प्रथम स्तर

सबसे बड़ा सामान्य गुणक और सबसे छोटा सामान्य भाजक। विभाज्यता मानदंड और समूहीकरण के तरीके (2019)

अपने जीवन को बहुत आसान बनाने के लिए जब आपको कुछ गणना करने की आवश्यकता हो, OGE या USE में कीमती समय जीतने के लिए, कम मूर्खतापूर्ण गलतियाँ करने के लिए - इस अनुभाग को पढ़ें!

यहाँ आप क्या सीखेंगे:

• उपयोग करके तेज़, आसान और अधिक सटीक गणना कैसे करेंसंख्याओं का समूहनजोड़ने और घटाने पर,
• त्रुटियों के बिना तेजी से गुणा और भाग कैसे करें गुणन नियम और विभाज्यता मानदंड,
• का उपयोग करके गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से कैसे तेज करें आम एकाधिक(एनओसी) और महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी)।

इस खंड की तकनीकों का कब्जा किसी न किसी दिशा में तराजू को टिप सकता है ... आप अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करते हैं या नहीं, आपको या आपके माता-पिता को शिक्षा के लिए बहुत पैसा देना होगा या आप बजट में प्रवेश करेंगे। .

चलो सही में गोता लगाएँ... (चलो चलें!)

महत्वपूर्ण लेख!यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) दबाएं यासीएमडी+आर (मैक पर)

बहुत सारा पूर्णांकों 3 भागों से मिलकर बनता है:

1. पूर्णांकों(हम उन पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
2. प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएं(जैसे ही आप जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याएं क्या हैं, सब कुछ ठीक हो जाएगा);
3. शून्य - " " (इसके बिना कहाँ?)

पत्र जेड।

पूर्णांकों

"भगवान ने प्राकृतिक संख्याएं बनाईं, बाकी सब कुछ मानव हाथों का काम है" (सी) जर्मन गणितज्ञ क्रोनकर।

प्राकृतिक संख्याएँ हैंवे संख्याएँ जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं और इसी पर उनकी घटना का इतिहास आधारित है - तीर, खाल आदि गिनने की आवश्यकता।

1, 2, 3, 4...एन

पत्र एन.

तदनुसार, इस परिभाषा में शामिल नहीं है (क्या आप गिन नहीं सकते कि क्या नहीं है?) और इससे भी अधिक इसमें नकारात्मक मान शामिल नहीं हैं (क्या कोई सेब है?)

इसके अलावा, सभी भिन्नात्मक संख्याएं शामिल नहीं हैं (हम यह भी नहीं कह सकते कि "मेरे पास एक लैपटॉप है", या "मैंने कारें बेचीं")

कोई प्राकृतिक संख्या 10 अंकों का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

तो 14 एक संख्या नहीं है। यह एक संख्या है। इसमें कौन सी संख्याएँ शामिल हैं? यह सही है, संख्याओं से और।

योग। तेजी से गिनती और कम गलतियों के लिए जोड़ते समय समूह बनाना

इस प्रक्रिया के बारे में आप क्या दिलचस्प बातें कह सकते हैं? बेशक, अब आप जवाब देंगे "योग का मूल्य शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।" ऐसा लगता है कि प्रथम श्रेणी से परिचित एक आदिम नियम, हालांकि, बड़े उदाहरणों को हल करते समय, यह तुरंत भूल गए!

उसके बारे में मत भूलनासमूहीकरण का उपयोग करें, गणना की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने और त्रुटियों की संभावना को कम करने के लिए, क्योंकि आपके पास परीक्षा के लिए कैलकुलेटर नहीं होगा।

आप स्वयं देखें कि कौन-सा व्यंजक जोड़ना आसान है?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

बेशक दूसरा! हालांकि परिणाम वही है। परंतु! दूसरे तरीके को ध्यान में रखते हुए, आपसे गलती होने की संभावना कम है और आप सब कुछ तेजी से करेंगे!

तो, आपके मन में, आप ऐसा सोचते हैं:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

घटाव। तेजी से गिनती और कम त्रुटि के लिए घटाते समय समूह बनाना

घटाते समय, हम घटाई गई संख्याओं को भी समूहित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

क्या होगा यदि घटाव को उदाहरण में जोड़ के साथ जोड़ दिया जाए? आप समूह भी कर सकते हैं, आप उत्तर देंगे, और ठीक है। बस कृपया, संख्याओं के सामने के संकेतों को न भूलें, उदाहरण के लिए: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

याद रखें: गलत तरीके से लगाए गए संकेत गलत परिणाम देंगे।

गुणन। अपने दिमाग में कैसे गुणा करें

यह स्पष्ट है कि कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद का मूल्य भी नहीं बदलेगा:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

मैं आपको "समस्याओं को हल करते समय इसका उपयोग करने" के लिए नहीं कहूंगा (आपको संकेत स्वयं मिला है, है ना?), बल्कि आपको बताता हूं कि अपने सिर में कुछ संख्याओं को जल्दी से कैसे गुणा करें। तो, तालिका को ध्यान से देखें:

और गुणा के बारे में थोड़ा और। बेशक, आपको दो खास मौके याद हैं... अंदाजा लगाइए कि मेरा क्या मतलब है? यहाँ इसके बारे में है:

अरे हाँ, आइए एक नज़र डालते हैं विभाज्यता के संकेत. कुल मिलाकर, विभाज्यता के संकेतों के लिए 7 नियम हैं, जिनमें से आप पहले से ही पहले 3 को निश्चित रूप से जानते हैं!

लेकिन बाकी को याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

संख्याओं की विभाज्यता के 7 संकेत जो आपको जल्दी से अपने दिमाग में गिनने में मदद करेंगे!

• बेशक, आप पहले तीन नियमों को जानते हैं।
• चौथा और पाँचवाँ याद रखना आसान है - जब से विभाजित किया जाता है और हम देखते हैं कि संख्या बनाने वाले अंकों का योग इससे विभाज्य है या नहीं।
• से विभाजित करते समय, हम संख्या के अंतिम दो अंकों पर ध्यान देते हैं - क्या वे संख्या जिससे वे विभाज्य हैं?
• किसी संख्या से विभाजित करते समय, यह एक ही समय में और द्वारा विभाज्य होना चाहिए। वह सब ज्ञान है।

क्या आप अब सोच रहे हैं - "मुझे यह सब क्यों चाहिए"?

सबसे पहले, परीक्षा है कैलकुलेटर के बिनाऔर ये नियम उदाहरणों को नेविगेट करने में आपकी सहायता करेंगे।

और दूसरी बात, आपने कार्यों के बारे में सुना जीसीडीतथा अनापत्ति प्रमाण पत्र? परिचित संक्षिप्त? आइए याद करना और समझना शुरू करें।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) - भिन्नों को कम करने और तेज़ गणना के लिए आवश्यक

मान लें कि आपके पास दो नंबर हैं: और। इन दोनों संख्याओं से विभाज्य सबसे बड़ी संख्या क्या है? आप बिना किसी हिचकिचाहट के उत्तर देंगे, क्योंकि आप जानते हैं कि:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

विस्तार में कौन सी संख्याएँ सामान्य हैं? यह सही है, 2*2 = 4। वह आपका उत्तर था। इस सरल उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, आप खोजने के लिए एल्गोरिथ्म को नहीं भूलेंगे जीसीडी. इसे अपने सिर में "निर्माण" करने का प्रयास करें। हो गई?

आपको जिस एनओडी की आवश्यकता है उसे खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 13, आदि)।
2. उन्हें गुणा करें।

क्या आप समझते हैं कि हमें विभाज्यता के संकेतों की आवश्यकता क्यों थी? ताकि आप संख्या को देखें और आप शेषफल के बिना विभाजित करना शुरू कर सकें।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 290 और 485 . की GCD ज्ञात करें

प्रथम अंक - .

इसे देखकर, आप तुरंत बता सकते हैं कि यह किससे विभाज्य है, आइए लिखते हैं:

आप इसे किसी और चीज़ में विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप कर सकते हैं - और, हमें मिलता है:

290 = 29 * 5 * 2

चलिए एक और नंबर लेते हैं - 485।

विभाज्यता के संकेतों के अनुसार, इसे बिना किसी शेषफल के विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि यह समाप्त होता है। हम बांटते हैं:

आइए मूल संख्या का विश्लेषण करें।

• इसे विभाजित नहीं किया जा सकता (अंतिम अंक विषम है),
• - से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या भी विभाज्य नहीं है,
• से भी विभाज्य नहीं है और (संख्या में अंकों का योग द्वारा और द्वारा विभाज्य नहीं है)
• विभाज्य भी नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है,
• से भी विभाज्य नहीं है और क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है।
• पूरी तरह से विभाजित नहीं किया जा सकता

तो संख्या को केवल और में विघटित किया जा सकता है।

और अब आइए ढूढ़ें जीसीडीये संख्याएँ (और)। यह संख्या क्या है? सही ढंग से, .

क्या हम अभ्यास करें?

टास्क नंबर 1. संख्या 6240 और 6800 . की GCD ज्ञात कीजिए

1) मैं तुरंत विभाजित करता हूं, क्योंकि दोनों संख्याएं 100% विभाज्य हैं:

2) मैं शेष बड़ी संख्याओं से विभाजित करूंगा, क्योंकि वे शेष के बिना विभाजित हैं (उसी समय, मैं विघटित नहीं होगा - यह पहले से ही एक सामान्य भाजक है):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) मैं अकेला छोड़ दूंगा और संख्याओं पर विचार करना शुरू करूंगा और। दोनों संख्याएँ बिल्कुल विभाज्य हैं (सम अंकों में अंत (इस मामले में, हम इस रूप में प्रस्तुत करते हैं, लेकिन इससे विभाजित किया जा सकता है)):

4) हम संख्याओं के साथ काम करते हैं और। क्या उनके पास सामान्य भाजक हैं? यह पिछले चरणों की तरह आसान है, और आप यह नहीं कह सकते हैं, तो फिर हम उन्हें सरल कारकों में विघटित कर देंगे:

5) जैसा कि हम देख सकते हैं, हम सही थे: और हमारे पास कोई सामान्य भाजक नहीं है, और अब हमें गुणा करने की आवश्यकता है।
जीसीडी

टास्क नंबर 2. संख्या 345 और 324 की GCD ज्ञात कीजिए

मुझे यहां कम से कम एक सामान्य भाजक नहीं मिल रहा है, इसलिए मैं केवल प्रमुख कारकों (जितना संभव हो उतना कम) में विघटित हो जाता हूं:

बिल्कुल, जीसीडी, और मैंने शुरू में विभाज्यता मानदंड की जांच नहीं की थी, और, शायद, मुझे इतनी सारी कार्रवाइयां नहीं करनी पड़ेगी। लेकिन आपने जाँच की, है ना? बहुत बढ़िया! जैसा कि आप देख सकते हैं, यह काफी आसान है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) - समय बचाता है, बॉक्स के बाहर की समस्याओं को हल करने में मदद करता है

मान लीजिए कि आपके पास दो नंबर हैं - और। वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो से विभाज्य है? एक ट्रेस के बिना(यानी पूरी तरह से)? कल्पना करना मुश्किल है? यहाँ आपके लिए एक दृश्य सुराग है:

क्या आपको याद है कि पत्र का क्या अर्थ है? यह सही है, बस पूर्ण संख्याएं।तो सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो x को फिट करती है? :

इस मामले में।

इस सरल उदाहरण से कई नियम अनुसरण करते हैं।

जल्दी से एनओसी खोजने के नियम

नियम 1. यदि दो प्राकृत संख्याओं में से एक दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो इन दो संख्याओं में से बड़ी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्तक है।

निम्नलिखित संख्याएं खोजें:

• एनओसी (7;21)
• एनओसी (6;12)
• एनओसी (5;15)
• एनओसी (3;33)

बेशक, आपने आसानी से इस कार्य का सामना किया और आपको उत्तर मिल गए - और।

ध्यान दें कि नियम में हम दो संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, यदि अधिक संख्याएं हैं, तो नियम काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (7;14;21) 21 के बराबर नहीं है, क्योंकि इसे शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है।

नियम 2. यदि दो (या दो से अधिक) संख्याएं सह अभाज्य हैं, तो सबसे छोटा समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है।

पाना अनापत्ति प्रमाण पत्रनिम्नलिखित संख्याओं के लिए:

• एनओसी (1;3;7)
• एनओसी (3;7;11)
• एनओसी (2;3;7)
• एनओसी (3;5;2)

क्या आपने गिनती की? यहाँ उत्तर हैं - , ; .

जैसा कि आप समझते हैं, इसी x को लेना और चुनना हमेशा इतना आसान नहीं होता है, इसलिए थोड़ी अधिक जटिल संख्याओं के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम है:

क्या हम अभ्यास करें?

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए - LCM (345; 234)

आइए प्रत्येक संख्या को तोड़ें:

मैंने अभी क्यों लिखा? विभाज्यता के संकेतों को याद रखें: से विभाज्य (अंतिम अंक सम है) और अंकों का योग से विभाज्य है। तदनुसार, हम इसे इस रूप में लिखकर तुरंत विभाजित कर सकते हैं।

अब हम एक पंक्ति में सबसे लंबा विस्तार लिखते हैं - दूसरा:

आइए इसमें पहले विस्तार से संख्याओं को जोड़ें, जो कि हमने जो लिखा है उसमें नहीं हैं:

नोट: हमने को छोड़कर सब कुछ लिखा है, क्योंकि हमारे पास पहले से ही है।

अब हमें इन सभी संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है!

स्वयं लघुतम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए

आपको क्या उत्तर मिले?

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

आपको खोजने में कितना समय लगा अनापत्ति प्रमाण पत्र? मेरा समय 2 मिनट है, मुझे सच में पता है एक चाल, जो मेरा सुझाव है कि आप अभी खोलें!

यदि आप बहुत चौकस हैं, तो आपने शायद देखा है कि दिए गए नंबरों के लिए हम पहले ही खोज चुके हैं जीसीडीऔर आप उस उदाहरण से इन संख्याओं का गुणनखंडन ले सकते हैं, जिससे आपका कार्य सरल हो जाएगा, लेकिन यह सब से बहुत दूर है।

तस्वीर को देखिए, शायद आपके मन में कुछ और विचार आए:

कुंआ? मैं आपको एक संकेत दूंगा: गुणा करने का प्रयास करें अनापत्ति प्रमाण पत्रतथा जीसीडीआपस में और उन सभी कारकों को लिखिए जो गुणा करने पर होंगे। क्या आप संभाल पाओगे? आपको इस तरह की एक श्रृंखला के साथ समाप्त होना चाहिए:

इसे करीब से देखें: कारकों की तुलना कैसे और कैसे विघटित होती है।

इससे आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? सही ढंग से! यदि हम मानों को गुणा करते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्रतथा जीसीडीआपस में, तब हमें इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होता है।

तदनुसार, संख्याएँ और अर्थ होना जीसीडी(या अनापत्ति प्रमाण पत्र), हम ढूंढ सकते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्र(या जीसीडी) इस अनुसार:

1. संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

2. हम परिणामी उत्पाद को हमारे . से विभाजित करते हैं जीसीडी (6240; 6800) = 80:

बस इतना ही।

आइए नियम को सामान्य रूप में लिखें:

ढूंढने की कोशिश करो जीसीडीयदि यह ज्ञात हो कि:

क्या आप संभाल पाओगे? .

नकारात्मक संख्याएँ - "झूठी संख्याएँ" और मानव जाति द्वारा उनकी मान्यता।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, ये प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और विभाजित किया जा सकता है - बिल्कुल प्राकृतिक संख्याओं की तरह। ऐसा लगेगा कि वे इतने खास हैं? लेकिन तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याओं ने 19वीं शताब्दी तक गणित में अपना सही स्थान "जीत" लिया (उस क्षण तक बड़ी मात्रा में विवाद था कि वे मौजूद हैं या नहीं)।

"घटाव" के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के साथ इस तरह के एक ऑपरेशन के कारण ऋणात्मक संख्या स्वयं उत्पन्न हुई। दरअसल, घटाना - यह एक ऋणात्मक संख्या है। इसीलिए ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय को अक्सर "समुच्चय का विस्तार" कहा जाता है प्राकृतिक संख्या».

लंबे समय तक लोगों द्वारा नकारात्मक संख्याओं को पहचाना नहीं गया था। तो, प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन ग्रीस - अपने समय की रोशनी, नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और समीकरण में नकारात्मक जड़ें प्राप्त करने के मामले में (उदाहरण के लिए, जैसा कि हमारे पास है), जड़ों को असंभव के रूप में खारिज कर दिया गया था।

पहली बार ऋणात्मक संख्याओं को चीन में और फिर 7वीं शताब्दी में भारत में अस्तित्व का अधिकार मिला। आप इस स्वीकारोक्ति के बारे में क्या सोचते हैं? यह सही है, ऋणात्मक संख्याएँ ऋणों को निरूपित करने लगीं (अन्यथा - कमी)। यह माना जाता था कि ऋणात्मक संख्या एक अस्थायी मूल्य है, जिसके परिणामस्वरूप सकारात्मक में बदल जाएगा (अर्थात, धन अभी भी लेनदार को वापस कर दिया जाएगा)। हालांकि, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक के साथ समान स्तर पर माना था।

यूरोप में, ऋणात्मक संख्याओं की उपयोगिता, साथ ही यह तथ्य कि वे ऋण को निरूपित कर सकते हैं, बहुत बाद में, यानी एक सहस्राब्दी आई। पहला उल्लेख 1202 में पीसा के लियोनार्ड द्वारा "अबेकस की पुस्तक" में देखा गया था (मैं तुरंत कहता हूं कि पुस्तक के लेखक का पीसा के लीनिंग टॉवर से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याएं उनके काम हैं ( पीसा के लियोनार्डो का उपनाम फिबोनाची है))। इसके अलावा, यूरोपीय इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि नकारात्मक संख्याओं का मतलब न केवल ऋण हो सकता है, बल्कि किसी चीज की कमी भी हो सकती है, हालांकि, सभी ने इसे मान्यता नहीं दी।

तो, XVII सदी में, पास्कल ने ऐसा माना। आपको क्या लगता है कि उन्होंने इसे कैसे सही ठहराया? यह सही है, "कुछ भी नहीं से कम कुछ नहीं हो सकता"। उस समय की एक प्रतिध्वनि यह तथ्य बनी हुई है कि एक ऋणात्मक संख्या और घटाव के संचालन को एक ही प्रतीक - ऋण "-" द्वारा दर्शाया जाता है। और सच: । क्या संख्या " " धनात्मक है, जिसमें से घटाया गया है, या ऋणात्मक है, जिसमें जोड़ा गया है? ... श्रृंखला से कुछ "जो पहले आता है: मुर्गी या अंडा?" यहाँ इस प्रकार का गणितीय दर्शन है।

नकारात्मक संख्याओं ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ अस्तित्व का अधिकार सुरक्षित कर लिया, दूसरे शब्दों में, जब गणितज्ञों ने वास्तविक धुरी के रूप में ऐसी चीज पेश की।

इसी क्षण से समानता आई। हालाँकि, उत्तर से अधिक प्रश्न अभी भी थे, उदाहरण के लिए:

अनुपात

इस अनुपात को अर्नो विरोधाभास कहा जाता है। जरा सोचिए, इसमें शक की क्या बात है?

चलो एक साथ बात करते हैं " " से ज्यादा " " सही है ? इस प्रकार, तर्क के अनुसार, अनुपात का बायाँ भाग दाएँ पक्ष से बड़ा होना चाहिए, लेकिन वे बराबर हैं ... यहाँ यह विरोधाभास है।

नतीजतन, गणितज्ञों ने सहमति व्यक्त की कि कार्ल गॉस (हाँ, हाँ, यह वही है जिसने 1831 में संख्याओं का योग (या) माना) ने इसे समाप्त कर दिया - उन्होंने कहा कि नकारात्मक संख्याओं के पास सकारात्मक के समान अधिकार हैं, और तथ्य यह है कि वे सभी चीजों पर लागू नहीं होते हैं, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि भिन्न कई चीजों पर भी लागू नहीं होते हैं (ऐसा नहीं होता है कि एक खुदाई करने वाला एक छेद खोदता है, आप मूवी टिकट नहीं खरीद सकते हैं, आदि)।

गणितज्ञ केवल 19वीं शताब्दी में शांत हुए, जब ऋणात्मक संख्याओं का सिद्धांत विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन द्वारा बनाया गया था।

वे कितने विवादास्पद हैं, ये नकारात्मक संख्याएँ हैं।

"शून्यता" का उदय, या शून्य की जीवनी।

गणित में, एक विशेष संख्या। पहली नज़र में, यह कुछ भी नहीं है: जोड़ें, घटाएं - कुछ भी नहीं बदलेगा, लेकिन आपको बस इसे "" के दाईं ओर रखना होगा, और परिणामी संख्या मूल संख्या से कई गुना अधिक होगी। शून्य से गुणा करके हम सब कुछ शून्य में बदल देते हैं, लेकिन हम "कुछ नहीं" से विभाजित नहीं कर सकते। एक शब्द में, जादुई संख्या)

शून्य का इतिहास लंबा और जटिल है। 2000 ई. में चीनियों के लेखन में शून्य का निशान मिलता है। और पहले भी माया के साथ। शून्य चिह्न का पहला प्रयोग, जैसा कि आज है, यूनानी खगोलविदों के बीच देखा गया था।

इस तरह के पदनाम "कुछ नहीं" को क्यों चुना गया, इसके कई संस्करण हैं। कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि यह एक ओमाइक्रोन है, अर्थात। कुछ नहीं के लिए यूनानी शब्द का पहला अक्षर ouden है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, "ओबोल" (लगभग कोई मूल्य का सिक्का) शब्द ने शून्य के प्रतीक को जीवन दिया।

शून्य (या शून्य) एक गणितीय प्रतीक के रूप में सबसे पहले भारतीयों के बीच प्रकट होता है (ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्याएं वहां "विकसित" होने लगीं)। शून्य लिखने का पहला विश्वसनीय प्रमाण 876 से मिलता है, और उनमें "" संख्या का एक घटक है।

शून्य भी यूरोप में देरी से आया - केवल 1600 में, और नकारात्मक संख्याओं की तरह, इसे प्रतिरोध का सामना करना पड़ा (आप क्या कर सकते हैं, वे यूरोपीय हैं)।

अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स सीफ लिखते हैं, "शून्य से अक्सर घृणा, भय, या यहां तक ​​​​कि प्रतिबंधित भी किया जाता रहा है।" तो, 19 वीं शताब्दी के अंत में तुर्की सुल्तान अब्दुल-हामिद II। अपने सेंसर को सभी रसायन शास्त्र की पाठ्यपुस्तकों से H2O पानी के फार्मूले को हटाने का आदेश दिया, "O" अक्षर को शून्य के लिए ले लिया और यह नहीं चाहता था कि उसके आद्याक्षर को नीच शून्य से निकटता से बदनाम किया जाए।

इंटरनेट पर आप वाक्यांश पा सकते हैं: "शून्य ब्रह्मांड में सबसे शक्तिशाली शक्ति है, यह कुछ भी कर सकता है! शून्य गणित में व्यवस्था बनाता है और उसमें अराजकता भी लाता है। बिल्कुल सही बिंदु :)

अनुभाग का सारांश और मूल सूत्र

पूर्णांकों के समुच्चय में 3 भाग होते हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (हम उन पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
• प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ;
• शून्य - " "

पूर्णांकों के समुच्चय को निरूपित किया जाता है पत्र जेड।

1. प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है पत्र एन.

पूर्णांकों के साथ संचालन में, आपको GCD और LCM खोजने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)

आपको जिस एनओडी की आवश्यकता है उसे खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आदि)।
2. उन कारकों को लिखिए जो दोनों संख्याओं के भाग हैं।
3. उन्हें गुणा करें।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

एनओसी खोजने के लिए आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (आप पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है)।
2. किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए (सबसे लंबी श्रृंखला लेना बेहतर है)।
3. उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें।
4. परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

2. ऋणात्मक संख्या

ये वे संख्याएँ हैं जो प्राकृत संख्याओं के विपरीत हैं, अर्थात्:

अब मैं आपसे सुनना चाहता हूं ...

मुझे आशा है कि आपने इस खंड की अति-उपयोगी "ट्रिक्स" की सराहना की और समझ गए कि वे परीक्षा में आपकी कैसे मदद करेंगे।

और इससे भी महत्वपूर्ण बात, जीवन में। मैं इसके बारे में बात नहीं कर रहा हूं, लेकिन मेरा विश्वास करो, यह है। जल्दी और बिना त्रुटियों के गिनने की क्षमता कई जीवन स्थितियों में बचाती है।

अब आपकी बारी है!

लिखिए, क्या आप गणना में समूहन विधियों, विभाज्यता मानदंड, GCD और LCM का उपयोग करेंगे?

हो सकता है कि आपने उन्हें पहले इस्तेमाल किया हो? कहां और कैसे?

शायद आपके पास प्रश्न हैं। या सुझाव।

टिप्पणियों में लिखें कि आपको लेख कैसा लगा।

और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

बीजीय गुण

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

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लीलैंड संख्या- लीलैंड संख्या एक प्राकृतिक संख्या है जिसे xy + yx के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां x और y 1 से अधिक पूर्णांक हैं। पहली 15 लीलैंड संख्याएं हैं: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368 , 512, 593, 945, 1124, 1649 अनुक्रम ए076980 ओईआईएस में। ... ... विकिपीडिया

पूर्णांक बीजीय संख्या- संख्याएँ जो xn + a1xn ​​1 +... + a = 0 के रूप के समीकरणों की जड़ें हैं, जहाँ a1,..., a परिमेय पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, x1 = 2 + C. a. घंटे, x12 4x1 + 1 = 0 के बाद से। सी का सिद्धांत ए। घंटे 30 40 x वर्षों में उत्पन्न हुए। 19 वी सदी के. के शोध के संबंध में ... ... महान सोवियत विश्वकोश

पुस्तकें

• अंकगणित: पूर्णांक। संख्याओं की विभाज्यता पर। मात्राओं का मापन। उपायों की मीट्रिक प्रणाली। साधारण, किसेलेव, एंड्री पेट्रोविच। पाठकों को उत्कृष्ट रूसी शिक्षक और गणितज्ञ ए.पी. किसेलेव (1852-1940) द्वारा एक पुस्तक की पेशकश की जाती है, जिसमें अंकगणित में एक व्यवस्थित पाठ्यक्रम होता है। पुस्तक में छह खंड शामिल हैं ...

प्रति पूर्ण संख्याएंप्राकृतिक संख्याएँ, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ शामिल करें।

पूर्णांकोंधनात्मक पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 3, 7, 19, 23, आदि। हम गिनती के लिए ऐसे नंबरों का उपयोग करते हैं (टेबल पर 5 सेब हैं, कार में 4 पहिए हैं, आदि)

लैटिन अक्षर \mathbb(N) - निरूपित प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय.

प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक (एक कुर्सी में पैरों की ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती) और भिन्नात्मक संख्याएँ (इवान 3.5 साइकिलें नहीं बेच सकता) शामिल नहीं हो सकतीं।

प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं: -8, -148, -981, ....

पूर्णांकों के साथ अंकगणितीय संचालन

आप पूर्णांकों के साथ क्या कर सकते हैं? उन्हें एक दूसरे से गुणा, जोड़ा और घटाया जा सकता है। आइए प्रत्येक ऑपरेशन का एक विशिष्ट उदाहरण पर विश्लेषण करें।

पूर्णांक जोड़

समान चिह्न वाले दो पूर्णांक इस प्रकार जोड़े जाते हैं: इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़े जाते हैं और परिणामी योग अंतिम चिह्न से पहले होता है:

(+11) + (+9) = +20

पूर्णांकों का घटाव

विभिन्न चिह्नों के साथ दो पूर्णांकों को इस प्रकार जोड़ा जाता है: छोटी संख्या का मापांक बड़ी संख्या के मापांक से घटाया जाता है, और बड़े मॉड्यूल संख्या का चिह्न उत्तर के सामने रखा जाता है:

(-7) + (+8) = +1

पूर्णांक गुणन

एक पूर्णांक को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने "+" चिह्न लगाना होगा यदि मूल संख्याएँ समान चिह्नों के साथ थीं, और "-" चिह्न यदि मूल संख्याएँ थीं विभिन्न संकेतों के साथ:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

आपको निम्नलिखित याद रखना चाहिए पूर्ण संख्या गुणन नियम:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

कई पूर्णांकों को गुणा करने का एक नियम है। आइए इसे याद रखें:

उत्पाद का चिन्ह "+" होगा यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या सम है और "-" यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या विषम है।

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

पूर्णांकों का विभाजन

दो पूर्णांकों का विभाजन इस प्रकार किया जाता है: एक संख्या के मापांक को दूसरे के मापांक से विभाजित किया जाता है, और यदि संख्याओं के संकेत समान हैं, तो परिणामी भागफल के सामने "+" चिन्ह रखा जाता है। , और यदि मूल संख्याओं के चिन्ह भिन्न हैं, तो "-" चिन्ह लगाया जाता है।

(-25) : (+5) = -5

पूर्णांकों के योग और गुणन के गुण

आइए किसी भी पूर्णांक a , b और c के लिए जोड़ और गुणा के मूल गुणों का विश्लेषण करें:

1. a + b = b + a - योग का क्रमविनिमेय गुण;
2. (ए + बी) + सी \u003d ए + (बी + सी) - जोड़ की सहयोगी संपत्ति;
3. a \cdot b = b \cdot a - गुणन का क्रमविनिमेय गुण;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- गुणन के साहचर्य गुण;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cगुणन का वितरण गुण है।

इस लेख में, हम पूर्णांकों के एक समूह को परिभाषित करेंगे, विचार करें कि कौन से पूर्णांक धनात्मक कहलाते हैं और कौन से ऋणात्मक। हम यह भी दिखाएंगे कि कुछ मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए पूर्णांकों का उपयोग कैसे किया जाता है। आइए पूर्णांकों की परिभाषा और उदाहरणों से शुरू करें।

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पूर्ण संख्याएं। परिभाषा, उदाहरण

सबसे पहले, आइए प्राकृतिक संख्याओं को याद करते हैं । नाम से ही पता चलता है कि ये ऐसी संख्याएँ हैं जिनका उपयोग अनादि काल से स्वाभाविक रूप से गिनती के लिए किया जाता रहा है। पूर्णांकों की अवधारणा को समझने के लिए हमें प्राकृत संख्याओं की परिभाषा का विस्तार करने की आवश्यकता है।

परिभाषा 1. पूर्णांक

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत और संख्या शून्य हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय को अक्षर से निरूपित किया जाता है।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों का उपसमुच्चय है। प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि 1 , 2 , 3 में से कोई भी संख्या एक पूर्णांक है। . , संख्या 0 , साथ ही संख्याएँ - 1 , - 2 , - 3 , । .

तदनुसार, हम उदाहरण देते हैं। संख्याएँ 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 पूर्ण संख्याएँ हैं।

बता दें कि निर्देशांक रेखा क्षैतिज रूप से खींची जाती है और दाईं ओर निर्देशित होती है। आइए एक सीधी रेखा पर पूर्णांकों के स्थान की कल्पना करने के लिए इसे देखें।

निर्देशांक रेखा पर संदर्भ बिंदु संख्या 0 से मेल खाती है, और शून्य के दोनों किनारों पर स्थित बिंदु सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक के अनुरूप होते हैं। प्रत्येक बिंदु एक पूर्णांक से मेल खाता है।

एक सीधी रेखा पर कोई भी बिंदु जिसका निर्देशांक एक पूर्णांक है, मूल से एक निश्चित संख्या में इकाई खंडों को अलग करके पहुँचा जा सकता है।

सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक

सभी पूर्णांकों में से धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों में अंतर करना तर्कसंगत है। आइए उनकी परिभाषा दें।

परिभाषा 2. सकारात्मक पूर्णांक

धनात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जिनमें धन का चिह्न होता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 7 एक धनात्मक पूर्णांक वाला एक पूर्णांक है, जो कि एक धनात्मक पूर्णांक है। निर्देशांक रेखा पर, यह संख्या संदर्भ बिंदु के दायीं ओर स्थित होती है, जिसके लिए संख्या 0 ली जाती है। धनात्मक पूर्णांकों के अन्य उदाहरण: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 ।

परिभाषा 3. ऋणात्मक पूर्णांक

ऋणात्मक पूर्णांक एक ऋण चिह्न के साथ पूर्णांक होते हैं।

ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: - 528 , - 2568 , - 1 ।

संख्या 0 धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों को अलग करती है और स्वयं न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

कोई भी संख्या जो एक धनात्मक पूर्णांक के विपरीत होती है, परिभाषा के अनुसार, एक ऋणात्मक पूर्णांक होती है। विपरीत भी सही है। किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक का व्युत्क्रम एक धनात्मक पूर्णांक होता है।

शून्य से तुलना करके ऋणात्मक और धनात्मक पूर्णांकों की परिभाषाओं के अन्य सूत्र दिए जा सकते हैं।

परिभाषा 4. धनात्मक पूर्णांक

धनात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जो शून्य से बड़े होते हैं।

परिभाषा 5. ऋणात्मक पूर्णांक

ऋणात्मक पूर्णांक वे पूर्णांक होते हैं जो शून्य से कम होते हैं।

तदनुसार, धनात्मक संख्याएँ समन्वय रेखा पर मूल के दाईं ओर स्थित होती हैं, और ऋणात्मक पूर्णांक शून्य के बाईं ओर स्थित होते हैं।

पहले हमने कहा था कि प्राकृत संख्याएं पूर्णांकों का उपसमुच्चय होती हैं। आइए इस बिंदु को स्पष्ट करते हैं। प्राकृत संख्याओं का समुच्चय धनात्मक पूर्णांक होते हैं। बदले में, ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याओं का समुच्चय होता है।

महत्वपूर्ण!

किसी भी प्राकृत संख्या को पूर्णांक कहा जा सकता है, लेकिन किसी भी पूर्णांक को प्राकृत संख्या नहीं कहा जा सकता है। इस प्रश्न का उत्तर देते हुए कि क्या ऋणात्मक संख्याएँ प्राकृतिक हैं, किसी को साहसपूर्वक कहना चाहिए - नहीं, वे नहीं हैं।

गैर-सकारात्मक और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक

आइए परिभाषाएं दें।

परिभाषा 6. गैर-ऋणात्मक पूर्णांक

गैर-ऋणात्मक पूर्णांक धनात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य होते हैं।

परिभाषा 7. गैर-सकारात्मक पूर्णांक

गैर-धनात्मक पूर्णांक ऋणात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य होते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: 52 , 128 , 0 ।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के उदाहरण: - 52 , - 128 , 0 ।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या शून्य से बड़ी या उसके बराबर संख्या है। तदनुसार, एक गैर-सकारात्मक पूर्णांक शून्य से कम या उसके बराबर संख्या है।

संक्षिप्तता के लिए "गैर-सकारात्मक संख्या" और "गैर-ऋणात्मक संख्या" शब्द का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संख्या a शून्य से बड़ा या उसके बराबर एक पूर्णांक है, आप कह सकते हैं: a एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

मूल्यों में परिवर्तन का वर्णन करते समय पूर्णांकों का उपयोग करना

पूर्णांक किसके लिए उपयोग किए जाते हैं? सबसे पहले, उनकी मदद से किसी भी वस्तु की संख्या में परिवर्तन का वर्णन और निर्धारण करना सुविधाजनक है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

बता दें कि गोदाम में एक निश्चित संख्या में क्रैंकशाफ्ट रखे जाते हैं। यदि अन्य 500 क्रैंकशाफ्ट को गोदाम में लाया जाता है, तो उनकी संख्या बढ़ जाएगी। संख्या 500 केवल भागों की संख्या में परिवर्तन (वृद्धि) को व्यक्त करती है। यदि फिर 200 भागों को गोदाम से हटा दिया जाता है, तो यह संख्या क्रैंकशाफ्ट की संख्या में परिवर्तन की भी विशेषता होगी। इस बार कटौती की दिशा में।

यदि गोदाम से कुछ भी नहीं लिया जाता है, और कुछ भी नहीं लाया जाता है, तो संख्या 0 भागों की संख्या के व्युत्क्रम को इंगित करेगी।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत पूर्णांकों के उपयोग की स्पष्ट सुविधा यह है कि उनका चिन्ह परिमाण में परिवर्तन (वृद्धि या कमी) की दिशा को स्पष्ट रूप से इंगित करता है।

तापमान में 30 डिग्री की कमी को एक ऋणात्मक संख्या - 30, और 2 डिग्री की वृद्धि - एक सकारात्मक पूर्णांक 2 द्वारा चिह्नित किया जा सकता है।

यहाँ पूर्णांकों का उपयोग करते हुए एक और उदाहरण दिया गया है। इस बार मान लीजिए कि हमें किसी को 5 सिक्के देने हैं। तब, हम कह सकते हैं कि हमारे पास - 5 सिक्के हैं। संख्या 5 ऋण की राशि का वर्णन करती है, और ऋण चिह्न इंगित करता है कि हमें सिक्के वापस देने होंगे।

यदि हम 2 सिक्के एक व्यक्ति को और 3 दूसरे को देते हैं, तो कुल ऋण (5 सिक्के) की गणना ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम द्वारा की जा सकती है:

2 + (- 3) = - 5

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संख्या एक अमूर्त है जिसका उपयोग वस्तुओं को मापने के लिए किया जाता है। आदिम समाज में वस्तुओं को गिनने के लिए लोगों की आवश्यकता के संबंध में संख्याएँ उत्पन्न हुईं। समय के साथ, विज्ञान के विकास के साथ, संख्या सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणा बन गई है।

समस्याओं को हल करने और विभिन्न प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि संख्याएँ किस प्रकार की होती हैं। मुख्य प्रकार की संख्याओं में शामिल हैं: प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ।

पूर्णांकों- ये वस्तुओं की प्राकृतिक गिनती के साथ प्राप्त संख्याएं हैं, या बल्कि, उनकी संख्या ("पहला", "दूसरा", "तीसरा" ...) के साथ। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर . द्वारा निरूपित किया जाता है एन (अंग्रेजी शब्द प्राकृतिक के आधार पर याद किया जा सकता है)। ऐसा कहा जा सकता है की एन ={1,2,3,....}

पूर्ण संख्याएंसमुच्चय (0, 1, -1, 2, -2, ....) से संख्याएँ हैं। इस समुच्चय में तीन भाग होते हैं - प्राकृत संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत) और संख्या 0 (शून्य)। पूर्णांकों को एक लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है जेड . ऐसा कहा जा सकता है की जेड ={1,2,3,....}.

परिमेय संख्यावे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। लैटिन अक्षर का प्रयोग परिमेय संख्याओं को दर्शाने के लिए किया जाता है क्यू . सभी प्राकृतिक और पूर्णांक संख्याएँ परिमेय होती हैं। साथ ही, परिमेय संख्याओं के उदाहरण के रूप में, आप दे सकते हैं: ,,।

वास्तविक (वास्तविक) संख्याएंवे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग निरंतर मात्राओं को मापने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर R द्वारा दर्शाया जाता है। वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ शामिल होती हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो परिमेय संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ करके प्राप्त की जाती हैं (उदाहरण के लिए, एक मूल निकालना, लघुगणक की गणना करना), लेकिन परिमेय नहीं हैं। अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं,,।

किसी भी वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर प्रदर्शित किया जा सकता है:

ऊपर सूचीबद्ध संख्याओं के सेट के लिए, निम्नलिखित कथन सत्य है:

अर्थात् प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के समुच्चय में सम्मिलित किया जाता है। पूर्णांकों के समुच्चय को परिमेय संख्याओं के समुच्चय में शामिल किया जाता है। और परिमेय संख्याओं के समुच्चय को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल किया जाता है। इस कथन को यूलर सर्कल का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है।