यह लेख एक संरचित और विस्तृत जानकारी है जो अभ्यास और समस्याओं के विश्लेषण के दौरान उपयोगी हो सकती है। हम संख्या श्रृंखला के विषय पर विचार करेंगे।

यह लेख बुनियादी परिभाषाओं और अवधारणाओं से शुरू होता है। इसके बाद, हम विकल्पों का मानकीकरण करेंगे और बुनियादी सूत्रों का अध्ययन करेंगे। सामग्री को समेकित करने के लिए, लेख मुख्य उदाहरण और कार्य प्रदान करता है।

बुनियादी थीसिस

सबसे पहले, सिस्टम की कल्पना करें: a 1 , a 2 । . . , एक , । . . , जहाँ a k R , k = 1 , 2 । . . .

उदाहरण के लिए, आइए संख्याएँ लें जैसे: 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , । . . .

परिभाषा 1

संख्या श्रृंखला a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + पदों का योग है। . . + ए एन +। . . .

परिभाषा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, इस मामले पर विचार करें जहां q = - 0 । 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +। . . = के = 1 (- 16) · - 1 2 के।

परिभाषा 2

एक के आम है या k- वांपंक्ति का एक सदस्य।

यह कुछ इस तरह दिखता है - 16 · - 1 2 k ।

परिभाषा 3

एक श्रृंखला का आंशिक योगकुछ इस तरह दिखता है S n = a 1 + a 2 + । . . + ए एन , जिसमें एन- कोई संख्या। एस एन is n वेंश्रृंखला का योग।

उदाहरण के लिए, k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k, S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 है।

एस 1, एस 2,। . . , एस एन , . . . संख्याओं का एक अनंत क्रम बनाते हैं।

एक नंबर के लिए एन-वेंयोग सूत्र S n \u003d a 1 (1 - q n) 1 - q \u003d 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 \u003d 16 3 1 - - 1 2 n द्वारा पाया जाता है। हम आंशिक योग के निम्नलिखित अनुक्रम का उपयोग करते हैं: 8 , 4 , 6 , 5 , । . . , 16 3 1 - - 1 2 एन , . . . .

परिभाषा 4

श्रृंखला k = 1 a k is . है अभिसारीजब अनुक्रम की एक सीमित सीमा होती है S = lim S n n → + । यदि कोई सीमा नहीं है या अनुक्रम अनंत है, तो श्रृंखला k = 1 ∞ a k कहलाती है भिन्न।

परिभाषा 5

अभिसरण श्रृंखला का योग∑ k = 1 ∞ a k अनुक्रम की सीमा है k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S ।

इस उदाहरण में, लिम एस एन एन → + ∞ = लिम 16 3 टी → + ∞ 1 - 1 2 एन = 16 3 लिम एन → + ∞ 1 - - 1 2 एन = 16 3, श्रृंखला ∑ के = 1 ∞ (- 16 ) · - 1 2 k अभिसरण करता है। योग 16 3: k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 है।

उदाहरण 1

एक अपसारी श्रृंखला का एक उदाहरण एक से अधिक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति का योग है: 1 + 2 + 4 + 8 +। . . + 2एन - 1 +। . . = के = 1 ∞ 2 के - 1।

nवें आंशिक योग को व्यंजक S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 द्वारा परिभाषित किया गया है, और आंशिक योग की सीमा अनंत है: lim n → + एस एन = लिम एन → + ∞ (2 एन -1) = + ∞।

अपसारी संख्या श्रृंखला का एक अन्य उदाहरण k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + के रूप का योग है। . . . इस स्थिति में, nवें आंशिक योग की गणना S n = 5 n के रूप में की जा सकती है। आंशिक योग की सीमा अनंत सीमा n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ है।

परिभाषा 6

k = 1 = 1 + 1 2 + 1 3 + के समान योग। . . + 1एन +। . . - यह लयबद्धसंख्या रेखा।

परिभाषा 7

योग ∑ k = 1 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + । . . + 1एन एस +। . . , कहाँ पे एसएक वास्तविक संख्या है, एक सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्या श्रृंखला है।

ऊपर चर्चा की गई परिभाषाएं आपको अधिकांश उदाहरणों और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगी।

परिभाषाओं को पूरा करने के लिए, कुछ समीकरणों को सिद्ध करना आवश्यक है।

1. k = 1 ∞ 1 k अपसारी है।

हम उल्टा काम करते हैं। यदि यह अभिसरण करता है, तो सीमा परिमित है। हम समीकरण को lim n → + S n = S और lim n → + ∞ S 2 n = S के रूप में लिख सकते हैं। कुछ क्रियाओं के बाद, हम समानता l i m n → + (S 2 n - S n) = 0 प्राप्त करते हैं।

के खिलाफ,

एस 2 एन - एस एन = 1 + 1 2 + 1 3 +। . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 + . . . + 1 2 एन - - 1 + 1 2 + 1 3 +। . . + 1 एन = 1 एन + 1 + 1 एन + 2 +। . . + 1 2 एन

निम्नलिखित असमानताएँ मान्य हैं: 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , । . . , 1 2 एन - 1 > 1 2 एन। हम पाते हैं कि S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + । . . + 1 2 एन> 1 2 एन + 1 2 एन +। . . + 1 2 एन = एन 2 एन = 1 2। व्यंजक S 2 n - S n > 1 2 इंगित करता है कि lim n → + (S 2 n - S n) = 0 नहीं पहुंचा है। श्रृंखला भिन्न है।

1. बी 1 + बी 1 क्यू + बी 1 क्यू 2 +। . . + बी 1 क्यू एन +। . . = के = 1 ∞ बी 1 क्यू के - 1

यह पुष्टि करना आवश्यक है कि संख्याओं के अनुक्रम का योग q . के लिए अभिसरण करता है< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

उपरोक्त परिभाषाओं के अनुसार योग एनसदस्यों को सूत्र S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 के अनुसार निर्धारित किया जाता है।

अगर क्यू< 1 верно

लिम एन → + ∞ एस एन = लिम एन → + ∞ बी 1 क्यू एन - 1 क्यू - 1 = बी 1 लिम एन → + ∞ क्यू एन क्यू - 1 - लिम एन → + ∞ 1 क्यू - 1 = = बी 1 0 - 1 क्यू - 1 = बी 1 क्यू - 1

हमने साबित कर दिया है कि संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है।

क्यू = 1 बी 1 + बी 1 + बी 1 + के लिए। . . के = 1 ∞ ख 1 । योग सूत्र S n = b 1 · n का उपयोग करके पाया जा सकता है, सीमा अनंत lim n → + S n = lim n → + ∞ b 1 · n = है। प्रस्तुत संस्करण में, श्रृंखला अलग हो जाती है।

यदि एक क्यू = - 1, तो पंक्ति b 1 - b 1 + b 1 - जैसी दिखती है। . . = के = 1 ∞ बी 1 (- 1) के + 1। विषम राशि के लिए आंशिक योग S n = b 1 जैसा दिखता है एन, और S n = 0 सम . के लिए एन. इस मामले पर विचार करने के बाद, हम सुनिश्चित करते हैं कि कोई सीमा नहीं है और श्रृंखला भिन्न है।

क्यू> 1, लिम एन → + ∞ एस एन = लिम एन → + ∞ बी 1 (क्यू एन -1) क्यू - 1 = बी 1 लिम एन → + क्यू एन क्यू - 1 - लिम एन → + ∞ 1 क्यू - 1 = के लिए = बी 1 - 1 क्यू - 1 =

हमने साबित कर दिया है कि संख्या श्रृंखला विचलन करती है।

1. श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 1 k s अभिसरण करता है यदि एस> 1और विचलन करता है यदि s 1 ।

के लिए एस = 1हमें ∑ k = 1 1 k प्राप्त होता है, श्रेणी अपसारी हो जाती है।

s . के लिए< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для क ,प्राकृतिक संख्या। चूँकि श्रृंखला अपसारी k = 1 ∞ 1 k है, इसकी कोई सीमा नहीं है। इसके बाद, अनुक्रम k = 1 1 k s असीमित है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि चुनी गई श्रृंखला पर विचलन करती है एस< 1 .

यह प्रमाण देना आवश्यक है कि श्रृंखला k = 1 ∞ 1 k s के लिए अभिसरण करती है एस> 1.

कल्पना कीजिए S 2 n - 1 - S n - 1 :

एस 2 एन -1 - एस एन - 1 = 1 + 1 2 एस + 1 3 एस +। . . + 1 (एन -1) एस + 1 एन एस + 1 (एन + 1) एस +। . . + 1 (2 एन - 1) एस - - 1 + 1 2 एस + 1 3 एस +। . . + 1 (एन -1) एस = 1 एन एस + 1 (एन + 1) एस +। . . + 1(2n - 1)s

मान लीजिए कि 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

उन संख्याओं के लिए एक समीकरण की कल्पना करें जो प्राकृतिक हैं और यहां तक ​​कि n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

हम पाते हैं:

के = 1 ∞ 1 के एस = 1 + 1 2 एस + 1 3 एस + 1 4 एस +। . . + 17s + 18s + . . . + 1 15 एस +। . . \u003d \u003d 1 + एस 3 - एस 1 + एस 7 - एस 3 + एस 15 + एस 7 +। . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

व्यंजक 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + । . . एक गुणोत्तर प्रगति का योग है q = 1 2 s - 1 । प्रारंभिक आंकड़ों के अनुसार एस> 1, फिर 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при एस> 1बढ़ता है और 1 1 - 1 2 s - 1 से ऊपर तक सीमित होता है। कल्पना कीजिए कि एक सीमा है और श्रृंखला अभिसरण k = 1 ∞ 1 k s है।

परिभाषा 8

श्रृंखला k = 1 a k उस मामले में सकारात्मक, यदि इसके सदस्य > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , । . . .

श्रृंखला ∑ k = 1 b k बारीयदि संख्याओं के चिन्ह भिन्न हैं। इस उदाहरण को k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k a k या k = 1 b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 a k के रूप में दर्शाया गया है, जहां a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

श्रृंखला ∑ k = 1 b k बारी, क्योंकि इसमें कई संख्याएँ हैं, ऋणात्मक और धनात्मक।

सीरीज का दूसरा वेरिएंट तीसरे वेरिएंट का स्पेशल केस है।

यहां प्रत्येक मामले के लिए क्रमशः उदाहरण दिए गए हैं:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

तीसरे विकल्प के लिए, आप निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण को भी परिभाषित कर सकते हैं।

परिभाषा 9

यदि k = 1 b k को भी अभिसारी माना जाए तो प्रत्यावर्ती श्रेणी k = 1 ∞ b k पूर्णतः अभिसारी है।

आइए कुछ विशिष्ट विकल्पों पर एक नज़र डालें।

उदाहरण 2

यदि पंक्तियाँ 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . और 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +। . . अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है, तो यह मान लेना सही है कि 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +। . .

परिभाषा 10

एक वैकल्पिक श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ b k को सशर्त रूप से अभिसरण माना जाता है यदि ∑ k = 1 ∞ b k अपसारी है, और श्रृंखला ∑ k = 1 b k को अभिसारी माना जाता है।

उदाहरण 3

आइए हम विकल्प ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + की विस्तार से जाँच करें। . . . श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = k = 1 1 k , जिसमें निरपेक्ष मान होते हैं, को अपसारी के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार को अभिसरण माना जाता है क्योंकि यह निर्धारित करना आसान है। इस उदाहरण से, हम सीखते हैं कि श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + । . . सशर्त रूप से अभिसरण माना जाएगा।

अभिसरण श्रृंखला की विशेषताएं

आइए कुछ मामलों के लिए गुणों का विश्लेषण करें

1. यदि k = 1 a k अभिसरण करता है, तो श्रृंखला k = m + 1 a k को भी अभिसारी माना जाता है। यह ध्यान दिया जा सकता है कि श्रृंखला एमसदस्यों को भी अभिसरण माना जाता है। यदि हम ∑ k = m + 1 a k में कई संख्याएँ जोड़ते हैं, तो परिणामी परिणाम भी अभिसरण होगा।
2. यदि k = 1 a k अभिसरण करता है और योग = एस, तो श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ A ak , k = 1 A ak = A S , जहां ए-लगातार।
3. यदि k = 1 a k और ∑ k = 1 b k अभिसारी हैं, तो योग एऔर बीभी, तो श्रृंखला k = 1 ∞ a k + b k और k = 1 a k - b k भी अभिसरण करते हैं। राशियाँ होंगी ए+बीऔर ए-बीक्रमश।

उदाहरण 4

निर्धारित करें कि श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 अभिसरण करती है।

आइए हम व्यंजक ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 बदलें। श्रृंखला k = 1 1 k 4 3 को अभिसारी माना जाता है, क्योंकि श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 1 k s अभिसरण करती है एस> 1. दूसरी संपत्ति के अनुसार, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 ।

उदाहरण 5

निर्धारित करें कि क्या श्रृंखला ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 अभिसरण करती है।

हम मूल संस्करण ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 3 n 5 2 + n n 2 = n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n = 1 1 n 2 को रूपांतरित करते हैं।

हमें योग ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 और n = 1 ∞ 1 n 2 प्राप्त होता है। प्रत्येक श्रृंखला को संपत्ति के अनुसार अभिसरण के रूप में पहचाना जाता है। चूंकि श्रृंखला अभिसरण करती है, इसलिए मूल संस्करण भी होता है।

उदाहरण 6

गणना करें कि क्या श्रृंखला 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + अभिसरण करती है। . . और राशि की गणना करें।

आइए मूल को तोड़ें:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +। . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +। . . = = ∑ k = 1 1 2 k - 1 - 2 k = 1 1 3 k - 2

प्रत्येक श्रृंखला अभिसरण करती है क्योंकि यह संख्यात्मक अनुक्रम के सदस्यों में से एक है। तीसरी संपत्ति के अनुसार, हम गणना कर सकते हैं कि मूल संस्करण भी अभिसरण है। हम योग की गणना करते हैं: श्रृंखला का पहला पद ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, और हर = 0। 5 , उसके बाद ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 है। 5 = 2। पहला पद ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 है, और घटते संख्यात्मक अनुक्रम का हर = 1 3 है। हम पाते हैं: k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2।

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + का योग ज्ञात करने के लिए हम ऊपर प्राप्त व्यंजकों का उपयोग करते हैं। . . = k = 1 1 2 k - 1 - 2 k = 1 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

एक श्रृंखला अभिसारी है या नहीं यह निर्धारित करने के लिए एक आवश्यक शर्त

परिभाषा 11

यदि श्रृंखला k = 1 a k अभिसारी है, तो इसकी सीमा k- वांपद = 0: लिम के → + ∞ एक के = 0।

यदि हम किसी विकल्प की जाँच करते हैं, तो हमें अपरिहार्य स्थिति के बारे में नहीं भूलना चाहिए। यदि यह संतुष्ट नहीं है, तो श्रृंखला अलग हो जाती है। यदि lim k → + ∞ a k ≠ 0 , तो श्रेणी अपसारी है।

यह स्पष्ट किया जाना चाहिए कि शर्त महत्वपूर्ण है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। यदि समता सीमा k → + a k = 0 धारण करती है, तो यह इस बात की गारंटी नहीं देता कि k = 1 a k अभिसारी है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। हार्मोनिक श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 1 k के लिए शर्त संतुष्ट है lim k → + ∞ 1 k = 0, लेकिन श्रृंखला अभी भी अलग हो जाती है।

उदाहरण 7

अभिसरण n = 1 ∞ n 2 1 + n निर्धारित करें।

स्थिति के लिए मूल अभिव्यक्ति की जाँच करें lim n → + n 2 1 + n = lim n → + n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + 0

सीमा n वेंसदस्य 0 नहीं है। हमने साबित कर दिया है कि यह श्रृंखला अलग हो जाती है।

एक सकारात्मक संकेत श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण कैसे करें।

यदि आप लगातार इन सुविधाओं का उपयोग करते हैं, तो आपको लगातार सीमाओं की गणना करनी होगी। उदाहरणों और समस्याओं को हल करते समय यह खंड आपको कठिनाइयों से बचने में मदद करेगा। एक सकारात्मक संकेत श्रृंखला के अभिसरण को निर्धारित करने के लिए, एक निश्चित शर्त है।

धनात्मक चिह्न के अभिसरण के लिए k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1, 2 , 3 , । . . आपको रकम के सीमित अनुक्रम को परिभाषित करने की आवश्यकता है।

पंक्तियों की तुलना कैसे करें

श्रृंखला तुलना के कई संकेत हैं। हम उस श्रृंखला की तुलना करते हैं जिसके अभिसरण को उस श्रृंखला के साथ निर्धारित किया जाना प्रस्तावित है जिसका अभिसरण ज्ञात है।

पहला संकेत

k = 1 a k और k = 1 b k धनात्मक श्रेणी हैं। असमानता a k b k के लिए मान्य है के = 1, 2, 3, ...इससे यह पता चलता है कि श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ b k से हम ∑ k = 1 ∞ a k प्राप्त कर सकते हैं। चूँकि k = 1 a k विचलन करता है, इसलिए श्रृंखला k = 1 b k को अपसारी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

समीकरणों को हल करने के लिए इस नियम का लगातार उपयोग किया जाता है और यह एक गंभीर तर्क है जो अभिसरण को निर्धारित करने में मदद करेगा। कठिनाइयाँ इस तथ्य में निहित हो सकती हैं कि हर मामले में तुलना के लिए एक उपयुक्त उदाहरण खोजना संभव नहीं है। अक्सर, एक श्रृंखला को इस सिद्धांत के अनुसार चुना जाता है कि संकेतक k- वांपद अंश और हर के घातांक घटाने के परिणाम के बराबर होगा k- वांपंक्ति सदस्य। मान लीजिए कि a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, अंतर बराबर होगा 2 – 3 = - 1 . इस मामले में, यह निर्धारित किया जा सकता है कि के साथ एक श्रृंखला k- वांपद b k = k - 1 = 1 k, जो कि हार्मोनिक है।

प्राप्त सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कुछ विशिष्ट विकल्पों पर विस्तार से विचार करेंगे।

उदाहरण 8

निर्धारित करें कि श्रृंखला क्या है ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 ।

चूँकि सीमा = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, हमने आवश्यक शर्त पूरी कर ली है। असमानता निष्पक्ष होगी 1 k< 1 k - 1 2 для क ,जो प्राकृतिक हैं। पिछले पैराग्राफ से, हमने सीखा कि हार्मोनिक श्रृंखला k = 1 1 k अपसारी है। पहली कसौटी के अनुसार, यह साबित किया जा सकता है कि मूल संस्करण भिन्न है।

उदाहरण 9

निर्धारित करें कि श्रृंखला अभिसारी है या अपसारी ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 ।

इस उदाहरण में, आवश्यक शर्त पूरी होती है, क्योंकि lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0 । हम असमानता के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения क. श्रृंखला k = 1 ∞ 1 k 3 अभिसारी है, क्योंकि हार्मोनिक श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 1 k s अभिसरण करती है एस> 1. पहली विशेषता के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्या श्रृंखला अभिसारी है।

उदाहरण 10

निर्धारित करें कि श्रृंखला क्या है ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) । लिम के → + ∞ 1 के एलएन (एलएन के) = 1 + ∞ + ∞ = 0।

इस प्रकार में, वांछित शर्त की पूर्ति को चिह्नित करना संभव है। आइए तुलना के लिए एक श्रृंखला को परिभाषित करें। उदाहरण के लिए, k = 1 ∞ 1 k s । यह निर्धारित करने के लिए कि डिग्री क्या है, अनुक्रम (ln (ln k)), k = 3, 4, 5 पर विचार करें। . . . अनुक्रम के सदस्य ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , । . . अनंत तक बढ़ जाता है। समीकरण का विश्लेषण करने के बाद, यह ध्यान दिया जा सकता है कि, एन = 1619 को एक मान के रूप में लेते हुए, अनुक्रम की शर्तें> 2। इस क्रम के लिए, असमानता 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

दूसरा संकेत

मान लीजिए कि k = 1 ∞ a k और k = 1 b k धनात्मक चिह्न श्रंखला हैं।

यदि lim k → + a k b k , तो श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ b k अभिसरण करता है, और k = 1 ∞ a k भी अभिसरण करता है।

यदि lim k → + a k b k ≠ 0 , तो चूँकि श्रंखला k = 1 ∞ b k विचलन करती है, तो k = 1 ∞ a k भी अपसारी होता है।

यदि lim k → + a k b k और lim k → + a k b k 0 , तो एक श्रृंखला के अभिसरण या विचलन का अर्थ दूसरे का अभिसरण या विचलन है।

दूसरी विशेषता की सहायता से k = 1 1 k 3 + 3 k - 1 पर विचार करें। तुलना के लिए ∑ k = 1 ∞ b k हम अभिसारी श्रेणी ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 लेते हैं। सीमा को परिभाषित करें: लिम k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

दूसरे मानदंड के अनुसार, यह निर्धारित किया जा सकता है कि अभिसरण श्रृंखला k = 1 1 k 3 का अर्थ है कि मूल संस्करण भी अभिसरण करता है।

उदाहरण 11

निर्धारित करें कि श्रृंखला क्या है n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 ।

आइए हम आवश्यक शर्त lim k → k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 का विश्लेषण करें, जो इस संस्करण में संतुष्ट है। दूसरे मानदंड के अनुसार, श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 1 k लें। हम सीमा की तलाश कर रहे हैं: लिम के → + के 2 + 3 4 के 3 + 5 1 के = लिम के → + ∞ के 3 + 3 के 4 के 3 + 5 = 1 4

उपरोक्त थीसिस के अनुसार, अपसारी श्रृंखला मूल श्रृंखला के विचलन पर जोर देती है।

तीसरा संकेत

तुलना के तीसरे संकेत पर विचार करें।

मान लीजिए कि k = 1 ∞ a k और _ k = 1 ∞ b k धनात्मक-चिन्ह वाली संख्यात्मक श्रंखला हैं। यदि किसी संख्या a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k के लिए शर्त संतुष्ट है, तो इस श्रृंखला के अभिसरण ∑ k = 1 ∞ b k का अर्थ है कि श्रृंखला ∑ k = 1 a k भी अभिसरण है। अपसारी श्रेणी ∑ k = 1 ∞ a k अपसारी k = 1 ∞ b k को दर्शाता है।

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह

कल्पना कीजिए कि k = 1 ∞ a k एक धनात्मक चिह्न संख्या श्रंखला है। यदि लिम k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, फिर भिन्न।

टिप्पणी 1

d'Alembert का परीक्षण मान्य है यदि सीमा अनंत है।

यदि lim k → + a k + 1 a k = - , तो श्रेणी अभिसारी है, यदि lim k → ∞ a k + 1 a k = + , तो यह अपसारी है।

यदि lim k → + a k + 1 a k = 1 , तो d'Alembert का परीक्षण मदद नहीं करेगा और कई और अध्ययनों की आवश्यकता होगी।

उदाहरण 12

d'Alembert मानदंड द्वारा निर्धारित करें कि श्रृंखला अभिसरण या अपसारी है k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k।

यह जांचना आवश्यक है कि आवश्यक अभिसरण शर्त संतुष्ट है या नहीं। आइए L'Hopital के नियम का उपयोग करके सीमा की गणना करें: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + लॉग 2 = 0

हम देख सकते हैं कि शर्त पूरी हो गई है। आइए d'Alembert परीक्षण का उपयोग करें: lim k → + = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 कश्मीर + 1 = 12< 1

श्रृंखला अभिसरण है।

उदाहरण 13

निर्धारित करें कि क्या श्रृंखला अपसारी है k = 1 k k k ! .

आइए श्रृंखला के विचलन को निर्धारित करने के लिए d'Alembert परीक्षण का उपयोग करें: lim k → + a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1)! कश्मीर कश्मीर! = लिम के → + (के + 1) के + 1 के! के के · (के + 1)! = लिम के → + ∞ (के + 1) के + 1 के के (के + 1) = = लिम के → + ∞ (के + 1) के के के = लिम के → + ∞ के + 1 के के = लिम के → + ∞ 1 + 1 के के = ई> 1

इसलिए, श्रृंखला भिन्न है।

कॉची का मूल चिन्ह

मान लीजिए कि k = 1 ∞ a k धनात्मक चिह्न वाली एक श्रंखला है। यदि लिम k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, फिर भिन्न।

टिप्पणी 2

यदि lim k → + a k k = 1 , तो यह सुविधा कोई जानकारी प्रदान नहीं करती है - अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता है।

इस सुविधा का उपयोग ऐसे उदाहरणों में किया जा सकता है जिन्हें पहचानना आसान है। मामला विशेषता होगा जब संख्या श्रृंखला का एक सदस्य एक घातीय घातीय अभिव्यक्ति है।

प्राप्त जानकारी को समेकित करने के लिए, कुछ विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 14

निर्धारित करें कि क्या सकारात्मक श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k श्रृंखला में अभिसरण करती है।

आवश्यक शर्त को संतुष्ट माना जाता है, क्योंकि lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + + = 0 ।

ऊपर दिए गए परीक्षण के अनुसार, हमें lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 प्राप्त होता है।< 1 . Данный ряд является сходимым.

उदाहरण 15

क्या संख्या श्रृंखला k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 अभिसरण करती है।

हम पिछले पैराग्राफ लिम k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3 में वर्णित चिह्न का उपयोग करते हैं।< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

इंटीग्रल कॉची टेस्ट

मान लीजिए कि k = 1 ∞ a k धनात्मक चिह्न वाली एक श्रंखला है। निरंतर तर्क के कार्य को निर्दिष्ट करना आवश्यक है वाई = एफ (एक्स), जो a n = f (n) से मेल खाता है। यदि एक वाई = एफ (एक्स)शून्य से बड़ा, टूटता नहीं है और [ a ; पर घटता है; + ∞) , जहां एक ≥ 1

फिर, यदि अनुचित समाकल ∫ a + f (x) d x अभिसारी है, तो विचाराधीन श्रेणी भी अभिसरण करती है। यदि यह विचलन करता है, तो विचाराधीन उदाहरण में श्रृंखला भी विचलन करती है।

किसी फ़ंक्शन के क्षय की जाँच करते समय, आप पिछले पाठों में चर्चा की गई सामग्री का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 16

अभिसरण के लिए उदाहरण ∑ k = 2 ∞ 1 k ln k पर विचार करें।

श्रृंखला की अभिसरण स्थिति को संतुष्ट माना जाता है, क्योंकि lim k → + ∞ 1 k ln k = 1 + = 0 । y = 1 x ln x पर विचार करें। यह शून्य से बड़ा है, बाधित नहीं है, और [ 2 ; +∞) । पहले दो बिंदु निश्चित रूप से जाने जाते हैं, लेकिन तीसरे पर अधिक विस्तार से चर्चा की जानी चाहिए। अवकलज ज्ञात कीजिए: y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 x x ln x 2 = - ln x + 1 x ln x 2. यह [ 2 पर शून्य से कम है। ; + ∞) इससे थीसिस सिद्ध होती है कि फलन घट रहा है।

दरअसल, फलन y = 1 x ln x उस सिद्धांत की विशेषताओं से मेल खाता है जिसे हमने ऊपर माना था। हम इसका उपयोग करते हैं: 2 + ∞ d x x ln x = lim A → + ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ln (ln x) 2 A = = lim A → + (ln ( एलएन ए) - एलएन (एलएन 2)) = एलएन (एलएन (+ ∞)) - एलएन (एलएन 2) = +

प्राप्त परिणामों के अनुसार, मूल उदाहरण अलग हो जाता है क्योंकि अनुचित अभिन्न भिन्न होता है।

उदाहरण 17

श्रृंखला k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 का अभिसरण सिद्ध कीजिए।

चूँकि lim k → + 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + = 0, स्थिति को संतुष्ट माना जाता है।

k = 4 से शुरू होकर, सही व्यंजक 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 . है< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

यदि श्रृंखला k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 को अभिसारी माना जाता है, तो, तुलना के सिद्धांतों में से एक के अनुसार, श्रृंखला ∑ k = 4 ∞ 1 (10) k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 को भी अभिसारी माना जाएगा। इस प्रकार, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि मूल व्यंजक भी अभिसारी है।

आइए हम उपपत्ति के लिए आगे बढ़ें k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 ।

चूँकि फलन y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 शून्य से बड़ा है, यह समाप्त नहीं होता है और [ 4 ; पर घटता है; +∞) । हम पिछले पैराग्राफ में वर्णित सुविधा का उपयोग करते हैं:

4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 लिम ए → + ∫ 4 ए डी (एलएन (5 एक्स + 8) (एलएन (5 एक्स + 8)) 3 = - 1 10 लिम ए → + ∞ 1 (एलएन (5 एक्स + 8)) 2 |4 ए = = - 1 10 लिम ए → + ∞ 1 (एलएन (5 ए + 8)) 2 - 1 (एलएन (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (एलएन 28) 2 = 1 10 एलएन 28 2

परिणामी अभिसरण श्रृंखला में, 4 + d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 , हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 भी अभिसरण करता है।

राबे का चिन्ह

मान लीजिए कि k = 1 ∞ a k एक धनात्मक-चिह्न संख्या श्रंखला है।

यदि लिम k → + ∞ k a k k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1 , फिर यह अभिसरण करता है।

निर्धारण की इस पद्धति का उपयोग किया जा सकता है यदि ऊपर वर्णित तकनीक दृश्यमान परिणाम नहीं देती है।

पूर्ण अभिसरण के लिए अध्ययन

शोध के लिए हम ∑ k = 1 b k लेते हैं। हम धनात्मक चिह्न ∑ k = 1 b k का प्रयोग करते हैं। हम ऊपर वर्णित किसी भी उपयुक्त सुविधाओं का उपयोग कर सकते हैं। यदि श्रृंखला ∑ k = 1 b k अभिसरण करती है, तो मूल श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण होती है।

उदाहरण 18

अभिसरण के लिए श्रृंखला ∑ k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 की जाँच करें k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = k = 1 ∞ 1 3 k 3 + 2 के - 1।

शर्त संतुष्ट है lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 । हम ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 का उपयोग करते हैं और दूसरे चिन्ह का उपयोग करते हैं: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3।

श्रृंखला k = 1 (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 अभिसरण करता है। मूल श्रृंखला भी बिल्कुल अभिसरण है।

प्रत्यावर्ती श्रृंखला का विचलन

यदि श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ b k अपसारी है, तो संगत प्रत्यावर्ती श्रेणी k = 1 ∞ b k या तो अपसारी या सशर्त अभिसरण है।

केवल d'Alembert परीक्षण और कट्टरपंथी कॉची परीक्षण मॉड्यूल ∑ k = 1 b k से विचलन से ∑ k = 1 ∞ b k के बारे में निष्कर्ष निकालने में मदद करेगा। श्रृंखला ∑ k = 1 ∞ b k भी विचलन करती है यदि आवश्यक अभिसरण शर्त पूरी नहीं होती है, अर्थात, यदि lim k → + b k ≠ 0 ।

उदाहरण 19

विचलन की जाँच करें 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , । . . .

मापांक k- वांशब्द को b k = k के रूप में दर्शाया गया है! 7k.

आइए श्रृंखला k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k खोजें! d'Alembert मानदंड द्वारा अभिसरण के लिए 7 k: lim k → + b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k + 1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞ ।

के = 1 ∞ बी के = के = 1 ∞ के! 7 k मूल संस्करण की तरह ही विचलन करता है।

उदाहरण 20

क्या k = 1 (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) अभिसारी है।

आवश्यक शर्त पर विचार करें lim k → + b k = lim k → + k 2 + 1 ln (k + 1) = = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = लिम के → + ∞ 2 के 1 के + 1 = लिम के → + ∞ 2 के (के + 1) = + ∞। शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) श्रृंखला अपसारी है। सीमा की गणना L'Hospital के नियम के अनुसार की गई थी।

सशर्त अभिसरण मानदंड

लाइबनिज़ संकेत

परिभाषा 12

यदि प्रत्यावर्ती श्रेणी के सदस्यों के मान b 1 > b 2 > b 3 > घटते हैं। . . >। . . और मापांक सीमा = 0 के रूप में k → + , तो श्रृंखला k = 1 ∞ b k अभिसरण करता है।

उदाहरण 17

अभिसरण के लिए ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) पर विचार करें।

श्रृंखला को ∑ k = 1 (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = k = 1 2 k + 1 5 k (k + 1) के रूप में दर्शाया गया है। आवश्यक शर्त संतुष्ट है lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 । दूसरे तुलना मानदंड से ∑ k = 1 ∞ 1 k पर विचार करें lim k → + 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

हम पाते हैं कि k = 1 (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = k = 1 2 k + 1 5 k (k + 1) विचलन करता है। श्रृंखला k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) लाइबनिज़ मानदंड के अनुसार अभिसरण करती है: अनुक्रम 2 1 + 1 5 1 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1 , . . . घटता है और लिम k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0।

श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण करती है।

हाबिल-डिरिचलेट संकेत

परिभाषा 13

k = 1 + u k v k अभिसरण करता है यदि ( u k ) नहीं बढ़ता है और अनुक्रम ∑ k = 1 + v k परिबद्ध है।

उदाहरण 17

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + का अन्वेषण करें। . . अभिसरण के लिए।

कल्पना करना

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = k = 1 u k v k

जहां (यू के) = 1 , 1 2 , 1 3 , । . . - गैर-बढ़ती, और अनुक्रम ( v k ) = 1 , - 3 , 2 , 1 , - 3 , 2 , । . . सीमित (एस के) = 1 , - 2 , 0 , 1 , - 2 , 0 , । . . . श्रृंखला जुटती है।

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हार्मोनिक श्रृंखला- प्राकृतिक श्रृंखला की लगातार संख्याओं के पारस्परिक शब्दों की अनंत संख्या से बना योग:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty ))(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (के))+\cdots ).

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श्रृंखला के पहले n पदों का योग

श्रृंखला की अलग-अलग शर्तें शून्य हो जाती हैं, लेकिन इसका योग अलग हो जाता है। एस एन हार्मोनिक श्रृंखला का एन-वें आंशिक योग एन-वें हार्मोनिक संख्या है:

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (एन)))

आंशिक रकम के कुछ मूल्य

एस 1 = 1 एस 2 = 3 2 = 1, 5 एस 3 = 11 6 ≈ 1.833 एस 4 = 25 12 ≈ 2.083 एस 5 = 137 60 ≈ 2.283 (\displaystyle (\begin(matrix)s_(1)&=&1 \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \लगभग &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\लगभग &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\लगभग &2(,)283\end(मैट्रिक्स)))

एस 6 = 49 20 = 2। 45 एस 7 = 363 140 ≈ 2.593 एस 8 = 761 280 2.718 एस 10 3 ≈ 7.484 एस 10 6 ≈ 14.393 (\displaystyle (\begin(matrix)s_(6)&=&( \frac (49)(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\लगभग &2(,)593\\\\s_ (8)&=&(\frac (761)(280))&\लगभग &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\लगभग &7(,)484\\\\s_( 10^(6))&\लगभग &14(,)393\end(मैट्रिक्स)))

यूलर सूत्र

जब मूल्य n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0), इसलिए, बड़े के लिए n (\displaystyle n):

s n ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle s_(n)\लगभग \ln(n)+\gamma )- पहले के योग के लिए यूलर का सूत्र n (\displaystyle n)हार्मोनिक श्रृंखला के सदस्य। यूलर सूत्र का उपयोग करने का एक उदाहरण

n (\displaystyle n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma )	n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

हार्मोनिक श्रृंखला के आंशिक योग के लिए एक अधिक सटीक स्पर्शोन्मुख सूत्र:

एस एन ≍ एलएन ⁡ (एन) + γ + 1 2 एन - 1 12 एन 2 + 1 120 एन 4 - 1 252 एन 6 ⋯ = एलएन ⁡ (एन) + γ + 1 2 एन - ∑ के = 1 ∞ बी 2 के 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ फ़्रैक (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\dots =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k)))), कहाँ पे B 2 k (\displaystyle B_(2k))- बर्नौली संख्या।

यह श्रृंखला अलग हो जाती है, लेकिन इस पर गणना त्रुटि पहले छोड़े गए शब्द के आधे से अधिक नहीं होती है।

आंशिक रकम के संख्या-सैद्धांतिक गुण

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N) )

श्रृंखला विचलन

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty )पर n → (\displaystyle n\rightarrow \infty )

हार्मोनिक श्रृंखला विचलन करती हैबहुत धीरे-धीरे (आंशिक योग 100 से अधिक होने के लिए, श्रृंखला के लगभग 10 43 तत्वों की आवश्यकता होती है)।

हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन को दूरबीन श्रृंखला के साथ तुलना करके प्रदर्शित किया जा सकता है:

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ लेफ्ट(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty )(\sim ))(\frac (1)(n))),

जिसका आंशिक योग स्पष्ट रूप से बराबर है:

∑ i = 1 n − 1 v i = ln n s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

ओरेम का प्रमाण

विचलन के प्रमाण का निर्माण निम्नानुसार शर्तों को समूहीकृत करके किया जा सकता है:

के = 1 1 के = 1 + [1 2] + [1 3 + 1 4] + [1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8] + [1 9 + ] + > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + । (\displaystyle (\begin(aligned)\sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\दाएं]+\बाएं[(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))\right]+\left[(\frac (1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\right]+\left[(\frac (1)(9))+\cdots \ दाएँ]+\cdots \\&()>1+\बाएं[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\दाएं]+\बाएं[(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\दाएं]+\बाएं[(\frac (1)(16))+\cdots \right]+\cdots \\&()=1+\ (\frac (1)(2))\ \ \ +\quad (\frac (1)(2))\ \quad +\ \qquad \quad (\frac (1)(2))\qquad \ \quad \ +\quad \ \ (\frac (1 )(2))\ \quad +\ \cdots .\end(aligned)))

अंतिम पंक्ति स्पष्ट रूप से अलग हो जाती है। यह प्रमाण मध्ययुगीन विद्वान निकोलस-ओरेम (सी। 1350) का है।

विचलन का वैकल्पिक प्रमाण

हम पाठक को इस प्रमाण की भ्रांति को सत्यापित करने के लिए आमंत्रित करते हैं।

के बीच अंतर n (\displaystyle n)-वें हार्मोनिक संख्या और प्राकृतिक लघुगणक n (\displaystyle n) Euler - Mascheroni स्थिरांक में परिवर्तित हो जाता है।

विभिन्न हार्मोनिक संख्याओं के बीच का अंतर कभी भी पूर्णांक नहीं होता है और कोई हार्मोनिक संख्या नहीं होती है एच 1 = 1 (\displaystyle एच_(1)=1), एक पूर्णांक नहीं है।

संबंधित पंक्तियाँ

डिरिचलेट पंक्ति

सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला (या डिरिचलेट श्रृंखला) को श्रृंखला कहा जाता है

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac ( 1)(k^(\alpha )))=1+(\frac (1)(2^(\alpha )))+(\frac (1)(3^(\alpha )))+(\frac ( 1)(4^(\alpha )))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha )))+\cdots ).

सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला में विचलन होता है α 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)और पर अभिसरण करता है α > 1 (\displaystyle \alpha >1) .

सामान्यीकृत हार्मोनिक क्रम श्रृंखला का योग α (\displaystyle \alpha )रीमैन जीटा फ़ंक्शन के मान के बराबर है:

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty )(\frac (1)(k^(\alpha )))=\zeta (\alpha ))

सम संख्याओं के लिए, यह मान स्पष्ट रूप से pi के रूप में व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6))), और पहले से ही α=3 के लिए इसका मान विश्लेषणात्मक रूप से अज्ञात है।

हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन का एक और उदाहरण संबंध हो सकता है ζ (1 + 1 n) n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) । इसलिए, ऐसी श्रृंखला को प्रायिकता 1 के साथ कहा जाता है, और श्रृंखला का योग दिलचस्प गुणों के साथ एक यादृच्छिक मात्रा है। उदाहरण के लिए, +2 या -2 बिंदुओं पर गणना किए गए फ़ंक्शन-घनत्व-प्रायिकता का मान है:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

⅛ से 10 −42 से कम से भिन्न।

"पतला" हार्मोनिक श्रृंखला

केम्पनर श्रृंखला (अंग्रेज़ी)

यदि हम एक हार्मोनिक श्रृंखला पर विचार करते हैं जिसमें केवल पद शेष हैं, जिनमें से हर में संख्या 9 नहीं है, तो यह पता चलता है कि शेष राशि संख्या में परिवर्तित हो जाती है<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n), "पतली" श्रृंखला के योग के लिए कम और कम शब्द लिए जाते हैं। यही है, अंत में, हार्मोनिक श्रृंखला का योग बनाने वाले अधिकांश शब्दों को छोड़ दिया जाता है, ताकि ऊपर से सीमित ज्यामितीय प्रगति से अधिक न हो।

एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करने के कई तरीके हैं। सबसे पहले, आप केवल श्रृंखला का योग पा सकते हैं। यदि परिणामस्वरूप हमें एक परिमित संख्या प्राप्त होती है, तो इस प्रकार श्रृंखला अभिसरण. उदाहरण के लिए, क्योंकि

फिर श्रृंखला अभिसरण करती है। यदि हम श्रृंखला के योग को खोजने में विफल रहे हैं, तो श्रृंखला के अभिसरण की जांच के लिए अन्य विधियों का उपयोग किया जाना चाहिए।

इन तरीकों में से एक है डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह

यहाँ और क्रमशः n-वें और (n + 1)-श्रेणी के पद हैं, और अभिसरण D के मान से निर्धारित होता है: यदि D< 1 - ряд сходится, если D >

एक उदाहरण के रूप में, हम d'Alembert परीक्षण का उपयोग करके एक श्रृंखला के अभिसरण की जांच करते हैं। सबसे पहले, आइए और के लिए व्यंजक लिखें। आइए अब संगत सीमा ज्ञात करें:

चूंकि, डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण करती है।

एक श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करने की एक अन्य विधि है कॉची का कट्टरपंथी संकेत, जो इस प्रकार लिखा गया है:

यहाँ श्रृंखला का nवाँ पद है, और अभिसरण, जैसा कि d'Alembert परीक्षण के मामले में, D के मान से निर्धारित होता है: यदि D< 1 - ряд сходится, если D >1 - विचलन। जब डी = 1 - यह चिन्ह उत्तर नहीं देता है और अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

एक उदाहरण के रूप में, हम रेडिकल कॉची मानदंड का उपयोग करके एक श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करते हैं। सबसे पहले, आइए के लिए व्यंजक लिखें। आइए अब संगत सीमा ज्ञात करें:

क्योंकि शीर्षक = "15625/64> 1">, कट्टरपंथी कॉची परीक्षण के अनुसार, श्रृंखला अलग हो जाती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त के साथ, श्रृंखला के अभिसरण के अन्य संकेत भी हैं, जैसे कि इंटीग्रल कॉची टेस्ट, राबे टेस्ट, आदि।

वोल्फ्राम अल्फा सिस्टम के आधार पर बनाया गया हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर, आपको एक श्रृंखला के अभिसरण का परीक्षण करने की अनुमति देता है। इस स्थिति में, यदि कैलकुलेटर श्रृंखला के योग के रूप में एक विशिष्ट संख्या देता है, तो श्रृंखला अभिसरण करती है। अन्यथा, "श्रृंखला अभिसरण का परीक्षण" आइटम पर ध्यान देना आवश्यक है। यदि वाक्यांश "श्रृंखला अभिसरण" वहाँ मौजूद है, तो श्रृंखला अभिसरण करती है। यदि वाक्यांश "श्रृंखला विचलन" मौजूद है, तो श्रृंखला विचलन करती है।

नीचे "श्रृंखला के अभिसरण का परीक्षण" आइटम के सभी संभावित मूल्यों का अनुवाद है:

अंग्रेजी पाठ	रूसी में पाठ
हार्मोनिक श्रृंखला परीक्षण द्वारा, श्रृंखला विचलन करती है।	अध्ययन की गई श्रृंखला की हार्मोनिक श्रृंखला के साथ तुलना करते समय, मूल श्रृंखला विचलन करती है।
अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है।	डी'अलेम्बर्ट का परीक्षण एक श्रृंखला के अभिसरण के बारे में उत्तर नहीं दे सकता है।
जड़ परीक्षण अनिर्णायक है।	कॉची का मौलिक परीक्षण श्रृंखला के अभिसरण के बारे में उत्तर नहीं दे सकता है।
तुलना परीक्षण द्वारा, श्रृंखला अभिसरण करती है।	तुलना करके, श्रृंखला अभिसरण करती है
अनुपात परीक्षण द्वारा, श्रृंखला अभिसरण करती है।	डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण के अनुसार, श्रृंखला अभिसरण करती है
सीमा परीक्षण से, श्रृंखला विचलन।	इस तथ्य के आधार पर कि title="(!LANG:श्रृंखला के nवें सदस्य की सीमा जब n->oo शून्य के बराबर नहीं है या मौजूद नहीं है"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !}

जवाब: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण #3

श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिए $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$।

चूंकि निचली योग सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य शब्द योग चिह्न के तहत लिखा जाता है: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$। श्रृंखला का nवाँ आंशिक योग लिखें, अर्थात। दी गई संख्यात्मक श्रृंखला के पहले $n$ सदस्यों का योग करें:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))। $$

मैं वास्तव में $\frac(2)(3\cdot 5)$ क्यों लिखता हूं, न कि $\frac(2)(15)$, आगे के विवरण से स्पष्ट हो जाएगा। हालांकि, आंशिक राशि दर्ज करने से हम लक्ष्य के करीब एक कोटा नहीं ला सके। आखिरकार, हमें $\lim_(n\to\infty)S_n$ खोजने की जरूरत है, लेकिन अगर हम सिर्फ लिखते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

तो यह रिकॉर्ड, रूप में पूरी तरह से सही, हमें कुछ भी सार रूप में नहीं देगा। सीमा ज्ञात करने के लिए, पहले आंशिक योग व्यंजक को सरल बनाना होगा।

इसके लिए एक मानक परिवर्तन है, जिसमें अंश $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ को विघटित करना शामिल है, जो श्रृंखला के सामान्य शब्द को प्राथमिक अंशों में दर्शाता है। एक अलग विषय प्राथमिक अंशों में तर्कसंगत अंशों को विघटित करने के मुद्दे के लिए समर्पित है (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 3 देखें)। भिन्न $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ को प्राथमिक भिन्नों में विस्तारित करने पर, हमारे पास है:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3))। $$

हम परिणामी समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर भिन्नों के अंशों की बराबरी करते हैं:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)। $$

$A$ और $B$ के मान ज्ञात करने के दो तरीके हैं। आप कोष्ठक खोल सकते हैं और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, या आप केवल $n$ के बजाय कुछ उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। बस एक बदलाव के लिए, इस उदाहरण में हम पहले रास्ते पर जाएंगे, और अगले - हम $n$ के निजी मूल्यों को प्रतिस्थापित करेंगे। कोष्ठक का विस्तार और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

समीकरण के बाईं ओर, $n$ शून्य से पहले है। यदि आप चाहें, तो समानता के बाईं ओर को स्पष्टता के लिए $0\cdot n+ 2$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। चूंकि समानता के बाईं ओर $n$ शून्य से पहले है, और समानता के दाईं ओर $2A+2B$ $n$ से पहले है, हमारे पास पहला समीकरण है: $2A+2B=0$। हम इस समीकरण के दोनों भागों को तुरंत 2 से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हमें $A+B=0$ मिलता है।

चूंकि समानता के बाईं ओर मुक्त पद 2 के बराबर है, और समानता के दाईं ओर मुक्त पद $3A+B$ के बराबर है, तो $3A+B=2$। तो हमारे पास एक प्रणाली है:

$$ \बाएं\(\शुरू(गठबंधन) और ए+बी=0;\\ और 3ए+बी=2. \end(गठबंधन)\दाएं। $$

प्रमाण गणितीय प्रेरण की विधि द्वारा किया जाएगा। पहले चरण में, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या आवश्यक समानता $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$ के लिए है। हम जानते हैं कि $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, लेकिन क्या व्यंजक $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ मूल्य देगा $\frac( 2 )(15)$ यदि $n=1$ को इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है? चलो देखते है:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

तो, $n=1$ के लिए समानता $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ संतुष्ट है। यह गणितीय प्रेरण की विधि का पहला चरण पूरा करता है।

मान लें कि $n=k$ के लिए समानता है, अर्थात। $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$। आइए हम सिद्ध करें कि $n=k+1$ के लिए समान समानता होगी। ऐसा करने के लिए, $S_(k+1)$ पर विचार करें:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)। $$

चूंकि $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, फिर $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$। उपरोक्त धारणा के अनुसार $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, तो सूत्र $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ लेता है फार्म:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3)। $$

निष्कर्ष: $n=k+1$ के लिए सूत्र $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ सही है। इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, सूत्र $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ किसी भी $n\in N$ के लिए सही है। समानता सिद्ध हुई है।

उच्च गणित में एक मानक पाठ्यक्रम में, आमतौर पर किसी भी प्रमाण की आवश्यकता के बिना, रद्द करने की शर्तों को "हटाने" के साथ संतुष्ट होता है। इसलिए, हमें nवें आंशिक योग का व्यंजक मिला: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$। $\lim_(n\to\infty)S_n$ का मान ज्ञात कीजिए:

निष्कर्ष: दी गई श्रृंखला अभिसरण करती है और इसका योग $S=\frac(1)(3)$ है।

दूसरा तरीका आंशिक योग के सूत्र को सरल बनाना है।

ईमानदारी से कहूं तो, मैं इस विधि को स्वयं पसंद करता हूं :) आइए आंशिक योग को संक्षिप्त रूप में लिखें:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))। $$

हमें पहले मिला था कि $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, इसलिए:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

योग $S_n$ में शब्दों की एक सीमित संख्या होती है, इसलिए हम उन्हें अपनी पसंद के अनुसार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। मैं पहले $\frac(1)(2k+1)$ फॉर्म की सभी शर्तों को जोड़ना चाहता हूं, और उसके बाद ही $\frac(1)(2k+3)$ फॉर्म की शर्तों पर जाना चाहता हूं। इसका मतलब है कि हम इस रूप में आंशिक योग का प्रतिनिधित्व करेंगे:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\बाएं(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

बेशक, विस्तारित संकेतन अत्यंत असुविधाजनक है, इसलिए उपरोक्त समानता को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)। $$

अब हम व्यंजकों $\frac(1)(2k+1)$ और $\frac(1)(2k+3)$ को उसी रूप में रूपांतरित करते हैं। मुझे लगता है कि इसे एक बड़े अंश की तरह दिखाना सुविधाजनक है (हालाँकि आप छोटे अंश का उपयोग कर सकते हैं, यह स्वाद का मामला है)। चूँकि $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (हर जितना बड़ा होगा, भिन्न उतना ही छोटा होगा), हम भिन्न $\frac(1)(2k+) को कम कर देंगे 3) $ से $\frac(1)(2k+1)$ के रूप में।

मैं भिन्न $\frac(1)(2k+3)$ के हर में व्यंजक इस प्रकार प्रस्तुत करूंगा:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1)। $$

और योग $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ अब इस तरह लिखा जा सकता है:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)। $$

अगर समानता $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1)$ प्रश्न नहीं उठाता है, तो चलिए आगे बढ़ते हैं। यदि कोई प्रश्न हैं, तो कृपया नोट का विस्तार करें।

हमें परिवर्तित राशि कैसे मिली? दिखाओ छुपाओ

हमारे पास श्रृंखला थी $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( के+1)+1)$। आइए $k+1$ के बजाय एक नया चर पेश करें - उदाहरण के लिए, $t$। तो $t=k+1$।

पुराना चर $k$ कैसे बदल गया? और यह 1 से $n$ में बदल गया। आइए जानें कि नया वेरिएबल $t$ कैसे बदलेगा। अगर $k=1$, तो $t=1+1=2$। अगर $k=n$, तो $t=n+1$। तो अभिव्यक्ति $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ अब है: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$।

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2टी+1)। $$

हमारे पास $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ का योग है। प्रश्न: क्या यह मायने रखता है कि इस राशि में किस अक्षर का उपयोग किया जाए? :) $t$ के बजाय $k$ अक्षर को तिरछा लिखने पर, हमें निम्नलिखित मिलता है:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)। $$

इस प्रकार समानता $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) \frac(1)(2k+1)$ प्राप्त किया जाता है।

इस प्रकार, आंशिक योग को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ) $$

ध्यान दें कि योग $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ और $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ केवल योग की सीमा में भिन्न है। आइए इन सीमाओं को समान बनाएं। योग $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ से पहला तत्व "लेना" हमें मिलता है:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)। $$

योग $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ से अंतिम तत्व "लेना", हम प्राप्त करते हैं:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 )$$

तब आंशिक योग का व्यंजक रूप लेगा:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (एन)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ फ़्रेक(1)(3)-\frac(1)(2n+3)। $$

यदि आप सभी स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो n-वें आंशिक योग के लिए एक संक्षिप्त सूत्र खोजने की प्रक्रिया निम्नलिखित रूप लेगी:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

मैं आपको याद दिला दूं कि हमने अंश $\frac(1)(2k+3)$ को घटाकर $\frac(1)(2k+1)$ कर दिया है। बेशक, आप इसके विपरीत कर सकते हैं, अर्थात। भिन्न $\frac(1)(2k+1)$ को $\frac(1)(2k+3)$ के रूप में निरूपित करें। आंशिक योग के लिए अंतिम व्यंजक नहीं बदलेगा। इस मामले में, मैं एक नोट के तहत आंशिक राशि खोजने की प्रक्रिया को छिपाऊंगा।

यदि आप भिन्न भिन्न के रूप में लाते हैं, तो $S_n$ कैसे ज्ञात करें? दिखाओ छुपाओ

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ) $$

तो $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$। $\lim_(n\to\infty)S_n$ की सीमा ज्ञात करें:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3)। $$

दी गई श्रृंखला अभिसरण करती है और इसका योग $S=\frac(1)(3)$ है।

जवाब: $S=\frac(1)(3)$।

किसी श्रंखला का योग ज्ञात करने के विषय की निरंतरता पर दूसरे और तीसरे भाग में विचार किया जाएगा।

संख्याओं की एक श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिए। यदि इसे खोजना संभव नहीं है, तो सिस्टम एक निश्चित सटीकता के साथ श्रृंखला के योग की गणना करता है।

श्रृंखला अभिसरण

यह कैलकुलेटर निर्धारित कर सकता है कि क्या कोई श्रृंखला अभिसरण करती है, और यह भी दिखाती है कि अभिसरण के कौन से संकेत काम करते हैं और कौन से नहीं।

वह यह भी जानता है कि शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का निर्धारण कैसे किया जाता है।

एक श्रृंखला ग्राफ भी बनाया गया है, जहां आप श्रृंखला (या विचलन) के अभिसरण की दर देख सकते हैं।

भाव और कार्य दर्ज करने के नियम

अभिव्यक्तियों में कार्य शामिल हो सकते हैं (नोटेशन वर्णानुक्रम में दिए गए हैं): निरपेक्ष (एक्स)निरपेक्ष मूल्य एक्स
(मापांक एक्सया |x|) आर्ककोस (एक्स)समारोह - चाप कोसाइन एक्स आर्ककोश (एक्स)चाप कोसाइन अतिपरवलयिक से एक्स आर्कसिन (एक्स)आर्क्सिन से एक्स आर्कसिंह (एक्स)आर्क्सिन हाइपरबोलिक से एक्स आर्कटिक (एक्स)समारोह - चाप स्पर्शरेखा . से एक्स आर्कटिक (एक्स)चाप स्पर्शरेखा से अतिपरवलयिक है एक्स इ इएक संख्या जो लगभग 2.7 . के बराबर है क्स्प (एक्स)फलन - से घातांक एक्स(जो है इ^एक्स) लॉग (एक्स)या लॉग (एक्स)का प्राकृतिक लघुगणक एक्स
(प्राप्त करना लॉग 7 (एक्स), आपको लॉग(x)/लॉग(7) दर्ज करना होगा (या, उदाहरण के लिए, for लॉग 10 (एक्स)=लॉग(x)/लॉग(10)) अनुकरणीयसंख्या "पाई" है, जो लगभग 3.14 . के बराबर है पाप (एक्स)समारोह - की साइन एक्स कॉस (एक्स)समारोह - की कोज्या एक्स सिंह (एक्स)समारोह - की अतिपरवलयिक ज्या एक्स नकद (एक्स)समारोह - की अतिपरवलयिक कोज्या एक्स वर्ग (एक्स)फलन का वर्गमूल है एक्स वर्ग (एक्स)या एक्स^2समारोह - वर्ग एक्स टीजी (एक्स)समारोह - स्पर्शरेखा . से एक्स टीजीएच (एक्स)फलन - की अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा एक्स सीबीआरटी (एक्स)फलन का घनमूल है एक्स

आप अभिव्यक्तियों में निम्नलिखित परिचालनों का उपयोग कर सकते हैं: वास्तविक संख्याफॉर्म में दर्ज करें 7.5 , नहीं 7,5 2*x- गुणन 3/x- विभाजन एक्स^3- घातांक एक्स + 7- योग एक्स - 6- घटाव
अन्य सुविधाओं: मंजिल (एक्स)समारोह - गोलाई एक्सनीचे (उदाहरण मंजिल(4.5)==4.0) छत (एक्स)समारोह - गोलाई एक्सऊपर (उदाहरण सीलिंग(4.5)==5.0) साइन (एक्स)समारोह - संकेत एक्स ईआरएफ (एक्स)त्रुटि फ़ंक्शन (या संभाव्यता अभिन्न) लैपलेस (एक्स)लाप्लास समारोह