किसी फ़ंक्शन की सीमा के गुणों को साबित करने में, हमने यह सुनिश्चित किया कि पंचर पड़ोस से वास्तव में कुछ भी आवश्यक नहीं था जिसमें हमारे कार्यों को परिभाषित किया गया था और जो पिछले पैराग्राफ के परिचय में बताए गए गुणों को छोड़कर सबूतों के दौरान उत्पन्न हुए थे। 2. यह परिस्थिति निम्नलिखित गणितीय वस्तु को अलग करने के औचित्य के रूप में कार्य करती है।

एक। आधार; परिभाषा और मुख्य उदाहरण

परिभाषा 11. एक समुच्चय X के उपसमुच्चय के समुच्चय B को समुच्चय X में आधार कहा जाएगा यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:

दूसरे शब्दों में, संग्रह बी के तत्व गैर-रिक्त सेट हैं, और उनमें से किन्हीं दो के प्रतिच्छेदन में एक ही संग्रह से कुछ तत्व होते हैं।

आइए विश्लेषण में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कुछ आधारों को इंगित करें।

यदि इसके बजाय वे लिखते हैं और कहते हैं कि x दाईं ओर से या बड़े मूल्यों की ओर से (क्रमशः, बाईं ओर से या छोटे मानों की ओर से) जाता है। जब के बजाय एक छोटा रिकॉर्ड स्वीकार किया जाता है

इसके बजाय रिकॉर्ड का उपयोग किया जाएगा इसका मतलब है कि a; सेट E से a की ओर जाता है, a से बड़ा (कम) रहता है।

फिर इसके बजाय वे लिखते हैं और कहते हैं कि एक्स प्लस इन्फिनिटी (क्रमशः, माइनस इनफिनिटी) की ओर जाता है।

इसके बजाय अंकन का उपयोग किया जाएगा

जब हम के बजाय (यदि यह गलतफहमी का कारण नहीं बनता है) हम लिखेंगे, जैसा कि एक अनुक्रम की सीमा के सिद्धांत में प्रथागत है,

ध्यान दें कि सभी सूचीबद्ध आधारों में यह विशेषता है कि आधार के किन्हीं दो तत्वों का प्रतिच्छेदन स्वयं इस आधार का एक तत्व है, और इसमें न केवल आधार का कुछ तत्व शामिल है। वास्तविक अक्ष पर नहीं दिए गए कार्यों का अध्ययन करते समय हम अन्य आधारों से मिलेंगे।

हम यह भी ध्यान दें कि यहां इस्तेमाल किया गया शब्द "आधार" गणित में "फ़िल्टर आधार" कहलाता है, और नीचे दी गई आधार सीमा आधुनिक फ्रेंच द्वारा बनाई गई फ़िल्टर सीमा की अवधारणा के विश्लेषण के लिए सबसे आवश्यक हिस्सा है। गणितज्ञ ए कार्टन

बी। बेस फंक्शन लिमिट

परिभाषा 12. मान लीजिए कि समुच्चय X पर एक फलन है; बी, एक्स में एक आधार है। एक संख्या को आधार बी के संबंध में फ़ंक्शन की सीमा कहा जाता है यदि बिंदु ए के किसी भी पड़ोस के लिए आधार का एक तत्व है जिसकी छवि पड़ोस में निहित है

यदि A, आधार B के संबंध में फलन की सीमा है, तो हम लिखते हैं

आइए तार्किक प्रतीकवाद में आधार द्वारा सीमा की परिभाषा को दोहराएं:

चूंकि अब हम संख्यात्मक मानों वाले कार्यों पर विचार कर रहे हैं, इसलिए इस मूल परिभाषा के निम्नलिखित रूप को ध्यान में रखना उपयोगी है:

इस फॉर्मूलेशन में, एक मनमानी पड़ोस वी (ए) के बजाय, हम एक पड़ोस लेते हैं जो सममित है (बिंदु ए के संबंध में) (ई-पड़ोस)। वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए इन परिभाषाओं की समानता इस तथ्य से होती है कि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एक बिंदु के किसी भी पड़ोस में एक ही बिंदु के कुछ सममित पड़ोस होते हैं (पूरे प्रमाण को पूरा करें!)

हमने आधार के संबंध में किसी फलन की सीमा की सामान्य परिभाषा दी है। ऊपर विश्लेषण में सबसे आम आधारों के उदाहरण माने गए। एक विशिष्ट समस्या में जहां इनमें से एक या दूसरा आधार दिखाई देता है, सामान्य परिभाषा को समझने और किसी विशेष आधार के लिए इसे लिखने में सक्षम होना आवश्यक है।

आधारों के उदाहरणों को ध्यान में रखते हुए, हमने, विशेष रूप से, अनंत के पड़ोस की अवधारणा को पेश किया। यदि हम इस अवधारणा का उपयोग करते हैं, तो सीमा की सामान्य परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित सम्मेलनों को अपनाना उचित है:

या, जो एक ही है,

आमतौर पर, इसका मतलब एक छोटा मूल्य है। उपरोक्त परिभाषाओं में, निश्चित रूप से, ऐसा नहीं है। स्वीकृत सम्मेलनों के अनुसार, उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं

एक मनमाना आधार पर एक सीमा के सामान्य मामले में सिद्ध माने जाने के लिए, सीमा पर उन सभी प्रमेयों को जो हमने एक विशेष आधार के लिए धारा 2 में सिद्ध किया है, उपयुक्त परिभाषा देना आवश्यक है: अंत में स्थिर, अंत में परिबद्ध, और कार्यों के दिए गए आधार के लिए असीम रूप से छोटा।

परिभाषा 13. किसी फलन को आधार B पर अंतिम रूप से स्थिर कहा जाता है, यदि कोई संख्या और आधार का ऐसा तत्व मौजूद हो, जिसके किसी बिंदु पर

फिलहाल, किए गए अवलोकन और इसके संबंध में पेश किए गए आधार की अवधारणा का मुख्य लाभ यह है कि वे हमें सीमा तक या हमारी वर्तमान शब्दावली में प्रत्येक विशिष्ट प्रकार के मार्ग के लिए सीमा प्रमेयों के चेक और औपचारिक प्रमाण से बचाते हैं। , प्रत्येक विशिष्ट प्रकार के ठिकानों के लिए

अंत में एक मनमाना आधार पर एक सीमा की अवधारणा के अभ्यस्त होने के लिए, हम एक सामान्य रूप में एक फ़ंक्शन की सीमा के आगे के गुणों को साबित करेंगे।

स्थिर संख्या एकबुलाया सीमा दृश्यों(x n ) यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिएε > 0 एक संख्या N है जैसे कि सभी मान एक्स एन, जिसके लिए n>N, असमानता को संतुष्ट करें

|एक्स एन - ए|< ε. (6.1)

इसे इस प्रकार लिखें: या x n →एक।

असमानता (6.1) दोहरी असमानता के बराबर है

ए-ε< x n < a + ε, (6.2)

जिसका अर्थ है कि अंक एक्स एन, किसी संख्या n>N से प्रारंभ करते हुए, अंतराल के अंदर लेटें (a-, ए + ), अर्थात। किसी भी छोटे में गिरनाε -बिंदु का पड़ोस एक.

जिस क्रम की एक सीमा होती है उसे कहते हैं अभिसारी, अन्यथा - विभिन्न.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, क्योंकि अनुक्रम की सीमा को पूर्णांक तर्क के फ़ंक्शन x n = f(n) की सीमा के रूप में माना जा सकता है एन.

मान लीजिए एक फलन f(x) दिया गया है और मान लीजिए एक - सीमा बिंदुइस फ़ंक्शन डी (एफ) की परिभाषा का डोमेन, यानी। ऐसा बिंदु, जिसके किसी भी पड़ोस में समुच्चय D(f) के बिंदु . से भिन्न हों एक. दूरसंचार विभाग एकसेट डी (एफ) से संबंधित हो सकता है या नहीं।

परिभाषा 1.अचर संख्या A कहलाती है सीमा कार्योंएफ (एक्स) परएक्स→a यदि तर्क मूल्यों के किसी अनुक्रम (x n ) के लिए एक, संगत अनुक्रम (f(x n)) की एक ही सीमा A है।

इस परिभाषा को कहा जाता है हाइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या " क्रम की भाषा में”.

परिभाषा 2. अचर संख्या A कहलाती है सीमा कार्योंएफ (एक्स) परएक्स→ए अगर, मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या दी गई है ε, कोई ऐसा पा सकता है>0 (ε . पर निर्भर करता है)), जो सभी के लिए एक्समें लेटा हुआ-एक संख्या के पड़ोस एक, अर्थात। के लिये एक्सअसमानता को संतुष्ट करना
0 < एक्स-ए< ε , फ़ंक्शन के मान f(x) में होंगे-संख्या A का पड़ोस, अर्थात्।|एफ(एक्स)-ए|< ε.

इस परिभाषा को कहा जाता है कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या "भाषा में - “.

परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं। यदि फलन f(x) x → . के रूप मेंएक है सीमा A के बराबर, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

. (6.3)

इस घटना में कि सन्निकटन की किसी भी विधि के लिए अनुक्रम (f(x n)) अनिश्चित काल तक बढ़ता (या घटता) है एक्सअपनी सीमा तक एक, तो हम कहेंगे कि फलन f(x) में है अनंत सीमा,और इसे इस प्रकार लिखें:

एक चर (अर्थात् एक अनुक्रम या फलन) जिसकी सीमा शून्य है, कहलाती है असीम रूप से छोटा।

एक चर जिसकी सीमा अनंत के बराबर होती है, कहलाती है असीम रूप से बड़ा.

व्यवहार में सीमा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित प्रमेयों का प्रयोग करें।

प्रमेय 1 . अगर हर सीमा मौजूद है

(6.4)

(6.5)

(6.6)

टिप्पणी. 0/0 जैसे भाव, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - अनिश्चित हैं, उदाहरण के लिए, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं का अनुपात, और इस प्रकार की सीमा ज्ञात करना "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहलाता है।

प्रमेय 2। (6.7)

वे। एक स्थिर घातांक पर डिग्री के आधार पर सीमा को पारित करना संभव है, विशेष रूप से, ;

(6.8)

(6.9)

प्रमेय 3.

(6.10)

(6.11)

कहाँ पे इ » 2.7 प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। सूत्र (6.10) और (6.11) प्रथम कहलाते हैं अद्भुत सीमाऔर दूसरी उल्लेखनीय सीमा।

सूत्र (6.11) के उपफलों का प्रयोग व्यवहार में भी किया जाता है:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

विशेष रूप से सीमा

यदि x → a और उसी समय x > a, फिर x . लिखिए→a + 0. यदि, विशेष रूप से, a = 0, तो प्रतीक 0+0 के बजाय कोई +0 लिखता है। इसी प्रकार, यदि x→ए और एक ही समय में x ए-0. नंबर और उसी के अनुसार नाम दिए गए हैं। सही सीमातथा बाईं सीमा कार्योंएफ (एक्स) बिंदु पर एक. फलन की सीमा के लिए f(x) का x→ . के रूप में अस्तित्व होनाa के लिए आवश्यक और पर्याप्त है . फलन f(x) कहलाता है निरंतर बिंदु पर x 0 अगर सीमा

. (6.15)

शर्त (6.15) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

अर्थात्, किसी फ़ंक्शन के संकेत के तहत सीमा तक जाना संभव है यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर है।

यदि समानता (6.15) का उल्लंघन होता है, तो हम कहते हैं कि परएक्स = एक्सओ समारोहएफ (एक्स) यह है अंतर।फलन y = 1/x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का डोमेन सेट है आर, x = 0 को छोड़कर। बिंदु x = 0 समुच्चय D(f) का एक सीमा बिंदु है, क्योंकि इसके किसी भी पड़ोस में, अर्थात, बिंदु 0 वाले किसी भी खुले अंतराल में D(f) से बिंदु होते हैं, लेकिन यह स्वयं इस सेट से संबंधित नहीं होता है। मान f(x o)= f(0) परिभाषित नहीं है, इसलिए फ़ंक्शन का बिंदु x o = 0 पर एक असंततता है।

फलन f(x) कहलाता है एक बिंदु पर दाईं ओर निरंतरएक्स ओ अगर सीमा

,

तथा एक बिंदु पर बाईं ओर निरंतरएक्स ओ अगर सीमा

.

एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता एक्स ओइस बिंदु पर दाईं और बाईं ओर इसकी निरंतरता के बराबर है।

एक बिंदु पर एक समारोह के निरंतर होने के लिए एक्स ओ, उदाहरण के लिए, दाईं ओर, यह आवश्यक है, सबसे पहले, कि एक सीमित सीमा है, और दूसरी बात, कि यह सीमा f(x o) के बराबर हो। इसलिए, यदि इन दोनों में से कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन में अंतराल होगा।

1. यदि सीमा मौजूद है और f(x o) के बराबर नहीं है, तो वे कहते हैं कि समारोहएफ (एक्स) बिंदु परएक्सओ है पहली तरह का ब्रेक,या कूदना.

2. यदि सीमा है+∞ या -∞ या मौजूद नहीं है, तो हम कहते हैं कि in बिंदुएक्स ओ समारोह में एक विराम है दूसरा प्रकार.

उदाहरण के लिए, फलन y = ctg x x . पर→ +0 की सीमा +∞ . के बराबर है, इसलिए, बिंदु x=0 पर इसमें दूसरी तरह की निरंतरता है। फलन y = E(x) ( . का पूर्णांक भाग) एक्स) पूर्णांक एब्सिसस वाले बिंदुओं पर पहली तरह की असंततता होती है, या कूदता है।

एक फलन जो अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, कहलाता है निरंतरमें । एक सतत फलन को एक ठोस वक्र द्वारा निरूपित किया जाता है।

कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह के कार्यों में शामिल हैं: चक्रवृद्धि ब्याज के कानून के अनुसार योगदान की वृद्धि, देश की जनसंख्या की वृद्धि, एक रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय, बैक्टीरिया का गुणन, आदि।

विचार करना हां। आई। पेरेलमैन का उदाहरण, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज की समस्या में। संख्या इएक सीमा है . बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के गठन में बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें। बैंक को 100 डेन लगाने दें। इकाइयों 100% प्रति वर्ष की दर से। अगर एक साल बाद ही तय पूंजी में ब्याज देने वाला पैसा जोड़ा जाए तो इस समय तक 100 डेन। इकाइयों 200 मांद में बदल जाएगा। अब देखते हैं कि 100 मांद क्या बन जाते हैं। इकाइयाँ, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन। इकाइयों 100 . तक बढ़ो× 1.5 \u003d 150, और एक और छह महीने के बाद - 150 . पर× 1.5 \u003d 225 (डेन। इकाइयाँ)। यदि वर्ष के प्रत्येक 1/3 भाग में परिग्रहण किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 मांद। इकाइयों 100 . में बदलो× (1 +1/3) 3 » 237 (डेन। इकाइयाँ)। हम ब्याज राशि को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष, और इसी तरह जोड़ने की समय सीमा बढ़ाएंगे। फिर 100 डेन में से। इकाइयों एक वर्ष बाद:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (अंदर। इकाइयाँ),

100 × (1+1/100) 100 »270 (डेन। इकाइयां),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (माध्यम। इकाइयाँ)।

ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, संचित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, लेकिन लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंच जाती है। प्रति वर्ष 100% पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हर सेकंड राजधानी में जोड़ा जाता है क्योंकि सीमा

उदाहरण 3.1।किसी संख्या अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम x n =(n-1)/n की सीमा 1 के बराबर है।

समाधान।हमें यह साबित करने की जरूरत है कि जो कुछ भीε > 0 हम लेते हैं, इसके लिए एक प्राकृतिक संख्या N है जैसे कि सभी n N के लिए असमानता|xn-1|< ε.

कोई भी e > 0 लीजिए। चूँकि ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, तो N खोजने के लिए यह असमानता को हल करने के लिए पर्याप्त है 1/n< इ। इसलिए n>1/ ई और, इसलिए, N को 1/ के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जा सकता हैई , एन = ई(1/ ई ) इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया कि सीमा .

उदाहरण 3.2 . एक उभयनिष्ठ पद द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए .

समाधान।सीमा योग प्रमेय लागू करें और प्रत्येक पद की सीमा ज्ञात करें। नहीं के लिए→ प्रत्येक पद का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और हम भागफल सीमा प्रमेय को सीधे लागू नहीं कर सकते। इसलिए, हम पहले रूपांतरित करते हैं एक्स एन, पहले पद के अंश और हर को विभाजित करके एन 2, और दूसरा एन. फिर, भागफल सीमा प्रमेय और योग सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं:

.

उदाहरण 3.3. . पाना ।

समाधान। .

यहां हमने डिग्री सीमा प्रमेय का उपयोग किया है: डिग्री की सीमा आधार की सीमा की डिग्री के बराबर है।

उदाहरण 3.4 . पाना ( ).

समाधान।अंतर सीमा प्रमेय को लागू करना असंभव है, क्योंकि हमारे पास फॉर्म की अनिश्चितता है ∞-∞ . आइए सामान्य शब्द के सूत्र को रूपांतरित करें:

.

उदाहरण 3.5 . एक फलन दिया गया है f(x)=2 1/x । साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।हम अनुक्रम के संदर्भ में किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा 1 का उपयोग करते हैं। एक अनुक्रम लें ( x n ) जो 0 में परिवर्तित होता है, अर्थात। आइए हम दिखाते हैं कि मान f(x n)= विभिन्न अनुक्रमों के लिए अलग-अलग व्यवहार करता है। मान लीजिए x n = 1/n। जाहिर है, फिर सीमा आइए अब इस रूप में चुनें एक्स एनएक सामान्य पद x n = -1/n के साथ एक अनुक्रम, जो शून्य की ओर भी प्रवृत्त होता है। इसलिए, कोई सीमा नहीं है।

उदाहरण 3.6 . साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।मान लीजिए x 1, x 2 ,..., x n ,... एक अनुक्रम है जिसके लिए
. अनुक्रम (f(x n)) = (sin x n ) भिन्न x n → के लिए कैसे व्यवहार करता है

यदि x n \u003d p n, तो पाप x n \u003d पाप p n = 0 सभी के लिए एनऔर सीमा if
xn=2 p n+ p /2, तब sin x n = sin(2 p n+ p/2) = sin p /2 = 1 सभी के लिए एनऔर इसलिए सीमा। इस प्रकार मौजूद नहीं है।

ऑनलाइन सीमा की गणना के लिए विजेट

शीर्ष बॉक्स में, sin(x)/x के बजाय, उस फ़ंक्शन को दर्ज करें जिसकी सीमा आप खोजना चाहते हैं। निचले बॉक्स में, वह संख्या दर्ज करें जिस पर x जाता है और कैलक्यूलर बटन पर क्लिक करें, वांछित सीमा प्राप्त करें। और अगर आप रिजल्ट विंडो में ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

फ़ंक्शन इनपुट नियम: sqrt(x) - वर्गमूल, cbrt(x) - घनमूल, exp(x) - घातांक, ln(x) - प्राकृतिक लघुगणक, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (एक्स) - स्पर्शरेखा, खाट (एक्स) - कोटैंजेंट, आर्क्सिन (एक्स) - आर्क्साइन, आर्ककोस (एक्स) - आर्ककोसाइन, आर्कटान (एक्स) - आर्कटैंगेंट। संकेत: * गुणा, / भाग, ^ घातांक, के बजाय अनंतताअनंतता। उदाहरण: फ़ंक्शन को sqrt(tan(x/2)) के रूप में दर्ज किया गया है।

मान लें कि फ़ंक्शन y=ƒ(x) को बिंदु x o के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, सिवाय, शायद, बिंदु x o के लिए।

आइए हम किसी बिंदु पर किसी फलन की सीमा की दो समतुल्य परिभाषाएँ बनाते हैं।

परिभाषा 1 ("अनुक्रमों की भाषा" में, या हेन के अनुसार)।

संख्या ए को फर्नेस x 0 (या x® x o) में फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x) की सीमा कहा जाता है, यदि तर्क x n, n N (x n ) के स्वीकार्य मूल्यों के किसी भी क्रम के लिए x 0) फ़ंक्शन (х n), n N के संगत मानों के अनुक्रम को x o में परिवर्तित करना, संख्या A में परिवर्तित होता है

इस मामले में, लिखें
या (x)->A x→x o पर। किसी फ़ंक्शन की सीमा का ज्यामितीय अर्थ: इसका मतलब है कि सभी बिंदुओं के लिए x पर्याप्त रूप से बिंदु x o के करीब है, फ़ंक्शन के संबंधित मान संख्या A से मनमाने ढंग से भिन्न होते हैं।

परिभाषा 2 ("ε की भाषा में", या कॉची के बाद)।

संख्या A को बिंदु x o (या x → x o पर) पर फलन की सीमा कहा जाता है, यदि किसी धनात्मक के लिए कोई धनात्मक संख्या है, जिससे सभी x¹ x o असमानता को संतुष्ट करते हैं |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

फ़ंक्शन सीमा का ज्यामितीय अर्थ:

यदि बिंदु A के किसी ε-पड़ोस के लिए बिंदु x o का ऐसा δ-पड़ोस ऐसा है कि इस δ-पड़ोस से सभी x¹ ho के लिए फ़ंक्शन (x) के संगत मान ε-पड़ोस में स्थित हैं दूसरे शब्दों में, फलन y = ƒ(x) के ग्राफ के बिंदु सीधी रेखाओं y=A+ ε , y=A-ε से घिरी चौड़ाई 2ε की एक पट्टी के अंदर स्थित हैं (चित्र 110 देखें) . जाहिर है, का मान की पसंद पर निर्भर करता है, इसलिए हम δ=δ(ε) लिखते हैं।

<< Пример 16.1

साबित करो

हल: एक मनमाना >0 लें, δ=δ(ε)>0 इस प्रकार ज्ञात करें कि सभी x असमानता को संतुष्ट करते हैं |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

δ=ε/2 लेते हुए, हम देखते हैं कि सभी x असमानता को संतुष्ट करते हैं |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. एकतरफा सीमा

फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा में, यह माना जाता है कि x किसी भी तरह से x 0 की ओर जाता है: x 0 से कम शेष (x 0 के बाईं ओर), x o से अधिक (x o के दाईं ओर), या उतार-चढ़ाव बिंदु x 0 के आसपास।

ऐसे मामले हैं जब तर्क x से xo तक पहुंचने की विधि फ़ंक्शन की सीमा के मान को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है। इसलिए, एकतरफा सीमा की अवधारणा पेश की जाती है।

संख्या A 1 को बिंदु x o पर बाईं ओर फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x) की सीमा कहा जाता है, यदि किसी संख्या ε> 0 के लिए एक संख्या δ \u003d δ (ε)> 0 है जैसे कि x के लिए є (x 0 -δ; x o), असमानता |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 या संक्षेप में: (x o- 0) \u003d A 1 (डिरिचलेट नोटेशन) (चित्र 111 देखें)।

दाईं ओर फ़ंक्शन की सीमा इसी तरह परिभाषित की गई है, हम इसे प्रतीकों का उपयोग करके लिखते हैं:

संक्षेप में, दायीं ओर की सीमा ƒ(x o +0)=A द्वारा निरूपित की जाती है।

बाएँ और दाएँ किसी फलन की सीमाएँ एकतरफा सीमाएँ कहलाती हैं। जाहिर है, अगर मौजूद है, तो दोनों एकतरफा सीमाएं मौजूद हैं, और A=A 1 =A 2 ।

विलोम कथन भी सत्य है: यदि दोनों सीमाएं ƒ(x 0 -0) और ƒ(x 0 +0) मौजूद हैं और वे बराबर हैं, तो एक सीमा है और A \u003d ƒ(x 0 -0)।

अगर ए 1 ए 2, तो यह गलियारा मौजूद नहीं है।

16.3. x ® . पर फलन की सीमा

मान लें कि फलन y=ƒ(x) अंतराल (-∞;∞) में परिभाषित है। नंबर ए कहा जाता है कार्य सीमा(एक्स) परएक्स→ ∞ , यदि किसी धनात्मक संख्या ε के लिए ऐसी संख्या М=М()>0 है कि सभी के लिए х असमानता को संतुष्ट करता है |х|>М असमानता |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

इस परिभाषा का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है: "ε>0 $ M>0 के लिए, कि x (-∞; -M) या x є(M; +∞) के लिए फ़ंक्शन के संगत मान ƒ( x) बिंदु A के ε-पड़ोस में आते हैं, अर्थात, ग्राफ़ के बिंदु चौड़ाई 2ε की एक पट्टी में स्थित होते हैं, जो सीधी रेखाओं y \u003d A + ε और y \u003d A-ε से बंधी होती है (चित्र 112 देखें) )

16.4. असीम रूप से बड़ा फलन (b.b.f.)

फ़ंक्शन y=ƒ(x) को x→x 0 के लिए अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि किसी संख्या M>0 के लिए एक संख्या δ=δ(M)>0 है, जो सभी x के लिए असमानता 0 को संतुष्ट करती है<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>एम।

उदाहरण के लिए, फलन y=1/(x-2) a b.b.f है। एक्स-> 2 पर।

यदि ƒ(x) x→x o के रूप में अनंत की ओर प्रवृत्त होता है और केवल सकारात्मक मान लेता है, तो हम लिखते हैं

यदि केवल ऋणात्मक मान हैं, तो

फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x), पूरी संख्या रेखा पर दिया गया है, अनंत कहा जाता है x→∞ के लिए, यदि किसी संख्या M>0 के लिए ऐसी संख्या N=N(M)>0 है कि सभी x असमानता को संतुष्ट करते हैं |x|>N, असमानता |ƒ(x)|>M संतुष्ट है . छोटा:

उदाहरण के लिए, y=2x में एक b.b.f है। एक्स → ∞ पर।

ध्यान दें कि यदि तर्क х, अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, केवल प्राकृतिक मान लेता है, अर्थात, N, तो संगत b.b.f. एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम बन जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम v n =n 2 +1, n N, एक अपरिमित रूप से बड़ा अनुक्रम है। जाहिर है, हर बी.बी.एफ. बिंदु x o के पड़ोस में इस पड़ोस में असीम है। विलोम सत्य नहीं है: एक असीमित फलन एक b.b.f. नहीं हो सकता है। (उदाहरण के लिए, y=xsinx।)

हालांकि, अगर limƒ(x)=A x→x 0 के लिए, जहां ए एक सीमित संख्या है, तो फ़ंक्शन ƒ(x) बिंदु x o के आसपास के क्षेत्र में घिरा हुआ है।

वास्तव में, फलन की सीमा की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि x → x 0 के लिए शर्त |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

आज पाठ में हम विश्लेषण करेंगे सख्त अनुक्रमणतथा किसी फ़ंक्शन की सीमा की सख्त परिभाषा, साथ ही साथ सैद्धांतिक प्रकृति की संबंधित समस्याओं को हल करना सीखें। लेख मुख्य रूप से प्राकृतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग विशिष्टताओं के प्रथम वर्ष के छात्रों के लिए अभिप्रेत है, जिन्होंने गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत का अध्ययन करना शुरू कर दिया है और उच्च गणित के इस खंड को समझने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ा है। इसके अलावा, सामग्री हाई स्कूल के छात्रों के लिए काफी सुलभ है।

साइट के अस्तित्व के वर्षों में, मुझे लगभग निम्नलिखित सामग्री के साथ एक दर्जन से अधिक पत्र प्राप्त हुए: "मैं गणितीय विश्लेषण को अच्छी तरह से नहीं समझता, मुझे क्या करना चाहिए?", "मैं मतन को बिल्कुल नहीं समझता, मैं ' मैं अपनी पढ़ाई छोड़ने की सोच रहा हूँ," आदि। दरअसल, यह मटन है जो अक्सर पहले सत्र के बाद छात्र समूह को पतला कर देता है। ऐसी बातें क्यों हैं? क्योंकि विषय अकल्पनीय रूप से जटिल है? बिल्कुल भी नहीं! गणितीय विश्लेषण का सिद्धांत इतना कठिन नहीं है जितना कि यह अजीबोगरीब है. और आपको उसे स्वीकार करने और उससे प्यार करने की ज़रूरत है कि वह कौन है =)

आइए सबसे कठिन मामले से शुरू करते हैं। सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण, स्कूल छोड़ना मत। ठीक से समझो, छोड़ो, उसके पास हमेशा समय होगा ;-) बेशक, अगर चुनी हुई विशेषता से एक या दो साल में यह आपको बीमार कर देगा, तो हाँ - आपको इसके बारे में सोचना चाहिए (और बुखार को कम मत करो!)गतिविधियों को बदलने के बारे में। लेकिन अभी के लिए यह जारी रखने लायक है। और, कृपया, "मुझे कुछ भी समझ में नहीं आता" वाक्यांश को भूल जाओ - ऐसा नहीं होता है कि आप कुछ भी नहीं समझते हैं।

अगर थ्योरी खराब हो तो क्या करें? वैसे, यह न केवल गणितीय विश्लेषण पर लागू होता है। यदि सिद्धांत खराब है, तो पहले आपको गंभीरता से अभ्यास करने की आवश्यकता है। एक ही समय में, दो रणनीतिक कार्य एक साथ हल किए जाते हैं:

- सबसे पहले, सैद्धांतिक ज्ञान का एक महत्वपूर्ण हिस्सा अभ्यास के माध्यम से आया है। और इतने सारे लोग थ्योरी के माध्यम से समझते हैं... - यह सही है! नहीं, नहीं, आपने इसके बारे में नहीं सोचा।

- और, दूसरी बात, व्यावहारिक कौशल परीक्षा में आपको "खिंचाव" करने की बहुत संभावना है, भले ही ..., लेकिन उस तरह से ट्यून न करें! सब कुछ वास्तविक है और काफी कम समय में सब कुछ वास्तव में "उठाया" जाता है। गणितीय विश्लेषण उच्च गणित का मेरा पसंदीदा खंड है, और इसलिए मैं आपकी मदद नहीं कर सकता, लेकिन आपकी मदद कर सकता हूं:

पहले सेमेस्टर की शुरुआत में, अनुक्रम सीमाएँ और कार्य सीमाएँ आमतौर पर बीत जाती हैं। समझ में नहीं आता कि यह क्या है और यह नहीं पता कि उन्हें कैसे हल किया जाए? एक लेख से शुरू करें कार्य सीमाएं, जिसमें अवधारणा को "उंगलियों पर" माना जाता है और सबसे सरल उदाहरणों का विश्लेषण किया जाता है। फिर इस विषय पर अन्य पाठों पर काम करें, जिसमें के बारे में एक पाठ भी शामिल है अनुक्रमों के भीतर, जिस पर मैंने वास्तव में पहले से ही एक कठोर परिभाषा तैयार की है।

आप असमानता के संकेतों और मापांक के अलावा कौन से प्रतीक जानते हैं?

- एक लंबी खड़ी छड़ी इस तरह पढ़ती है: "ऐसे", "ऐसा वह", "ऐसा वह" या "ऐसा वह", हमारे मामले में, जाहिर है, हम एक संख्या के बारे में बात कर रहे हैं - इसलिए "ऐसा";

- सभी "एन" से अधिक के लिए;

– मॉड्यूल साइन का अर्थ है दूरी, अर्थात। यह संकेतन हमें बताता है कि मूल्यों के बीच की दूरी एप्सिलॉन से कम है।

अच्छा, क्या यह घातक कठिन है? =)

अभ्यास में महारत हासिल करने के बाद, मैं निम्नलिखित पैराग्राफ में आपकी प्रतीक्षा कर रहा हूं:

वास्तव में, आइए थोड़ा सोचें - अनुक्रम की कठोर परिभाषा कैसे तैयार करें? ... प्रकाश में पहली बात जो दिमाग में आती है व्यावहारिक सत्र: "एक अनुक्रम की सीमा वह संख्या है जिसके लिए अनुक्रम के सदस्य असीम रूप से करीब पहुंचते हैं।"

ठीक है, लिखते हैं परिणाम को :

इसे समझना आसान है परिणाम को अपरिमित रूप से -1 के करीब पहुंचें, और सम-संख्या वाले पद - "इकाई" के लिए।

शायद दो सीमाएँ? लेकिन फिर कुछ अनुक्रमों में दस या बीस क्यों नहीं हो सकते? इस तरह आप बहुत दूर जा सकते हैं। इस संबंध में, यह मानना ​​तर्कसंगत है कि यदि अनुक्रम की एक सीमा है, तो यह अद्वितीय है.

टिप्पणी : अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है, लेकिन इसके दो अनुक्रमों को अलग किया जा सकता है (ऊपर देखें), जिनमें से प्रत्येक की अपनी सीमा है।

इस प्रकार, उपरोक्त परिभाषा अक्षम्य साबित होती है। हाँ, यह ऐसे मामलों के लिए काम करता है जैसे (जिसे मैंने व्यावहारिक उदाहरणों के सरलीकृत स्पष्टीकरण में बिल्कुल सही ढंग से उपयोग नहीं किया), लेकिन अब हमें एक सख्त परिभाषा खोजने की जरूरत है।

प्रयास दो: "एक अनुक्रम की सीमा वह संख्या है जो अनुक्रम के सभी सदस्य दृष्टिकोण के अपवाद के साथ, शायद, उनके अंतिममात्रा।" यह सच्चाई के करीब है, लेकिन फिर भी पूरी तरह सटीक नहीं है। तो, उदाहरण के लिए, अनुक्रम आधे शब्द शून्य तक बिल्कुल नहीं पहुंचते हैं - वे बस इसके बराबर हैं =) वैसे, "चमकती रोशनी" आम तौर पर दो निश्चित मान लेती है।

सूत्रीकरण को स्पष्ट करना कठिन नहीं है, लेकिन फिर एक और प्रश्न उठता है: गणितीय शब्दों में परिभाषा कैसे लिखी जाए? वैज्ञानिक जगत लंबे समय तक इस समस्या से जूझता रहा जब तक कि स्थिति का समाधान नहीं हो गया। प्रसिद्ध उस्ताद, जिसने, संक्षेप में, शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण को उसकी सभी कठोरता में औपचारिक रूप दिया। कॉची ने संचालित करने की पेशकश की परिवेश जिसने सिद्धांत को बहुत आगे बढ़ाया।

कुछ बिंदु पर विचार करें और उसके मनमाना-अड़ोस-पड़ोस:

"एप्सिलॉन" का मान हमेशा सकारात्मक होता है, और इसके अलावा, हमें इसे स्वयं चुनने का अधिकार है. मान लें कि दिए गए पड़ोस में शब्दों का एक समूह है (जरूरी नहीं कि सभी)कुछ क्रम। इस तथ्य को कैसे लिखें कि, उदाहरण के लिए, दसवां कार्यकाल पड़ोस में गिर गया? इसे इसके दाईं ओर रहने दें। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी "एप्सिलॉन" से कम होनी चाहिए: . हालांकि, यदि "x दसवां" बिंदु "ए" के बाईं ओर स्थित है, तो अंतर नकारात्मक होगा, और इसलिए इसमें चिह्न जोड़ा जाना चाहिए मापांक: .

परिभाषा: एक संख्या को अनुक्रम की सीमा कहा जाता है यदि किसी के लिएइसका परिवेश (पूर्व चयनित)एक प्राकृत संख्या है - ऐसा कि सबअधिक संख्या वाले अनुक्रम के सदस्य पड़ोस के अंदर होंगे:

या छोटा: अगर

दूसरे शब्दों में, हम "एप्सिलॉन" का मूल्य कितना भी छोटा क्यों न लें, जल्दी या बाद में अनुक्रम की "अनंत पूंछ" पूरी तरह से इस पड़ोस में होगी।

तो, उदाहरण के लिए, अनुक्रम की "अनंत पूंछ" बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे-पड़ोस में पूरी तरह से चला जाता है। इस प्रकार, यह मान परिभाषा के अनुसार अनुक्रम की सीमा है। मैं आपको याद दिलाता हूं कि जिस क्रम की सीमा शून्य होती है उसे कहते हैं बहुत छोता.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अनुक्रम के लिए अब "अनंत पूंछ" कहना संभव नहीं है आएगा”- विषम संख्या वाले सदस्य वास्तव में शून्य के बराबर होते हैं और “कहीं भी मत जाओ” =) इसलिए परिभाषा में क्रिया “विल समाप्त हो जाएगी” का प्रयोग किया जाता है। और, ज़ाहिर है, इस तरह के अनुक्रम के सदस्य भी "कहीं नहीं जाते।" वैसे, जांचें कि क्या संख्या इसकी सीमा होगी।

आइए अब हम दिखाते हैं कि अनुक्रम की कोई सीमा नहीं है। उदाहरण के लिए, बिंदु के पड़ोस पर विचार करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसके बाद सभी सदस्य दिए गए पड़ोस में होंगे - विषम सदस्य हमेशा "माइनस वन" पर "कूदेंगे"। इसी कारण से, बिंदु पर कोई सीमा नहीं है।

अभ्यास के साथ सामग्री को ठीक करें:

उदाहरण 1

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम की सीमा शून्य है। संख्या को इंगित करें, जिसके बाद अनुक्रम के सभी सदस्यों को बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे-पड़ोस के अंदर होने की गारंटी दी जाती है।

टिप्पणी : कई अनुक्रमों के लिए, वांछित प्राकृतिक संख्या मूल्य पर निर्भर करती है - इसलिए संकेतन।

समाधान: विचार करना मनमाना हम वहां होंगेसंख्या - जैसे कि अधिक संख्या वाले सभी सदस्य इस पड़ोस के अंदर होंगे:

आवश्यक संख्या के अस्तित्व को दिखाने के लिए, हम के रूप में व्यक्त करते हैं।

चूंकि किसी भी मान "एन" के लिए, तो मापांक चिह्न हटाया जा सकता है:

हम "स्कूल" क्रियाओं का उपयोग उन असमानताओं के साथ करते हैं जिन्हें मैंने पाठों में दोहराया था रैखिक असमानताएंतथा फंक्शन स्कोप. इस मामले में, एक महत्वपूर्ण परिस्थिति यह है कि "एप्सिलॉन" और "एन" सकारात्मक हैं:

चूंकि बाईं ओर हम प्राकृतिक संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, और दाईं ओर आम तौर पर भिन्नात्मक है, इसे गोल करने की आवश्यकता है:

टिप्पणी : कभी-कभी पुनर्बीमा के अधिकार में एक इकाई जोड़ दी जाती है, लेकिन वास्तव में यह एक ओवरकिल है। तुलनात्मक रूप से कहें तो, यदि हम भी परिणाम को पूर्णांकित करके कमजोर करते हैं, तो निकटतम उपयुक्त संख्या ("तीन") अभी भी मूल असमानता को संतुष्ट करेगी।

और अब हम असमानता को देखते हैं और याद करते हैं कि शुरू में हमने विचार किया था मनमाना-पड़ोस, यानी। "एप्सिलॉन" बराबर हो सकता है किसी कोसकारात्मक संख्या।

निष्कर्ष: बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे-पड़ोस के लिए, मान . इस प्रकार, एक संख्या परिभाषा के अनुसार अनुक्रम की सीमा है। क्यू.ई.डी.

वैसे, परिणाम से एक प्राकृतिक पैटर्न स्पष्ट रूप से दिखाई देता है: -पड़ोस जितना छोटा होगा, उतनी ही अधिक संख्या जिसके बाद अनुक्रम के सभी सदस्य इस पड़ोस में होंगे। लेकिन "एप्सिलॉन" कितना भी छोटा क्यों न हो, अंदर और बाहर हमेशा एक "अनंत पूंछ" होगी - भले ही वह बड़ी हो, हालांकि अंतिमसदस्यों की संख्या।

इंप्रेशन कैसे हैं? =) मैं मानता हूँ कि यह अजीब है। लेकिन सख्ती!कृपया फिर से पढ़ें और फिर से सोचें।

एक समान उदाहरण पर विचार करें और अन्य तकनीकों से परिचित हों:

उदाहरण 2

समाधान: अनुक्रम की परिभाषा से यह सिद्ध करना आवश्यक है कि (खुलकर बोलें!!!).

विचार करना मनमाना-बिंदु और जाँच का पड़ोस, क्या यह मौजूद है?प्राकृतिक संख्या - जैसे कि सभी बड़ी संख्याओं के लिए निम्नलिखित असमानता है:

इस तरह के अस्तित्व को दिखाने के लिए, आपको "एन" को "एप्सिलॉन" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। हम मॉड्यूल साइन के तहत अभिव्यक्ति को सरल बनाते हैं:

मॉड्यूल ऋण चिह्न को नष्ट कर देता है:

हर "एन" के लिए हर सकारात्मक है, इसलिए, लाठी को हटाया जा सकता है:

फेरबदल:

अब हमें वर्गमूल लेना चाहिए, लेकिन पकड़ यह है कि कुछ "एप्सिलॉन" के लिए दायां पक्ष नकारात्मक होगा। इस परेशानी से बचने के लिए आइए मजबूत करेंअसमानता मापांक:

ऐसा क्यों किया जा सकता है? यदि, अपेक्षाकृत बोलते हुए, यह पता चला है कि , तो स्थिति और भी अधिक संतुष्ट होगी। मॉड्यूल कर सकते हैं बस बढ़ोनंबर चाहता था, और वह हमें भी सूट करेगा! मोटे तौर पर, अगर सौवां उपयुक्त है, तो दो सौवां होगा! परिभाषा के अनुसार, आपको दिखाने की जरूरत है संख्या का अस्तित्व(कम से कम कुछ), जिसके बाद अनुक्रम के सभी सदस्य पड़ोस में होंगे। वैसे, इसलिए हम राइट साइड अप के फाइनल राउंडिंग से डरते नहीं हैं।

जड़ निकालना:

और परिणाम को गोल करें:

निष्कर्ष: इसलिये "एप्सिलॉन" का मान मनमाने ढंग से चुना गया था, फिर बिंदु के किसी भी मनमाने ढंग से छोटे-पड़ोस के लिए, मान , जैसे कि असमानता . इस तरह, परिभाषा से। क्यू.ई.डी.

मैं सलाह देता हूं विशेषकरअसमानताओं को मजबूत करने और कमजोर करने को समझें - ये गणितीय विश्लेषण के विशिष्ट और बहुत ही सामान्य तरीके हैं। केवल एक चीज जो आपको इस या उस क्रिया की शुद्धता की निगरानी करने की आवश्यकता है। तो, उदाहरण के लिए, असमानता किसी भी तरह से नहीं ढीला, घटाना, कहना, एक:

फिर से, सशर्त: यदि संख्या बिल्कुल फिट बैठती है, तो पिछला वाला अब फिट नहीं हो सकता है।

निम्नलिखित उदाहरण एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए है:

उदाहरण 3

अनुक्रम की परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

पाठ के अंत में संक्षिप्त समाधान और उत्तर।

यदि क्रम असीम रूप से महान, तो सीमा की परिभाषा इसी तरह से तैयार की जाती है: एक बिंदु को अनुक्रम की सीमा कहा जाता है, यदि कोई हो, मनमाने ढंग से बड़ाएक संख्या ऐसी है कि सभी बड़ी संख्याओं के लिए, असमानता संतुष्ट होगी। नंबर कहा जाता है बिंदु "प्लस इनफिनिटी" का पड़ोस:

दूसरे शब्दों में, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितना बड़ा मूल्य लेते हैं, अनुक्रम की "अनंत पूंछ" अनिवार्य रूप से बिंदु के पड़ोस में जाएगी, बाईं ओर केवल सीमित संख्या में शब्द छोड़े जाएंगे।

कार्य उदाहरण:

और एक संक्षिप्त संकेतन: if

मामले के लिए, परिभाषा स्वयं लिखें। सही संस्करण पाठ के अंत में है।

जब आप अपना हाथ व्यावहारिक उदाहरणों से "भर" लेते हैं और एक अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का पता लगा लेते हैं, तो आप गणितीय विश्लेषण और / या अपनी व्याख्यान पुस्तक पर साहित्य की ओर रुख कर सकते हैं। मैं बोहन का पहला खंड डाउनलोड करने की सलाह देता हूं (आसान - अंशकालिक छात्रों के लिए)और फिखतेंगोल्ट्ज़ (अधिक विस्तृत और विस्तृत). अन्य लेखकों में से, मैं पिस्कुनोव को सलाह देता हूं, जिसका पाठ्यक्रम तकनीकी विश्वविद्यालयों पर केंद्रित है।

अनुक्रम की सीमा, उनके प्रमाण, परिणामों से संबंधित प्रमेयों का ईमानदारी से अध्ययन करने का प्रयास करें। सबसे पहले, सिद्धांत "बादल" लग सकता है, लेकिन यह सामान्य है - इसमें बस कुछ उपयोग करने की आवश्यकता होती है। और बहुतों को स्वाद भी मिलेगा!

किसी फ़ंक्शन की सीमा की सख्त परिभाषा

आइए एक ही बात से शुरू करें - इस अवधारणा को कैसे तैयार किया जाए? किसी फ़ंक्शन की सीमा की मौखिक परिभाषा बहुत अधिक सरल रूप से तैयार की जाती है: "एक संख्या एक फ़ंक्शन की सीमा होती है, यदि" x "की प्रवृत्ति होती है (बाएं और दाएं दोनों), फ़ंक्शन के संगत मान होते हैं » (चित्र देखें). सब कुछ सामान्य लगता है, लेकिन शब्द शब्द हैं, अर्थ अर्थ है, आइकन एक आइकन है, और सख्त गणितीय अंकन पर्याप्त नहीं है। और दूसरे पैराग्राफ में, हम इस मुद्दे को हल करने के दो तरीकों से परिचित होंगे।

फ़ंक्शन को कुछ अंतराल पर परिभाषित किया जाए, संभवतः, बिंदु के लिए को छोड़कर। शैक्षिक साहित्य में, यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि वहाँ समारोह नहींपरिभाषित:

यह पसंद हाइलाइट फ़ंक्शन सीमा का सार: "एक्स" असीम रूप से करीबदृष्टिकोण, और फ़ंक्शन के संबंधित मान हैं असीम रूप से करीबप्रति । दूसरे शब्दों में, सीमा की अवधारणा का अर्थ बिंदुओं के लिए "सटीक दृष्टिकोण" नहीं है, अर्थात् असीम रूप से करीब सन्निकटन, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित किया गया है या नहीं।

किसी फ़ंक्शन की सीमा की पहली परिभाषा, आश्चर्यजनक रूप से नहीं, दो अनुक्रमों का उपयोग करके तैयार की जाती है। सबसे पहले, अवधारणाएं संबंधित हैं, और दूसरी बात, कार्यों की सीमाओं का अध्ययन आमतौर पर अनुक्रमों की सीमाओं के बाद किया जाता है।

अनुक्रम पर विचार करें अंक (ड्राइंग पर नहीं)अंतराल से संबंधित और के अलावा अन्य, कौन सा अभिसरणप्रति । फिर फ़ंक्शन के संबंधित मान भी एक संख्यात्मक अनुक्रम बनाते हैं, जिसके सदस्य y- अक्ष पर स्थित होते हैं।

हाइन फंक्शन लिमिट किसी के लिएबिंदु क्रम (संबंधित और इससे भिन्न), जो बिंदु पर अभिसरण करता है, फ़ंक्शन मानों का संगत अनुक्रम परिवर्तित होता है।

एडुआर्ड हाइन एक जर्मन गणितज्ञ हैं। ... और ऐसा कुछ सोचने की जरूरत नहीं है, यूरोप में केवल एक समलैंगिक है - यह गे-लुसाक =)

सीमा की दूसरी परिभाषा बनाई गई थी ... हाँ, हाँ, आप सही कह रहे हैं। लेकिन पहले इसके डिजाइन पर एक नजर डालते हैं। बिंदु के एक मनमाना-पड़ोस पर विचार करें ("ब्लैक" पड़ोस). पिछले पैराग्राफ के आधार पर, संकेतन का अर्थ है कि कुछ मूल्यफ़ंक्शन "एप्सिलॉन" -पर्यावरण के अंदर स्थित है।

अब आइए खोजें -पड़ोस जो दिए गए -पड़ोस से मेल खाता है (मानसिक रूप से बाएं से दाएं और फिर ऊपर से नीचे तक काली बिंदीदार रेखाएं बनाएं). ध्यान दें कि मान चुना गया है छोटे खंड की लंबाई के साथ, इस मामले में, छोटे बाएं खंड की लंबाई के साथ। इसके अलावा, "क्रिमसन" -एक बिंदु के पड़ोस को भी कम किया जा सकता है, क्योंकि निम्नलिखित परिभाषा में अस्तित्व का तथ्य महत्वपूर्ण हैयह पड़ोस। और, इसी तरह, प्रविष्टि का अर्थ है कि कुछ मूल्य "डेल्टा" पड़ोस के अंदर है।

किसी फ़ंक्शन की कॉची सीमा: संख्या को बिंदु पर फलन की सीमा कहा जाता है यदि किसी के लिए पूर्व-चयनितअड़ोस-पड़ोस (मनमाने ढंग से छोटा), मौजूद-बिंदु का पड़ोस, ऐसावह: केवल मान के रूप में (स्वामित्व वाली)इस क्षेत्र में शामिल हैं: (रेड एरोज़)- तो तुरंत समारोह के संबंधित मूल्यों को -पड़ोस में प्रवेश करने की गारंटी है: (नीला तीर).

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए कि अधिक समझदार होने के लिए, मैंने थोड़ा सुधार किया है, इसलिए इसका दुरुपयोग न करें =)

आशुलिपि: अगर

परिभाषा का सार क्या है? लाक्षणिक रूप से, -पड़ोस को असीम रूप से कम करके, हम फ़ंक्शन के मूल्यों को उसकी सीमा तक "साथ" देते हैं, उनके लिए कहीं और पहुंचने का कोई विकल्प नहीं छोड़ते हैं। काफी असामान्य, लेकिन फिर से सख्ती से! विचार को सही करने के लिए, शब्दों को फिर से पढ़ें।

! ध्यान: यदि आपको केवल बनाने की आवश्यकता है हेन के अनुसार परिभाषाया केवल कॉची परिभाषाकृपया के बारे में मत भूलना महत्वपूर्णप्रारंभिक टिप्पणी: "एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो शायद एक बिंदु को छोड़कर कुछ अंतराल पर परिभाषित किया गया हो". मैंने इसे शुरुआत में एक बार कहा था और हर बार इसे दोहराया नहीं।

गणितीय विश्लेषण के संगत प्रमेय के अनुसार, हाइन और कॉची परिभाषाएं समतुल्य हैं, लेकिन दूसरा संस्करण सबसे प्रसिद्ध है (अभी भी होगा!), जिसे "जीभ पर सीमा" भी कहा जाता है:

उदाहरण 4

सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

समाधान: फ़ंक्शन को बिंदु को छोड़कर पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है। की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम किसी दिए गए बिंदु पर एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं।

टिप्पणी : "डेल्टा" पड़ोस का परिमाण "एप्सिलॉन" पर निर्भर करता है, इसलिए पदनाम

विचार करना मनमाना-अड़ोस-पड़ोस। कार्य इस मान का उपयोग यह जांचने के लिए करना है कि क्या क्या यह मौजूद है?- अड़ोस-पड़ोस, ऐसा, जो असमानता से असमानता का पालन करता है .

यह मानते हुए कि, हम अंतिम असमानता को बदल देते हैं:
(वर्ग ट्रिनोमियल को विघटित करें)

एक फ़ंक्शन पर विचार करें %%f(x)%% कम से कम कुछ पंचर पड़ोस में परिभाषित %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% बिंदु %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% विस्तारित संख्या रेखा।

कॉची के अनुसार सीमा की अवधारणा

संख्या %%A \in \mathbb(R)%% कहलाती है कार्य सीमा%%f(x)%% %%a \in \mathbb(R)%% (या %%x%% %%a \in \mathbb(R)%%) पर जाता है, यदि, जो भी सकारात्मक हो संख्या %%\varepsilon%% है, एक सकारात्मक संख्या %%\delta%% है जैसे कि पंचर %%\delta%% बिंदु के पड़ोस के सभी बिंदुओं के लिए %%a%% फ़ंक्शन के मान %%\varepsilon %%-बिंदु %%A%% के पड़ोस से संबंधित हैं, या

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exist \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (यू))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

इस परिभाषा को फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन कॉची द्वारा प्रस्तावित %%\varepsilon%% और %%\delta%% की भाषा में परिभाषा कहा जाता है और 19वीं शताब्दी की शुरुआत से वर्तमान तक इसका उपयोग किया जाता रहा है, क्योंकि इसमें आवश्यक गणितीय कठोरता और सटीकता।

बिंदु %%a%% जैसे %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( यू) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% पड़ोस के साथ %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( यू) _\varepsilon (-\infty)%%, हमें कॉची सीमा की 24 परिभाषाएँ मिलती हैं।

ज्यामितीय अर्थ

किसी फ़ंक्शन की सीमा का ज्यामितीय अर्थ

आइए जानें कि किसी बिंदु पर किसी फलन की सीमा का ज्यामितीय अर्थ क्या होता है। आइए फ़ंक्शन %%y = f(x)%% को प्लॉट करें और उस पर %%x = a%% और %%y = A%% अंक चिह्नित करें।

फ़ंक्शन की सीमा %%y = f(x)%% बिंदु %%x \to a%% पर मौजूद है और A के बराबर है यदि किसी %%\varepsilon%%-बिंदु %%A% के पड़ोस के लिए % कोई ऐसे %%\ डेल्टा%%-बिंदु %%a%% के पड़ोस को निर्दिष्ट कर सकता है, जैसे कि इस %%\delta%%-पड़ोस के किसी भी %%x%% के लिए, मान %%f(x )%% %%\varepsilon%%-पड़ोस अंक %%A%% में होगा।

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की सीमा की कॉची परिभाषा के अनुसार, %%x \ to a%% पर एक सीमा के अस्तित्व के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि फ़ंक्शन किस बिंदु पर %%a%% लेता है। आप उदाहरण दे सकते हैं जहां फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है जब %%x = a%% या %%A%% के अलावा कोई मान लेता है। हालांकि, सीमा %%A%% हो सकती है।

हाइन सीमा की परिभाषा

तत्व %%A \in \overline(\mathbb(R))%% को %%f(x)%% %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , यदि किसी क्रम के लिए %%\(x_n\) \ to a%% डोमेन से, संगत मानों का क्रम %%\big\(f(x_n)\big\)%% प्रवृत्ति %% ए%% तक।

हेन के अनुसार सीमा की परिभाषा का उपयोग करना सुविधाजनक होता है जब किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व के बारे में संदेह होता है। यदि कम से कम एक अनुक्रम %%\(x_n\)%% को %%a%% पर एक सीमा के साथ बनाना संभव है, तो अनुक्रम %%\big\(f(x_n)\big\)%% इसकी कोई सीमा नहीं है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इस बिंदु पर %%f(x)%% फलन की कोई सीमा नहीं है। यदि दो के लिए विभिन्नअनुक्रम %%\(x"_n\)%% और %%\(x""_n\)%% होने वहीसीमा %%a%%, अनुक्रम %%\big\(f(x"_n)\big\)%% और %%\big\(f(x""_n)\big\)%% है विभिन्नहै, तो इस स्थिति में %%f(x)%% फलन की सीमा भी मौजूद नहीं है।

उदाहरण

मान लीजिए %%f(x) = \sin(1/x)%%। आइए देखें कि क्या इस फ़ंक्शन की सीमा %%a = 0%% बिंदु पर मौजूद है।

हम पहले एक अनुक्रम $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) चुनते हैं जो इस बिंदु पर परिवर्तित होता है। $$

स्पष्ट रूप से, %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% और %%\lim (x_n) = 0%%। फिर %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% और %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%।

फिर अनुक्रम $$ x"_n = \बाएं\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$ लें

जिसके लिए %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% और %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%। इसी तरह अनुक्रम के लिए $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1 ) \pi) \right\), $$

बिंदु %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%% में परिवर्तित हो रहा है।

तीनों अनुक्रमों ने अलग-अलग परिणाम दिए, जो हेइन परिभाषा की स्थिति के विपरीत है, अर्थात। %%x = 0%% बिंदु पर इस फ़ंक्शन की कोई सीमा नहीं है।

प्रमेय

कॉची और हाइन के अनुसार सीमा की परिभाषा समतुल्य है।