आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि "रूट" किस तरह की अवधारणा है और "इसे किसके साथ खाया जाता है।" ऐसा करने के लिए, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनका आप पहले ही पाठों में सामना कर चुके हैं (ठीक है, या आपको बस इसका सामना करना होगा)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण है। इस समीकरण का हल क्या है? एक ही समय में किन संख्याओं को चुकता और प्राप्त किया जा सकता है? गुणन तालिका को याद करके, आप आसानी से उत्तर दे सकते हैं: और (क्योंकि जब आप दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते हैं, तो आपको एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है)! सरल बनाने के लिए, गणितज्ञों ने वर्गमूल की एक विशेष अवधारणा पेश की है और इसे एक विशेष प्रतीक सौंपा है।

आइए अंकगणितीय वर्गमूल को परिभाषित करें।

संख्या को गैर-ऋणात्मक क्यों होना चाहिए? उदाहरण के लिए, किसके बराबर है। ठीक है, आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं। शायद तीन? आइए देखें: और नहीं। शायद, ? दोबारा, जांचें: अच्छा, क्या यह चयनित नहीं है? यह उम्मीद की जानी चाहिए - क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता होने पर ऋणात्मक संख्या दे!
यह याद रखना चाहिए: मूल चिह्न के नीचे की संख्या या व्यंजक ऋणात्मक नहीं होना चाहिए!

हालांकि, सबसे चौकस लोगों ने शायद पहले ही देखा है कि परिभाषा कहती है कि "एक संख्या के वर्गमूल के समाधान को ऐसा कहा जाता है गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग ". आप में से कुछ कहेंगे कि शुरुआत में हमने उदाहरण का विश्लेषण किया, चयनित संख्याएं जिन्हें एक ही समय में चुकता और प्राप्त किया जा सकता है, उत्तर था और, और यहां यह किसी प्रकार की "गैर-ऋणात्मक संख्या" के बारे में बात कर रहा है! ऐसी टिप्पणी काफी उचित है। यहां केवल द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं और किसी संख्या के अंकगणितीय वर्गमूल के बीच अंतर करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यह एक अभिव्यक्ति के बराबर नहीं है।

यह इस प्रकार है, अर्थात्, या। (विषय "" पढ़ें)

और उसी का अनुसरण करता है।

बेशक, यह बहुत भ्रमित करने वाला है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि संकेत समीकरण को हल करने का परिणाम हैं, क्योंकि समीकरण को हल करते समय, हमें उन सभी एक्स को लिखना होगा, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर सही देंगे। नतीजा। हमारे द्विघात समीकरण में और दोनों फिट बैठता है।

हालांकि, यदि बस वर्गमूल लेंकिसी चीज से, फिर हमेशा हमें एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है.

अब इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। सब कुछ इतना सरल और सहज नहीं है, है ना? संख्याओं के माध्यम से छाँटने की कोशिश करें, शायद कुछ जल जाएगा? आइए शुरू से ही शुरू करते हैं - खरोंच से: - फिट नहीं है, आगे बढ़ें - तीन से कम, एक तरफ ब्रश भी करें, लेकिन क्या होगा। आइए देखें: - भी फिट नहीं है, क्योंकि यह तीन से अधिक है। नकारात्मक संख्याओं के साथ, वही कहानी निकलेगी। और अब क्या करें? क्या खोज ने हमें कुछ नहीं दिया? बिल्कुल नहीं, अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर कुछ संख्या के बीच में होगा, साथ ही साथ और के बीच भी। साथ ही, यह स्पष्ट है कि हल पूर्णांक नहीं होंगे। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं। तो, आगे क्या है? आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर समाधानों को चिह्नित करें।

आइए सिस्टम को चकमा देने की कोशिश करें और कैलकुलेटर के साथ उत्तर प्राप्त करें! आइए व्यापार की जड़ को बाहर निकालें! ओह-ओह-ओह, यह पता चला है। यह संख्या कभी समाप्त नहीं होती। आप इसे कैसे याद रख सकते हैं, क्योंकि परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं होगा! सब कुछ बहुत सरल है, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको एक अनुमानित मूल्य को याद रखने (या जल्दी से अनुमान लगाने में सक्षम) की आवश्यकता है। और जवाब खुद। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और ऐसी संख्याओं के अंकन को सरल बनाने के लिए वर्गमूल की अवधारणा पेश की गई थी।

आइए सुदृढ़ करने के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए निम्नलिखित समस्या का विश्लेषण करें: आपको एक वर्गाकार मैदान को किमी की भुजा के साथ तिरछे पार करने की आवश्यकता है, आपको कितने किमी जाना है?

यहाँ सबसे स्पष्ट बात यह है कि त्रिभुज पर अलग से विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:। इस तरह, । तो यहाँ आवश्यक दूरी क्या है? जाहिर है, दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती है, हमें वह मिलता है। दो का मूल लगभग बराबर है, लेकिन, जैसा कि हमने पहले उल्लेख किया है, पहले से ही एक पूर्ण उत्तर है।

ताकि उदाहरणों को जड़ों से हल करने से समस्या न हो, आपको उन्हें देखने और पहचानने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम संख्याओं के वर्गों को जानने की जरूरत है, साथ ही उन्हें पहचानने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आपको यह जानने की जरूरत है कि क्या चुकता है, और इसके विपरीत, क्या चुकता है।

क्या आपको पता चला कि वर्गमूल क्या होता है? फिर कुछ उदाहरण हल करें।

उदाहरण।

अच्छा, यह कैसे काम किया? आइए अब इन उदाहरणों को देखें:

उत्तर:

घनमूल

खैर, हमने वर्गमूल की अवधारणा को समझ लिया है, अब हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि घनमूल क्या है और उनका अंतर क्या है।

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या होती है जिसका घन बराबर होता है। क्या आपने देखा है कि यह कितना आसान है? घनमूल चिह्न और निकाले जाने वाले अंक दोनों के संभावित मूल्यों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। अर्थात् घनमूल किसी भी संख्या से लिया जा सकता है:।

समझ गए कि क्यूब रूट क्या है और इसे कैसे निकाला जाता है? फिर उदाहरणों के साथ आगे बढ़ें।

उदाहरण।

उत्तर:

जड़ - ओह डिग्री

खैर, हमने वर्ग और घनमूल की अवधारणाओं का पता लगाया। अब हम अवधारणा द्वारा प्राप्त ज्ञान का सामान्यीकरण करते हैं वें रूट.

वें रूटएक संख्या से वह संख्या होती है जिसका वां घात बराबर होता है, अर्थात।

के समान है।

अगर यहाँ तक कि, फिर:

• नकारात्मक के साथ, व्यंजक का कोई मतलब नहीं है (ऋणात्मक संख्याओं के सम-वें अंश की जड़ें निकाला नहीं जा सकता!);
• गैर-नकारात्मक के साथ() व्यंजक में एक ऋणात्मक जड़ होती है।

यदि - विषम है, तो व्यंजक में किसी के लिए एक ही मूल है।

घबराइए नहीं, यहां भी वही सिद्धांत लागू होते हैं जैसे वर्ग और घनमूल के साथ। अर्थात्, वर्गमूलों पर विचार करते समय हमने जिन सिद्धांतों को लागू किया, वे सम-थ डिग्री के सभी मूलों तक विस्तारित हैं।

और वे गुण जो घनमूल के लिए उपयोग किए गए थे वे विषम वें डिग्री की जड़ों पर लागू होते हैं।

अच्छा, यह स्पष्ट हो गया? आइए उदाहरणों के साथ समझते हैं:

यहां सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: पहले हम देखते हैं - हाँ, डिग्री सम है, जड़ के नीचे की संख्या धनात्मक है, इसलिए हमारा कार्य एक संख्या खोजना है जिसकी चौथी डिग्री हमें देगी। अच्छा, कोई अनुमान? शायद, ? बिल्कुल!

तो, डिग्री बराबर है - विषम, मूल के नीचे संख्या ऋणात्मक है। हमारा काम ऐसी संख्या को खोजना है, जो एक शक्ति तक बढ़ने पर निकली हो। जड़ को तुरंत नोटिस करना काफी मुश्किल है। हालांकि, आप अपनी खोज को तुरंत कम कर सकते हैं, है ना? सबसे पहले, वांछित संख्या निश्चित रूप से ऋणात्मक है, और दूसरी बात, यह देखा जा सकता है कि यह विषम है, और इसलिए वांछित संख्या विषम है। जड़ लेने की कोशिश करो। बेशक, और आप सुरक्षित रूप से एक तरफ ब्रश कर सकते हैं। शायद, ?

हाँ, यही हम खोज रहे थे! ध्यान दें कि गणना को सरल बनाने के लिए, हमने डिग्री के गुणों का उपयोग किया:।

जड़ों के मूल गुण

साफ़? यदि नहीं, तो उदाहरणों पर विचार करने के बाद, सब कुछ ठीक हो जाना चाहिए।

मूल गुणन

जड़ों को कैसे गुणा करें? सबसे सरल और सबसे बुनियादी संपत्ति इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करती है:

आइए एक साधारण से शुरू करें:

परिणामी संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं निकाली जाती हैं? चिंता न करें, यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

लेकिन क्या होगा अगर दो गुणक नहीं हैं, लेकिन अधिक हैं? वैसा ही! मूल गुणन सूत्र किसी भी कारक के साथ काम करता है:

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निश्चित रूप से, ट्रिपल को रूट के नीचे छिपाएं, जबकि याद रखें कि ट्रिपल किसका वर्गमूल है!

हमें इसकी जरूरत क्यों है? हां, उदाहरणों को हल करते समय अपनी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? जीवन को बहुत आसान बनाता है? मेरे लिए, यह सही है! आपको बस इतना याद रखना है कि हम सम अंश के मूल चिह्न के नीचे केवल धनात्मक संख्याएँ जोड़ सकते हैं.

आइए देखें कि यह और कहां काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, किसी कार्य में आपको दो संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है:

उतना अधिक:

आप सीधे बल्ले से नहीं कहेंगे। ठीक है, आइए मूल चिह्न के तहत एक संख्या जोड़ने की पार्स की गई संपत्ति का उपयोग करें? फिर आगे:

खैर, यह जानते हुए कि जड़ के चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, जड़ उतनी ही बड़ी होगी! वे। अगर मतलब। इससे हम दृढ़ता से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि और कोई हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

इससे पहले हमने जड़ के चिन्ह के नीचे एक गुणनखंड का परिचय दिया था, लेकिन इसे कैसे निकाला जाए? आपको बस इसे निकालने की जरूरत है और जो निकाला गया है उसे निकालने की जरूरत है!

दूसरी तरफ जाना और अन्य कारकों में विघटित होना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, तय करें कि आप कैसा महसूस करते हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन क्या होगा यदि यह विषम है? फिर से, शक्ति गुण लागू करें और सब कुछ कारक करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन किसी संख्या से एक अंश में मूल कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत आसान है, है ना? क्या होगा यदि डिग्री दो से अधिक है? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर यहाँ एक उदाहरण है:

ये नुकसान हैं, इनके बारे में हमेशा याद रखने लायक. यह वास्तव में संपत्ति के उदाहरणों पर एक प्रतिबिंब है:

विषम के लिए: सम और के लिए:

साफ़? इसे उदाहरणों के साथ ठीक करें:

हाँ, हम मूल को सम अंश तक देखते हैं, मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या भी सम अंश तक होती है। अच्छा, क्या यह वही काम करता है? और यहाँ क्या है:

बस इतना ही! अब यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

समझ गया? फिर उदाहरणों के साथ आगे बढ़ें।

उदाहरण।

उत्तर।

यदि आपको उत्तर मिल गए हैं, तो आप मन की शांति के साथ आगे बढ़ सकते हैं। यदि नहीं, तो आइए इन उदाहरणों को देखें:

आइए जड़ों के दो अन्य गुणों को देखें:

उदाहरणों में इन गुणों का विश्लेषण किया जाना चाहिए। अच्छा, क्या हम ऐसा करेंगे?

समझ गया? आइए इसे ठीक करें।

उदाहरण।

उत्तर।

जड़ें और उनके गुण। औसत स्तर

अंकगणित वर्गमूल

समीकरण के दो हल हैं: और। ये वे संख्याएँ हैं जिनका वर्ग बराबर है।

समीकरण पर विचार करें। आइए इसे ग्राफिक रूप से हल करें। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ और स्तर पर एक रेखा बनाएं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान होंगे। हम देखते हैं कि इस समीकरण के भी दो हल हैं - एक सकारात्मक, दूसरा नकारात्मक:

लेकिन इस मामले में, समाधान पूर्णांक नहीं हैं। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं। इन अपरिमेय निर्णयों को लिखने के लिए, हम एक विशेष वर्गमूल चिह्न का परिचय देते हैं।

अंकगणित वर्गमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग है। जब व्यंजक परिभाषित नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर हो।

वर्गमूल: .

उदाहरण के लिए, । और यह उसका अनुसरण करता है या।

फिर, यह बहुत महत्वपूर्ण है: वर्गमूल हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है: !

घनमूलसंख्या में से वह संख्या है जिसका घन बराबर है। घनमूल सभी के लिए परिभाषित है। इसे किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है: . जैसा कि आप देख सकते हैं, यह नकारात्मक मान भी ले सकता है।

किसी संख्या की th डिग्री का मूल वह संख्या होती है जिसकी th डिग्री बराबर होती है, अर्थात।

यदि - सम, तब:

• यदि, तो a का वां मूल परिभाषित नहीं है।
• यदि, तो समीकरण के अऋणात्मक मूल को th डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यदि - विषम है, तो समीकरण में किसी के लिए एक ही मूल होता है।

क्या आपने देखा है कि हम इसकी डिग्री को मूल चिह्न के ऊपर बाईं ओर लिखते हैं? लेकिन वर्गमूल के लिए नहीं! यदि आप बिना डिग्री के जड़ देखते हैं, तो वह वर्ग (डिग्री) है।

उदाहरण।

जड़ों के मूल गुण

जड़ें और उनके गुण। संक्षेप में मुख्य के बारे में

वर्गमूल (अंकगणित वर्गमूल)एक गैर-ऋणात्मक संख्या से कहा जाता है जैसे गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका वर्ग है

मूल गुण:

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

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"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

पाठ मकसद:

शिक्षात्मक: n-th डिग्री की जड़ के समग्र दृष्टिकोण के गठन के लिए स्थितियां बनाएं, विभिन्न समस्याओं को हल करने में जड़ के गुणों के जागरूक और तर्कसंगत उपयोग के कौशल।

शिक्षात्मक: एल्गोरिथम, रचनात्मक सोच के विकास के लिए स्थितियां बनाएं, आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करें।

शिक्षात्मक: विषय, गतिविधि में रुचि के विकास को बढ़ावा देना, काम में सटीकता पैदा करना, अपनी राय व्यक्त करने की क्षमता, सिफारिशें देना।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

नमस्कार! अच्छा घंटा!

मैं आपको देखकर कितना खुश हूं।

घंटी पहले ही बज चुकी है

सबक शुरू होता है।

वे मुस्कुराए। समतल किया गया।

एक दूसरे को देखा

और वे चुपचाप बैठ गए।

2. सबक प्रेरणा।

एक उत्कृष्ट फ्रांसीसी दार्शनिक, वैज्ञानिक ब्लेज़ पास्कल ने कहा: "मनुष्य की महानता उसकी सोचने की क्षमता में है।" आज हम अपने लिए ज्ञान की खोज करके महान लोगों की तरह महसूस करने की कोशिश करेंगे। आज के पाठ का आदर्श वाक्य प्राचीन यूनानी गणितज्ञ थेल्स के शब्द होंगे:

दुनिया में सबसे ज्यादा क्या है? - अंतरिक्ष।

सबसे तेज़ क्या है? - मन।

सबसे बुद्धिमान क्या है? - समय।

सबसे सुखद क्या है? - आप जो चाहते हैं उसे हासिल करें।

मैं चाहता हूं कि आप में से प्रत्येक आज के पाठ में वांछित परिणाम प्राप्त करें।

3. ज्ञान की प्राप्ति।

1. संख्याओं पर परस्पर प्रतिलोम बीजीय संक्रियाओं के नाम लिखिए। (जोड़ और घटाव, गुणा और भाग)

2. क्या विभाजन के रूप में ऐसी बीजीय संक्रिया करना हमेशा संभव है? (नहीं, आप शून्य से भाग नहीं दे सकते)

3. आप संख्याओं के साथ और कौन-सा ऑपरेशन कर सकते हैं? (घातांक)

4. उसका उल्टा कौन-सा ऑपरेशन होगा? (जड़ निष्कर्षण)

5. आप किस डिग्री रूट को निकाल सकते हैं? (दूसरा जड़)

6. वर्गमूल के कौन से गुण आप जानते हैं? (किसी उत्पाद से वर्गमूल निकालना, भागफल से, जड़ से, घातांक)

7. भावों के मान ज्ञात कीजिए:

इतिहास से। 4000 साल पहले भी, बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने गुणा तालिकाओं और पारस्परिक तालिकाओं (जिसकी मदद से संख्याओं के विभाजन को गुणा में घटाया गया था), संख्याओं के वर्गों की तालिका और संख्याओं के वर्गमूल के साथ संकलित किया। साथ ही, वे किसी भी पूर्णांक के वर्गमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने में सक्षम थे।

4. नई सामग्री सीखना।

जाहिर है, प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री के मूल गुणों के अनुसार, किसी भी सकारात्मक संख्या से सम डिग्री के मूल के दो विपरीत मूल्य होते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 4 और -4 16 की वर्गमूल हैं, चूंकि (-4) 2 \u003d 42 \u003d 16, और संख्या 3 और -3 81 की चौथी जड़ें हैं, क्योंकि (-3) 4 \u003d Z4 \u003d 81।

साथ ही, ऋणात्मक संख्या का कोई सम मूल नहीं होता, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या की सम घात ऋणात्मक नहीं होती है. जहाँ तक विषम घात के मूल का प्रश्न है, तो किसी भी वास्तविक संख्या के लिए इस संख्या से विषम घात का केवल एक मूल होता है। उदाहरण के लिए, 3 27 का तीसरा मूल है क्योंकि Z3 = 27, और -2 -32 का पाँचवाँ मूल है क्योंकि (-2)5 = 32।

एक धनात्मक संख्या से सम अंश की दो जड़ों के अस्तित्व के संबंध में, हम मूल की इस अस्पष्टता को समाप्त करने के लिए अंकगणितीय मूल की अवधारणा का परिचय देते हैं।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के n-वें मूल के एक गैर-ऋणात्मक मान को अंकगणितीय मूल कहा जाता है।

पद:- n-वें डिग्री का मूल।

संख्या n को अंकगणितीय मूल की घात कहा जाता है। यदि n = 2 है, तो मूल की डिग्री इंगित नहीं की जाती है और लिखा जाता है। दूसरी डिग्री के मूल को वर्गमूल कहा जाता है, और तीसरी डिग्री के मूल को घनमूल कहा जाता है।

बी, बी 2 = ए, ए 0, बी ≥ 0

बी, बीपी = ए, पी - यहां तक ​​कि ए 0, बी ≥ 0

पी - विषम ए, बी - कोई भी

गुण

1. , ए 0, बी ≥ 0

2. , ए 0, बी > 0

3. , एक 0

4. , एम, एन, के - प्राकृतिक संख्या

5. नई सामग्री का समेकन।

मौखिक कार्य

क) कौन से भाव समझ में आते हैं?

बी) चर के किन मूल्यों के लिए अभिव्यक्ति समझ में आता है?

#3, 4, 7, 9, 11 को हल करें।

6. शारीरिक शिक्षा।

सभी मामलों में संयम की जरूरत है,

इसे मुख्य नियम होने दें।

जिमनास्टिक करें, अगर आपने लंबे समय से सोचा है,

जिम्नास्टिक शरीर को थकाता नहीं है,

लेकिन यह पूरे शरीर को साफ करता है!

अपनी आँखें बंद करो, अपने शरीर को आराम करो

कल्पना कीजिए - तुम पक्षी हो, तुम अचानक उड़ गए!

अब तुम समुद्र में डॉल्फिन की तरह तैरते हो,

अब बगीचे में तुम पके सेब उठाओ।

बाएँ, दाएँ, चारों ओर देखा

अपनी आँखें खोलो और काम पर वापस जाओ!

7. स्वतंत्र कार्य।

के साथ जोड़े में काम करना 178 #1, #2.

8. डी / जेड।आइटम 10 (पृष्ठ 160-161) सीखें, संख्या 5, 6, 8, 12, 16 (1, 2) हल करें।

9. पाठ के परिणाम। गतिविधि का प्रतिबिंब।

क्या पाठ ने अपने उद्देश्य को प्राप्त किया?

आपने क्या सीखा?

वीडियो पाठ 2: डिग्री n> 1 . के मूल गुण

भाषण: डिग्री n > 1 का मूल और उसके गुण

जड़

मान लीजिए कि आपके पास एक समीकरण है जैसे:

इस समीकरण का हल x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d (-2) होगा। दोनों समाधान एक उत्तर के रूप में उपयुक्त हैं, क्योंकि समान मॉड्यूल वाली संख्याएं, जब एक सम घात तक बढ़ाई जाती हैं, तो वही परिणाम देती हैं।

यह एक साधारण उदाहरण था, तथापि, हम क्या कर सकते हैं, उदाहरण के लिए,

आइए फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने का प्रयास करें वाई = एक्स 2 . इसका ग्राफ एक परवलय है:

ग्राफ़ पर, आपको y \u003d 3 के मान के अनुरूप बिंदुओं को खोजने की आवश्यकता है। ये बिंदु हैं:

इसका मतलब है कि इस मान को पूर्णांक नहीं कहा जा सकता है, लेकिन इसे एक वर्गमूल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कोई जड़ है अपरिमेय संख्या. अपरिमेय संख्याओं में मूल, गैर-आवधिक अनंत भिन्न शामिल हैं।

वर्गमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या "ए" है, जिसकी मूल अभिव्यक्ति दी गई संख्या "ए" वर्ग के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

यानी, परिणामस्वरूप, हमें केवल एक सकारात्मक मूल्य मिलेगा। हालांकि, फॉर्म के द्विघात समीकरण के समाधान के रूप में

हल x 1 = 4, x 2 = (-4) होगा।

वर्गमूल गुण

1. x जो भी मान लेता है, यह व्यंजक किसी भी स्थिति में सत्य है:

2. वर्गमूल वाली संख्याओं की तुलना। इन संख्याओं की तुलना करने के लिए मूल चिह्न के नीचे एक और दूसरी दोनों संख्याओं को दर्ज करना आवश्यक है। वह संख्या अधिक होगी जिसका मूलक व्यंजक अधिक होगा।

हम रूट के चिन्ह के तहत नंबर 2 दर्ज करते हैं

अब हम संख्या 4 को मूल चिह्न के नीचे रखते हैं। इसके परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं

और केवल अब दो परिणामी अभिव्यक्तियों की तुलना की जा सकती है:

3. गुणक को जड़ के नीचे से हटाना।

यदि मूल अभिव्यक्ति को दो कारकों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से एक को जड़ के उप-चिह्न से निकाला जा सकता है, तो इस नियम का उपयोग किया जाना चाहिए।

4. इसके विपरीत एक गुण है - जड़ के नीचे एक गुणक का परिचय। हमने स्पष्ट रूप से इस संपत्ति का इस्तेमाल दूसरी संपत्ति में किया था।

जड़एन-वीं डिग्री और उसके गुण

जड़ क्या हैएनवें डिग्री? जड़ कैसे निकालें?

आठवीं कक्षा में, आप पहले से ही परिचित होने में कामयाब रहे वर्गमूल. हमने जड़ों के कुछ गुणों का उपयोग करते हुए, जड़ों के साथ विशिष्ट उदाहरणों को हल किया। यह भी तय किया द्विघातीय समीकरण, जहां वर्गमूल निकाले बिना - कोई रास्ता नहीं। लेकिन वर्गमूल एक व्यापक अवधारणा का सिर्फ एक विशेष मामला है - जड़ एन वें डिग्री . वर्ग के अलावा, उदाहरण के लिए, एक घनमूल, चौथी, पांचवीं और उच्च डिग्री की जड़ है। और ऐसी जड़ों के साथ सफल काम के लिए, वर्गमूल के साथ "आप" से शुरू करना अभी भी अच्छा होगा।) इसलिए, जिनके साथ समस्या है, मैं दृढ़ता से दोहराने की सलाह देता हूं।

जड़ निकालना घातांक के व्युत्क्रम संचालन में से एक है।) "इनमें से एक" क्यों? क्योंकि जड़ को निकाल कर हम ढूंढ रहे हैं आधारप्रसिद्ध के अनुसार डिग्री और संकेतक. और एक और उलटा ऑपरेशन है - खोज सूचकप्रसिद्ध के अनुसार डिग्री और आधार।इस ऑपरेशन को फाइंडिंग कहा जाता है लघुगणकयह जड़ निकालने की तुलना में अधिक जटिल है और इसका अध्ययन हाई स्कूल में किया जाता है।)

तो चलिए परिचित हो जाते हैं!

सबसे पहले, पदनाम। वर्गमूल, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, इस तरह निरूपित किया जाता है:। इस चिह्न को बहुत ही सुन्दर और वैज्ञानिक रूप से कहा जाता है - मौलिक. और अन्य डिग्री की जड़ें क्या हैं? यह बहुत आसान है: कट्टरपंथी की "पूंछ" के ऊपर, वे अतिरिक्त रूप से उस डिग्री का संकेतक लिखते हैं जिसकी जड़ मांगी जा रही है। यदि आप घनमूल की तलाश में हैं, तो एक तिहाई लिखें:। यदि चौथी डिग्री की जड़, तो, क्रमशः, . और इसी तरह।) सामान्य तौर पर, nth डिग्री की जड़ को इस तरह दर्शाया जाता है:

कहाँ पे ।

संख्याएक , जैसा कि वर्गमूल में होता है, कहलाता है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति और यहाँ संख्या हैएन यह हमारे लिए नया है। और बुलाया मूल सूचक .

किसी भी डिग्री की जड़ें कैसे निकालें? वर्ग वाले की तरह - पता लगाएँ कि कौन सी संख्या nth घात से हमें एक संख्या देती हैएक .)

उदाहरण के लिए, 8 का घनमूल कैसे निकालें? वह है ? और क्या नंबर घन हमें 8 देगा? ड्यूस, बिल्कुल।) तो वे लिखते हैं:

या । 81 की चौथी शक्ति की संख्या क्या है? तीन।) तो,

1 की दसवीं जड़ के बारे में क्या? खैर, यह कोई दिमाग की बात नहीं है कि किसी भी शक्ति (दसवें सहित) की एक इकाई एक के बराबर होती है। वह है:

और आम तौर पर बोल रहा हूँ।

शून्य के साथ, वही कहानी: किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए शून्य शून्य के बराबर है। वह है, ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वर्गमूल की तुलना में, यह पता लगाना पहले से ही अधिक कठिन है कि कौन सी संख्या हमें मूल संख्या एक डिग्री या किसी अन्य को देती हैएक . अधिक मुश्किल उठानाउत्तर दें और इसे घातांक द्वारा शुद्धता के लिए जांचेंएन . यदि आप व्यक्तिगत रूप से लोकप्रिय संख्याओं की डिग्री जानते हैं तो स्थिति बहुत आसान हो जाती है। तो अब हम प्रशिक्षण ले रहे हैं। :) हम डिग्री को पहचानते हैं!)

उत्तर (अव्यवस्था में):

हाँ हाँ! कार्यों से अधिक उत्तर हैं।) क्योंकि, उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी एक ही संख्या 256 हैं।

प्रशिक्षित? फिर हम उदाहरणों पर विचार करते हैं:

उत्तर (अव्यवस्था में भी): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

हो गई? आश्चर्यजनक! पर चलते हैं।)

जड़ प्रतिबंध। अंकगणितीय जड़एनवें डिग्री।

nth डिग्री की जड़ों में, साथ ही वर्ग में, सीमाएं और उनके चिप्स भी हैं। उनके मूल में, वे वर्गमूल के लिए उन प्रतिबंधों से अलग नहीं हैं।

उठाया नहीं जाता है, है ना? 3 क्या है, -3 से चौथी शक्ति क्या है +81 होगी। :) और किसी भी जड़ के साथ यहाँ तक कीएक ऋणात्मक संख्या से डिग्री एक ही गीत होगा। और इसका मतलब है कि ऋणात्मक संख्याओं से भी जड़ें निकालना असंभव है . यह गणित में निषिद्ध क्रिया है। जैसा कि शून्य से विभाजित करने से मना किया गया है। इसलिए, अभिव्यक्ति जैसे , और जैसे - कोई मतलब नहीं.

लेकिन जड़ें अजीबऋणात्मक संख्याओं की डिग्री - कृपया!

उदाहरण के लिए, ; , और इसी तरह।)

और सकारात्मक संख्याओं से, आप किसी भी मूल, किसी भी डिग्री को सुरक्षित रूप से निकाल सकते हैं:

सामान्य तौर पर, यह समझ में आता है, मुझे लगता है।) और, वैसे, जड़ को बिल्कुल निकालने की ज़रूरत नहीं है। ये सिर्फ उदाहरण हैं, विशुद्ध रूप से समझने के लिए।) ऐसा होता है कि हल करने की प्रक्रिया में (उदाहरण के लिए, समीकरण) बल्कि खराब जड़ें सामने आती हैं। कुछ इस तरह । आठ में से, घनमूल पूरी तरह से निकाला जाता है, और यहाँ सात जड़ के नीचे है। क्या करें? कोई बात नहीं। सब कुछ ठीक वैसा ही है।- यह वह संख्या है जिसे घन करने पर हमें 7 मिलेगा। केवल संख्या बहुत बदसूरत और झबरा है। यह रहा:

इसके अलावा, यह संख्या कभी समाप्त नहीं होती है और इसकी कोई अवधि नहीं होती है: संख्याएं पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से अनुसरण करती हैं। यह तर्कहीन है ... ऐसे मामलों में, उत्तर जड़ के रूप में छोड़ दिया जाता है।) लेकिन अगर जड़ को विशुद्ध रूप से निकाला जाता है (उदाहरण के लिए), तो, स्वाभाविक रूप से, जड़ की गणना और नीचे लिखी जानी चाहिए:

फिर से हम अपनी प्रायोगिक संख्या 81 लेते हैं और उसमें से चौथी जड़ निकालते हैं:

क्योंकि चौथे में तीन 81 होंगे। अच्छा, अच्छा! लेकिन घटा तीनचौथा भी होगा 81!

एक अस्पष्टता है:

और, इसे खत्म करने के लिए, जैसे वर्गमूल में, एक विशेष शब्द पेश किया गया था: अंकगणितीय जड़एनबीच से th डिग्री एक - यह उस तरह से गैर नकारात्मकसंख्या,एन- जिसकी डिग्री . के बराबर है एक .

और प्लस या माइनस वाले उत्तर को अलग तरह से कहा जाता है - बीजीय जड़एनवें डिग्री. किसी सम घात के लिए, बीजीय मूल होगा दो विपरीत संख्याएं. स्कूल में, वे केवल अंकगणितीय जड़ों के साथ काम करते हैं। इसलिए, अंकगणितीय जड़ों में ऋणात्मक संख्याओं को आसानी से छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, वे लिखते हैं: प्लस ही, ज़ाहिर है, नहीं लिखा है: it मतलब.

सब कुछ, ऐसा प्रतीत होता है, सरल है, लेकिन ... लेकिन नकारात्मक संख्याओं से एक विषम डिग्री की जड़ों के बारे में क्या? आखिरकार, निकालते समय हमेशा एक ऋणात्मक संख्या होती है! चूँकि किसी ऋणात्मक संख्या में विषम डिग्रीएक ऋणात्मक संख्या भी देता है। और अंकगणितीय मूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करता है! इसलिए यह अंकगणित है।)

ऐसी जड़ों में, वे ऐसा करते हैं: वे जड़ के नीचे से एक माइनस निकालते हैं और उसे जड़ के सामने रखते हैं। ऐशे ही:

ऐसे मामलों में कहा जाता है कि अंकगणित (यानी पहले से ही गैर-ऋणात्मक) रूट के रूप में व्यक्त किया गया .

लेकिन एक बात है जो भ्रमित करने वाली हो सकती है - यह है शक्तियों के साथ सरल समीकरणों का समाधान। उदाहरण के लिए, यहाँ एक समीकरण है:

हम उत्तर लिखते हैं: वास्तव में, यह उत्तर केवल एक संक्षिप्त संकेतन है दो जवाब:

यहाँ गलतफहमी यह है कि मैंने पहले ही थोड़ा ऊपर लिखा है कि स्कूल में केवल गैर-ऋणात्मक (अर्थात, अंकगणित) जड़ों पर विचार किया जाता है। और यहाँ माइनस के साथ उत्तरों में से एक है ... कैसे हो? बिल्कुल नहीं! यहाँ संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम. लेकिन जड़ ही- मान अभी भी गैर-ऋणात्मक है! अपने आप को देखो:

अच्छा, क्या यह अब स्पष्ट है? कोष्ठक के साथ?)

एक विषम डिग्री के साथ, सब कुछ बहुत सरल है - यह हमेशा निकलता है एकजड़। फायदा या नुकसान। उदाहरण के लिए:

तो अगर हम केवलहम संख्या से मूल (सम अंश का) निकालते हैं, तो हम हमेशा प्राप्त करते हैं एकगैर-नकारात्मक परिणाम। क्योंकि यह एक अंकगणितीय जड़ है। अब, अगर हम तय करते हैं समीकरणएक समान डिग्री के साथ, हम प्राप्त करते हैं दो विपरीत जड़ें, चूंकि यह है समीकरण का हल.

विषम डिग्री (घन, पांचवीं डिग्री, आदि) की जड़ों के साथ कोई समस्या नहीं है। हम अपने आप को निकालते हैं और संकेतों से स्नान नहीं करते हैं। प्लस अंडर रूट का मतलब प्लस के साथ निष्कर्षण का परिणाम है। माइनस का मतलब माइनस होता है।

और अब मिलने का समय है मूल गुण. कुछ वर्गमूल से हमें पहले से ही परिचित होंगे, लेकिन कुछ नए जोड़े जाएंगे। जाओ!

जड़ गुण। काम की जड़।

यह गुण हमें वर्गमूल से पहले से ही परिचित है। अन्य डिग्री की जड़ों के लिए, सब कुछ समान है:

वह है, उत्पाद की जड़ अलग-अलग प्रत्येक कारक की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है.

यदि संकेतकएन सम, तब दोनों मूलांकएक तथाबी बेशक, गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, अन्यथा सूत्र का कोई अर्थ नहीं है। एक विषम संकेतक के मामले में, कोई प्रतिबंध नहीं है: हम माइनस को जड़ों के नीचे से आगे ले जाते हैं और फिर अंकगणितीय जड़ों के साथ काम करते हैं।)

जैसा कि वर्गमूल में होता है, यहाँ यह सूत्र बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों के लिए समान रूप से उपयोगी है। सूत्र को बाएँ से दाएँ लगाने से आप जड़ों को निकाल सकते हैं काम से. उदाहरण के लिए:

वैसे, यह सूत्र न केवल दो के लिए, बल्कि कई कारकों के लिए मान्य है। उदाहरण के लिए:

इसके अलावा, इस सूत्र का उपयोग करके, आप बड़ी संख्या में जड़ें निकाल सकते हैं: इसके लिए, जड़ के नीचे की संख्या को छोटे कारकों में विघटित किया जाता है, और फिर जड़ों को प्रत्येक कारक से अलग निकाला जाता है।

उदाहरण के लिए, ऐसा कार्य:

संख्या काफी बड़ी है। क्या यह जड़ लेता है? चिकना- कैलकुलेटर के बिना भी यह स्पष्ट नहीं है। इसे कारक बनाना अच्छा होगा। संख्या 3375 किससे विभाज्य है? 5 तक, ऐसा लगता है: अंतिम अंक पांच है।) विभाजित करें:

ओह, फिर से 5 से विभाज्य! 675:5 = 135. और 135 को फिर से पांच से विभाजित किया जाता है। हाँ, यह कब समाप्त होगा?

135:5 = 27. 27 की संख्या के साथ, सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है - यह एक घन में तीन है। माध्यम,

फिर:

उन्होंने जड़ के टुकड़े को टुकड़े-टुकड़े कर लिया, ठीक है, ठीक है।)

या यह उदाहरण:

फिर से, हम विभाज्यता के संकेतों के अनुसार गुणनखंड करते हैं। क्या? 4 पर, क्योंकि संख्या 40 का अंतिम युग्म 4 से विभाज्य है और 10 से, क्योंकि अंतिम अंक शून्य है। तो, आप एक झपट्टा को एक बार में 40 से विभाजित कर सकते हैं:

संख्या 216 के बारे में, हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक छ: घन है। वह है,

और 40, बदले में, के रूप में विघटित किया जा सकता है। फिर

और फिर अंत में हमें मिलता है:

यह जड़ निकालने के लिए सफाई से काम नहीं करता था, ठीक है, यह ठीक है। वैसे भी, हमने अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है: हम जानते हैं कि रूट के नीचे सबसे छोटी संभव संख्या छोड़ने की प्रथा है (भले ही वर्ग, भले ही घन - कोई भी हो)। इस उदाहरण में, हमने एक बहुत ही उपयोगी ऑपरेशन किया है, जो पहले से ही परिचित भी है वर्गमूल से हमारे लिए। क्या आप पहचान रहे हैं? हाँ! हम सहाजड़ के नीचे से कारक। इस उदाहरण में, हमने एक ड्यूस और एक छक्का निकाला, अर्थात्। संख्या 12.

कारक को जड़ के चिन्ह से कैसे निकालें?

मूल चिह्न से परे गुणनखंड (या गुणनखंड) को निकालना बहुत आसान है। हम मूल अभिव्यक्ति को कारकों में विघटित करते हैं और जो निकाला जाता है उसे निकालते हैं।) और जो नहीं निकाला जाता है, हम उसे जड़ पर छोड़ देते हैं। देखना:

हम संख्या 9072 को कारकों में विघटित करते हैं। चूँकि हमारे पास चौथी डिग्री का मूल है, सबसे पहले हम उन कारकों में विघटित होने का प्रयास करते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं की चौथी शक्तियाँ हैं - 16, 81, आदि।

आइए 9072 को 16 से विभाजित करने का प्रयास करें:

साझा!

लेकिन 567 81 से विभाज्य प्रतीत होता है:

माध्यम, ।

फिर

जड़ गुण। जड़ गुणन।

अब सूत्र के विपरीत अनुप्रयोग पर विचार करें - दाएं से बाएं:

पहली नज़र में, कुछ भी नया नहीं है, लेकिन दिखावे धोखा दे रहे हैं।) सूत्र का उल्टा अनुप्रयोग हमारी क्षमताओं का बहुत विस्तार करता है। उदाहरण के लिए:

हम्म, तो इसमें गलत क्या है? उन्होंने सब कुछ गुणा किया। यहां वास्तव में कुछ खास नहीं है। जड़ों का सामान्य गुणन। और यहाँ एक उदाहरण है!

अलग-अलग, जड़ों को विशुद्ध रूप से कारकों से नहीं निकाला जाता है। लेकिन परिणाम उत्कृष्ट है।)

फिर, सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के लिए मान्य है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है:

यहां मुख्य बात ध्यान है। उदाहरण में शामिल है विभिन्नजड़ें घन और चौथी डिग्री हैं। और उनमें से कोई भी निश्चित रूप से निकाला नहीं जाता है ...

और जड़ों के गुणनफल का सूत्र केवल उन जड़ों पर लागू होता है जिनमें वहीसंकेतक। इसलिए, हम घन जड़ों को एक अलग ढेर में और एक अलग ढेर में - चौथी डिग्री में समूहित करते हैं। और वहाँ, आप देखते हैं, सब कुछ एक साथ बढ़ेगा।))

और मुझे कैलकुलेटर की जरूरत नहीं थी।

मूल चिह्न के नीचे गुणक कैसे जोड़ें?

अगली उपयोगी चीज है जड़ के नीचे एक संख्या दर्ज करना. उदाहरण के लिए:

क्या जड़ के अंदर ट्रिपल को हटाना संभव है? प्राथमिक! यदि ट्रिपल को में बदल दिया जाता है जड़, तब मूलों के गुणनफल का सूत्र कार्य करेगा। तो, हम तीनों को जड़ में बदल देते हैं। चूँकि हमारे पास चौथी डिग्री की जड़ है, तो हम इसे चौथी डिग्री के मूल में भी बदल देंगे।) इस तरह:

फिर

वैसे, रूट किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या से बनाया जा सकता है। इसके अलावा, जिस हद तक हम चाहते हैं (सब कुछ एक विशिष्ट उदाहरण पर निर्भर करता है)। यह इस संख्या की nth घात का मूल होगा:

और अब - ध्यान!बहुत सकल त्रुटियों का स्रोत! मैंने यहाँ बिना कुछ लिए कुछ नहीं कहा गैर नकारात्मकसंख्याएं। अंकगणितीय जड़ केवल ऐसे के साथ काम करती है। यदि हमारे पास कार्य में कहीं ऋणात्मक संख्या है, तो हम या तो माइनस को रूट के सामने छोड़ देते हैं (यदि यह बाहर है), या यदि यह अंदर है तो रूट के नीचे माइनस से छुटकारा पाएं। मैं आपको याद दिलाता हूं कि जड़ के नीचे यहाँ तक कीडिग्री एक ऋणात्मक संख्या हो जाती है, तो अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है.

उदाहरण के लिए, ऐसा कार्य। मूल चिह्न के नीचे गुणक दर्ज करें:

अगर हम अब जड़ ऋणदो, तो हम क्रूर रूप से गलत होंगे:

यहाँ क्या गलत है? और तथ्य यह है कि चौथी डिग्री, इसकी समता के कारण, इस माइनस को सुरक्षित रूप से "खा" गया, जिसके परिणामस्वरूप जानबूझकर नकारात्मक संख्या सकारात्मक में बदल गई। सही समाधान इस तरह दिखता है:

विषम डिग्री की जड़ों में, माइनस, हालांकि "खाया" नहीं है, इसे बाहर छोड़ना भी बेहतर है:

यहां एक विषम डिग्री का मूल घन है, और हमें ऋण को जड़ के नीचे भी चलाने का पूरा अधिकार है। लेकिन ऐसे उदाहरणों में यह बेहतर है कि माइनस को भी बाहर छोड़ दें और अंकगणित (गैर-ऋणात्मक) रूट के माध्यम से व्यक्त उत्तर लिखें, मूल के बाद से, हालांकि इसे जीवन का अधिकार है, लेकिन अंकगणित नहीं है.

तो, जड़ के नीचे एक संख्या की शुरूआत के साथ, सब कुछ भी स्पष्ट है, मुझे आशा है।) चलिए अगले गुण पर चलते हैं।

जड़ गुण। अंश की जड़। जड़ों का विभाजन।

यह गुण वर्गमूल के लिए भी इसे पूरी तरह से दोहराता है। केवल अब हम इसे किसी भी डिग्री की जड़ों तक बढ़ाते हैं:

भिन्न का मूल अंश का मूल है जो हर के मूल से विभाजित होता है.

यदि n सम है, तो संख्याएक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, और संख्याबी - सख्ती से सकारात्मक (आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)। एक विषम घातांक के मामले में, केवल बाधा होगी।

यह गुण आपको भिन्नों से जड़ों को आसानी से और जल्दी से निकालने की अनुमति देता है:

विचार स्पष्ट है, मुझे लगता है। पूरे अंश के साथ काम करने के बजाय, हम अलग-अलग अंश के साथ और अलग-अलग हर के साथ काम करने के लिए आगे बढ़ते हैं।) यदि अंश एक दशमलव या डरावनी, मिश्रित संख्या है, तो पहले हम सामान्य अंशों की ओर मुड़ते हैं:

अब देखते हैं कि यह फॉर्मूला दाएं से बाएं कैसे काम करता है। यहां भी, बहुत उपयोगी संभावनाएं सामने आती हैं। उदाहरण के लिए, यह उदाहरण:

जड़ों को अंश और हर से बिल्कुल नहीं निकाला जाता है, लेकिन पूरे अंश से यह ठीक है।) आप इस उदाहरण को एक अलग तरीके से हल कर सकते हैं - अंश में कारक को जड़ के नीचे से हटा दें, उसके बाद कमी करें:

जैसी आपकी इच्छा। उत्तर हमेशा एक ही होता है - सही। यदि आप रास्ते में गलती नहीं करते हैं।)

इसलिए, हमने जड़ों का गुणा / भाग निकाला। हम अगले चरण की ओर बढ़ते हैं और तीसरी संपत्ति पर विचार करते हैं - जड़ से डिग्री तथा डिग्री की जड़ .

जड़ से डिग्री तक। डिग्री की जड़.

एक शक्ति के लिए जड़ कैसे बढ़ाएं? उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास एक संख्या है। क्या इस संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाया जा सकता है? एक घन में, उदाहरण के लिए? बेशक! जड़ को अपने आप से तीन बार गुणा करें, और - जड़ों के गुणनफल के सूत्र के अनुसार:

यहाँ जड़ और डिग्री है मानोपारस्परिक रूप से रद्द या मुआवजा दिया गया। वास्तव में, यदि हम एक संख्या बढ़ाते हैं, जिसे घन करने पर, हमें एक तिगुना प्राप्त होता है, हम इसे उसी घन तक बढ़ा देते हैं, तो हमें क्या मिलेगा? तीन और निश्चित रूप से प्राप्त करें! और इसलिए यह किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए होगा। सामान्य रूप में:

यदि घातांक और मूल भिन्न हैं, तो कोई समस्या भी नहीं है। यदि आप डिग्री के गुणों को जानते हैं।)

यदि घातांक रूट के घातांक से कम है, तो हम बस घातांक को रूट के नीचे चलाते हैं:

सामान्य तौर पर यह होगा:

विचार स्पष्ट है: हम कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाते हैं, और फिर हम कारकों को जड़ के नीचे से निकालकर, यदि संभव हो तो इसे सरल बनाते हैं। यदि एकएन सीधे, तोएक गैर-नकारात्मक होना चाहिए। क्यों समझ में आता है, मुझे लगता है।) और अगरएन विषम, फिर कोई प्रतिबंध नहींएक पहले से ही चला गया:

चलो अब निपटते हैं डिग्री की जड़ . यानी जड़ ही नहीं उठकर शक्ति बन जाएगी, बल्कि कट्टरपंथी अभिव्यक्ति. यहां कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन त्रुटियों की बहुत अधिक गुंजाइश है। क्यों? क्योंकि नकारात्मक संख्याएँ चलन में आती हैं, जो संकेतों को भ्रमित कर सकती हैं। अभी के लिए, आइए विषम शक्तियों की जड़ों से शुरू करें - वे बहुत सरल हैं।

मान लीजिए कि हमारे पास संख्या 2 है। क्या हम इसे घन कर सकते हैं? बेशक!

और अब - आठ से क्यूब रूट को वापस निकालें:

उन्होंने एक ड्यूस के साथ शुरुआत की, और एक ड्यूस पर लौट आए।) कोई आश्चर्य नहीं: क्यूब को बढ़ाने से उलटा ऑपरेशन - क्यूब रूट निकालने से मुआवजा दिया गया था।

एक और उदाहरण:

यहां भी सब कुछ पटरी पर है। एक दूसरे की डिग्री और जड़ ने मुआवजा दिया। सामान्य तौर पर, विषम अंशों के मूल के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र लिख सकते हैं:

यह सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए मान्य हैएक . चाहे सकारात्मक हो या नकारात्मक।

अर्थात् विषम घात और समान घात का मूल सदैव एक-दूसरे की क्षतिपूर्ति करता है और मूलक व्यंजक प्राप्त होता है। :)

लेकिन इसके साथ यहाँ तक कीडिग्री, यह फोकस अब पास नहीं हो सकता है। अपने आप को देखो:

यहां अभी कुछ खास नहीं है। चौथी डिग्री और चौथी डिग्री की जड़ ने भी एक दूसरे को संतुलित किया और यह सिर्फ एक ड्यूस निकला, यानी। जड़ अभिव्यक्ति। और किसी के लिए गैर नकारात्मकनंबर समान होंगे। और अब हम इस रूट में दो को घटाकर दो से बदल देते हैं। तो चलिए इस तरह से एक रूट लेते हैं:

चौथी डिग्री के कारण ड्यूस का माइनस सुरक्षित रूप से "जला" गया। और जड़ निकालने के परिणामस्वरूप (अंकगणित!) हमें मिला सकारात्मकसंख्या। यह माइनस टू था, यह प्लस टू बन गया।) लेकिन अगर हम बिना सोचे-समझे डिग्री और रूट (समान!) को "कम" कर दें, तो हमें मिलेगा

जो सबसे बड़ी गलती है, हाँ।

इसलिए, के लिए यहाँ तक कीघातांक की जड़ का सूत्र इस प्रकार है:

यहां, मॉड्यूल साइन, कई लोगों द्वारा नापसंद किया गया था, लेकिन इसमें कुछ भी भयानक नहीं है: इसके लिए धन्यवाद, सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए भी काम करता हैएक। और मॉड्यूल बस विपक्ष को काट देता है:

केवल nवीं डिग्री की जड़ों में सम और विषम डिग्री के बीच एक अतिरिक्त अंतर दिखाई दिया। यहां तक ​​कि डिग्री, जैसा कि हम देखते हैं, अधिक सनकी हैं, हां।)

और अब आइए एक नई उपयोगी और बहुत ही रोचक संपत्ति पर विचार करें, जो पहले से ही nth डिग्री की जड़ों की विशेषता है: यदि रूट एक्सप्रेशन और रूट एक्सप्रेशन के घातांक को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, तो रूट का मान बदलेगा नहीं।

कुछ अंश की मूल संपत्ति की याद दिलाता है, है ना? भिन्नों में, हम अंश और हर को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा (विभाजित) भी कर सकते हैं। वास्तव में, जड़ों का यह गुण भिन्न के मूल गुण का भी परिणाम है। जब हमें पता चलता है एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्रीतब सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा। क्या, कैसे और कहाँ।)

इस सूत्र का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग हमें किसी भी मूल को किसी भी डिग्री से बिल्कुल सरल बनाने की अनुमति देता है। सहित, यदि मूल व्यंजक के घातांक और स्वयं मूल विभिन्न. उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

हम सरलता से कार्य करते हैं। शुरुआत के लिए, हम दसवीं से चौथी डिग्री को जड़ के नीचे से बाहर निकालते हैं और - आगे बढ़ते हैं! कैसे? डिग्री के गुणों से, बिल्कुल! हम गुणनखंड को जड़ के नीचे से निकालते हैं या अंश से जड़ के सूत्र के अनुसार कार्य करते हैं।

लेकिन आइए इस संपत्ति का उपयोग करके सरल करें। ऐसा करने के लिए, हम रूट के तहत चार का प्रतिनिधित्व करते हैं:

और अब - सबसे दिलचस्प - हम मानसिक रूप से कम करते हैंजड़ के नीचे सूचक (दो) मूल सूचक (चार) के साथ! और हमें मिलता है:

• एक गैर-ऋणात्मक संख्या a से एक प्राकृतिक डिग्री n>=2 का अंकगणितीय मूल कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या है, जब n की शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या प्राप्त होती है।

यह साबित किया जा सकता है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक a और प्राकृतिक n के लिए, समीकरण x^n=a का एक एकल गैर-ऋणात्मक मूल होगा। यह वह मूल है जिसे संख्या a से nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है।

संख्या a से nth डिग्री का अंकगणितीय मूल निम्नानुसार दर्शाया गया है n√a। इस मामले में संख्या a को मूल व्यंजक कहा जाता है।

दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को वर्गमूल कहा जाता है, और तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को घनमूल कहा जाता है।

nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल के मूल गुण

• 1. (एन√ए)^एन = ए।

उदाहरण के लिए, (5√2)^5 = 2.

यह गुण सीधे nth डिग्री के अंकगणितीय मूल की परिभाषा से आता है।

यदि a शून्य से बड़ा या बराबर है, b शून्य से बड़ा है, और n, m कुछ प्राकृतिक संख्याएँ हैं जैसे कि n 2 से बड़ा या बराबर है और m 2 से बड़ा या बराबर है, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं :

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

उदाहरण के लिए, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. एन√(ए/बी) = (एन√ए)/(एन√बी)।

उदाहरण के लिए, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5।

• 4. (एन√ए)^एम = एन√(ए^एम)।

उदाहरण के लिए, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. एम√ (एन√ए) = (एन * एम) ए।

उदाहरण के लिए, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

ध्यान दें कि गुण 2 में, संख्या b शून्य के बराबर हो सकती है, और गुण 4 में, संख्या m कोई भी पूर्णांक हो सकता है, बशर्ते कि a>0।

दूसरी संपत्ति का सबूत

अंतिम चार गुण समान रूप से सिद्ध होते हैं, इसलिए हम स्वयं को केवल दूसरे को साबित करने तक सीमित रखते हैं: n√(a*b)= n√a*n√b।

अंकगणितीय मूल की परिभाषा का उपयोग करके, हम सिद्ध करते हैं कि n√(a*b)= n√a*n√b.

ऐसा करने के लिए, हम दो तथ्यों को सिद्ध करते हैं कि n√a*n√b. शून्य से बड़ा या उसके बराबर, और वह (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b शून्य से बड़ा या उसके बराबर है, क्योंकि a और b दोनों शून्य से बड़े या बराबर हैं।
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b चूंकि (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.

क्यू.ई.डी. तो संपत्ति सच है। अंकगणितीय जड़ों वाले व्यंजकों को सरल बनाते समय इन गुणों का उपयोग अक्सर करना होगा।