पाठ की व्याख्या:

हम ठोस ज्यामिति "क्रांति के शरीर" के खंड का अध्ययन करना जारी रखते हैं।

क्रांति के निकायों में शामिल हैं: सिलेंडर, शंकु, गेंदें।

आइए परिभाषाओं को याद करें।

ऊँचाई किसी आकृति या शरीर के शीर्ष से आकृति (शरीर) के आधार तक की दूरी है। अन्यथा, आकृति के ऊपर और नीचे को जोड़ने वाला एक खंड और इसके लंबवत।

याद रखें, एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, pi को त्रिज्या के वर्ग से गुणा करें।

वृत्त का क्षेत्रफल बराबर होता है।

याद रखें कि व्यास को जानकर एक वृत्त का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? जैसा

आइए इसे सूत्र में डालते हैं:

एक शंकु भी क्रांति का एक पिंड है।

एक शंकु (अधिक सटीक, एक गोलाकार शंकु) एक ऐसा पिंड है जिसमें एक वृत्त होता है - शंकु का आधार, एक बिंदु जो इस वृत्त के तल में नहीं होता है - शंकु का शीर्ष और शीर्ष को जोड़ने वाले सभी खंड आधार के बिंदुओं के साथ शंकु।

आइए एक शंकु का आयतन ज्ञात करने के सूत्र से परिचित हों।

प्रमेय। एक शंकु का आयतन ऊंचाई से गुणा आधार क्षेत्रफल के एक तिहाई के बराबर होता है।

आइए इस प्रमेय को सिद्ध करें।

दिया गया है: एक शंकु, S इसके आधार का क्षेत्रफल है,

h शंकु की ऊंचाई है

साबित करें: वी =

प्रमाण: एक शंकु पर विचार करें जिसका आयतन V, आधार त्रिज्या R, ऊँचाई h और शीर्ष बिंदु O पर है।

आइए हम शंकु के अक्ष, OM के माध्यम से अक्ष ऑक्स का परिचय दें। x-अक्ष के लंबवत समतल द्वारा शंकु का एक मनमाना खंड बिंदु पर केंद्रित एक वृत्त है

M1 - ऑक्स अक्ष के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन बिंदु। आइए हम इस वृत्त की त्रिज्या को R1 और क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र को S(x) के रूप में निरूपित करें, जहाँ x बिंदु M1 का भुज है।

समकोण त्रिभुज OM1A1 और OMA की समानता से (ے OM1A1 = ے OMA - सीधी रेखाएं, MOA-सामान्य, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज दो कोणों में समान हैं) यह निम्नानुसार है

चित्र से पता चलता है कि OM1=x, OM=h

या जहाँ से अनुपात के गुण से हम R1 = पाते हैं।

चूंकि अनुभाग एक वृत्त है, तो S (x) \u003d πR12, R1 के लिए पिछली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें, अनुभागीय क्षेत्र pi एर वर्ग के गुणनफल x वर्ग x ऊंचाई के वर्ग के अनुपात के बराबर है:

आइए मूल सूत्र लागू करें

निकायों के आयतन की गणना करते हुए, a=0, b=h के साथ, हमें व्यंजक मिलता है (1)

चूँकि शंकु का आधार एक वृत्त है, शंकु के आधार का क्षेत्रफल S, pi एर वर्ग के बराबर होगा

किसी पिंड के आयतन की गणना के सूत्र में, हम पीर वर्ग के मान को आधार के क्षेत्रफल से प्रतिस्थापित करते हैं और हम पाते हैं कि शंकु का आयतन क्षेत्र के उत्पाद के एक तिहाई के बराबर है आधार और ऊंचाई का

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय का कोरोलरी (काटे गए शंकु के आयतन का सूत्र)

एक काटे गए शंकु का आयतन V, जिसकी ऊँचाई h है, और आधारों S और S1 के क्षेत्रफलों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

Ve राख के एक तिहाई के बराबर है, जो आधार के क्षेत्रों के योग और आधार के क्षेत्रों के उत्पाद के वर्गमूल से गुणा किया जाता है।

समस्या को सुलझाना

3 सेमी और 4 सेमी पैरों वाला एक समकोण त्रिभुज कर्ण के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा निर्धारित करें।

जब त्रिभुज कर्ण के चारों ओर घूमता है, तो हमें एक शंकु प्राप्त होता है। इस समस्या को हल करते समय, यह समझना महत्वपूर्ण है कि दो मामले संभव हैं। उनमें से प्रत्येक में, हम एक शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र लागू करते हैं: एक शंकु का आयतन आधार और ऊँचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है

पहले मामले में, चित्र इस तरह दिखेगा: एक शंकु दिया गया है। माना त्रिज्या r = 4, ऊँचाई h = 3

आधार का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के गुणा के गुणनफल के बराबर है

तब शंकु का आयतन त्रिज्या के वर्ग के गुणा ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है।

मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करें, यह पता चलता है कि शंकु का आयतन 16π है।

दूसरे मामले में, इस तरह: एक शंकु दिया गया। माना त्रिज्या r = 3, ऊँचाई h = 4

एक शंकु का आयतन ऊंचाई से गुणा आधार क्षेत्रफल के एक तिहाई के बराबर होता है:

आधार का क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग के π गुणा के गुणनफल के बराबर है:

तब शंकु का आयतन त्रिज्या के वर्ग के गुणा ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है:

मान को सूत्र में रखें, तो यह पता चलता है कि शंकु का आयतन 12π है।

उत्तर: शंकु V का आयतन 16 या 12 . है

समस्या 2. 6 सेमी त्रिज्या वाले एक लंब वृत्तीय शंकु को देखते हुए कोण BCO = 45 है।

शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: इस कार्य के लिए एक तैयार चित्र दिया गया है।

आइए एक शंकु का आयतन ज्ञात करने का सूत्र लिखें:

हम इसे आधार R की त्रिज्या के पदों में व्यक्त करते हैं:

हम निर्माण द्वारा एच \u003d बीओ पाते हैं, - आयताकार, क्योंकि कोण BOC=90 (एक त्रिभुज के कोणों का योग), आधार पर कोण बराबर होते हैं, इसलिए त्रिभुज ΔBOC समद्विबाहु है और BO=OC=6 सेमी।

वी सिलेंडर \u003d एस मुख्य। एच

उदाहरण 2एक लम्ब वृत्तीय शंकु ABC समबाहु दिया गया है, BO = 10. शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

फेसला

शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। सी \u003d 60 0, बी \u003d 30 0,

माना OS = ए, तो बीसी = 2 ए. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

जवाब: .

उदाहरण 3. निर्दिष्ट रेखाओं से घिरे क्षेत्रों के घूर्णन द्वारा गठित आंकड़ों के आयतन की गणना करें।

y2=4x; वाई = 0; एक्स = 4।

एकीकरण की सीमाएं a = 0, b = 4।

वी = | =32π

कार्य

विकल्प 1

1. बेलन का अक्षीय खंड एक वर्ग है, जिसका विकर्ण 4 डीएम है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

2. खोखले गोले का बाहरी व्यास 18 सेमी, दीवार की मोटाई 3 सेमी है। गोले की दीवारों का आयतन ज्ञात कीजिए।

एक्स रेखा y 2 =x, y=0, x=1, x=2 द्वारा परिबद्ध आकृति।

विकल्प 2

1. तीन गेंदों की त्रिज्याएँ 6 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी हैं। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका आयतन इन गेंदों के आयतनों के योग के बराबर है।

2. शंकु के आधार का क्षेत्रफल 9 सेमी 2 है, इसका कुल सतह क्षेत्र 24 सेमी 2 है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. O अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें एक्सरेखा y 2 =2x, y=0, x=2, x=4 द्वारा परिबद्ध आकृति।

टेस्ट प्रश्न:

1. पिंडों के आयतन के गुण लिखिए।

2. ओए अक्ष के चारों ओर घूमने वाले पिंड के आयतन की गणना के लिए एक सूत्र लिखिए।

नैदानिक ​​​​कार्य में दो भाग होते हैं, जिसमें 19 कार्य शामिल हैं। भाग 1 में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ बुनियादी स्तर की जटिलता के 8 कार्य हैं। भाग 2 में एक संक्षिप्त उत्तर के साथ जटिलता के बढ़े हुए स्तर के 4 कार्य और विस्तृत उत्तर के साथ बढ़ी हुई और उच्च स्तर की जटिलता के 7 कार्य शामिल हैं।
गणित में नैदानिक ​​कार्य करने के लिए 3 घंटे 55 मिनट (235 मिनट) आवंटित किए जाते हैं।
1-12 कार्यों के उत्तर पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखे जाते हैं। कार्य के पाठ में उत्तर क्षेत्रों में संख्याएँ लिखें, और फिर उन्हें उत्तर पत्रक संख्या 1 में स्थानांतरित करें। 13-19 कार्यों को पूरा करते समय, आपको पूर्ण समाधान और उत्तर पत्रक संख्या का उत्तर लिखना होगा। 2.
सभी प्रपत्र चमकदार काली स्याही से भरे हुए हैं। जेल, केशिका या फाउंटेन पेन के उपयोग की अनुमति है।
असाइनमेंट पूरा करते समय, आप ड्राफ्ट का उपयोग कर सकते हैं। ड्राफ्ट प्रविष्टियों की गणना कार्य के मूल्यांकन में नहीं की जाती है।
पूर्ण किए गए कार्यों के लिए आपको मिलने वाले अंक संक्षेप में दिए गए हैं।
हम आपको सफलता की कामना करते हैं!

कार्य शर्तें

1. खोजें अगर
2. प्रयोगशाला में स्क्रीन पर एक प्रकाश बल्ब की एक विस्तृत छवि प्राप्त करने के लिए, मुख्य फोकल लंबाई = 30 सेमी के साथ एक अभिसारी लेंस का उपयोग किया जाता है। लेंस से प्रकाश बल्ब की दूरी 40 से 65 सेमी तक भिन्न हो सकती है, और दूरी लेंस से स्क्रीन तक - 75 से 100 सेमी की सीमा में। अनुपात पूरा होने पर स्क्रीन पर छवि स्पष्ट होगी। लेंस से अधिकतम दूरी निर्दिष्ट करें कि प्रकाश बल्ब रखा जा सकता है ताकि स्क्रीन पर इसकी छवि स्पष्ट हो। अपना उत्तर सेंटीमीटर में व्यक्त करें।
3. जहाज नदी के किनारे 300 किमी तक गंतव्य तक जाता है और पार्किंग के बाद प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाता है। धारा की गति ज्ञात कीजिए, यदि शांत जल में जहाज की गति 15 किमी/घंटा है, पार्किंग 5 घंटे तक चलती है, और जहाज छोड़ने के 50 घंटे बाद प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाता है। अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।
4. किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें
5. ए) समीकरण हल करें बी) इस समीकरण की सभी जड़ों को खोजें जो खंड से संबंधित हैं
6. एक शीर्ष के साथ एक सही गोलाकार शंकु दिया गया है एम. शंकु का अक्षीय खंड - शीर्ष पर 120 ° के कोण वाला त्रिभुज एम. शंकु जनरेटर है। डॉट के माध्यम से एमशंकु का एक भाग किसी एक जनरेटर के लंबवत खींचा जाता है।
   a) सिद्ध कीजिए कि परिणामी त्रिभुज एक अधिक त्रिभुज है।
   बी) केंद्र से दूरी का पता लगाएं हेशंकु का आधार खंड के तल तक।
7. प्रश्न हल करें
8. केंद्र के साथ वृत्त हेपक्ष को छूता है अबसमद्विबाहु त्रिकोण एबीसी,साइड एक्सटेंशन एसीऔर नींव की निरंतरता रविबिंदु पर एन. दूरसंचार विभाग एम- आधार के मध्य सूरज।
   ए) साबित करें कि एमएन = एसी।
   बी) खोजें ओएस,यदि त्रिभुज की भुजाएँ एबीसी 5, 5 और 8 हैं।
9. व्यावसायिक परियोजना "ए" पहले दो वर्षों के दौरान इसमें निवेश की गई राशि में सालाना 34.56% और अगले दो वर्षों में सालाना 44% की वृद्धि मानती है। प्रोजेक्ट बी एक स्थिर पूर्णांक द्वारा वृद्धि मानता है एनप्रतिशत सालाना। सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए एन, जिसके तहत पहले चार वर्षों के लिए परियोजना "बी" परियोजना "ए" की तुलना में अधिक लाभदायक होगी।
10. पैरामीटर के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरणों की प्रणाली एक ही उपाय है
11. आन्या एक खेल खेलती है: बोर्ड पर दो अलग-अलग प्राकृतिक संख्याएँ लिखी जाती हैं और , दोनों 1000 से कम हैं। यदि दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं, तो अन्या एक चाल चलती है - वह पिछले वाले को इन दो संख्याओं से बदल देती है। यदि इनमें से कम से कम एक संख्या प्राकृत संख्या नहीं है, तो खेल समाप्त हो जाता है।
    क) क्या खेल ठीक तीन चालों तक चल सकता है?
    बी) क्या दो प्रारंभिक संख्याएँ हैं जैसे कि खेल कम से कम 9 चालों तक चलेगा?
    ग) अन्या ने खेल में पहला कदम रखा। प्राप्त दो संख्याओं के गुणनफल का गुणनफल से अधिकतम संभव अनुपात ज्ञात कीजिए

परिचय

शोध विषय की प्रासंगिकता।प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों के लिए शंकु वर्ग पहले से ही ज्ञात थे (उदाहरण के लिए, मेनेचमस, चौथी शताब्दी ईसा पूर्व); इन वक्रों की मदद से, कुछ निर्माण समस्याओं को हल किया गया था (घन को दोगुना करना, आदि), जो सबसे सरल ड्राइंग टूल्स - एक कम्पास और शासक का उपयोग करते समय दुर्गम निकला। पहले अध्ययनों में जो हमारे पास आए हैं, ग्रीक जियोमीटर ने एक जनरेटर के लिए लंबवत एक काटने वाले विमान को खींचकर शंकु वर्गों को प्राप्त किया, जबकि शंकु के शीर्ष पर उद्घाटन कोण (यानी जेनरेटर के बीच सबसे बड़ा कोण) के आधार पर एक गुहा का), चौराहे की रेखा एक दीर्घवृत्त बन गई, यदि यह कोण तीव्र है, तो यह एक परवलय है, यदि यह एक समकोण है, और एक अतिपरवलय, यदि यह अधिक है। इन वक्रों को समर्पित सबसे पूर्ण कार्य पेरगा के अपोलोनियस (लगभग 200 ईसा पूर्व) का "शंकु खंड" था। शंकु वर्गों के सिद्धांत में आगे की प्रगति 17 वीं शताब्दी में निर्माण से जुड़ी हुई है। नई ज्यामितीय विधियाँ: प्रक्षेपी (फ्रांसीसी गणितज्ञ जे। डेसर्गेस, बी। पास्कल) और विशेष रूप से समन्वय (फ्रांसीसी गणितज्ञ आर। डेसकार्टेस, पी। फर्मेट)।

शंकु वर्गों में रुचि हमेशा इस तथ्य से समर्थित है कि ये वक्र अक्सर विभिन्न प्राकृतिक घटनाओं और मानव गतिविधि में पाए जाते हैं। विज्ञान में, शंक्वाकार वर्गों ने जर्मन खगोलशास्त्री आई. केपलर द्वारा प्रेक्षणों से खोजे जाने के बाद विशेष महत्व प्राप्त किया, और अंग्रेजी वैज्ञानिक आई। न्यूटन ने सैद्धांतिक रूप से ग्रहों की गति के नियमों की पुष्टि की, जिनमें से एक में कहा गया है कि सौर मंडल के ग्रह और धूमकेतु शंकु के साथ चलते हैं। खंड, जिनमें से एक में सूर्य है। निम्नलिखित उदाहरण कुछ प्रकार के शंक्वाकार वर्गों को संदर्भित करते हैं: एक प्रक्षेप्य या एक पत्थर जो क्षितिज पर तिरछा फेंका जाता है, एक परवलय का वर्णन करता है (वक्र का सही आकार हवा के प्रतिरोध से कुछ विकृत होता है); कुछ तंत्रों में, अण्डाकार गियर का उपयोग किया जाता है ("अण्डाकार गियर"); हाइपरबोला व्युत्क्रम आनुपातिकता के ग्राफ के रूप में कार्य करता है, जिसे अक्सर प्रकृति में देखा जाता है (उदाहरण के लिए, बॉयल-मैरियोट कानून)।

उद्देश्य:

शंकु वर्गों के सिद्धांत का अध्ययन।

शोध विषय:

शंकु खंड।

इस अध्ययन का उद्देश्य:

शंक्वाकार वर्गों की विशेषताओं का सैद्धांतिक रूप से अध्ययन करें।

अध्ययन की वस्तु:

शंकु खंड।

अध्ययन का विषय:

शंकु वर्गों का ऐतिहासिक विकास।

1. शंकु वर्गों का निर्माण और उनके प्रकार

शंकु खंड वे रेखाएं होती हैं जो विभिन्न तलों वाले एक लंब वृत्तीय शंकु के खंड में बनती हैं।

ध्यान दें कि एक शंक्वाकार सतह एक सीधी रेखा की गति से बनने वाली सतह है जो हर समय एक निश्चित बिंदु (शंकु के शीर्ष) से ​​होकर गुजरती है और हर समय एक निश्चित वक्र को काटती है - एक गाइड (हमारे मामले में, एक वृत्त) )

इन रेखाओं को शंकु के जनित्रों के सापेक्ष छेदक तलों के स्थान की प्रकृति के अनुसार वर्गीकृत करने पर तीन प्रकार के वक्र प्राप्त होते हैं:

I. किसी भी जनरेटर के समानांतर नहीं विमानों द्वारा शंकु के एक खंड द्वारा गठित वक्र। इस तरह के वक्र विभिन्न वृत्त और दीर्घवृत्त होंगे। इन वक्रों को अण्डाकार वक्र कहा जाता है।

द्वितीय. एक शंकु के एक खंड द्वारा समतल द्वारा बनाए गए वक्र, जिनमें से प्रत्येक शंकु के एक जनक के समानांतर है (चित्र 1b)। केवल परवलय ही ऐसे वक्र होंगे।

III. एक शंकु के एक खंड द्वारा समतल द्वारा बनाए गए वक्र, जिनमें से प्रत्येक कुछ दो जनरेटर के समानांतर है (चित्र 1c)। ऐसे वक्र अतिपरवलय होंगे।

अब किसी भी प्रकार के IV वक्र नहीं हो सकते हैं, क्योंकि एक शंकु के तीन जनरेटर के समानांतर एक विमान एक बार में नहीं हो सकता है, क्योंकि एक शंकु के तीन जनरेटर स्वयं एक ही विमान में नहीं होते हैं।

ध्यान दें कि शंकु को समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जा सकता है और इस प्रकार खंड में दो सीधी रेखाएँ प्राप्त होती हैं। ऐसा करने के लिए, शंकु के शीर्ष के माध्यम से छेदक विमानों को खींचा जाना चाहिए।

2. दीर्घवृत्त

शंकु वर्गों के गुणों का अध्ययन करने के लिए दो प्रमेय महत्वपूर्ण हैं:

प्रमेय 1. मान लीजिए कि एक सीधा वृत्तीय शंकु दिया गया है, जो अपने अक्ष के लंबवत तलों b 1, b 2, b 3 द्वारा विच्छेदित है। फिर किसी भी वृत्त के जोड़े (दिए गए विमानों के साथ अनुभाग में प्राप्त) के बीच शंकु जनरेटर के सभी खंड एक दूसरे के बराबर होते हैं, अर्थात। ए 1 बी 1 \u003d ए 2 बी 2 \u003d, आदि। और बी 1 सी 1 \u003d बी 2 सी 2 \u003d, आदि। प्रमेय 2. यदि एक गोलाकार सतह दी गई है और कुछ बिंदु S उसके बाहर है, तो बिंदु S से गोलाकार सतह पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के खंड एक दूसरे के बराबर होंगे, अर्थात। एसए 1 = एसए 2 = एसए 3 आदि।

2.1 दीर्घवृत्त का मूल गुण

हम एक लम्ब वृत्तीय शंकु को काटते हैं जिसके सभी जनित्रों को एक समतल काटता है। अनुभाग में, हमें एक दीर्घवृत्त प्राप्त होता है। आइए हम शंकु की धुरी के माध्यम से विमान के लंबवत एक विमान बनाएं।

आइए हम दो गेंदों को शंकु में अंकित करें ताकि, समतल के विपरीत किनारों पर स्थित होकर और शंक्वाकार सतह को स्पर्श करते हुए, उनमें से प्रत्येक किसी बिंदु पर समतल को स्पर्श करे।

मान लीजिए कि एक गेंद बिंदु F 1 पर समतल को स्पर्श करती है और शंकु को वृत्त C 1 के अनुदिश स्पर्श करती है, और दूसरी बिंदु F 2 पर और वृत्त C 2 के अनुदिश शंकु को स्पर्श करती है।

दीर्घवृत्त पर एक मनमाना बिंदु P लीजिए।

इसका मतलब है कि इसके बारे में किए गए सभी निष्कर्ष दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए मान्य होंगे। आइए हम शंकु के OR का जनित्र बनाते हैं और उन बिंदुओं R 1 और R 2 को चिह्नित करते हैं जिन पर यह निर्मित गेंदों को छूता है।

बिंदु P को बिंदु F 1 और F 2 से कनेक्ट करें। तब पीएफ 1 = पीआर 1 और पीएफ 2 = पीआर 2, क्योंकि पीएफ 1, पीआर 1 बिंदु पी से एक गेंद पर खींची गई स्पर्शरेखा हैं, और पीएफ 2, पीआर 2 बिंदु पी से दूसरी गेंद पर खींची गई स्पर्शरेखा हैं (प्रमेय 2) . दोनों समानता पदों को पद से जोड़ने पर, हम पाते हैं

पीएफ 1 + पीएफ 2 = पीआर 1 + पीआर 2 = आर 1 आर 2 (1)

यह संबंध दर्शाता है कि दीर्घवृत्त के एक स्वेच्छ बिंदु P की दूरियों (РF 1 और РF 2) का दो बिंदुओं F 1 और F 2 तक का योग इस दीर्घवृत्त के लिए एक स्थिर मान है (अर्थात, यह दीर्घवृत्त की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है) दीर्घवृत्त पर बिंदु P)।

बिंदु F 1 और F 2 को दीर्घवृत्त का नाभि कहा जाता है। जिन बिंदुओं पर रेखा F 1 F 2 दीर्घवृत्त को काटती है, दीर्घवृत्त के शीर्ष कहलाते हैं। शीर्षों के बीच के खंड को दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है।

जेनरेट्रिक्स आर 1 आर 2 का खंड दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर है। फिर अंडाकार की मुख्य संपत्ति निम्नानुसार तैयार की जाती है: अंडाकार के मनमाने ढंग से बिंदु पी की दूरी को उसके फॉसी एफ 1 और एफ 2 के लिए दूरी का योग इस अंडाकार के लिए निरंतर मूल्य है, जो इसकी प्रमुख धुरी की लंबाई के बराबर है।

ध्यान दें कि यदि दीर्घवृत्त की नाभियाँ मेल खाती हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है, अर्थात। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है।

2.2 दीर्घवृत्त समीकरण

एक दीर्घवृत्त के समीकरण को तैयार करने के लिए, हमें दीर्घवृत्त को उन बिंदुओं के स्थान के रूप में मानना ​​​​चाहिए, जिनमें कुछ गुण होते हैं जो इस स्थान की विशेषता रखते हैं। आइए दीर्घवृत्त की मुख्य संपत्ति को इसकी परिभाषा के रूप में लें: दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए इस विमान के दो निश्चित बिंदुओं F 1 और F 2 की दूरी का योग, जिसे foci कहा जाता है, के बराबर एक स्थिर मूल्य है इसकी प्रमुख धुरी की लंबाई।

बता दें कि खंड F 1 F 2 \u003d 2c की लंबाई है, और प्रमुख अक्ष की लंबाई 2a है। दीर्घवृत्त के विहित समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम खंड F 1 F 2 के मध्य में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल O को चुनते हैं, और अक्षों को निर्देशित करते हैं ऑक्स और ओए जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। (यदि नाभियाँ मेल खाती हैं, तो ओ एफ 1 और एफ 2 के साथ मेल खाता है, और अक्ष से परे ऑक्स को ओ से गुजरने वाली किसी भी धुरी के रूप में लिया जा सकता है)। फिर चुने हुए निर्देशांक प्रणाली में बिंदु F 1 (c, 0) और F 2 (-c, 0) हैं। जाहिर है, 2a> 2c, यानी। ए>सी. माना M(x, y) दीर्घवृत्त से संबंधित तल का एक बिंदु है। माना F 1 =r 1 , МF 2 =r 2 । दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, समानता

r 1 +r 2 =2a (2) किसी दिए गए दीर्घवृत्त पर बिंदु M (x, y) के स्थान के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आर 1 =, आर 2 =। आइए समानता पर लौटें (2):

आइए एक रूट को समानता के दाईं ओर ले जाएं और इसे वर्गाकार करें:

कम करना, हमें मिलता है:

हम समान देते हैं, 4 से कम करते हैं और रेडिकल को अलग करते हैं:

हम वर्ग

कोष्ठक खोलें और इसे छोटा करें:

हमें कहाँ से मिलता है:

(ए 2-सी 2) एक्स 2 + ए 2 वाई 2 = ए 2 (ए 2-सी 2)। (3)

ध्यान दें कि 2 -c 2>0। वास्तव में, r 1 +r 2 त्रिभुज F 1 MF 2 की दो भुजाओं का योग है, और F 1 F 2 इसकी तीसरी भुजा है। इसलिए, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , या 2а>2с, यानी। ए>सी. 2 -c 2 \u003d b 2 को निरूपित करें। समीकरण (3) इस तरह दिखेगा: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2। आइए एक परिवर्तन करें जो दीर्घवृत्त समीकरण को विहित (शाब्दिक रूप से: एक नमूने के रूप में लिया गया) रूप में लाता है, अर्थात्, हम समीकरण के दोनों भागों को 2 b 2 से विभाजित करते हैं:

(4) - एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण।

चूंकि समीकरण (4) समीकरण (2*) का बीजगणितीय परिणाम है, तो दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु M के x और y निर्देशांक भी समीकरण (4) को संतुष्ट करेंगे। चूँकि रेडिकल से छुटकारा पाने से जुड़े बीजीय परिवर्तनों के दौरान "अतिरिक्त जड़ें" दिखाई दे सकती हैं, इसलिए यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि कोई भी बिंदु M, जिसके निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं, इस दीर्घवृत्त पर स्थित है। ऐसा करने के लिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि प्रत्येक बिंदु के लिए मात्रा r 1 और r 2 संबंध (2) को संतुष्ट करती है। तो, मान लीजिए कि बिंदु M के x और y निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। (4) से y 2 के मान को व्यंजक r 1 में रखने पर साधारण परिवर्तन के बाद हम पाते हैं कि r 1 = है। चूँकि, तब r 1 =. इसी प्रकार, हम पाते हैं कि r 2 =. इस प्रकार, विचारित बिंदु के लिए M r 1 =, r 2 =, अर्थात्। r 1 + r 2 \u003d 2a, इसलिए बिंदु M एक दीर्घवृत्त पर स्थित है। मात्राओं a और b को क्रमशः दीर्घवृत्त के वृहत और लघु अर्धअक्ष कहा जाता है।

2.3 समीकरण के अनुसार एक दीर्घवृत्त के आकार का अध्ययन

आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।

1. समीकरण (4) में केवल सम घातों में x और y हैं, इसलिए यदि बिंदु (x, y) दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो बिंदु (x, - y), (-x, y), (-x, - वाई)। यह इस प्रकार है कि अंडाकार अक्ष ऑक्स और ओए के बारे में सममित है, और बिंदु ओ (0,0) के बारे में भी, जिसे अंडाकार का केंद्र कहा जाता है।

2. निर्देशांक अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। y \u003d 0 रखने पर, हमें दो बिंदु A 1 (a, 0) और A 2 (-a, 0) मिलते हैं, जिसमें ऑक्स अक्ष दीर्घवृत्त को काटता है। समीकरण (4) में x=0 रखने पर, हम ओय अक्ष के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: B 1 (0, b) और। बी 2 (0, - बी) बिंदु ए 1, ए 2, बी 1, बी 2 को अंडाकार शिखर कहा जाता है।

3. समीकरण (4) से यह निम्नानुसार है कि बाईं ओर का प्रत्येक पद एकता से अधिक नहीं है, अर्थात। असमानताएँ हैं और या और। इसलिए, दीर्घवृत्त के सभी बिंदु सीधी रेखाओं से बने आयत के अंदर स्थित होते हैं।

4. समीकरण (4) में, गैर-ऋणात्मक पदों का योग और एक के बराबर है। इसलिए, जैसे-जैसे एक पद बढ़ता है, दूसरा घटता जाता है, अर्थात। यदि x बढ़ता है, तो y घटता है और इसके विपरीत।

जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि दीर्घवृत्त का आकार अंजीर में दिखाया गया है। 6 (अंडाकार बंद वक्र)।

ध्यान दें कि यदि a = b, तो समीकरण (4) x 2 + y 2 = a 2 का रूप लेगा। यह वृत्त समीकरण है। त्रिज्या a वाले वृत्त से एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है, यदि इसे O अक्ष के अनुदिश एक बार संपीडित किया जाए। इस तरह के संकुचन के साथ, बिंदु (x; y) उस बिंदु (x; y 1) पर जाएगा, जहां। वृत्त को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम दीर्घवृत्त समीकरण प्राप्त करते हैं: ।

आइए हम एक और मात्रा का परिचय दें जो दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता है।

एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता फोकल लंबाई 2c और इसकी प्रमुख धुरी की लंबाई 2a का अनुपात है।

उत्केन्द्रता को आमतौर पर e: e = चूँकि c . द्वारा निरूपित किया जाता है< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

अंतिम समानता से दीर्घवृत्त की विलक्षणता की ज्यामितीय व्याख्या प्राप्त करना आसान है। बहुत छोटी संख्याओं के लिए, a और b लगभग बराबर होते हैं, यानी दीर्घवृत्त एक वृत्त के करीब होता है। यदि यह एकता के करीब है, तो संख्या ए की तुलना में संख्या बी बहुत छोटी है, और दीर्घवृत्त प्रमुख अक्ष के साथ दृढ़ता से बढ़ा हुआ है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त की विलक्षणता दीर्घवृत्त के बढ़ाव के माप की विशेषता है।

3. अतिशयोक्ति

3.1 अतिपरवलय का मुख्य गुण

दीर्घवृत्त के अध्ययन के लिए किए गए निर्माणों के समान निर्माणों की सहायता से अतिपरवलय की खोज करने पर, हम पाते हैं कि अतिपरवलय में दीर्घवृत्त के समान गुण होते हैं।

आइए हम एक समतल वृत्तीय शंकु को एक समतल b से काटते हैं जो इसके दोनों तलों को प्रतिच्छेद करता है, अर्थात्। इसके दो जनरेटर के समानांतर। क्रॉस सेक्शन एक हाइपरबोला है। आइए हम शंकु के अक्ष ST से होकर समतल ASB, समतल b पर लंबवत खींचते हैं।

आइए हम दो गेंदों को शंकु में अंकित करें - एक इसकी गुहा में, दूसरी दूसरी में, ताकि उनमें से प्रत्येक शंक्वाकार सतह और छेदक तल को स्पर्श करे। मान लीजिए कि पहली गेंद समतल b को बिंदु F 1 पर स्पर्श करती है और वृत्त UґVґ के अनुदिश शंक्वाकार पृष्ठ को स्पर्श करती है। दूसरी गेंद को बिंदु F 2 पर समतल b को स्पर्श करने दें और वृत्त UV के साथ शंक्वाकार सतह को स्पर्श करें।

हम हाइपरबोला पर एक मनमाना बिंदु M चुनते हैं। आइए हम इसके माध्यम से शंकु MS का जेनरेट्रिक्स खींचते हैं और उन बिंदुओं d और D को चिह्नित करते हैं जिन पर यह पहली और दूसरी गेंदों को छूता है। हम बिंदु M को बिंदुओं F 1, F 2 से जोड़ते हैं, जिसे हम हाइपरबोला का फ़ोकस कहेंगे। तब MF 1 =Md, क्योंकि दोनों खंड बिंदु M से खींची गई पहली गेंद के स्पर्शरेखा हैं। इसी तरह, MF 2 =MD। पहली समानता से दूसरे पद को पद से घटाने पर, हम पाते हैं

एमएफ 1-एमएफ 2 \u003d एमडी-एमडी \u003d डीडी,

जहां dD हाइपरबोला पर बिंदु M की पसंद से स्वतंत्र एक स्थिर मान है (आधार UґVґ और UV के साथ एक शंकु के जेनरेटर के रूप में)। P और Q से उन बिंदुओं को निरूपित करें जिन पर रेखा F 1 F 2 अतिपरवलय को काटती है। ये बिंदु P और Q अतिपरवलय के शीर्ष कहलाते हैं। खंड PQ अतिपरवलय का वास्तविक अक्ष कहलाता है। प्राथमिक ज्यामिति के क्रम में यह सिद्ध होता है कि dD=PQ. इसलिए, एमएफ 1-एमएफ 2 = पीक्यू।

यदि बिंदु M अतिपरवलय की उस शाखा पर होगा, जिसके निकट फोकस F 1 स्थित है, तो MF 2 -MF 1 =PQ। फिर अंत में हमें МF 1-MF 2 =PQ मिलता है।

एक अतिपरवलय F 1 और F 2 से एक अतिपरवलय के मनमाना बिंदु M की दूरियों के बीच के अंतर का मापांक अतिपरवलय के वास्तविक अक्ष की लंबाई के बराबर एक स्थिर मान है।

3.2 अतिपरवलय का समीकरण

आइए हाइपरबोला की मुख्य संपत्ति को इसकी परिभाषा के रूप में लें: एक हाइपरबोला एक विमान में बिंदुओं का एक स्थान है, जिसके लिए इस विमान के दो निश्चित बिंदुओं F 1 और F 2 की दूरी के अंतर का मापांक, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिरांक है। इसकी वास्तविक धुरी की लंबाई के बराबर मूल्य।

मान लें कि खंड F 1 F 2 \u003d 2c की लंबाई है, और वास्तविक अक्ष की लंबाई 2a है। हाइपरबोला के विहित समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम खंड F 1 F 2 के बीच में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल O को चुनते हैं, और अक्षों को निर्देशित करते हैं ऑक्स और ओए जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। फिर चुने हुए समन्वय प्रणाली में अंक एफ 1 (सी, 0) और एफ 2 (-एस, 0)। जाहिर है 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) इस अतिपरवलय पर बिंदु M (x, y) के स्थान के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

आर 1 =, आर 2 =। आइए समानता की ओर लौटते हैं (5):

आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें

(एक्स + एस) 2 + वाई 2 \u003d 4 ए 2 ± 4 ए + (एक्स-सी) 2 + वाई 2

कम करना, हमें मिलता है:

2 с=4а 2 ±4а-2 с

±4a=4a 2 -4 xs

ए 2 एक्स 2 -2 ए 2 एक्ससी + ए 2 सी 2 + ए 2 वाई 2 \u003d ए 4 -2 ए 2 एक्ससी + एक्स 2 सी 2

एक्स 2 (सी 2-ए 2) - ए 2 वाई 2 \u003d ए 2 (सी 2-ए 2) (6)

ध्यान दें कि c 2 -a 2 >0. c 2 -a 2 =b 2 को निरूपित करें। समीकरण (6) इस तरह दिखेगा: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2। हम एक परिवर्तन करते हैं जो हाइपरबोला समीकरण को विहित रूप में लाता है, अर्थात्, हम समीकरण के दोनों भागों को 2 बी 2 से विभाजित करते हैं: (7) - अतिपरवलय का विहित समीकरण, मात्राएँ a और b, क्रमशः अतिपरवलय के वास्तविक और काल्पनिक अर्धअक्ष हैं।

हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि समीकरण (5*) के बीजगणितीय परिवर्तनों द्वारा प्राप्त समीकरण (7) ने नए मूल प्राप्त नहीं किए हैं। ऐसा करने के लिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक बिंदु एम के लिए, निर्देशांक x और y जिनमें से समीकरण (7) को संतुष्ट करते हैं, मान r 1 और r 2 संबंध (5) को संतुष्ट करते हैं। दीर्घवृत्त सूत्र प्राप्त करते समय किए गए तर्कों के समान तर्कों का संचालन करते हुए, हम r 1 और r 2 के लिए निम्नलिखित व्यंजक पाते हैं:

इस प्रकार, माना बिंदु M के लिए हमारे पास r 1 -r 2 =2a है, और इसलिए यह अतिपरवलय पर स्थित है।

3.3 अतिपरवलय समीकरण का अध्ययन

अब आइए समीकरण (7) के विचार के आधार पर अतिपरवलय के स्थान का अंदाजा लगाने का प्रयास करें।
1. सबसे पहले, समीकरण (7) से पता चलता है कि हाइपरबोला दोनों अक्षों के बारे में सममित है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि वक्र के समीकरण में केवल निर्देशांक की डिग्री ही शामिल होती है। 2. अब हम समतल के उस क्षेत्र को चिह्नित करते हैं जहां वक्र स्थित होगा। y के संबंध में हल किए गए हाइपरबोला के समीकरण का रूप है:

यह दर्शाता है कि y हमेशा मौजूद रहता है जब x 2? एक 2। इसका मतलब है कि एक्स के लिए? a और x के लिए? - और y-निर्देशांक वास्तविक होगा, और के लिए - a

इसके अलावा, बढ़ते हुए x (और अधिक a) के साथ, y-ऑर्डिनेट भी हर समय बढ़ता रहेगा (विशेष रूप से, इससे यह देखा जा सकता है कि वक्र लहरदार नहीं हो सकता है, अर्थात ऐसा कि x के भुज की वृद्धि के साथ, y-निर्देशांक या तो बढ़ता है या घटता है)।

3. अतिपरवलय का केंद्र वह बिंदु होता है जिसके संबंध में अतिपरवलय के प्रत्येक बिंदु पर स्वयं के सममित बिंदु होता है। बिंदु O(0,0), मूल, दीर्घवृत्त के रूप में, विहित समीकरण द्वारा दिए गए अतिपरवलय का केंद्र है। इसका अर्थ यह है कि अतिपरवलय के प्रत्येक बिंदु का बिंदु O के संबंध में अतिपरवलय पर एक सममित बिंदु होता है। यह अतिपरवलय की समरूपता से अक्ष ऑक्स और ओए के संबंध में अनुसरण करता है। अतिपरवलय की कोई भी जीवा इसके केंद्र से होकर गुजरती है, अतिपरवलय का व्यास कहलाती है।

4. अतिपरवलय का वह प्रतिच्छेदन बिंदु जिस पर उसकी नाभियां स्थित होती हैं, अतिपरवलय के शीर्ष कहलाते हैं, और उनके बीच के खंड को अतिपरवलय का वास्तविक अक्ष कहा जाता है। इस मामले में, वास्तविक अक्ष x-अक्ष है। ध्यान दें कि हाइपरबोला की वास्तविक धुरी को अक्सर खंड 2a और सीधी रेखा (ऑक्स अक्ष) दोनों कहा जाता है, जिस पर यह स्थित है।

ओए अक्ष के साथ अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। y-अक्ष समीकरण x=0 है। x = 0 को समीकरण (7) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि अतिपरवलय का Oy अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। यह समझ में आता है, क्योंकि ओए अक्ष को कवर करने वाली चौड़ाई 2a की पट्टी में कोई अतिपरवलय बिंदु नहीं हैं।

अतिपरवलय के वास्तविक अक्ष के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरने वाली रेखा अतिपरवलय का काल्पनिक अक्ष कहलाती है। इस मामले में, यह y-अक्ष के साथ मेल खाता है। तो, हाइपरबोला समीकरण (7) में x 2 और y 2 वाले शब्दों के हर में हाइपरबोला के वास्तविक और काल्पनिक अर्ध-अक्षों के वर्ग हैं।

5. अतिपरवलय k . के लिए रेखा y = kx को प्रतिच्छेद करता है< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

प्रमाण

हाइपरबोला और सीधी रेखा y = kx के चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को हल करना आवश्यक है

y को समाप्त करने पर हमें प्राप्त होता है

या बी 2 -के 2 ए 2 0 के लिए, यानी के के लिए, परिणामी समीकरण, और इसलिए समाधान की प्रणाली में नहीं है।

समीकरण y= और y= - वाली सीधी रेखाएं अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख कहलाती हैं।

b 2 -k 2 a 2 >0 के लिए, अर्थात k . के लिए< система имеет два решения:

इसलिए, ढलान k . के साथ मूल से गुजरने वाली प्रत्येक सीधी रेखा< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. अतिपरवलय का प्रकाशिक गुण: अतिपरवलय के एक फोकस से परावर्तित होने वाली प्रकाशिक किरणें दूसरे फोकस से निकलती प्रतीत होती हैं।

अतिपरवलय की उत्केन्द्रता इसकी वास्तविक अक्ष की फोकस दूरी 2c से लंबाई 2a का अनुपात है?
वे। इसकी अवतलता की ओर से।

3.4 संयुग्मित अतिपरवलय

हाइपरबोला (7) के साथ, इसके संबंध में तथाकथित संयुग्म हाइपरबोला माना जाता है। संयुग्म अतिपरवलय को विहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है।

अंजीर पर। 10 अतिपरवलय (7) और उसके संयुग्म अतिपरवलय को दर्शाता है। संयुग्मित अतिपरवलय में दिए गए स्पर्शोन्मुख के समान स्पर्शोन्मुख होते हैं, लेकिन F 1 (0, c),

4. परवलय

4.1 परवलय का मूल गुण

आइए हम एक परवलय के मूल गुणों को स्थापित करें। आइए हम एक लंब वृत्तीय शंकु को शीर्ष S के साथ उसके एक जनित्र के समांतर समतल से काटते हैं। खंड में हमें एक परवलय मिलता है। आइए हम शंकु के एसटी अक्ष के माध्यम से विमान एएसबी, विमान के लंबवत (चित्र। 11) को खींचते हैं। इसमें पड़ा जेनरेटर एसए प्लेन के समानांतर होगा। आइए हम शंकु में वृत्त यूवी के साथ शंकु के लिए एक गोलाकार सतह और बिंदु F पर विमान के स्पर्शरेखा को अंकित करें। बिंदु F के माध्यम से जनरेटर SA के समानांतर एक रेखा खींचें। आइए हम जेनरेट्रिक्स एसबी के साथ इसके चौराहे के बिंदु को पी द्वारा निरूपित करें। बिंदु एफ को परवलय का फोकस कहा जाता है, बिंदु पी इसका शीर्ष है, और लाइन पीएफ शीर्ष और फोकस से गुजरती है (और जेनरेट्रिक्स के समानांतर) SA) को परवलय की धुरी कहा जाता है। परवलय में दूसरा शीर्ष नहीं होगा - जेनरेटर एसए के साथ पीएफ अक्ष के प्रतिच्छेदन का बिंदु: यह बिंदु "अनंत तक जाता है"। आइए डायरेक्ट्रिक्स को कॉल करें (अनुवाद में "गाइड") लाइन क्यू 1 क्यू 2 विमान के चौराहे के विमान के साथ जिसमें सर्कल यूवी निहित है। परवलय पर एक मनमाना बिंदु M लें और इसे शंकु S के शीर्ष से जोड़ दें। रेखा MS गेंद को वृत्त UV पर स्थित बिंदु D पर स्पर्श करती है। हम बिंदु M को फ़ोकस F से जोड़ते हैं और लंब MK को बिंदु M से डायरेक्ट्रिक्स पर छोड़ते हैं। फिर यह पता चलता है कि परवलय के एक मनमाना बिंदु M की फ़ोकस (MF) और डायरेक्ट्रिक्स (MK) की दूरी एक दूसरे के बराबर होती है (परवलय की मुख्य संपत्ति), अर्थात। एमएफ = एमके।

उपपत्ति: МF=MD (एक बिंदु से गेंद पर स्पर्श रेखा के रूप में)। आइए हम शंकु के किसी भी जनक और ST अक्ष के बीच के कोण को q के रूप में निरूपित करें। आइए एसटी अक्ष पर एमडी और एमके खंडों को प्रोजेक्ट करें। खंड MD ST अक्ष पर एक प्रक्षेपण बनाता है, जो MDcosc के बराबर होता है, क्योंकि MD शंकु के जेनरेट्रिक्स पर स्थित होता है; खंड MK, ST अक्ष पर MKsoc के बराबर एक प्रक्षेपण बनाता है, क्योंकि खंड MK जेनरेटर SA के समानांतर है। (वास्तव में, नियतांक q 1 q 1 समतल ASB पर लंबवत है। इसलिए, रेखा PF, बिंदु L पर एक समकोण पर नियता को काटती है। लेकिन रेखाएँ MK और PF एक ही तल में स्थित हैं, और MK भी लंबवत है डायरेक्ट्रिक्स के लिए)। एसटी अक्ष पर एमके और एमडी दोनों खंडों के अनुमान एक दूसरे के बराबर हैं, क्योंकि उनका एक सिरा - बिंदु एम - सामान्य है, और अन्य दो डी और के एसटी अक्ष (छवि। ) तब Dcosц= MKsоsц या D= MK। इसलिए, एमएफ = एमके।

संपत्ति 1.(एक परवलय की फोकल संपत्ति)।

परवलय के किसी भी बिंदु से मुख्य जीवा के मध्य तक की दूरी उसकी डायरेक्ट्रिक्स से दूरी के बराबर होती है।

प्रमाण।

प्वाइंट एफ - क्यूआर लाइन और मुख्य जीवा का प्रतिच्छेदन बिंदु। यह बिंदु समरूपता के अक्ष पर स्थित है। वास्तव में, त्रिभुज RNQ और ROF समकोण त्रिभुजों की तरह सर्वांगसम होते हैं

प्रारंभिक पैरों वाले त्रिभुज (NQ=OF, OR=RN)। इसलिए, हम चाहे कोई भी बिंदु N लें, इसके साथ बनी रेखा QR मुख्य जीवा को उसके मध्य F में काटेगी। अब यह स्पष्ट है कि त्रिभुज FMQ समद्विबाहु है। वास्तव में, खंड MR इस त्रिभुज की माध्यिका और ऊँचाई दोनों है। इसका मतलब है कि एमएफ = एमक्यू।

संपत्ति 2.(एक परवलय का प्रकाशिक गुण)।

परवलय के लिए कोई भी स्पर्शरेखा स्पर्शरेखा बिंदु पर खींची गई फोकल त्रिज्या के साथ समान कोण बनाती है और स्पर्शरेखा बिंदु से आने वाली किरण और अक्ष के साथ सह-निर्देशित होती है (या, एक ही फोकस से निकलने वाली किरणें, परवलय से परावर्तित होती हैं) अक्ष के समानांतर)।

प्रमाण। परवलय पर स्थित एक बिंदु N के लिए, समानता |FN|=|NH| सत्य है, और एक बिंदु N" के लिए परवलय के आंतरिक क्षेत्र में स्थित है, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, यानी बिंदु M" परवलय के बाहरी क्षेत्र में स्थित है। तो, बिंदु M को छोड़कर पूरी लाइन l, बाहरी क्षेत्र में स्थित है, यानी परवलय का आंतरिक क्षेत्र l के एक तरफ स्थित है, जिसका अर्थ है कि l परवलय की स्पर्शरेखा है। यह परवलय के प्रकाशिक गुण का प्रमाण देता है: कोण 1 कोण 2 के बराबर है, क्योंकि l कोण FMK का समद्विभाजक है।

4.2 परवलय का समीकरण

एक परवलय की मुख्य संपत्ति के आधार पर, हम इसकी परिभाषा तैयार करते हैं: एक परवलय एक तल में सभी बिंदुओं का एक समूह होता है, जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए बिंदु से समान रूप से दूर होता है, जिसे फोकस कहा जाता है, और एक दी गई सीधी रेखा, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है। . फोकस F से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी को परवलय का पैरामीटर कहा जाता है और इसे p (p > 0) द्वारा दर्शाया जाता है।

परवलय समीकरण को प्राप्त करने के लिए, हम ऑक्सी समन्वय प्रणाली का चयन करते हैं ताकि ऑक्सी अक्ष फोकस F से होकर डायरेक्ट्रिक्स से F की दिशा में डायरेक्ट्रिक्स की ओर जाए, और मूल O फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच में स्थित है। (चित्र 12)। चयनित प्रणाली में, फोकस F(, 0) है, और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण का रूप x=-, या x+=0 है। मान लें कि m (x, y) परवलय का एक मनमाना बिंदु है। बिंदु M को F से कनेक्ट करें। खंड MH को दिशा के लंबवत खींचें। परवलय की परिभाषा के अनुसार, MF = MH। दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

अत: समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

वे। (8) समीकरण (8) को परवलय का विहित समीकरण कहा जाता है।

4.3 एक परवलय के रूपों का उसके समीकरण के अनुसार अध्ययन

1. समीकरण (8) में, चर y को सम अंश में शामिल किया गया है, जिसका अर्थ है कि परवलय ऑक्स अक्ष के बारे में सममित है; x-अक्ष परवलय की सममिति की धुरी है।

2. चूँकि c > 0, यह (8) से x>0 का अनुसरण करता है। इसलिए, परवलय y-अक्ष के दाईं ओर स्थित है।

3. मान लीजिए x \u003d 0, फिर y \u003d 0। इसलिए, परवलय मूल से होकर गुजरता है।

4. x में असीमित वृद्धि के साथ, मॉड्यूल y भी अनिश्चित काल के लिए बढ़ता है। परवलय y 2 \u003d 2 px में चित्र 13 में दिखाया गया रूप (आकार) है। बिंदु O (0; 0) को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, खंड FM \u003d r को बिंदु M का फोकल त्रिज्या कहा जाता है समीकरण y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) भी परवलय को परिभाषित करते हैं।

1.5. शंकु वर्गों की निर्देशिका संपत्ति .

यहां हम यह साबित करते हैं कि प्रत्येक गैर-गोलाकार (गैर-पतित) शंकु खंड को बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एम, दूरी एमएफ का अनुपात जिसमें एक निश्चित बिंदु एफ से दूरी एमपी से एक निश्चित रेखा डी से नहीं गुजरती है बिंदु F एक स्थिर मान e के बराबर है: जहाँ F - शंकु खंड का फोकस, सीधी रेखा d डायरेक्ट्रिक्स है, और अनुपात e विलक्षणता है। (यदि बिंदु F, रेखा d से संबंधित है, तो स्थिति बिंदुओं के समुच्चय को निर्धारित करती है, जो कि रेखाओं का एक युग्म है, अर्थात, एक पतित शंक्वाकार खंड; e = 1 के लिए, रेखाओं का यह युग्म एक पंक्ति में विलीन हो जाता है। सिद्ध करने के लिए यह, रेखा l के चारों ओर घूमने से बने शंकु पर विचार करें, जो इसे सीधी रेखा p के बिंदु O पर प्रतिच्छेद करता है, जो l कोण b से बनता है< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

आइए हम एक गेंद K को शंकु में अंकित करें जो समतल p को बिंदु F पर स्पर्श करती है और शंकु को वृत्त S के अनुदिश स्पर्श करती है। हम वृत्त S के समतल y के साथ समतल p के प्रतिच्छेदन रेखा को d से निरूपित करते हैं।

अब हम समतल p और शंकु के प्रतिच्छेदन की रेखा A पर स्थित एक मनमाना बिंदु M को शंकु के शीर्ष O और बिंदु F से जोड़ते हैं, और M से रेखा d पर लंबवत MP को छोड़ते हैं; वृत्त S के साथ शंकु के जनरेटर MO के प्रतिच्छेदन बिंदु को E द्वारा भी निरूपित करते हैं।

इसके अलावा, MF = ME, एक बिंदु M से खींची गई गेंद K की दो स्पर्श रेखाओं के खंडों के रूप में।

इसके अलावा, खंड एमई शंकु के अक्ष पी के साथ एक स्थिर (यानी, बिंदु एम की पसंद से स्वतंत्र) कोण 6 बनाता है, और खंड एमपी एक निरंतर कोण β बनाता है; इसलिए, p अक्ष पर इन दो खंडों के अनुमान क्रमशः ME cos b और MP cos c के बराबर हैं।

लेकिन ये अनुमान मेल खाते हैं, क्योंकि ME और MP खंडों का मूल मूल M है, और उनके सिरे p-अक्ष के लंबवत y-तल में स्थित हैं।

इसलिए, ME cos b = MP cos c, या, चूंकि ME = MF, MF cos b = MP cos c, जहां से यह निम्नानुसार है कि

यह दिखाना भी आसान है कि यदि समतल p का बिंदु M शंकु से संबंधित नहीं है, तो। इस प्रकार, एक लंब वृत्तीय शंकु के प्रत्येक खंड को तल में बिंदुओं के एक समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसके लिए। दूसरी ओर, कोणों b और c के मानों को बदलकर, हम उत्केंद्रता को कोई भी मान e > 0 दे सकते हैं; इसके अलावा, समानता के विचारों से, यह समझना मुश्किल नहीं है कि फोकस से डायरेक्ट्रिक्स तक की दूरी FQ गेंद K की त्रिज्या r (या विमान p की दूरी d के शीर्ष O से सीधे आनुपातिक है) शंकु)। यह दिखाया जा सकता है कि, इस प्रकार, दूरी d को उचित रूप से चुनकर, हम दूरी FQ को कोई भी मान दे सकते हैं। इसलिए, बिंदु M का प्रत्येक सेट, जिसके लिए M से एक निश्चित बिंदु F और एक निश्चित रेखा d की दूरी का अनुपात एक स्थिर मान है, को एक लंब वृत्तीय शंकु के खंड में प्राप्त वक्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है। विमान। यह साबित करता है कि (गैर-पतित) शंकु वर्गों को इस उपखंड में चर्चा की गई संपत्ति द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है।

शंकु वर्गों के इस गुण को कहा जाता है निर्देशिका संपत्ति. यह स्पष्ट है कि यदि c > b, तो e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. दूसरी ओर, यह देखना आसान है कि यदि s > 6, तो समतल p शंकु को एक बंद परिबद्ध रेखा के अनुदिश काटता है; यदि c = b, तो समतल p शंकु को एक असीम रेखा के अनुदिश काटता है; मैं फ़िन< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

शंकु खंड जिसके लिए e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 अतिशयोक्ति कहलाती है। दीर्घवृत्त में एक वृत्त भी शामिल होता है, जिसे निर्देशिका गुण द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है; चूँकि एक वृत्त के लिए अनुपात 0 हो जाता है (क्योंकि इस मामले में β \u003d 90º), यह सशर्त रूप से माना जाता है कि वृत्त 0 की विलक्षणता वाला एक शंकु खंड है।

6. दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शंकु वर्गों के रूप में

शंकु खंड दीर्घवृत्त अतिपरवलय

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ मेनेचमस, जिन्होंने दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय की खोज की थी, ने उन्हें एक जनित्र के लंबवत समतल द्वारा वृत्ताकार शंकु के वर्गों के रूप में परिभाषित किया। उन्होंने परिणामी वक्रों को शंकु के अक्षीय कोण के आधार पर, न्यूनकोण, आयताकार और अधिक कोण वाले शंकुओं के वर्गों को बुलाया। पहला, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, एक दीर्घवृत्त है, दूसरा एक परवलय है, तीसरा एक अतिपरवलय की एक शाखा है। अपोलोनियस द्वारा "एलिप्स", "हाइपरबोला" और "पैराबोला" नाम पेश किए गए थे। अपोलोनियस "ऑन कॉनिक सेक्शन" का काम लगभग पूरी तरह से (आठ में से 7) हमारे पास आ गया है। इस काम में, अपोलोनियस शंकु के दोनों मंजिलों पर विचार करता है और शंकु को ऐसे विमानों से काटता है जो जरूरी नहीं कि किसी एक जनरेटर के लंबवत हों।

प्रमेय।एक समतल द्वारा किसी भी सीधे वृत्तीय शंकु का खंड (उसके शीर्ष से नहीं गुजरना) एक वक्र को परिभाषित करता है, जो केवल एक अतिपरवलय (चित्र 4), एक परवलय (चित्र 5) या एक दीर्घवृत्त (चित्र 6) हो सकता है। इसके अलावा, यदि समतल शंकु के केवल एक तल को एक बंद वक्र के अनुदिश काटता है, तो यह वक्र एक दीर्घवृत्त है; यदि एक समतल खुले वक्र के अनुदिश केवल एक तल को काटता है, तो यह वक्र एक परवलय है; यदि काटने वाला तल शंकु के दोनों तलों को काटता है, तो खंड में एक अतिपरवलय बनता है।

इस प्रमेय का एक सुंदर प्रमाण 1822 में डंडेलिन द्वारा गोले का उपयोग करके प्रस्तावित किया गया था, जिसे अब डंडेलिन क्षेत्र कहा जाता है। आइए इस प्रमाण को देखें।

आइए हम एक शंकु में दो गोले अंकित करें जो विभिन्न पक्षों से खंड के तल को स्पर्श करते हैं। इस तल और गोले के बीच के संपर्क बिंदुओं को F1 और F2 से निरूपित करें। आइए हम समतल P द्वारा शंकु की खंड रेखा पर एक मनमाना बिंदु M लेते हैं। M से गुजरने वाले शंकु के जनक पर, हम वृत्त k1 और k2 पर स्थित बिंदुओं P1 और P2 को चिह्नित करते हैं, जिसके साथ गोले स्पर्श करते हैं शंकु

यह स्पष्ट है कि MF1=MP1 M से निकलने वाले पहले गोले पर दो स्पर्शरेखाओं के खंडों के रूप में; इसी तरह, MF2=MP2. इसलिए, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2। खंड P1P2 की लंबाई हमारे खंड के सभी बिंदुओं M के लिए समान है: यह समानांतर विमानों 1 और 11 से घिरे एक काटे गए शंकु का जनक है, जिसमें वृत्त k1 और k2 स्थित हैं। इसलिए, समतल P द्वारा शंकु की खंड रेखा एक दीर्घवृत्त है जिसका फोकस F1 और F2 है। इस प्रमेय की वैधता को सामान्य स्थिति के आधार पर भी स्थापित किया जा सकता है कि एक विमान द्वारा दूसरे क्रम की सतह का प्रतिच्छेदन एक दूसरे क्रम की रेखा है।

साहित्य

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सार, जोड़ा गया 05.10.2008


अपोलोनियस के "शंकु खंड"। क्रांति के एक आयताकार शंकु के एक खंड के लिए वक्र समीकरण की व्युत्पत्ति। एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय के लिए एक परवलय के समीकरण की व्युत्पत्ति। शंकु वर्गों का अपरिवर्तन। अपोलोनियस के कार्यों में शंकु वर्गों के सिद्धांत का और विकास।

सार, जोड़ा गया 02/04/2010


शंकु के बारे में अवधारणा और ऐतिहासिक जानकारी, इसके तत्वों की विशेषताएं। शंकु के निर्माण की विशेषताएं और शंकु वर्गों के प्रकार। डंडेलिन क्षेत्र और उसके मापदंडों का निर्माण। शंकु वर्गों के गुणों का अनुप्रयोग। शंकु की सतहों के क्षेत्रों की गणना।

प्रस्तुति, जोड़ा गया 04/08/2012


वक्र की गणितीय अवधारणा। दूसरे क्रम के वक्र का सामान्य समीकरण। वृत्त, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय समीकरण। अतिपरवलय की सममिति की कुल्हाड़ियाँ। एक परवलय के आकार का अध्ययन। तीसरे और चौथे क्रम के वक्र। अंजेसी कर्ल, कार्टेशियन शीट।

थीसिस, जोड़ा 10/14/2011


पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए विभिन्न तरीकों की समीक्षा और लक्षण वर्णन, उनकी ताकत और कमजोरियों का निर्धारण। पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए एक सार्वभौमिक विधि के रूप में सहायक वर्गों की विधि। शोध विषय पर समस्या समाधान के उदाहरण।

प्रस्तुति, जोड़ा गया 01/19/2014


दूसरे क्रम के वक्र का सामान्य समीकरण। एक दीर्घवृत्त, एक वृत्त, एक अतिपरवलय और एक परवलय के समीकरण बनाना। हाइपरबोला की विलक्षणता। एक परवलय का फोकस और निर्देशन। सामान्य समीकरण का विहित रूप में परिवर्तन। अपरिवर्तनीय पर वक्र के प्रकार की निर्भरता।

प्रस्तुति, 11/10/2014 को जोड़ा गया


त्रिकोण ज्यामिति के तत्व: आइसोगोनल और आइसोटोमिक संयुग्मन, उल्लेखनीय बिंदु और रेखाएं। त्रिभुज के साथ जुड़े शंकु: शंकु वर्गों के गुण; शंक्वाकार एक त्रिभुज के चारों ओर घिरा हुआ है और उसमें खुदा हुआ है; समस्या समाधान के लिए आवेदन।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 06/17/2012


उच्च गणित में उपयोग किए जाने वाले दूसरे क्रम के वक्र के रूप में दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय। दूसरे क्रम के वक्र की अवधारणा एक समतल पर एक रेखा है, जो कुछ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है। पास्कल का प्रमेय और ब्रायनचॉन का प्रमेय।

सार, जोड़ा गया 01/26/2011


घन को दोगुना करने की समस्या की उत्पत्ति पर (प्राचीन काल की पाँच प्रसिद्ध समस्याओं में से एक)। समस्या को हल करने का पहला ज्ञात प्रयास, अर्चित ऑफ़ टैरेंटम का समाधान। आर्किटास के बाद प्राचीन ग्रीस में समस्या का समाधान। मेनेचमस और एराटोस्थनीज के शंकु वर्गों का उपयोग करके समाधान।

सार, जोड़ा गया 04/13/2014


शंकु के मुख्य प्रकार के खंड। शंकु (अक्षीय) की धुरी और उसके शीर्ष (त्रिकोण) के माध्यम से गुजरने वाले विमान द्वारा गठित एक खंड। अक्ष के समानांतर (पैराबोला), लंबवत (सर्कल) और लंबवत (दीर्घवृत्त) नहीं एक विमान द्वारा एक खंड का गठन।

मान लीजिए एक लम्ब वृत्तीय बेलन दिया गया है, प्रक्षेपणों का क्षैतिज तल इसके आधार के समानांतर है। जब एक सिलेंडर को सामान्य स्थिति में एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है (हम मानते हैं कि विमान सिलेंडर के आधारों को नहीं काटता है), प्रतिच्छेदन रेखा एक दीर्घवृत्त है, खंड में एक दीर्घवृत्त का आकार होता है, इसका क्षैतिज प्रक्षेपण इसके साथ मेल खाता है सिलेंडर के आधार का प्रक्षेपण, और सामने भी एक दीर्घवृत्त का आकार है। लेकिन अगर काटने वाला विमान सिलेंडर अक्ष के साथ 45 डिग्री के बराबर कोण बनाता है, तो खंड, जिसमें अंडाकार का आकार होता है, उस प्रक्षेपण विमान पर एक सर्कल द्वारा प्रक्षेपित किया जाता है जिसमें अनुभाग समान कोण पर झुका होता है।

यदि काटने वाला विमान सिलेंडर की पार्श्व सतह और उसके एक आधार (चित्र 8.6) को काटता है, तो प्रतिच्छेदन की रेखा में एक अपूर्ण दीर्घवृत्त (एक दीर्घवृत्त का भाग) का आकार होता है। इस मामले में अनुभाग का क्षैतिज प्रक्षेपण वृत्त (आधार का प्रक्षेपण) का हिस्सा है, और ललाट दीर्घवृत्त का हिस्सा है। विमान किसी भी प्रक्षेपण विमान के लंबवत स्थित हो सकता है, फिर खंड को इस प्रक्षेपण विमान पर एक सीधी रेखा (सेकेंट विमान के निशान का हिस्सा) द्वारा प्रक्षेपित किया जाएगा।

यदि सिलेंडर को जेनरेट्रिक्स के समानांतर एक विमान द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो पार्श्व सतह के साथ प्रतिच्छेदन की रेखाएं सीधी होती हैं, और अनुभाग में एक आयत का आकार होता है यदि सिलेंडर सीधा है, या एक समानांतर चतुर्भुज है यदि सिलेंडर झुका हुआ है।

जैसा कि आप जानते हैं, बेलन और शंकु दोनों शासित सतहों से बनते हैं।

सामान्य स्थिति में शासित सतह और समतल के प्रतिच्छेदन की रेखा (कट की रेखा) एक निश्चित वक्र है, जिसका निर्माण जनरेटर के सेकेंट प्लेन के चौराहे के बिंदुओं से किया जाता है।

दिया जाए सीधे गोलाकार शंकु।एक विमान के साथ इसे पार करते समय, चौराहे की रेखा का रूप ले सकता है: विमान के स्थान के आधार पर एक त्रिभुज, एक अंडाकार, एक चक्र, एक परवलय, एक हाइपरबोला (चित्र। 8.7)।

एक त्रिभुज प्राप्त होता है जब काटने वाला विमान, शंकु को पार करते हुए, इसके शीर्ष से गुजरता है। इस मामले में, पार्श्व सतह के साथ प्रतिच्छेदन की रेखाएं शंकु के शीर्ष पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएं हैं, जो आधार के प्रतिच्छेदन की रेखा के साथ, विरूपण के साथ प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपित एक त्रिकोण बनाती हैं। यदि समतल शंकु की धुरी को काटता है, तो उस खंड में एक त्रिभुज प्राप्त होता है, जिसमें शंकु के शीर्ष से मेल खाने वाला शीर्ष दिए गए शंकु के त्रिभुज वर्गों के लिए अधिकतम होगा। इस मामले में, अनुभाग को एक सीधी रेखा खंड द्वारा क्षैतिज प्रक्षेपण विमान (यह इसके आधार के समानांतर है) पर प्रक्षेपित किया जाता है।

एक समतल और एक शंकु के प्रतिच्छेदन की रेखा एक दीर्घवृत्त होगी यदि तल शंकु के किसी भी जनक के समानांतर नहीं है। यह इस तथ्य के बराबर है कि विमान सभी जनरेटर (शंकु की पूरी पार्श्व सतह) को काटता है। यदि काटने वाला विमान शंकु के आधार के समानांतर है, तो प्रतिच्छेदन रेखा एक वृत्त है, खंड को बिना विरूपण के क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर और ललाट तल पर - एक सीधी रेखा खंड के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है।

प्रतिच्छेदन रेखा एक परवलय होगी जब छेदक तल शंकु के केवल एक जनक के समानांतर होगा। यदि काटने वाला विमान एक ही समय में दो जनरेटर के समानांतर है, तो चौराहे की रेखा एक अतिपरवलय है।

एक काटे गए शंकु को प्राप्त किया जाता है यदि एक समकोणीय शंकु को आधार के समानांतर और शंकु के अक्ष के लंबवत समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, और ऊपरी भाग को त्याग दिया जाता है। मामले में जब क्षैतिज प्रक्षेपण विमान काटे गए शंकु के आधारों के समानांतर होता है, तो इन आधारों को संकेंद्रित वृत्तों द्वारा विरूपण के बिना क्षैतिज प्रक्षेपण विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है, और ललाट प्रक्षेपण एक समलम्बाकार होता है। जब एक काटे गए शंकु को एक समतल द्वारा प्रतिच्छेदित किया जाता है, तो उसके स्थान के आधार पर, कट रेखा एक समलम्ब, दीर्घवृत्त, वृत्त, परवलय, अतिपरवलय या इनमें से किसी एक वक्र के भाग का रूप ले सकती है, जिसके सिरे एक से जुड़े होते हैं। सरल रेखा।