को किनारों AB और A 1 B के मध्य बिंदुओं को निरूपित करें। एक समकोण त्रिभुज CDD 1 में, शीर्ष D से एक ऊँचाई DE खींचिए। यह वांछित दूरी होगी। हमारे पास है, DD 1 = 1, CD = उत्तर: इसलिए, DE = , CD 1 = .

प्रिज्म 6 एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: AB 1 और BC 1। समाधान: आइए प्रिज्म को 4-कोण वाले प्रिज्म में बनाते हैं। वांछित दूरी समांतर तलों AB 1 D 1 और BDC 1 के बीच की दूरी के बराबर होगी। यह समकोण त्रिभुज AOO 1 की ऊंचाई OH के बराबर है, जिसमें उत्तर है। यह ऊंचाई है

प्रिज्म 7 सही 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AB और A 1 B 1. उत्तर: 1.

प्रिज्म 8 नियमित छठवें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AB और B 1 C 1. उत्तर: 1.

प्रिज्म 9 नियमित छठवें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AB और C 1 D 1. उत्तर: 1.

प्रिज्म 10 सही 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AB और DE। जवाब: ।

प्रिज्म 11 सही 6 वें प्रिज्म ए ... एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी पाएं: एबी और डी 1 ई 1. उत्तर: 2.

प्रिज्म 12 नियमित 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और CC 1। उत्तर: ।

प्रिज्म 13 सही 6वें प्रिज्म ए ... एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: एए 1 और डीडी 1। उत्तर: 2।

प्रिज्म 14 नियमित छठे प्रिज्म ए… एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात करें: एए 1 और बी 1 सी 1। हल: आइए पक्षों को बी 1 सी 1 और ए 1 एफ 1 तक जारी रखें। वे बिंदु G पर प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज A 1 B 1 G समबाहु है। इसकी ऊँचाई A 1 H वांछित उभयनिष्ठ लंबवत है। इसकी लंबाई बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 15 नियमित 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और C 1 D 1। हल: वांछित उभयनिष्ठ लंबवत खंड A 1 C 1 है। इसकी लंबाई बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 16 सही 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और BC 1। हल: वांछित दूरी समानांतर समतल ADD 1 और BCC 1 के बीच की दूरी है। यह बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 17 नियमित 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और CD 1। हल: वांछित उभयनिष्ठ लंबवत खंड AC है। इसकी लंबाई बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 18 नियमित छठवें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और DE 1. हल: वांछित उभयनिष्ठ लंबवत खंड A 1 E 1 है। इसकी लंबाई बराबर है . जवाब: ।

प्रिज्म 19 नियमित छठवें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और BD 1. समाधान: वांछित उभयनिष्ठ लंबवत खंड AB है। इसकी लंबाई 1 है। उत्तर: 1.

प्रिज्म 20 एक नियमित 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और CE 1। हल: वांछित दूरी रेखा AA 1 और समतल CEE 1 के बीच की दूरी है। यह बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 21 सही 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और BE 1। हल: आवश्यक दूरी रेखा AA 1 और समतल BEE 1 के बीच की दूरी है। यह बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 22 सही 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AA 1 और CF 1। हल: वांछित दूरी रेखा AA 1 और समतल CFF 1 के बीच की दूरी है। यह बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 23 नियमित छठे प्रिज्म ए… एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: एबी 1 और डीई 1। हल: वांछित दूरी समानांतर विमानों एबीबी 1 और डीईई 1 के बीच की दूरी है। उनके बीच की दूरी बराबर है। जवाब: ।

प्रिज्म 24 सही 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए: AB 1 और CF 1। हल: वांछित दूरी रेखा AB 1 और समतल CFF 1 के बीच की दूरी है। यह बराबर है। जवाब:

प्रिज्म 25 एक नियमित छठवें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AB 1 और BC 1। हल: मान लीजिए कि O, O 1 प्रिज्म के फलकों के केंद्र हैं। विमान AB 1 O 1 और BC 1 O समानांतर हैं। समतल ACC 1 A 1 इन तलों पर लंबवत है। वांछित दूरी d, AG 1 और GC 1 रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है। समांतर चतुर्भुज AGC 1 G 1 में हमारे पास AG = उत्तर:; AG 1 = भुजा AA 1 की ओर खींची गई ऊँचाई 1 के बराबर है। इसलिए, d= । .

प्रिज्म 26 नियमित छठे प्रिज्म ए…एफ 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: एबी 1 और बीडी 1। हल: बीडी 1 के लंबवत समतल ए 1 बी 1 एचजी पर विचार करें। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन इस तल पर रेखा BD 1 को बिंदु H, और रेखा AB 1 से रेखा GB 1 में अनुवाद करती है। इसलिए, वांछित दूरी d बिंदु H से रेखा GB 1 की दूरी के बराबर है। एक समकोण त्रिभुज GHB 1 में हमारे पास GH = 1; उत्तर: बी 1 एच =। इसलिए, डी = .

प्रिज्म 27 नियमित 6वें प्रिज्म A…F 1 में, जिसके किनारे 1 के बराबर हैं, रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: AB 1 और BE 1। हल: समतल A 1 BDE 1 पर विचार करें, AB 1 के लंबवत। इस तल पर रेखा AB 1 को बिंदु G में बदल देती है, और रेखा BE 1 अपनी जगह छोड़ देती है। इसलिए, वांछित दूरी d, बिंदु G से रेखा BE 1 तक GH की दूरी के बराबर है। एक समकोण त्रिभुज A 1 BE 1 में हमारे पास A 1 B =; ए 1 ई 1 =। उत्तर: इसलिए, डी = .