बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत

घातीय और लघुगणकीय कार्य का अंतर

द्वारा संकलित:

गणित शिक्षक एमओयू माध्यमिक विद्यालय 203 CHETs

नोवोसिबिर्स्क शहर

विदुतोवा टी.वी.

संख्या इ।समारोह वाई = ई एक्स, इसके गुण, ग्राफ, विभेदन

1. आइए विभिन्न आधारों के लिए ग्राफ़ बनाएं: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (विकल्प 2) (विकल्प 1) "चौड़ाई = "640"

घातीय फ़ंक्शन पर विचार करें वाई = ए एक्स, जहां एक 1.

आइए विभिन्न ठिकानों के लिए निर्माण करें ए चार्ट:

1. वाई = 2 एक्स

3. वाई = 10 एक्स

2. वाई = 3 एक्स

(विकल्प 2)

(1 विकल्प)

1) सभी ग्राफ बिंदु (0; 1) से गुजरते हैं;

2) सभी ग्राफ़ में एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी होता है वाई = 0

पर एक्स  ∞;

3) वे सभी उभार के साथ नीचे की ओर मुड़े हुए हैं;

4) इन सभी के सभी बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचे वाई = 2 एक्स बिंदु पर एक्स= 0 और अक्ष पर स्पर्शरेखा द्वारा बनाए गए कोण को मापें एक्स

रेखांकन की स्पर्शरेखाओं की सटीक रचना की सहायता से, यह देखा जा सकता है कि यदि आधार एघातांक प्रकार्य वाई = ए एक्सआधार धीरे-धीरे 2 से बढ़कर 10 हो जाता है, फिर बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच का कोण एक्स= 0 और x-अक्ष धीरे-धीरे 35' से बढ़कर 66.5' हो जाता है।

इसलिए, एक आधार है ए, जिसके लिए संगत कोण 45' है। और यह अर्थ ए 2 और 3 के बीच संपन्न हुआ, क्योंकि पर ए= 2 कोण 35' है, जिसमें ए= 3 यह 48' के बराबर है।

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित होता है कि यह आधार मौजूद है, इसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है इ।

तय किया कि इ - एक अपरिमेय संख्या, यानी यह एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश है:

ई = 2.7182818284590… ;

व्यवहार में, आमतौर पर यह माना जाता है कि इ ≈ 2,7.

ग्राफ़ और फ़ंक्शन गुण वाई = ई एक्स :

1) डी (एफ) = (- ∞; + ∞);

3) बढ़ जाती है;

4) ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित

5) में न तो सबसे बड़ा है और न ही सबसे छोटा

मूल्य;

6) निरंतर;

7) ई (एफ) = (0; + ∞);

8) उत्तल नीचे;

9) विभेदक है।

समारोह वाई = ई एक्स बुलाया प्रदर्शक .

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित हुआ कि फलन वाई = ई एक्स किसी भी बिंदु पर व्युत्पन्न है एक्स :

(इ एक्स ) = ई एक्स

(इ 5x )" = 5e 5x

(इ एक्स-3 )" = ई एक्स-3

(इ -4x+1 )" = -4e -4x-1

उदाहरण 1 . फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर बिंदु x=1 पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।

2) एफ () = एफ (1) = ई

4) वाई = ई + ई (एक्स -1); वाई = पूर्व

जवाब:

उदाहरण 2 .

एक्स = 3.

उदाहरण 3 .

एक चरम के लिए एक समारोह की जांच करें

एक्स = 0 और एक्स = -2

एक्स= -2 - अधिकतम बिंदु

एक्स= 0 - न्यूनतम बिंदु

यदि लघुगणक का आधार संख्या है इ, तो वे कहते हैं कि दिया गया प्राकृतिक . प्राकृतिक लघुगणक के लिए, एक विशेष संकेतन पेश किया गया है एलएन (एल - लघुगणक, एन - प्राकृतिक)।

फलन का ग्राफ और गुण y = ln x

कार्य गुण y = एलएनएक्स:

1) डी (एफ) = (0; + ∞);

2) न तो सम है और न ही विषम;

3) बढ़ जाता है (0; + );

4) सीमित नहीं;

5) में न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है;

6) निरंतर;

7) ई (एफ) = (- ∞; + ∞);

8) उत्तल शीर्ष;

9) विभेदक है।

0 विभेदीकरण सूत्र "चौड़ाई =" 640 " मान्य है

गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह साबित हुआ कि किसी भी मूल्य के लिए X 0विभेदन सूत्र मान्य है

उदाहरण 4:

किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान की गणना करें एक्स = -1.

उदाहरण के लिए:

इंटरनेट संसाधन:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

पाठ का विषय: "घातीय और लघुगणकीय कार्यों का अंतर। यूएनटी के कार्यों में घातांक फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी

लक्ष्य : "घातीय और लघुगणकीय कार्यों का अंतर" विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने में छात्रों के कौशल को विकसित करने के लिए। यूएनटी समस्याओं को हल करने के लिए एक एक्सपोनेंशियल फंक्शन का एंटीडेरिवेटिव"।

कार्य

शैक्षिक: छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए, इस विषय पर समस्याओं को हल करने के कौशल को मजबूत करने के लिए।

विकसित होना:स्मृति, अवलोकन, तार्किक सोच, छात्रों के गणितीय भाषण, ध्यान, आत्म-सम्मान और आत्म-नियंत्रण कौशल विकसित करना।

शैक्षिक:को बढ़ावा देना:

सीखने के लिए छात्रों के जिम्मेदार रवैये का गठन;

गणित में एक सतत रुचि का विकास;

गणित का अध्ययन करने के लिए सकारात्मक आंतरिक प्रेरणा पैदा करना।

शिक्षण विधियों: मौखिक, दृश्य, व्यावहारिक।

काम के रूप:व्यक्तिगत, ललाट, जोड़े में।

कक्षाओं के दौरान

एपिग्राफ: "मन केवल ज्ञान में ही नहीं, बल्कि व्यवहार में ज्ञान को लागू करने की क्षमता में भी होता है" अरस्तू (स्लाइड 2)

I. संगठनात्मक क्षण।

द्वितीय. पहेली पहेली को सुलझाना। (स्लाइड 3-21)

17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट ने इस रेखा को "एक बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में वक्र के सबसे निकट की सीधी रेखा" के रूप में परिभाषित किया।

स्पर्शरेखा

वह फलन जो सूत्र y = log . द्वारा दिया गया है एएक्स।

लघुगणक

वह फलन जो सूत्र y = . द्वारा दिया गया है एएक्स।

प्रदर्शन

गणित में, इस अवधारणा का उपयोग किसी भौतिक बिंदु की गति की गति और किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान को खोजने के लिए किया जाता है।

यौगिक

फ़ंक्शन f (x) के लिए फ़ंक्शन F (x) का नाम क्या है, यदि स्थिति F "(x) \u003d f (x) अंतराल I से किसी भी बिंदु के लिए संतुष्ट है।

antiderivative

एक्स और वाई के बीच संबंध का नाम क्या है, जिसमें एक्स का प्रत्येक तत्व वाई के एक तत्व से जुड़ा हुआ है।

विस्थापन का व्युत्पन्न

रफ़्तार

एक फ़ंक्शन जो सूत्र y \u003d e x द्वारा दिया गया है।

प्रदर्शक

यदि फलन f(x) को f(x)=g(t(x)) के रूप में निरूपित किया जा सकता है, तो इस फलन को कहा जाता है।

III. गणितीय श्रुतलेख (स्लाइड 22)

1. घातांक फलन के अवकलज का सूत्र लिखिए। ( एएक्स)" = एएक्स एलएन ए

2. घातांक के अवकलज का सूत्र लिखिए। (ई एक्स)" = ई एक्स

3. प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लिखिए। (एलएनएक्स)"=

4. लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र लिखिए। (लॉग एएक्स)"=

5. फलन f(x) = . के लिए प्रतिअवकलजों का सामान्य रूप लिखिए एएक्स। एफ (एक्स) =

6. फलन f(x) =, x≠0 के लिए प्रतिअवकलजों का सामान्य रूप लिखिए। एफ(एक्स)=एलएन|एक्स|+सी

काम की जाँच करें (उत्तर स्लाइड 23 पर)।

चतुर्थ। समस्या समाधान UNT (सिम्युलेटर)

ए) नंबर 1,2,3,6,10,36 बोर्ड पर और नोटबुक में (स्लाइड 24)

बी) जोड़े संख्या 19.28 (सिम्युलेटर) में काम करें (स्लाइड 25-26)

वी. 1. त्रुटियां खोजें: (स्लाइड 27)

1) एफ (एक्स) \u003d 5 ई - 3एक्स, एफ "(एक्स) \u003d - 3 ई - 3एक्स

2) एफ (एक्स) \u003d 17 2x, एफ "(एक्स) \u003d 17 2x एलएन17

3) एफ (एक्स) = लॉग 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. छात्र प्रस्तुति।

एपिग्राफ: "ज्ञान इतनी कीमती चीज है कि इसे किसी भी स्रोत से प्राप्त करना शर्मनाक नहीं है" थॉमस एक्विनास (स्लाइड 28)

सातवीं। होमवर्क नंबर 19,20 पी.116

आठवीं। टेस्ट (रिजर्व टास्क) (स्लाइड 29-32)

IX. पाठ का सारांश।

"यदि आप बड़े जीवन में भाग लेना चाहते हैं, तो जितना हो सके अपने सिर को गणित से भरें। फिर वह आपको जीवन भर बड़ी मदद प्रदान करेगी ”एम। कलिनिन (स्लाइड 33)

रहने दो
(1)
x का एक अवकलनीय फलन है। सबसे पहले, हम इसे x मानों के सेट पर मानेंगे जिसके लिए y सकारात्मक मान लेता है: . निम्नलिखित में, हम दिखाएंगे कि प्राप्त सभी परिणाम नकारात्मक मूल्यों के लिए भी लागू होते हैं।

कुछ मामलों में, फ़ंक्शन (1) के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, प्रारंभिक रूप से लॉगरिदम लेना सुविधाजनक होता है
,
और फिर व्युत्पन्न की गणना करें। फिर, एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियम के अनुसार,
.
यहां से
(2) .

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक के व्युत्पन्न को लघुगणक व्युत्पन्न कहा जाता है:
.

फलन y = . का लघुगणकीय अवकलज एफ (एक्स) इस फ़ंक्शन के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न है: (लॉग एफ (एक्स))′.

ऋणात्मक y मानों का मामला

अब उस स्थिति पर विचार करें जब चर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकता है। इस मामले में, मापांक का लघुगणक लें और इसका व्युत्पन्न खोजें:
.
यहां से
(3) .
अर्थात्, सामान्य स्थिति में, आपको फ़ंक्शन के मापांक के लघुगणक के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता होती है।

तुलना (2) और (3) हमारे पास है:
.
यही है, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न की गणना का औपचारिक परिणाम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हमने मॉड्यूल लिया या नहीं। इसलिए, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न की गणना करते समय, हमें इस बारे में चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि फ़ंक्शन का क्या संकेत है।

इस स्थिति को सम्मिश्र संख्याओं की सहायता से स्पष्ट किया जा सकता है। मान लीजिए, x के कुछ मानों के लिए ऋणात्मक हो: । यदि हम केवल वास्तविक संख्याओं पर विचार करते हैं, तो फलन परिभाषित नहीं होता है। हालाँकि, यदि हम सम्मिश्र संख्याओं को ध्यान में रखते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होते हैं:
.
यही है, कार्य और एक जटिल स्थिरांक से भिन्न होता है:
.
चूँकि एक नियतांक का अवकलज शून्य है, तो
.

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न की संपत्ति

इस तरह के विचार से यह इस प्रकार है कि लॉगरिदमिक व्युत्पन्न नहीं बदलता है यदि फ़ंक्शन को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा किया जाता है :
.
दरअसल, आवेदन लघुगणक गुण, सूत्र व्युत्पन्न राशिऔर एक स्थिरांक का व्युत्पन्न, अपने पास:

.

लघुगणक व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

उन मामलों में लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करना सुविधाजनक है जहां मूल कार्य में शक्ति या घातीय कार्यों का उत्पाद होता है। इस मामले में, लॉगरिदम ऑपरेशन कार्यों के उत्पाद को उनके योग में बदल देता है। यह व्युत्पन्न की गणना को सरल करता है।

उदाहरण 1

किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:
.

फेसला

हम मूल फ़ंक्शन का लघुगणक लेते हैं:
.

x के सन्दर्भ में अंतर कीजिए।
डेरिवेटिव की तालिका में हम पाते हैं:
.
हम एक जटिल फलन के विभेदीकरण का नियम लागू करते हैं।
;
;
;
;
(पी1.1) .
आइए इससे गुणा करें:

.

तो, हमने लॉगरिदमिक व्युत्पन्न पाया:
.
यहां से हम मूल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
.

टिप्पणी

यदि हम केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करना चाहते हैं, तो हमें मूल फ़ंक्शन के मापांक का लघुगणक लेना चाहिए:
.
फिर
;
.
और हमें सूत्र (A1.1) प्राप्त हुआ। इसलिए परिणाम नहीं बदला है।

जवाब

उदाहरण 2

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करके, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
.

फेसला

लघुगणक:
(पी 2.1) .
x के सन्दर्भ में अंतर कीजिए :
;
;

;
;
;
.

आइए इससे गुणा करें:
.
यहाँ से हमें लघुगणक व्युत्पन्न प्राप्त होता है:
.

मूल कार्य का व्युत्पन्न:
.

टिप्पणी

यहां मूल कार्य गैर-ऋणात्मक है:। पर परिभाषित किया गया है। यदि हम यह नहीं मानते हैं कि तर्क के ऋणात्मक मानों के लिए लघुगणक निर्धारित किया जा सकता है, तो सूत्र (A2.1) को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:
.
जहां तक ​​कि

और
,
यह अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा।

जवाब

उदाहरण 3

व्युत्पन्न खोजें
.

फेसला

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करके भेदभाव किया जाता है। लघुगणक, दिया गया है कि:
(पी3.1) .

विभेदित करने पर, हम लघुगणकीय व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं।
;
;
;
(पी3.2) .

क्योंकि तब

.

टिप्पणी

आइए गणना करते हैं कि तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए लघुगणक को परिभाषित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मूल फ़ंक्शन के मापांक का लघुगणक लें:
.
तब (A3.1) के स्थान पर हमारे पास है:
;

.
(A3.2) से तुलना करने पर हम देखते हैं कि परिणाम नहीं बदला है।

जब एक घातीय शक्ति फ़ंक्शन या बोझिल भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों में अंतर करते हैं, तो लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इस लेख में, हम विस्तृत समाधान के साथ इसके आवेदन के उदाहरण देखेंगे।

आगे की प्रस्तुति का अर्थ है डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करने की क्षमता, भेदभाव के नियम और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का ज्ञान।

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति।

सबसे पहले, हम लघुगणक को आधार ई पर ले जाते हैं, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके फ़ंक्शन के रूप को सरल बनाते हैं, और फिर निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:

उदाहरण के लिए, आइए एक्स की शक्ति के घातीय पावर फ़ंक्शन x का व्युत्पन्न खोजें।

लघुगणक देता है। लघुगणक के गुणों के अनुसार। समानता के दोनों भागों में अंतर करने से परिणाम प्राप्त होता है:

जवाब: .

लॉगरिदमिक व्युत्पन्न का उपयोग किए बिना उसी उदाहरण को हल किया जा सकता है। आप कुछ परिवर्तन कर सकते हैं और एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए एक घातीय पावर फ़ंक्शन को अलग करने से जा सकते हैं:

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें .

फेसला।

इस उदाहरण में, फ़ंक्शन एक भिन्न है और इसका व्युत्पन्न विभेदन के नियमों का उपयोग करके पाया जा सकता है। लेकिन बोझिल अभिव्यक्ति के कारण, इसके लिए कई परिवर्तनों की आवश्यकता होगी। ऐसे मामलों में, लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना अधिक उचित है . क्यों? अब तुम समझ जाओगे।

आइए पहले इसे ढूंढते हैं। परिवर्तनों में, हम लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करेंगे (एक अंश का लॉगरिदम लॉगरिदम के अंतर के बराबर है, और उत्पाद का लॉगरिदम लॉगरिदम के योग के बराबर है, और अभिव्यक्ति की डिग्री के तहत लघुगणक का चिन्ह लघुगणक के सामने गुणांक के रूप में भी निकाला जा सकता है):

इन परिवर्तनों ने हमें काफी सरल अभिव्यक्ति की ओर अग्रसर किया है, जिसका व्युत्पन्न खोजना आसान है:

हम प्राप्त परिणाम को लघुगणकीय व्युत्पन्न के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम विस्तृत स्पष्टीकरण के बिना कुछ और उदाहरण देते हैं।

उदाहरण।

एक घातीय शक्ति फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें