• एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के साइड फेस की ऊंचाई, जो इसके ऊपर से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो एक नियमित बहुभुज के बीच से उसके 1 हिस्से तक कम हो जाती है);
• साइड फेस (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिकोण जो शीर्ष पर अभिसरण करते हैं;
• पार्श्व पसलियां ( जैसा , बी एस , सीएस , डी.एस. ) - पक्ष के आम पक्ष चेहरे;
• पिरामिड के ऊपर (वी. एस) - एक बिंदु जो किनारे के किनारों को जोड़ता है और जो आधार के तल में नहीं होता है;
• कद ( इसलिए ) - लंबवत का एक खंड, जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा जाता है (इस तरह के खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का खंड, जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) एक बहुभुज है जिसमें पिरामिड का शीर्ष संबंधित नहीं है।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल की ओर झुकाव कोण होता है, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि के उत्पाद और पार्श्व चेहरे की ऊंचाई के बराबर है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

सबसे सरल पिरामिड।

पिरामिड के आधार के कोनों की संख्या के अनुसार, उन्हें त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय आदि में विभाजित किया गया है।

पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिभुज, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुर्भुज - पेंटाहेड्रोन और इसी तरह।

जिसमें एक तरफ का किनारा आधार के लंबवत है।

इस मामले में, यह किनारा पिरामिड की ऊंचाई होगी।

पिरामिड गुण।

1. जब सभी किनारों का आकार समान हो, तब:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अतिरिक्त, विलोम भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व किनारे आधार तल के साथ समान कोण बनाते हैं, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, तो पिरामिड के सभी किनारे समान आकार।

2. जब पार्श्व फलकों में समान मान के आधार के तल पर झुकाव का कोण हो, तो:

• पिरामिड के आधार के पास, एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, जबकि पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान लंबाई की होती है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि के उत्पाद और पार्श्व चेहरे की ऊंचाई के बराबर है।

3. पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड का आधार एक बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो उनके लंबवत पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी त्रिभुज के चारों ओर और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है;

4. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक द्वितल कोणों के समद्विभाजक तल 1 बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा।

5. शंकु पिरामिड में तब अंकित होगा जब उनके शीर्ष एक साथ होंगे और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित होगा। उसी समय, पिरामिड में शंकु को केवल तभी अंकित करना संभव है जब पिरामिड के एपोथेम्स के समान मूल्य (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) हों;

6. पिरामिड के पास शंकु खुदा होगा यदि उनके शीर्ष मेल खाते हैं, और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के पास खुदा होगा। इस मामले में, पिरामिड के पास एक शंकु का वर्णन केवल तभी संभव है जब पिरामिड के सभी किनारों के समान मान (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) हों। इन शंकुओं और पिरामिडों की ऊँचाई समान है।

7. सिलेंडर पिरामिड में खुदा होगा यदि इसका पहला आधार एक वृत्त के साथ मेल खाता है जो आधार के समानांतर एक विमान द्वारा पिरामिड के खंड में खुदा हुआ है, और दूसरा आधार पिरामिड के आधार से संबंधित होगा।

8. जब पिरामिड का शीर्ष उसके एक आधार से संबंधित होगा तो पिरामिड के पास सिलेंडर खुदा होगा और सिलेंडर का दूसरा आधार पिरामिड के आधार के पास खुदा होगा। उसी समय, पिरामिड के पास एक सिलेंडर का वर्णन करना तभी संभव है जब पिरामिड का आधार एक खुदा हुआ बहुभुज (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) हो।

एक आयताकार पिरामिड का आयतन और क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र।

वी- पिरामिड का आयतन,

एसपिरामिड के आधार का क्षेत्रफल है,

एच- पिरामिड की ऊंचाई,

एसबीपिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है,

एक- एपोथेम (भ्रमित नहीं होना चाहिए α ) पिरामिड,

पी- पिरामिड के आधार की परिधि,

एन- पिरामिड के आधार की भुजाओं की संख्या,

बी- पिरामिड के पार्श्व किनारे की लंबाई,

α - पिरामिड के शीर्ष पर समतल कोण।

प्रथम स्तर

पिरामिड। विजुअल गाइड (2019)

एक पिरामिड क्या है?

वह कैसी दिखती है?

आप देखते हैं: नीचे पिरामिड में (वे कहते हैं " बेस पर”) कुछ बहुभुज, और इस बहुभुज के सभी कोने अंतरिक्ष में किसी बिंदु से जुड़े होते हैं (इस बिंदु को “कहा जाता है” शिखर»).

इस पूरी संरचना में है साइड फेस, पार्श्व पसलियांतथा आधार पसलियां. आइए एक बार फिर इन सभी नामों के साथ एक पिरामिड बनाएं:

कुछ पिरामिड बहुत अजीब लग सकते हैं, लेकिन वे अभी भी पिरामिड ही हैं।

यहाँ, उदाहरण के लिए, काफी "तिरछा" पिरामिड.

और नामों के बारे में थोड़ा और: यदि पिरामिड के आधार पर एक त्रिभुज है, तो पिरामिड को त्रिभुज कहा जाता है;

उसी समय, जिस बिंदु पर वह गिर गया कद, कहा जाता है ऊंचाई का आधार. ध्यान दें कि "कुटिल" पिरामिड में कदपिरामिड के बाहर भी हो सकता है। ऐशे ही:

और इसमें भयानक कुछ भी नहीं है। यह एक तिरछे त्रिभुज जैसा दिखता है।

सही पिरामिड।

बहुत सारे कठिन शब्द? आइए समझें: " आधार पर - सही"- यह समझ में आता है। और अब याद रखें कि एक नियमित बहुभुज का एक केंद्र होता है - एक बिंदु जो और का केंद्र होता है, तथा।

खैर, और शब्द "शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है" का अर्थ है कि ऊंचाई का आधार बिल्कुल आधार के केंद्र में पड़ता है। देखो कितनी चिकनी और प्यारी लगती है दायां पिरामिड.

हेक्सागोनल: आधार पर - एक नियमित षट्भुज, शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

चौकोर: आधार पर - एक वर्ग, शीर्ष को इस वर्ग के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

त्रिकोणीय: आधार पर एक नियमित त्रिभुज है, शीर्ष को इस त्रिभुज की ऊंचाइयों (वे भी माध्यिका और समद्विभाजक हैं) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्रक्षेपित किया जाता है।

अत्यधिक एक नियमित पिरामिड के महत्वपूर्ण गुण:

सही पिरामिड में

• सभी पार्श्व किनारे समान हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

पिरामिड वॉल्यूम

पिरामिड के आयतन का मुख्य सूत्र:

यह बिल्कुल कहाँ से आया? यह इतना आसान नहीं है, और सबसे पहले आपको यह याद रखने की जरूरत है कि पिरामिड और शंकु में सूत्र में मात्रा होती है, लेकिन सिलेंडर नहीं होता है।

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों की मात्रा की गणना करें।

मान लें कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा बराबर है। मुझे खोजने की जरूरत है और।

यह एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

आइए याद करें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" है - यह, और "" - यह भी, एह।

आइए अब ढूंढते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

क्या फर्क पड़ता है? यह परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, क्योंकि पिरामिडसहीऔर इसलिए केंद्र।

चूँकि - प्रतिच्छेदन बिंदु और माध्यिका भी।

(पाइथागोरस प्रमेय के लिए)

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

आइए सब कुछ वॉल्यूम फॉर्मूला में प्लग करें:

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रोन (यानी) है, तो सूत्र है:

मान लें कि आधार का किनारा बराबर है, और किनारे का किनारा बराबर है।

यहां खोजने की जरूरत नहीं है; क्योंकि आधार पर एक वर्ग है, और इसलिए।

हमे पता करने दें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

हम जानते हैं? लगभग। नज़र:

(हमने इसे समीक्षा करके देखा)।

के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

और अब हम वॉल्यूम फॉर्मूला में स्थानापन्न करते हैं।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को।

कैसे ढूंढें? देखिए, एक षट्भुज में ठीक छह समान नियमित त्रिभुज होते हैं। एक नियमित त्रिभुज पिरामिड के आयतन की गणना करते समय हमने पहले से ही एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल की खोज की है, यहाँ हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

अब आइए (यह) खोजें।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लेकिन क्या फर्क पड़ता है? यह आसान है क्योंकि (और बाकी सभी भी) सही है।

हम स्थानापन्न करते हैं:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

पिरामिड। संक्षेप में मुख्य के बारे में

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसमें किसी भी फ्लैट बहुभुज (), एक बिंदु होता है जो आधार के तल (पिरामिड के शीर्ष) में नहीं होता है और पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं (साइड किनारों) से जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं )

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल पर गिरा एक लंबवत।

सही पिरामिड- एक पिरामिड, जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक नियमित पिरामिड की संपत्ति:

• एक नियमित पिरामिड में, सभी किनारे बराबर होते हैं।
• सभी भुजा फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं और ये सभी त्रिभुज समान हैं।

परिभाषा

पिरामिडएक बहुभुज से बना एक बहुभुज है \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) एक सामान्य शीर्ष के साथ त्रिभुज बहुभुज।
पद: \(PA_1A_2...A_n\) ।
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) ।

त्रिभुज \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) आदि। बुलाया साइड फेसपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। - पार्श्व पसलियां, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - आधार, बिंदु \(P\) - बैठक.

कदपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक गिराए गए लंबवत हैं।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

\((a)\) पिरामिड के किनारे बराबर हैं;

\((b)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के पास परिबद्ध वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी होती हैं।

\((d)\) पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुके होते हैं।

नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

शर्तें \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई बनाएं। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम सिद्ध करें कि \((a)\) का अर्थ \((b)\) है। चलो \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

इसलिये \(PH\perp \alpha\) , तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा के लंबवत है, इसलिए त्रिभुज समकोण हैं। तो ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पैर \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। तो \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) । इसका अर्थ है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। यह वृत्त, परिभाषा के अनुसार, बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिबद्ध है।

2) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) से है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों में बराबर। अत: उनके कोण भी बराबर होते हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम सिद्ध करें कि \((c)\) का अर्थ है \((a)\) ।

पहले बिंदु के समान, त्रिभुज \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर और तीव्र कोण के साथ। इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम सिद्ध करें कि \((b)\) का अर्थ \((d)\) है।

इसलिये एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं (आमतौर पर, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदा हुआ वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार, (\(PH\) विमान के लिए लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि पक्षों के लंबवत अनुमान हैं) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। पक्षों के लंबवत \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)भुजाओं के फलकों और आधार के बीच के कोणों के बराबर। इसलिये त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (दो पैरों पर समकोण के रूप में), फिर कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम सिद्ध करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) से है।

इसी तरह चौथे बिंदु के लिए, त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर और न्यून कोण के साथ आयताकार के रूप में), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) बराबर हैं। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित एक वृत्त का केंद्र है। लेकिन जबसे नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। छत्तीसगढ़

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमा.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और माध्यिका और द्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊंचाई आधार की ऊंचाई (या द्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर पड़ी किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकारयदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड के लिए, आधार से लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत, तब \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)सही त्रिकोण हैं।

3. त्रिभुज \(\triangle SRN, \triangle SRK\)आयताकार भी हैं।
यानी इस किनारे से बनने वाला कोई भी त्रिभुज और इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण, जो आधार पर स्थित है, समकोण होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर होता है: \

परिणाम

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(दायां त्रिभुज pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन है \(V_(\text(दाएं टेट्रा.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(छोटा पिरामिड)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के किनारे के किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह तल पिरामिड को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड है (\(PB_1B_2...B_n\) ), और दूसरे को कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\))।

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) , जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार के किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्बाकार होते हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के एक खंड द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड ऊंचाई है।

यह वीडियो ट्यूटोरियल उपयोगकर्ताओं को पिरामिड थीम के बारे में एक विचार प्राप्त करने में मदद करेगा। सही पिरामिड। इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे, इसकी परिभाषा देंगे। विचार करें कि एक नियमित पिरामिड क्या है और इसमें क्या गुण हैं। फिर हम एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे, इसकी परिभाषा देंगे।

बहुभुज पर विचार करें ए 1 ए 2...एक, जो विमान α में स्थित है, और एक बिंदु पी, जो समतल α में नहीं है (चित्र 1)। आइए डॉट कनेक्ट करें पीचोटियों के साथ ए 1, ए 2, ए 3, … एक. प्राप्त एनत्रिभुज: ए 1 ए 2 आर, ए 2 ए 3 आरऔर इसी तरह।

परिभाषा. बहुतल आरए 1 ए 2 ... ए एन, से बना एन gon के ए 1 ए 2...एकतथा एनत्रिभुज आरए 1 ए 2, आरए 2 ए 3 …आरए एन ए एन-1, कहा जाता है एन- कोयला पिरामिड। चावल। एक।

चावल। एक

एक चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(रेखा चित्र नम्बर 2)।

आर- पिरामिड का शीर्ष।

ए बी सी डी- पिरामिड का आधार।

आरए- साइड रिब।

अब- आधार किनारा।

एक बिंदु से आरलंबवत गिराएं आर.एन.जमीनी तल पर ए बी सी डी. खींचा गया लंबवत पिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 2

पिरामिड की कुल सतह में पार्श्व सतह होती है, अर्थात सभी पार्श्व चेहरों का क्षेत्रफल और आधार क्षेत्र:

एस फुल \u003d एस साइड + एस मेन

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि:

• इसका आधार एक नियमित बहुभुज है;
• पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड इसकी ऊंचाई है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण पर स्पष्टीकरण

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(चित्र 3)।

आर- पिरामिड का शीर्ष। पिरामिड का आधार ए बी सी डी- एक नियमित चतुर्भुज, यानी एक वर्ग। दूरसंचार विभाग हे, विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, वर्ग का केंद्र है। माध्यम, आरओपिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 3

व्याख्या: सही एन-गॉन, उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र और परिचालित वृत्त का केंद्र मेल खाता है। इस केंद्र को बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। कभी-कभी वे कहते हैं कि शीर्ष को केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है, कहलाती है एपोथेमाऔर निरूपित एच ए.

1. एक नियमित पिरामिड के सभी किनारे बराबर होते हैं;

2. पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

आइए हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन गुणों को सिद्ध करें।

दिया गया: आरएबीएसडी- नियमित चतुर्भुज पिरामिड,

ए बी सी डी- वर्ग,

आरओपिरामिड की ऊंचाई है।

सिद्ध करना:

1. आरए = पीबी = पीसी = पीडी

2.ATP = BCP = CDP = DAP चित्र देखें। चार।

चावल। चार

सबूत.

आरओपिरामिड की ऊंचाई है। यानी सीधा आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष एओ, वीओ, एसओतथा करनाइसमें लेटा हुआ। तो त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, रोड- आयताकार।

एक वर्ग पर विचार करें ए बी सी डी. यह एक वर्ग के गुणों से निम्नानुसार है कि एओ = बीओ = सीओ = करना।

फिर समकोण त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, रोडटांग आरओ- सामान्य और पैर एओ, वीओ, एसओतथा करनाबराबर है, इसलिए ये त्रिभुज दो टाँगों में बराबर हैं। त्रिभुजों की समानता से खंडों की समानता का अनुसरण होता है, आरए = पीबी = पीसी = पीडी।बिंदु 1 सिद्ध होता है।

सेगमेंट अबतथा रविसमान हैं क्योंकि वे एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं, आरए = आरवी = पीसी. तो त्रिभुज एवीआरतथा वीसीआर -समद्विबाहु और तीन तरफ बराबर।

इसी प्रकार, हम पाते हैं कि त्रिभुज एबीपी, बीसीपी, सीडीपी, डीएपीसमद्विबाहु और बराबर हैं, जिन्हें मद 2 में सिद्ध करना आवश्यक था।

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है:

प्रमाण के लिए, हम एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड चुनते हैं।

दिया गया: रावसएक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है।

एबी = बीसी = एसी।

आरओ- कद।

सिद्ध करना: . अंजीर देखें। 5.

चावल। 5

सबूत।

रावसएक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है। वह है अब= एसी = बीसी. होने देना हे- त्रिभुज का केंद्र एबीसी, फिर आरओपिरामिड की ऊंचाई है। पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है। एबीसी. नोटिस जो .

त्रिभुज आरएवी, आरवीएस, आरएसए- समान समद्विबाहु त्रिभुज (गुण के अनुसार)। एक त्रिभुजाकार पिरामिड के तीन पार्श्व फलक होते हैं: आरएवी, आरवीएस, आरएसए. तो, पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

एस पक्ष = 3एस आरएबी

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है, पिरामिड की ऊंचाई 4 मीटर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया गया: नियमित चतुर्भुज पिरामिड ए बी सी डी,

ए बी सी डी- वर्ग,

आर= 3 मीटर,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई,

आरओ= 4 मी.

पाना: एस पक्ष। अंजीर देखें। 6.

चावल। 6

समाधान.

सिद्ध प्रमेय के अनुसार, .

पहले आधार की भुजा ज्ञात कीजिए अब. हम जानते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है।

फिर, एम.

वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए ए बी सी डी 6 मीटर के किनारे के साथ:

एक त्रिभुज पर विचार करें बीसीडी. होने देना एम- मध्य भाग डीसी. इसलिये हे- मध्यम बीडी, फिर (एम)।

त्रिकोण डीपीसी- समद्विबाहु। एम- मध्यम डीसी. वह है, आर एम- माध्यिका, और इसलिए त्रिभुज में ऊँचाई डीपीसी. फिर आर एम- पिरामिड का एपोथेम।

आरओपिरामिड की ऊंचाई है। फिर, सीधे आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष ओएमइसमें लेटा हुआ। आइए एक एपोथेम खोजें आर एमएक समकोण त्रिभुज से ROM.

अब हम पिरामिड की पार्श्व सतह का पता लगा सकते हैं:

उत्तर: 60 एम2।

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के पास परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या मी है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 18 मी 2 है। एपोथेम की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया: एबीसीपी- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड,

एबी = बीसी = एसए,

आर= एम,

एस पक्ष = 18 मीटर 2।

पाना: . अंजीर देखें। 7.

चावल। 7

समाधान.

एक समकोण त्रिभुज में एबीसीपरिचालित वृत्त की त्रिज्या दी गई है। आइए एक पक्ष खोजें अबसाइन प्रमेय का उपयोग करते हुए यह त्रिभुज।

एक नियमित त्रिभुज (m) की भुजा जानने के बाद, हम इसका परिमाप ज्ञात करते हैं।

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल पर प्रमेय के अनुसार, जहाँ एच ए- पिरामिड का एपोथेम। फिर:

उत्तर: 4 मी.

इसलिए, हमने जांच की कि एक पिरामिड क्या है, एक नियमित पिरामिड क्या है, हमने एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह पर प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में हम काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे।

ग्रन्थसूची

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2. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक / शैरगिन आई। एफ। - एम।: बस्टर्ड, 1999। - 208 पी।: बीमार।
3. ज्यामिति। ग्रेड 10: गणित / ई के गहन और प्रोफाइल अध्ययन के साथ सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। वी। पोटोस्कुव, एल। आई। ज़्वालिच। - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइप। - एम .: बस्टर्ड, 008. - 233 पी .: बीमार।

1. इंटरनेट पोर्टल "याकलास" ()
2. इंटरनेट पोर्टल "शैक्षणिक विचारों का त्योहार" सितंबर का पहला "()
3. इंटरनेट पोर्टल "Slideshare.net" ()

गृहकार्य

1. क्या एक नियमित बहुभुज एक अनियमित पिरामिड का आधार हो सकता है?
2. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित पिरामिड के अप्रतिच्छेदी किनारे लंबवत होते हैं।
3. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के आधार के किनारे पर स्थित डायहेड्रल कोण का मान ज्ञात कीजिए, यदि पिरामिड का एपोथेम इसके आधार की भुजा के बराबर है।
4. रावसएक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है। पिरामिड के आधार पर द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिए।