चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं

चुंबकीय क्षेत्र, जैसे विद्युत क्षेत्र, को बल की रेखाओं का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जा सकता है। एक चुंबकीय क्षेत्र रेखा, या एक चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण रेखा, एक रेखा है, जिसकी स्पर्शरेखा प्रत्येक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है।

ए)	बी)	में)

चावल। 1.2. प्रत्यक्ष वर्तमान चुंबकीय क्षेत्र (ए) के बल की रेखाएं,

सर्कुलर करंट (बी), सोलनॉइड (सी)

बल की चुंबकीय रेखाएं, विद्युत रेखाओं की तरह, प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। वे इस तरह के घनत्व के साथ खींचे जाते हैं कि उनके लंबवत एक इकाई सतह को पार करने वाली रेखाओं की संख्या किसी दिए गए स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र के चुंबकीय प्रेरण के परिमाण के बराबर (या आनुपातिक) होती है।

अंजीर पर। 1.2 एप्रत्यक्ष वर्तमान क्षेत्र के बल की रेखाओं को दिखाया गया है, जो संकेंद्रित वृत्त हैं, जिसका केंद्र वर्तमान अक्ष पर स्थित है, और दिशा सही पेंच के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है (कंडक्टर में करंट को निर्देशित किया जाता है पाठक)।

चुंबकीय प्रेरण की रेखाओं को लोहे के बुरादे का उपयोग करके "दिखाया" जा सकता है जो अध्ययन के तहत क्षेत्र में चुम्बकित होते हैं और छोटी चुंबकीय सुइयों की तरह व्यवहार करते हैं। अंजीर पर। 1.2 बीवृत्तीय धारा के चुंबकीय क्षेत्र के बल की रेखाओं को दर्शाता है। परिनालिका का चुंबकीय क्षेत्र अंजीर में दिखाया गया है। 1.2 में.

चुंबकीय क्षेत्र के बल की रेखाएं बंद हैं। बंद बल रेखाओं वाले क्षेत्र कहलाते हैं भंवर क्षेत्र. जाहिर है, चुंबकीय क्षेत्र एक भंवर क्षेत्र है। यह एक चुंबकीय क्षेत्र और एक इलेक्ट्रोस्टैटिक के बीच आवश्यक अंतर है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में, बल की रेखाएं हमेशा खुली रहती हैं: वे विद्युत आवेशों पर शुरू और समाप्त होती हैं। बल की चुंबकीय रेखाओं का न तो आदि है और न ही अंत। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि प्रकृति में कोई चुंबकीय शुल्क नहीं है।

1.4. बायोट-सावर्ट-लाप्लास कानून

फ्रांसीसी भौतिकविदों जे। बायोट और एफ। सावार्ड ने 1820 में विभिन्न आकृतियों के पतले तारों से बहने वाली धाराओं द्वारा निर्मित चुंबकीय क्षेत्रों का एक अध्ययन किया। लैपलेस ने बायोट और सावर्ट द्वारा प्राप्त प्रयोगात्मक डेटा का विश्लेषण किया और एक संबंध स्थापित किया जिसे बायोट-सावर्ट-लाप्लास कानून कहा गया।

इस कानून के अनुसार, किसी भी धारा के चुंबकीय क्षेत्र के प्रेरण की गणना वर्तमान के अलग-अलग प्राथमिक वर्गों द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्रों के प्रेरण के वेक्टर योग (सुपरपोजिशन) के रूप में की जा सकती है। लंबाई के साथ एक वर्तमान तत्व द्वारा बनाए गए क्षेत्र के चुंबकीय प्रेरण के लिए, लैपलेस ने सूत्र प्राप्त किया:

, (1.3)

जहां एक वेक्टर है, कंडक्टर तत्व की लंबाई के बराबर मॉड्यूलो और वर्तमान के साथ दिशा में मेल खाता है (चित्र। 1.3); तत्व से उस बिंदु तक खींचा गया त्रिज्या सदिश है जहां ; त्रिज्या वेक्टर का मापांक है।

निस्संदेह, चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं अब सभी को ज्ञात हैं। कम से कम, स्कूल में भी, भौतिकी के पाठों में उनकी अभिव्यक्ति का प्रदर्शन किया जाता है। याद रखें कि कैसे शिक्षक ने कागज की एक शीट के नीचे एक स्थायी चुंबक (या दो भी, उनके ध्रुवों के उन्मुखीकरण को मिलाकर) रखा, और उसके ऊपर उसने श्रम प्रशिक्षण कक्ष में ली गई धातु का बुरादा डाला? यह बिल्कुल स्पष्ट है कि धातु को शीट पर रखा जाना था, लेकिन कुछ अजीब देखा गया था - रेखाएं स्पष्ट रूप से ट्रेस की गई थीं जिसके साथ भूरे रंग की रेखाएं थीं। सूचना - समान रूप से नहीं, बल्कि धारियों में। ये चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हैं। या यों कहें, उनकी अभिव्यक्ति। फिर क्या हुआ और इसे कैसे समझाया जा सकता है?

चलो दूर से शुरू करते हैं। दृश्यमान भौतिक दुनिया में हमारे साथ एक विशेष प्रकार का पदार्थ मौजूद है - एक चुंबकीय क्षेत्र। यह गतिमान प्राथमिक कणों या बड़े पिंडों की परस्पर क्रिया को सुनिश्चित करता है जिनमें एक विद्युत आवेश या एक प्राकृतिक विद्युत आवेश होता है और जो न केवल एक दूसरे से जुड़े होते हैं, बल्कि अक्सर खुद को उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, विद्युत प्रवाह को ले जाने वाला तार इसके चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ बनाता है। विपरीत भी सत्य है: एक बंद संवाहक सर्किट पर चुंबकीय क्षेत्रों को वैकल्पिक करने की क्रिया इसमें आवेश वाहकों की गति पैदा करती है। बाद की संपत्ति का उपयोग जनरेटर में किया जाता है जो सभी उपभोक्ताओं को विद्युत ऊर्जा की आपूर्ति करता है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का एक उल्लेखनीय उदाहरण प्रकाश है।

कंडक्टर के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के बल की रेखाएं घूमती हैं या, जो भी सच है, चुंबकीय प्रेरण के एक निर्देशित वेक्टर द्वारा विशेषता है। रोटेशन की दिशा गिलेट नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। संकेतित रेखाएं एक परंपरा हैं, क्योंकि क्षेत्र सभी दिशाओं में समान रूप से फैला हुआ है। बात यह है कि इसे अनंत संख्या में रेखाओं के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से कुछ में अधिक स्पष्ट तनाव होता है। यही कारण है कि कुछ "लाइनों" का स्पष्ट रूप से और चूरा में पता लगाया जाता है। दिलचस्प बात यह है कि चुंबकीय क्षेत्र के बल की रेखाएं कभी बाधित नहीं होती हैं, इसलिए स्पष्ट रूप से यह कहना असंभव है कि शुरुआत कहां है और अंत कहां है।

एक स्थायी चुंबक (या इसके समान एक विद्युत चुंबक) के मामले में, हमेशा दो ध्रुव होते हैं, जिन्हें पारंपरिक रूप से उत्तर और दक्षिण नाम दिया जाता है। इस मामले में उल्लिखित रेखाएं दोनों ध्रुवों को जोड़ने वाले छल्ले और अंडाकार हैं। कभी-कभी इसका वर्णन एकाधिकार के परस्पर क्रिया के संदर्भ में किया जाता है, लेकिन फिर एक विरोधाभास उत्पन्न होता है, जिसके अनुसार एकाधिकार को अलग नहीं किया जा सकता है। यही है, चुंबक को विभाजित करने के किसी भी प्रयास के परिणामस्वरूप कई द्विध्रुवीय भाग होंगे।

बल की रेखाओं के गुण बहुत रुचिकर हैं। हम पहले ही निरंतरता के बारे में बात कर चुके हैं, लेकिन एक कंडक्टर में विद्युत प्रवाह बनाने की क्षमता व्यावहारिक रुचि की है। इसका अर्थ इस प्रकार है: यदि कंडक्टर सर्किट को लाइनों द्वारा पार किया जाता है (या कंडक्टर स्वयं चुंबकीय क्षेत्र में घूम रहा है), तो सामग्री के परमाणुओं की बाहरी कक्षाओं में इलेक्ट्रॉनों को अतिरिक्त ऊर्जा प्रदान की जाती है, जिससे उन्हें अनुमति मिलती है स्वतंत्र निर्देशित आंदोलन शुरू करने के लिए। यह कहा जा सकता है कि चुंबकीय क्षेत्र क्रिस्टल जाली से आवेशित कणों को "नॉक आउट" करता प्रतीत होता है। इस घटना को विद्युत चुम्बकीय प्रेरण कहा जाता है और वर्तमान में प्राथमिक विद्युत ऊर्जा प्राप्त करने का मुख्य तरीका है। यह 1831 में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी माइकल फैराडे द्वारा प्रयोगात्मक रूप से खोजा गया था।

चुंबकीय क्षेत्रों का अध्ययन 1269 में शुरू हुआ, जब पी. पेरेग्रीन ने स्टील की सुइयों के साथ एक गोलाकार चुंबक की बातचीत की खोज की। लगभग 300 साल बाद, W. G. Colchester ने सुझाव दिया कि वह स्वयं दो ध्रुवों वाला एक विशाल चुंबक था। इसके अलावा, लोरेंत्ज़, मैक्सवेल, एम्पीयर, आइंस्टीन आदि जैसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों द्वारा चुंबकीय घटनाओं का अध्ययन किया गया था।

आइए एक साथ समझते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र क्या है। आखिरकार, कई लोग इस क्षेत्र में जीवन भर रहते हैं और इसके बारे में सोचते भी नहीं हैं। इसे ठीक करने का समय!

एक चुंबकीय क्षेत्र

एक चुंबकीय क्षेत्रएक विशेष प्रकार की बात है। यह गतिमान विद्युत आवेशों और उन पिंडों की क्रिया में प्रकट होता है जिनका अपना चुंबकीय क्षण (स्थायी चुम्बक) होता है।

महत्वपूर्ण: एक चुंबकीय क्षेत्र स्थिर आवेशों पर कार्य नहीं करता है! एक चुंबकीय क्षेत्र भी विद्युत आवेशों को स्थानांतरित करके, या एक समय-भिन्न विद्युत क्षेत्र द्वारा, या परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के चुंबकीय क्षणों द्वारा बनाया जाता है। यानी कोई भी तार जिससे होकर करंट प्रवाहित होता है वह भी चुम्बक बन जाता है !

एक पिंड जिसका अपना चुंबकीय क्षेत्र होता है।

चुम्बक में ध्रुव होते हैं जिन्हें उत्तर और दक्षिण कहते हैं। पदनाम "उत्तरी" और "दक्षिणी" केवल सुविधा के लिए दिए गए हैं (बिजली में "प्लस" और "माइनस" के रूप में)।

चुंबकीय क्षेत्र को द्वारा दर्शाया जाता है बल चुंबकीय रेखाएं. बल की रेखाएं निरंतर और बंद होती हैं, और उनकी दिशा हमेशा क्षेत्र बलों की दिशा से मेल खाती है। यदि धातु की छीलन एक स्थायी चुंबक के चारों ओर बिखरी हुई है, तो धातु के कण उत्तर से निकलने वाली और दक्षिणी ध्रुव में प्रवेश करने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की एक स्पष्ट तस्वीर दिखाएंगे। चुंबकीय क्षेत्र की ग्राफिकल विशेषता - बल की रेखाएं।

चुंबकीय क्षेत्र की विशेषताएं

चुंबकीय क्षेत्र की मुख्य विशेषताएं हैं चुंबकीय प्रेरण, चुंबकीय प्रवाहऔर चुम्बकीय भेद्यता. लेकिन चलो सब कुछ क्रम में बात करते हैं।

तुरंत, हम ध्यान दें कि माप की सभी इकाइयाँ सिस्टम में दी गई हैं एसआई.

चुंबकीय प्रेरण बी - वेक्टर भौतिक मात्रा, जो चुंबकीय क्षेत्र की मुख्य शक्ति विशेषता है। पत्र द्वारा निरूपित बी . चुंबकीय प्रेरण की माप की इकाई - टेस्ला(Tl).

चुंबकीय प्रेरण इंगित करता है कि एक क्षेत्र कितना मजबूत है, यह उस बल को निर्धारित करता है जिसके साथ वह आवेश पर कार्य करता है। इस बल को कहा जाता है लोरेंत्ज़ बल.

यहां क्यू - शुल्क, वी - चुंबकीय क्षेत्र में इसकी गति, बी - प्रवेश, एफ लोरेंत्ज़ बल है जिसके साथ क्षेत्र आवेश पर कार्य करता है।

एफ- समोच्च के क्षेत्र द्वारा चुंबकीय प्रेरण के उत्पाद के बराबर एक भौतिक मात्रा और प्रेरण वेक्टर के बीच कोसाइन और समोच्च के विमान के लिए सामान्य जिसके माध्यम से प्रवाह गुजरता है। चुंबकीय प्रवाह चुंबकीय क्षेत्र की एक अदिश विशेषता है।

हम कह सकते हैं कि चुंबकीय प्रवाह एक इकाई क्षेत्र में प्रवेश करने वाली चुंबकीय प्रेरण लाइनों की संख्या को दर्शाता है। चुंबकीय प्रवाह को में मापा जाता है वेबरैच (पश्चिम बंगाल).

चुम्बकीय भेद्यतावह गुणांक है जो माध्यम के चुंबकीय गुणों को निर्धारित करता है। एक पैरामीटर जिस पर क्षेत्र का चुंबकीय प्रेरण निर्भर करता है वह चुंबकीय पारगम्यता है।

हमारा ग्रह कई अरब वर्षों से एक विशाल चुंबक रहा है। पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का प्रेरण निर्देशांक के आधार पर भिन्न होता है। भूमध्य रेखा पर, यह टेस्ला की माइनस पांचवीं शक्ति का लगभग 3.1 गुना 10 है। इसके अलावा, चुंबकीय विसंगतियां हैं, जहां क्षेत्र का मूल्य और दिशा पड़ोसी क्षेत्रों से काफी भिन्न होती है। ग्रह पर सबसे बड़ी चुंबकीय विसंगतियों में से एक - कुर्स्कीऔर ब्राजीलियाई चुंबकीय विसंगति.

पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र की उत्पत्ति अभी भी वैज्ञानिकों के लिए एक रहस्य है। यह माना जाता है कि क्षेत्र का स्रोत पृथ्वी का तरल धातु कोर है। कोर चल रहा है, जिसका अर्थ है कि पिघला हुआ लौह-निकल मिश्र धातु चल रहा है, और आवेशित कणों की गति विद्युत प्रवाह है जो चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। समस्या यह है कि यह सिद्धांत जियोडायनेमो) क्षेत्र को स्थिर कैसे रखा जाता है, इसकी व्याख्या नहीं करता है।

पृथ्वी एक विशाल चुंबकीय द्विध्रुव है।चुंबकीय ध्रुव भौगोलिक ध्रुवों के साथ मेल नहीं खाते, हालांकि वे निकटता में हैं। इसके अलावा, पृथ्वी के चुंबकीय ध्रुव गतिमान हैं। उनका विस्थापन 1885 से दर्ज किया गया है। उदाहरण के लिए, पिछले सौ वर्षों में, दक्षिणी गोलार्ध में चुंबकीय ध्रुव लगभग 900 किलोमीटर स्थानांतरित हो गया है और अब दक्षिणी महासागर में है। आर्कटिक गोलार्ध का ध्रुव आर्कटिक महासागर के पार पूर्वी साइबेरियाई चुंबकीय विसंगति की ओर बढ़ रहा है, इसकी गति (2004 के आंकड़ों के अनुसार) प्रति वर्ष लगभग 60 किलोमीटर थी। अब ध्रुवों की गति में तेजी आ रही है - औसतन, गति प्रति वर्ष 3 किलोमीटर बढ़ रही है।

पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का हमारे लिए क्या महत्व है?सबसे पहले, पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र ब्रह्मांडीय किरणों और सौर हवा से ग्रह की रक्षा करता है। गहरे अंतरिक्ष से आवेशित कण सीधे जमीन पर नहीं गिरते हैं, बल्कि एक विशाल चुंबक द्वारा विक्षेपित होते हैं और इसके बल की रेखाओं के साथ चलते हैं। इस प्रकार, सभी जीवित चीजें हानिकारक विकिरण से सुरक्षित हैं।

पृथ्वी के इतिहास के दौरान, कई हैं व्युत्क्रम(परिवर्तन) चुंबकीय ध्रुवों के। ध्रुव उलटाजब वे स्थान बदलते हैं। पिछली बार यह घटना लगभग 800 हजार साल पहले हुई थी, और पृथ्वी के इतिहास में 400 से अधिक भू-चुंबकीय उत्क्रमण हुए थे। कुछ वैज्ञानिकों का मानना ​​​​है कि, चुंबकीय ध्रुवों की गति के देखे गए त्वरण को देखते हुए, अगला ध्रुव उलटा होना चाहिए अगले कुछ हज़ार वर्षों में अपेक्षित है।

सौभाग्य से, हमारी सदी में ध्रुवों के उलट होने की कोई उम्मीद नहीं है। तो, आप चुंबकीय क्षेत्र के मुख्य गुणों और विशेषताओं पर विचार करते हुए, पृथ्वी के अच्छे पुराने निरंतर क्षेत्र में सुखद और जीवन का आनंद लेने के बारे में सोच सकते हैं। और इसलिए कि आप ऐसा कर सकते हैं, हमारे लेखक हैं, जिन्हें सफलता के भरोसे कुछ शैक्षिक परेशानियों का जिम्मा सौंपा जा सकता है! और अन्य प्रकार के काम आप लिंक पर ऑर्डर कर सकते हैं।

1. एक चुंबकीय क्षेत्र के साथ-साथ एक विद्युत क्षेत्र के गुणों का वर्णन अक्सर इस क्षेत्र की तथाकथित बल रेखाओं को ध्यान में रखकर बहुत सुविधाजनक होता है। परिभाषा के अनुसार, चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं रेखाएं कहलाती हैं, स्पर्शरेखाओं की दिशा जिस पर क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर एक ही बिंदु पर क्षेत्र की ताकत की दिशा के साथ मेल खाती है। इन रेखाओं के अवकल समीकरण में स्पष्ट रूप से समीकरण (10.3) का रूप होगा]

बल की चुंबकीय रेखाएं, जैसे विद्युत रेखाएं, आमतौर पर इस तरह से खींची जाती हैं कि क्षेत्र के किसी भी हिस्से में उनके लंबवत इकाई सतह के क्षेत्र को पार करने वाली रेखाओं की संख्या, यदि संभव हो, आनुपातिक है इस क्षेत्र पर क्षेत्र की ताकत; हालाँकि, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, यह आवश्यकता हमेशा संभव नहीं है।

2 समीकरण के आधार पर (3.6)

हम 10 में निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे: बल की विद्युत रेखाएं केवल उन बिंदुओं पर शुरू या समाप्त हो सकती हैं, जहां पर विद्युत आवेश स्थित हैं। गॉस प्रमेय (17) को चुंबकीय सदिश फ्लक्स पर लागू करने पर, हम समीकरण (47.1) के आधार पर प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, एक विद्युत वेक्टर के प्रवाह के विपरीत, एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से एक चुंबकीय वेक्टर का प्रवाह हमेशा शून्य के बराबर होता है। यह स्थिति इस तथ्य की गणितीय अभिव्यक्ति है कि विद्युत आवेशों के समान कोई चुंबकीय आवेश नहीं होते हैं: चुंबकीय क्षेत्र चुंबकीय आवेशों से नहीं, बल्कि विद्युत आवेशों (यानी, धाराओं) की गति से उत्तेजित होता है। इस स्थिति के आधार पर और समीकरण (3.6) के साथ समीकरण (53.2) की तुलना करने पर, 10 में दिए गए तर्क से यह सत्यापित करना आसान है कि क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर बल की चुंबकीय रेखाएँ न तो शुरू हो सकती हैं और न ही समाप्त हो सकती हैं

3. इस परिस्थिति से, आमतौर पर यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि विद्युत लाइनों के विपरीत, बल की चुंबकीय रेखाएं बंद रेखाएं होनी चाहिए या अनंत से अनंत तक जानी चाहिए।

दरअसल, ये दोनों मामले संभव हैं। 42 में समस्या 25 को हल करने के परिणामों के अनुसार, एक अनंत रेक्टिलाइनियर करंट के क्षेत्र में बल की रेखाएँ करंट के लंबवत वृत्त और करंट एक्सिस पर केंद्रित होती हैं। दूसरी ओर (समस्या 26 देखें), धारा के अक्ष पर स्थित सभी बिंदुओं पर एक वृत्ताकार धारा के क्षेत्र में चुंबकीय सदिश की दिशा इस अक्ष की दिशा के साथ मेल खाती है। इस प्रकार, वृत्ताकार धारा की धुरी अनंत से अनंत तक जाने वाली बल रेखा के साथ मेल खाती है; चित्र में दिखाया गया चित्र। 53, मेरिडियन प्लेन (यानी, प्लेन .) द्वारा सर्कुलर करंट का एक सेक्शन है

धारा के तल के लंबवत और उसके केंद्र से गुजरते हुए), जिस पर धराशायी रेखाएँ इस धारा के बल की रेखाएँ दिखाती हैं

हालांकि, एक तीसरा मामला भी संभव है, जिस पर हमेशा ध्यान नहीं दिया जाता है, अर्थात्: बल की एक पंक्ति का न तो शुरुआत हो सकती है और न ही अंत और साथ ही बंद नहीं हो सकता है और अनंत से अनंत तक नहीं जा सकता है। यह मामला तब होता है जब बल की रेखा एक निश्चित सतह को भरती है और इसके अलावा, गणितीय शब्द का उपयोग करके, इसे हर जगह घनी रूप से भरती है। इसे समझाने का सबसे आसान तरीका एक ठोस उदाहरण है।

4. दो धाराओं के क्षेत्र पर विचार करें - एक गोलाकार फ्लैट करंट और करंट एक्सिस के साथ बहने वाली एक अनंत रेक्टिलिनियर करंट (चित्र। 54)। यदि केवल एक धारा होती, तो इस धारा के क्षेत्र की क्षेत्र रेखाएँ मध्याह्न तलों में स्थित होतीं और उनका रूप पिछले चित्र में दिखाया गया होता। अंजीर में दिखाई गई इन पंक्तियों में से एक पर विचार करें। 54 धराशायी लाइन। इसके समान सभी रेखाओं की समग्रता, जो अक्ष के चारों ओर मेरिडियन प्लेन को घुमाकर प्राप्त की जा सकती है, एक निश्चित रिंग या टोरस (चित्र। 55) की सतह बनाती है।

रेक्टिलिनियर करंट फील्ड के बल की रेखाएं संकेंद्रित वृत्त हैं। इसलिए, सतह के प्रत्येक बिंदु पर, दोनों और इस सतह के स्पर्शरेखा हैं; इसलिए, परिणामी क्षेत्र का तीव्रता सदिश भी इसके स्पर्शरेखा है। इसका मतलब यह है कि सतह के एक बिंदु से गुजरने वाली क्षेत्र की प्रत्येक बल रेखा इस सतह पर अपने सभी बिंदुओं के साथ होनी चाहिए। यह लाइन स्पष्ट रूप से एक हेलिक्स होगी

टोरस की सतह इस हेलिक्स का प्रवाह धाराओं की ताकत के अनुपात और सतह की स्थिति और आकार पर निर्भर करेगा। यह स्पष्ट है कि केवल इन शर्तों के कुछ विशिष्ट चयन के तहत ही यह हेलिक्स बंद होगा; सामान्यतया, जब लाइन जारी रखी जाती है, तो इसके नए मोड़ पिछले मोड़ों के बीच होंगे। जब रेखा को अनिश्चित काल तक जारी रखा जाता है, तो वह किसी भी बिंदु को पार करने के लिए उतना ही करीब आ जाएगा, लेकिन यह दूसरी बार कभी नहीं लौटेगा। और इसका मतलब यह है कि, खुले रहते हुए, यह रेखा हर जगह टोरस की सतह को घनी रूप से भर देगी।

5. बल की गैर-बंद रेखाओं के अस्तित्व की संभावना को सख्ती से साबित करने के लिए, हम टोरस y (मेरिडियन प्लेन के अज़ीमुथ) की सतह पर ऑर्थोगोनल कर्विलिनियर निर्देशांक पेश करते हैं और (मेरिडियन प्लेन में ध्रुवीय कोण पर स्थित वर्टेक्स के साथ) रिंग की धुरी के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन - अंजीर। 54)।

टोरस की सतह पर क्षेत्र की ताकत केवल एक कोण का एक कार्य है, जिसमें वेक्टर इस कोण की वृद्धि (या कमी) की दिशा में निर्देशित होता है, और वेक्टर कोण की वृद्धि (या कमी) की दिशा में होता है। मान लीजिए कि सतह के किसी दिए गए बिंदु की टोरस की केंद्र रेखा से दूरी है, ऊर्ध्वाधर अक्ष से इसकी दूरी जैसा कि यह देखना आसान है, रेखा की लंबाई का तत्व सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

तदनुसार, बलों की रेखाओं का अंतर समीकरण [cf. समीकरण (53.1)] सतह पर रूप लेता है

यह ध्यान में रखते हुए कि वे धाराओं की ताकत और एकीकृत करने के लिए आनुपातिक हैं, हम प्राप्त करते हैं

जहां से कुछ कोण कार्य स्वतंत्र है।

लाइन को बंद करने के लिए, यानी, इसके शुरुआती बिंदु पर लौटने के लिए, यह आवश्यक है कि टोरस के चारों ओर रेखा के क्रांतियों की एक निश्चित पूर्णांक संख्या ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर इसके क्रांतियों की एक पूर्णांक संख्या के अनुरूप हो। दूसरे शब्दों में, यह आवश्यक है कि ऐसे दो पूर्णांक nm ज्ञात करना संभव हो, ताकि कोण में वृद्धि कोण में वृद्धि के अनुरूप हो

आइए अब हम इस बात पर ध्यान दें कि आवर्त के साथ कोण के आवर्त फलन का समाकल क्या होता है

सामान्य स्थिति में एक आवर्त फलन का एक आवर्त फलन और एक रैखिक फलन का योग होता है। माध्यम,

जहाँ K कुछ अचर है, वहाँ आवर्त के साथ एक फलन होता है इसलिए,

इसे पिछले समीकरण में पेश करते हुए, हम टोरस की सतह पर बल की रेखाओं के बंद होने की स्थिति प्राप्त करते हैं

यहाँ K स्वतंत्र मात्रा है। यह स्पष्ट है कि इस स्थिति को संतुष्ट करने वाली एड़ी के दो पूर्णांक केवल तभी पाए जा सकते हैं जब मान - K एक परिमेय संख्या (पूर्णांक या भिन्न) हो; यह केवल धाराओं के बलों के बीच एक निश्चित अनुपात के साथ होगा। सामान्यतया, - K एक अपरिमेय मात्रा होगी और इसलिए, विचाराधीन टोरस की सतह पर बल की रेखाएँ खुली होंगी। हालांकि, इस मामले में, आप हमेशा एक पूर्णांक चुन सकते हैं ताकि - मनमाने ढंग से कुछ पूर्णांक से थोड़ा अलग हो। इसका मतलब है कि बल की एक खुली रेखा, पर्याप्त संख्या में क्रांतियों के बाद, जितनी करीब आप चाहें उतनी करीब आ जाएंगी क्षेत्र एक बार पारित हो गया। इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि यह रेखा, पर्याप्त संख्या में चक्कर लगाने के बाद, सतह पर किसी भी पूर्व निर्धारित बिंदु के वांछित के रूप में करीब आ जाएगी, और इसका मतलब है, परिभाषा के अनुसार, यह इस सतह को हर जगह घनी रूप से भरती है।

6. हर जगह एक निश्चित सतह को घनी रूप से भरने वाली गैर-बंद चुंबकीय रेखाओं का अस्तित्व स्पष्ट रूप से इन रेखाओं का उपयोग करके क्षेत्र को सटीक रूप से चित्रित करना असंभव बनाता है। विशेष रूप से, इस आवश्यकता को पूरा करना हमेशा संभव नहीं होता है कि उनके लंबवत एक इकाई क्षेत्र को पार करने वाली रेखाओं की संख्या इस क्षेत्र पर क्षेत्र की ताकत के समानुपाती हो। इसलिए, उदाहरण के लिए, जिस मामले में अभी विचार किया गया है, वही खुली रेखा किसी भी परिमित क्षेत्र को अनंत बार काटती है जो रिंग की सतह को काटती है

हालांकि, उचित परिश्रम के साथ, बल की रेखाओं की अवधारणा का उपयोग, हालांकि अनुमानित है, लेकिन फिर भी चुंबकीय क्षेत्र का वर्णन करने का एक सुविधाजनक और उदाहरणात्मक तरीका है।

7. समीकरण (47.5) के अनुसार, वक्र के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर का संचलन जो धाराओं को कवर नहीं करता है, शून्य के बराबर है, जबकि वक्र के साथ परिसंचरण जो धाराओं को कवर करता है, कवर की गई धाराओं की ताकत के योग के बराबर है। (उचित संकेतों के साथ लिया गया)। क्षेत्र रेखा के साथ वेक्टर का संचलन शून्य के बराबर नहीं हो सकता है (क्षेत्र रेखा के लंबाई तत्व और वेक्टर के समानांतर होने के कारण, मान अनिवार्य रूप से सकारात्मक है)। इसलिए, प्रत्येक बंद चुंबकीय क्षेत्र रेखा को कम से कम एक वर्तमान-वाहक कंडक्टर को कवर करना चाहिए। इसके अलावा, बल की गैर-बंद रेखाएं कुछ सतह को घनी रूप से भरती हैं (जब तक कि वे अनंत से अनंत तक नहीं जाती हैं) को भी धाराओं के चारों ओर लपेटना चाहिए। वास्तव में, ऐसी रेखा के लगभग बंद मोड़ पर वेक्टर इंटीग्रल अनिवार्य रूप से सकारात्मक है। इसलिए, एक मनमाने ढंग से छोटे खंड को बंद करके इस कॉइल से प्राप्त बंद समोच्च के साथ परिसंचरण गैर-शून्य है। इसलिए, इस सर्किट को करंट से छेदना चाहिए।