§ 1 पूर्ण और भिन्नात्मक परिमेय समीकरण

इस पाठ में, हम एक परिमेय समीकरण, एक परिमेय व्यंजक, एक पूर्णांक व्यंजक, एक भिन्नात्मक व्यंजक जैसी अवधारणाओं का विश्लेषण करेंगे। तर्कसंगत समीकरणों के समाधान पर विचार करें।

एक परिमेय समीकरण एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें बाएँ और दाएँ पक्ष तर्कसंगत व्यंजक होते हैं।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति हैं:

भिन्नात्मक।

एक पूर्णांक व्यंजक शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से जोड़, घटाव, गुणा और भाग के संचालन का उपयोग करके संख्याओं, चर, पूर्णांक शक्तियों से बना होता है।

उदाहरण के लिए:

भिन्नात्मक व्यंजकों में एक चर द्वारा एक विभाजन होता है या एक चर के साथ एक व्यंजक होता है। उदाहरण के लिए:

इसमें शामिल चर के सभी मूल्यों के लिए एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति

x = -9 पर इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि x = -9 पर हर शून्य हो जाता है।

इसका अर्थ है कि एक परिमेय समीकरण पूर्णांक और भिन्नात्मक हो सकता है।

एक पूर्णांक परिमेय समीकरण एक परिमेय समीकरण है जिसमें बाएँ और दाएँ पक्ष पूर्णांक व्यंजक होते हैं।

उदाहरण के लिए:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण एक परिमेय समीकरण है जिसमें बाएँ या दाएँ पक्ष भिन्नात्मक व्यंजक होते हैं।

उदाहरण के लिए:

§ 2 एक संपूर्ण परिमेय समीकरण का हल

एक संपूर्ण परिमेय समीकरण के हल पर विचार करें।

उदाहरण के लिए:

समीकरण के दोनों पक्षों को इसमें शामिल भिन्नों के हरों के सबसे छोटे आम ​​भाजक से गुणा करें।

इसके लिए:

1. हर 2, 3, 6 के लिए एक सामान्य हर खोजें। यह 6 के बराबर है;

2. प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक भाजक द्वारा आम भाजक 6 को विभाजित करें

भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक

भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक

3. भिन्नों के अंशों को उनके संगत अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें। इस प्रकार, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

जो इस समीकरण के बराबर है

आइए बाईं ओर के कोष्ठक खोलें, दाएं भाग को बाईं ओर ले जाएं, स्थानांतरण के दौरान शब्द के संकेत को विपरीत में बदलते हुए।

हम बहुपद के समान पद देते हैं और प्राप्त करते हैं

हम देखते हैं कि समीकरण रैखिक है।

इसे हल करने पर हम पाते हैं कि x = 0.5.

§ 3 भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का हल

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के हल पर विचार करें।

उदाहरण के लिए:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को इसमें शामिल परिमेय भिन्नों के हरों के सबसे छोटे उभयनिष्ठ हर से गुणा करें।

हर x + 7 और x - 1 के लिए सामान्य हर का पता लगाएं।

यह उनके गुणनफल (x + 7) (x - 1) के बराबर है।

2. आइए प्रत्येक परिमेय भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करें।

ऐसा करने के लिए, हम सामान्य हर (x + 7) (x - 1) को प्रत्येक हर से विभाजित करते हैं। भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक

बराबर एक्स -1,

भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक

x+7 के बराबर है।

3. भिन्नों के अंशों को उनके संगत अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा करें।

हमें समीकरण (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7) मिलता है, जो इस समीकरण के बराबर है

4. बाएँ और दाएँ द्विपद को द्विपद से गुणा करें और निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करें:

5. हम दाहिने हिस्से को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, विपरीत में स्थानांतरित होने पर प्रत्येक पद के संकेत को बदलते हैं:

6. हम बहुपद के समान सदस्यों को प्रस्तुत करते हैं:

7. आप दोनों भागों को -1 से विभाजित कर सकते हैं। हमें एक द्विघात समीकरण मिलता है:

8. इसे हल करने के बाद, हम जड़ें पाएंगे

चूंकि समीकरण में

बाएँ और दाएँ भाग भिन्नात्मक व्यंजक हैं, और भिन्नात्मक व्यंजकों में, चर के कुछ मानों के लिए, हर गायब हो सकता है, फिर यह जाँचना आवश्यक है कि क्या x1 और x2 पाए जाने पर सामान्य हर गायब नहीं होता है।

x = -27 पर उभयनिष्ठ हर (x + 7) (x - 1) लुप्त नहीं होता है, x = -1 पर उभयनिष्ठ भाजक भी शून्य नहीं होता है।

इसलिए, दोनों मूल -27 और -1 समीकरण के मूल हैं।

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करते समय, अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र को तुरंत इंगित करना बेहतर होता है। उन मानों को हटा दें जिन पर आम भाजक शून्य हो जाता है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण के लिए, आइए समीकरण को हल करें

हम समीकरण के दाईं ओर भिन्न के हर को गुणनखंडों में विघटित करते हैं

हमें समीकरण मिलता है

हर (x - 5), x, x (x - 5) के लिए एक सामान्य हर खोजें।

यह व्यंजक x (x - 5) होगा।

आइए अब समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा ज्ञात करें

ऐसा करने के लिए, हम सामान्य भाजक को शून्य x (x - 5) \u003d 0 के बराबर करते हैं।

हमें एक समीकरण मिलता है, जिसे हल करते हुए, हम पाते हैं कि x \u003d 0 या x \u003d 5 पर, सामान्य हर गायब हो जाता है।

तो x = 0 या x = 5 हमारे समीकरण के मूल नहीं हो सकते।

अब आप अतिरिक्त गुणक पा सकते हैं।

परिमेय भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक

भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक

होगा (x - 5),

और भिन्न का अतिरिक्त गुणनखंड

हम अंशों को संबंधित अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं।

हमें समीकरण x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) प्राप्त होता है।

आइए बाएँ और दाएँ कोष्ठक खोलें, x2 - 3x + x - 5 = x + 5।

आइए स्थानांतरित किए जाने वाले शब्दों के चिह्न को बदलकर शब्दों को दाएं से बाएं ले जाएं:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

और समान पदों को लाने के बाद, हमें द्विघात समीकरण x2 - 3x - 10 \u003d 0 मिलता है। इसे हल करने के बाद, हम जड़ें x1 \u003d -2 पाते हैं; x2 = 5.

लेकिन हम पहले ही जान चुके हैं कि x = 5 पर उभयनिष्ठ हर x(x - 5) गायब हो जाता है। इसलिए, हमारे समीकरण की जड़

x = -2 होगा।

§ 4 पाठ का सारांश

याद रखना महत्वपूर्ण:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करते समय, आपको निम्न कार्य करने चाहिए:

1. समीकरण में शामिल भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए। इसके अलावा, यदि भिन्नों के हरों को कारकों में विघटित किया जा सकता है, तो उन्हें कारकों में विघटित करें और फिर सामान्य हर का पता लगाएं।

2. समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा करें: अतिरिक्त कारक खोजें, अतिरिक्त कारकों से अंशों को गुणा करें।

3. परिणामी संपूर्ण समीकरण को हल करें।

4. इसके मूल में से उन को हटा दें जो उभयनिष्ठ हर को शून्य कर देते हैं।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मकारिचेव यू.एन., एन.जी. मिंड्युक, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. / तेल्याकोवस्की एस.ए. के संपादन के तहत। बीजगणित: पाठ्यपुस्तक। 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान। - एम .: शिक्षा, 2013।
2. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। ग्रेड 8: दो भागों में। भाग 1: प्रक्रिया। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान। - एम .: निमोसिन।
3. रुरुकिन ए.एन. बीजगणित में पाठ विकास: ग्रेड 8. - एम।: वाको, 2010।
4. बीजगणित ग्रेड 8: पाठ्यपुस्तक के अनुसार पाठ योजना यू.एन. मकारिचेवा, एन.जी. मिंड्युक, के.आई. नेशकोवा, एस.बी. सुवोरोवा / प्रामाणिक-कॉम्प। टी.एल. अफानासेव, एल.ए. टैपिलिना। - वोल्गोग्राड: शिक्षक, 2005।

सीधे शब्दों में कहें, ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें हर में एक चर के साथ कम से कम एक होता है।

उदाहरण के लिए:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नहींभिन्नात्मक परिमेय समीकरण:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के बारे में याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आपको उनमें लिखने की आवश्यकता है। और जड़ों को खोजने के बाद, उन्हें स्वीकार्यता के लिए जांचना सुनिश्चित करें। अन्यथा, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और पूरे समाधान को गलत माना जाएगा।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

ODZ लिखें और "हल करें"।

समीकरण में प्रत्येक पद को एक सामान्य हर से गुणा करें और परिणामी भिन्नों को कम करें। भाजक गायब हो जाएंगे।

कोष्ठक खोले बिना समीकरण लिखिए।

परिणामी समीकरण को हल करें।

ओडीजेड के साथ मिली जड़ों की जांच करें।

चरण 7 में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले मूलों के उत्तर में लिखिए।

एल्गोरिथ्म को याद न करें, 3-5 हल किए गए समीकरण - और यह अपने आप याद हो जाएगा।

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हल करें \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

फेसला:

जवाब: \(3\).

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(=0\)

फेसला:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ओडीजेड: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(डी=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		हम ODZ लिखते हैं और "हल" करते हैं। सूत्र में \(x^2+7x+10\) का विस्तार करें: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)। सौभाग्य से \(x_1\) और \(x_2\) हम पहले ही पा चुके हैं।
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		जाहिर है, भिन्नों का सामान्य हर: \((x+2)(x+5)\)। हम इससे पूरे समीकरण को गुणा करते हैं।
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		हम भिन्नों को कम करते हैं
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		कोष्ठक खोलना
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		हम समान शर्तें देते हैं
\(2x^2+9x-5=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		जड़ों में से एक ओडीजेड के तहत फिट नहीं होता है, इसलिए प्रतिक्रिया में हम केवल दूसरी जड़ लिखते हैं।

जवाब: \(\frac(1)(2)\).

हमने उपरोक्त समीकरण को 7 में प्रस्तुत किया है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि एक परिमेय व्यंजक क्या है। यह एक प्राकृतिक घातांक के साथ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और चर x से बना एक बीजीय व्यंजक है।

यदि r(x) एक परिमेय व्यंजक है, तो समीकरण r(x) = 0 एक परिमेय समीकरण कहलाता है।

हालाँकि, व्यवहार में "तर्कसंगत समीकरण" शब्द की कुछ हद तक व्यापक व्याख्या का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है: यह h(x) = q(x) के रूप का एक समीकरण है, जहाँ h(x) और q(x) हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

अब तक, हम किसी भी तर्कसंगत समीकरण को हल नहीं कर सके, लेकिन केवल एक ही, जो विभिन्न परिवर्तनों और तर्कों के परिणामस्वरूप कम हो गया था रेखीय समीकरण. अब हमारी संभावनाएं बहुत अधिक हैं: हम एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे, जो न केवल रैखिक को कम करता है
mu, लेकिन द्विघात समीकरण के लिए भी।

याद कीजिए कि कैसे हमने पहले परिमेय समीकरणों को हल किया था और एक समाधान एल्गोरिथम बनाने का प्रयास किया था।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

इस मामले में, हमेशा की तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि समानताएं ए \u003d बी और ए - बी \u003d 0 ए और बी के बीच समान संबंध व्यक्त करती हैं। इसने हमें समीकरण के बाईं ओर शब्द को स्थानांतरित करने की अनुमति दी विपरीत चिन्ह।

आइए समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है

समानता की शर्तों को याद करें अंशोंशून्य: यदि, और केवल तभी, जब दो संबंध एक साथ संतुष्ट हों:

1) भिन्न का अंश शून्य है (a = 0); 2) भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है)।
समीकरण (1) के बाईं ओर भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह ऊपर उल्लिखित दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करने के लिए बनी हुई है। अनुपात का अर्थ समीकरण (1) के लिए है। मान x 1 = 2 और x 2 = 0.6 संकेतित संबंधों को संतुष्ट करते हैं और इसलिए समीकरण (1) की जड़ों के रूप में कार्य करते हैं, और साथ ही साथ दिए गए समीकरण की जड़ें भी।

1) आइए समीकरण को रूप में बदलें

2) आइए इस समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करें:

(साथ ही अंश में चिह्नों को बदल दिया और
अंश)।
इस प्रकार, दिया गया समीकरण रूप लेता है

3) समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 को हल कीजिए

4) पाए गए मानों के लिए, स्थिति की जाँच करें . संख्या 4 इस शर्त को पूरा करती है, लेकिन संख्या 2 नहीं। अतः 4 दिए गए समीकरण का मूल है, और 2 एक बाह्य मूल है।
उत्तर - 4।

2. एक नए चर का परिचय देकर परिमेय समीकरणों का समाधान

एक नया चर पेश करने की विधि आप से परिचित है, हमने इसे एक से अधिक बार उपयोग किया है। आइए उदाहरणों के द्वारा दिखाएं कि इसका उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को हल करने में कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3समीकरण x 4 + x 2 - 20 = 0 को हल करें।

फेसला। हम एक नया चर y \u003d x 2 पेश करते हैं। चूँकि x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, तो दिए गए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

वाई 2 + वाई - 20 = 0।

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसके मूल हम ज्ञात . का उपयोग करके ज्ञात करेंगे सूत्रों; हमें y 1 = 4, y 2 = - 5 प्राप्त होता है।
लेकिन y \u003d x 2, जिसका अर्थ है कि समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई है:
x2=4; एक्स 2 \u003d -5।

पहले समीकरण से हम पाते हैं कि दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
जवाब: ।
कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी \u003d 0 फॉर्म के समीकरण को द्विघात समीकरण ("द्वि" - दो, यानी, जैसा कि "दो बार वर्ग" समीकरण) कहा जाता है। अभी हल किया गया समीकरण बिल्कुल द्विघाती था। किसी भी द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे उदाहरण 3 से समीकरण: एक नया चर y \u003d x 2 पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण को चर y के संबंध में हल किया जाता है, और फिर चर x पर वापस आ जाता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें

फेसला। ध्यान दें कि समान व्यंजक x 2 + 3x यहाँ दो बार आता है। इसलिए, एक नया चर y = x 2 + Zx पेश करना समझ में आता है। यह हमें एक सरल और अधिक सुखद रूप में समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देगा (जो वास्तव में, एक नए को पेश करने का उद्देश्य है चर- और रिकॉर्डिंग आसान है
, और समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है):

और अब हम एक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।

1) आइए समीकरण के सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ:

= 0
2) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें

इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को रूप में बदल दिया है

3) समीकरण से - 7y 2 + 29y -4 = 0 हम पाते हैं (हमने पहले से ही बहुत सारे द्विघात समीकरणों को हल कर लिया है, इसलिए शायद यह हमेशा पाठ्यपुस्तक में विस्तृत गणना देने के लायक नहीं है)।

4) आइए 5 (y - 3) (y + 1) की स्थिति का उपयोग करके पाए गए जड़ों की जाँच करें। दोनों जड़ें इस शर्त को पूरा करती हैं।
तो, नए चर y के लिए द्विघात समीकरण हल हो गया है:
चूंकि y \u003d x 2 + Zx, और y, जैसा कि हमने स्थापित किया है, दो मान लेता है: 4 और, - हमें अभी भी दो समीकरणों को हल करना है: x 2 + Zx \u003d 4; एक्स 2 + जेडएक्स \u003d। पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और -4 हैं, दूसरे समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं

विचार किए गए उदाहरणों में, एक नए चर को पेश करने की विधि थी, जैसा कि गणितज्ञ कहना चाहते हैं, स्थिति के लिए पर्याप्त है, अर्थात यह इसके साथ अच्छी तरह से मेल खाता है। क्यों? हां, क्योंकि एक ही अभिव्यक्ति कई बार समीकरण में स्पष्ट रूप से सामने आई थी और इस अभिव्यक्ति को एक नए अक्षर के साथ नामित करना उचित था। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी एक नया चर केवल परिवर्तनों की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"। ठीक यही अगले उदाहरण में होगा।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
फेसला। हमारे पास है
एक्स (एक्स - 3) \u003d एक्स 2 - 3x;
(एक्स - 1) (एक्स - 2) \u003d एक्स 2 -3x + 2।

अतः दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

अब एक नया चर "प्रकट" हुआ है: y = x 2 - Zx।

इसकी मदद से, समीकरण को y (y + 2) \u003d 24 और फिर y 2 + 2y - 24 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण की जड़ें संख्या 4 और -6 हैं।

मूल चर x पर लौटने पर, हम दो समीकरण x 2 - Zx \u003d 4 और x 2 - Zx \u003d - 6. प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण से हम x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1 पाते हैं; दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर : 4,-1.

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आइए परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हों, उनकी परिभाषा दें, उदाहरण दें, और सबसे सामान्य प्रकार की समस्याओं का विश्लेषण भी करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

परिमेय समीकरण: परिभाषा और उदाहरण

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों से परिचित होना स्कूल की 8 वीं कक्षा में शुरू होता है। इस समय, बीजगणित के पाठों में, छात्र तेजी से ऐसे समीकरणों वाले कार्यों को पूरा करने लगे हैं जिनमें उनके नोट्स में तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ होती हैं। आइए अपनी याददाश्त को ताज़ा करें कि यह क्या है।

परिभाषा 1

तर्कसंगत समीकरणएक समीकरण है जिसमें दोनों पक्षों में परिमेय व्यंजक होते हैं।

विभिन्न मैनुअल में, आप एक और शब्द पा सकते हैं।

परिभाषा 2

तर्कसंगत समीकरण- यह एक समीकरण है, जिसके बाईं ओर के रिकॉर्ड में एक परिमेय व्यंजक होता है, और दाईं ओर शून्य होता है।

हमने परिमेय समीकरणों के लिए जो परिभाषाएँ दी हैं, वे समतुल्य हैं, क्योंकि उनका मतलब एक ही है। हमारे शब्दों की शुद्धता की पुष्टि इस तथ्य से होती है कि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति के लिए पीऔर क्यूसमीकरण पी = क्यूऔर पी - क्यू = 0समकक्ष अभिव्यक्ति होगी।

अब आइए उदाहरणों की ओर मुड़ें।

उदाहरण 1

परिमेय समीकरण:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3।

परिमेय समीकरण, अन्य प्रकार के समीकरणों की तरह, 1 से लेकर कई तक के चर हो सकते हैं। आरंभ करने के लिए, हम उन सरल उदाहरणों को देखेंगे जिनमें समीकरणों में केवल एक चर होगा। और फिर हम धीरे-धीरे कार्य को जटिल बनाना शुरू करते हैं।

परिमेय समीकरण दो बड़े समूहों में विभाजित हैं: पूर्णांक और भिन्नात्मक। आइए देखें कि प्रत्येक समूह पर कौन से समीकरण लागू होंगे।

परिभाषा 3

एक परिमेय समीकरण एक पूर्णांक होगा यदि इसके बाएँ और दाएँ भागों के रिकॉर्ड में संपूर्ण परिमेय व्यंजक हों।

परिभाषा 4

एक परिमेय समीकरण भिन्नात्मक होगा यदि उसके एक या दोनों भागों में भिन्न हो।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर द्वारा विभाजन होता है, या चर हर में मौजूद होता है। पूर्णांक समीकरण लिखने में ऐसा कोई विभाजन नहीं है।

उदाहरण 2

3 एक्स + 2 = 0और (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं। यहाँ समीकरण के दोनों भागों को पूर्णांक व्यंजकों द्वारा निरूपित किया जाता है।

1 एक्स - 1 = एक्स 3 और x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हैं।

संपूर्ण परिमेय समीकरणों में रैखिक और द्विघात समीकरण शामिल हैं।

संपूर्ण समीकरणों को हल करना

ऐसे समीकरणों का हल आमतौर पर उनके समतुल्य बीजीय समीकरणों में परिवर्तन को कम कर देता है। यह निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार समीकरणों के समतुल्य परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है:

• पहले हमें समीकरण के दायीं ओर शून्य मिलता है, इसके लिए समीकरण के दायीं ओर के व्यंजक को उसके बायीं ओर स्थानांतरित करना और चिन्ह को बदलना आवश्यक है;
• तब हम समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को एक मानक रूप बहुपद में बदल देते हैं।

हमें एक बीजीय समीकरण प्राप्त करना है। यह समीकरण मूल समीकरण के तुल्य होगा। आसान मामले हमें पूरे समीकरण को एक रैखिक या द्विघात समीकरण में कम करके समस्या को हल करने की अनुमति देते हैं। सामान्य स्थिति में, हम डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करते हैं एन.

उदाहरण 3

संपूर्ण समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

फेसला

आइए मूल व्यंजक को उसके समतुल्य बीजीय समीकरण प्राप्त करने के लिए रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण के दाईं ओर निहित व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करेंगे और चिह्न को विपरीत में बदल देंगे। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

अब हम बाईं ओर के व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में बदल देंगे और इस बहुपद के साथ आवश्यक क्रियाएं करेंगे:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

हम फॉर्म के द्विघात समीकरण के समाधान के लिए मूल समीकरण के समाधान को कम करने में कामयाब रहे एक्स 2 - 5 एक्स - 6 = 0. इस समीकरण का विभेदक धनात्मक है: डी = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49।इसका मतलब है कि दो वास्तविक जड़ें होंगी। आइए द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके उन्हें खोजें:

एक्स \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 या x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 या x 2 = - 1

आइए समीकरण की जड़ों की शुद्धता की जांच करें जो हमने समाधान के दौरान पाया था। इस संख्या के लिए, जो हमें प्राप्त हुई, हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3और 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) - 1) - 3. पहले मामले में 63 = 63 , क्षण में 0 = 0 . जड़ों एक्स = 6और एक्स = - 1वास्तव में उदाहरण की स्थिति में दिए गए समीकरण के मूल हैं।

जवाब: 6 , − 1 .

आइए देखें कि "संपूर्ण समीकरण की शक्ति" का क्या अर्थ है। हम अक्सर उन मामलों में इस शब्द का सामना करेंगे जब हमें बीजगणित के रूप में एक संपूर्ण समीकरण का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता होती है। आइए अवधारणा को परिभाषित करें।

परिभाषा 5

एक पूर्णांक समीकरण की डिग्रीमूल संपूर्ण समीकरण के समतुल्य बीजीय समीकरण की घात है।

यदि आप उपरोक्त उदाहरण से समीकरणों को देखते हैं, तो आप स्थापित कर सकते हैं: इस पूरे समीकरण की डिग्री दूसरी है।

यदि हमारा पाठ्यक्रम दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने तक सीमित था, तो विषय पर विचार यहां पूरा किया जा सकता था। लेकिन सब कुछ इतना आसान नहीं है। थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करना मुश्किलों से भरा होता है। और चौथी डिग्री से ऊपर के समीकरणों के लिए, जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इस संबंध में, तीसरी, चौथी और अन्य डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए हमें कई अन्य तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला दृष्टिकोण गुणन विधि पर आधारित है। इस मामले में क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• हम व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं ताकि शून्य रिकॉर्ड के दाईं ओर बना रहे;
• हम बायीं ओर के व्यंजक को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, और फिर हम कई सरल समीकरणों के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

समीकरण (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) का हल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम रिकॉर्ड के दाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना इस तथ्य के कारण अव्यावहारिक है कि यह हमें चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण देगा: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. परिवर्तन की आसानी ऐसे समीकरण को हल करने में सभी कठिनाइयों को उचित नहीं ठहराती है।

दूसरी तरफ जाना बहुत आसान है: हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13।इस प्रकार हम फॉर्म के समीकरण पर पहुंचते हैं (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. अब हम परिणामी समीकरण को दो द्विघात समीकरणों के समुच्चय से प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13 = 0और एक्स 2 - 2 एक्स - 1 = 0और विभेदक के माध्यम से उनकी जड़ें खोजें: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ।

जवाब: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2।

इसी तरह, हम एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह विधि हमें मूल संपूर्ण समीकरण की तुलना में कम शक्तियों वाले समकक्ष समीकरणों को पारित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण 5

क्या समीकरण की जड़ें हैं? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

फेसला

यदि अब हम एक संपूर्ण परिमेय समीकरण को एक बीजीय समीकरण में कम करने का प्रयास करते हैं, तो हमें घात 4 का एक समीकरण प्राप्त होगा, जिसका कोई परिमेय मूल नहीं है। इसलिए, हमारे लिए दूसरी तरफ जाना आसान होगा: एक नया चर y पेश करें, जो समीकरण में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करेगा एक्स 2 + 3 एक्स.

अब हम पूरे समीकरण के साथ काम करेंगे (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). हम समीकरण के दाईं ओर विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और आवश्यक परिवर्तन करते हैं। हम पाते हैं: वाई 2 + 4 वाई + 3 = 0. आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें: वाई = - 1और वाई = - 3.

अब चलो रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं। हमें दो समीकरण मिलते हैं एक्स 2 + 3 एक्स = - 1और एक्स 2 + 3 एक्स = - 3।आइए उन्हें x 2 + 3 x + 1 = 0 और . के रूप में फिर से लिखें एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0. प्राप्त प्रथम समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करते हैं: - 3 ± 5 2 । दूसरे समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है। इसका मतलब है कि दूसरे समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

जवाब:- 3 ± 5 2

उच्च डिग्री के पूर्णांक समीकरण अक्सर समस्याओं में आते हैं। इनसे डरने की जरूरत नहीं है। आपको कई कृत्रिम परिवर्तनों सहित, उन्हें हल करने की एक गैर-मानक विधि लागू करने के लिए तैयार रहने की आवश्यकता है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

हम इस उप-विषय पर विचार p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ शुरू करते हैं, जहां पी (एक्स)और क्यू (एक्स)पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं। अन्य भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के हल को हमेशा संकेतित रूप के समीकरणों के हल में घटाया जा सकता है।

समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक भिन्न आप, कहाँ पे वीएक संख्या है जो शून्य से भिन्न होती है, शून्य के बराबर होती है केवल उन मामलों में जहां भिन्न का अंश शून्य के बराबर होता है। उपरोक्त कथन के तर्क का अनुसरण करते हुए, हम यह दावा कर सकते हैं कि समीकरण p (x) q (x) = 0 का हल दो शर्तों की पूर्ति के लिए घटाया जा सकता है: पी (एक्स) = 0और क्यू (एक्स) 0. इस पर, p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया है:

• हम संपूर्ण परिमेय समीकरण का हल ढूंढते हैं पी (एक्स) = 0;
• हम जाँचते हैं कि समाधान के दौरान मिली जड़ों के लिए स्थिति संतुष्ट है या नहीं क्यू (एक्स) 0.

अगर यह शर्त पूरी हो जाए तो जड़ मिल जाती है अगर नहीं तो जड़ समस्या का समाधान नहीं है।

उदाहरण 6

समीकरण 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम p (x) q (x) = 0 के रूप के एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, जिसमें p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 - 2 = 0 है। आइए रैखिक समीकरण को हल करना शुरू करें 3 एक्स - 2 = 0. इस समीकरण का मूल होगा एक्स = 2 3.

आइए देखें कि पाया गया मूल क्या है, क्या यह शर्त को पूरा करता है 5 x 2 - 2 0. ऐसा करने के लिए, व्यंजक में एक संख्यात्मक मान बदलें। हमें मिलता है: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0।

शर्त पूरी होती है। इसका मतलब है कि एक्स = 2 3मूल समीकरण का मूल है।

जवाब: 2 3 .

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए एक अन्य विकल्प है। याद रखें कि यह समीकरण पूरे समीकरण के बराबर है पी (एक्स) = 0मूल समीकरण के चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा पर। यह हमें समीकरण p(x) q(x) = 0 को हल करने में निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करने की अनुमति देता है:

• प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
• चर x के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी ज्ञात कीजिए;
• हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल के रूप में चर x के स्वीकार्य मानों के क्षेत्र में स्थित जड़ों को लेते हैं।

उदाहरण 7

समीकरण x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 हल कीजिए।

फेसला

सबसे पहले, द्विघात समीकरण को हल करते हैं एक्स 2 - 2 एक्स - 11 = 0. इसकी जड़ों की गणना करने के लिए, हम एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करते हैं। हम पाते हैं डी 1 = (− 1) 2 - 1 (− 11) = 12, और x = 1 ± 2 3 ।

अब हम मूल समीकरण के लिए x का ODV ज्ञात कर सकते हैं। ये सभी संख्याएँ हैं जिनके लिए एक्स 2 + 3 एक्स ≠ 0. यह वैसा ही है जैसा एक्स (एक्स + 3) 0, जहां से x ≠ 0 , x ≠ − 3 ।

अब देखते हैं कि समाधान के पहले चरण में प्राप्त मूल x = 1 ± 2 3 चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा के भीतर हैं या नहीं। हम देखते हैं कि क्या आता है। इसका अर्थ है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं x = 1 ± 2 3 ।

जवाब:एक्स = 1 ± 2 3

वर्णित दूसरी समाधान विधि उन मामलों में पहले की तुलना में सरल है जहां चर x के स्वीकार्य मानों का क्षेत्र आसानी से मिल जाता है, और समीकरण की जड़ें पी (एक्स) = 0तर्कहीन। उदाहरण के लिए, 7 ± 4 26 9। जड़ें तर्कसंगत हो सकती हैं, लेकिन एक बड़े अंश या हर के साथ। उदाहरण के लिए, 127 1101 और − 31 59 . यह स्थिति की जाँच के लिए समय बचाता है। क्यू (एक्स) 0: ओडीजेड के अनुसार, फिट नहीं होने वाली जड़ों को बाहर करना बहुत आसान है।

जब समीकरण की जड़ें पी (एक्स) = 0पूर्णांक हैं, तो p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए वर्णित एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक समीचीन है। एक पूरे समीकरण की जड़ों को तेजी से ढूँढना पी (एक्स) = 0, और फिर जांचें कि क्या उनके लिए शर्त पूरी हुई है क्यू (एक्स) 0, और ODZ नहीं खोजें, और फिर समीकरण हल करें पी (एक्स) = 0इस ओडीजेड पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

उदाहरण 8

समीकरण (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 के मूल ज्ञात कीजिए। = 0।

फेसला

हम पूरे समीकरण पर विचार करके शुरू करते हैं (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0और उसकी जड़ों को खोज रहा है। ऐसा करने के लिए, हम गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि लागू करते हैं। यह पता चला है कि मूल समीकरण चार समीकरणों के एक सेट के बराबर है 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, जिनमें से तीन रैखिक हैं और एक चौकोर है। हम मूल पाते हैं: पहले समीकरण से एक्स = 1 2, दूसरे से एक्स = 6, तीसरे से - x \u003d 7, x \u003d - 2, चौथे से - एक्स = - 1.

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें। ओएचएस को परिभाषित करें इस मामले मेंयह हमारे लिए मुश्किल है, क्योंकि इसके लिए हमें पांचवीं डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करना होगा। उस स्थिति की जाँच करना आसान होगा जिसके अनुसार भिन्न का हर, जो समीकरण के बाईं ओर है, गायब नहीं होना चाहिए।

बदले में, व्यंजक में चर x के स्थान पर मूलों को प्रतिस्थापित करें x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112और इसके मूल्य की गणना करें:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(- 2) 5 - 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(− 1) 5 - 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 - 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0।

किया गया सत्यापन हमें यह स्थापित करने की अनुमति देता है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण की जड़ें हैं 1 2 , 6 तथा − 2 .

जवाब: 1 2 , 6 , - 2

उदाहरण 9

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

आइए समीकरण से शुरू करते हैं (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. आइए जानें इसकी जड़ें। द्विघात और रैखिक समीकरणों के संयोजन के रूप में इस समीकरण का प्रतिनिधित्व करना हमारे लिए आसान है 5 x 2 - 7 x - 1 = 0और एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण के मूल सूत्र का उपयोग करके हम मूल ज्ञात करते हैं। हमें पहले समीकरण से दो मूल x = 7 ± 69 10 मिलते हैं, और दूसरे से एक्स = 2.

स्थितियों की जांच करने के लिए मूल समीकरण में मूलों के मान को प्रतिस्थापित करना हमारे लिए काफी कठिन होगा। चर x का LPV निर्धारित करना आसान होगा। इस मामले में, चर x का डीपीवी सभी संख्याएं हैं, सिवाय उन लोगों के जिनके लिए शर्त संतुष्ट है एक्स 2 + 5 एक्स - 14 = 0. हम प्राप्त करते हैं: x - , - 7 ∪ - 7, 2 2 , + ∞ ।

अब देखते हैं कि हमें मिली जड़ें x चर के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी से संबंधित हैं या नहीं।

मूल x = 7 ± 69 10 - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण के मूल हैं, और एक्स = 2- संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी जड़ है।

जवाब:एक्स = 7 ± 69 10।

आइए हम उन मामलों की अलग-अलग जाँच करें जब p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अंश में एक संख्या होती है। ऐसे मामलों में, यदि अंश में शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो समीकरण के मूल नहीं होंगे। यदि यह संख्या शून्य के बराबर है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या होगी।

उदाहरण 10

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 को हल करें।

फेसला

इस समीकरण की जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि समीकरण के बाईं ओर से अंश के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है। इसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए समस्या की स्थिति में दिए गए भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं होगा।

जवाब:कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 11

समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 हल करें।

फेसला

चूँकि भिन्न का अंश शून्य है, समीकरण का हल ODZ चर x से x का कोई भी मान होगा।

अब ODZ को परिभाषित करते हैं। इसमें सभी x मान शामिल होंगे जिसके लिए x 4 + 5 x 3 0. समीकरण समाधान x 4 + 5 x 3 = 0हैं 0 और − 5 , चूंकि यह समीकरण समीकरण के बराबर है एक्स 3 (एक्स + 5) = 0, और यह, बदले में, दो समीकरणों x 3 = 0 और . के समुच्चय के बराबर है एक्स + 5 = 0जहां ये जड़ें दिखाई दे रही हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि स्वीकार्य मूल्यों की वांछित सीमा कोई भी x है, सिवाय एक्स = 0और एक्स = -5.

यह पता चला है कि भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 के अनंत हल हैं, जो शून्य और - 5 को छोड़कर कोई भी संख्या है।

जवाब: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

अब आइए एक मनमाना रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में बात करते हैं। इन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है आर (एक्स) = एस (एक्स), कहाँ पे आर (एक्स)और एस (एक्स)तर्कसंगत व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। ऐसे समीकरणों के हल को p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों के हल में घटाया जाता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि हम समीकरण के दाईं ओर से विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करके एक समान समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)समीकरण के बराबर है आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0. हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि एक परिमेय व्यंजक को परिमेय भिन्न में कैसे बदला जाए। इसके लिए धन्यवाद, हम समीकरण को आसानी से बदल सकते हैं आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 p (x) q (x) के रूप के समरूप परिमेय भिन्न में।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण से आगे बढ़ते हैं आर (एक्स) = एस (एक्स) p (x) q (x) = 0 के रूप का एक समीकरण, जिसे हम हल करना सीख चुके हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि से संक्रमण करते समय आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0से p (x) q (x) = 0 और फिर to पी (एक्स) = 0हम चर x के मान्य मानों की सीमा के विस्तार को ध्यान में नहीं रख सकते हैं।

यह काफी यथार्थवादी है कि मूल समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)और समीकरण पी (एक्स) = 0परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, वे समकक्ष नहीं रहेंगे। तब समीकरण का हल पी (एक्स) = 0हमें ऐसी जड़ें दे सकते हैं जो विदेशी होंगी आर (एक्स) = एस (एक्स). इस संबंध में, प्रत्येक मामले में ऊपर वर्णित किसी भी तरीके से जांच करना आवश्यक है।

आपके लिए विषय का अध्ययन करना आसान बनाने के लिए, हमने फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए सभी सूचनाओं को एक एल्गोरिथम में सामान्यीकृत किया है आर (एक्स) = एस (एक्स):

• हम व्यंजक को विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर से स्थानांतरित करते हैं और दाईं ओर शून्य प्राप्त करते हैं;
• हम भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रमिक रूप से क्रिया करके मूल व्यंजक को परिमेय भिन्न p (x) q (x) में बदलते हैं;
• प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
• हम बाहरी जड़ों को ODZ से संबंधित होने की जाँच करके या मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्रकट करते हैं।

नेत्रहीन, क्रियाओं की श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

आर (एक्स) = एस (एक्स) → आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 → पी (एक्स) क्यू (एक्स) = 0 → पी (एक्स) = 0 → ड्रॉपआउट आर ओ एन डी ई आर ओ ओ एन एस

उदाहरण 12

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण x x + 1 = 1 x + 1 को हल कीजिए।

फेसला

आइए समीकरण x x + 1 - 1 x + 1 = 0 पर चलते हैं। आइए समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को p (x) q (x) के रूप में रूपांतरित करें।

ऐसा करने के लिए, हमें परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना होगा और व्यंजक को सरल बनाना होगा:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 एक्स - 1 एक्स (एक्स + 1)

समीकरण - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए हमें समीकरण को हल करना होगा − 2 x − 1 = 0. हमें एक जड़ मिलती है एक्स = - 1 2.

किसी भी तरीके से जांच करना हमारे लिए बाकी है। आइए उन दोनों पर विचार करें।

परिणामी मान को मूल समीकरण में रखें। हमें - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 प्राप्त होता है। हम सही संख्यात्मक समानता पर आए हैं − 1 = − 1 . इसका मतलब है कि एक्स = - 1 2मूल समीकरण का मूल है।

अब हम ODZ के माध्यम से जांच करेंगे। आइए चर x के लिए स्वीकार्य मानों का क्षेत्र निर्धारित करें। यह − 1 और 0 (जब x = -1 और x = 0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं) को छोड़कर, संख्याओं का पूरा सेट होगा। हमें जो जड़ मिली है एक्स = - 1 2 ODZ के अंतर्गत आता है। इसका मतलब है कि यह मूल समीकरण की जड़ है।

जवाब: − 1 2 .

उदाहरण 13

समीकरण x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। इसलिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

आइए विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x।

हम समीकरण पर आते हैं एक्स = 0. इस समीकरण का मूल शून्य है।

आइए देखें कि मूल समीकरण के लिए यह मूल विदेशी है या नहीं। मूल समीकरण में मान रखें: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 । जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी समीकरण का कोई मतलब नहीं है। इसका अर्थ है कि 0 एक बाह्य मूल है, और मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का कोई मूल नहीं है।

जवाब:कोई जड़ नहीं।

यदि हमने एल्गोरिथम में अन्य समकक्ष परिवर्तनों को शामिल नहीं किया है, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। एल्गोरिथ्म सार्वभौमिक है, लेकिन इसे मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, सीमित करने के लिए नहीं।

उदाहरण 14

समीकरण को हल करें 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

फेसला

एल्गोरिथम के अनुसार दिए गए भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का सबसे आसान तरीका है। लेकिन एक और तरीका है। आइए इस पर विचार करें।

दाएं और बाएं भाग 7 से घटाएं, हमें मिलता है: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बायीं ओर के हर में व्यंजक दायीं ओर से संख्या के व्युत्क्रम की संख्या के बराबर होना चाहिए, अर्थात 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7।

दोनों भागों से घटाएँ 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 । सादृश्य 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3 से, जहां से 1 5 - x 2 \u003d 1 3, और आगे 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

आइए यह स्थापित करने के लिए जांचें कि क्या पाया गया मूल मूल समीकरण की जड़ें हैं।

जवाब:एक्स = ± 2

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हम बात करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल. इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा तर्कसंगत समीकरणऔर एक चर के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के सिद्धांत। सबसे पहले, आइए जानें कि किस प्रकार के समीकरणों को परिमेय कहा जाता है, पूर्णांक परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की परिभाषा दें, और उदाहरण दें। इसके बाद, हम तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करेंगे, और निश्चित रूप से, सभी आवश्यक स्पष्टीकरणों के साथ विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

स्पष्ट परिभाषाओं के आधार पर, हम परिमेय समीकरणों के कई उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , सभी परिमेय समीकरण हैं।

दिखाए गए उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि तर्कसंगत समीकरण, साथ ही अन्य प्रकार के समीकरण, या तो एक चर के साथ, या दो, तीन, आदि के साथ हो सकते हैं। चर। निम्नलिखित अनुच्छेदों में हम एक चर में परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करेंगे। दो चर वाले समीकरणों को हल करनाऔर उनकी बड़ी संख्या विशेष ध्यान देने योग्य है।

परिमेय समीकरणों को अज्ञात चरों की संख्या से विभाजित करने के अलावा, उन्हें पूर्णांक और भिन्न में भी विभाजित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

परिमेय समीकरण कहलाता है पूरा का पूरा, यदि इसके बाएँ और दाएँ दोनों भाग पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं।

परिभाषा।

यदि परिमेय समीकरण का कम से कम एक भाग भिन्नात्मक व्यंजक है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है आंशिक रूप से तर्कसंगत(या भिन्नात्मक परिमेय)।

यह स्पष्ट है कि पूर्णांक समीकरणों में एक चर द्वारा विभाजन नहीं होता है; इसके विपरीत, भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर (या हर में एक चर) से विभाजन होता है। तो 3 x+2=0 और (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं, उनके दोनों भाग पूर्णांक व्यंजक हैं। A और x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के उदाहरण हैं।

इस अनुच्छेद को समाप्त करते हुए, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि इस क्षण तक ज्ञात रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं।

संपूर्ण समीकरणों को हल करना

संपूर्ण समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक उनके समतुल्य में कमी है बीजीय समीकरण. यह हमेशा समीकरण के निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों को निष्पादित करके किया जा सकता है:

• सबसे पहले, मूल पूर्णांक समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को दाईं ओर शून्य प्राप्त करने के लिए विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है;
• उसके बाद, समीकरण के बाईं ओर, परिणामी मानक रूप।

परिणाम एक बीजीय समीकरण है जो मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है। तो सबसे सरल मामलों में, संपूर्ण समीकरणों का समाधान रैखिक या द्विघात समीकरणों के समाधान के लिए कम हो जाता है, और सामान्य स्थिति में - डिग्री n के बीजीय समीकरण के समाधान के लिए। स्पष्टता के लिए, आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

पूरे समीकरण की जड़ें खोजें 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

फेसला।

आइए हम इस पूरे समीकरण के हल को एक समतुल्य बीजीय समीकरण के हल तक कम करें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण पर पहुंचते हैं 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. और, दूसरी बात, हम बाईं ओर बने व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में आवश्यक कार्य करके रूपांतरित करते हैं: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. इस प्रकार, मूल पूर्णांक समीकरण के हल को द्विघात समीकरण x 2 −5·x−6=0 के हल में घटा दिया जाता है।

इसके विभेदक की गणना करें डी=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, यह धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जिन्हें हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा पाते हैं:

पूरी तरह से सुनिश्चित होने के लिए, आइए करते हैं समीकरण की मिली जड़ों की जाँच करना. सबसे पहले, हम मूल 6 की जांच करते हैं, इसे मूल पूर्णांक समीकरण में चर x के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, जो समान है, 63=63 । यह एक मान्य संख्यात्मक समीकरण है, इसलिए x=6 वास्तव में समीकरण का मूल है। अब हम मूल −1 की जांच करते हैं, हमारे पास 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, कहाँ से, 0=0 । x=−1 के लिए, मूल समीकरण भी एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल गया, इसलिए, x=−1 भी समीकरण का मूल है।

जवाब:

6 , −1 .

यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि शब्द "एक संपूर्ण समीकरण की शक्ति" एक बीजीय समीकरण के रूप में एक संपूर्ण समीकरण के प्रतिनिधित्व से जुड़ा है। हम इसी परिभाषा देते हैं:

परिभाषा।

पूरे समीकरण की डिग्रीबीजगणितीय समीकरण की घात को इसके समतुल्य कहते हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, पिछले उदाहरण के पूरे समीकरण में दूसरी डिग्री है।

इस पर कोई एक के लिए नहीं बल्कि पूरे तर्कसंगत समीकरणों के हल के साथ समाप्त कर सकता है। जैसा कि ज्ञात है, दूसरे से अधिक डिग्री के बीजीय समीकरणों का समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों से जुड़ा है, और चौथे से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए, जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इसलिए, तीसरे, चौथे और उच्च डिग्री के पूरे समीकरणों को हल करने के लिए, अक्सर अन्य समाधान विधियों का सहारा लेना पड़ता है।

ऐसे मामलों में, कभी-कभी के आधार पर संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का दृष्टिकोण गुणनखंडन विधि. उसी समय, निम्नलिखित एल्गोरिथ्म का पालन किया जाता है:

• सबसे पहले, वे समीकरण के दाईं ओर शून्य रखने का प्रयास करते हैं, इसके लिए वे पूरे समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं;
• फिर, बाईं ओर परिणामी अभिव्यक्ति कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत की जाती है, जो आपको कई सरल समीकरणों के सेट पर जाने की अनुमति देती है।

गुणनखंडन के माध्यम से पूरे समीकरण को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथम के लिए एक उदाहरण का उपयोग करते हुए एक विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

पूरे समीकरण को हल करें (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) ।

फेसला।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर अभिव्यक्ति को स्थानांतरित करते हैं, संकेत को बदलना नहीं भूलते हैं, हम प्राप्त करते हैं (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 । यहां यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिणामी समीकरण के बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना उचित नहीं है, क्योंकि इससे फॉर्म की चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण मिलेगा x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0जिसका समाधान कठिन है।

दूसरी ओर, यह स्पष्ट है कि x 2 −10·x+13 परिणामी समीकरण के बाईं ओर पाया जा सकता है, जिससे यह एक उत्पाद के रूप में प्रदर्शित होता है। हमारे पास है (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. परिणामी समीकरण मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है, और बदले में, इसे दो द्विघात समीकरणों x 2 −10·x+13=0 और x 2 −2·x−1=0 के एक सेट से बदला जा सकता है। विवेचक के माध्यम से ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके उनकी जड़ें खोजना मुश्किल नहीं है, जड़ें समान हैं। वे मूल समीकरण के वांछित मूल हैं।

जवाब:

यह संपूर्ण परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए भी उपयोगी है। एक नया चर शुरू करने की विधि. कुछ मामलों में, यह किसी को उन समीकरणों को पास करने की अनुमति देता है जिनकी डिग्री मूल पूर्णांक समीकरण की डिग्री से कम है।

उदाहरण।

एक परिमेय समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

फेसला।

इस पूरे तर्कसंगत समीकरण को एक बीजीय समीकरण में कम करना, इसे हल्के ढंग से रखना, बहुत अच्छा विचार नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमें चौथे-डिग्री समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी जिसमें तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं। इसलिए, आपको दूसरे समाधान की तलाश करनी होगी।

यहां यह देखना आसान है कि आप एक नया चर y पेश कर सकते हैं और इसके साथ व्यंजक x 2 +3 x को बदल सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन हमें संपूर्ण समीकरण (y+1) 2 +10=−2 (y−4) की ओर ले जाता है, जो व्यंजक −2 (y−4) को बाईं ओर स्थानांतरित करने और बाद में बने व्यंजक के रूपांतरण के बाद बनता है। वहाँ, समीकरण y 2 +4 y+3=0 को घटाता है। इस समीकरण y=−1 और y=−3 की जड़ों को खोजना आसान है, उदाहरण के लिए, वे विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय के आधार पर पाए जा सकते हैं।

अब चलिए एक नए चर को शुरू करने की विधि के दूसरे भाग पर चलते हैं, जो कि एक रिवर्स प्रतिस्थापन बनाने के लिए है। रिवर्स प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें दो समीकरण x 2 +3 x=−1 और x 2 +3 x=−3 प्राप्त होते हैं, जिन्हें x 2 +3 x+1=0 और x 2 +3 x+3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। = 0। द्विघात समीकरण के मूल सूत्र के अनुसार हम पहले समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं। और दूसरे द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि इसका विभेदक ऋणात्मक है (D=3 2 −4 3=9−12=−3 )।

जवाब:

सामान्य तौर पर, जब हम उच्च डिग्री के पूरे समीकरणों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो हमें उन्हें हल करने के लिए एक गैर-मानक विधि या एक कृत्रिम तकनीक की तलाश के लिए हमेशा तैयार रहना चाहिए।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

सबसे पहले, यह समझना उपयोगी होगा कि फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां p(x) और q(x) परिमेय पूर्णांक व्यंजक हैं। और फिर हम दिखाएंगे कि संकेतित रूप के समीकरणों के समाधान के लिए शेष भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों के समाधान को कैसे कम किया जाए।

समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक अंश u / v, जहां v एक गैर-शून्य संख्या है (अन्यथा हम सामना करेंगे, जो परिभाषित नहीं है), शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है, तो है, यदि और केवल यदि u=0 । इस कथन के आधार पर, समीकरण का हल दो शर्तों p(x)=0 और q(x)≠0 की पूर्ति तक कम हो जाता है।

यह निष्कर्ष निम्नलिखित के अनुरूप है: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए

• संपूर्ण परिमेय समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
• और जांचें कि क्या प्रत्येक पाए गए रूट के लिए शर्त q(x)≠0 संतुष्ट है, जबकि
• यदि सत्य है, तो यह मूल मूल समीकरण का मूल है;
• यदि नहीं, तो यह मूल बाह्य है, अर्थात यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

आइए एक भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करते समय आवाज उठाई गई एल्गोरिदम का उपयोग करने के एक उदाहरण का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

यह रूप का एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है, जहाँ p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 ।

इस प्रकार के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम के अनुसार, हमें सबसे पहले समीकरण 3·x−2=0 को हल करना होगा। यह एक रैखिक समीकरण है जिसका मूल x=2/3 है।

इस रूट की जांच करना बाकी है, यानी यह जांचना कि क्या यह 5·x 2 −2≠0 की शर्त को पूरा करता है। हम व्यंजक 5 x 2 −2 में x के स्थान पर संख्या 2/3 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। शर्त पूरी हो जाती है, इसलिए x=2/3 मूल समीकरण का मूल है।

जवाब:

2/3 .

एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का हल कुछ भिन्न स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है। यह समीकरण मूल समीकरण के चर x पर संपूर्ण समीकरण p(x)=0 के तुल्य है। यानी आप इसे फॉलो कर सकते हैं भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म :

• समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
• ODZ चर x खोजें;
• स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित जड़ों को लें - वे मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की वांछित जड़ें हैं।

उदाहरण के लिए, आइए इस एल्गोरिथम का उपयोग करके एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

फेसला।

सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण x 2 −2·x−11=0 को हल करते हैं। इसकी जड़ों की गणना एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, हमारे पास है डी 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, और ।

दूसरे, हम मूल समीकरण के लिए चर x का ODZ ज्ञात करते हैं। इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जिनके लिए x 2 +3 x≠0 , जो वही x (x+3)≠0 है, जहाँ से x≠0 , x≠−3 है।

यह जांचना बाकी है कि क्या पहले चरण में पाई गई जड़ें ODZ में शामिल हैं। बिल्कुल हाँ। इसलिए, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं।

जवाब:

ध्यान दें कि यदि ODZ आसानी से मिल जाता है तो यह दृष्टिकोण पहले की तुलना में अधिक लाभदायक है, और यह विशेष रूप से फायदेमंद है यदि समीकरण p(x)=0 की जड़ें तर्कहीन हैं, उदाहरण के लिए, या तर्कसंगत, लेकिन एक बड़े के साथ अंश और/या हर, उदाहरण के लिए, 127/1101 और -31/59। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में, स्थिति q(x)≠0 की जाँच के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयासों की आवश्यकता होगी, और ODZ से बाहरी जड़ों को बाहर करना आसान है।

अन्य मामलों में, समीकरण को हल करते समय, विशेष रूप से जब समीकरण p(x)=0 की जड़ें पूर्णांक होती हैं, तो उपरोक्त एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक फायदेमंद होता है। यही है, यह सलाह दी जाती है कि पूरे समीकरण p(x)=0 की जड़ों को तुरंत ढूंढें, और फिर जांच करें कि क्या शर्त q(x)≠0 उनके लिए संतुष्ट है, और ओडीजेड नहीं ढूंढें, और फिर समीकरण को हल करें p(x)=0 इस ODZ पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

निर्धारित बारीकियों को स्पष्ट करने के लिए दो उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

पहले हम पूरे समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, भिन्न के अंश का उपयोग करके संकलित किया गया। इस समीकरण का बायाँ भाग एक गुणनफल है, और दायाँ पक्ष शून्य है, इसलिए गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि के अनुसार, यह समीकरण चार समीकरणों के समुच्चय 2 x−1=0 , x−6= के बराबर है। 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 । इनमें से तीन समीकरण रैखिक हैं और एक द्विघात है, हम उन्हें हल कर सकते हैं। पहले समीकरण से हम x=1/2, दूसरे से - x=6, तीसरे से - x=7, x=−2, चौथे से - x=−1 पाते हैं।

जड़ों के मिलने से, उन्हें यह देखने के लिए जांचना काफी आसान है कि क्या मूल समीकरण के बाईं ओर के अंश का हर गायब नहीं होता है, और ODZ को निर्धारित करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसे हल करना होगा पांचवीं डिग्री का बीजगणितीय समीकरण। इसलिए, हम जड़ों की जाँच के पक्ष में ODZ खोजने से इनकार करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें व्यंजक में चर x के स्थान पर बदले में प्रतिस्थापित करते हैं x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त करें, और उनकी तुलना शून्य से करें: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 ।

इस प्रकार, 1/2, 6 और -2 मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल हैं, और 7 और -1 बाह्य मूल हैं।

जवाब:

1/2 , 6 , −2 .

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

पहले हम समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (5x2 −7x−1)(x−2)=0. यह समीकरण दो समीकरणों के समूह के बराबर है: वर्ग 5·x 2 −7·x−1=0 और रैखिक x−2=0 । द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के अनुसार, हमें दो मूल मिलते हैं, और दूसरे समीकरण से हमें x=2 प्राप्त होता है।

यह जाँचना कि क्या हर x के पाए गए मानों पर गायब नहीं होता है, बल्कि अप्रिय है। और मूल समीकरण में चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करना काफी सरल है। इसलिए, हम ODZ के माध्यम से कार्य करेंगे।

हमारे मामले में, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के चर x का ODZ सभी संख्याओं से बना होता है, सिवाय उन संख्याओं के जिनके लिए शर्त x 2 +5·x−14=0 संतुष्ट होती है। इस द्विघात समीकरण की जड़ें x=−7 और x=2 हैं, जिससे हम ODZ के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं: यह सभी x से बना है जैसे कि ।

यह जांचना बाकी है कि क्या पाए गए मूल और x=2 स्वीकार्य मानों के क्षेत्र से संबंधित हैं। जड़ें - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और x=2 संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी मूल है।

जवाब:

उन मामलों पर अलग से ध्यान देना भी उपयोगी होगा जहां एक संख्या अंश के रूप में भिन्नात्मक परिमेय समीकरण में होती है, अर्थात, जब p (x) को किसी संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। जिसमें

• यदि यह संख्या शून्य से भिन्न है, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि भिन्न शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है;
• यदि यह संख्या शून्य है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या है।

उदाहरण।

फेसला।

चूँकि समीकरण के बाईं ओर भिन्न के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

जवाब:

कोई जड़ नहीं।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

फेसला।

इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के बाईं ओर भिन्न का अंश शून्य है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य है जिसके लिए यह समझ में आता है। दूसरे शब्दों में, इस समीकरण का हल इस चर के डीपीवी से x का कोई भी मान है।

यह स्वीकार्य मूल्यों की इस सीमा को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। इसमें ऐसे सभी मान x शामिल हैं जिनके लिए x 4 +5 x 3 0। समीकरण x 4 +5 x 3 \u003d 0 के समाधान 0 और −5 हैं, क्योंकि यह समीकरण समीकरण x 3 (x + 5) \u003d 0 के बराबर है, और यह, बदले में, संयोजन के बराबर है दो समीकरणों का x 3 \u003d 0 और x +5=0 , जहां से ये जड़ें दिखाई देती हैं। इसलिए, स्वीकार्य मानों की वांछित श्रेणी x=0 और x=−5 को छोड़कर कोई भी x है।

इस प्रकार, एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अपरिमित रूप से कई हल होते हैं, जो शून्य और ऋण पांच को छोड़कर कोई भी संख्या होती है।

जवाब:

अंत में, मनमानी भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करने का समय आ गया है। उन्हें r(x)=s(x) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां r(x) और s(x) परिमेय व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि उनका समाधान पहले से परिचित रूप के समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गया है।

यह ज्ञात है कि समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक पद का स्थानांतरण एक समतुल्य समीकरण की ओर जाता है, इसलिए समीकरण r(x)=s(x) समीकरण r(x)−s के बराबर है (एक्स) = 0।

हम यह भी जानते हैं कि कोई भी समान रूप से इस व्यंजक के बराबर हो सकता है। इस प्रकार, हम हमेशा समीकरण r(x)−s(x)=0 के बाईं ओर परिमेय व्यंजक को रूप के एक समान समान परिमेय भिन्न में बदल सकते हैं।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) से समीकरण पर जाते हैं, और इसका समाधान, जैसा कि हमने ऊपर पाया, समीकरण p(x)=0 को हल करने के लिए कम करता है।

लेकिन यहां इस तथ्य को ध्यान में रखना आवश्यक है कि r(x)−s(x)=0 को , और फिर p(x)=0 के साथ बदलने पर, चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा का विस्तार हो सकता है .

इसलिए, मूल समीकरण r(x)=s(x) और समीकरण p(x)=0 , जिस पर हम आए हैं, समतुल्य नहीं हो सकते हैं, और समीकरण p(x)=0 को हल करके, हम मूल प्राप्त कर सकते हैं वह मूल समीकरण r(x)=s(x) के बाह्य मूल होंगे। उत्तर में बाहरी जड़ों की पहचान करना और शामिल नहीं करना संभव है, या तो जाँच करके, या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जाँच करके।

हम इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म r(x)=s(x). भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए r(x)=s(x) , एक अवश्य

• विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को दाईं ओर से घुमाकर दाईं ओर शून्य प्राप्त करें।
• समीकरण के बाईं ओर भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रियाएँ करें, जिससे यह रूप के परिमेय अंश में परिवर्तित हो जाए।
• समीकरण p(x)=0 को हल करें।
• बाहरी जड़ों को पहचानें और बाहर करें, जो उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जाँच करके किया जाता है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की पूरी श्रृंखला दिखाएंगे:
.

आइए सूचना के दिए गए ब्लॉक को स्पष्ट करने के लिए समाधान के विस्तृत विवरण के साथ कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

फेसला।

हम अभी-अभी प्राप्त समाधान एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे। और पहले हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर की शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण को पास करते हैं।

दूसरे चरण में, हमें परिणामी समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को भिन्न के रूप में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं और परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं: . तो हम समीकरण पर आते हैं।

अगले चरण में, हमें समीकरण −2·x−1=0 को हल करना होगा। x=−1/2 ज्ञात कीजिए।

यह जांचना बाकी है कि पाया गया नंबर -1/2 मूल समीकरण का एक बाहरी मूल है या नहीं। ऐसा करने के लिए, आप मूल समीकरण के ODZ चर x की जांच कर सकते हैं या ढूंढ सकते हैं। आइए दोनों दृष्टिकोणों को प्रदर्शित करें।

चलो एक चेक से शुरू करते हैं। हम मूल समीकरण में चर x के स्थान पर −1/2 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है, जो समान है, −1=−1। प्रतिस्थापन सही संख्यात्मक समानता देता है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

अब हम दिखाएंगे कि ODZ के माध्यम से एल्गोरिथम का अंतिम चरण कैसे किया जाता है। मूल समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा -1 और 0 को छोड़कर सभी संख्याओं का समूह है (जब x=−1 और x=0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं)। पिछले चरण में पाया गया मूल x=−1/2 ODZ से संबंधित है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

जवाब:

−1/2 .

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

हमें एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, आइए एल्गोरिथम के सभी चरणों को देखें।

सबसे पहले, हम शब्द को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है।

दूसरे, हम बाईं ओर बने व्यंजक को रूपांतरित करते हैं: . परिणामस्वरूप, हम समीकरण x=0 पर पहुंचते हैं।

इसकी जड़ स्पष्ट है - यह शून्य है।

चौथे चरण में, यह पता लगाना बाकी है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के लिए पाया गया मूल बाहरी नहीं है। जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो व्यंजक प्राप्त होता है। जाहिर है, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। जहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 एक बाह्य मूल है। इसलिए, मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

7, जो समीकरण की ओर जाता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाईं ओर के हर में व्यंजक दाईं ओर से बराबर होना चाहिए, अर्थात। अब हम त्रिक के दोनों भागों में से घटाते हैं: . सादृश्य से, कहाँ से, और आगे।

जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल हैं।

जवाब:

ग्रंथ सूची।

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