जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.

अत: a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।

अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 = -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6

शक्ति गुणन

घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।

तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेश दिया जा सकता है।
व्यंजक रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।

कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।

तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n ।

a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;

इसलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1

गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1)।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं - नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।

2. y-n .y-m = y-n-m ।

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।

तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।

शक्तियों का विभाजन

घात वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।

तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।

या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 को 3 से विभाजित करना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac(yyy)(yy) = y$।

और a n+1:a = a n+1-1 = a n । यानी, $\frac(aa^n)(a) = a^n$।

या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3

नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (एए) $।

एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक (1) (एच) = एच ^ 2। \ फ्रैक (एच) (1) = एच ^ 3 $

शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ में कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$।

2. घातांक को $\frac(6x^6)(3x^5)$ में घटाएं। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x।

3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।

4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से भाग दें।

इस लेख में, हम समझेंगे कि क्या है की डिग्री. यहां हम एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देंगे, जबकि विस्तार से डिग्री के सभी संभावित घातांक पर विचार करते हुए, एक प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर एक अपरिमेय पर समाप्त होता है। सामग्री में आपको उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करने वाली डिग्री के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे।

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प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री, एक संख्या का वर्ग, एक संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लीजिए कि प्राकृतिक घातांक n के साथ a की डिग्री की परिभाषा a के लिए दी गई है, जिसे हम कहेंगे डिग्री का आधार, और n , जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी नोट करते हैं कि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन के बारे में एक विचार होना चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ संख्या a की शक्ति n रूप का एक व्यंजक है, जिसका मान n कारकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात्।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात संख्या स्वयं ही होती है, अर्थात 1 =a।

तुरंत डिग्री पढ़ने के नियमों का उल्लेख करना उचित है। प्रविष्टि n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका है: "a to power of n"। कुछ मामलों में, ऐसे विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "ए से nth पावर" और "नंबर ए की nth पावर"। उदाहरण के लिए, आइए 8 12 की शक्ति लें, यह "बारह की शक्ति से आठ", या "आठ से बारहवीं शक्ति", या "आठ की बारहवीं शक्ति" है।

किसी संख्या की दूसरी घात के साथ-साथ किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है एक संख्या का वर्ग, उदाहरण के लिए, 7 2 को "सात वर्ग" या "सात की संख्या का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घन संख्या, उदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यह लाने का समय है भौतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण. आइए 5 7 की शक्ति से शुरू करें, जहां 5 घात का आधार है और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले उदाहरण में, डिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न डिग्री के सभी आधारों को कोष्ठक में लेंगे। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृत संख्या नहीं हैं, इसलिए वे कोष्ठकों में लिखे गए हैं। खैर, इस बिंदु पर पूरी स्पष्टता के लिए, हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। व्यंजक (−2) 3 प्राकृतिक घातांक 3 के साथ −2 की घात है, और व्यंजक −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाती है, घात 2 3 का मान।

ध्यान दें कि a^n फॉर्म के एक्सपोनेंट n के साथ a की डिग्री के लिए एक नोटेशन है। इसके अतिरिक्त, यदि n एक बहुमान प्राकृत संख्या है, तो घातांक को कोष्ठकों में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां "^" प्रतीक का उपयोग करके डिग्री लिखने के और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) । निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म की डिग्री के अंकन का उपयोग करेंगे a n ।

समस्याओं में से एक, एक प्राकृतिक घातांक के साथ घातांक का उल्टा, डिग्री के एक ज्ञात मूल्य और एक ज्ञात घातांक से डिग्री का आधार खोजने की समस्या है। इस कार्य की ओर ले जाता है।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। हो जाए।

फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति के लिए वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता और हमारे द्वारा परिभाषित तरीके को ध्यान में रखते हैं, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए m, n और a के लिए, व्यंजक समझ में आता है।

यह जांचना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिए गए m, n और a के लिए व्यंजक समझ में आता है, तो भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात घात m के लिए a की nवीं डिग्री का मूल है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल वर्णन करने के लिए रहता है जिसके लिए m, n और a व्यंजक समझ में आता है। m , n और a पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

a को विवश करने का सबसे आसान तरीका है a≥0 को धनात्मक m के लिए और a>0 को ऋणात्मक m के लिए (क्योंकि m≤0 में 0 m की कोई शक्ति नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m/n . के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहाँ m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है, संख्या a के nवें से m के घात का मूल कहलाता है, अर्थात् ।

शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n . के साथ शून्य की घात, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक बारीकियां है: कुछ नकारात्मक a और कुछ m और n के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने a≥0 शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया। उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण मूल के सम और विषम घातांक पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या ए की डिग्री, जिसका घातांक है, को संख्या ए की डिग्री माना जाता है, जिसका घातांक संबंधित इरेड्यूसेबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। अर्थात्, यदि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, तो किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए घात को पहले .

सम n और धनात्मक m के लिए, व्यंजक किसी भी गैर-ऋणात्मक a (ऋणात्मक संख्या से सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है) के लिए समझ में आता है, ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा वहाँ शून्य से विभाजन होगा)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कुछ भी हो सकती है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए विषम घात का मूल परिभाषित होता है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a शून्य से भिन्न होनी चाहिए (ताकि कोई विभाजन न हो शून्य)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लें कि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ की शक्ति के लिए है



आइए हम बताते हैं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक के साथ एक डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हम केवल डिग्री को इस रूप में परिभाषित करते हैं, और अंश m / n की अप्रासंगिकता के बारे में आरक्षण नहीं करते हैं, तो हम निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करेंगे: 6/10 = 3/5 के बाद से, समानता , लेकिन , ए ।

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एक नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री। समस्या समाधान की परिभाषा और उदाहरण"

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एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण

दोस्तों, हम संख्या बढ़ाने में अच्छे हैं।
उदाहरण के लिए: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$।

हम अच्छी तरह जानते हैं कि कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है। $a^0=1$, $a≠0$।
प्रश्न उठता है कि यदि आप किसी संख्या को ऋणात्मक शक्ति तक बढ़ा देते हैं तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, $2^(-2)$ की संख्या किसके बराबर होगी?
यह प्रश्न पूछने वाले पहले गणितज्ञों ने फैसला किया कि यह पहिया को फिर से बनाने के लायक नहीं है, और यह अच्छा है कि डिग्री के सभी गुण समान रहते हैं। अर्थात्, समान आधार से घातों को गुणा करने पर, घातांक जुड़ जाते हैं।
आइए इस मामले पर विचार करें: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$।
हमने पाया कि ऐसी संख्याओं का गुणनफल एकता देना चाहिए। गुणनफल में इकाई व्युत्क्रम को गुणा करके प्राप्त की जाती है, अर्थात $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$।

इस तरह के तर्क ने निम्नलिखित परिभाषा को जन्म दिया।
परिभाषा। यदि $n$ एक प्राकृत संख्या है और $а≠0$, तो निम्न समानता है: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$।

एक महत्वपूर्ण पहचान जिसका अक्सर उपयोग किया जाता है: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$।
विशेष रूप से, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

समाधान उदाहरण

उदाहरण 1
गणना करें: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$।

फेसला।
आइए प्रत्येक शब्द पर अलग से विचार करें।
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$।
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$।
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$।
यह जोड़ और घटाव संचालन करने के लिए बनी हुई है: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$।
उत्तर: $6\frac(1)(4)$।

उदाहरण 2
दी गई संख्या को अभाज्य संख्या $\frac(1)(729)$ की घात के रूप में व्यक्त करें।

फेसला।
जाहिर है $\frac(1)(729)=729^(-1)$।
लेकिन 729 9 में समाप्त होने वाली अभाज्य संख्या नहीं है। हम मान सकते हैं कि यह संख्या तीन की शक्ति है। आइए क्रमानुसार 729 को 3 से भाग दें।
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$।
छह ऑपरेशन पूरे हो चुके हैं, जिसका अर्थ है: $729=3^6$।
हमारे कार्य के लिए:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
उत्तर: $3^(-6)$।

उदाहरण 3. व्यंजक को घात के रूप में व्यक्त करें: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$।
फेसला। पहला ऑपरेशन हमेशा कोष्ठक के अंदर किया जाता है, फिर गुणन $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
उत्तर: $a$।

उदाहरण 4. पहचान साबित करें:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$।

फेसला।
बाईं ओर, कोष्ठक में प्रत्येक कारक पर अलग से विचार करें।
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2))=\frac(x^2-2xy+ y) ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$।
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$।
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$।
4. अब हम उस भिन्न की ओर बढ़ते हैं जिससे हम भाग देते हैं।
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$।
5. चलो विभाजन करते हैं।
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$।
हमें सही पहचान मिली, जिसे साबित करना जरूरी था।

पाठ के अंत में, हम फिर से डिग्री के साथ क्रियाओं के नियमों को लिखेंगे, यहाँ घातांक एक पूर्णांक है।
$a^s*a^t=a^(s+t)$।
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$।
$(a^s)^t=a^(st)$।
$(ab)^s=a^s*b^s$।
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1. गणना करें: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$।
2. दी गई संख्या को एक अभाज्य संख्या $\frac(1)(16384)$ की घात के रूप में निरूपित करें।
3. व्यंजक को घात के रूप में व्यक्त कीजिए:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$।
4. पहचान साबित करें:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $।

एक नकारात्मक शक्ति को ऊपर उठाना गणित के मूल तत्वों में से एक है, जिसका अक्सर बीजीय समस्याओं को हल करने में सामना करना पड़ता है। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - सिद्धांत

जब हम किसी संख्या को सामान्य घात में लेते हैं, तो हम उसके मान को कई गुना गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. ऋणात्मक भिन्न के साथ, विपरीत सत्य है। सूत्र के अनुसार सामान्य रूप इस प्रकार होगा: a -n = 1/a n। इस प्रकार, किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाने के लिए, आपको दी गई संख्या से एक को विभाजित करने की आवश्यकता है, लेकिन पहले से ही एक सकारात्मक शक्ति से।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - सामान्य संख्या पर उदाहरण

उपरोक्त नियम को ध्यान में रखते हुए, आइए कुछ उदाहरण हल करते हैं।

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
उत्तर: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
उत्तर है -4 -2 = 1/16।

लेकिन पहले और दूसरे उदाहरणों में उत्तर एक ही क्यों है? तथ्य यह है कि जब एक ऋणात्मक संख्या को सम घात (2, 4, 6, आदि) तक बढ़ा दिया जाता है, तो चिन्ह धनात्मक हो जाता है। यदि डिग्री सम थी, तो माइनस संरक्षित है:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

नकारात्मक शक्ति कैसे बढ़ाएं - 0 से 1 . तक की संख्या

याद रखें कि जब 0 और 1 के बीच की संख्या को धनात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घात के बढ़ने पर मान घट जाता है। तो उदाहरण के लिए, 0.5 2 = 0.25। 0.25

उदाहरण 3: 0.5 -2 . की गणना करें
हल: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4
उत्तर: 0.5 -2 = 4

पार्सिंग (क्रियाओं का क्रम):

• दशमलव 0.5 को भिन्नात्मक 1/2 में बदलें। ये तो और आसान है।
  एक नकारात्मक शक्ति के लिए 1/2 बढ़ाएँ। 1/(2) -2 । 1 को 1/(2) 2 से भाग देने पर हमें 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 . मिलता है

उदाहरण 4: 0.5 -3 . की गणना करें
हल: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

उदाहरण 5: परिकलित करें -0.5 -3
हल: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
उत्तर:-0.5 -3 = -8

चौथे और पांचवें उदाहरण के आधार पर, हम कई निष्कर्ष निकालेंगे:

• 0 से 1 (उदाहरण 4) की सीमा में एक सकारात्मक संख्या के लिए, एक नकारात्मक शक्ति तक बढ़ा दिया, सम या विषम डिग्री महत्वपूर्ण नहीं है, अभिव्यक्ति का मूल्य सकारात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही अधिक होगा।
• 0 और 1 (उदाहरण 5) के बीच एक ऋणात्मक संख्या के लिए, जिसे ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया गया है, सम या विषम डिग्री महत्वहीन है, व्यंजक का मान ऋणात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही कम होगा।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में शक्ति

इस प्रकार के व्यंजकों के निम्नलिखित रूप हैं: a -m/n, जहां a एक साधारण संख्या है, m डिग्री का अंश है, n डिग्री का हर है।

एक उदाहरण पर विचार करें:
गणना करें: 8 -1 / 3

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाने का नियम याद रखें। हमें मिलता है: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3।
• ध्यान दें कि भाजक भिन्नात्मक घात का 8 है। भिन्नात्मक अंश की गणना का सामान्य रूप इस प्रकार है: a m/n = n 8 m ।
• इस प्रकार, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1)। हमें आठ का घनमूल प्राप्त होता है, जो 2 है। इसके आधार पर, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2।
• उत्तर: 8 -1/3 = 2

स्कूल से, हम सभी को घात बढ़ाने के नियम के बारे में पता है: घातांक N वाली कोई भी संख्या इस संख्या को N बार से गुणा करने के परिणाम के बराबर होती है। दूसरे शब्दों में, 3 की घात के लिए 7 को अपने आप से तीन गुना, यानी 343 से गुणा किया जाता है। एक और नियम - 0 की घात में किसी भी मान को बढ़ाने से एक मिलता है, और ऋणात्मक मान बढ़ाना सामान्य घातांक का परिणाम है, यदि यह सम है, और विषम होने पर ऋण चिह्न के साथ समान परिणाम।

नियम इस बात का भी उत्तर देते हैं कि किसी संख्या को नकारात्मक शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए। ऐसा करने के लिए, आपको सामान्य तरीके से संकेतक के मॉड्यूल द्वारा आवश्यक मूल्य बढ़ाने की जरूरत है, और फिर परिणाम से इकाई को विभाजित करें।

इन नियमों से यह स्पष्ट हो जाता है कि बड़ी मात्रा में वास्तविक कार्यों के कार्यान्वयन के लिए तकनीकी साधनों की उपलब्धता की आवश्यकता होगी। मैन्युअल रूप से संख्याओं की अधिकतम सीमा को बीस या तीस तक गुणा करना संभव होगा, और फिर तीन या चार बार से अधिक नहीं। यह इस तथ्य का उल्लेख नहीं है कि फिर परिणाम से इकाई को विभाजित करें। इसलिए, जिनके हाथ में एक विशेष इंजीनियरिंग कैलकुलेटर नहीं है, हम आपको बताएंगे कि एक्सेल में किसी संख्या को नकारात्मक शक्ति तक कैसे बढ़ाया जाए।

एक्सेल में समस्याओं का समाधान

घातांक के साथ समस्याओं को हल करने के लिए, एक्सेल आपको दो विकल्पों में से एक का उपयोग करने की अनुमति देता है।

पहला मानक कैप प्रतीक के साथ सूत्र का उपयोग है। कार्यपत्रक कक्षों में निम्न डेटा दर्ज करें:

उसी तरह, आप किसी भी शक्ति के लिए वांछित मूल्य बढ़ा सकते हैं - नकारात्मक, भिन्नात्मक। आइए निम्नलिखित करें और इस प्रश्न का उत्तर दें कि किसी संख्या को नकारात्मक शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए। उदाहरण:

सूत्र =B2^-C2 में सीधे सुधार करना संभव है।

दूसरा विकल्प तैयार "डिग्री" फ़ंक्शन का उपयोग करना है, जो दो अनिवार्य तर्क लेता है - एक संख्या और एक संकेतक। इसका उपयोग शुरू करने के लिए, किसी भी फ्री सेल में एक समान चिन्ह (=) लगाना पर्याप्त है, जो सूत्र की शुरुआत का संकेत देता है, और उपरोक्त शब्दों को दर्ज करता है। यह दो कोशिकाओं का चयन करने के लिए बनी हुई है जो ऑपरेशन में भाग लेंगे (या मैन्युअल रूप से विशिष्ट संख्या निर्दिष्ट करें), और एंटर कुंजी दबाएं। आइए कुछ सरल उदाहरण देखें।

			सूत्र	नतीजा
			पावर (बी 2; सी 2)
			पावर (बी 3; सी 3)	0,002915

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल का उपयोग करके किसी संख्या को नकारात्मक शक्ति और नियमित रूप से कैसे बढ़ाया जाए, इसके बारे में कुछ भी जटिल नहीं है। दरअसल, इस समस्या को हल करने के लिए, आप परिचित "ढक्कन" प्रतीक और प्रोग्राम के अंतर्निहित फ़ंक्शन दोनों का उपयोग कर सकते हैं, जिसे याद रखना आसान है। यह एक निश्चित प्लस है!

आइए अधिक जटिल उदाहरणों पर चलते हैं। आइए इस नियम को याद करें कि किसी संख्या को भिन्नात्मक चरित्र की नकारात्मक शक्ति तक कैसे बढ़ाया जाए, और हम देखेंगे कि यह कार्य एक्सेल में बहुत सरलता से हल हो गया है।

भिन्नात्मक संकेतक

संक्षेप में, भिन्नात्मक घातांक वाली किसी संख्या की गणना के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है।

1. भिन्नात्मक घातांक को उचित या अनुचित भिन्न में बदलें।
2. परिणामी रूपांतरित अंश के अंश तक हमारी संख्या बढ़ाएँ।
3. पिछले पैराग्राफ में प्राप्त संख्या से, मूल की गणना इस शर्त के साथ करें कि मूल सूचक पहले चरण में प्राप्त अंश का हर होगा।

सहमत हूँ कि छोटी संख्याओं और उचित भिन्नों के साथ संचालन करते समय भी, ऐसी गणनाओं में बहुत समय लग सकता है। यह अच्छा है कि स्प्रेडशीट प्रोसेसर एक्सेल को इस बात की परवाह नहीं है कि किस नंबर और किस डिग्री को ऊपर उठाना है। एक्सेल वर्कशीट में निम्न उदाहरण को हल करने का प्रयास करें:

उपरोक्त नियमों का उपयोग करके, आप जांच सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि गणना सही है।

हमारे लेख के अंत में, हम सूत्रों के साथ एक तालिका के रूप में देंगे और परिणाम कई उदाहरण देंगे कि कैसे एक संख्या को एक नकारात्मक शक्ति में बढ़ाया जाए, साथ ही साथ भिन्नात्मक संख्याओं और शक्तियों के साथ कई उदाहरण।

उदाहरण तालिका

निम्नलिखित उदाहरणों के लिए एक्सेल वर्कशीट की जाँच करें। सब कुछ सही ढंग से काम करने के लिए, सूत्र की प्रतिलिपि बनाते समय आपको मिश्रित संदर्भ का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। उठाए जा रहे नंबर वाले कॉलम की संख्या और इंडिकेटर वाली पंक्ति की संख्या तय करें। आपका सूत्र कुछ इस तरह दिखना चाहिए: "=$B4^C$3"।

संख्या / डिग्री

कृपया ध्यान दें कि सकारात्मक संख्याओं (यहां तक ​​कि गैर-पूर्णांक वाले) की गणना किसी भी घातांक के लिए समस्याओं के बिना की जाती है। किसी भी संख्या को पूर्णांक तक बढ़ाने में कोई समस्या नहीं है। लेकिन ऋणात्मक संख्या को भिन्नात्मक घात में बढ़ाना आपके लिए एक गलती साबित होगी, क्योंकि ऋणात्मक संख्या बढ़ाने के बारे में हमारे लेख की शुरुआत में बताए गए नियम का पालन करना असंभव है, क्योंकि समता एक विशेष रूप से INTEGER संख्या की विशेषता है।

एक संख्या एक शक्ति के लिए उठाई गईएक संख्या पर कॉल करें जो कई बार अपने आप से गुणा हो जाती है।

ऋणात्मक मान वाली किसी संख्या की घात (एक) उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है जैसे सकारात्मक घातांक के साथ समान संख्या की डिग्री निर्धारित की जाती है (एक) . हालाँकि, इसके लिए एक अतिरिक्त परिभाषा की भी आवश्यकता है। सूत्र के रूप में परिभाषित किया गया है:

एक = (1 / एक एन)

संख्याओं की घातों के ऋणात्मक मानों के गुण धनात्मक घातांक वाली घातों के समान होते हैं। प्रतिनिधित्व समीकरण ए एम / ए एन = एक एम-एन के रूप में निष्पक्ष हो सकता है

« गणित की तरह कहीं भी, निष्कर्ष की स्पष्टता और सटीकता किसी व्यक्ति को प्रश्न के इर्द-गिर्द बात करके उत्तर से दूर जाने की अनुमति नहीं देती है।».

ए. डी. अलेक्जेंड्रोव

पर एन अधिक एम , साथ ही एम अधिक एन . आइए एक उदाहरण देखें: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

सबसे पहले आपको उस संख्या को निर्धारित करने की आवश्यकता है जो डिग्री की परिभाषा के रूप में कार्य करती है। बी = ए (-एन) . इस उदाहरण में -एन डिग्री का सूचक है बी - वांछित संख्यात्मक मान, ए - प्राकृतिक संख्यात्मक मान के रूप में डिग्री का आधार। फिर मॉड्यूल निर्धारित करें, अर्थात, एक ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान, जो एक घातांक के रूप में कार्य करता है। एक संकेतक के रूप में निरपेक्ष संख्या के सापेक्ष दी गई संख्या की डिग्री की गणना करें। डिग्री का मान किसी एक को परिणामी संख्या से भाग देकर ज्ञात किया जाता है।

चावल। एक

एक ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक वाली संख्या की घात पर विचार करें। कल्पना कीजिए कि संख्या a कोई धनात्मक संख्या है, संख्याएँ एन और एम - पूर्णांक। परिभाषा से ए , जो सत्ता में उठाया जाता है - एक सकारात्मक डिग्री के साथ एक ही संख्या से विभाजित एक के बराबर होता है (चित्र 1)। जब किसी संख्या की घात भिन्न होती है, तो ऐसे मामलों में केवल धनात्मक घातांक वाली संख्याओं का ही उपयोग किया जाता है।

याद रखने लायककि शून्य कभी भी किसी संख्या का घातांक नहीं हो सकता (शून्य से भाग देने का नियम)।

एक संख्या के रूप में इस तरह की अवधारणा के प्रसार ने माप गणना के साथ-साथ विज्ञान के रूप में गणित के विकास जैसे जोड़तोड़ शुरू किए। नकारात्मक मूल्यों की शुरूआत बीजगणित के विकास के कारण हुई, जिसने अंकगणितीय समस्याओं के सामान्य समाधान दिए, चाहे उनका विशिष्ट अर्थ और प्रारंभिक संख्यात्मक डेटा कुछ भी हो। भारत में, 6वीं-11वीं शताब्दी में, समस्याओं को हल करते समय संख्याओं के नकारात्मक मूल्यों का व्यवस्थित रूप से उपयोग किया जाता था और आज की तरह ही उनकी व्याख्या की जाती थी। यूरोपीय विज्ञान में, आर. डेसकार्टेस के लिए ऋणात्मक संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा, जिन्होंने खंडों की दिशाओं के रूप में ऋणात्मक संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या की। यह डेसकार्टेस था जिसने सुझाव दिया था कि एक शक्ति के लिए बढ़ाई गई संख्या को दो-कहानी सूत्र के रूप में प्रदर्शित किया जाना चाहिए एक .

एक नकारात्मक शक्ति को ऊपर उठाना गणित के मूल तत्वों में से एक है, जिसका अक्सर बीजीय समस्याओं को हल करने में सामना करना पड़ता है। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - सिद्धांत

जब हम किसी संख्या को सामान्य घात में लेते हैं, तो हम उसके मान को कई गुना गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. ऋणात्मक भिन्न के साथ, विपरीत सत्य है। सूत्र के अनुसार सामान्य रूप इस प्रकार होगा: a -n = 1/a n। इस प्रकार, किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाने के लिए, आपको दी गई संख्या से एक को विभाजित करने की आवश्यकता है, लेकिन पहले से ही एक सकारात्मक शक्ति से।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - सामान्य संख्या पर उदाहरण

उपरोक्त नियम को ध्यान में रखते हुए, आइए कुछ उदाहरण हल करते हैं।

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
उत्तर: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
उत्तर है -4 -2 = 1/16।

लेकिन पहले और दूसरे उदाहरणों में उत्तर एक ही क्यों है? तथ्य यह है कि जब एक ऋणात्मक संख्या को सम घात (2, 4, 6, आदि) तक बढ़ा दिया जाता है, तो चिन्ह धनात्मक हो जाता है। यदि डिग्री सम थी, तो माइनस संरक्षित है:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

नकारात्मक शक्ति कैसे बढ़ाएं - 0 से 1 . तक की संख्या

याद रखें कि जब 0 और 1 के बीच की संख्या को धनात्मक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो घात के बढ़ने पर मान घट जाता है। तो उदाहरण के लिए, 0.5 2 = 0.25। 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

उदाहरण 3: 0.5 -2 . की गणना करें
हल: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4
उत्तर: 0.5 -2 = 4

पार्सिंग (क्रियाओं का क्रम):

• दशमलव 0.5 को भिन्नात्मक 1/2 में बदलें। ये तो और आसान है।
  एक नकारात्मक शक्ति के लिए 1/2 बढ़ाएँ। 1/(2) -2 । 1 को 1/(2) 2 से भाग देने पर हमें 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 . मिलता है

उदाहरण 4: 0.5 -3 . की गणना करें
हल: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

उदाहरण 5: परिकलित करें -0.5 -3
हल: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
उत्तर:-0.5 -3 = -8

चौथे और पांचवें उदाहरण के आधार पर, हम कई निष्कर्ष निकालेंगे:

• 0 से 1 (उदाहरण 4) की सीमा में एक सकारात्मक संख्या के लिए, एक नकारात्मक शक्ति तक बढ़ा दिया, सम या विषम डिग्री महत्वपूर्ण नहीं है, अभिव्यक्ति का मूल्य सकारात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही अधिक होगा।
• 0 और 1 (उदाहरण 5) के बीच एक ऋणात्मक संख्या के लिए, जिसे ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया गया है, सम या विषम डिग्री महत्वहीन है, व्यंजक का मान ऋणात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही कम होगा।

कैसे एक नकारात्मक शक्ति को बढ़ाने के लिए - एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में शक्ति

इस प्रकार के व्यंजकों के निम्नलिखित रूप होते हैं: a -m/n, जहां a एक साधारण संख्या है, m डिग्री का अंश है, n डिग्री का हर है।

एक उदाहरण पर विचार करें:
गणना करें: 8 -1 / 3

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• किसी संख्या को ऋणात्मक घात में बढ़ाने का नियम याद रखें। हमें मिलता है: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3।
• ध्यान दें कि भाजक भिन्नात्मक घात का 8 है। भिन्नात्मक अंश की गणना का सामान्य रूप इस प्रकार है: a m/n = n 8 m ।
• इस प्रकार, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1)। हमें आठ का घनमूल प्राप्त होता है, जो 2 है। इसके आधार पर, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2।
• उत्तर: 8 -1/3 = 2