सबसे सक्षम जीवित गणितज्ञों के अनुसार, श्रीमती नोथर अब तक पैदा हुई सबसे महत्वपूर्ण रचनात्मक गणितीय प्रतिभा (महिला) थीं।

अल्बर्ट आइंस्टीन

अमालिया एमी नोथर (23 मार्च, 1882 - 14 अप्रैल, 1935) एक उत्कृष्ट जर्मन गणितज्ञ थे।

एमी नोथर का जन्म चार यहूदी बच्चों में सबसे बड़े एर्लांगेन में हुआ था। उनके माता-पिता, गणितज्ञ मैक्स नोथर और इडा अमालिया कॉफ़मैन, धनी व्यापारी परिवारों से आए थे।

नोदर ने शुरू में भाषाओं का अध्ययन किया, अंग्रेजी और फ्रेंच के शिक्षक बनने की योजना बनाई। यह अंत करने के लिए, उन्होंने एर्लांगेन विश्वविद्यालय में व्याख्यान में भाग लेने की अनुमति प्राप्त की, जहां उनके पिता ने पहले एक स्वयंसेवक (1900) के रूप में काम किया, और 1904 से, जब महिला शिक्षा की अनुमति दी गई, तो उन्हें आधिकारिक तौर पर नामांकित किया गया। हालांकि, विश्वविद्यालय में, गणित के व्याख्यानों ने एमी को किसी भी अन्य की तुलना में अधिक आकर्षित किया। वह गणितज्ञ पॉल गॉर्डन की छात्रा बन गईं, जिनके मार्गदर्शन में उन्होंने 1907 में आविष्कारों के सिद्धांत पर अपने शोध प्रबंध का बचाव किया।

1915 की शुरुआत में, नोथेर ने सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत के विकास में योगदान दिया; आइंस्टीन, गणित में विश्व नेता डेविड हिल्बर्ट को लिखे एक पत्र में, नोएदर की "अंतर्ज्ञानी गणितीय सोच" के लिए प्रशंसा व्यक्त की।

1916 में, नोथेर गोटिंगेन चले गए, जहां प्रसिद्ध गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट और फेलिक्स क्लेन ने सापेक्षता के सिद्धांत पर काम करना जारी रखा, और उन्हें अपरिवर्तनीय सिद्धांत के क्षेत्र में नोथर के ज्ञान की आवश्यकता थी। हिल्बर्ट का नोदर पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा, जिससे वह स्वयंसिद्ध पद्धति का समर्थक बन गया। उन्होंने गौटिंगेन विश्वविद्यालय में नोथेर को प्राइवेटडोजेंट बनाने की कोशिश की, लेकिन प्रोफेसरों के पूर्वाग्रहों के कारण उनके सभी प्रयास विफल रहे, मुख्यतः मानविकी के क्षेत्र में।

एमी नोथेर का बाहरी करियर विरोधाभासी था और हमेशा के लिए अपमानजनक जड़ता और प्रशिया अकादमिक और नौकरशाही नौकरशाही की ओर से पूर्वाग्रह को दूर करने में असमर्थता का एक उदाहरण बना रहेगा। 1919 में उनका निजी-अभिमानी खिताब केवल प्रतिक्रियावादी विश्वविद्यालय हलकों के अत्यधिक प्रतिरोध पर काबू पाने के बाद, हिल्बर्ट और क्लेन की दृढ़ता के कारण था। मुख्य औपचारिक चुनौती उम्मीदवार का लिंग था: "एक महिला को प्रिवेटडोजेंट बनने की अनुमति कैसे दी जा सकती है: आखिरकार, एक प्रिवेटडोजेंट बनने के बाद, वह एक प्रोफेसर और विश्वविद्यालय सीनेट की सदस्य बन सकती है; क्या एक महिला के लिए सीनेट में प्रवेश की अनुमति है?" हिल्बर्ट की प्रसिद्ध टिप्पणी ने इस कथन का अनुसरण किया: "सज्जनों, सीनेट स्नानघर नहीं है, एक महिला वहां प्रवेश क्यों नहीं कर सकती!"

नोएदर की वैज्ञानिक गतिविधि का सबसे फलदायी काल 1920 के आसपास शुरू होता है, जब वह अमूर्त बीजगणित में एक पूरी नई दिशा बनाता है। 1922 से वह गौटिंगेन विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर के रूप में काम कर रही हैं, एक आधिकारिक और तेजी से बढ़ते वैज्ञानिक स्कूल का नेतृत्व कर रही हैं।

यदि एम्मा नोथर एक पुरुष होती, तो निस्संदेह उन्हें देश के सर्वश्रेष्ठ विश्वविद्यालयों द्वारा प्रोफेसरशिप के लिए आमंत्रित किया जाता। उन्हें गौटिंगेन विश्वविद्यालय में "असाधारण प्रोफेसर" की उपाधि से भी संतोष करना पड़ा, जो उन्हें 6 अप्रैल, 1922 को मिली थी, जब वह पहले से ही चालीस वर्ष की थीं। इस समय तक, उसे पहले से ही आधुनिक बीजगणित के संस्थापक के रूप में विशेषज्ञों के बीच सही माना जाता था, वह कई महत्वपूर्ण वैज्ञानिक क्षेत्रों की नींव में आधारशिला रखने में कामयाब रही। एम्मा नोथर को असाधारण प्रोफेसर के पद पर नियुक्त करने वाले डिक्री ने विशेष रूप से यह निर्धारित किया कि वह एक सिविल सेवक द्वारा प्रदान किए गए किसी भी विशेषाधिकार की हकदार नहीं थी।

समकालीनों ने नोथर को एक अत्यंत बुद्धिमान, आकर्षक और मिलनसार महिला के रूप में वर्णित किया है। उनकी स्त्रीत्व बाहरी रूप से नहीं, बल्कि उनके छात्रों के लिए एक मार्मिक चिंता में, उनकी और उनके सहयोगियों की मदद करने के लिए उनकी निरंतर तत्परता में प्रकट हुई थी। उनके समर्पित मित्रों में विश्व प्रसिद्ध वैज्ञानिक थे: हिल्बर्ट, हरमन वेइल, एडमंड लैंडौ, डच गणितज्ञ एल। ब्रौवर, सोवियत गणितज्ञ पी.एस. अलेक्जेंड्रोव, पी.एस. उरीसन और कई अन्य।

1924-1925 में, एमी नोएथर के स्कूल ने अपने सबसे शानदार अधिग्रहणों में से एक बनाया: एम्स्टर्डम से स्नातक बार्थेल लिएन्डर्ट वैन डेर वेर्डन, उनके शिष्य बन गए। उस समय वे अपने 22वें वर्ष में थे, और यह यूरोप की सबसे प्रतिभाशाली युवा गणितीय प्रतिभाओं में से एक थी। वैन डेर वेर्डन ने एमी नोथर के सिद्धांतों में जल्दी से महारत हासिल कर ली, उन्हें महत्वपूर्ण नए परिणामों के साथ पूरक किया, और, किसी और की तरह, उनके विचारों के प्रसार में योगदान नहीं दिया। 1927 में गोटिंगेन में वैन डेर वेर्डन द्वारा दिए गए आदर्शों के सामान्य सिद्धांत पर पाठ्यक्रम एक बहुत बड़ी सफलता थी। एमी नोएथर के विचारों, वैन डेर वेर्डन द्वारा शानदार ढंग से प्रतिपादित, गणितीय जनमत पर विजय प्राप्त की, पहले गोटिंगेन में और फिर यूरोप के अन्य प्रमुख गणितीय केंद्रों में।

मूल रूप से, नोएदर की रचनाएँ बीजगणित से संबंधित हैं, जहाँ उन्होंने एक नई दिशा के निर्माण में योगदान दिया, जिसे अमूर्त बीजगणित के रूप में जाना जाता है। नोथेर ने इस क्षेत्र में (एमिल आर्टिन और उनके छात्र वैन डेर वेर्डन के साथ) निर्णायक योगदान दिया।

शब्द "नोथेरियन रिंग", "नोथेरियन मॉड्यूल", सामान्यीकरण प्रमेय और लास्कर-नोदर आदर्श अपघटन प्रमेय अब मौलिक हैं।

नोथेर ने गणितीय भौतिकी में एक महान योगदान दिया, जहां सैद्धांतिक भौतिकी के मौलिक प्रमेय (1918 में प्रकाशित) का नाम उनके नाम पर रखा गया है, जो सिस्टम समरूपता के साथ संरक्षण कानूनों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए, समय की एकरूपता ऊर्जा के संरक्षण के कानून पर जोर देती है)। यह फलदायी दृष्टिकोण लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ द्वारा "सैद्धांतिक भौतिकी" पुस्तकों की प्रसिद्ध श्रृंखला का आधार है। नोथेर के प्रमेय का क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में बहुत महत्व है, जहां एक निश्चित समरूपता समूह के अस्तित्व से उत्पन्न होने वाले संरक्षण कानून आमतौर पर अध्ययन के तहत वस्तुओं के गुणों के बारे में जानकारी का मुख्य स्रोत होते हैं।

नोथेर के विचारों और वैज्ञानिक विचारों का कई वैज्ञानिकों, गणितज्ञों और भौतिकविदों पर व्यापक प्रभाव पड़ा। उन्होंने कई छात्रों की परवरिश की, जो विश्व स्तरीय वैज्ञानिक बने और नोथर द्वारा खोजी गई नई दिशाओं को जारी रखा।

नोदर ने सामाजिक लोकतांत्रिक विचारों का पालन किया। अपने जीवन के 10 वर्षों के लिए उन्होंने यूएसएसआर के गणितज्ञों के साथ सहयोग किया; 1928-1929 शैक्षणिक वर्ष में, वह यूएसएसआर में आईं और मॉस्को विश्वविद्यालय में व्याख्यान दिया, जहां उन्होंने एल.एस. पोंट्रीगिन और विशेष रूप से पी.एस. अलेक्जेंड्रोव, जो पहले अक्सर गोटिंगेन का दौरा करते थे।

1927 से आधुनिक गणित पर एमी नोएथर के विचारों का प्रभाव हर समय बढ़ता रहा है, और समानांतर में, इन विचारों के लेखक की वैज्ञानिक प्रसिद्धि भी बढ़ी है। यदि 1923-1925 में उन्हें अपने द्वारा विकसित सिद्धांतों के महत्व को साबित करना था, तो 1932 में ज्यूरिख में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय सम्मेलन में, उन्हें सबसे शानदार सफलता की प्रशंसा मिली। नोथेर, अपने छात्र एमिल आर्टिन के साथ, गणित में उपलब्धियों के लिए एकरमैन-थोबनेर पुरस्कार प्राप्त करता है। इस कांग्रेस में उन्होंने जो बड़ी समीक्षा रिपोर्ट पढ़ी, वह उस दिशा की वास्तविक विजय थी जिसका उन्होंने प्रतिनिधित्व किया था, और वह न केवल आंतरिक संतुष्टि के साथ, बल्कि बिना शर्त और पूर्ण मान्यता की चेतना के साथ, उस गणितीय पथ पर वापस देख सकती थीं, जिस पर उसने यात्रा की थी। ज्यूरिख कांग्रेस उनकी अंतरराष्ट्रीय वैज्ञानिक स्थिति का उच्च बिंदु थी। कुछ महीने बाद, जर्मन संस्कृति पर और विशेष रूप से संस्कृति के उस केंद्र पर एक तबाही हुई, जो सदियों से गौटिंगेन विश्वविद्यालय रहा है।

1933 में, हिटलर जर्मनी में सत्ता में आया और जर्मन सरकार ने सिविल सेवा कानून पारित किया। इस कानून के पीछे का विचार सरल था: "गैर-आर्यों से बाहर निकलो!" जर्मनी में शिक्षक सिविल सेवक थे, और उनके बारे में विचार बस यह था: "आर्य छात्रों को आर्यन प्रोफेसरों द्वारा पढ़ाया जाना चाहिए।"

एमी नोथेर पहले छह प्रोफेसरों में से थे जिन्हें प्रशिया मंत्रालय द्वारा व्याख्यान से प्रतिबंधित किया गया था और कुख्यात कानून के तहत अनिश्चितकालीन अवकाश पर भेजा गया था, जिसने शिक्षण कर्मचारियों के बड़े पैमाने पर शुद्धिकरण की शुरुआत की थी।

व्यक्तिगत रूप से, नोदर को अप्रैल 1933 में प्रशिया के विज्ञान, कला और सार्वजनिक शिक्षा मंत्रालय के प्रमुख द्वारा हस्ताक्षरित एक आधिकारिक पत्र मिला। यह सादे पाठ में लिखा गया था: "7 अप्रैल, 1933 के सिविल सेवा संहिता के पैराग्राफ 3 के अनुसार, मैं आपको गौटिंगेन विश्वविद्यालय में पढ़ाने के अधिकार से वंचित करता हूं।"

पुनर्जागरण के समय से मानव संस्कृति द्वारा अनुभव की गई सभी सबसे बड़ी त्रासदियों में से एक, एक त्रासदी जो कुछ साल पहले 20 वीं शताब्दी के यूरोप में अविश्वसनीय और असंभव लग रही थी। इसके कई पीड़ितों में से एक एमी नोथर द्वारा स्थापित गॉटिंगेन बीजगणितीय स्कूल था: इसके नेता को विश्वविद्यालय की दीवारों से निष्कासित कर दिया गया था; पढ़ाने का अधिकार खो देने के बाद, एमी नोथर को जर्मनी से प्रवास करना पड़ा।

एमी के छोटे भाई, प्रतिभाशाली गणितज्ञ फ्रिट्ज नोथर, यूएसएसआर के लिए रवाना हो गए, जहां उन्हें "सोवियत विरोधी भावनाओं" के लिए सितंबर 1941 में गोली मार दी गई थी।

जर्मनी छोड़ने के बाद भी, एम्मा नोथेर ने उन लोगों के प्रति कड़वाहट या दुश्मनी का कोई निशान नहीं दिखाया, जिन्होंने उसका जीवन बर्बाद कर दिया। वह उन कुछ प्रवासियों में से एक निकलीं, जिन्होंने उनके जाने के अगले साल वापस लौटने का साहस किया: 1934 की गर्मियों में, उन्होंने ग्रीन गॉटिंगेन के परिचित परिवेश में कुछ समय बिताने का फैसला किया, जहां उन्होंने ऐसा काम किया था। पिछले सभी वर्षों में ठीक है।

उत्प्रवास में, एम्मा को उन्हीं कठिनाइयों का सामना करना पड़ा, जो अधिकांश अन्य वैज्ञानिक पहले से ही वयस्कता में विदेशों में आए थे। लेकिन वह अपेक्षाकृत जल्दी नौकरी पाने में कामयाब रही। उन्होंने पेंसिल्वेनिया में छोटे अमेरिकी कॉलेज ब्रायन मावर में एक शिक्षण पद प्राप्त किया और प्रिंसटन में उन्नत अध्ययन संस्थान में शोध कार्य किया।

अपने आप में बसने के बाद, उसने तुरंत उन सहयोगियों की देखभाल करना शुरू कर दिया जो निर्वासन में कम भाग्यशाली थे। हरमन वेइल के साथ, उन्होंने एक विशेष "जर्मन गणितज्ञों के लिए कोष" का आयोजन किया, जिसमें उन वैज्ञानिकों को जो पहले से ही काम मिल गया था, उनके वेतन का एक छोटा हिस्सा काट लेना चाहिए था। एकत्रित धन से छात्रवृत्ति का भुगतान उन लोगों को किया गया जिन्हें विशेष रूप से सहायता की आवश्यकता थी।

और अमेरिका में, हर कोई एक वैज्ञानिक और एक व्यक्ति के रूप में उनके व्यक्तित्व के पैमाने को नहीं समझता था। डेगन इमरजेंसी कमेटी के रिकॉर्ड ने 21 मार्च, 1935 को शानदार वैज्ञानिक की अप्रत्याशित मौत से तीन हफ्ते पहले की गई एक प्रविष्टि को संरक्षित किया: “कल ब्रायन मावर कॉलेज के अध्यक्ष के साथ एमी नोथर के भाग्य के बारे में चर्चा हुई। उसने कहा कि एम्मा नोथेर बहुत सनकी थी और उसके साथ स्थायी अनुबंध पाने के लिए अमेरिकी परिस्थितियों के अनुकूल होना मुश्किल था, लेकिन वह उसे और दो साल के लिए कॉलेज में रखेगी।

दुर्भाग्य से, एम्मा को इन दो वर्षों के लिए कॉलेज में काम करने की अनुमति नहीं थी: 14 अप्रैल, 1935 को, कैंसर के ट्यूमर को हटाने के लिए एक असफल चिकित्सा ऑपरेशन के बाद, उसकी मृत्यु हो गई।

अपने भाषण में, मॉस्को मैथमैटिकल सोसाइटी के अध्यक्ष पी.एस. 5 सितंबर, 1935 को समाज की एक बैठक में अलेक्जेंड्रोव ने निम्नलिखित शब्दों के साथ शुरुआत की:

इस साल 14 अप्रैल को छोटे शहर ब्रायन मावर (यूएसए, पेनसिल्वेनिया) में एक सर्जिकल ऑपरेशन के बाद, हमारे समय के सबसे महान गणितज्ञों में से एक, गौटिंगेन विश्वविद्यालय के पूर्व प्रोफेसर एमी नोथर का 53 वर्ष की आयु में निधन हो गया। . एमी नोथर का निधन न केवल गणित के लिए एक बड़ी क्षति है,यह शब्द के पूर्ण अर्थों में एक दुखद क्षति है। अपनी रचनात्मक शक्तियों के चरम पर, सबसे बड़ी महिला गणितज्ञ जो कभी अस्तित्व में थी, मर गई, वह मर गई, उसे अपनी मातृभूमि से निकाल दिया गया, अपने स्कूल से काट दिया गया, जिसे वह वर्षों से बना रही थी और यूरोप के सबसे शानदार गणितीय स्कूलों में से एक थी, वह अपने रिश्तेदारों से कट कर मर गई, जो अलग-अलग देशों में उसी राजनीतिक बर्बरता के कारण बिखरे हुए थे, जिसके कारण उन्हें खुद जर्मनी से पलायन करना पड़ा था। मॉस्को मैथमैटिकल सोसाइटी आज अपने सबसे उत्कृष्ट सदस्यों में से एक की स्मृति के सामने शोक मनाती है, जिसने लगातार दस वर्षों से निरंतर वैज्ञानिक संपर्क, समाज के साथ ईमानदार सहानुभूति और सौहार्दपूर्ण मित्रता, गणितीय मॉस्को और गणितज्ञों के साथ घनिष्ठ संबंध बनाए रखा। सोवियत संघ ...

एमी नोथर का नाम किसके नाम पर रखा गया है:

• चाँद पर गड्ढा
• छोटा तारा
• नोएदर के गृहनगर, एर्लांगेन में सड़क
• वह स्कूल जहाँ उसने एर्लांगेन में पढ़ाई की थी।
• उत्कृष्ट युवा वैज्ञानिकों का समर्थन करने के लिए जर्मन कार्यक्रम: एमी नोथर कार्यक्रम।

निम्नलिखित गणितीय वस्तुओं का नोदर नाम है:

• नोथेरियन रिंग
• नोदर मॉड्यूल
• नोएदर का प्रमेय
• लास्कर-नोथेर प्रमेय
• स्कोलेम-नोथेर प्रमेय
• नोथेरियन रिक्त स्थान
• नोथेरियन योजना
• कोई समस्या नहीं
• नोएदर का लेम्मा।

विकिपीडिया और साइटों की सामग्री के आधार पर: berkovich-zametki.com और टर्टल-t.livejournal.com, साथ ही साथ पी.एस. अलेक्जेंड्रोव, "एमी नोथर की याद में" (Usp।

अमलिया (एमी) ​​नोथेर, बिना ताज वाली रानी

सबसे प्रसिद्ध जीवित गणितज्ञों के अनुसार, एमी नोथेरजब से उच्च शिक्षा महिलाओं के लिए खोली गई थी, दुनिया में प्रकट होने वाली सबसे बड़ी रचनात्मक गणितीय प्रतिभा थी।

अल्बर्ट आइंस्टीन

आइंस्टीन सही थे और एमी नोथेर (1882–1935) , जिनके साथ उन्हें प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस स्टडी में एक साथ काम करने का मौका नहीं मिला (हालाँकि वह इसके लिए किसी से भी अधिक योग्य थीं), एक अद्भुत गणितज्ञ थे - शायद अब तक की सबसे महान महिला गणितज्ञ। और आइंस्टीन इस दृष्टिकोण में अकेले नहीं थे: नॉर्बर्ट वीनर ने नोथर को दो बार नोबेल पुरस्कार विजेता मैरी क्यूरी के बराबर रखा, जो एक उत्कृष्ट गणितज्ञ भी थीं।

इसके अलावा, एमी नोथर कई बुरे चुटकुलों का विषय बन गया - आइए हम एडमंड लैंडौ की असंबद्ध भाषा के कम से कम अमर वाक्यांश को याद करें: "मैं उसकी गणितीय प्रतिभा पर विश्वास कर सकता हूं, लेकिन मैं कसम नहीं खा सकता कि यह एक महिला है।" एमी वास्तव में दिखने में मर्दाना थी, और इसके अलावा, उसने इस बात पर ज्यादा ध्यान नहीं दिया कि वह कैसी दिखती है, खासकर कक्षा या वैज्ञानिक बहस के दौरान।

प्रत्यक्षदर्शियों के अनुसार, वह अपने बालों को स्टाइल करना, अपनी पोशाक को साफ करना, अपने भोजन को अच्छी तरह से चबाना भूल गई, और कई अन्य विशेषताओं से अलग थी, जिसने उसे सभ्य जर्मन हमवतन की नज़र में बहुत अधिक स्त्री नहीं बना दिया। एमी भी गंभीर मायोपिया से पीड़ित थी, यही वजह है कि उसने मोटे चश्मे के साथ बदसूरत चश्मा पहना था और एक उल्लू की तरह लग रही थी। इसमें एक बीमा एजेंट की तरह (सुविधा के कारणों से) एक आदमी की टोपी और कागज से भरा चमड़े का सूटकेस पहनने की आदत को जोड़ा जाना चाहिए। एमी के छात्र और उनकी गणितीय प्रतिभा के प्रशंसक हरमन वील ने काफी संतुलित रूप से शब्दों के साथ संरक्षक के बारे में सामान्य राय व्यक्त की: "ग्रेस उसके पालने पर नहीं खड़ी थी।"

चित्र एमी नोथेरयुवावस्था में।

एक सुंदर हंस में परिवर्तन

एमी नोथर का जन्म एक ऐसे समाज में हुआ था जहां महिलाएं थीं, कोई कह सकता है, हाथ और पैर को बांधकर। उस समय, सर्व-शक्तिशाली कैसर विल्हेम II, गंभीर स्वागत और समारोहों के प्रेमी, जर्मनी में शासन करते थे। वह शहर में आया, ट्रेन से शानदार ढंग से उतरा, और फिर स्थानीय महापौर ने भाषण दिया। सारा गंदा काम आयरन चांसलर बिस्मार्क ने किया था। वह राज्य और समाज के सच्चे मुखिया थे, उनके रूढ़िवादी ढांचे के प्रेरक थे, जिसने महिलाओं की शिक्षा को रोका (सार्वभौमिक शिक्षा को नफरत वाले समाजवाद का संकेत माना जाता था)। एक महिला के लिए मॉडल कैसर की पत्नी, महारानी ऑगस्टा विक्टोरिया थी। उसका जीवन प्रमाण चार K: कैसर था, kinder(बच्चे), Kirche(गिरजाघर), के?चे(रसोई) - लोक त्रयी से तीन K का एक संवर्धित संस्करण " Kinder, Kirche, K?che". ऐसे वातावरण में, महिलाओं को स्पष्ट रूप से परिभाषित भूमिका सौंपी गई: सामाजिक सीढ़ी पर वे पुरुषों से नीचे और घरेलू पशुओं से एक कदम ऊपर थीं। इसलिए महिलाओं को शिक्षा नहीं मिल पाती थी। दरअसल, महिलाओं की शिक्षा पर पूरी तरह से प्रतिबंध नहीं लगाया गया था - गोएथे और बीथोवेन की मातृभूमि के लिए, यह बहुत अधिक होता। कई बाधाओं को पार करते हुए, महिलाएं पढ़ सकती थीं, लेकिन पदों पर रहने के योग्य नहीं थीं। परिणाम वही था, लेकिन खेल अधिक सूक्ष्म था। कुछ शिक्षकों ने एक विशेष वैचारिक उत्साह का प्रदर्शन करते हुए, दर्शकों में कम से कम एक महिला मौजूद होने पर कक्षाएं शुरू करने से इनकार कर दिया। उदाहरण के लिए, फ्रांस में स्थिति काफी भिन्न थी, जहां स्वतंत्रता और उदारवाद का बोलबाला था।

एमी का जन्म छोटे शहर एर्लांगेन में एक उच्च-मध्यम वर्गीय शिक्षण परिवार में हुआ था। एर्लांगेन ने गणित के इतिहास में एक असामान्य स्थान पर कब्जा कर लिया - यह तथाकथित सिंथेटिक ज्यामिति के निर्माता का छोटा जन्मस्थान था क्रिश्चियन वॉन स्टौड्टो (1798–1867) इसके अलावा, यह एर्लांगेन में था कि युवा प्रतिभा फेलिक्स क्लेन (1849-1925) ने अपना प्रसिद्ध एर्लांगेन कार्यक्रम प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से ज्यामिति को वर्गीकृत किया।

एमी के पिता, मैक्स नोथर, एर्लांगेन विश्वविद्यालय में गणित पढ़ाते थे। उनकी बुद्धि उनके बेटे फ्रिट्ज को विरासत में मिली थी, जिन्होंने अपना जीवन व्यावहारिक गणित के लिए समर्पित कर दिया था, और उनकी बेटी एमी, जो एंडरसन की परियों की कहानी से बदसूरत बत्तख की तरह दिखती थी - कोई भी कल्पना भी नहीं कर सकता था कि वह कितनी वैज्ञानिक ऊंचाइयों तक पहुंच जाएगी। बचपन और किशोरावस्था में, एमी अपने साथियों से अलग नहीं थी: उसे वास्तव में नृत्य करना पसंद था, इसलिए उसने स्वेच्छा से सभी समारोहों में भाग लिया। उसी समय, लड़की ने संगीत में अधिक रुचि नहीं दिखाई, जो उसे अन्य गणितज्ञों से अलग करती है, जो अक्सर संगीत से प्यार करते हैं और यहां तक ​​​​कि विभिन्न वाद्ययंत्र भी बजाते हैं। एमी ने यहूदी धर्म को स्वीकार किया - उस समय यह परिस्थिति महत्वहीन थी, लेकिन इसने उसके भविष्य के भाग्य को प्रभावित किया। प्रतिभा की सामयिक चमक के अपवाद के साथ, एमी की शिक्षा उसके साथियों से अलग नहीं थी: वह जानती थी कि कैसे खाना बनाना और घर का प्रबंधन करना है, फ्रेंच और अंग्रेजी सीखने में सफलता दिखाई, और उसे एक भाषा शिक्षक के रूप में कैरियर की भविष्यवाणी की गई थी। एमी ने सभी को चौंका दिया, गणित को चुना।

Kollegienhaus का मुखौटा - Erlangen विश्वविद्यालय की सबसे पुरानी इमारतों में से एक।

अंतहीन दौड़

एमी के पास अपने चुने हुए व्यवसाय के लिए खुद को समर्पित करने के लिए आवश्यक सब कुछ था: वह गणित जानती थी, उसका परिवार उसके जीवन के लिए धन आवंटित कर सकता था (यद्यपि बहुत कम), और अपने पिता के सहयोगियों के साथ व्यक्तिगत परिचित ने उसे इस तथ्य पर भरोसा करने की अनुमति दी कि वह अध्ययन कर रहा था। विश्वविद्यालय असहनीय नहीं होगा। अपनी पढ़ाई जारी रखने के लिए, एमी को एक छात्र बनना पड़ा - उसे पूर्ण छात्र के रूप में कक्षाओं में जाने की मनाही थी। उसने सफलतापूर्वक अपनी पढ़ाई पूरी की और परीक्षा उत्तीर्ण की जिसने उसे डॉक्टरेट की डिग्री प्राप्त करने का अधिकार दिया। एमी ने अपने शोध प्रबंध विषय के रूप में त्रिगुट द्विघात रूपों के बीजगणितीय आविष्कारों को चुना। इस अनुशासन के शिक्षक थे पॉल गॉर्डन (1837–1912) , जिन्हें समकालीनों ने अपरिवर्तनीय सिद्धांत का राजा कहा; वह लंबे समय से नोथर के पिता के मित्र और रचनात्मक गणित के समर्थक थे। बीजगणितीय आविष्कारों के लिए अपनी खोज में, गॉर्डन एक वास्तविक बुलडॉग में बदल गया: वह एक अपरिवर्तनीय से चिपक गया और अपने जबड़े तब तक नहीं खोले जब तक कि उसने गणना की पेचीदगियों के बीच इसे अलग नहीं किया जो कभी-कभी अंतहीन लगता था। यह समझाना बहुत कठिन नहीं है कि बीजगणितीय अपरिवर्तनीय और रूप क्या हैं, लेकिन ये अवधारणाएं आधुनिक बीजगणित के लिए रुचिकर नहीं हैं, इसलिए हम उन पर अधिक विस्तार से ध्यान नहीं देंगे।

अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में "टर्नरी द्विघात रूपों की औपचारिक प्रणालियों की परिभाषा पर" शीर्षक से, एमी द्वारा पाए गए टर्नरी द्विघात रूपों के 331 आविष्कार दिए गए हैं। काम ने उन्हें डॉक्टरेट की उपाधि दी और उन्हें गणितीय जिम्नास्टिक में काफी अभ्यास दिया। एमी ने खुद बाद में, आत्म-आलोचना के एक फिट में, इस कड़ी मेहनत को बकवास कहा। वह सोफिया कोवालेवस्काया के बाद जर्मनी में विज्ञान की दूसरी महिला डॉक्टर बनीं।

एमी को एर्लांगेन में एक शिक्षण पद मिला, जहाँ उन्होंने बिना किसी वेतन के आठ वर्षों तक काम किया। कभी-कभी उन्हें अपने पिता की जगह लेने का सम्मान मिला - उस समय तक उनका स्वास्थ्य कमजोर हो गया था। पॉल गॉर्डन सेवानिवृत्त हुए और उनकी जगह अर्न्स्ट फिशर ने ले ली, जो अधिक आधुनिक थे और एमी के साथ अच्छी तरह से मिल गए। यह फिशर था जिसने उसे हिल्बर्ट के कार्यों से परिचित कराया।

सौभाग्य से, नोथर की अंतर्दृष्टि, उनके दिमाग और ज्ञान को गौटिंगेन विश्वविद्यालय के दो प्रकाशकों ने देखा, "दुनिया में सबसे अधिक गणितीय विश्वविद्यालय।" ये प्रकाशक थे फेलिक्स क्लेन और डेविड गिल्बर्ट (1862–1943) . 1915 की बात है, प्रथम विश्व युद्ध जोरों पर था। क्लेन और हिल्बर्ट दोनों ही महिलाओं की शिक्षा (और शोध कार्य में उनकी भागीदारी) में बेहद उदार थे और उच्चतम स्तर के विशेषज्ञ थे। उन्होंने एमी को एर्लांगेन छोड़ने और उनके साथ मिलकर काम करने के लिए गोटिंगेन में जाने के लिए राजी किया। उस समय, अल्बर्ट आइंस्टीन के क्रांतिकारी भौतिकी के विचार फलफूल रहे थे, और एमी बीजगणितीय और अन्य आविष्कारों के विशेषज्ञ थे, जिन्होंने आइंस्टीन के सिद्धांत के एक अत्यंत उपयोगी गणितीय उपकरण का गठन किया था (हम थोड़ी देर बाद अपरिवर्तनीयों की चर्चा पर वापस आएंगे)।

यह सब हास्यास्पद होगा अगर यह इतना दुखद नहीं था - यहां तक ​​\u200b\u200bकि ऐसे अधिकारियों के समर्थन ने भी एमी को गोटिंगेन विश्वविद्यालय की अकादमिक परिषद के प्रतिरोध को दूर करने में मदद नहीं की, जिनके सदस्यों से कोई भी भावना में बयान सुन सकता था: "हमारा क्या होगा वीर सैनिकों का कहना है कि जब वे अपनी मातृभूमि और सभागारों में लौटेंगे, तो क्या उन्हें एक महिला के सामने बैठना होगा जो उन्हें मंच से संबोधित करेगी? इस तरह की बातचीत में मौजूद हिल्बर्ट ने नाराजगी से विरोध किया: "मुझे समझ में नहीं आता कि उम्मीदवार का लिंग उसे प्रिवेटडोजेंट चुने जाने से कैसे रोकता है। आखिर यह विश्वविद्यालय है, पुरुषों का स्नानागार नहीं!

लेकिन एमी कभी भी प्रिवेटडोजेंट नहीं चुनी गईं। अकादमिक परिषद ने उस पर एक वास्तविक युद्ध की घोषणा की। संघर्ष जल्द ही समाप्त हो गया, वीमर गणराज्य की घोषणा की गई, और महिलाओं की स्थिति में सुधार हुआ: उन्हें वोट देने का अधिकार मिला, एमी प्रोफेसर का पद लेने में सक्षम थी (लेकिन वेतन के बिना), लेकिन केवल 1922 में, बड़े प्रयासों के साथ, उसने अंत में अपने काम के लिए पैसे मिलने लगे। एमी इस बात से नाराज़ थीं कि गणित के इतिहास के संपादक के रूप में उनके समय लेने वाले काम की सराहना नहीं की गई थी।

1918 में नोएदर का सनसनीखेज प्रमेय प्रकाशित हुआ। कई लोगों ने इसे कहा, हालांकि एमी ने कई अन्य प्रमेयों को सिद्ध किया, जिनमें बहुत महत्वपूर्ण भी शामिल हैं। 1918 में प्रमेय के प्रकाशित होने के एक दिन बाद भले ही उनकी मृत्यु हो गई हो, भले ही नोथेर अमरता के पात्र हों, जब वास्तव में उन्हें तीन साल पहले इसका प्रमाण मिला था। यह प्रमेय अमूर्त बीजगणित से संबंधित नहीं है और भौतिकी और गणित के बीच इंटरफेस पर स्थित है, अधिक सटीक रूप से, यांत्रिकी से संबंधित है। दुर्भाग्य से, इसे पाठक को समझने योग्य भाषा में समझाने के लिए, भले ही सरलीकृत रूप में, हम उच्च गणित और भौतिकी के बिना नहीं कर सकते।

सरल शब्दों में, प्रतीकों और समीकरणों के बिना, सबसे सामान्य सूत्रीकरण में नोएदर का प्रमेय कहता है: "यदि एक भौतिक प्रणाली में निरंतर समरूपता है, तो इसमें समान मात्राएँ होती हैं जो समय के साथ अपने मूल्यों को बनाए रखती हैं।"

उच्च भौतिकी में निरंतर समरूपता की अवधारणा को झूठ समूहों की सहायता से समझाया गया है। हम विवरण में नहीं जाएंगे और कहेंगे कि भौतिकी में, समरूपता को भौतिक प्रणाली में किसी भी परिवर्तन के रूप में समझा जाता है जिसके संबंध में प्रणाली में भौतिक मात्राएं अपरिवर्तनीय हैं। गणितीय रूप से निरंतर परिवर्तन के माध्यम से यह परिवर्तन, सिस्टम के निर्देशांक को प्रभावित करना चाहिए, और विचाराधीन मात्रा परिवर्तन से पहले और बाद में अपरिवर्तित रहना चाहिए।

"समरूपता" शब्द कहाँ से आया है? यह विशुद्ध रूप से भौतिक भाषा से संबंधित है और इसका उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि यह गणित में "समरूपता" शब्द के समान है। एक समरूपता समूह बनाने वाले अंतरिक्ष के घूर्णन की कल्पना करें। यदि हम इनमें से किसी एक घुमाव को एक समन्वय प्रणाली पर लागू करते हैं, तो हमें एक अलग समन्वय प्रणाली मिलती है। निर्देशांकों के परिवर्तन का वर्णन सतत समीकरणों द्वारा किया जाएगा। नोएथर के प्रमेय के अनुसार, यदि कोई प्रणाली ऐसी निरंतर समरूपता (इस मामले में, रोटेशन) के संबंध में अपरिवर्तनीय है, तो इसमें स्वचालित रूप से एक या किसी अन्य भौतिक मात्रा के लिए एक संरक्षण कानून होता है। हमारे मामले में, आवश्यक गणना करने के बाद, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह मान कोणीय गति होगा।

हम इस विषय पर ध्यान नहीं देंगे और कुछ प्रकार की समरूपता, समरूपता समूह और संबंधित भौतिक मात्राएँ देंगे जिन्हें संरक्षित किया जाएगा।

इस प्रमेय को कई प्रशंसा मिली है, जिसमें आइंस्टीन भी शामिल हैं, जिन्होंने हिल्बर्ट को लिखा था:

« कल मुझे श्रीमती नोथेर द्वारा आविष्कारों के निर्माण पर एक बहुत ही रोचक लेख प्राप्त हुआ। मैं प्रभावित हूं कि इस तरह की चीजों पर इतने सामान्य दृष्टिकोण से विचार किया जा सकता है। यह गॉटिंगेन में ओल्ड गार्ड को कोई नुकसान नहीं पहुंचाएगा यदि उन्हें मैडम नोथर द्वारा प्रशिक्षित करने के लिए भेजा गया था। ऐसा लगता है कि वह अपने व्यापार को अच्छी तरह जानती है».

प्रशंसा अच्छी तरह से योग्य थी: नोदर के प्रमेय ने सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में समस्याओं को हल करने में एक गैर-तुच्छ भूमिका निभाई। कई विशेषज्ञों के अनुसार, यह प्रमेय मौलिक है, और कुछ ने इसे प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय के बराबर भी रखा है।

प्रयोगों की एक सरल और समझने योग्य दुनिया के लिए तेजी से आगे बढ़ें, वर्णित कार्ल पॉपर (1902–1994) , और मान लें कि हमने किसी भौतिक घटना का वर्णन करते हुए एक नया सिद्धांत बनाया है। नोएथर के प्रमेय के अनुसार, यदि हमारे सिद्धांत में किसी प्रकार की समरूपता है (ऐसी बात मान लेना काफी उचित है), तो कुछ मात्रा जिसे मापा जा सकता है वह प्रणाली में रहेगी। इस तरह, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि हमारा सिद्धांत सही है या नहीं।

प्रमेय नोथेर

यांत्रिकी में एक भौतिक प्रणाली को काफी जटिल शब्दों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जिसमें इस तरह की अवधारणा को एक क्रिया के रूप में शामिल किया जाता है, जिसे जारी ऊर्जा के उत्पाद और इसके अवशोषण पर खर्च किए गए समय के रूप में माना जा सकता है। गणित की भाषा में किसी भौतिक तंत्र के व्यवहार का वर्णन उसके लैग्रेंजियन द्वारा किया जाता है ली, जो प्रपत्र का एक कार्यात्मक (कार्यों का कार्य) है

कहाँ पे क्यू- पद, क्यू?- गति (न्यूटन के अंकन में शीर्ष पर स्थित बिंदु के व्युत्पन्न को दर्शाता है) क्यू), टी- समय। ध्यान दें कि क्यू- एक सामान्य समन्वय प्रणाली में स्थिति, जो जरूरी नहीं कि कार्टेशियन हो।

गतिविधि लेकिनगणित की भाषा में प्रणाली द्वारा चुने गए पथ के साथ एक अभिन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है:

कम से कम क्रिया का सिद्धांत, जिसने 19वीं शताब्दी के भौतिकी में इतनी महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, में कहा गया है कि एक भौतिक प्रणाली कम से कम प्रयास के नियम के अनुसार चलती है, इसलिए, यदि हम गणितीय विश्लेषण की भाषा का उपयोग करते हैं, तो क्रिया ए एक चरम मूल्य होना चाहिए , यानी न्यूनतम या अधिकतम, इसलिए इसका पहला व्युत्पन्न शून्य के बराबर होना चाहिए।

एक अच्छा चित्रण एक हजार शब्दों के बराबर होता है, इसलिए यहां एक उदाहरण दिया गया है जिसे कई पुस्तकों और इंटरनेट पर पूरी तरह से समझाया गया है। इस उदाहरण में नोएथर की प्रमेय को इस प्रकार व्यक्त किया गया है: "मान लें कि कणों की प्रणाली में कुछ समरूपता है, अर्थात इसका लैग्रेन्जियन लीकुछ चर में परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय एसताकि डेली/डी एस= 0. तब निकाय का एक गुण होता है साथ में, जो सहेजा जाएगा: डीसी/डीटी = 0

लोच गुणांक वाले दो स्प्रिंग्स से युक्त एक भौतिक प्रणाली पर विचार करें से 12और 23 . तकआइए हम संकेतन का परिचय दें:

अब सममिति पर विचार करें (प्रमेय के निरूपण में, इसे द्वारा निरूपित किया जाता है) एस) चूंकि लोच का नियम हमेशा संतुष्ट होता है, हम अच्छी तरह से यह मान सकते हैं कि एस = टी, वह है, समय, और लग्रांगियन की समरूपता, जिसका मूल सूत्रीकरण में उल्लेख किया गया है, स्वयं को इस प्रकार प्रकट करता है:

आइए कुछ बीजीय रूपांतरण करें:

आइए सदस्यों के क्रम को बदलें:

हमने संरक्षित मात्रा प्राप्त की है साथ में- यह कोष्ठक में दिया गया है। जैसा क्यू? = एक्स?, अपने पास

गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग (ऋण चिह्न के साथ), अर्थात निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर होती है। हमें ऊर्जा संरक्षण का नियम प्राप्त हुआ है।

बीजगणित और अधिक बीजगणित। और क्या बीजगणित!

हमने एमी के बारे में अपनी कहानी को इस तथ्य से बाधित किया कि वह दो विश्व प्रसिद्ध गणितज्ञ क्लेन और हिल्बर्ट के बगल में गॉटिंगेन में बस गईं। मजाकिया गिल्बर्ट ने सबसे निष्क्रिय और रूढ़िवादी शिक्षकों से बाधाओं को दूर करने का एक तरीका खोजा: उन्होंने अपने नाम के तहत पाठ्यक्रम आयोजित किए, लेकिन एमी ने उन्हें हर बार कक्षा में बदल दिया, और बीमार लोग केवल अपने दांत पीस सकते थे।

एमी अपने अविश्वसनीय प्रदर्शन से प्रतिष्ठित थी - उसकी तुलना उस कार से की जा सकती है जिसका ब्रेक फेल हो गया। 1920 में, उसने एक नए रास्ते पर चलने का फैसला किया। धीरे-धीरे, लेकिन स्थिर रूप से, एमी ने शुद्ध बीजगणित के प्रश्नों पर अधिक से अधिक ध्यान देना शुरू किया: पहले, छल्ले पर छल्ले और आदर्श, फिर अधिक जटिल संरचनाएं, विशेष रूप से, विभिन्न बीजगणित। उसने इस विषय में इतनी महारत हासिल की कि वह पूरी तरह से "लॉर्ड ऑफ द रिंग्स" की उपाधि की हकदार थी। बीजगणित के विकास के लिए लास्कर-नोदर प्रमेय (1921) और सामान्यीकरण लेम्मा (1926) जैसे महत्वपूर्ण परिणाम इसी युग के हैं। 1927 तक, उसके समरूपता प्रमेय पहले की तारीख में आ गए।

फिर, लगभग तुरंत, एमी अधिक जटिल विषयों पर चले गए, विशेष रूप से बीजगणित में। 1931 में, परिमित आयाम के बीजगणित पर अल्बर्ट-ब्राउर-हसे-नोथेर प्रमेय तैयार किया गया था। 1933 में, एमी नोथर ने फिर से बीजगणित से संबंधित एक महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किया, तथाकथित स्कोलेम-नोथेर प्रमेय। हम इन प्रमेयों के विस्तृत सूत्रीकरण प्रदान नहीं करते हैं, क्योंकि वे बहुत ही अमूर्त गणितीय शब्दों और वस्तुओं का उल्लेख करते हैं जो केवल विशेषज्ञों के लिए उपलब्ध हैं।

एमी हर जगह छात्रों की एक वास्तविक भीड़ द्वारा पीछा किया गया था - शोर, अनियंत्रित, लेकिन बहुत स्मार्ट। ये "नोथेर के बच्चे" थे जिन्होंने उसकी बातें सुनीं। वे उसके साथ लंबी सैर पर जाते थे और नगरपालिका के स्विमिंग पूल में अक्सर तैरते थे, जहाँ एमी तैरती थी और डॉल्फ़िन की तरह गोता लगाती थी। कई "नोथेर बच्चे" बाद में महान गणितज्ञ बन गए, उनके गुरु से सीखे गए विचारों के लिए धन्यवाद, हालांकि उनका शैक्षणिक उपहार, इसलिए बोलने के लिए, गैर-मानक था: उन्होंने अपने छात्रों के साथ मुर्गियों के लिए एक माँ की तरह व्यवहार किया - वह हमेशा सख्त और मांग वाली थीं और न वह उनसे हटी। कई लोगों के लिए, वह एक मुर्गे की तुलना में एक मुर्गा की तरह दिखती थी, और उन्होंने उसे मर्दाना लिंग में उसके मन और कुछ कायरता के लिए सम्मान दिखाते हुए बुलाया - डेर नोथेर.

"बच्चे नोथेर».

यह समझने के लिए कि "नोथेर के बच्चों" का अनुचर कितना उत्सुक था, नाजी जर्मनी के समय का एक उपाख्यानात्मक मामला मदद करेगा। नताशा आर्टिन-ब्राउनश्वेग, पत्नी एमिल आर्टिना (1898–1962) ने बताया कि वे एक बार हैम्बर्ग मेट्रो में कैसे गए: छात्र नोएदर से पीछे नहीं रहे और बच्चों की तरह हैमेलिन के पाइड पाइपर के पीछे उसका पीछा किया। जैसे ही वे ट्रेन में चढ़े, एमी ने एमिल आर्टिन के साथ गणितीय विषयों पर चर्चा करना शुरू कर दिया, और अधिक से अधिक अपनी आवाज उठाई और अन्य यात्रियों पर ध्यान नहीं दिया। नोथेर के भाषण में, "फ्यूहरर" और "आदर्श" शब्द लगातार सुनाई देते थे - नताशा के महान आतंक के लिए, जो डरती थी कि वे गेस्टापो द्वारा हिरासत में लिए जाने वाले थे।

हालांकि, "बच्चों" में से कोई भी भयानक गेस्टापो को आसानी से समझा सकता है कि ये शब्द छल्ले के सिद्धांत से सिर्फ निर्दोष बीजगणितीय शब्द थे। उस समय, नाजियों ने बड़े पैमाने पर निगरानी स्थापित की, उन्होंने लोगों के निजी जीवन में हस्तक्षेप किया और सचमुच विश्वविद्यालयों को घेर लिया। एम्मी के छात्रों में से एक, जो यहूदी था और इसलिए विश्वविद्यालय में भाग लेने में असमर्थ था, संदेह से बचने के लिए हमला दस्ते के सदस्य के रूप में अपने घर पर अध्ययन करने आया था। शांतिवादी एमी ने माना कि विनम्रता के साथ क्या हो रहा था।

वह बीजगणित के सबसे आधुनिक वर्गों में लगी हुई थी। समय-समय पर, एमी ने टोपोलॉजी की ओर रुख किया, विशेष रूप से के सहयोग से पावेल सर्गेइविच अलेक्जेंड्रोव (1896–1982) . नोथेर की विशेषता बीजगणितीय संरचनाओं का विस्तृत अध्ययन था, जिसका उद्देश्य उनके विशेष गुणों को त्यागना और उन्हें यथासंभव सामान्य रूप से विचार करना था। एमी को असीमित अधिकार प्राप्त थे, और पूरे यूरोप से छात्र उसके पास आते थे। उनमें से एक, बार्थेल वैन डेर वेर्डन (1903–1996) , जो बाद में "आधुनिक बीजगणित" के लेखक के रूप में प्रसिद्ध हो गए, एक पुस्तक जो कई पीढ़ियों के लिए कैनन बन गई (इसी पुस्तक से, जिसके पन्ने गॉथिक प्रकार के अतुलनीय प्रतीकों के साथ बिखरे हुए थे, मैंने भी अध्ययन किया), में लिखा एमी नोथर का मृत्युलेख:

« एमी नोथर के लिए, संख्याओं, कार्यों और संचालन के बीच संबंध स्पष्ट, सामान्यीकरण योग्य और उपयोगी हो गए, जब वे विशिष्ट वस्तुओं से अलग हो गए और सामान्य वैचारिक कनेक्शन में कम हो गए।».

यहाँ आइंस्टीन ने क्या लिखा है:

« सैद्धांतिक गणित तार्किक विचारों का एक प्रकार का काव्य है। इसका लक्ष्य सबसे सामान्य विचारों की खोज करना है जो सरल, तार्किक और सामान्य तरीके से औपचारिक संबंधों की अधिकतम संभव सीमा का वर्णन करते हैं। तार्किक सुंदरता के इस पथ पर, हम ऐसे सूत्र खोजते हैं जो हमें प्रकृति के नियमों को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति देते हैं।».

मूल बीजगणितीय संरचनाएं

सार बीजगणित की मूल बातें पर इस खंड को ध्यान से पढ़ें, अन्यथा आप निम्नलिखित अनुभागों में कही गई बातों को कुछ भी नहीं समझ पाएंगे। यह खंड व्यापक लेकिन सरल है क्योंकि इसमें केवल परिभाषाएँ हैं।

कई बुनियादी बीजीय संरचनाएं हैं जिन्हें एक या अधिक संचालन के साथ सेट माना जाता है। हम खुद को उन संरचनाओं पर विचार करने तक सीमित रखते हैं जिन पर दो संचालन परिभाषित हैं, हेऔर । ये ऑपरेशन अक्सर होते हैं + और । कभी-कभी बाहरी संरचना के तथाकथित तीसरे नियम की आवश्यकता होती है ( एकभी-कभी अधिक), लेकिन हम केवल सबसे सरल मामलों पर विचार करेंगे। "एक तत्व है" शब्दों का लगातार उपयोग करने के बजाय, हम उन्हें प्रतीक के साथ बदल देंगे

.

एक समूह तत्वों का एक समूह है लेकिनउस पर परिभाषित एक ऑपरेशन के साथ जो निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है:

1) एक तटस्थ तत्व है एनऐसा है कि एनके विषय में ए = एके विषय में एन = एकिसी के लिए भी ए

2) प्रत्येक के लिए ए

लेकिनएक उलटा तत्व है ए-1 ऐसा कि एके विषय में ए -1 = ए-1 के बारे में ए = एन;

3) किसी के लिए ए, बी, सी

लेकिनसंबद्धता संपत्ति रखती है, जिसके अनुसार ( एके विषय में बी) के विषय में साथ= एके विषय में ( बीके विषय में साथ).

एक समूह को कम्यूटेटिव, या एबेलियन (नार्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के सम्मान में) कहा जाता है, यदि किसी के लिए ए, बी

लेकिनहमने जो ऑपरेशन परिभाषित किया है वह कम्यूटिव है, यानी संबंध एके विषय में बी = बीके विषय में ए.

यदि जोड़ (+) की संक्रिया को समूह पर परिभाषित किया जाता है, तो तत्व व्युत्क्रम ए, निरूपित - एऔर विपरीत कहा जाता है। इस मामले में तटस्थ तत्व को 0 से दर्शाया गया है।

यदि गुणन की संक्रिया () को समूह पर परिभाषित किया जाता है, तो अवयव उलटा ए, 1/ द्वारा निरूपित ए. इस मामले में तटस्थ तत्व को दर्शाया गया है 1.

4) किसी के लिए ए, बी, सी

और यह उचित है ( एक बी) साथ = ए (बी सी).

वितरण की संपत्ति के संबंध में संचालन ओ और एक दूसरे से संबंधित हैं:

5) ए (बीके विषय में साथ) = (एक बी) के विषय में ( एसी).

एक अंगूठी एक कम्यूटेटिव समूह है जिस पर एक और ऑपरेशन परिभाषित किया जाता है जिसमें सहयोगीता संपत्ति होती है:

अंगूठियों के उदाहरण प्राकृतिक संख्याएं हैं

पूर्ण संख्याएं

परिमेय संख्या

वास्तविक संख्या

और सम्मिश्र संख्या

(उनके लिए परिभाषित मोडल अंकगणित की परवाह किए बिना)। बहुपद भी छल्ले बनाते हैं।

अंगूठियों की दुनिया में ऑपरेशन के विषय मेंजोड़ के संचालन के समान कम्यूटेटिविटी है, इसलिए इसे साइन + द्वारा दर्शाया गया है। संक्रिया (सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि इसमें कम्यूटेटिविटी भी है) प्रतीक द्वारा निरूपित की जाती है · , गुणा की तरह।

उपसमूह या सबरिंग लेकिनकोई भी उपसमुच्चय होगा जो संचालन प्रतिबंधित होने पर एक समूह या रिंग बना रहेगा के विषय मेंया यह उपसमुच्चय। आदर्श एक विशेष सबरिंग है: यह सबरिंग पर

लेकिनऐसा कि कोई भी काम बी परऔर कोई अन्य तत्व जो से संबंधित है परया नहीं, संबंधित होगा पर. आदर्शों को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। आदर्शों के योग और गुणन का परिणाम भी आदर्श होगा। आदर्श की अवधारणा संख्या की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में उत्पन्न हुई। दिए गए दो आदर्शों के लिए मैंऔर जेअपने पास:

आदर्श को परिभाषित करें आईजेकुछ अधिक कठिन। यह सभी कार्यों से उत्पन्न आदर्श है हू, कहाँ पे एक्स

मैं, तुम जे. समान उत्पादों वाले सभी आदर्शों के प्रतिच्छेदन को जनित आदर्श कहा जाता है।

अखंडता के क्षेत्र को वलय कहा जाता है लेकिन, जिस पर ऑपरेशन के लिए · तथाकथित शून्य भाजक नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, इस वलय पर कोई तत्व नहीं हैं एऔर बीऐसा है कि अब = बी ० ए= 0.

इस मामले में, अंगूठी लेकिनकम्यूटेटिव है और इसमें एक पहचान तत्व होता है, यानी ऑपरेशन के लिए एक तटस्थ तत्व परिभाषित किया जाता है, जो एक इकाई की भूमिका निभाता है:

ए 1 = ए.

अब अखंडता के क्षेत्र पर विचार करें लेकिन 0 के बिना। इसे द्वारा निरूपित करें लेकिन* = लेकिन|(0). यदि ऑपरेशन · पर निर्धारित करता है लेकिन* कम्यूटेटिव ग्रुप, फिर लेकिनएक मैदान कहा जाता है। यदि एक लेकिन*कम्यूटिव नहीं है, तो लेकिनशरीर कहा जाता है। ऐसी मुश्किलों से न डरें: अगर अंगूठी लेकिनबेशक, तो यह प्रसिद्ध वेडरबर्न प्रमेय द्वारा क्रमविनिमेय है। अगर अंगूठी लेकिनअसीम रूप से, तो बीजगणितविदों के लिए स्वतंत्रता है।

आइए ए-मॉड्यूल पर विचार करें - आधुनिक बीजगणितीय दुनिया का सबसे दुर्लभ प्रकार। बाएं ए-मॉड्यूल को परिभाषित करने के लिए, हमें पहचान के साथ एक अंगूठी चाहिए लेकिनऔर कम्यूटेटिव समूह एम. तत्वों के साथ क्रिया ए, बी

लेकिनऔर तत्व एम (एम, एन एम) निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है:

1. (अब)एम= ए(बी.एम.)

2. (ए + बी) एन = हूँ + बी.एम.

3. ए(एम + एन) = हूँ + एक

4. 1एम = एम.

सही ए-मॉड्यूल को इसी तरह परिभाषित किया गया है; एक कम्यूटेटिव मॉड्यूल (या बस एक ए-मॉड्यूल) एक ऐसा मॉड्यूल है जो एक ही समय में दाएं और बाएं होता है। यदि A एक क्षेत्र है, तो A-मॉड्यूल को सदिश समष्टि कहा जाता है। यदि गुणन की संक्रिया को सदिश समष्टि के सदिशों के लिए परिभाषित किया जाता है, तो हमारे पास एक "बीजगणित" होता है। यहीं हम रुकेंगे। हालाँकि हमने जो परिभाषाएँ दी हैं, वे प्राथमिक हैं, यह बहुत संभव है कि पाठक इस खंड को प्राथमिक न कहें।

बीजगणित, आदर्शों और नोथेरियन वलय के बारे में कुछ शब्द

एमी नोथर का अधिकांश वैज्ञानिक कार्य अंगूठियों और आदर्शों - बीजीय संरचनाओं के लिए समर्पित था, जिस पर उन्होंने कई वर्षों तक काम किया। नोथेर ने उन पर इतना ध्यान क्यों दिया?

गणितज्ञ जिन कई वस्तुओं के साथ काम करते हैं वे वलय हैं: उदाहरण के लिए, वलय पूर्णांकों का समुच्चय हैं

और इसके क्रमिक विस्तार हैं,

वलय भी एक चर के बहुपद होते हैं जिनमें उपरोक्त वलयों के गुणांक होते हैं

[एक्स]। इसी तरह, वलय कई चर के बहुपद हैं

साथ ही अभिसरण श्रृंखला - संक्षेप में, बहुत कुछ।

लेकिन आदर्श क्या हैं और उन्हें इतना रोमांटिक नाम क्यों मिला? आइए गणित के इतिहास में एक छोटा सा विषयांतर करें। एक उदाहरण के रूप में द्विघात पूर्णांक पर विचार करें

[?-5] या

जो समान है। यह संख्याओं का एक समूह है जैसे ए + बी?-5, कहाँ एऔर बी- पूर्ण संख्याएं। दूसरे शब्दों में,

[?-5] एक अंगूठी है (इसे देखें), लेकिन यहां, गणितीय रूप से बोलते हुए, हम निषिद्ध क्षेत्र में प्रवेश कर रहे हैं। हम विभाज्यता के मानक गुणों और इस तथ्य के आदी हैं कि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड हमेशा अद्वितीय होता है। उदाहरण के लिए, संख्या 21 पर विचार करें। हमारे पास 21 = 3 7 है और यह वह जगह है जहां गुणनखंड समाप्त होता है: 21 को एक अद्वितीय तरीके से प्रमुख कारकों में विभाजित किया जा सकता है, और ये कारक 3 और 7 होंगे। यह कथन मुख्य प्रमेय से अनुसरण करता है। अंकगणित का: सेट पर

किसी भी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन अद्वितीय होता है। मंच पर

[?-5] यह कथन अब मान्य नहीं होगा: यहां हम 21 को दो तरह से अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित कर सकते हैं:

3 7 \u003d (4 + ?-5) (4 - ?-5) \u003d 21.

इस सेट पर, प्रमुख कारकों में अपघटन अब केवल एक ही नहीं होगा, जिस पर उनकी सबसे बड़ी नाराजगी थी, जिस पर ध्यान दिया गया था अर्न्स्ट कुमेर (1810–1893) . यह कथन, जो बहुत महत्वपूर्ण नहीं लगता है और सिर्फ एक पंक्ति में लिखा गया है, ने XIX सदी के बीजगणितों को फर्मेट के प्रमेय को साबित करने से रोक दिया और उन्हें बहुत परेशानी दी।

किसी तरह स्थिति को ठीक करने और समस्या को हल करने के लिए, कुमेर ने स्वयं आदर्श संख्याएँ पेश कीं। वे बहुत उपयोगी नहीं थे, क्योंकि वे अब संबंधित नहीं थे

[?-5], लेकिन दूसरे के लिए, बड़ी अंगूठी। ये सम संख्याएँ नहीं थीं - आज हम इन्हें संख्याओं के समुच्चय कहेंगे जो एक दूसरे के तुल्य हैं। उस समय के गणितज्ञ सेट फैक्टर और होमोमोर्फिज्म की वर्तमान में आम तौर पर स्वीकृत अवधारणाओं से अनजान थे, और यह केवल था रिचर्ड डेडेकिंड (1831–1916) . उनके बाद अन्य बीजगणित विज्ञानी थे जिन्होंने क्षेत्र को साफ किया और खुदाई शुरू की। एमी नोथर ने उनमें एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया।

आदर्शों की एक और उल्लेखनीय विशेषता है - हम आदर्शों की एक श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं। हम नोदर का अनुसरण नहीं करेंगे और एक अमूर्त अवधारणा को समझाने की कोशिश करेंगे, लेकिन हम खुद को एक बहुत ही सरल उदाहरण देने के लिए सीमित कर देंगे - पूर्णांकों की अंगूठी के आदर्श

.

इस दुनिया में (यह अखंडता का एक क्षेत्र है, जो कि एक "अच्छा" रिंग है), अंकगणित का मुख्य प्रमेय शो को नियंत्रित करता है: सभी संख्याओं के लिए, प्रमुख कारकों में अपघटन अद्वितीय है, और कुछ भी सद्भाव को परेशान नहीं करता है। इस दुनिया में आदर्श बहुसंख्यक होंगे एन

पूर्णांक गुणकों से मिलकर एन. ऐसे आदर्शों की संख्या, साथ ही स्वयं संख्याएँ, असीम रूप से बड़ी होंगी। आदर्शों के योग और गुणनफल को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है:

आदर्श, जो संख्याओं के समुच्चय होते हैं, और साधारण संख्याएँ उसी तरह व्यवहार करती हैं, उसी तरह गुणनखंडित होती हैं, और अंकगणित की दृष्टि से समतुल्य होती हैं। वे विभाज्यता जैसे कठिन पहलू में भी समकक्ष हैं। वास्तव में, " बीद्वारा विभाजित ए» आदर्शों के लिए b . के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

नोदर की प्रतिभा इस तथ्य में निहित है कि उन्होंने सदस्यता समारोह द्वारा एकजुट होकर आदर्शों की एक श्रृंखला बनाई

जो एक दूसरे से उनकी विभाज्यता को दर्शाता है।

चूंकि कोई भी विभाज्यता संबंध एक निश्चित संख्या के साथ जल्दी या बाद में समाप्त होता है, जल्दी या बाद में आदर्शों की कोई श्रृंखला भी समाप्त हो जाएगी। आदर्शों की "अच्छे" श्रृंखलाएं अनिवार्य रूप से समाप्त हो जाती हैं, अर्थात वे परिमित हैं। वे वलय जिन पर आदर्शों की अनंत श्रृंखलाएँ नहीं होती हैं, नोथेरियन वलय कहलाते हैं। इन्हीं छल्लों पर एमी ने अपने शोध में विशेष ध्यान दिया।

बाद में, बीजगणितविदों ने निम्नलिखित कथनों की तुल्यता सिद्ध की।

1. अंगूठी लेकिननोथेरियन है (दूसरे शब्दों में, उस पर आदर्शों की बढ़ती श्रृंखलाएं सीमित हैं)।

2. किसी भी आदर्श पर लेकिनअंतिम रूप से उत्पन्न होता है।

3. आदर्शों का कोई भी सेट लेकिनसबसे बड़ा आदर्श समाहित है।

1999 में, ऑस्ट्रेलियन मैथमैटिकल फ़ाउंडेशन ने आदर्श 18 . के लिए लगातार बढ़ती श्रृंखलाओं वाली टी-शर्ट का उत्पादन किया

मंच पर

टी-शर्ट के सीमित आकार ने हमें एक और उदाहरण का उपयोग करने से रोका। टी-शर्ट पर आदर्शों की निम्नलिखित श्रृंखलाएँ दर्शाई गई थीं:

जैसा कि अपेक्षित था, ये श्रृंखलाएं परिमित हैं, और वलय

नोथेरियन है। वैसे, हिल्बर्ट ने साबित किया कि अगर अंगूठी ए नोथेरियन है, तो बहुपद अंगूठी भी नोथेरियन होगी। लेकिन[एक्स].

प्रमेय ईएमआईऔर शतरंज का खिलाड़ी

बीजगणित इमानुएल लास्कर (1868–1941) एक उत्कृष्ट गणितज्ञ और विश्व शतरंज चैंपियन थे। उन्होंने सामान्य, सरल और प्राथमिक आदर्शों पर विस्तार से विचार किया। हम अमूर्त बीजगणित में बहुत गहराई से नहीं जाएंगे और वलयों पर विचार करेंगे लेकिन, जो अखंडता क्षेत्र भी हैं। इन छल्लों पर अनुमानित आदर्श को आदर्श कहा जाता है मैं, मूल रिंग से अलग लेकिन, जिस पर अब

मैंऔर ए मैंमौजूद एनऐसा है कि बी नहीं मैं. (पर एन= 1 इस आदर्श को सरल कहा जाता है।) लास्कर ने अपने आदर्शों की एक दिलचस्प संपत्ति के आधार पर एक बहुत विस्तृत वर्ग के छल्ले (आज उन्हें लास्कर रिंग कहा जाता है) का वर्णन किया। किसी भी आदर्श को प्राथमिक आदर्शों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एमी नोथेर ने एक प्रमेय सिद्ध किया जिसे आज नोएदर-लास्कर प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो इस प्रकार है:

"कोई भी नोथेरियन अखंडता डोमेन एक लास्कर रिंग है।"

अमूर्त बीजगणित से संबंधित यह प्रमेय दो प्रतीत होने वाली बहुत दूर की अवधारणाओं को जोड़ता है - आदर्शों की परिमित श्रृंखला और प्राथमिक आदर्शों के प्रतिच्छेदन। आपने ध्यान नहीं दिया होगा (और, वास्तव में, आपको इसके लिए बिल्कुल भी माफी नहीं मांगनी चाहिए) कि अगर हम रिंग पर लास्कर-नोथेर प्रमेय लागू करते हैं

तब हमें अंकगणित का मूल प्रमेय प्राप्त होता है: किसी भी पूर्णांक को एक अद्वितीय तरीके से अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। शब्द "नोथेरियन रिंग", जिसका प्रयोग आज हर जगह किया जाता है, महान फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा पेश किया गया था क्लाउड शेवेली (1909–1984) , बोर्बाकी समूह के संस्थापकों में से एक।

कहानी का अंत

कहने की जरूरत नहीं है, पहले से ही 1930 के दशक में, एमी नोथर को गणितज्ञों के बीच अविश्वसनीय सम्मान प्राप्त था। इसका एक उदाहरण 1932 की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में उनकी भागीदारी है। अगले वर्ष, जर्मनी में नाज़ी सत्ता में आए, और बड़े दृढ़ संकल्प के साथ, जिसकी तुलना केवल उनकी अपनी मूर्खता से की जा सकती थी, उन्होंने सभी यहूदी शिक्षकों को विश्वविद्यालयों से निकालना शुरू कर दिया। एमी भी यहूदी-विरोधी से पीड़ित थी। उसके दोस्तों और परिचितों ने व्यर्थ विरोध किया - उसे और उसके कई सहयोगियों (थॉमस मान, अल्बर्ट आइंस्टीन, स्टीफन ज़्विग, सिगमंड फ्रायड, मैक्स बॉर्न और अन्य) को जर्मनी में पढ़ाना बंद करने और देश छोड़ने के लिए मजबूर किया गया (जैसा कि बाद में स्पष्ट हो गया, सभी के पास ऐसा अवसर नहीं था) अन्य गैर-आर्य जातियों के सदस्यों के बीच अपने बुरे विचारों को फैलाने का। आधुनिक बीजगणित में नाजियों ने वास्तव में क्या हानिकारक देखा, हम कभी नहीं जान पाएंगे। सबसे अधिक संभावना है, नाजियों को खुद इस सवाल का जवाब नहीं पता था।

एमी के भाई, फ्रिट्ज, टॉम्स्क चले गए, और एमी खुद, जो कुछ समय के लिए या तो ऑक्सफोर्ड या मॉस्को (वह यूएसएसआर में समाजवादी क्रांति के लिए एक निश्चित सहानुभूति थी) के लिए झुक गई, रॉकफेलर के प्रयासों के माध्यम से संयुक्त राज्य में समाप्त हो गई। नींव।

यहूदी-विरोधी और उसके प्रसार के बारे में कई किताबें लिखी गई हैं। यह कहना उपयोगी होगा कि द्वितीय विश्व युद्ध में संयुक्त राज्य अमेरिका के प्रवेश से पहले, कुछ विश्वविद्यालयों में यहूदी-विरोधीवाद गति प्राप्त कर रहा था, जिन्हें ज्ञान के मंदिर और उदारवाद का गढ़ माना जाता था, विशेष रूप से न्यू जर्सी में प्रिंसटन विश्वविद्यालय में। यही कारण है कि करोड़पति और परोपकारी लोगों के यहूदी परिवार, बैम्बर्गर्स ने प्रिंसटन में उन्नत अध्ययन संस्थान को कई मिलियन डॉलर का दान दिया, जो इस तरह के पूर्वाग्रहों से मुक्त एक बिल्कुल तटस्थ संस्थान है। इस दान ने अंततः संस्थान को एक आदर्श शोध संस्थान बनने में मदद की। प्रिंसटन में, वैज्ञानिकों ने विचारों को रचा, केवल वैज्ञानिक कार्यों के लिए भुगतान किया गया, और उन्हें शिक्षण से छूट दी गई। संस्थान कई यूरोपीय प्रवासियों के लिए एक आश्रय स्थल बन गया जो पूर्ण या आधे यहूदी थे। उनमें आइंस्टीन, वेइल, वॉन न्यूमैन और गोडेल थे। हालांकि एमी नोथर ने संस्थान में व्याख्यान दिया और सेमिनार आयोजित किए, और गणित में उनकी उपलब्धियां पर्याप्त से अधिक थीं, वह कभी भी प्रिंसटन की पूर्ण कर्मचारी नहीं बनीं - केवल इसलिए कि वह एक महिला थीं। नोएदर के काम का मुख्य स्थान पेन्सिलवेनिया में न्यू जर्सी के पास स्थित ब्रायन मावर कॉलेज था - दुनिया का सबसे अच्छा महिला कॉलेज। एमी कभी-कभी भूल जाती थी कि वह अमेरिका में है, और गणित के बारे में बहस के बीच, वह जर्मन में गाली-गलौज करने लगी।

अमेरिका पहुंचने के ठीक दो साल बाद, डॉक्टरों ने पाया कि एमी को गर्भाशय का कैंसर था। उसका एक उत्कृष्ट ऑपरेशन था, लेकिन एक एम्बोलिज्म से उसकी मृत्यु हो गई। दिलचस्प बात यह है कि मृत्युलेखों के हिमस्खलन के बीच, वैन डेर वेर्डन द्वारा हस्ताक्षरित एक, जर्मनी में बिना किसी समस्या के प्रकाशित हुआ था - नाजी सेंसर बीजगणित में बहुत अच्छे नहीं रहे होंगे।

एमी नोथर के नाम पर चंद्रमा और क्षुद्रग्रह 7001 के दूर स्थित एक क्रेटर का नाम भी रखा गया है।

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1977, नंबर 5 रॉबर्ट शर्मन टाउन एमी चैलेंज Pic। वेलेरिया कारसेवा एमी रहते थे - हम सभी ने उस शब्द का इस्तेमाल किया - एक बड़ी इमारत में जो कभी विश्वविद्यालय के रिजर्व अधिकारी प्रशिक्षण सेवा के लिए एक शस्त्रागार के रूप में काम करती थी। दीवारों को हल्के भूरे रंग में रंगा गया

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प्रमुख जर्मन गणितज्ञ, "अब तक की सबसे बड़ी महिला गणितज्ञ।"

एर्लांगेन में गणितज्ञ मैक्स नोथर के परिवार में जन्मे। उन्होंने एर्लांगेन विश्वविद्यालय में अध्ययन किया, जहां उनके पिता ने पहली बार एक स्वयंसेवक के रूप में काम किया, 1904 से, जब महिला शिक्षा की अनुमति दी गई थी, तब उन्हें आधिकारिक तौर पर नामांकित किया गया था। वह गणितज्ञ पॉल गॉर्डन की छात्रा थीं, जिनके मार्गदर्शन में उन्होंने 1907 में आविष्कारों के सिद्धांत पर अपने शोध प्रबंध का बचाव किया।

1915 की शुरुआत में, नोथेर ने सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत के विकास में योगदान दिया; आइंस्टीन, गणित में विश्व नेता डेविड हिल्बर्ट को लिखे एक पत्र में, नोएदर की "अंतर्ज्ञानी गणितीय सोच" के लिए प्रशंसा व्यक्त की।

1916 में, नोथेर गोटिंगेन चले गए, जहां प्रसिद्ध गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट और फेलिक्स क्लेन ने सापेक्षता के सिद्धांत पर काम करना जारी रखा, और उन्हें अपरिवर्तनीय सिद्धांत के क्षेत्र में नोथर के ज्ञान की आवश्यकता थी। हिल्बर्ट का नोदर पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा, जिससे वह स्वयंसिद्ध पद्धति का समर्थक बन गया। उन्होंने गौटिंगेन विश्वविद्यालय में नोथेर को प्रिवेटडोजेंट बनाने की कोशिश की, लेकिन प्रोफेसरों, ज्यादातर मानवतावादियों के पूर्वाग्रहों के कारण उनके सभी प्रयास विफल रहे। हिल्बर्ट का वाक्यांश ज्ञात हो गया:

मुझे समझ में नहीं आता कि उम्मीदवार का लिंग उसे प्रिवेटडोजेंट के रूप में चुनने के खिलाफ तर्क के रूप में क्यों काम करता है। आखिर यह विश्वविद्यालय है, पुरुषों का स्नानागार नहीं!

नोथेर, हालांकि, बिना किसी पद के, अक्सर हिल्बर्ट के लिए व्याख्यान देते थे। प्रथम विश्व युद्ध की समाप्ति के बाद ही वह 1919 में प्रिवेटडोजेंट बनने में सक्षम हुई, फिर (1922) एक सुपरन्यूमेरी प्रोफेसर।

नोएदर की वैज्ञानिक गतिविधि का सबसे फलदायी काल 1920 के आसपास शुरू होता है, जब वह अमूर्त बीजगणित में एक पूरी नई दिशा बनाता है। 1922 से वह गौटिंगेन विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर के रूप में काम कर रही हैं, एक आधिकारिक और तेजी से बढ़ते वैज्ञानिक स्कूल का नेतृत्व कर रही हैं।

समकालीनों ने नोथर को बहुत सुंदर नहीं, बल्कि अत्यंत बुद्धिमान, आकर्षक और मिलनसार महिला के रूप में वर्णित किया है। उनकी स्त्रीत्व बाहरी रूप से नहीं, बल्कि उनके छात्रों के लिए एक मार्मिक चिंता में, उनकी और उनके सहयोगियों की मदद करने के लिए उनकी निरंतर तत्परता में प्रकट हुई थी। उनके समर्पित मित्रों में विश्व प्रसिद्ध वैज्ञानिक थे: हिल्बर्ट, हरमन वेइल, एडमंड लैंडौ, डच गणितज्ञ एल। ब्रौवर, सोवियत गणितज्ञ पी.एस. अलेक्जेंड्रोव, पी.एस. उरीसन और कई अन्य।

नोदर ने सामाजिक लोकतांत्रिक विचारों का पालन किया। अपने जीवन के 10 वर्षों के लिए उन्होंने यूएसएसआर के गणितज्ञों के साथ सहयोग किया; 1928/29 शैक्षणिक वर्ष में, उन्होंने मॉस्को विश्वविद्यालय में व्याख्यान दिया, जहाँ उन्होंने एल.एस. पोंट्रीगिन और विशेष रूप से पी.एस. अलेक्जेंड्रोव को प्रभावित किया, जो पहले अक्सर गोटिंगेन का दौरा करते थे। पीएस अलेक्जेंड्रोव ने याद किया:

आदर्शों के सामान्य सिद्धांत पर एमी नोएदर के व्याख्यान गोटिंगेन में उस गर्मी में मैंने जो कुछ भी सुना, उसका शिखर था ... बेशक, डेडेकिंड ने सिद्धांत की शुरुआत की, लेकिन केवल शुरुआत: सभी समृद्धि में आदर्शों का सिद्धांत इसके विचार और तथ्य, एक सिद्धांत जिसका आधुनिक गणित पर इतना बड़ा प्रभाव पड़ा, वह है एमी नोथर की रचना। मैं इसका न्याय कर सकता हूं क्योंकि मैं डेडेकाइंड के काम और आदर्श सिद्धांत पर नोदर के मुख्य कार्यों दोनों को जानता हूं।

नोथेर के व्याख्यानों ने मुझे और उरीसोहन दोनों को आकर्षित किया। वे रूप में प्रतिभाशाली नहीं थे, लेकिन उन्होंने अपनी सामग्री की समृद्धि से हमें जीत लिया। हमने एमी नोथर को लगातार एक सुकून भरे माहौल में देखा और उनके साथ आदर्शों के सिद्धांत के विषयों और हमारे काम के विषयों पर बहुत सारी बातें कीं, जिसमें उनकी तुरंत दिलचस्पी थी।

हमारा परिचय, जो इस गर्मी में स्पष्ट रूप से शुरू हुआ, अगली गर्मियों में बहुत गहरा हो गया, और फिर, उरीसोहन की मृत्यु के बाद, उस गहरी गणितीय और व्यक्तिगत मित्रता में बदल गया, जो एमी नोथर और मेरे बीच उसके जीवन के अंत तक मौजूद थी। मेरी ओर से इस मित्रता की अंतिम अभिव्यक्ति अगस्त 1935 में मॉस्को इंटरनेशनल टोपोलॉजिकल कॉन्फ्रेंस की एक बैठक में एमी नोथर की याद में एक भाषण था।

1932: नोथेर, एमिल आर्टिन के साथ, गणित में उपलब्धियों के लिए एकरमैन-टोबनेर पुरस्कार प्राप्त करता है।

1933 में नाजियों के सत्ता में आने के बाद, एक यहूदी के रूप में नोथर को संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रवास करना पड़ा, जहां वह ब्रायन मावर (पेंसिल्वेनिया) में महिला कॉलेज में एक शिक्षक और प्रिंसटन में उन्नत अध्ययन संस्थान में एक अतिथि प्रोफेसर बन गईं। . एमी के छोटे भाई, प्रतिभाशाली गणितज्ञ फ्रिट्ज नोथर, यूएसएसआर के लिए रवाना हो गए, जहां उन्हें "सोवियत विरोधी भावनाओं" के लिए सितंबर 1941 में गोली मार दी गई थी।

शानदार गणितीय उपलब्धियों के बावजूद, नोएदर का निजी जीवन नहीं चल पाया। एक बदसूरत महिला होने के कारण उसने कभी शादी नहीं की। गैर-मान्यता, निर्वासन, एक विदेशी भूमि में अकेलापन, ऐसा लगता है, उसके चरित्र को खराब कर देना चाहिए था। हालाँकि, वह लगभग हमेशा शांत और परोपकारी दिखाई देती थी। हरमन वेल ने लिखा है कि खुश भी।

एमी नोथर की 1935 में एक कैंसरग्रस्त ट्यूमर को हटाने के असफल ऑपरेशन के बाद मृत्यु हो गई।

शिक्षाविद पी.एस. अलेक्जेंड्रोव ने लिखा:

यदि आज के गणित का विकास निस्संदेह बीजगणित, बीजगणितीय अवधारणाओं और बीजगणितीय विधियों के सबसे विविध गणितीय सिद्धांतों में प्रवेश के संकेत के तहत आगे बढ़ता है, तो यह एमी नोथर के कार्यों के बाद ही संभव हुआ।

आइंस्टीन ने उनकी मृत्यु पर एक नोट में नोथेर को गणित में सबसे महान रचनात्मक प्रतिभाओं में स्थान दिया।

वैज्ञानिक गतिविधि

मूल रूप से, नोएदर की रचनाएँ बीजगणित से संबंधित हैं, जहाँ उन्होंने एक नई दिशा के निर्माण में योगदान दिया, जिसे अमूर्त बीजगणित के रूप में जाना जाता है। नोथेर ने इस क्षेत्र में निर्णायक भूमिका निभाई (एमिल आर्टिन और उनके छात्र बी एल वैन डेर वेर्डन के साथ)। हरमन वेइल ने लिखा:

वैन डेर वेर्डन के आधुनिक बीजगणित (अब केवल बीजगणित) के दूसरे खंड की सामग्री का अधिकांश हिस्सा एमी नोथर के कारण होना चाहिए।

शब्द "नोथेरियन रिंग", "नोथेरियन मॉड्यूल", सामान्यीकरण प्रमेय और लास्कर-नोदर आदर्श अपघटन प्रमेय अब मौलिक हैं।

नोथेर का टोपोलॉजी के बीजगणित पर बहुत प्रभाव था, यह दर्शाता है कि तथाकथित। "बेट्टी नंबर" केवल होमोलॉजी समूहों के रैंक हैं।

नोथेर ने गणितीय भौतिकी में एक महान योगदान दिया, जहां सैद्धांतिक भौतिकी के मौलिक प्रमेय (1918 में प्रकाशित) का नाम उनके नाम पर रखा गया है, जो सिस्टम समरूपता के साथ संरक्षण कानूनों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए, समय की एकरूपता ऊर्जा के संरक्षण के कानून पर जोर देती है)। यह फलदायी दृष्टिकोण लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ द्वारा "सैद्धांतिक भौतिकी" पुस्तकों की प्रसिद्ध श्रृंखला का आधार है। नोएदर का प्रमेय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहां एक निश्चित समरूपता समूह के अस्तित्व से उत्पन्न होने वाले संरक्षण कानून आमतौर पर अध्ययन के तहत वस्तुओं के गुणों के बारे में जानकारी का मुख्य स्रोत होते हैं।

नोथेर के विचारों और वैज्ञानिक विचारों का कई गणितज्ञों और भौतिकविदों पर व्यापक प्रभाव पड़ा। उन्होंने कई छात्रों की परवरिश की, जो विश्व स्तरीय वैज्ञानिक बने और नोथर द्वारा खोजी गई नई दिशाओं को जारी रखा।

गणितज्ञ एमी नोथर एक प्रतिभाशाली व्यक्ति थे जिन्होंने भौतिकी में एक नया दृष्टिकोण शुरू किया

नोएदर की प्रमेय सैद्धांतिक भौतिकी में है कि जीव विज्ञान में प्राकृतिक चयन क्या है। यदि आप एक ऐसा समीकरण लिखते हैं जो सैद्धांतिक भौतिकी के बारे में हम जो कुछ भी जानते हैं उसे सारांशित करता है, तो उसके एक छोर पर फेनमैन, श्रोडिंगर, मैक्सवेल और डिराक के नाम होंगे। लेकिन अगर आप समीकरण के दूसरी तरफ नोथेर नाम लिखते हैं, तो यह उन सभी के लिए होगा।

एमी नोथर का जन्म बवेरिया में 1882 में हुआ था। उसने एक बोर्डिंग स्कूल में पढ़ाई की और एक डिप्लोमा प्राप्त किया जो भाषा सिखाने का अधिकार देता है - फ्रेंच और अंग्रेजी। हालाँकि, लड़की ने जल्द ही महसूस किया कि गणित, जो उसके पिता और भाई ने एर्लांगेन विश्वविद्यालय में अध्ययन किया था, में उसकी बहुत अधिक रुचि थी। महिलाओं को उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश करने की अनुमति नहीं थी, लेकिन एमी ने ए प्लस के साथ प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण की और एक स्वयंसेवक के रूप में व्याख्यान में भाग लिया जब तक कि विश्वविद्यालय ने लड़कियों को अध्ययन के लिए स्वीकार करना शुरू नहीं किया। और नोथेर पीएच.डी. प्राप्त करने में सक्षम था।

लड़की ने शोध कार्य में संलग्न होना शुरू कर दिया और, कोई कह सकता है, सामान्य बीजगणित का आविष्कार किया। यह अनुशासन बीजीय प्रणालियों (बीजीय संरचनाओं) का अध्ययन करता है और उन्हें सबसे अमूर्त रूपों में कम करता है। नोथेर का लक्ष्य यह समझना था कि गणितीय विचार एक दूसरे के साथ कैसे संबंध रखते हैं और सामान्य गणितीय संरचनाओं का निर्माण करते हैं। उसने कभी यह दावा नहीं किया कि उसने कुछ क्रांतिकारी खोज लिया है, लेकिन उसका काम गणित में एक नया दृष्टिकोण था।

जब नोदर एर्लांगेन विश्वविद्यालय में अपना महत्वपूर्ण काम लिख रहे थे, तब उनके पास न तो कोई पद था और न ही कोई वेतन। केवल एक चीज जो वह कर सकती थी, वह यह थी कि समय-समय पर अपने पिता को गणित के व्याख्यान में बदल दिया, जब वह बीमार थे।

सात साल बाद, गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट और फेलिक्स क्लेन ने नोथर को गोटिंगेन विश्वविद्यालय में उनके साथ काम करने के लिए आमंत्रित किया। वे चाहते थे कि आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में एक महिला ऊर्जा संरक्षण की समस्या को हल करे। ऐसा करने के प्रयास में, एमी ने नोएदर के प्रमेय को तैयार किया, इस प्रकार सैद्धांतिक भौतिकी में सबसे महत्वपूर्ण योगदानों में से एक बना।

आइंस्टीन ने प्रमेय को "स्पष्ट गणितीय सोच" के उदाहरण के रूप में बताया। इसके अलावा, प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है: एक भौतिक प्रणाली की प्रत्येक निरंतर समरूपता एक निश्चित संरक्षण कानून से मेल खाती है। समरूपता का अर्थ है कि भौतिक प्रक्रिया - या इसका गणितीय विवरण - जब संस्थापन का कोई पहलू बदलता है तो वही रहता है।

उदाहरण के लिए, एक आदर्श लोलक जो अनिश्चित काल तक आगे-पीछे घूमता रहता है, समय में सममित होता है। नोएथर के प्रमेय के आधार पर, हर चीज जिसमें समय समरूपता होती है, ऊर्जा का संरक्षण करती है। इस प्रकार, पेंडुलम ऊर्जा नहीं खोता है। यदि सिस्टम में घूर्णी समरूपता है - अर्थात, यह अंतरिक्ष में अभिविन्यास की परवाह किए बिना उसी तरह काम करता है - तो यह कोणीय गति को संरक्षित करता है। इसका मतलब है कि यदि वस्तु शुरू में घूम रही है, तो वह अनिश्चित काल तक घूमती रहेगी। ग्रहों की कक्षाओं में हम जो स्थिरता देखते हैं, वह समरूपता का परिणाम है जो एक साथ काम करती है - पिंडों की ऊर्जा और कोणीय गति दोनों का संरक्षण।

नोएथर का प्रमेय हमें प्रयोगों के परिणामों और उनके भौतिकी के मौलिक गणितीय विवरण के बीच गहरे संबंध बनाने की अनुमति देता है। इस मामले में भौतिकी के बारे में सोचना सैद्धांतिक छलांग के प्रकार का आधार बनाता है जिसके कारण भौतिकविदों ने एलएचसी अनुसंधान द्वारा कण का पता लगाने से बहुत पहले हिग्स बोसोन की सैद्धांतिक रूप से भविष्यवाणी की थी। समरूपता भौतिकी के लिए इतनी मौलिक है कि कण भौतिकी के मानक मॉडल को अक्सर इसके समरूपता समूहों के नाम पर रखा जाता है: यू (1) × एसयू (2) × एसयू (3)।

बेशक, यह बहुत अच्छा है कि नोदर ने भौतिकी में एक क्रांतिकारी क्रांति की - लेकिन साथ ही उन्होंने बिना वेतन के काम करना जारी रखा, अक्सर हिल्बर्ट के लिए व्याख्यान देते हुए और उनके सहायक होने के नाते। 1922 में, अपने प्रमेय के प्रकाशन के 4 साल बाद, महिला को एक स्वतंत्र सहायक प्रोफेसर का दर्जा मिला, और वे उसे एक छोटा सा वेतन देने लगे। एमी ने पूरे यूरोप में व्याख्यान दिया।

जब नाज़ी सत्ता में आए, तो नोथर ने खुद को नौकरी से निकाल लिया क्योंकि वह यहूदी थीं। उन्हें अमेरिका जाना पड़ा, जहां वह ब्रायन मावर में महिला कॉलेज में एक अतिथि प्रोफेसर बन गईं। इसके अलावा, एमी नोथर ने प्रिंसटन में साप्ताहिक व्याख्यान दिए। ब्रायन मावर में, नोथर ने पहली बार महिला गणितज्ञों के साथ काम करना शुरू किया। यह दुखद है कि उसे इसका आनंद लेने के लिए केवल 2 साल दिए गए। नोथर की 1935 में 53 वर्ष की आयु में एक कैंसर ट्यूमर को हटाने के असफल ऑपरेशन के बाद मृत्यु हो गई।

आइंस्टीन सहित उस समय के कई महान भौतिकविदों और गणितज्ञों ने एमी की प्रशंसा की। उनके युग में पंडितों ने महिलाओं को विज्ञान से दूर रखने के लिए कड़ी मेहनत की। लेकिन नोदर ने इस नियम पर विजय प्राप्त की (संभवतः आइंस्टीन के समर्थन से)।

आज भी गणित और भौतिकी में, हम महिला और पुरुष वैज्ञानिकों के प्रति दृष्टिकोण में विषमता देख सकते हैं (इसे "विज्ञान में मटिल्डा प्रभाव" कहा जाता है)। जैसा कि नोदर ने कहा, एक बार समरूपता टूट जाने पर, कुछ खो जाता है।

केटी मैके
अमूर्त बीजगणित का आविष्कार करने वाली महिला // कॉसमॉस पत्रिका
अनुवाद: कत्युषा शुतोवा

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एलेक्सी लेविन

ठीक सौ साल पहले, गोटिंगेन मैथमैटिकल सोसाइटी के एक सेमिनार में, एक प्रमेय प्रस्तुत किया गया था जो अंततः गणितीय और सैद्धांतिक भौतिकी में सबसे महत्वपूर्ण उपकरण बन गया। यह एक भौतिक प्रणाली की प्रत्येक निरंतर समरूपता को एक निश्चित संरक्षण कानून से जोड़ता है (उदाहरण के लिए, यदि कणों की एक पृथक प्रणाली में प्रक्रियाएं समय परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, तो इस प्रणाली में ऊर्जा संरक्षण कानून संतुष्ट है)। एमी नोएदर ने इस प्रमेय को सिद्ध किया - और यह परिणाम, अमूर्त बीजगणित पर सबसे महत्वपूर्ण कार्यों के साथ-साथ, योग्य रूप से कई लोगों को गणित के इतिहास में नोथेर को सबसे महान महिला मानने की अनुमति देता है।

एलेक्सी लेविन

जुलाई 1918 में, गॉटिंगेन के वैज्ञानिक हलकों ने एक गणितीय प्रमेय के प्रमाण के बारे में सीखा, जिसे आधुनिक समय के मौलिक भौतिकी का सबसे बहुमुखी और प्रभावी उपकरण बनना तय था। व्याख्यान दोनों ही प्रमेय और सैद्धांतिक भौतिकी की प्रगति में इसकी भूमिका और इसके लेखक, महान गणितज्ञ एमी नोथर के बहुत ही गैर-मानक व्यक्तित्व और जीवन के लिए समर्पित है। 19वीं शताब्दी में समकालीन रूस और रूसी इतिहास दोनों के साथ नोथेर के संबंधों पर विशेष ध्यान दिया जाएगा।

एमिल अख्मेदोव

आपेक्षिकता के विशेष सिद्धांत में कौन-से अवलोकन निहित हैं? यह अभिगृहीत कैसे किया गया था कि प्रकाश की गति संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर नहीं करती है? नोएथर का प्रमेय किस बारे में है? और क्या ऐसी घटनाएं हैं जो एसआरटी का खंडन करती हैं? भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर एमिल अख्मेदोव इस बारे में बात करते हैं।

एमिल अख्मेदोव

संदर्भ के विभिन्न फ्रेमों में भौतिक नियम कैसे बदलते हैं? अंतरिक्ष की वक्रता का भौतिक अर्थ क्या है? और ग्लोबल पोजिशनिंग सिस्टम कैसे काम करता है? भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर एमिल अख्मेदोव, गैर-जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली, सहप्रसरण और अंतरिक्ष वक्रता के भौतिक अर्थ के बारे में बात करते हैं।

एमिल अख्मेदोव

भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर एमिल अखमेदोव लोरेंत्ज़ परिवर्तनों, सापेक्षता के विशेष सिद्धांत, जुड़वा बच्चों के विरोधाभास और बार और खलिहान के विरोधाभास के बारे में बात करते हैं।

दिमित्री कज़ाकोवी

क्वार्क की तीन पीढ़ियों की खोज कैसे हुई? कौन से सिद्धांत कणों की परस्पर क्रिया का वर्णन करते हैं? क्वार्क में क्या गुण होते हैं? भौतिक और गणितीय विज्ञान के डॉक्टर दिमित्री काज़ाकोव प्राथमिक कणों के प्रकार, समूह सिद्धांत और क्वार्क की तीन पीढ़ियों की खोज के बारे में बात करते हैं।

इवान लोसेव

शास्त्रीय (हैमिल्टनियन) यांत्रिकी की आम तौर पर स्वीकृत औपचारिकता का तात्पर्य है कि वेधशालाएं पॉइसन बीजगणित बनाती हैं, और सिस्टम का विकास हैमिल्टनियन समीकरण द्वारा दिया जाता है। पारंपरिक क्वांटम यांत्रिक औपचारिकता में, वेधशाला हिल्बर्ट अंतरिक्ष में स्वयं-संयोजक ऑपरेटर हैं, और विकास हाइजेनबर्ग समीकरण द्वारा दिया गया है। दोनों समीकरण समान हैं, लेकिन प्रेक्षणों की प्रकृति पूरी तरह से भिन्न है। यह शास्त्रीय से क्वांटम और इसके विपरीत दोनों में संक्रमण को जटिल बनाता है। इस कारण से, क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक सरल (और अधिक बीजगणितीय) औपचारिकता प्रस्तावित की गई थी जिसमें वेधशालाओं का क्वांटम बीजगणित शास्त्रीय एक का विरूपण बन जाता है। मैं एक संभावित प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करते हुए पॉइसन ब्रैकेट और हैमिल्टन के समीकरण के उद्भव की व्याख्या करके शुरू करूंगा। फिर मैं बीजगणित के विकृतियों के बारे में बात करूंगा और समझाऊंगा कि विरूपण औपचारिकता आसानी से अर्ध-शास्त्रीय सीमा तक एक मार्ग क्यों प्रदान करती है।