इन या उन अलग-अलग मानों की गणना करने के लिए की गई कई गणनाओं में से एक त्रिभुज का कर्ण ढूंढ रहा है। याद रखें कि एक त्रिभुज तीन कोणों वाला एक बहुफलक होता है। नीचे विभिन्न त्रिभुजों के कर्ण की गणना करने के कई तरीके दिए गए हैं।

सबसे पहले, आइए देखें कि एक समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात करें। जो लोग भूल गए हैं, उनके लिए एक समकोण त्रिभुज 90 डिग्री के कोण वाला त्रिभुज होता है। त्रिभुज की वह भुजा जो समकोण के विपरीत दिशा में होती है, कर्ण कहलाती है। इसके अलावा, यह त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। ज्ञात मूल्यों के आधार पर, कर्ण की लंबाई की गणना निम्नानुसार की जाती है:

• पैरों की लंबाई ज्ञात है। इस मामले में कर्ण की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है, जो इस प्रकार है: कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यदि हम एक समकोण त्रिभुज BKF पर विचार करें, जहाँ BK और KF पैर हैं, और FB कर्ण है, तो FB2=BK2+ KF2। पूर्वगामी से, यह निम्नानुसार है कि कर्ण की लंबाई की गणना करते समय, प्रत्येक पैर के मूल्यों को बारी-बारी से वर्ग करना आवश्यक है। फिर संख्याओं को जोड़ें और परिणाम का वर्गमूल लें।

एक उदाहरण पर विचार करें: एक समकोण त्रिभुज दिया गया है। एक पैर 3 सेमी, दूसरा 4 सेमी है। कर्ण ज्ञात कीजिए। समाधान इस तरह दिखता है।

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2। निकालें और FB=5cm प्राप्त करें।

• ज्ञात पैर (बीके) और उससे सटे कोण, जो कर्ण और इस पैर से बनता है। त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात करें? आइए हम ज्ञात कोण को α के रूप में निरूपित करें। गुण के अनुसार जो कहता है कि पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात इस पैर और कर्ण के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है। एक त्रिभुज को ध्यान में रखते हुए, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: FB= BK*cos(α)।
• पैर (KF) और एक ही कोण α ज्ञात हैं, केवल अब यह पहले से ही विपरीत होगा। इस मामले में कर्ण कैसे खोजें? आइए हम एक समकोण त्रिभुज के समान गुणों की ओर मुड़ें और पता करें कि पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात पैर के विपरीत कोण की ज्या के बराबर है। यानी एफबी = केएफ * पाप (α)।

आइए एक उदाहरण देखें। कर्ण FB के साथ समान समकोण त्रिभुज BKF दिया गया है। मान लें कि कोण F 30 डिग्री के बराबर है, दूसरा कोण B 60 डिग्री से मेल खाता है। पैर बीके भी ज्ञात है, जिसकी लंबाई 8 सेमी से मेल खाती है आप वांछित मूल्य की गणना निम्नानुसार कर सकते हैं:

FB=BK/cos60=8 सेमी.
एफबी = बीके / पाप 30 = 8 सेमी।

• (R) के लिए जाना जाता है, जो एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध है। ऐसी समस्या पर विचार करते समय कर्ण का पता कैसे लगाएं? एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के गुणों से, यह ज्ञात होता है कि ऐसे वृत्त का केंद्र कर्ण बिंदु के साथ मेल खाता है जो इसे आधा में विभाजित करता है। सरल शब्दों में, त्रिज्या आधे कर्ण से मेल खाती है। अत: कर्ण दो त्रिज्याओं के बराबर होता है। एफबी = 2 * आर। यदि एक समान समस्या दी जाती है, जिसमें त्रिज्या नहीं, बल्कि माध्यिका ज्ञात होती है, तो व्यक्ति को एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त के गुण पर ध्यान देना चाहिए, जो कहता है कि त्रिज्या खींची गई माध्यिका के बराबर है कर्ण को। इन सभी गुणों का उपयोग करके समस्या का समाधान उसी तरह किया जाता है।

यदि प्रश्न यह है कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे ज्ञात किया जाए, तो उसी पाइथागोरस प्रमेय की ओर मुड़ना आवश्यक है। लेकिन, सबसे पहले, याद रखें कि एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसमें दो समान भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज के मामले में, पैर समान भुजाएँ हैं। हमारे पास FB2=BK2+ KF2 है, लेकिन BK=KF के बाद से हमारे पास निम्नलिखित हैं: FB2=2 BK2, FB= BK√2

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय और एक समकोण त्रिभुज के गुणों को जानना, उन समस्याओं को हल करना जिनमें कर्ण की लंबाई की गणना करना आवश्यक है, बहुत सरल है। यदि सभी गुणों को याद रखना मुश्किल है, तो ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, तैयार किए गए सूत्र सीखें, जिसमें आप कर्ण की आवश्यक लंबाई की गणना कर सकते हैं।

एक समकोण त्रिभुज में एक पैर को जानने के बाद, आप त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करके दूसरे पैर और कर्ण को पा सकते हैं - एक ज्ञात कोण की ज्या और स्पर्शरेखा। चूँकि कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात इस कोण की ज्या के बराबर है, इसलिए, कर्ण को खोजने के लिए, पैर को कोण की ज्या से विभाजित किया जाना चाहिए। a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

दूसरा पैर ज्ञात कोण के स्पर्शरेखा से ज्ञात पैर के स्पर्शरेखा के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है। a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

एक समकोण त्रिभुज में अज्ञात कोण की गणना करने के लिए, आपको कोण α को 90 डिग्री से घटाना होगा। β=90°-α

पैर के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज की परिधि और क्षेत्र और इसके विपरीत कोण को दूसरे चरण और कर्ण के लिए पहले से प्राप्त अभिव्यक्तियों को सूत्रों में प्रतिस्थापित करके व्यक्त किया जा सकता है। P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 तन⁡α)

आप त्रिकोणमितीय संबंधों के माध्यम से भी ऊंचाई की गणना कर सकते हैं, लेकिन पहले से ही आंतरिक समकोण त्रिभुज में एक पक्ष है, जो इसे बनाता है। ऐसा करने के लिए, आपको इस तरह के त्रिभुज के कर्ण के रूप में पक्ष की आवश्यकता होती है, कोण β या α की कोज्या की ज्या से गुणा किया जाता है, क्योंकि त्रिकोणमितीय पहचान के अनुसार वे समतुल्य होते हैं। (अंजीर। 79.2) h=a cos⁡α

कर्ण की माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है या ज्ञात पैर a को दो ज्या α से विभाजित किया जाता है। टाँगों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम ज्ञात भुजाओं और कोणों के लिए सूत्रों को उपयुक्त रूप में लाते हैं। (अंजीर.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

चूँकि त्रिभुज में समकोण का समद्विभाजक दो भुजाओं का गुणनफल होता है और दो का मूल, इन भुजाओं के योग से विभाजित होता है, एक पैर को ज्ञात पैर के स्पर्शरेखा के अनुपात से बदलकर, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं अभिव्यक्ति। इसी तरह, अनुपात को दूसरे और तीसरे सूत्रों में प्रतिस्थापित करके, कोण α और β के द्विभाजक की गणना की जा सकती है। (अंजीर.79.4) l_с=(a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (बी+सी)=√(बीसी(बी^2+2बीसी+सी^2-ए^2))/(बी+सी)=√(बीसी(बी^2+2बीसी+बी^2))/(बी +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

मध्य रेखा त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर चलती है, जबकि समान कोणों वाला एक और समकोण त्रिभुज बनाती है, जिसमें सभी भुजाएँ मूल आकार की आधी होती हैं। इसके आधार पर, केवल पैर और उसके विपरीत कोण को जानकर, निम्न सूत्रों का उपयोग करके मध्य रेखाएं पाई जा सकती हैं। (अंजीर.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या पैरों और कर्ण के बीच के अंतर के बराबर है, दो से विभाजित है, और परिचालित वृत्त की त्रिज्या को खोजने के लिए, आपको कर्ण को दो से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम दूसरे पैर और कर्ण को क्रमशः पैर के अनुपात के साथ साइन और स्पर्शरेखा के साथ बदलते हैं। (चित्र 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

इससे पहले कि आप किसी त्रिभुज का कर्ण ज्ञात करें, आपको यह पता लगाना होगा कि इस आकृति में क्या विशेषताएं हैं। आइए मुख्य पर विचार करें:

1. एक समकोण त्रिभुज में, दोनों न्यून कोणों का योग 90º तक होता है।
2. 30º के कोण के विपरीत लेटा हुआ एक पैर कर्ण के ½ के बराबर होगा।
3. यदि पैर कर्ण के मान के ½ के बराबर है, तो दूसरे कोण का मान समान होगा - 30º।

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण खोजने के कई तरीके हैं। सबसे सरल उपाय पैरों के माध्यम से गणना है। मान लीजिए कि आप पक्षों ए और बी के पैरों के मूल्यों को जानते हैं। तब पाइथागोरस प्रमेय बचाव में आता है, हमें बताता है कि यदि हम प्रत्येक पैर के मूल्य को वर्गित करते हैं और प्राप्त आंकड़ों का योग करते हैं, तो हम यह पता लगाएंगे कि कर्ण क्या है है। इस प्रकार, हमें केवल वर्गमूल मान निकालने की आवश्यकता है:

उदाहरण के लिए, यदि पैर ए = 3 सेमी और पैर बी = 4 सेमी, तो गणना इस तरह दिखेगी:

कोण से कर्ण कैसे ज्ञात करें?

एक समकोण त्रिभुज में कर्ण किसके बराबर होता है, यह जानने में मदद करने का एक अन्य तरीका दिए गए कोण के माध्यम से गणना करना है। ऐसा करने के लिए, हमें साइन सूत्र के माध्यम से मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। मान लीजिए हम पैर (A) का मान और विपरीत कोण (α) का मान जानते हैं। तब संपूर्ण समाधान एक सूत्र में होता है: С=А/sin(α)।

उदाहरण के लिए, यदि पैर की लंबाई 40 सेमी और कोण 45° है, तो कर्ण की लंबाई निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है:

आप किसी दिए गए कोण की कोज्या द्वारा वांछित मान भी निर्धारित कर सकते हैं। मान लीजिए कि हम एक पैर (बी) और एक न्यून शामिल कोण (α) का मान जानते हैं। फिर समस्या को हल करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता होती है: С=В/ cos(α)।

उदाहरण के लिए, यदि पैर की लंबाई 50 सेमी और कोण 45° है, तो कर्ण की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

इस प्रकार, हमने त्रिभुज में कर्ण का पता लगाने के मुख्य तरीकों की जांच की। कार्य को हल करने के दौरान, उपलब्ध डेटा पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है, फिर अज्ञात मान खोजना काफी सरल होगा। आपको बस कुछ सूत्र जानने की जरूरत है और समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया सरल और सुखद हो जाएगी।

अनुदेश

पैर ए और बी के विपरीत कोण क्रमशः ए और बी द्वारा दर्शाए जाएंगे। परिभाषा के अनुसार, कर्ण, एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है (उसी समय, कर्ण तीव्र बनाता है त्रिभुज के अन्य पक्षों के साथ कोण)। आइए हम कर्ण की लंबाई को s से निरूपित करें।

आपको चाहिये होगा:
कैलकुलेटर।

पैर के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति का प्रयोग करें: a=sqrt(c^2-b^2), यदि आप कर्ण और दूसरे पैर के मूल्यों को जानते हैं। यह व्यंजक पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है, जिसमें कहा गया है कि त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। sqrt ऑपरेटर वर्गमूल लेने के लिए खड़ा है। चिन्ह "^2" का अर्थ है दूसरी शक्ति को ऊपर उठाना।

यदि आप कर्ण (c) और वांछित पैर के सामने के कोण को जानते हैं तो सूत्र a=c*sinA का उपयोग करें (हमने इस कोण को A के रूप में नामित किया है)।
यदि आप कर्ण (सी) और वांछित पैर के आसन्न कोण को जानते हैं तो पैर को खोजने के लिए अभिव्यक्ति a=c*cosB का उपयोग करें (हमने इस कोण को बी के रूप में नामित किया है)।
उस स्थिति में सूत्र a = b * tgA का उपयोग करके पैर की गणना करें जब लेग b और वांछित पैर के विपरीत कोण दिया गया हो (हम इस कोण A को निरूपित करने के लिए सहमत हुए)।

टिप्पणी:
यदि आपके कार्य में वर्णित विधियों में से कोई भी पैर नहीं मिला है, तो सबसे अधिक संभावना है कि इसे उनमें से एक में घटाया जा सकता है।

सहायक संकेत:
ये सभी व्यंजक त्रिकोणमितीय फलनों की जानी-पहचानी परिभाषाओं से प्राप्त होते हैं, इसलिए यदि आप उनमें से किसी एक को भूल भी गए हों, तो भी आप इसे सरल संक्रियाओं के साथ हमेशा शीघ्रता से प्राप्त कर सकते हैं। साथ ही, 30, 45, 60, 90, 180 डिग्री के सबसे विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को जानना उपयोगी है।

वर्गमूल कर्ण और ज्ञात टांग के बीच के अंतर का वर्गमूल निकालने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। पैर को समकोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजा कहा जाता है। यह व्यंजक पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है, जिसमें कहा गया है कि त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

इससे पहले कि हम एक समकोण त्रिभुज में एक पैर खोजने के विभिन्न तरीकों को देखें, आइए कुछ अंकन लें। जाँच करें कि सूचीबद्ध मामलों में से कौन सा आपकी समस्या की स्थिति से मेल खाता है और इसके आधार पर, संबंधित पैराग्राफ का पालन करें। पता लगाएँ कि विचाराधीन त्रिभुज की कौन-सी मात्राएँ आपको ज्ञात हैं। पैर की गणना करने के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति का प्रयोग करें: a=sqrt(c^2-b^2), यदि आप कर्ण और दूसरे पैर के मूल्यों को जानते हैं।

इस ज्यामितीय आकृति के पक्षों और कोणों के बीच संबंधों पर त्रिकोणमिति के गणितीय अनुशासन में विस्तार से चर्चा की गई है। इस समीकरण को लागू करने के लिए, आपको एक समकोण त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई जानने की आवश्यकता है।

एक पैर की लंबाई की गणना करें, यदि कर्ण और दूसरे पैर के आयाम ज्ञात हैं। यदि समस्या में कर्ण और उससे सटे न्यून कोणों में से एक दिया गया है, तो ब्रैडी तालिकाओं का उपयोग करें।

आंतरिक त्रिभुज बाहरी त्रिभुज के समान होगा, क्योंकि मध्य रेखाएँ पैरों और कर्ण के समानांतर होती हैं, और उनके आधे भाग के बराबर होती हैं। चूंकि कर्ण अज्ञात है, मध्य रेखा M_c को खोजने के लिए, आपको पाइथागोरस प्रमेय से मूलक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

कर्ण समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। यह समकोण के विपरीत स्थित है। कर्ण की लंबाई विभिन्न तरीकों से पाई जा सकती है। यदि दोनों पैरों की लंबाई ज्ञात है, तो इसके आकार की गणना पाइथागोरस प्रमेय द्वारा की जाती है: दोनों पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। यह जानते हुए कि सभी कोणों का योग 180 ° है, हम समकोण और पहले से ज्ञात कोण को घटाते हैं।

समकोण त्रिभुज के मापदंडों की गणना करते समय, ज्ञात मूल्यों पर ध्यान देना और सरलतम सूत्र का उपयोग करके समस्या को हल करना महत्वपूर्ण है। सबसे पहले, आइए याद करें कि एक समकोण त्रिभुज क्या है। एक समकोण त्रिभुज तीन खंडों की एक ज्यामितीय आकृति होती है जो उन बिंदुओं को जोड़ती है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इस आकृति का एक कोण 90 डिग्री है। पैर की लंबाई का पता लगाने के कई तरीके हैं।

सूत्र: c²=a²+b², जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं

यदि हम कर्ण और पैर को जानते हैं, तो हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात पैर की लंबाई का पता लगा सकते हैं। ऐसा लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।" त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके पैर को खोजने के लिए चार विकल्प हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट द्वारा। कोण की ज्या (पाप) कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है। सूत्र: पाप \u003d ए / सी, जहां ए दिए गए कोण के विपरीत पैर है, और सी कर्ण है।

समकोण त्रिभुजों के असामान्य गुणों की खोज प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पाइथागोरस ने की थी, जिन्होंने पाया कि ऐसे त्रिभुजों में कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

ऊंचाई त्रिभुज के किसी भी शीर्ष से विपरीत दिशा में (या अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए इसका विस्तार) लंबवत है। त्रिभुज की ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे लंबकेन्द्र कहते हैं। यदि यह एक मनमाना समकोण त्रिभुज है, तो पर्याप्त डेटा नहीं है।

साथ ही, 30, 45, 60, 90, 180 डिग्री के सबसे विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को जानना उपयोगी है। यदि शर्तें पैरों के आयामों को निर्दिष्ट करती हैं, तो कर्ण की लंबाई पाएं। जीवन में, हमें अक्सर गणित की समस्याओं का सामना करना पड़ता है: स्कूल में, विश्वविद्यालय में, और फिर अपने बच्चे को गृहकार्य में मदद करना।

अगला, हम सूत्र को रूपांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं: a=sin*c

समस्याओं को हल करने के लिए, नीचे दी गई तालिका हमारी मदद करेगी। आइए इन विकल्पों पर विचार करें। एक दिलचस्प विशेष मामला तब होता है जब एक न्यून कोण 30 डिग्री के बराबर होता है।

कुछ व्यवसायों के लोग दैनिक आधार पर गणित का सामना करेंगे।

यदि किसी समकोण त्रिभुज की कोई अन्य भुजा और कोई न्यून कोण ज्ञात हो तो अज्ञात पैर का पता लगाना भी संभव है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज की भुजा ज्ञात कीजिए। साथ ही, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं को ज्ञात चरों की संख्या के आधार पर विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।