आयताकार प्रक्षेपण के साथ, प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली में दो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमान होते हैं (चित्र। 2.1)। एक क्षैतिज रूप से रखने के लिए सहमत हुआ, और दूसरा लंबवत रूप से।

क्षैतिज रूप से स्थित प्रक्षेपणों के तल को कहा जाता है क्षैतिज प्रक्षेपण विमानऔर निरूपित करें विद्वान,और इसके लंबवत तल ललाट प्रक्षेपण विमानएल 2।प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली को ही निरूपित किया जाता है पी / पी 2।आमतौर पर संक्षिप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग करें: समतल एल [,विमान एन 2।विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा विद्वानऔर 2 . तकबुलाया प्रक्षेपण अक्षओह।यह प्रत्येक प्रक्षेपण तल को दो भागों में विभाजित करता है - मंजिलों।अनुमानों के क्षैतिज तल में एक पूर्वकाल और पीछे की मंजिल होती है, जबकि ललाट तल में ऊपरी और निचली मंजिल होती है।

विमान विद्वानऔर पी 2अंतरिक्ष को चार भागों में विभाजित करें जिन्हें कहा जाता है तिमाहियोंऔर रोमन अंकों I, II, III और IV द्वारा निरूपित किया जाता है (चित्र 2.1 देखें)। पहली तिमाही को ऊपरी खोखले ललाट और सामने के खोखले क्षैतिज प्रक्षेपण विमानों से घिरा अंतरिक्ष का हिस्सा कहा जाता है। अंतरिक्ष के शेष तिमाहियों के लिए, परिभाषाएँ पिछले वाले के समान हैं।

सभी इंजीनियरिंग चित्र एक ही तल पर बने चित्र हैं। अंजीर पर। 2.1 प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली स्थानिक है। उसी तल पर छवियों को स्थानांतरित करने के लिए, हम प्रक्षेपण विमानों को संयोजित करने के लिए सहमत हुए। आमतौर पर विमान पी 2गतिहीन छोड़ दिया, और विमान पीअक्ष के चारों ओर तीरों द्वारा इंगित दिशा में मुड़ें (चित्र 2.1 देखें)। ओहविमान के साथ संरेखित होने तक 90 ° के कोण पर एन 2।इस तरह के मोड़ के साथ, क्षैतिज तल का अगला तल नीचे चला जाता है, और पीछे वाला ऊपर उठ जाता है। संरेखण के बाद, विमानों का रूप दर्शाया गया है

अंजीर में महिला। 2.2. ऐसा माना जाता है कि प्रक्षेपण विमान अपारदर्शी होते हैं और पर्यवेक्षक हमेशा पहली तिमाही में होता है। अंजीर पर। 2.2, संरेखण के बाद अदृश्य विमानों का पदनाम कोष्ठक में लिया जाता है, जैसा कि चित्र में अदृश्य आंकड़ों को उजागर करने के लिए प्रथागत है।

प्रक्षेपित बिंदु अंतरिक्ष के किसी भी चौथाई भाग में या किसी प्रक्षेपण तल पर हो सकता है। सभी मामलों में, अनुमानों के निर्माण के लिए, इसके माध्यम से प्रक्षेपित रेखाएं खींची जाती हैं और उनके मिलन बिंदु 711 और 712 विमानों के साथ मिलते हैं, जो प्रक्षेपण हैं।

पहली तिमाही में स्थित एक बिंदु के प्रक्षेपण पर विचार करें। प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली 711/712 और बिंदु लेकिन(चित्र। 2.3)। इसके माध्यम से दो सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं, जो PLANES 71 के लंबवत होती हैं) और 71 2. उनमें से एक विमान 711 को बिंदु पर काटेगा लेकिन ",बुलाया बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण,और दूसरा विमान 71 2 बिंदु पर है लेकिन ",बुलाया बिंदु A का ललाट प्रक्षेपण।

प्रोजेक्टिंग लाइनें ए.ए."और ए.ए."प्रक्षेपण के विमान का निर्धारण ए। यह विमानों के लंबवत है किप 2,चूँकि यह उन पर लंबवत से होकर गुजरती है और प्रक्षेपण तलों को सीधी रेखाओं में काटती है ए "आह और ए" ए एक्स।प्रोजेक्शन अक्ष ओहदो विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में समतल महासागर के लंबवत 71| और 71 2 तीसरे तल (ए) के लंबवत और इसलिए उसमें पड़ी किसी भी रेखा के लिए। विशेष रूप से, 0X1A "ए एक्सऔर 0X1A "ए एक्स।

विमानों का संयोजन करते समय, खंड ए "आह,समतल 2 को,स्थिर रहता है, और खंड ए "ए एक्सविमान 71 के साथ) अक्ष के चारों ओर घुमाया जाएगा ओहविमान के साथ संरेखित होने तक 71 2 . एक बिंदु के अनुमानों के साथ संयुक्त प्रक्षेपण विमानों का दृश्य लेकिनअंजीर में दिखाया गया है। 2.4, ए।बिंदु संरेखित करने के बाद ए", ए एक्स और ए"अक्ष के लंबवत एक सीधी रेखा पर स्थित होगा ओह।इसका तात्पर्य है कि एक ही बिंदु के दो अनुमान

प्रक्षेपण अक्ष के उभयनिष्ठ लंबवत पर स्थित है। एक ही बिंदु के दो प्रक्षेपणों को जोड़ने वाला यह लंबवत कहलाता है प्रक्षेपण रेखा।

अंजीर में चित्र। 2.4, एबहुत सरल किया जा सकता है। चित्र में संयुक्त प्रक्षेपण विमानों के पदनामों को चिह्नित नहीं किया गया है और प्रक्षेपण विमानों को सशर्त रूप से सीमित करने वाले आयतों को चित्रित नहीं किया गया है, क्योंकि विमान असीमित हैं। सरलीकृत बिंदु ड्राइंग लेकिन(चित्र। 2.4, बी)यह भी कहा जाता है आरेख(फ्रेंच से? शुद्ध - ड्राइंग)।

अंजीर में दिखाया गया है। 2.3 चतुर्भुज AE4 "ए एक्स ए"एक आयत है और इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर और समानांतर हैं। इसलिए, बिंदु से दूरी लेकिनविमान तक पी, एक खंड द्वारा मापा गया आ", ड्राइंग में खंड द्वारा निर्धारित किया जाता है ए "आह।खंड ए "ए एक्स = एए"आपको एक बिंदु से दूरी का न्याय करने की अनुमति देता है लेकिनविमान तक 2 को।इस प्रकार, एक बिंदु का चित्रण प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष उसके स्थान की पूरी तस्वीर देता है। उदाहरण के लिए, चित्र के अनुसार (चित्र देखें। 2.4, बी)यह तर्क दिया जा सकता है कि बिंदु लेकिनपहली तिमाही में स्थित है और विमान से हटा दिया गया है पी 2विमान ts b से कम दूरी के बाद से ए "ए एक्सए "आह।

आइए अंतरिक्ष के दूसरे, तीसरे और चौथे क्वार्टर में एक बिंदु को प्रक्षेपित करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

एक बिंदु पेश करते समय पर,दूसरी तिमाही में स्थित है (चित्र 2.5), विमानों के संयोजन के बाद, इसके दोनों अनुमान अक्ष के ऊपर होंगे ओह।

तीसरी तिमाही (चित्र 2.6) में दिए गए बिंदु C का क्षैतिज प्रक्षेपण, अक्ष के ऊपर स्थित है ओह,और सामने कम है।

बिंदु D को अंजीर में दर्शाया गया है। 2.7 चौथी तिमाही में स्थित है। प्रक्षेपण विमानों के संयोजन के बाद, इसके दोनों अनुमान अक्ष के नीचे होंगे ओह।

अंतरिक्ष के विभिन्न तिमाहियों में स्थित बिंदुओं के चित्र की तुलना (चित्र देखें। 2.4-2.7), आप देख सकते हैं कि प्रत्येक को अनुमानों की धुरी के सापेक्ष अनुमानों के अपने स्थान की विशेषता है। ओह।

विशेष मामलों में, प्रक्षेपित बिंदु प्रक्षेपण तल पर स्थित हो सकता है। फिर इसका एक प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, और दूसरा प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित होगा। उदाहरण के लिए, एक बिंदु के लिए इ,एक विमान पर झूठ बोलना विद्वान(चित्र। 2.8), क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, और ललाट प्रक्षेपण अक्ष पर है ओह।बिंदु पर इ,विमान पर स्थित 2 . तक(चित्र। 2.9), अक्ष पर क्षैतिज प्रक्षेपण ओह,और सामने वाला बिंदु के साथ ही मेल खाता है।

अनुमानों की दो योजनाओं पर एक बिंदु का प्रक्षेपण

एक सीधी रेखा खंड AA 1 के निर्माण को किसी भी समतल H (चित्र 84, a) में गतिमान बिंदु A के परिणामस्वरूप दर्शाया जा सकता है, और एक समतल के निर्माण को एक सीधी रेखा खंड AB के विस्थापन के रूप में दर्शाया जा सकता है ( अंजीर। 84, बी)।

एक बिंदु एक रेखा और सतह का मुख्य ज्यामितीय तत्व है, इसलिए किसी वस्तु के आयताकार प्रक्षेपण का अध्ययन एक बिंदु के आयताकार अनुमानों के निर्माण से शुरू होता है।

दो लंबवत विमानों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण के स्थान में - प्रक्षेपण वी के ललाट (ऊर्ध्वाधर) विमान और अनुमानों के क्षैतिज विमान एच, हम बिंदु ए (छवि 85, ए) रखते हैं।

प्रक्षेपण विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा एक सीधी रेखा है, जिसे प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है और इसे अक्षर x द्वारा दर्शाया जाता है।

वी विमान को यहां एक आयत के रूप में दिखाया गया है, और एच विमान को समांतर चतुर्भुज के रूप में दिखाया गया है। इस समांतर चतुर्भुज की झुकी हुई भुजा आमतौर पर इसकी क्षैतिज भुजा से 45° के कोण पर खींची जाती है। झुकी हुई भुजा की लंबाई उसकी वास्तविक लंबाई के 0.5 के बराबर ली जाती है।

बिंदु A से, लंबों को V और H के विमानों पर उतारा जाता है। बिंदु a "और प्रक्षेपण विमानों V और H के साथ लंबवत के चौराहे के बिंदु A के आयताकार अनुमान हैं। अंतरिक्ष में आकृति Aaa x a" एक आयत है। दृश्य छवि में इस आयत का पार्श्व अक्ष 2 गुना कम हो जाता है।

आइए हम x तल के प्रतिच्छेदन रेखा के चारों ओर V घुमाकर H तल को V तल के साथ संरेखित करें। परिणाम बिंदु A का एक जटिल आरेखण है (चित्र 85, b)

जटिल ड्राइंग को सरल बनाने के लिए, प्रक्षेपण विमानों वी और एच की सीमाओं को इंगित नहीं किया गया है (चित्र 85, सी)।

बिंदु ए से प्रक्षेपण विमानों तक खींचे गए लंबवत को प्रोजेक्टिंग लाइन कहा जाता है, और इन प्रोजेक्टिंग लाइनों के आधार - बिंदु ए और "बिंदु ए के अनुमान कहलाते हैं: ए" बिंदु ए का ललाट प्रक्षेपण है, ए क्षैतिज प्रक्षेपण है बिंदु ए.

लाइन ए "ए को प्रोजेक्शन कनेक्शन की वर्टिकल लाइन कहा जाता है।

एक जटिल चित्र पर एक बिंदु के प्रक्षेपण का स्थान अंतरिक्ष में इस बिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है।

यदि बिंदु A क्षैतिज प्रक्षेपण विमान H (चित्र। 86, a) पर स्थित है, तो इसका क्षैतिज प्रक्षेपण a दिए गए बिंदु के साथ मेल खाता है, और ललाट प्रक्षेपण a "अक्ष पर स्थित है। जब बिंदु B ललाट प्रक्षेपण पर स्थित होता है। विमान V, इसका ललाट प्रक्षेपण इस बिंदु के साथ मेल खाता है, और क्षैतिज प्रक्षेपण x-अक्ष पर स्थित है। किसी दिए गए बिंदु C के क्षैतिज और ललाट अनुमान, x-अक्ष पर स्थित हैं, इस बिंदु के साथ मेल खाते हैं। बिंदुओं का एक जटिल आरेखण ए, बी और सी को चित्र 86, बी में दिखाया गया है।

अनुमानों की तीन योजनाओं पर एक बिंदु का प्रक्षेपण

ऐसे मामलों में जहां दो अनुमानों से किसी वस्तु के आकार की कल्पना करना असंभव है, इसे तीन प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपित किया जाता है। इस मामले में, प्रोजेक्शन डब्ल्यू का प्रोफाइल प्लेन पेश किया गया है, जो कि वी और एच विमानों के लंबवत है। तीन प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली का एक दृश्य प्रतिनिधित्व अंजीर में दिया गया है। 87 ए.

एक त्रिभुज कोण के किनारों (प्रक्षेपण विमानों का प्रतिच्छेदन) को प्रक्षेपण अक्ष कहा जाता है और इसे x, y और z द्वारा दर्शाया जाता है। प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों के प्रतिच्छेदन को प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों की शुरुआत कहा जाता है और इसे ओ अक्षर से दर्शाया जाता है। आइए हम बिंदु ए से प्रक्षेपण विमान डब्ल्यू तक लंबवत छोड़ते हैं और, अक्षर के साथ लंबवत के आधार को चिह्नित करते हैं, हम करेंगे बिंदु A का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण प्राप्त करें।

एक जटिल ड्राइंग प्राप्त करने के लिए, एच और डब्ल्यू विमानों के बिंदु ए को वी विमान के साथ संरेखित किया जाता है, उन्हें ऑक्स और ओज़ अक्षों के चारों ओर घुमाया जाता है। बिंदु A का एक जटिल चित्र अंजीर में दिखाया गया है। 87 बी और सी।

बिंदु A से प्रक्षेपण तल तक प्रक्षेपित करने वाली रेखाओं के खंडों को बिंदु A के निर्देशांक कहा जाता है और इन्हें निरूपित किया जाता है: x A, y A और z A।

उदाहरण के लिए, बिंदु A का निर्देशांक z A, खंड a "a x (चित्र 88, a और b) के बराबर है, बिंदु A से क्षैतिज प्रक्षेपण विमान H तक की दूरी है। बिंदु A पर समन्वय, के बराबर है खंड a x, बिंदु A से प्रक्षेपण V के ललाट तल तक की दूरी है। खंड a y के बराबर x A निर्देशांक बिंदु A से प्रक्षेपण W के प्रोफ़ाइल विमान की दूरी है।

इस प्रकार, एक बिंदु के प्रक्षेपण और प्रक्षेपण अक्ष के बीच की दूरी बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करती है और इसकी जटिल ड्राइंग को पढ़ने की कुंजी है। एक बिंदु के दो अनुमानों द्वारा, एक बिंदु के सभी तीन निर्देशांक निर्धारित किए जा सकते हैं।

यदि बिंदु A के निर्देशांक दिए गए हैं (उदाहरण के लिए, x A \u003d 20 मिमी, y A \u003d 22 मिमी और z A \u003d 25 मिमी), तो इस बिंदु के तीन अनुमान बनाए जा सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, ओज़ अक्ष की दिशा में निर्देशांक ओ की उत्पत्ति से, समन्वय जेड ए को रखा गया है और समन्वय वाई ए को रखा गया है। एक्स समन्वय ए के बराबर खंड। परिणामी बिंदु ए "और ए हैं बिंदु A के ललाट और क्षैतिज प्रक्षेपण।

दो अनुमानों के अनुसार "और एक बिंदु ए, इसके प्रोफाइल प्रक्षेपण का निर्माण तीन तरीकों से किया जा सकता है:

1) मूल बिंदु O से, निर्देशांक के बराबर त्रिज्या Oa y के साथ एक सहायक चाप खींचा जाता है (चित्र 87, b और c), प्राप्त बिंदु से y1 ओज़ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं, और एक जेड ए के बराबर खंड;

2) बिंदु a y से, एक सहायक सीधी रेखा 45 ° के कोण पर अक्ष Oy (चित्र। 88, a) पर खींची जाती है, एक बिंदु y1 प्राप्त होता है, आदि;

3) मूल O से, O अक्ष पर 45 ° के कोण पर एक सहायक सीधी रेखा खींचें (चित्र 88, b), एक बिंदु y1, आदि प्राप्त करें।

इस लेख में, हम इस बारे में सवालों के जवाब पाएंगे कि एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कैसे बनाया जाए और इस प्रक्षेपण के निर्देशांक कैसे निर्धारित किए जाएं। सैद्धांतिक भाग में, हम प्रक्षेपण की अवधारणा पर भरोसा करेंगे। हम शब्दों की परिभाषा देंगे, जानकारी के साथ चित्रण करेंगे। आइए उदाहरणों को हल करके अर्जित ज्ञान को समेकित करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

प्रक्षेपण, प्रक्षेपण के प्रकार

स्थानिक आंकड़ों पर विचार करने की सुविधा के लिए, इन आंकड़ों को दर्शाने वाले चित्रों का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

एक विमान पर एक आकृति का प्रक्षेपण- एक स्थानिक आकृति का एक चित्र।

जाहिर है, प्रक्षेपण के निर्माण के लिए कई नियमों का इस्तेमाल किया जाता है।

परिभाषा 2

प्रक्षेपण- निर्माण नियमों का उपयोग करते हुए एक विमान पर एक स्थानिक आकृति का चित्र बनाने की प्रक्रिया।

प्रोजेक्शन प्लेनवह विमान है जिसमें छवि बनाई गई है।

कुछ नियमों का उपयोग प्रक्षेपण के प्रकार को निर्धारित करता है: केंद्रीयया समानांतर.

समानांतर प्रक्षेपण का एक विशेष मामला लंबवत प्रक्षेपण या ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है: ज्यामिति में, इसका मुख्य रूप से उपयोग किया जाता है। इस कारण से, विशेषण "लंबवत" को अक्सर भाषण में छोड़ दिया जाता है: ज्यामिति में वे केवल "एक आकृति का प्रक्षेपण" कहते हैं और इसका मतलब लंबवत प्रक्षेपण की विधि द्वारा प्रक्षेपण का निर्माण होता है। विशेष मामलों में, निश्चित रूप से, अन्यथा निर्धारित किया जा सकता है।

हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि एक समतल पर एक आकृति का प्रक्षेपण वास्तव में, इस आकृति के सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण है। इसलिए, एक ड्राइंग में एक स्थानिक आकृति का अध्ययन करने में सक्षम होने के लिए, एक विमान पर एक बिंदु को प्रक्षेपित करने का बुनियादी कौशल हासिल करना आवश्यक है। हम नीचे क्या बात करेंगे।

याद रखें कि अक्सर ज्यामिति में, एक विमान पर प्रक्षेपण की बात करते हुए, उनका मतलब लंबवत प्रक्षेपण का उपयोग होता है।

हम ऐसी रचनाएँ करेंगे जो हमें समतल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की परिभाषा प्राप्त करने में सक्षम बनाएगी।

मान लीजिए कि एक त्रि-आयामी स्थान दिया गया है, और इसमें एक विमान α और एक बिंदु M 1 है जो विमान α से संबंधित नहीं है। दिए गए बिंदु M से एक सीधी रेखा खींचिए 1 एदिए गए विमान α के लंबवत। लाइन ए और विमान α के चौराहे के बिंदु को एच 1 के रूप में दर्शाया जाएगा, निर्माण द्वारा यह बिंदु एम 1 से विमान α पर गिराए गए लंबवत के आधार के रूप में कार्य करेगा।

यदि किसी दिए गए विमान α से संबंधित एक बिंदु एम 2 दिया जाता है, तो एम 2 विमान α पर खुद के प्रक्षेपण के रूप में कार्य करेगा।

परिभाषा 3

या तो स्वयं बिंदु है (यदि यह किसी दिए गए विमान से संबंधित है), या किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर गिराए गए लंबवत का आधार है।

एक समतल पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक ढूँढना, उदाहरण

दिए गए त्रि-आयामी स्थान में दें: आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z, समतल α, बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1)। किसी दिए गए विमान पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजना आवश्यक है।

समाधान स्पष्ट रूप से एक विमान पर एक बिंदु के प्रक्षेपण की उपरोक्त परिभाषा से अनुसरण करता है।

हम विमान α पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण को H 1 के रूप में निरूपित करते हैं। परिभाषा के अनुसार, H 1 दिए गए समतल α का प्रतिच्छेदन बिंदु है और बिंदु M 1 (तल के लंबवत) के माध्यम से रेखा a है। वे। बिंदु एम 1 के प्रक्षेपण के निर्देशांक हमें चाहिए लाइन ए और विमान α के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक हैं।

इस प्रकार, एक विमान पर एक बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

विमान α का समीकरण प्राप्त करें (यदि यह सेट नहीं है)। समतल समीकरणों के प्रकारों के बारे में एक लेख यहाँ आपकी सहायता करेगा;

बिंदु M 1 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का निर्धारण करें और विमान α के लंबवत (किसी दिए गए विमान के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय का अध्ययन करें);

रेखा a और समतल α के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए (लेख - समतल और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना)। प्राप्त डेटा विमान α पर बिंदु एम 1 के प्रक्षेपण के निर्देशांक होंगे जो हमें चाहिए।

आइए व्यावहारिक उदाहरणों पर सिद्धांत पर विचार करें।

उदाहरण 1

विमान 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0 पर बिंदु M 1 (- 2, 4, 4) के प्रक्षेपण के निर्देशांक निर्धारित करें।

फेसला

जैसा कि हम देख सकते हैं, समतल का समीकरण हमें दिया गया है, अर्थात्। इसकी रचना करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

आइए बिंदु M 1 से गुजरने वाली सीधी रेखा के विहित समीकरण और दिए गए तल पर लंबवत लिखें। इन उद्देश्यों के लिए, हम सीधी रेखा a के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। चूँकि रेखा a दिए गए तल पर लंबवत है, तो रेखा a का निर्देशन सदिश समतल 2 x - 3 y + z - 2 = 0 का अभिलंब सदिश है। इस प्रकार, a → = (2 , - 3 , 1) - रेखा a का दिशा सदिश।

अब हम बिंदु M 1 (- 2, 4, 4) से गुजरने वाली और एक दिशा वेक्टर वाले अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों की रचना करते हैं a → = (2 , - 3 , 1) :

एक्स + 2 2 = वाई - 4 - 3 = जेड - 4 1

वांछित निर्देशांक खोजने के लिए, अगला चरण रेखा x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 और समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना है 2 एक्स - 3 वाई + जेड - 2 = 0 . इसके लिए, हम विहित समीकरणों से दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों तक जाते हैं:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (जेड + 4) 3 एक्स + 2 वाई - 2 = 0 एक्स - 2 जेड + 10 = 0

आइए समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

और Cramer's method का उपयोग करके इसे हल करें:

= 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z = - 140 - 28 = 5

इस प्रकार, दिए गए विमान α पर दिए गए बिंदु M 1 के वांछित निर्देशांक होंगे: (0, 1, 5)।

जवाब: (0 , 1 , 5) .

उदाहरण 2

बिंदु А (0 , 0 , 2) एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z त्रि-आयामी स्थान में दिए गए हैं; में (2, - 1, 0) ; सी (4, 1, 1) और एम 1 (-1, -2, 5)। विमान ए बी सी . पर प्रक्षेपण एम 1 के निर्देशांक खोजना आवश्यक है

फेसला

सबसे पहले, हम दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखते हैं:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 x - 2y + 2z - 4 = 0

आइए सीधी रेखा a के पैरामीट्रिक समीकरण लिखें, जो बिंदु M 1 से होकर समतल A B C से होकर गुजरेगा। समतल x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 में निर्देशांक के साथ एक सामान्य वेक्टर है (1, - 2, 2), अर्थात्। वेक्टर a → = (1 , - 2 , 2) - रेखा a का दिशा सदिश।

अब, रेखा M 1 के बिंदु के निर्देशांक और इस रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक होने पर, हम अंतरिक्ष में रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं:

फिर हम समतल x - 2 y + 2 z - 4 = 0 और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करते हैं

x = - 1 + y = - 2 - 2 z = 5 + 2

ऐसा करने के लिए, हम विमान के समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:

x = - 1 + , y = - 2 - 2 , z = 5 + 2

अब, पैरामीट्रिक समीकरण x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 का उपयोग करके, हम λ = - 1: x = - 1 पर चर x, y और z के मान पाते हैं। + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

इस प्रकार, बिंदु M 1 के समतल A B C पर प्रक्षेपण के निर्देशांक (- 2, 0, 3) होंगे।

जवाब: (- 2 , 0 , 3) .

आइए हम निर्देशांक तलों और समतलों के समांतर किसी बिंदु के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजने के प्रश्न पर अलग से ध्यान दें।

मान लीजिए बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और निर्देशांक तल O x y , O x z और O y z दिए गए हैं। इन तलों पर इस बिंदु के प्रक्षेपण निर्देशांक क्रमशः होंगे: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) और (0 , y 1 , z 1) । दिए गए निर्देशांक तलों के समांतर तलों पर भी विचार करें:

सी जेड + डी = 0 ⇔ जेड = - डी सी, बी वाई + डी = 0 ⇔ वाई = - डी बी

और इन समतलों पर दिए गए बिंदु M 1 के अनुमान निर्देशांक x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 और - D A , y 1 , z 1 के साथ बिंदु होंगे।

आइए हम प्रदर्शित करें कि यह परिणाम कैसे प्राप्त हुआ।

एक उदाहरण के रूप में, आइए बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) के समतल A x + D = 0 पर प्रक्षेपण को परिभाषित करें। बाकी मामले इसी तरह के हैं।

दिया गया तल निर्देशांक तल O y z के समांतर है और i → = (1 , 0 , 0) इसका अभिलंब सदिश है। वही वेक्टर विमान O y z के लंबवत सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में कार्य करता है। फिर बिंदु एम 1 के माध्यम से खींची गई सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण और किसी दिए गए विमान के लंबवत इस तरह दिखेंगे:

एक्स = एक्स 1 + λ वाई = वाई 1 जेड = जेड 1

इस रेखा और दिए गए तल के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। हम पहले समीकरण A x + D = 0 समानताएँ: x = x 1 + , y = y 1, z = z 1 में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: A (x 1 + λ) + D = 0 = - D A - एक्स वन

फिर हम λ = - डीए - एक्स 1 के लिए सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके वांछित निर्देशांक की गणना करते हैं:

एक्स = एक्स 1 + - डी ए - एक्स 1 वाई = वाई 1 जेड = जेड 1 ⇔ एक्स = - डी ए वाई = वाई 1 जेड = जेड 1

अर्थात्, बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) का समतल पर प्रक्षेपण निर्देशांक वाला एक बिंदु होगा - D A , y 1 , z 1 ।

उदाहरण 2

निर्देशांक विमान O x y पर और समतल 2 y - 3 = 0 पर बिंदु M 1 (- 6 , 0 , 1 2) के प्रक्षेपण के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

फेसला

निर्देशांक तल O x y समतल z = 0 के अपूर्ण सामान्य समीकरण के अनुरूप होगा। विमान z \u003d 0 पर बिंदु M 1 के प्रक्षेपण में निर्देशांक (- 6, 0, 0) होंगे।

समतल समीकरण 2 y - 3 = 0 को y = 3 2 2 के रूप में लिखा जा सकता है। अब बस y = 3 2 2 समतल पर बिंदु M 1 (- 6, 0, 1 2) के प्रक्षेपण के निर्देशांक लिखें:

6 , 3 2 2 , 1 2

जवाब:(- 6 , 0 , 0) और - 6 , 3 2 2 , 1 2

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निर्देशांक कोण के अनुमानों के तीन विमानों पर एक बिंदु का प्रक्षेपण विमान एच पर अपनी छवि प्राप्त करने के साथ शुरू होता है - अनुमानों का क्षैतिज विमान। ऐसा करने के लिए, बिंदु A (चित्र 4.12, a) से होकर एक प्रक्षेपित किरणपुंज समतल H के लंबवत खींचा जाता है।

चित्र में, H तल का लंब Oz अक्ष के समानांतर है। विमान एच (बिंदु ए) के साथ बीम के चौराहे के बिंदु को मनमाने ढंग से चुना जाता है। खंड ए निर्धारित करता है कि विमान एच से कितनी दूर बिंदु ए है, इस प्रकार प्रक्षेपण विमानों के संबंध में स्पष्ट रूप से बिंदु ए की स्थिति को दर्शाता है। बिंदु A, बिंदु A का समतल H पर एक आयताकार प्रक्षेपण है और इसे बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण कहा जाता है (चित्र 4.12, a)।

विमान V पर बिंदु A की छवि प्राप्त करने के लिए (चित्र 4.12, b), एक प्रक्षेपित बीम को बिंदु A से होकर ललाट प्रक्षेपण तल V के लंबवत खींचा जाता है। आकृति में, विमान V का लंबवत Oy के समानांतर है। एक्सिस। H तल पर, बिंदु A से विमान V की दूरी को एक खंड a x द्वारा दर्शाया जाएगा, जो Oy अक्ष के समानांतर और ऑक्स अक्ष के लंबवत है। यदि हम कल्पना करें कि प्रक्षेपित किरणपुंज और उसका प्रतिबिंब समतल V की दिशा में एक साथ किया जाता है, तो जब किरणपुंज का प्रतिबिंब ऑक्स अक्ष को बिंदु a x पर प्रतिच्छेद करता है, तो किरण समतल V को बिंदु a पर प्रतिच्छेद करती है। वी विमान में बिंदु एक्स से ऑक्स अक्ष के लंबवत, जो विमान वी पर प्रोजेक्टिंग बीम एए की छवि है, बिंदु ए प्रोजेक्टिंग बीम के साथ चौराहे पर प्राप्त होता है। बिंदु a "बिंदु A का ललाट प्रक्षेपण है, अर्थात विमान V पर इसकी छवि।

प्रोजेक्शन के प्रोफाइल प्लेन पर बिंदु A की छवि (चित्र। 4.12, c) W प्लेन के लंबवत प्रोजेक्टिंग बीम का उपयोग करके बनाई गई है। आकृति में, W प्लेन का लंबवत ऑक्स अक्ष के समानांतर है। विमान एच पर बिंदु ए से विमान डब्ल्यू तक प्रक्षेपित बीम को एक खंड एए वाई द्वारा दर्शाया जाएगा, जो ऑक्स अक्ष के समानांतर और ओए अक्ष के लंबवत है। ओज़ अक्ष के समानांतर और ओए अक्ष के लंबवत बिंदु ओ से, प्रोजेक्टिंग बीम एए की एक छवि बनाई गई है और प्रोजेक्टिंग बीम के साथ चौराहे पर, बिंदु ए प्राप्त किया जाता है। बिंदु ए बिंदु का प्रोफाइल प्रक्षेपण है ए, यानी, विमान डब्ल्यू पर बिंदु ए की छवि।

बिंदु ए "बिंदु ए" खंड ए "ए जेड (प्रोजेक्टिंग बीम ए की छवि" विमान वी पर) से बनाया जा सकता है, जो ऑक्स अक्ष के समानांतर है, और बिंदु ए से - खंड ए "ए जेड" ओए अक्ष के समानांतर जब तक यह प्रक्षेपित बीम के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता।

प्रक्षेपण विमानों पर बिंदु ए के तीन अनुमान प्राप्त करने के बाद, समन्वय कोण को एक विमान में तैनात किया जाता है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 4.11, बी, बिंदु ए और प्रक्षेपित किरणों के अनुमानों के साथ, और बिंदु ए और प्रक्षेपित किरणें एए, एए "और एए" हटा दी जाती हैं। संयुक्त प्रक्षेपण विमानों के किनारों को बाहर नहीं किया जाता है, लेकिन केवल प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों ओज़, ओए और ऑक्स, ओए 1 (चित्र। 4.13) को बाहर किया जाता है।

एक बिंदु के ओर्थोगोनल ड्राइंग के विश्लेषण से पता चलता है कि तीन दूरियां - एए", एए और एए" (चित्र। 4.12, सी), जो अंतरिक्ष में बिंदु ए की स्थिति को दर्शाती है, प्रक्षेपण वस्तु को त्यागकर निर्धारित की जा सकती है - बिंदु ए , एक समतल में लगाए गए निर्देशांक कोण पर (चित्र 4.13)। संबंधित आयतों के विपरीत पक्षों के रूप में खंड "a z, aa y और Oa x बराबर हैं" (चित्र 4.12, c और 4.13)। वे उस दूरी का निर्धारण करते हैं जिस पर ए अनुमानों के प्रोफाइल विमान से स्थित है। खंड a "a x, a" a y1 और Oa y खंड A के बराबर हैं, बिंदु A से क्षैतिज प्रक्षेपण विमान तक की दूरी निर्धारित करते हैं, खंड a x, a "a z और Oa y 1 खंड A के बराबर हैं", जो निर्धारित करता है बिंदु A से ललाट प्रक्षेपण तल तक की दूरी।

प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों पर स्थित खंड Oa x, Oa y और Oa z बिंदु A के X, Y और Z निर्देशांक के आकार की एक ग्राफिक अभिव्यक्ति हैं। बिंदु निर्देशांक को संबंधित अक्षर के सूचकांक के साथ दर्शाया गया है। इन खंडों के आकार को मापकर, आप अंतरिक्ष में बिंदु की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं, अर्थात, बिंदु के निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं।

आरेख पर, खंडों a "a x और a x को ऑक्स अक्ष के लंबवत एक रेखा के रूप में व्यवस्थित किया जाता है, और खंड a" a z और a "az - Oz अक्ष के लिए। इन पंक्तियों को प्रक्षेपण कनेक्शन रेखाएं कहा जाता है। वे प्रतिच्छेद करते हैं प्रोजेक्शन कुल्हाड़ियों को क्रमशः अंक a x और z पर। बिंदु A के क्षैतिज प्रक्षेपण को प्रोफ़ाइल के साथ जोड़ने वाले प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा बिंदु y पर "कट" निकली।

एक ही बिंदु के दो प्रक्षेपण हमेशा प्रक्षेपण अक्ष के लंबवत एक ही प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन पर स्थित होते हैं।

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए, इसके दो प्रक्षेपण और दिए गए मूल (बिंदु ओ) पर्याप्त हैं। 4.14, बी, एक बिंदु के दो अनुमान पूरी तरह से अंतरिक्ष में अपनी स्थिति निर्धारित करते हैं। इन दो अनुमानों का उपयोग करके, आप बिंदु ए का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण बना सकते हैं। इसलिए, भविष्य में, यदि प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण की कोई आवश्यकता नहीं है, तो आरेख होंगे दो प्रक्षेपण विमानों पर निर्मित: वी और एच।

चावल। 4.14. चावल। 4.15.

आइए एक बिंदु का चित्र बनाने और पढ़ने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1दो अनुमानों द्वारा आरेख पर दिए गए बिंदु J के निर्देशांकों का निर्धारण (चित्र 4.14)। तीन खंडों को मापा जाता है: खंड ओव एक्स (एक्स समन्वय), खंड बी एक्स बी (वाई समन्वय) और खंड बी एक्स बी "(जेड समन्वय)। निर्देशांक निम्नलिखित क्रम में लिखे गए हैं: एक्स, वाई और जेड, अक्षर पदनाम के बाद बिंदु का, उदाहरण के लिए, B20; 30; 15.

उदाहरण 2. दिए गए निर्देशांक के अनुसार एक बिंदु का निर्माण। बिंदु C निर्देशांक C30 द्वारा दिया गया है; दस; 40. ऑक्स अक्ष पर (चित्र 4.15) x के साथ एक बिंदु खोजें, जिस पर प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा प्रक्षेपण अक्ष को काटती है। ऐसा करने के लिए, एक्स निर्देशांक (आकार 30) को मूल (बिंदु ओ) से ऑक्स अक्ष के साथ प्लॉट किया जाता है और एक्स के साथ एक बिंदु प्राप्त होता है। इस बिंदु के माध्यम से, ऑक्स अक्ष के लंबवत, एक प्रक्षेपण कनेक्शन रेखा खींची जाती है और वाई निर्देशांक बिंदु (आकार 10) से नीचे रखा जाता है, बिंदु सी प्राप्त होता है - बिंदु सी का क्षैतिज प्रक्षेपण। समन्वय जेड (आकार 40) को प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन (आकार 40) के साथ बिंदु c x से ऊपर की ओर प्लॉट किया जाता है, बिंदु c" प्राप्त होता है - बिंदु C का ललाट प्रक्षेपण।

उदाहरण 3. दिए गए अनुमानों के अनुसार एक बिंदु के प्रोफाइल प्रोजेक्शन का निर्माण। बिंदु D - d और d के अनुमान सेट हैं। बिंदु O के माध्यम से, प्रक्षेपण कुल्हाड़ियों Oz, Oy और Oy 1 को खींचा जाता है (चित्र। 4.16, a)। यह Oz अक्ष के ठीक पीछे है। बिंदु D का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण इस रेखा पर स्थित होगा। यह ओज़ अक्ष से इतनी दूरी पर स्थित होगा, जिस पर बिंदु d का क्षैतिज प्रक्षेपण स्थित है: ऑक्स अक्ष से, अर्थात् कुछ दूरी पर डीडी एक्स. खंड d z d "और dd x समान हैं, क्योंकि वे समान दूरी निर्धारित करते हैं - बिंदु D से ललाट प्रक्षेपण विमान तक की दूरी। यह दूरी बिंदु D का Y निर्देशांक है।

ग्राफिक रूप से, खंड d z d "अनुमानों के क्षैतिज तल से खंड dd x को प्रोफ़ाइल एक में स्थानांतरित करके बनाया गया है। ऐसा करने के लिए, ऑक्स अक्ष के समानांतर प्रक्षेपण कनेक्शन की एक रेखा खींचें, Oy अक्ष पर एक बिंदु d y प्राप्त करें ( अंजीर। 4.16, बी)। फिर खंड O y के आकार को Oy 1 अक्ष पर स्थानांतरित करें, बिंदु O से एक चाप को खंड Od y के बराबर त्रिज्या के साथ खींचे, जब तक कि यह अक्ष Oy 1 (चित्र। 4.16) के साथ प्रतिच्छेद न करे। , b), बिंदु dy 1 प्राप्त करें। इस बिंदु का निर्माण किया जा सकता है और, जैसा कि चित्र 4.16, c में दिखाया गया है, बिंदु d y से O अक्ष पर 45 ° के कोण पर एक सीधी रेखा खींचकर। बिंदु d y1 से ओज़ अक्ष के समानांतर एक प्रक्षेपण कनेक्शन रेखा खींचें और उस पर खंड d "d x, बिंदु d प्राप्त करें" के बराबर एक खंड बिछाएं।

अनुमानों के प्रोफाइल प्लेन में खंड d x d के मान का स्थानांतरण ड्राइंग की निरंतर सीधी रेखा (चित्र। 4.16, d) का उपयोग करके किया जा सकता है। इस मामले में, प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन dd y को Oy 1 अक्ष के समानांतर बिंदु के क्षैतिज प्रक्षेपण के माध्यम से खींचा जाता है, जब तक कि यह एक स्थिर सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद न कर ले, और फिर Oy अक्ष के समानांतर जब तक कि यह प्रक्षेपण की निरंतरता के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। कनेक्शन लाइन d "d z.

प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदुओं के स्थान के विशेष मामले

प्रोजेक्शन प्लेन के सापेक्ष बिंदु की स्थिति संबंधित निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात, ऑक्स अक्ष से संबंधित प्रोजेक्शन तक प्रोजेक्शन कनेक्शन लाइन के सेगमेंट का मान। अंजीर पर। 4.17 बिंदु A का Y निर्देशांक खंड a x - बिंदु A से विमान V की दूरी द्वारा निर्धारित किया जाता है। बिंदु A का Z निर्देशांक खंड a "a x - बिंदु A से समतल H तक की दूरी द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि एक निर्देशांक का शून्य है, तो बिंदु प्रक्षेपण विमान पर स्थित है। चित्र 4.17 प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष बिंदुओं के विभिन्न स्थानों के उदाहरण दिखाता है। बिंदु B का Z निर्देशांक शून्य है, बिंदु विमान H में है। इसका ललाट प्रक्षेपण ऑक्स अक्ष पर है और बिंदु बी एक्स के साथ मेल खाता है। बिंदु सी का वाई निर्देशांक शून्य है, बिंदु विमान वी पर स्थित है, इसका क्षैतिज प्रक्षेपण सी एक्स-अक्ष पर है और बिंदु सी एक्स के साथ मेल खाता है।

इसलिए, यदि कोई बिंदु प्रक्षेपण तल पर है, तो इस बिंदु का एक प्रक्षेपण प्रक्षेपण अक्ष पर स्थित है।

अंजीर पर। 4.17, बिंदु D के Z और Y निर्देशांक शून्य हैं, इसलिए, बिंदु D प्रक्षेपण अक्ष ऑक्स पर है और इसके दो अनुमान मेल खाते हैं।

प्रक्षेपण(अव्य। प्रोजिसियो - मैं आगे फेंकता हूं) - प्रकाश या दृश्य किरणों का उपयोग करके किसी भी सतह पर किसी वस्तु (स्थानिक वस्तु) की एक छवि प्राप्त करने की प्रक्रिया (किरणें जो किसी स्थानिक वस्तु के किसी भी बिंदु के साथ पर्यवेक्षक की आंख को सशर्त रूप से जोड़ती हैं), जो हैं प्रक्षेपण कहा जाता है।

प्रक्षेपण के दो तरीके हैं: केंद्रीयऔर समानांतर .

केंद्रीयप्रक्षेपण प्रत्येक बिंदु से गुजरना है ( ए, बी, सी,…) चित्रित वस्तु का और एक निश्चित तरीके से चयनित प्रक्षेपण केंद्र (एस) सरल रेखा ( एसए, एसबी, >… — प्रोजेक्टिंग बीम).

चित्र 1.1 - केंद्रीय प्रक्षेपण

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें (चित्र 1.1):

एस- प्रक्षेपण केंद्र (पर्यवेक्षक की आंख);

π 1 - प्रक्षेपण विमान;

ए, बी, सी

एसए, एसबी- सीधी रेखाओं को प्रक्षेपित करना (किरणों को प्रक्षेपित करना)।

टिप्पणी: बाएं माउस बटन क्षैतिज तल में बिंदु को स्थानांतरित कर सकता है, जब आप बाएं माउस बटन के साथ बिंदु पर क्लिक करते हैं, तो आंदोलन की दिशा बदल जाएगी और आप इसे लंबवत रूप से स्थानांतरित कर सकते हैं।

केंद्रीय प्रक्षेपण बिंदु प्रोजेक्शन सेंटर से गुजरने वाली प्रोजेक्टिंग लाइन और प्रोजेक्शन प्लेन के साथ प्रोजेक्शन ऑब्जेक्ट (पॉइंट) के चौराहे के बिंदु को कहा जाता है।

संपत्ति 1। अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु एक प्रक्षेपण से मेल खाता है, लेकिन प्रक्षेपण विमान में प्रत्येक बिंदु प्रक्षेपण रेखा पर स्थित अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक समूह से मेल खाता है।

आइए इस कथन को सिद्ध करें।

चित्र 1.1: बिंदु लेकिन 1 अनुमानों के तल पर बिंदु A का केंद्रीय प्रक्षेपण है 1 । लेकिन प्रक्षेपण रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का प्रक्षेपण समान हो सकता है। प्रोजेक्टिंग लाइन पर ले लो एसएबिंदु साथ में. केंद्रीय प्रक्षेपण बिंदु साथ में(साथ में 1) अनुमानों के तल पर π 1 बिंदु के प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है लेकिन(लेकिन 1):

1. साथ में∈ एसए;
2. अनुसूचित जाति 1 = सी 1 →सी 1 ≡ ए 1 .

निष्कर्ष इस प्रकार है कि एक बिंदु के प्रक्षेपण से अंतरिक्ष में अपनी स्थिति के बारे में स्पष्ट रूप से न्याय करना असंभव है।

इस अनिश्चितता को दूर करने के लिए, अर्थात्। एक चित्र बनाओ प्रतिवर्ती, हम एक और प्रक्षेपण विमान (π 2) और एक और प्रक्षेपण केंद्र पेश करते हैं ( एस 2) (चित्र 1.2)।

चित्र 1.2 - पहली और दूसरी संपत्तियों का चित्रण

आइए एक बिंदु के अनुमानों का निर्माण करें लेकिनअनुमानों के तल पर π 2 . अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं में से केवल एक बिंदु लेकिनइसके अनुमान हैं लेकिन 1 विमान के लिए 1 और लेकिनएक ही समय में 2 से 2। प्रक्षेपित किरणों पर पड़े अन्य सभी बिंदुओं पर बिंदु के अनुमानों से कम से कम एक भिन्न प्रक्षेपण होगा लेकिन(जैसे डॉट पर).

संपत्ति 2। एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण एक सीधी रेखा है।

आइए इस संपत्ति को साबित करें।

बिंदुओं को मिलाओ लेकिनऔर परआपस में (चित्र 1.2)। हमें एक खंड मिलता है अबएक सीधी रेखा को परिभाषित करना। त्रिकोण सबएक विमान को परिभाषित करता है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है। यह ज्ञात है कि दो तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं: 1 = लेकिन 1 पर 1 , जहां लेकिन 1 पर 1 - एक खंड द्वारा दी गई एक सीधी रेखा का केंद्रीय प्रक्षेपण अब.

केंद्रीय प्रक्षेपण विधि आंख द्वारा छवि धारणा का एक मॉडल है, इसका उपयोग मुख्य रूप से निर्माण वस्तुओं, अंदरूनी, साथ ही फिल्म प्रौद्योगिकी और प्रकाशिकी में परिप्रेक्ष्य चित्र बनाते समय किया जाता है। केंद्रीय प्रक्षेपण की विधि इंजीनियर के सामने मुख्य कार्य को हल नहीं करती है - आकार, वस्तु के आयाम, विभिन्न तत्वों के आकार के अनुपात को सटीक रूप से प्रतिबिंबित करने के लिए।

1.2. समानांतर प्रक्षेपण

समानांतर प्रक्षेपण की विधि पर विचार करें। हम तीन प्रतिबंध लगाएंगे जो हमें छवि की दृश्यता की हानि के बावजूद, व्यवहार में इसका उपयोग करने के लिए एक ड्राइंग को और अधिक सुविधाजनक बनाने की अनुमति देगा:

1. आइए दोनों प्रक्षेपण केंद्रों को अनंत तक हटा दें। इस प्रकार, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि प्रत्येक केंद्र से प्रक्षेपित किरणें समानांतर हों, और इसलिए, किसी भी रेखा खंड की वास्तविक लंबाई और उसके प्रक्षेपण की लंबाई का अनुपात केवल इस खंड के प्रक्षेपण विमानों के झुकाव के कोण पर निर्भर करेगा। और प्रक्षेपण केंद्र की स्थिति पर निर्भर न हों;
2. आइए प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष प्रक्षेपण दिशा को ठीक करें;
3. आइए प्रोजेक्शन प्लेन को एक दूसरे के लंबवत रखें, जिससे प्रोजेक्शन प्लेन पर इमेज से स्पेस में वास्तविक ऑब्जेक्ट तक जाना आसान हो जाएगा।

इस प्रकार, केन्द्रीय प्रक्षेपण विधि पर इन प्रतिबंधों को लागू करने के बाद, हम इसके विशेष मामले में आए हैं - समानांतर प्रक्षेपण विधि(चित्र 1.3) प्रक्षेपण जिसमें वस्तु के प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली प्रक्षेपित किरणें चयनित प्रक्षेपण दिशा के समानांतर होती हैं पी, कहा जाता है समानांतर .

चित्र 1.3 - समानांतर प्रक्षेपण विधि

आइए संकेतन का परिचय दें:

आर- प्रक्षेपण की दिशा;

1 - अनुमानों का क्षैतिज तल;

ए,बी- प्रक्षेपण वस्तुओं - अंक;

लेकिन 1 और पर 1 - अंकों का अनुमान लेकिनऔर परप्रक्षेपण विमान π 1 पर।

समानांतर बिंदु प्रक्षेपण प्रक्षेपण की दी गई दिशा के समानांतर प्रक्षेपित रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है आर, प्रक्षेपण विमान π 1 के साथ।

बिंदुओं से गुजरें लेकिनऔर परकिसी दिए गए प्रक्षेपण दिशा के समानांतर बीम प्रक्षेपित करना आर. एक बिंदु से गुजरने वाली प्रक्षेपित किरण लेकिनप्रक्षेपण विमान π 1 को बिंदु . पर प्रतिच्छेद करता है लेकिनएक । इसी तरह, एक बिंदु के माध्यम से एक प्रक्षेपित किरण परप्रक्षेपण तल को एक बिंदु पर काटता है परएक । बिंदुओं को जोड़कर लेकिन 1 और पर 1 , हमें एक खंड मिलता है लेकिन 1 पर 1 समतल 1 पर खंड AB का प्रक्षेपण है।

1.3. लिखने का प्रक्षेपण। मोंग विधि

यदि प्रक्षेपण दिशा आरप्रक्षेपणों के तल के लंबवत p 1 , तो प्रक्षेपण को कहा जाता है आयताकार (चित्र 1.4), या ओर्थोगोनल (जीआर। ऑर्थोस- सीधा, गोनिया- कोण) अगर आर 1 के लंबवत नहीं है, तो प्रक्षेपण कहा जाता है परोक्ष .

चतुष्कोष आ 1 पर 1 परविमान γ को परिभाषित करता है, जिसे प्रक्षेपित तल कहा जाता है, क्योंकि यह विमान π 1 (γ⊥π 1) के लंबवत है। निम्नलिखित में हम केवल आयताकार प्रक्षेपण का उपयोग करेंगे।

चित्र 1.4 - ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन चित्र 1.5 - मोंज, गैसपार्ड (1746-1818)

फ्रांसीसी वैज्ञानिक गैसपार्ड मोंगे को ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन का संस्थापक माना जाता है (चित्र 1.5)।

मोंगे से पहले, बिल्डरों, कलाकारों और वैज्ञानिकों के पास प्रक्षेपण विधियों के बारे में काफी महत्वपूर्ण जानकारी थी, और फिर भी केवल गैस्पर्ड मोंगे एक विज्ञान के रूप में वर्णनात्मक ज्यामिति के निर्माता हैं।

Gaspard Monge का जन्म 9 मई, 1746 को पूर्वी फ्रांस के छोटे से शहर ब्यून (बरगंडी) में एक स्थानीय व्यापारी के परिवार में हुआ था। वे पाँच बच्चों में सबसे बड़े थे, जिन्हें उनके पिता ने परिवार की निम्न उत्पत्ति और सापेक्षिक गरीबी के बावजूद, विनम्र वर्ग के लोगों के लिए उस समय उपलब्ध सर्वोत्तम शिक्षा प्रदान करने का प्रयास किया। उनका दूसरा बेटा, लुई, गणित और खगोल विज्ञान का प्रोफेसर बन गया, सबसे छोटा, जीन, गणित, हाइड्रोग्राफी और नेविगेशन का भी प्रोफेसर था। Gaspard Monge ने अपनी प्रारंभिक शिक्षा सिटी स्कूल ऑफ़ ऑरेटरी ऑर्डर में प्राप्त की। 1762 में सर्वश्रेष्ठ छात्र के रूप में स्नातक होने के बाद, उन्होंने ल्योन कॉलेज में प्रवेश किया, जिसका स्वामित्व भी ऑरेटोरियन के पास था। जल्द ही गैसपार्ड को वहां भौतिकी पढ़ाने का काम सौंपा गया। 1764 की गर्मियों में, मोंगे ने अपने मूल शहर ब्यून की एक योजना तैयार की, जो उल्लेखनीय रूप से सटीक थी। कोणों और रेखाचित्रों को मापने के लिए आवश्यक विधियों और उपकरणों का आविष्कार स्वयं संकलक द्वारा किया गया था।

ल्योन में अध्ययन के दौरान, उन्हें आदेश में शामिल होने और एक कॉलेज शिक्षक बने रहने का प्रस्ताव मिला, हालांकि, इसके बजाय, गणित, प्रारूपण और ड्राइंग में महान क्षमता दिखाने के बाद, वह मेज़िएरेस स्कूल ऑफ मिलिट्री इंजीनियर्स में प्रवेश करने में सफल रहे, लेकिन (मूल के कारण) ) केवल एक सहायक गैर-कमीशन अधिकारी अधिकारी विभाग के रूप में और बिना तनख्वाह के। फिर भी, सटीक विज्ञान में सफलता और किलेबंदी की महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक का मूल समाधान (दुश्मन तोपखाने के स्थान के आधार पर किलेबंदी की नियुक्ति) ने उन्हें 1769 में गणित में सहायक (शिक्षण सहायक) बनने की अनुमति दी, और फिर में भौतिकी, और पहले से ही एक वर्ष में 1800 livres पर एक अच्छा वेतन के साथ।

1770 में, 24 साल की उम्र में, मोंगे ने एक ही समय में दो विभागों - गणित और भौतिकी में प्रोफेसर का पद संभाला और इसके अलावा, पत्थरों को काटने में कक्षाएं संचालित कीं। वास्तुकला और किलेबंदी के संबंध में दिए गए रेखाचित्रों के अनुसार पत्थरों को सटीक रूप से काटने के कार्य से शुरू होकर, मोंगे ने ऐसे तरीके तैयार किए जिन्हें उन्होंने बाद में एक नए विज्ञान - वर्णनात्मक ज्यामिति में सामान्यीकृत किया, जिसके निर्माता को उन्हें सही माना जाता है। किलेबंदी के निर्माण में सैन्य उद्देश्यों के लिए वर्णनात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करने की संभावना को देखते हुए, मेज़िएरेस स्कूल के नेतृत्व ने 1799 तक खुले प्रकाशन की अनुमति नहीं दी, पुस्तक शीर्षक के तहत प्रकाशित हुई थी वर्णनात्मक रेखागणित (ज्यामिति वर्णनात्मक) (इन व्याख्यानों का शब्दशः अभिलेख 1795 में बनाया गया था)। इस विज्ञान पर व्याख्यान देने और इसमें बताए गए अभ्यासों को करने का तरीका आज तक कायम है। मोंगे की एक और महत्वपूर्ण कृति - ज्यामिति में विश्लेषण का अनुप्रयोग (एल'एप्लीकेशन डी एल'एनालिसिस ए ला जियोमेट्री, 1795) - विश्लेषणात्मक ज्यामिति की एक पाठ्यपुस्तक है, जिसमें अंतर संबंधों पर विशेष जोर दिया गया है।

1780 में वे पेरिस विज्ञान अकादमी के सदस्य चुने गए, 1794 में वे पॉलिटेक्निक स्कूल के निदेशक बने। आठ महीने तक उन्होंने नेपोलियन की सरकार में समुद्र के मंत्री के रूप में कार्य किया, गणतंत्र के बारूद और तोप कारखानों के प्रभारी थे, और नेपोलियन के साथ मिस्र (1798-1801) के अपने अभियान पर गए थे। नेपोलियन ने उन्हें गिनती की उपाधि प्रदान की, उन्हें कई अन्य विशिष्टताओं से सम्मानित किया।

मोंगे के अनुसार वस्तुओं को चित्रित करने की विधि में दो मुख्य बिंदु होते हैं:

1. अंतरिक्ष में एक ज्यामितीय वस्तु की स्थिति, इस उदाहरण में एक बिंदु लेकिन, दो परस्पर लंबवत विमानों π 1 और π 2 . के सापेक्ष माना जाता है(चित्र 1.6)।

वे सशर्त रूप से अंतरिक्ष को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं। दूरसंचार विभाग लेकिनप्रथम चतुर्थांश में स्थित है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ने मोंगे अनुमानों के आधार के रूप में कार्य किया। मोंगे ने प्रोजेक्शन अक्षों की अवधारणा को प्रोजेक्शन प्लेन (कोऑर्डिनेट एक्सिस) के चौराहे की लाइन के साथ बदल दिया और कोऑर्डिनेट प्लेन को कोऑर्डिनेट एक्सिस के चारों ओर घुमाकर एक में संयोजित करने का प्रस्ताव रखा।

चित्र 1.6 - बिंदु अनुमानों के निर्माण के लिए मॉडल

1 - क्षैतिज (प्रथम) प्रक्षेपण विमान

2 - ललाट (दूसरा) प्रक्षेपण विमान

1 2 अनुमानों की धुरी है (हम 2 / π 1 को निरूपित करते हैं)

एक बिंदु प्रक्षेपित करने के एक उदाहरण पर विचार करें लेकिनदो परस्पर लंबवत प्रक्षेपण विमानों π 1 और π 2 पर।

बिंदु से ड्रॉप लेकिनविमानों पर लंबवत (प्रोजेक्टिंग किरणें) 1 और π 2 और उनके आधारों को चिह्नित करें, यानी प्रक्षेपण विमानों के साथ इन लंबवत (प्रोजेक्टिंग किरणों) के चौराहे के बिंदु। लेकिन 1 - बिंदु का क्षैतिज (प्रथम) प्रक्षेपण लेकिन;लेकिन 2 - बिंदु का ललाट (दूसरा) प्रक्षेपण लेकिन;आ 1 और आ 2 - प्रोजेक्टिंग लाइनें। तीर 1 और π 2 के अनुमानों के तल पर प्रक्षेपण की दिशा दिखाते हैं। ऐसी प्रणाली आपको प्रक्षेपण विमानों 1 और 2 के सापेक्ष एक बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देती है:

आ 1 1

लेकिन 2 लेकिन 0 2 /π 1 आ 1 = लेकिन 2 लेकिन 0 - बिंदु A से विमान की दूरी 1

आ 2 2

लेकिन 1 लेकिन 0 2 /π 1 आ 2 \u003d ए 1 ए 0 - बिंदु ए से विमान की दूरी π 2

2. आइए प्रोजेक्शन प्लेन के 2 / π 1 प्रोजेक्शन प्लेन के अक्ष के चारों ओर रोटेशन को एक प्लेन में संयोजित करें(π 1 के साथ 2), लेकिन ताकि छवियां एक दूसरे को ओवरलैप न करें (α दिशा में, चित्र 1.6), हमें एक छवि प्राप्त होती है जिसे एक आयताकार चित्र कहा जाता है (चित्र 1.7):

चित्र 1.7 - ओर्थोगोनल ड्राइंग

आयताकार या ओर्थोगोनल कहलाता है मोंग आरेख .

सीधा लेकिन 2 लेकिन 1 बुलाया प्रक्षेपण कड़ी , जो बिंदु के विपरीत अनुमानों को जोड़ता है ( लेकिन 2 - ललाट और लेकिन 1 - क्षैतिज) हमेशा प्रक्षेपण अक्ष (समन्वय अक्ष) के लंबवत होता है लेकिन 2 लेकिन 1 2 /π 1 . आरेख पर, घुंघराले कोष्ठक द्वारा दर्शाए गए खंड हैं:

• लेकिन 0 लेकिन 1 - बिंदु से दूरी लेकिननिर्देशांक y A के संगत समतल 2 तक;
• लेकिन 0 लेकिन 2 - बिंदु से दूरी लेकिननिर्देशांक z A के संगत समतल 1 तक।

1.4. आयताकार बिंदु अनुमान। ऑर्थोग्राफिक ड्राइंग गुण

1. एक बिंदु के दो आयताकार प्रक्षेपण प्रक्षेपण अक्ष के लंबवत एक ही प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन पर स्थित हैं।

2. एक बिंदु के दो आयताकार प्रक्षेपण प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष अंतरिक्ष में अपनी स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं।

आइए अंतिम कथन की वैधता को सत्यापित करें, जिसके लिए हम विमान π 1 को उसकी मूल स्थिति में बदल देते हैं (जब 1 2)। एक बिंदु बनाने के लिए लेकिनपॉइंट्स से चाहिए लेकिन 1 और लेकिन 2 प्रक्षेपित किरणों को बहाल करने के लिए, और वास्तव में - विमानों के लंबवत 1 और π 2 , क्रमशः। इन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतरिक्ष में वांछित बिंदु को ठीक करता है लेकिन. एक बिंदु के एक ओर्थोगोनल आरेखण पर विचार करें लेकिन(चित्र 1.8)।

चित्र 1.8 - एक बिंदु प्लॉट करना

आइए अनुमानों के तीसरे (प्रोफ़ाइल) विमान को पेश करें 3 लंबवत π 1 और π 2 (अनुमानों की धुरी द्वारा दिया गया 2 /π 3)।

एक बिंदु के प्रोफाइल प्रोजेक्शन से प्रोजेक्शन के वर्टिकल एक्सिस तक की दूरी लेकिन‘ 0 ए 3 आपको बिंदु से दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है लेकिनललाट प्रक्षेपण विमान π 2 के लिए। यह ज्ञात है कि तीन संख्याओं (निर्देशांक) का उपयोग करके कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के सापेक्ष अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति तय की जा सकती है। ए(एक्सए ; यूए ; जेडए) या इसके दो ऑर्थोगोनल अनुमानों का उपयोग करके प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष ( ए 1 =(एक्सए ; यूए); ए 2 =(एक्सए ; जेडए))। एक ऑर्थोगोनल ड्राइंग पर, एक बिंदु के दो अनुमानों का उपयोग करके, आप इसके तीन निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं और इसके विपरीत, एक बिंदु के तीन निर्देशांक का उपयोग करके, इसके अनुमानों का निर्माण कर सकते हैं (चित्र 1.9, ए और बी)।

चित्र 1.9 - किसी बिंदु को उसके निर्देशांकों के अनुसार आलेखित करना

किसी बिंदु के प्रक्षेपण आरेख पर स्थान के आधार पर, कोई व्यक्ति अंतरिक्ष में उसके स्थान का न्याय कर सकता है:

• लेकिन — लेकिन 1 समन्वय अक्ष के नीचे स्थित है एक्स, और सामने लेकिन 2 - अक्ष के ऊपर एक्स, तो हम कह सकते हैं कि बिंदु लेकिन 1 चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि भूखंड पर बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण है लेकिन — लेकिन 1 निर्देशांक अक्ष के ऊपर स्थित है एक्स, और सामने लेकिन 2 - धुरी के नीचे एक्स, फिर बिंदु लेकिनतीसरे चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• लेकिन — लेकिन 1 और लेकिन 2 अक्ष के ऊपर स्थित है एक्स, फिर बिंदु लेकिनदूसरे चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि आरेख पर बिंदु के क्षैतिज और ललाट अनुमान हैं लेकिन — लेकिन 1 और लेकिन 2 धुरा के नीचे झूठ बोलो एक्स, फिर बिंदु लेकिनचौथे चतुर्थांश के अंतर्गत आता है;
• यदि आरेख पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है, तो इसका मतलब है कि बिंदु अनुमानों के विमान से संबंधित है;
• प्रक्षेपण तल या प्रक्षेपण अक्ष (निर्देशांक अक्ष) से ​​संबंधित एक बिंदु कहलाता है निजी बिंदु.

यह निर्धारित करने के लिए कि बिंदु किस स्थान के चतुर्थांश में स्थित है, यह बिंदु के निर्देशांक के संकेत को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

बिंदु की स्थिति के चतुर्थांश की निर्भरता और निर्देशांक के संकेत

	एक्स	यू	जेड
मैं	+	+	+
द्वितीय	+	—	+
तृतीय	+	—	—
चतुर्थ	+	+	—

एक व्यायाम

निर्देशांक के साथ एक बिंदु के ओर्थोगोनल अनुमानों का निर्माण करें लेकिन(60, 20, 40) और निर्धारित करें कि बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित है।

समस्या समाधान: अक्ष के साथ बैलनिर्देशांक का मान अलग रखें एक्सए = 60, तो अक्ष पर इस बिंदु के माध्यम से बैललंबवत प्रक्षेपण कनेक्शन लाइन को पुनर्स्थापित करें बैल, जिसके साथ समन्वय के मूल्य को अलग करना है जेडए = 40, और नीचे - निर्देशांक का मान वाईए = 20(चित्र 1.10)। सभी निर्देशांक धनात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि बिंदु I चतुर्थांश में स्थित है।

चित्र 1.10 - समस्या का समाधान

1.5. स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. आरेख के आधार पर प्रक्षेपण तल के सापेक्ष बिंदु की स्थिति निर्धारित करें (चित्र 1.11)।

चित्र 1.11

2. बिंदुओं के लापता ओर्थोगोनल अनुमानों को पूरा करें लेकिन, पर, साथ मेंप्रक्षेपण तल पर 1 , π 2 , 3 (चित्र 1.12)।

चित्र 1.12

3. बिंदु अनुमानों का निर्माण करें:

• इ, सममित बिंदु लेकिनप्रक्षेपण विमान के सापेक्ष π 1 ;
• एफ, सममित बिंदु परअनुमानों के विमान के सापेक्ष π 2 ;
• जी, सममित बिंदु साथ मेंप्रक्षेपण अक्ष के सापेक्ष π 2 /π 1 ;
• एच, सममित बिंदु डीदूसरे और चौथे चतुर्थांश के द्विभाजक तल के सापेक्ष।

4. बिंदु के ओर्थोगोनल अनुमानों का निर्माण करें सेवा, दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और प्रक्षेपण विमानों से 1 से 40 मिमी, 2 से - 15 मिमी से दूर है।