"गणित" नामक विज्ञान में समाकलन को हल करने की प्रक्रिया को समाकलन कहा जाता है। एकीकरण की मदद से, आप कुछ भौतिक मात्राएँ पा सकते हैं: क्षेत्रफल, आयतन, पिंडों का द्रव्यमान और बहुत कुछ।
इंटीग्रल अनिश्चित और निश्चित हैं। एक निश्चित समाकल के रूप पर विचार करें और उसके भौतिक अर्थ को समझने का प्रयास करें। यह इस प्रकार दिखाई देता है: $$ \int ^a _b f(x) dx $$। अनिश्चित समाकलन से निश्चित समाकल लिखने की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि समाकलन की सीमाएँ a और b हैं। अब हम यह पता लगाएंगे कि वे किस लिए हैं, और एक निश्चित अभिन्न साधन क्या हैं। एक ज्यामितीय अर्थ में, ऐसा अभिन्न वक्र f(x), रेखाओं a और b, और ऑक्स अक्ष से घिरी आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
यह चित्र 1 से देखा जा सकता है कि निश्चित अभिन्न वह क्षेत्र है जो ग्रे में छायांकित है। आइए इसे एक साधारण उदाहरण से देखें। आइए एकीकरण का उपयोग करके नीचे दी गई छवि में आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें, और फिर लंबाई को चौड़ाई से गुणा करके सामान्य तरीके से इसकी गणना करें।
चित्र 2 दर्शाता है कि $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $। अब हम उन्हें समाकलन की परिभाषा में प्रतिस्थापित करते हैं, हम पाते हैं कि $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(unit)^2 $$ आइए सामान्य तरीके से देखें। हमारे मामले में, लंबाई = 3, आकार की चौड़ाई = 1. $$ S = \text(लंबाई) \cdot \text(चौड़ाई) = 3 \cdot 1 = 3 \text(unit)^2 $$ जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ पूरी तरह से मेल खाता था।
प्रश्न उठता है: अनिश्चित समाकलों को कैसे हल किया जाए और उनका अर्थ क्या है? इस तरह के इंटीग्रल का समाधान एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शंस की खोज है। यह प्रक्रिया व्युत्पन्न खोजने के विपरीत है। प्रतिअवकलन ज्ञात करने के लिए, आप गणित में समस्याओं को हल करने में हमारी सहायता का उपयोग कर सकते हैं, या आपको समाकलकों के गुणों और सरलतम प्राथमिक फलनों की समाकलन तालिका को स्वतंत्र रूप से याद रखना चाहिए। ढूँढना इस तरह दिखता है $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(जहां) F(x) $ $ f(x), C = const $ का प्रतिपदार्थ है।
अभिन्न को हल करने के लिए, आपको चर के संबंध में $ f(x) $ फ़ंक्शन को एकीकृत करने की आवश्यकता है। यदि फलन सारणीबद्ध है, तो उत्तर उपयुक्त रूप में लिखा जाता है। यदि नहीं, तो ट्रिकी गणितीय परिवर्तनों द्वारा फ़ंक्शन $ f(x) $ से तालिका फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को कम कर दिया गया है। इसके लिए विभिन्न विधियाँ और गुण हैं, जिनकी चर्चा हम नीचे करेंगे।
तो, आइए अब एक एल्गोरिथम बनाते हैं कि डमी के लिए इंटीग्रल कैसे हल करें?
इंटीग्रल की गणना के लिए एल्गोरिदम
- निश्चित समाकल ज्ञात कीजिए या नहीं।
- यदि अपरिभाषित है, तो आपको गणितीय परिवर्तनों का उपयोग करके एकीकृत $ f(x) $ के एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन $ F(x) $ को खोजने की आवश्यकता है जो फ़ंक्शन $ f(x) $ को एक सारणीबद्ध रूप में लाते हैं।
- यदि परिभाषित किया गया है, तो चरण 2 को निष्पादित किया जाना चाहिए, और फिर $a$ और $b$ की सीमाओं को एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन $F(x)$ में प्रतिस्थापित करें। ऐसा करने के लिए किस सूत्र से आप "न्यूटन लाइबनिज फॉर्मूला" लेख में सीखेंगे।
समाधान उदाहरण
तो, आपने सीखा है कि डमी के लिए इंटीग्रल को कैसे हल किया जाए, इंटीग्रल को हल करने के उदाहरणों को अलमारियों पर हल किया गया है। उन्होंने अपना भौतिक और ज्यामितीय अर्थ सीखा। अन्य लेखों में समाधान विधियों पर चर्चा की जाएगी।
समाकलन गणित।
आदिम समारोह।
परिभाषा: फलन F(x) कहलाता है विरोधी व्युत्पन्न कार्यखंड पर f(x) कार्य करता है, यदि इस खंड के किसी भी बिंदु पर समानता सत्य है:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक ही फ़ंक्शन के लिए असीम रूप से कई एंटीडेरिवेटिव हो सकते हैं। वे एक दूसरे से कुछ स्थिर संख्या से भिन्न होंगे।
एफ 1 (एक्स) \u003d एफ 2 (एक्स) + सी।
अनिश्चितकालीन अभिन्न।
परिभाषा: अनिश्चितकालीन अभिन्नफलन f(x) प्रतिअवकलन फलनों का एक समुच्चय है, जो संबंध द्वारा परिभाषित होते हैं:
लिखो:
एक निश्चित खंड पर अनिश्चितकालीन अभिन्न के अस्तित्व की शर्त इस खंड पर कार्य की निरंतरता है।
गुण:
1.
2.
3.
4.
उदाहरण:
अनिश्चितकालीन समाकल का मान ज्ञात करना मुख्य रूप से प्रतिअवकलन फलन ज्ञात करने से संबंधित है। कुछ कार्यों के लिए, यह काफी कठिन कार्य है। नीचे हम फलनों के मुख्य वर्गों - परिमेय, अपरिमेय, त्रिकोणमितीय, घातांक आदि के लिए अनिश्चित समाकलन ज्ञात करने की विधियों पर विचार करेंगे।
सुविधा के लिए, अधिकांश प्राथमिक कार्यों के अनिश्चित समाकलन के मूल्यों को समाकलन की विशेष तालिकाओं में एकत्र किया जाता है, जो कभी-कभी बहुत अधिक मात्रा में होते हैं। उनमें कार्यों के विभिन्न सबसे सामान्य संयोजन शामिल हैं। लेकिन इन तालिकाओं में प्रस्तुत अधिकांश सूत्र एक दूसरे के उपफल हैं, इसलिए नीचे बुनियादी समाकलों की एक तालिका है, जिससे आप विभिन्न कार्यों के अनिश्चित समाकलों के मान प्राप्त कर सकते हैं।
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अभिन्न |
अर्थ |
अभिन्न |
अर्थ |
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lnsinx+ सी |
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एलएन |
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एकीकरण के तरीके।
आइए एकीकरण के तीन बुनियादी तरीकों पर विचार करें।
प्रत्यक्ष एकीकरण।
प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि विभेदन द्वारा इस मूल्य के और सत्यापन के साथ प्रतिअवकलन फलन के संभावित मूल्य की धारणा पर आधारित है। सामान्य तौर पर, हम ध्यान दें कि एकीकरण के परिणामों की जाँच के लिए भेदभाव एक शक्तिशाली उपकरण है।
एक उदाहरण पर इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें:
समाकल का मान ज्ञात करना आवश्यक है 
. प्रसिद्ध विभेदीकरण सूत्र के आधार पर 
हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वांछित समाकल बराबर है 
, जहाँ C कुछ अचर संख्या है। हालांकि, दूसरी ओर 
. इस प्रकार, हम अंत में निष्कर्ष निकाल सकते हैं:
ध्यान दें कि, विभेदन के विपरीत, जहां व्युत्पन्न खोजने के लिए स्पष्ट तकनीकों और विधियों का उपयोग किया गया था, व्युत्पन्न खोजने के नियम, और अंत में व्युत्पन्न की परिभाषा, ऐसी विधियां एकीकरण के लिए उपलब्ध नहीं हैं। यदि, व्युत्पन्न खोजते समय, हम रचनात्मक तरीकों का उपयोग करते हैं, तो बोलने के लिए, कुछ नियमों के आधार पर, जिसके परिणामस्वरूप परिणाम होता है, तो एंटीडेरिवेटिव ढूंढते समय, हमें मुख्य रूप से डेरिवेटिव्स और एंटीडेरिवेटिव्स की तालिकाओं के ज्ञान पर भरोसा करना पड़ता है।
प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि के लिए, यह केवल कुछ बहुत ही सीमित वर्गों के कार्यों के लिए लागू होता है। ऐसे बहुत कम कार्य हैं जिनके लिए आप तुरंत प्रतिअवकलन पा सकते हैं। इसलिए, ज्यादातर मामलों में, नीचे वर्णित विधियों का उपयोग किया जाता है।
प्रतिस्थापन की विधि (चरों का प्रतिस्थापन)।
प्रमेय:
यदि आप अभिन्न खोजना चाहते हैं 
, लेकिन प्रतिअवकलन ज्ञात करना कठिन है, तो x=(t) और dx=(t)dt को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
प्रमाण : आइए प्रस्तावित समानता में अंतर करें:
उपरोक्त संपत्ति संख्या 2 के अनुसार अनिश्चितकालीन अभिन्न:
एफ(एक्स) डीएक्स = एफ[ (टी)] (टी) डीटी
जो, प्रस्तुत संकेतन को ध्यान में रखते हुए, प्रारंभिक धारणा है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
उदाहरण।अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं 
.
आइए एक प्रतिस्थापन करें टी = sinx, डीटी = cosxdt.
उदाहरण।
प्रतिस्थापन 
हम पाते हैं:
नीचे हम विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने के अन्य उदाहरणों पर विचार करेंगे।
भागों द्वारा एकीकरण।
विधि किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए प्रसिद्ध सूत्र पर आधारित है:
(यूवी)=uv+vu
जहाँ u और v x के कुछ फलन हैं।
विभेदक रूप में: d(uv) =udv+vdu
एकीकृत करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं: 
, और अनिश्चितकालीन अभिन्न के उपरोक्त गुणों के अनुसार:
या 
;
हमने एक एकीकरण-दर-भाग सूत्र प्राप्त किया है जो हमें कई प्राथमिक कार्यों के अभिन्न अंग खोजने की अनुमति देता है।
उदाहरण।
जैसा कि आप देख सकते हैं, इंटीग्रेशन-बाय-पार्ट्स फॉर्मूला का सुसंगत अनुप्रयोग आपको फ़ंक्शन को धीरे-धीरे सरल बनाने और इंटीग्रल को एक सारणीबद्ध करने की अनुमति देता है।
उदाहरण।
यह देखा जा सकता है कि भागों द्वारा एकीकरण के बार-बार आवेदन के परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन को सारणीबद्ध रूप में सरलीकृत नहीं किया जा सका। हालाँकि, प्राप्त अंतिम समाकल मूल समाकल से भिन्न नहीं है। इसलिए, हम इसे समानता के बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं।
इस प्रकार, समाकलन की तालिकाओं के उपयोग के बिना ही समाकलन पाया गया।
विभिन्न वर्गों के कार्यों को एकीकृत करने के तरीकों पर विस्तार से विचार करने से पहले, हम अनिश्चित समाकलों को सारणीबद्ध करके खोजने के कुछ और उदाहरण देते हैं।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
उदाहरण।
प्राथमिक अंशों का एकीकरण।
परिभाषा: प्राथमिकनिम्नलिखित चार प्रकार के भिन्न कहलाते हैं:
मैं। 
III. 
द्वितीय. 
चतुर्थ। 
m,n - प्राकृत संख्याएँ (m2,n2) और b 2 - 4ac<0.
प्राथमिक भिन्नों के पहले दो प्रकार के समाकलों को काफी सरलता से सारणीबद्ध प्रतिस्थापन t=ax+b तक सीमित कर दिया गया है।
प्रपत्र III के प्राथमिक भिन्नों को समाकलित करने की एक विधि पर विचार करें।
III प्रकार के भिन्न के समाकलन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
यहाँ, सामान्य शब्दों में, प्रपत्र III के एक भिन्न के समाकल को घटाकर दो सारणीबद्ध समाकलों में दर्शाया गया है।
उदाहरण के साथ उपरोक्त सूत्र के अनुप्रयोग पर विचार करें।
उदाहरण।
सामान्यतया, यदि त्रिपद कुल्हाड़ी 2 +bx+cexpressionb 2 - 4ac>0, तो परिभाषा के अनुसार भिन्न प्राथमिक नहीं है, फिर भी, इसे उपरोक्त तरीके से एकीकृत किया जा सकता है।
उदाहरण.
उदाहरण।
आइए, अब IV प्रकार की सरलतम भिन्नों को समाकलित करने की विधियों पर विचार करें।
सबसे पहले, एम = 0, एन = 1 के साथ एक विशेष मामले पर विचार करें।
फिर फॉर्म का इंटीग्रल 
हर में पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करके दर्शाया जा सकता है: 
. आइए निम्नलिखित परिवर्तन करें:
इस समानता में शामिल दूसरा समाकलन भागों द्वारा लिया जाएगा।
निरूपित करें: 
मूल समाकलन के लिए हम पाते हैं:
परिणामी सूत्र कहा जाता है आवर्तकयदि आप इसे n-1 बार लागू करते हैं, तो आपको एक तालिका अभिन्न मिलती है 
.
आइए अब हम IVc . के रूप के एक प्रारंभिक भिन्न के समाकल पर लौटते हैं सामान्य मामला.
परिणामी समानता में, प्रतिस्थापन का उपयोग करने वाला पहला समाकलन टी
=
तुम 2
+
एससारणीबद्ध कर दिया गया है 
, और ऊपर माना गया आवर्तक सूत्र दूसरे अभिन्न पर लागू होता है।
प्रकार IV के प्राथमिक अंश को एकीकृत करने की स्पष्ट जटिलता के बावजूद, व्यवहार में इसे एक छोटी डिग्री के साथ भिन्नों पर लागू करना काफी आसान है। एन, और दृष्टिकोण की सार्वभौमिकता और व्यापकता इस पद्धति को कंप्यूटर पर बहुत ही सरलता से लागू करना संभव बनाती है।
उदाहरण:
तर्कसंगत कार्यों का एकीकरण।
तर्कसंगत अंशों का एकीकरण।
एक परिमेय भिन्न को एकीकृत करने के लिए, इसे प्राथमिक भिन्नों में विघटित करना आवश्यक है।
प्रमेय:
यदि एक 
एक उचित परिमेय भिन्न है जिसका हर P(x) रैखिक और द्विघात कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया गया है (ध्यान दें कि वास्तविक गुणांक वाले किसी भी बहुपद को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: पी(एक्स)
= (एक्स -
ए)
…(एक्स
-
बी)
(एक्स 2
+
पिक्सल +
क्यू)
…(एक्स 2
+
आरएक्स +
एस)
), तो इस अंश को निम्न योजना के अनुसार प्राथमिक अंशों में विघटित किया जा सकता है:
जहाँ A i, B i, M i, N i, R i, S i कुछ स्थिर मान हैं।
तर्कसंगत अंशों को एकीकृत करते समय, मूल अंश को प्राथमिक अंशों में विघटित करने का सहारा लिया जाता है। मान ज्ञात करने के लिए A i ,B i ,M i ,N i ,R i ,S i तथाकथित का उपयोग करते हैं अनिश्चित गुणांक की विधि, जिसका सार यह है कि दो बहुपदों के समान रूप से समान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि x की समान घातों पर गुणांक समान हों।
हम एक विशिष्ट उदाहरण पर इस पद्धति के आवेदन पर विचार करेंगे।
उदाहरण।
एक सामान्य भाजक को कम करने और संबंधित अंशों की बराबरी करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण।
क्योंकि यदि भिन्न सही नहीं है, तो आपको पहले उसमें से पूर्णांक भाग का चयन करना चाहिए:
6
x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6
6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3
9x3 + 8x2 - 76x - 7
9x 3 - 12x 2 - 51x +18
20x2-25x-25
हम परिणामी भिन्न के हर को कारकों में विघटित करते हैं। यह देखा जा सकता है कि x = 3 पर भिन्न का हर शून्य हो जाता है। फिर:
3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x- 3
3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x- 2
इस प्रकार 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 = (x - 3) (3x 2 + 5x - 2) = (x - 3) (x + 2) (3x - 1)। फिर:
कोष्ठक खोलने, समीकरणों की एक प्रणाली को समूहबद्ध करने और हल करने के अनिश्चित गुणांक खोजने से बचने के लिए (जो कुछ मामलों में काफी बड़ा हो सकता है), तथाकथित मनमाना मूल्य विधि. विधि का सार यह है कि ऊपर प्राप्त अभिव्यक्ति में कई (अनिश्चित गुणांक की संख्या के अनुसार) मनमाना x मान प्रतिस्थापित किए जाते हैं। गणनाओं को सरल बनाने के लिए, उन बिंदुओं को मनमाना मान लेने के लिए प्रथागत है, जिन पर अंश का हर शून्य के बराबर होता है, अर्थात। हमारे मामले में - 3, -2, 1/3। हम पाते हैं:
अंत में हमें मिलता है:
=
उदाहरण।
आइए अनिश्चित गुणांक खोजें:
तब दिए गए समाकल का मान:
कुछ त्रिकोणमितीय का एकीकरण
कार्य।
त्रिकोणमितीय फलनों के अपरिमित रूप से अनेक समाकलन हो सकते हैं। इनमें से अधिकांश समाकलों की गणना विश्लेषणात्मक रूप से नहीं की जा सकती है, तो आइए कुछ मुख्य प्रकार के कार्यों पर विचार करें जिन्हें हमेशा एकीकृत किया जा सकता है।
फॉर्म का इंटीग्रल 
.
यहाँ R, sinx और cosx चरों के कुछ परिमेय फलनों का पदनाम है।
प्रतिस्थापन का उपयोग करके इस प्रकार के इंटीग्रल की गणना की जाती है 
. यह प्रतिस्थापन आपको त्रिकोणमितीय फलन को परिमेय फलन में बदलने की अनुमति देता है।
,
फिर 
इस प्रकार:
ऊपर वर्णित परिवर्तन को कहा जाता है सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन।
उदाहरण।
इस प्रतिस्थापन का निस्संदेह लाभ यह है कि इसका उपयोग हमेशा एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को एक तर्कसंगत में बदलने और संबंधित अभिन्न की गणना करने के लिए किया जा सकता है। नुकसान में यह तथ्य शामिल है कि परिवर्तन के परिणामस्वरूप एक जटिल तर्कसंगत कार्य हो सकता है, जिसके एकीकरण में बहुत समय और प्रयास लगेगा।
हालाँकि, यदि चर के अधिक तर्कसंगत परिवर्तन को लागू करना असंभव है, तो यह विधि एकमात्र प्रभावी है।
उदाहरण।
फॉर्म का इंटीग्रल 
अगर
समारोहआरcosx.
सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करके इस तरह के एक अभिन्न की गणना करने की संभावना के बावजूद, प्रतिस्थापन को लागू करना अधिक तर्कसंगत है टी = sinx.
समारोह 
केवल घातों के लिए cosx समाहित कर सकता है, और इसलिए sinx के संबंध में एक तर्कसंगत फलन में परिवर्तित किया जा सकता है।
उदाहरण।
सामान्यतया, इस पद्धति को लागू करने के लिए, कोसाइन के संबंध में केवल फ़ंक्शन की विषमता आवश्यक है, और फ़ंक्शन में शामिल साइन की डिग्री कोई भी हो सकती है, दोनों पूर्णांक और भिन्नात्मक।
फॉर्म का इंटीग्रल 
अगर
समारोहआरके संबंध में अजीब हैsinx.
ऊपर विचार किए गए मामले के अनुरूप, प्रतिस्थापन टी = cosx.
उदाहरण।
फॉर्म का इंटीग्रल 
समारोहआरअपेक्षाकृत भीsinxऔरcosx.
फ़ंक्शन R को परिमेय में बदलने के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है
टी = टीजीएक्स।
उदाहरण।
साइन और कोसाइन के उत्पाद का अभिन्न अंग
विभिन्न तर्क।
कार्य के प्रकार के आधार पर, तीन सूत्रों में से एक को लागू किया जाएगा:
उदाहरण।
उदाहरण।
कभी-कभी, त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करते समय, कार्यों के क्रम को कम करने के लिए प्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।
उदाहरण।
उदाहरण।
कभी-कभी कुछ गैर-मानक तरकीबें इस्तेमाल की जाती हैं।
उदाहरण।
कुछ अपरिमेय कार्यों का एकीकरण।
प्रत्येक अपरिमेय फलन में प्राथमिक फलनों द्वारा व्यक्त समाकलन नहीं हो सकता। एक अपरिमेय फलन के समाकल को खोजने के लिए, किसी को एक ऐसा प्रतिस्थापन लागू करना चाहिए जो फलन को एक परिमेय फलन में बदलने की अनुमति देगा, जिसका अभिन्न हमेशा पाया जा सकता है, जैसा कि ज्ञात है, हमेशा।
विभिन्न प्रकार के अपरिमेय फलनों को एकीकृत करने की कुछ तकनीकों पर विचार करें।
फॉर्म का इंटीग्रल 
कहाँ पेएन- प्राकृतिक संख्या।
प्रतिस्थापन की सहायता से 
फ़ंक्शन को युक्तिसंगत बनाया गया है।
उदाहरण।
यदि अपरिमेय फलन में भिन्न-भिन्न अंशों के मूल शामिल हैं, तो व्यंजक में शामिल मूलों की घातों के अल्पतम समापवर्त्य गुणज के बराबर घात के मूल को नए चर के रूप में लेना तर्कसंगत है।
आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।
उदाहरण।
द्विपद अंतरों का एकीकरण।
परिभाषा: द्विपद अंतरअभिव्यक्ति कहा जाता है
एक्स एम (ए + बीएक्स एन ) पी डीएक्स
कहाँ पे एम, एन, और पीपरिमेय संख्याएँ हैं।
जैसा कि शिक्षाविद चेबीशेव पी.एल. (1821-1894), द्विपद अंतर का समाकल केवल निम्नलिखित तीन मामलों में प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
यदि एक आरएक पूर्णांक है, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करके अभिन्न को युक्तिसंगत बनाया जाता है
, जहां आम भाजक है एमऔर एन.
अनिश्चितकालीन अभिन्न।
विस्तृत समाधान उदाहरण
इस पाठ में, हम विषय का अध्ययन शुरू करेंगे अनिश्चितकालीन अभिन्न, और सरलतम (और बिल्कुल नहीं) इंटीग्रल के समाधानों के उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें। इस लेख में, मैं अपने आप को न्यूनतम सिद्धांत तक सीमित रखूंगा, और अब हमारा काम यह सीखना है कि इंटीग्रल को कैसे हल किया जाए।
सामग्री को सफलतापूर्वक मास्टर करने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है? अभिन्न कलन से निपटने के लिए, आपको कम से कम औसत स्तर पर डेरिवेटिव खोजने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, यदि सामग्री लॉन्च की जाती है, तो मेरा सुझाव है कि आप पहले पाठों को ध्यान से पढ़ें। व्युत्पन्न कैसे खोजें?और यौगिक फलन का व्युत्पन्न. यदि आपके पीछे कई दर्जनों (अधिमानतः सौ) स्वतंत्र रूप से पाए गए डेरिवेटिव हैं तो यह अतिश्योक्तिपूर्ण अनुभव नहीं होगा। कम से कम, आपको सरल और सबसे सामान्य कार्यों में अंतर करने वाले कार्यों से भ्रमित नहीं होना चाहिए। ऐसा लगता है, अगर लेख इंटीग्रल पर केंद्रित है तो डेरिवेटिव का इससे क्या लेना-देना है?! और यहाँ बात है। तथ्य यह है कि व्युत्पन्न खोजना और अनिश्चित अभिन्न (विभेदन और एकीकरण) खोजना दो परस्पर प्रतिलोम क्रियाएं हैं, जैसे कि जोड़ / घटाव या गुणा / भाग। इस प्रकार, व्युत्पन्न खोजने के कौशल (+ किसी प्रकार का अनुभव) के बिना, दुर्भाग्य से, कोई आगे नहीं बढ़ सकता है।
इस संबंध में, हमें निम्नलिखित पद्धति संबंधी सामग्रियों की आवश्यकता होगी: व्युत्पन्न तालिकाऔर इंटीग्रल की तालिका. हेल्प गाइड को पेज पर खोला, डाउनलोड या प्रिंट किया जा सकता है गणितीय सूत्र और टेबल.
अनिश्चित समाकलों का अध्ययन करने में क्या कठिनाई है? यदि डेरिवेटिव में भेदभाव के 5 नियम, डेरिवेटिव की एक तालिका और क्रियाओं का एक स्पष्ट रूप से स्पष्ट एल्गोरिथ्म है, तो इंटीग्रल में सब कुछ अलग है। दर्जनों एकीकरण विधियां और तकनीकें हैं। और, यदि एकीकरण विधि को शुरू में गलत तरीके से चुना गया था (अर्थात, आप नहीं जानते कि इसे कैसे हल किया जाए), तो इंटीग्रल को सचमुच दिनों के लिए "चुराया" जा सकता है, एक वास्तविक रिबस की तरह, विभिन्न चालों और चालों को नोटिस करने की कोशिश कर रहा है। कुछ इसे पसंद भी करते हैं। वैसे, यह मजाक नहीं है, मैंने अक्सर छात्रों से एक राय सुनी है जैसे "मुझे सीमा या व्युत्पन्न को हल करने में कभी दिलचस्पी नहीं थी, लेकिन इंटीग्रल एक पूरी तरह से अलग मामला है, यह रोमांचक है, हमेशा इच्छा होती है एक जटिल अभिन्न "ब्रेक"। रुकना। पर्याप्त काला हास्य, आइए इन अनिश्चितकालीन अभिन्नताओं पर चलते हैं।
चूंकि हल करने के बहुत सारे तरीके हैं, फिर एक चायदानी अनिश्चितकालीन इंटीग्रल का अध्ययन कहाँ से शुरू करती है? अभिन्न कलन में, मेरी राय में, तीन स्तंभ या एक प्रकार का "अक्ष" है जिसके चारों ओर बाकी सब कुछ घूमता है। सबसे पहले, आपको सबसे सरल इंटीग्रल (यह लेख) की अच्छी समझ होनी चाहिए। फिर आपको पाठ को विस्तार से तैयार करने की आवश्यकता है। यह सबसे महत्वपूर्ण स्वागत है! इंटीग्रल पर मेरे सभी लेखों का शायद सबसे महत्वपूर्ण लेख भी। और, तीसरा, आपको निश्चित रूप से भागों द्वारा एकीकरण की विधि से परिचित होना चाहिए, क्योंकि इसकी मदद से कार्यों का एक व्यापक वर्ग एकीकृत होता है। यदि आप कम से कम इन तीन पाठों में महारत हासिल करते हैं, तो पहले से ही "दो नहीं" हैं। आपको त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलों, भिन्नों के समाकलों, भिन्न-परिमेय फलनों के समाकलन, अपरिमेय फलनों (मूलों) के समाकलों को न जानने के लिए क्षमा किया जा सकता है, लेकिन यदि आप प्रतिस्थापन विधि या भागों विधि द्वारा समाकलन पर "एक पोखर में प्रवेश करते हैं" , तो यह बहुत, बहुत बुरा होगा।
रनेट में, डिमोटिवेटर अब बहुत आम हैं। इंटीग्रल के अध्ययन के संदर्भ में, इसके विपरीत, यह बस आवश्यक है प्रेरक. जैसा कि वसीली इवानोविच के बारे में उस मजाक में था, जिसने पेटका और अंका दोनों को प्रेरित किया। प्रिय आलसी लोग, फ्रीलायर्स और अन्य सामान्य छात्र, निम्नलिखित को अवश्य पढ़ें। अनिश्चित अभिन्न में ज्ञान और कौशल की आवश्यकता आगे के अध्ययन में होगी, विशेष रूप से, दूसरे वर्ष में निश्चित अभिन्न, अनुचित अभिन्न, अंतर समीकरणों का अध्ययन करते समय। प्रायिकता सिद्धांत में भी समाकलन लेने की आवश्यकता उत्पन्न होती है ! इस प्रकार, इंटीग्रल के बिना, ग्रीष्मकालीन सत्र और दूसरे पाठ्यक्रम का रास्ता वास्तव में बंद हो जाएगा. मैं गंभीर हूं। निष्कर्ष यह है। आप विभिन्न प्रकारों के जितने अधिक समाकलन हल करेंगे, बाद का जीवन उतना ही आसान होगा।. हां, इसमें काफी समय लगेगा, हां, कभी-कभी आपको ऐसा नहीं लगता, हां, कभी-कभी "हां, उसके साथ अंजीर, इस अभिन्न के साथ, शायद आप पकड़े नहीं जाएंगे।" लेकिन, अगला विचार आत्मा को प्रेरित और गर्म करना चाहिए, आपके प्रयास पूरी तरह से रंग लाएंगे! आप नट जैसे विभेदक समीकरणों को क्रैक करेंगे और उच्च गणित के अन्य वर्गों में मिलने वाले इंटीग्रल से आसानी से निपटेंगे। अनिश्चितकालीन अभिन्न के साथ गुणात्मक रूप से निपटने के बाद, आप वास्तव में टावर के कुछ और अनुभागों को मास्टर करते हैं।
और इसलिए मैं बस मदद नहीं कर सकता था लेकिन बना सकता था गहन पाठ्यक्रमएकीकरण तकनीक पर, जो आश्चर्यजनक रूप से कम निकला - जो लोग चाहते हैं वे पीडीएफ-पुस्तक का उपयोग कर सकते हैं और बहुत जल्दी तैयार कर सकते हैं। लेकिन साइट की सामग्री किसी भी तरह से बदतर नहीं है!
तो, चलिए सरल शुरू करते हैं। आइए इंटीग्रल की तालिका देखें। डेरिवेटिव के रूप में, हम कई एकीकरण नियमों और कुछ प्राथमिक कार्यों के इंटीग्रल की एक तालिका देखते हैं। यह देखना आसान है कि किसी भी सारणीबद्ध अभिन्न (और वास्तव में कोई अनिश्चित अभिन्न) का रूप है:
आइए सीधे संकेतन और शर्तों पर आते हैं:
- अभिन्न चिह्न।
- एकीकृत कार्य ("एस" अक्षर के साथ लिखा गया)।
- अंतर चिह्न। इंटीग्रल लिखते समय और समाधान के दौरान, यह महत्वपूर्ण है कि इस आइकन को न खोएं। ध्यान देने योग्य दोष होगा।
इंटीग्रल का इंटीग्रैंड या "स्टफिंग" है।
– विरोधी व्युत्पन्न कार्य.
विरोधी व्युत्पन्न कार्यों का सेट है। आपको शब्दों से बहुत अधिक लोड होने की आवश्यकता नहीं है, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि किसी भी अनिश्चित अभिन्न में, उत्तर में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है।
एक समाकलन को हल करने का अर्थ है कुछ नियमों, तकनीकों और एक तालिका का उपयोग करके एक विशिष्ट कार्य खोजना।
आइए फिर से प्रविष्टि पर एक नज़र डालें:
आइए इंटीग्रल की तालिका देखें।
क्या हो रहा है? हमारे बाएं हिस्से मुड़ रहे हैंअन्य कार्यों के लिए:।
आइए हमारी परिभाषा को सरल बनाएं।
अनिश्चित समाकलन को हल करने के लिए कुछ नियमों, तकनीकों और एक तालिका का उपयोग करके इसे एक निश्चित कार्य में बदलना है।
उदाहरण के लिए, टेबल इंटीग्रल लें 
. क्या हुआ? एक समारोह में बदल गया।
जैसा कि डेरिवेटिव के मामले में होता है, यह जानने के लिए कि समाकलों को कैसे खोजना है, इसके बारे में पता होना आवश्यक नहीं है एक अभिन्न क्या है?, सैद्धांतिक दृष्टिकोण से व्युत्पन्न कार्य। कुछ औपचारिक नियमों के अनुसार परिवर्तन करना ही पर्याप्त है। तो, मामले में 
यह समझना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है कि अभिन्न वास्तव में क्यों बदल जाता है। जबकि इसे और अन्य फॉर्मूले को हल्के में लेना संभव है। बिजली का उपयोग हर कोई करता है, लेकिन बहुत कम लोग सोचते हैं कि तारों के साथ इलेक्ट्रॉन कैसे चलते हैं।
चूँकि विभेदीकरण और एकीकरण विपरीत संक्रियाएँ हैं, तो किसी भी प्रतिअवकलन के लिए जो पाया जाता है सही, निम्नलिखित सत्य है:
दूसरे शब्दों में, यदि सही उत्तर विभेदित है, तो मूल समाकलन अनिवार्य रूप से प्राप्त किया जाना चाहिए।
आइए एक ही टेबल इंटीग्रल पर वापस जाएं 
.
आइए इस सूत्र की वैधता को सत्यापित करें। हम दाईं ओर का व्युत्पन्न लेते हैं:
मूल समाकलन है।
वैसे, यह स्पष्ट हो गया कि एक स्थिरांक को हमेशा एक फ़ंक्शन को क्यों सौंपा जाता है। अंतर करते समय, एक स्थिरांक हमेशा शून्य में बदल जाता है।
अनिश्चितकालीन अभिन्न को हल करेंइसका मतलब है ढूँढना गुच्छा सबविरोधी व्युत्पन्न, और कुछ एकल कार्य नहीं। माना सारणीबद्ध उदाहरण में, , , , आदि - ये सभी फलन समाकलन का हल हैं । असीम रूप से कई समाधान हैं, इसलिए वे संक्षेप में लिखते हैं:
इस प्रकार, किसी भी अनिश्चित अभिन्न को जांचना काफी आसान है (डेरिवेटिव के विपरीत, जहां सौ-पाउंड की अच्छी जांच केवल गणितीय कार्यक्रमों की मदद से की जा सकती है)। यह बड़ी संख्या में विभिन्न प्रकार के समाकलनों के लिए कुछ क्षतिपूर्ति है।
आइए विशिष्ट उदाहरणों पर चलते हैं। आइए शुरू करते हैं, जैसा कि व्युत्पन्न के अध्ययन में है,
दो एकीकरण नियमों के साथ, जिन्हें भी कहा जाता है रैखिकता गुण
अनिश्चितकालीन अभिन्न:
- एक स्थिर कारक को अभिन्न चिह्न से (और चाहिए) निकाला जा सकता है।
- दो फलनों के बीजीय योग का समाकल अलग-अलग प्रत्येक फलन के दो समाकलों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है। यह संपत्ति कई शर्तों के लिए मान्य है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, नियम मूल रूप से डेरिवेटिव के समान ही हैं।
उदाहरण 1
समाधान: इसे कागज पर फिर से लिखना अधिक सुविधाजनक है। 
(1) नियम लागू करना 
. प्रत्येक इंटीग्रल के नीचे डिफरेंशियल साइन लिखना न भूलें। प्रत्येक के तहत क्यों? एक पूर्ण गुणक है, यदि आप समाधान को बहुत विस्तार से चित्रित करते हैं, तो पहला चरण इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: 
(2) नियम के अनुसार , हम सभी अचरों को समाकलकों के चिह्नों में से निकालते हैं। कृपया ध्यान दें कि अंतिम पद में यह एक स्थिरांक है, हम इसे भी निकालते हैं।
इसके अलावा, इस चरण में हम एकीकरण के लिए मूल और अंश तैयार करते हैं। उसी तरह जैसे विभेदन के साथ, जड़ों को रूप में दर्शाया जाना चाहिए। हर में स्थित जड़ें और अंश - ऊपर की ओर बढ़ते हैं।
!
नोट: डेरिवेटिव के विपरीत, इंटीग्रल में जड़ों को हमेशा फॉर्म में नहीं लाया जाना चाहिए, लेकिन डिग्री को ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक तैयार सारणीबद्ध अभिन्न है, और सभी प्रकार की चीनी तरकीबें जैसे 
पूरी तरह से अनावश्यक। इसी प्रकार: - एक सारणीबद्ध समाकलन भी, किसी भिन्न को रूप में निरूपित करने का कोई अर्थ नहीं है। तालिका का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें!
(3) सभी समाकल सारणीबद्ध हैं। हम सूत्रों का उपयोग करके तालिका का उपयोग करके परिवर्तन करते हैं: 
, 
और ।
मैं पावर फ़ंक्शन को एकीकृत करने के सूत्र पर विशेष ध्यान देता हूं 
, यह बहुत बार होता है, इसे याद रखना बेहतर है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तालिका अभिन्न एक ही सूत्र का एक विशेष मामला है: 
.
अभिव्यक्ति के अंत में एक बार स्थिरांक जोड़ने के लिए पर्याप्त है (और प्रत्येक अभिन्न के बाद उन्हें नहीं रखना).
(4) हम प्राप्त परिणाम को अधिक कॉम्पैक्ट रूप में लिखते हैं, हम फिर से फॉर्म की सभी डिग्री को जड़ों के रूप में प्रस्तुत करते हैं, एक नकारात्मक घातांक वाली डिग्री वापस हर पर रीसेट हो जाती है।
इंतिहान। जाँच करने के लिए, आपको प्राप्त उत्तर में अंतर करना होगा: 
प्रारंभिक एकीकृत, इसलिए अभिन्न सही ढंग से पाया जाता है। उन्होंने जो नृत्य किया, उसी से वे लौट आए। तुम्हें पता है, यह बहुत अच्छा है जब अभिन्न के साथ कहानी ऐसे ही समाप्त होती है।
समय-समय पर अनिश्चित अभिन्न की जाँच करने के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण होता है, व्युत्पन्न नहीं, लेकिन अंतर को उत्तर से लिया जाता है: 
जो पहले सेमेस्टर से समझ गए थे, वे समझ गए थे, लेकिन अब हमें सैद्धांतिक सूक्ष्मताओं में कोई दिलचस्पी नहीं है, लेकिन महत्वपूर्ण यह है कि इस अंतर का क्या किया जाए। इसे प्रकट करने की आवश्यकता है, और औपचारिक तकनीकी दृष्टिकोण से, यह लगभग एक व्युत्पन्न खोजने जैसा ही है। अंतर निम्नानुसार प्रकट होता है: हम आइकन को हटाते हैं, हम ब्रैकेट के ऊपर दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाते हैं, अभिव्यक्ति के अंत में हम गुणक को विशेषता देते हैं:
मूल प्राप्त किया एकीकृत, इसलिए अभिन्न सही ढंग से पाया जाता है।
मुझे कम चेक करने का दूसरा तरीका पसंद है, क्योंकि मुझे अतिरिक्त रूप से बड़े ब्रैकेट बनाने हैं और डिफरेंशियल आइकन को चेक के अंत तक खींचना है। हालांकि यह अधिक सही या "अधिक ठोस" या कुछ और है।
वास्तव में, मैं आमतौर पर सत्यापन के दूसरे तरीके के बारे में चुप रह सकता था। बात तरीके में नहीं है, बल्कि इस बात में है कि हमने अंतर को खोलना सीख लिया है। दोबारा।
अंतर निम्नानुसार प्रकट होता है:
1) आइकन हटा दें;
2) ब्रैकेट के ऊपर दाईं ओर एक स्ट्रोक लगाएं (व्युत्पन्न का पदनाम);
3) व्यंजक के अंत में हम गुणनखंड का गुणनखंड करते हैं।
उदाहरण के लिए:
यह याद रखना। हमें जल्द ही विचार की गई तकनीक की आवश्यकता होगी।
उदाहरण 2
अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ। 
जब हम अनिश्चित समाकल पाते हैं, तो हम हमेशा जाँच करने का प्रयास करते हैंइसके अलावा, इसके लिए एक बड़ा अवसर है। उच्च गणित में सभी प्रकार की समस्याएं इस दृष्टिकोण से उपहार नहीं हैं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि नियंत्रण कार्यों में अक्सर सत्यापन की आवश्यकता नहीं होती है, कोई नहीं, और कुछ भी इसे मसौदे पर किए जाने से रोकता है। एक अपवाद तभी बनाया जा सकता है जब पर्याप्त समय न हो (उदाहरण के लिए, परीक्षा में, परीक्षा में)। व्यक्तिगत रूप से, मैं हमेशा इंटीग्रल की जांच करता हूं, और मैं सत्यापन की कमी को हैक और खराब तरीके से पूरा किया गया कार्य मानता हूं।
उदाहरण 3
अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ। 
हल: समाकल का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि हमारे पास दो फलनों का गुणनफल है, और यहाँ तक कि एक संपूर्ण व्यंजक को एक घात तक बढ़ा देते हैं। दुर्भाग्य से, अभिन्न लड़ाई के क्षेत्र में उत्पाद और भागफल को एकीकृत करने के लिए कोई अच्छा और सुविधाजनक सूत्र नहीं है 
, 
.
और इसलिए, जब कोई उत्पाद या भागफल दिया जाता है, तो यह देखना हमेशा समझ में आता है कि क्या समाकलन को योग में बदलना संभव है?
माना उदाहरण वह मामला है जब यह संभव हो। सबसे पहले मैं इसका पूरा समाधान दूंगा, कमेंट नीचे होंगे।
(1) हम डिग्री से छुटकारा पाने के लिए योग के वर्ग के अच्छे पुराने सूत्र का उपयोग करते हैं।
(2) हम उत्पाद से छुटकारा पाकर कोष्ठक में डालते हैं।
उदाहरण 4
अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ।
यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है। पाठ के अंत में उत्तर और पूर्ण समाधान।
उदाहरण 5
अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ। 
इस उदाहरण में, समाकलन एक भिन्न है। जब हम एक अंश को समाकलन में देखते हैं, तो पहला विचार यह प्रश्न होना चाहिए: क्या किसी तरह इस अंश से छुटकारा पाना संभव है, या कम से कम इसे सरल बनाना?
हम देखते हैं कि हर में "x" का एक अकेला मूल होता है। क्षेत्र में एक योद्धा नहीं है, जिसका अर्थ है कि आप अंश को हर पद में विभाजित कर सकते हैं: 
मैं भिन्नात्मक शक्तियों वाले कार्यों पर टिप्पणी नहीं करता, क्योंकि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर लेखों में उनकी बार-बार चर्चा की गई है। यदि आप अभी भी इस तरह के उदाहरण से हैरान हैं, और आपको किसी भी तरह से सही उत्तर नहीं मिल रहा है, तो मैं स्कूल की पाठ्यपुस्तकों की ओर मुड़ने की सलाह देता हूं। उच्च गणित में, हर कदम पर उनके साथ भिन्न और संचालन का सामना करना पड़ता है।
यह भी ध्यान दें कि समाधान एक कदम छोड़ देता है, अर्थात् नियमों को लागू करना , 
. आमतौर पर, इंटीग्रल को हल करने के शुरुआती अनुभव के साथ भी, इन गुणों को हल्के में लिया जाता है और इसका विस्तार से वर्णन नहीं किया जाता है।
उदाहरण 6
अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ। 
यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है। पाठ के अंत में उत्तर और पूर्ण समाधान।
सामान्य तौर पर, अभिन्न में अंशों के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है, कुछ प्रकार के अंशों के एकीकरण पर अतिरिक्त सामग्री लेख में पाई जा सकती है। कुछ भिन्नों का एकीकरण.
! लेकिन, उपरोक्त लेख पर आगे बढ़ने से पहले, आपको पाठ को पढ़ना होगा। अनिश्चितकालीन अभिन्न में प्रतिस्थापन विधि. तथ्य यह है कि एक अंतर या एक चर परिवर्तन विधि के तहत एक फ़ंक्शन का योग है मुख्य बिंदुविषय के अध्ययन में, क्योंकि यह न केवल "प्रतिस्थापन विधि के लिए शुद्ध असाइनमेंट में" पाया जाता है, बल्कि कई अन्य प्रकार के इंटीग्रल में भी पाया जाता है।
मैं वास्तव में इस पाठ में कुछ और उदाहरण शामिल करना चाहता था, लेकिन अब मैं इस पाठ को वर्डे में टाइप कर रहा हूं और मैंने देखा कि लेख पहले से ही एक अच्छे आकार में बढ़ गया है।
और इसलिए डमी के लिए इंटीग्रल का परिचयात्मक पाठ्यक्रम समाप्त हो गया है।
आप शुभकामनाएँ!
समाधान और उत्तर:
उदाहरण 2: फेसला:
उदाहरण 4: फेसला:
इस उदाहरण में, हमने घटा हुआ गुणन सूत्र का उपयोग किया है
उदाहरण 6: फेसला:
मैंने जाँच की, क्या तुमने? ;)
उच्च गणित और विज्ञान की अन्य तकनीकी शाखाओं में अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजना एक बहुत ही सामान्य समस्या है। यहां तक कि सरलतम भौतिक समस्याओं का समाधान भी कई सरल समाकलों की गणना के बिना अक्सर पूरा नहीं होता है। इसलिए, स्कूली उम्र से, हमें इंटीग्रल को हल करने की तकनीक और तरीके सिखाए जाते हैं, सरल कार्यों के इंटीग्रल के साथ कई टेबल दिए जाते हैं। हालांकि, समय के साथ, यह सब सुरक्षित रूप से भुला दिया जाता है, या तो हमारे पास गणना के लिए पर्याप्त समय नहीं है या हमें इसकी आवश्यकता है अनिश्चितकालीन अभिन्न का हल खोजेंएक बहुत ही जटिल कार्य से। इन समस्याओं को हल करने के लिए, हमारी सेवा आपके लिए अनिवार्य होगी, जो आपको अनिश्चितकालीन अभिन्न ऑनलाइन सटीक रूप से खोजने की अनुमति देती है।
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