व्युत्पन्न की उपस्थिति के इतिहास से जानकारी: 17 वीं शताब्दी के कई गणितज्ञों का नारा। था: "आगे बढ़ो, और परिणामों की सत्यता में आपको विश्वास है
आएगा।"
शब्द "व्युत्पन्न" - (फ्रेंच व्युत्पन्न - पीछे, पीछे) 1797 में जे। लैग्रेंज द्वारा पेश किया गया था। उन्होंने परिचय भी दिया
आधुनिक पदनाम y ", f'।
पदनाम लिम लैटिन शब्द नीबू (सीमा, सीमा) का संक्षिप्त नाम है। "लिमिट" शब्द की शुरुआत आई. न्यूटन ने की थी।
I. न्यूटन ने व्युत्पन्न को एक प्रवाह कहा, और कार्य स्वयं - एक धाराप्रवाह।
जी. लाइबनिज ने विभेदक संबंध के बारे में बात की और व्युत्पन्न को इस प्रकार निरूपित किया:
लैग्रेंज जोसेफ लुइस (1736-1813)
फ्रांसीसी गणितज्ञ और मैकेनिक

न्यूटन:

“यह दुनिया गहरे अंधेरे में डूबी हुई थी। वहाँ रोशनी होने दो! इसलिए
न्यूटन दिखाई दिए। ए पोग।
आइजैक न्यूटन (1643-1727) संस्थापकों में से एक
अंतर कलन।
उनका मुख्य कार्य "गणितीय सिद्धांत" है
प्राकृतिक दर्शन "-एक विशाल था
प्राकृतिक विज्ञान के विकास पर प्रभाव
प्राकृतिक विज्ञान के इतिहास में एक महत्वपूर्ण मोड़।
न्यूटन ने नियमों का अध्ययन करते हुए व्युत्पन्न की अवधारणा की शुरुआत की
यांत्रिकी, जिससे इसकी यांत्रिकता का पता चलता है
अर्थ।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्या है?

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को सीमा कहा जाता है
इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात
तर्क वृद्धि जब तर्क वृद्धि
शून्य हो जाता है।

व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ।

वेग समय के संबंध में दूरी का व्युत्पन्न है:
वी (टी) = एस′ (टी)
त्वरण एक व्युत्पन्न है
समय के साथ गति:
ए (टी) = वी′ (टी) = एस′′ (टी)

व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ:

ग्राफ़ पर स्पर्श रेखा का ढाल
फ़ंक्शन इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है,
संपर्क के बिंदु पर गणना।
f′(x) = k = tga

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्युत्पन्न:

हमारे घरों में, परिवहन में, कारखानों में: यह हर जगह काम करता है
बिजली। विद्युत धारा से तात्पर्य है
विद्युत आवेशित मुक्त की निर्देशित गति
कण।
विद्युत धारा की मात्रात्मक विशेषता बल है
वर्तमान।
पर
विद्युत धारा परिपथ विद्युत आवेश में परिवर्तन होता है
कानून के अनुसार समय के साथ क्यू = क्यू (टी)। वर्तमान ताकत I एक व्युत्पन्न है
समय के साथ क्यू चार्ज करें।
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, एसी ऑपरेशन मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है।
एक विद्युत धारा जो समय के साथ बदलती है, कहलाती है
चर। एक एसी सर्किट में विभिन्न हो सकते हैं
तत्व: हीटर, कॉइल, कैपेसिटर।
एक प्रत्यावर्ती विद्युत धारा प्राप्त करना नियम पर आधारित है
विद्युत चुम्बकीय प्रेरण, जिसके निर्माण में शामिल हैं
चुंबकीय प्रवाह का व्युत्पन्न।

रसायन विज्ञान में व्युत्पन्न:

और रसायन विज्ञान में, अंतर
रासायनिक के गणितीय मॉडल के निर्माण के लिए कलन
प्रतिक्रियाओं और उनके गुणों का बाद का विवरण।
रसायन विज्ञान पदार्थों का, रासायनिक परिवर्तनों का विज्ञान है
पदार्थ।
रसायन विज्ञान विभिन्न प्रतिक्रियाओं के पैटर्न का अध्ययन करता है।
रासायनिक प्रतिक्रिया की दर परिवर्तन है
प्रति इकाई समय में अभिकारकों की सांद्रता।
चूँकि के दौरान प्रतिक्रिया दर v लगातार बदलती रहती है
प्रक्रिया, इसे आमतौर पर एकाग्रता के व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है
समय के साथ अभिकारक।

भूगोल में व्युत्पन्न:

थॉमस माल्थस के समाजशास्त्रीय मॉडल का विचार है कि जनसंख्या वृद्धि
किसी दिए गए समय t से N(t) पर जनसंख्या के समानुपाती। नमूना
माल्थस ने 1790 से 1860 तक अमेरिका की आबादी का वर्णन करने का अच्छा काम किया।
वर्षों। यह मॉडल अब अधिकांश देशों में मान्य नहीं है।

अभिन्न और उसका अनुप्रयोग:

इतिहास का हिस्सा:

अभिन्न की अवधारणा का इतिहास वापस जाता है
प्राचीन ग्रीस और प्राचीन के गणितज्ञों के लिए
रोम।
प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिक, नाइडोस के यूडोक्सस (सी। 408-सी। 355 ईसा पूर्व) के कार्यों को जाना जाता है
निकायों और गणनाओं की मात्रा ढूँढना
विमान के आंकड़ों के क्षेत्र।

17 वीं शताब्दी में इंटीग्रल कैलकुलस व्यापक हो गया। वैज्ञानिक:
जी. लीबनिज़ (1646-1716) और आई. न्यूटन (1643-1727) ने स्वतंत्र रूप से खोज की
मित्र और लगभग एक साथ सूत्र, जिसे बाद में सूत्र कहा गया
न्यूटन - लाइबनिज, जिसका हम उपयोग करते हैं। वह गणितीय सूत्र
दार्शनिक और भौतिक विज्ञानी किसी को आश्चर्यचकित नहीं करते, क्योंकि गणित वह भाषा है जिसमें
प्रकृति ही बोलती है।

प्रतीक दर्ज किया गया
लाइबनिज (1675)। यह चिन्ह है
लैटिन अक्षर S . का परिवर्तन
(योग शब्द का पहला अक्षर)। अभिन्न शब्द
आविष्कार
जे. बर्नौली (1690)। यह शायद . से आता है
लैटिन पूर्णांक, जिसका अनुवाद के रूप में होता है
अपनी मूल स्थिति में पुनर्स्थापित करें।
एकीकरण की सीमाएं पहले ही एल। यूलर द्वारा इंगित की गई थीं
(1707-1783)। 1697 में नाम सामने आया
गणित की नई शाखा - अभिन्न
कलन यह बर्नौली द्वारा पेश किया गया था।

गणितीय विश्लेषण में किसी फलन का समाकलन कहलाता है
योग की अवधारणा का विस्तार। अभिन्न खोजने की प्रक्रिया
एकीकरण कहा जाता है। इस प्रक्रिया का उपयोग आमतौर पर के लिए किया जाता है
क्षेत्र, आयतन, द्रव्यमान, विस्थापन आदि जैसी मात्राएँ ज्ञात करना।
जब इस मात्रा में परिवर्तन की दर या वितरण दिया जाता है
किसी अन्य मात्रा (स्थिति, समय, आदि) के संबंध में।

एक अभिन्न क्या है?

समाकलन गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है, जो
वक्र के नीचे के क्षेत्र को खोजने की समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होता है, जब दूरी तय की जाती है
असमान गति, एक अमानवीय पिंड का द्रव्यमान, आदि, साथ ही साथ की समस्या में
किसी फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न से पुनर्स्थापित करना

वैज्ञानिक सब कुछ भौतिक कोशिश करते हैं
रूप में व्यक्त करने के लिए घटना
गणितीय सूत्र। कैसे
केवल हमारे पास एक सूत्र है, आगे
इसके साथ पहले से ही संभव है
कुछ भी गिनें। और अभिन्न
मुख्य में से एक है
के साथ काम करने के लिए उपकरण
कार्य।

एकीकरण के तरीके:

1. सारणीबद्ध।
2. एकीकृत के सारणीबद्ध परिवर्तन में कमी
योग या अंतर के भाव।
3. चर (प्रतिस्थापन) के परिवर्तन का उपयोग करके एकीकरण।
4. भागों द्वारा एकीकरण।

अभिन्न का आवेदन:

◦ गणित
एस आकार की गणना करें।
वक्र चाप की लंबाई।
S समानांतर पर V पिंड
खंड।
V क्रांति के निकाय, आदि।
भौतिक विज्ञान
कार्य एक परिवर्तनशील बल।
एस - (पथ) आंदोलन का।
मास गणना।
रेखा की जड़ता के क्षण की गणना,
सर्कल, सिलेंडर।
गणना केंद्र समन्वय
गुरुत्वाकर्षण।
गर्मी की मात्रा, आदि।
◦
◦
◦
◦

काम का अभी तक कोई HTML संस्करण नहीं है।

इसी तरह के दस्तावेज़

अभिन्न की अवधारणा के इतिहास से परिचित। समाकलन कलन का वितरण, न्यूटन-लीबनिज सूत्र की खोज। राशि का प्रतीक; योग की अवधारणा का विस्तार। सभी भौतिक घटनाओं को गणितीय सूत्र के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता का विवरण।

प्रस्तुति, जोड़ा गया 01/26/2015


प्राचीन गणितज्ञों के कार्यों में अभिन्न कलन के विचार। थकावट विधि की विशेषताएं। केप्लर टोरस वॉल्यूम फॉर्मूला खोजने का इतिहास। इंटीग्रल कैलकुलस (कैवलियरी का सिद्धांत) के सिद्धांत की सैद्धांतिक पुष्टि। एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा।

प्रस्तुति, जोड़ा गया 07/05/2016


अभिन्न कलन का इतिहास। डबल इंटीग्रल की परिभाषा और गुण। इसकी ज्यामितीय व्याख्या, कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक में गणना, इसकी पुनरावृत्ति को कम करना। वॉल्यूम और क्षेत्रों की गणना करने के लिए अर्थशास्त्र और ज्यामिति में आवेदन।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 10/16/2013


निर्देशांकों पर एक वक्रीय समाकलन की परिभाषा, इसके मुख्य गुण और गणना। एकीकरण के मार्ग से घुमावदार अभिन्न अंग की स्वतंत्रता की स्थिति। डबल इंटीग्रल का उपयोग करके आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करना। ग्रीन के सूत्र का उपयोग करना।

परीक्षण, जोड़ा गया 02/23/2011


एक निश्चित अभिन्न के अस्तित्व के लिए शर्तें। अभिन्न कलन का अनुप्रयोग। ज्यामिति में अभिन्न कलन। निश्चित अभिन्न का यांत्रिक अनुप्रयोग। जीव विज्ञान में इंटीग्रल कैलकुलस। अर्थशास्त्र में इंटीग्रल कैलकुलस।

टर्म पेपर, जोड़ा गया 01/21/2008


इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस का इतिहास। यांत्रिकी और भौतिकी की कुछ समस्याओं के समाधान के लिए निश्चित अभिन्न के अनुप्रयोग। समतल वक्रों के द्रव्यमान के क्षण और केंद्र, गुल्डेन की प्रमेय। विभेदक समीकरण। मैटलैब में समस्या समाधान के उदाहरण।

सार, जोड़ा गया 09/07/2009


स्टिल्टजेस इंटीग्रल की अवधारणा। स्टिल्टजेस इंटीग्रल के अस्तित्व के लिए सामान्य शर्तें, इसके अस्तित्व के मामलों के वर्ग, और इसके संकेत के तहत सीमा तक मार्ग। रीमैन इंटीग्रल के लिए स्टिल्टजेस इंटीग्रल को कम करना। संभाव्यता सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी में आवेदन।

थीसिस, जोड़ा गया 07/20/2009


अनिश्चितकालीन अभिन्न की परिभाषा, एक सतत कार्य के प्रतिपक्षी, अनिश्चितकालीन अभिन्न का अंतर। अनिश्चित समाकल में एक चर के प्रतिस्थापन और भागों द्वारा एकीकरण के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति। भिन्नात्मक परिमेय फलन की परिभाषा।

चीट शीट, जोड़ा गया 08/21/2009


एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा और बुनियादी गुणों से परिचित होना। खंड [ए, बी] पर फ़ंक्शन y=f(x) के लिए अभिन्न योग की गणना के लिए सूत्र का प्रतिनिधित्व। इस शर्त के तहत समाकलन के शून्य की समानता कि समाकलन की निचली और ऊपरी सीमाएँ समान हैं।

प्रस्तुति, जोड़ा गया 09/18/2013


व्युत्पन्न के कुछ अनुप्रयोग। असमानताओं को सिद्ध करने के लिए विभेदक कलन के मूल प्रमेयों का उपयोग करना। प्रारंभिक गणित की समस्याओं में व्युत्पन्न और अभिन्न। अभिन्न की एकरसता। कुछ शास्त्रीय असमानताएँ।

शोध विषय

परिवार के खर्चों की योजना बनाने में अभिन्न कलन का अनुप्रयोग

समस्या की प्रासंगिकता

सामाजिक और आर्थिक क्षेत्रों में, आय के वितरण में असमानता की डिग्री की गणना करते समय, गणित का उपयोग किया जाता है, अर्थात्, अभिन्न कलन। समाकल के व्यावहारिक अनुप्रयोग का अध्ययन करके, हम सीखते हैं:

• सामग्री लागतों को आवंटित करने में अभिन्न सहायता का उपयोग करके क्षेत्र का अभिन्न और गणना कैसे करता है?

• छुट्टी के लिए पैसे बचाने में इंटीग्रल कैसे मदद करेगा।

लक्ष्य

अभिन्न गणना का उपयोग करके परिवार के खर्चों की योजना बनाएं

कार्य

• इंटीग्रल का ज्यामितीय अर्थ जानें।
• जीवन के सामाजिक और आर्थिक क्षेत्रों में एकीकरण के तरीकों पर विचार करें।
• इंटीग्रल का उपयोग करके एक अपार्टमेंट की मरम्मत करते समय परिवार की भौतिक लागतों का पूर्वानुमान लगाएं।
• अभिन्न गणना को ध्यान में रखते हुए, एक वर्ष के लिए परिवार की ऊर्जा खपत की मात्रा की गणना करें।
• छुट्टी के लिए Sberbank में बचत जमा की राशि की गणना करें।

परिकल्पना

इंटीग्रल कैलकुलस परिवार की आय और व्यय की योजना बनाते समय आर्थिक गणना में मदद करता है।

अनुसंधान चरण

• हमने जीवन के सामाजिक और आर्थिक क्षेत्रों में अभिन्न और एकीकरण के तरीकों के ज्यामितीय अर्थ का अध्ययन किया।
• हमने इंटीग्रल का उपयोग करके एक अपार्टमेंट की मरम्मत के लिए आवश्यक सामग्री लागतों की गणना की।
• हमने एक वर्ष के लिए अपार्टमेंट में बिजली की खपत और परिवार के लिए बिजली की लागत की गणना की।
• हमने इंटीग्रल का उपयोग करके Sberbank में जमा के माध्यम से पारिवारिक आय एकत्र करने के विकल्पों में से एक पर विचार किया।

अध्ययन की वस्तु

जीवन के सामाजिक और आर्थिक क्षेत्रों में अभिन्न कलन।

तरीकों

• "एकीकृत कलन का व्यावहारिक अनुप्रयोग" विषय पर साहित्य का विश्लेषण
• इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्रों और आंकड़ों की मात्रा की गणना पर समस्याओं को हल करने में एकीकरण विधियों का अध्ययन।
• अभिन्न गणना का उपयोग करके परिवार के खर्च और आय का विश्लेषण।

प्रगति

• "इंटीग्रल कैलकुलस का व्यावहारिक अनुप्रयोग" विषय पर साहित्य समीक्षा
• इंटीग्रल का उपयोग करके क्षेत्रों और आंकड़ों के आयतन की गणना के लिए समस्याओं की एक प्रणाली को हल करना।
• एक अभिन्न गणना का उपयोग करके परिवार के खर्चों और आय की गणना: कमरे का नवीनीकरण, बिजली की मात्रा, छुट्टी के लिए Sberbank में जमा।

हमारे परिणाम

बिजली की खपत की मात्रा की भविष्यवाणी करने में इंटीग्रल की मदद से इंटीग्रल और वॉल्यूम की गणना कैसे होती है?

निष्कर्ष

• एक अभिन्न गणना का उपयोग करके एक अपार्टमेंट की मरम्मत के लिए आवश्यक धन की आर्थिक गणना तेजी से और अधिक सटीक रूप से की जा सकती है।

• एक अभिन्न गणना और माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल का उपयोग करके परिवार की बिजली खपत की गणना करना आसान और तेज़ है, जिसका अर्थ है कि एक वर्ष के लिए परिवार की बिजली की लागत का अनुमान लगाना।

• Sberbank में जमा से लाभ की गणना एक अभिन्न गणना का उपयोग करके की जा सकती है, जिसका अर्थ है परिवार की छुट्टी की योजना बनाना।

संसाधनों की सूची

मुद्रित संस्करण:

• पाठ्यपुस्तक। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11 ग्रेड। ए.जी. मोर्दकोविच। निमोसिन। एम: 2007
• पाठ्यपुस्तक। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत 10-11 ग्रेड। ए कोलमोगोरोव ज्ञानोदय। एम: 2007
• समाजशास्त्रियों और अर्थशास्त्रियों के लिए गणित। अख्त्यामोव ए.एम. एम.: फ़िज़मैटलिट, 2004. - 464 पी।
• इंटीग्रल कैलकुलेशन। एम। वाई। वायगोडस्की द्वारा हायर मैथमेटिक्स की हैंडबुक, एनलाइटेनमेंट, 2000

पाठ का आदर्श वाक्य: "गणित वह भाषा है जिसे सभी सटीक विज्ञान बोलते हैं" एन.आई. लोबचेव्स्की

पाठ का उद्देश्य: "इंटीग्रल", "इंटीग्रल का अनुप्रयोग" विषय पर छात्रों के ज्ञान का सामान्यीकरण करना; उनके क्षितिज का विस्तार करना, विभिन्न मात्राओं की गणना के लिए इंटीग्रल के संभावित अनुप्रयोग के बारे में ज्ञान; लागू समस्याओं को हल करने के लिए इंटीग्रल का उपयोग करने के लिए कौशल को मजबूत करना; गणित में संज्ञानात्मक रुचि पैदा करना, संचार की संस्कृति और गणितीय भाषण की संस्कृति विकसित करना; छात्रों और शिक्षकों से बात करना सीखने में सक्षम हो।

पाठ का प्रकार: पुनरावृत्त-सामान्यीकरण।

पाठ का प्रकार: पाठ - परियोजना की रक्षा "अभिन्न का अनुप्रयोग"।

उपकरण: चुंबकीय बोर्ड, पोस्टर "इंटीग्रल का अनुप्रयोग", स्वतंत्र कार्य के लिए सूत्रों और कार्यों के साथ कार्ड।

शिक्षण योजना:

1. परियोजना संरक्षण:

1. अभिन्न कलन के इतिहास से;
2. अभिन्न गुण;
3. गणित में अभिन्न का अनुप्रयोग;
4. भौतिकी में अभिन्न का अनुप्रयोग;

2. व्यायाम का समाधान।

कक्षाओं के दौरान

शिक्षक: गणित, भौतिकी, यांत्रिकी और अन्य विषयों में एक शक्तिशाली शोध उपकरण एक निश्चित अभिन्न है - गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं में से एक। इंटीग्रल का ज्यामितीय अर्थ एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र है। इंटीग्रल का भौतिक अर्थ है 1) घनत्व के साथ एक अमानवीय छड़ का द्रव्यमान, 2) समय की अवधि में गति के साथ एक सीधी रेखा में गतिमान बिंदु का विस्थापन।

शिक्षक: हमारी कक्षा के लोगों ने बहुत अच्छा काम किया, उन्होंने ऐसे कार्यों को उठाया जहाँ एक निश्चित अभिन्न लागू किया जाता है। उनके पास एक शब्द है।

2 छात्र: इंटीग्रल के गुण

3 छात्र: इंटीग्रल का अनुप्रयोग (चुंबकीय बोर्ड पर तालिका)।

4 छात्र: हम आंकड़ों के क्षेत्र की गणना करने के लिए गणित में अभिन्न के उपयोग पर विचार करते हैं।

किसी भी समतल आकृति का क्षेत्रफल, जिसे एक आयताकार समन्वय प्रणाली में माना जाता है, अक्ष से सटे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्रों से बना हो सकता है ओहऔर कुल्हाड़ियों ओ.यू.एक वक्र से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र वाई = एफ (एक्स),एक्सिस ओहऔर दो सीधे एक्स = एतथा एक्स = बी,कहाँ पे एक एक्स बी, एफ (एक्स) 0सूत्र द्वारा गणना सेमी। चावल।यदि वक्रीय समलम्बाकार अक्ष के निकट है कहां, तो इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है , सेमी। चावल।आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करते समय, निम्नलिखित मामले उत्पन्न हो सकते हैं: ए) आंकड़ा ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है और ऑक्स अक्ष, वक्र y \u003d f (x) और दो सीधी रेखाओं x \u003d a और x द्वारा सीमित है। \u003d बी। (देखें। चावल।) इस आकृति का क्षेत्रफल सूत्र 1 या 2 द्वारा पाया जाता है। b) यह आंकड़ा ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित है और ऑक्स अक्ष, वक्र y \u003d f (x) और दो सीधी रेखाओं द्वारा सीमित है। एक्स \u003d ए और एक्स \u003d बी (देखें। चावल।) क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है . ग) आंकड़ा ऑक्स अक्ष के ऊपर और नीचे स्थित है और ऑक्स अक्ष, वक्र y \u003d f (x) और दो सीधी रेखाओं x \u003d a और x \u003d b द्वारा सीमित है ( चावल।) d) क्षेत्र दो प्रतिच्छेदन घटता y \u003d f (x) और y \u003d (x) से घिरा है ( चावल।)

5 छात्र: समस्या का समाधान करें

x-2y+4=0 और x+y-5+0 और y=0

7 छात्र: भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक अभिन्न। भौतिकविदों के लिए एक शब्द।

1. एक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ की गणना

एक समय अंतराल के लिए एक चर गति के साथ एक सीधी रेखा में गैर-समान आंदोलन के दौरान एक बिंदु द्वारा यात्रा की गई पथ की गणना सूत्र द्वारा की जाती है।

उदाहरण:

1. प्वाइंट मूवमेंट स्पीड एमएस। 4 सेकंड में बिंदु द्वारा तय किया गया पथ ज्ञात कीजिए।

समाधान: शर्त के अनुसार, . फलस्वरूप,

2. दो पिंड एक ही बिंदु से एक ही दिशा में एक सीधी रेखा में एक साथ गति करने लगे। पहला शरीर गति के साथ चलता है एम / एस, दूसरा - गति के साथ वी = (4t+5)एमएस। 5 सेकंड के बाद वे कितनी दूर होंगे?

समाधान: यह स्पष्ट है कि वांछित मान पहले और दूसरे निकायों द्वारा 5 सेकंड में तय की गई दूरी के बीच का अंतर है:

3. एक पिंड को u = (39.2-9.8^) m/s की गति से पृथ्वी की सतह से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। शरीर की अधिकतम ऊंचाई पाएं।

हल: जब t = 0, अर्थात t समय पर पिंड उच्चतम भारोत्तोलन ऊंचाई तक पहुंच जाएगा। 39.2- 9.8t = 0, जहाँ से I= 4 एस. सूत्र (1) से, हम पाते हैं

2. कार्य बल की गणना

अक्ष के अनुदिश गति करते समय चर बल f(x) द्वारा किया गया कार्य ओह x = . से भौतिक बिंदु एकइससे पहले एक्स = बी,सूत्र के अनुसार पाया जाता है बल के कार्य की गणना के लिए समस्याओं को हल करते समय, G y k a कानून का अक्सर उपयोग किया जाता है: एफ = केएक्स, (3)जहां एफ - बल एन; एक्स-वसंत का पूर्ण बढ़ाव, मी, बल के कारण एफ, एक क- आनुपातिकता का गुणांक, एन / एम।

उदाहरण:

1. विरामावस्था में एक स्प्रिंग की लंबाई 0.2 मीटर है। 50 N का बल स्प्रिंग को 0.01 मीटर तक खींचता है। इसे 0.22 से 0.32 मीटर तक फैलाने के लिए क्या कार्य करना चाहिए?

हल: समानता (3) का उपयोग करते हुए, हमारे पास 50=0.01k, यानी kK = 5000 N/m है। हम एकीकरण की सीमा पाते हैं: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (एम), ख = 0.32- 0.2 = 0.12 (एम)। अब, सूत्र (2) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

3. भार उठाते समय किए गए कार्य की गणना

एक कार्य। 0.5 मीटर के आधार त्रिज्या और 2 मीटर की ऊंचाई के साथ एक बेलनाकार टैंक पानी से भर जाता है। टैंक से पानी निकालने के लिए किए जाने वाले कार्य की गणना कीजिए।

समाधान: ऊंचाई dx के साथ x गहराई पर एक क्षैतिज परत का चयन करें ( चावल।) वजन P के पानी की परत को x ऊंचाई तक बढ़ाने के लिए किया जाने वाला कार्य A, Px के बराबर है।

गहराई x में थोड़ी मात्रा dx में परिवर्तन से dV = . द्वारा वॉल्यूम V में परिवर्तन होगा पीआर 2 डीएक्स और वजन में परिवर्तन * dР = 9807 r 2 dх द्वारा; इस स्थिति में, किया गया कार्य A, dА=9807пr 2 xdх के मान से बदल जाएगा। इस समानता को एक्स के रूप में एकीकृत करते हुए, 0 से एच में बदल जाता है, हम प्राप्त करते हैं

4. द्रव दाब बल की गणना

ताकत का मतलब आरएक क्षैतिज मंच पर तरल दबाव विसर्जन की गहराई पर निर्भर करता है एक्सयह साइट, यानी साइट की दूरी से तरल की सतह तक।

क्षैतिज प्लेटफॉर्म पर दबाव बल (एन) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है पी = 9807एसएक्स,

कहाँ पे - तरल घनत्व, किग्रा / मी 3 ; एस - साइट क्षेत्र, एम 2; एक्स -मंच विसर्जन गहराई, एम

यदि द्रव के दबाव में प्लेटफॉर्म क्षैतिज नहीं है, तो उस पर दबाव अलग-अलग गहराई पर अलग-अलग होता है, इसलिए प्लेटफॉर्म पर दबाव बल इसके विसर्जन की गहराई का एक कार्य है। पी (एक्स)।

5. एआरसी लंबाई

समतल वक्र होने दें अब(चावल।)समीकरण द्वारा दिया गया वाई \u003d एफ (एक्स) (एएक्सबी)तथा एफ (एक्स)तथा च? (एक्स)अंतराल में निरंतर कार्य हैं [ए, बी]। फिर अंतर डेलीवक्राकार लंबाई अबसूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है या , और चाप की लंबाई अबसूत्र द्वारा परिकलित (4)

जहाँ a और b स्वतंत्र चर के मान हैं एक्सबिंदु A और B पर। यदि वक्र समीकरण द्वारा दिया गया है एक्स =(वाई) (वाई के साथडी)तो चाप AB की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है (5) जहां साथतथा डीस्वतंत्र चर मान परबिंदुओं पर लेकिनऔर वी.

6. मास का केंद्र

द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात करते समय, निम्नलिखित नियमों का उपयोग किया जाता है:

1) एक्स समन्वय ? भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र 1 , А 2 ,..., n द्रव्यमान के साथ m 1 , m 2 , ..., m n निर्देशांक x 1 , x 2 , के साथ बिंदुओं पर एक सीधी रेखा पर स्थित है। ..., x n , सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

(*); 2) द्रव्यमान के केंद्र के समन्वय की गणना करते समय, आकृति के किसी भी भाग को एक भौतिक बिंदु से बदला जा सकता है, इसे इस भाग के द्रव्यमान के केंद्र में रखकर, और इसे माना भाग के द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान प्रदान किया जा सकता है। आकृति का। उदाहरण। मान लें कि रॉड-खंड [a;b] अक्ष के अनुदिश - द्रव्यमान घनत्व (x) के साथ वितरित किया जाता है, जहां (x) एक सतत कार्य है। आइए दिखाते हैं कि ए) रॉड का कुल द्रव्यमान एम बराबर है; बी) द्रव्यमान x . के केंद्र का समन्वय " के बराबर है .

आइए खंड को विभाजित करें [ए; b] n बराबर भागों में बिंदुओं के साथ a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (चावल।) इन n खंडों में से प्रत्येक पर, घनत्व को बड़े n के लिए स्थिर माना जा सकता है और k-वें खंड पर (x k - 1) के लगभग बराबर (x की निरंतरता के कारण)। तब k-वें खंड का द्रव्यमान लगभग के बराबर है और पूरी छड़ का द्रव्यमान है

अभिन्न की अवधारणा जीवन में व्यापक रूप से लागू होती है। इंटीग्रल का उपयोग विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। इंटीग्रल का उपयोग करके गणना किए जाने वाले मुख्य कार्य इसके लिए कार्य हैं:

1. पिंड का आयतन ज्ञात करना

2. पिंड के द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात करना।

आइए उनमें से प्रत्येक पर अधिक विस्तार से विचार करें। यहाँ और नीचे, कुछ फलन f(x) के एक निश्चित समाकल को निरूपित करने के लिए, a से b तक समाकलन सीमा के साथ, हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे ए बी एफ (एक्स).

किसी पिंड का आयतन ज्ञात करना

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें। मान लीजिए कोई पिंड है जिसका आयतन V के बराबर है। एक ऐसी सीधी रेखा भी है कि यदि हम इस सीधी रेखा के लंबवत एक निश्चित तल को लें, तो इस तल द्वारा इस पिंड का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल S ज्ञात हो जाएगा।

ऐसा प्रत्येक तल x-अक्ष के लंबवत होगा, और इसलिए इसे किसी बिंदु x पर काटेगा। यही है, खंड से प्रत्येक बिंदु x को संख्या S (x) - शरीर का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र, इस बिंदु से गुजरने वाला विमान सौंपा जाएगा।

यह पता चला है कि सेगमेंट पर कुछ फ़ंक्शन एस (एक्स) दिया जाएगा। यदि यह फ़ंक्शन इस खंड पर निरंतर है, तो निम्न सूत्र मान्य होगा:

वी = ∫ ए बी एस (एक्स) डीएक्स।

इस कथन का प्रमाण स्कूली पाठ्यक्रम के दायरे से बाहर है।

किसी पिंड के द्रव्यमान के केंद्र की गणना

भौतिकी में द्रव्यमान केंद्र का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोई शरीर है जो किसी भी गति से चलता है। लेकिन एक बड़े शरीर पर विचार करना असुविधाजनक है, और इसलिए भौतिकी में इस शरीर को एक बिंदु की गति के रूप में माना जाता है, यह मानते हुए कि इस बिंदु का द्रव्यमान पूरे शरीर के समान है।

और इस मामले में शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की गणना करने का कार्य मुख्य है। क्योंकि शरीर बड़ा है, और किस बिंदु को द्रव्यमान का केंद्र माना जाना चाहिए? शायद शरीर के बीच में एक? या हो सकता है कि अग्रणी धार के निकटतम बिंदु? यहीं से एकीकरण आता है।

द्रव्यमान का केंद्र ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित दो नियमों का उपयोग किया जाता है:

1. किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र का निर्देशांक x' A1, A2, A3, … द्रव्यमान वाला एक क्रमशः m1, m2, m3, … mn, निर्देशांक x1, x2 वाले बिंदुओं पर एक सीधी रेखा पर स्थित है। x3, ... xn निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. द्रव्यमान के केंद्र के निर्देशांक की गणना करते समय, विचाराधीन आकृति के किसी भी भाग को भौतिक बिंदु द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जबकि इसे आकृति के इस अलग भाग के द्रव्यमान के केंद्र में रखा जा सकता है, और द्रव्यमान को बराबर लिया जा सकता है आकृति के इस भाग के द्रव्यमान तक।

उदाहरण के लिए, यदि घनत्व p(x) का एक द्रव्यमान रॉड के साथ वितरित किया जाता है - ऑक्स अक्ष का एक खंड, जहां p(x) एक सतत कार्य है, तो द्रव्यमान x' के केंद्र का समन्वय बराबर होगा।