मान लीजिए कि सीधी रेखा बिंदुओं M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) से होकर गुजरती है। बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है y- y 1 \u003d क (एक्स - एक्स 1), (10.6)

कहाँ पे क - अभी भी अज्ञात गुणांक।

चूंकि सीधी रेखा बिंदु M 2 (x 2 y 2) से होकर गुजरती है, इसलिए इस बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण (10.6): y 2 -y 1 \u003d को पूरा करना चाहिए क (एक्स 2-एक्स 1)।

यहाँ से हम पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए पाते हैं क समीकरण (10.6) में, हम बिंदुओं M 1 और M 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह माना जाता है कि इस समीकरण में x 1 x 2, y 1 y 2

यदि x 1 \u003d x 2, तो बिंदु M 1 (x 1, y I) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है। इसका समीकरण है एक्स = एक्स 1 .

यदि y 2 \u003d y I, तो सीधी रेखा के समीकरण को y \u003d y 1 के रूप में लिखा जा सकता है, सीधी रेखा M 1 M 2 x-अक्ष के समानांतर है।

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

मान लें कि सीधी रेखा ऑक्स अक्ष को बिंदु M 1 (a; 0) पर और Oy अक्ष को बिंदु M 2 (0; b) पर काटती है। समीकरण रूप लेगा:
वे।
. इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, क्योंकि संख्या ए और बी इंगित करते हैं कि कौन सी रेखाएं समन्वय अक्षों पर सीधी रेखा काटती हैं.

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

आइए किसी दिए गए बिंदु Mo (x O; y o) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो किसी दिए गए गैर-शून्य वेक्टर n = (A; B) के लंबवत है।

सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x; y) लें और वेक्टर M 0 M (x - x 0; y - y o) पर विचार करें (चित्र 1 देखें)। चूँकि सदिश n और M o M लंबवत हैं, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है: अर्थात,

ए (एक्स - एक्सओ) + बी (वाई - यो) = 0। (10.8)

समीकरण (10.8) कहा जाता है किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण .

वेक्टर n = (ए; बी) रेखा के लंबवत को सामान्य कहा जाता है इस लाइन का सामान्य वेक्टर .

समीकरण (10.8) को फिर से लिखा जा सकता है आह + वू + सी = 0 , (10.9)

जहाँ A और B सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, C \u003d -Ax o - Vu o - मुक्त सदस्य। समीकरण (10.9) एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है(चित्र 2 देखें)।

Fig.1 Fig.2

सीधी रेखा के विहित समीकरण

,

कहाँ
उस बिंदु के निर्देशांक हैं जिससे होकर रेखा गुजरती है, और
- दिशा वेक्टर।

दूसरे क्रम के वक्र वृत्त

वृत्त किसी दिए गए बिंदु से समदूरस्थ तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है, जिसे केंद्र कहा जाता है।

त्रिज्या के एक वृत्त का विहित समीकरण आर एक बिंदु पर केंद्रित
:

विशेष रूप से, यदि हिस्सेदारी का केंद्र मूल के साथ मेल खाता है, तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अंडाकार

एक दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का एक समूह है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग और , जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है
, foci . के बीच की दूरी से अधिक
.

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण जिसका फॉसी ऑक्स अक्ष पर स्थित है और जिसका मूल फॉसी के बीच में है, का रूप है
जी डेए प्रमुख अर्ध-अक्ष की लंबाई;बी लघु अर्धअक्ष की लंबाई है (चित्र 2)।

एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण।
दिशा वेक्टर सीधा है। सामान्य वेक्टर

समतल पर एक सीधी रेखा सबसे सरल ज्यामितीय आकृतियों में से एक है, जो आपको प्राथमिक ग्रेड से परिचित है, और आज हम सीखेंगे कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके इससे कैसे निपटें। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, एक सीधी रेखा बनाने में सक्षम होना आवश्यक है; जानिए कौन सा समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और निर्देशांक अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएँ। यह जानकारी मैनुअल में पाई जा सकती है। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण, मैंने इसे मटन के लिए बनाया था, लेकिन रैखिक फ़ंक्शन पर अनुभाग बहुत सफल और विस्तृत निकला। इसलिए, प्रिय चायदानी, पहले वहां वार्म अप करें। इसके अलावा, आपको का बुनियादी ज्ञान होना चाहिए वैक्टरअन्यथा सामग्री की समझ अधूरी होगी।

इस पाठ में, हम उन तरीकों को देखेंगे जिनसे आप एक समतल में एक सीधी रेखा का समीकरण लिख सकते हैं। मैं व्यावहारिक उदाहरणों की उपेक्षा नहीं करने की सलाह देता हूं (भले ही यह बहुत सरल लगता हो), क्योंकि मैं उन्हें प्राथमिक और महत्वपूर्ण तथ्यों, तकनीकी विधियों की आपूर्ति करूंगा, जिनकी भविष्य में आवश्यकता होगी, जिसमें उच्च गणित के अन्य खंड भी शामिल हैं।

• ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
• कैसे ?
• एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा दिशा सदिश कैसे ज्ञात करें?
• एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

और हम शुरू करते हैं:

ढलान के साथ रेखा समीकरण

एक सीधी रेखा के समीकरण के प्रसिद्ध "विद्यालय" रूप को कहा जाता है एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण. उदाहरण के लिए, यदि समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी गई है, तो उसका ढलान: . इस गुणांक के ज्यामितीय अर्थ पर विचार करें और इसका मान रेखा के स्थान को कैसे प्रभावित करता है:

ज्यामिति के क्रम में यह सिद्ध होता है कि सीधी रेखा का ढलान है कोण की स्पर्श रेखासकारात्मक अक्ष दिशा के बीचऔर दी गई लाइन: , और कोना वामावर्त "अनस्क्रूड" है।

ड्राइंग को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैंने केवल दो सीधी रेखाओं के लिए कोण बनाए। "लाल" सीधी रेखा और उसकी ढलान पर विचार करें। उपरोक्त के अनुसार: (कोण "अल्फा" एक हरे रंग के चाप द्वारा दर्शाया गया है)। ढलान वाली "नीली" रेखा के लिए, समानता सत्य है (कोण "बीटा" भूरे रंग के चाप द्वारा इंगित किया गया है)। और यदि कोण की स्पर्श रेखा ज्ञात हो, तो यदि आवश्यक हो तो इसे खोजना आसान है और कोनेव्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करना - चाप स्पर्शरेखा। जैसा कि वे कहते हैं, एक त्रिकोणमितीय तालिका या हाथ में एक कैलकुलेटर। इस प्रकार, ढलान एक्स-अक्ष के लिए सीधी रेखा के झुकाव की डिग्री को दर्शाता है.

इस मामले में, निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) यदि ढाल ऋणात्मक है: तो रेखा मोटे तौर पर ऊपर से नीचे की ओर जाती है। उदाहरण ड्राइंग में "नीली" और "क्रिमसन" सीधी रेखाएं हैं।

2) यदि ढाल धनात्मक है: , तो रेखा नीचे से ऊपर की ओर जाती है। उदाहरण ड्राइंग में "काली" और "लाल" सीधी रेखाएं हैं।

3) यदि ढलान शून्य: के बराबर है, तो समीकरण रूप लेता है, और संबंधित रेखा अक्ष के समानांतर होती है। एक उदाहरण "पीली" रेखा है।

4) अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के परिवार के लिए (चित्र में कोई उदाहरण नहीं है, केवल अक्ष को छोड़कर), ढलान मौजूद नहीं होना (90 डिग्री की स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं).

ढलान मोडुलो जितना बड़ा होगा, रेखा ग्राफ उतना ही तेज होगा.

उदाहरण के लिए, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। यहाँ, इसलिए सीधी रेखा का ढलान अधिक है। मैं आपको याद दिलाता हूं कि मॉड्यूल आपको संकेत को अनदेखा करने की अनुमति देता है, हम केवल इसमें रुचि रखते हैं सम्पूर्ण मूल्यकोणीय गुणांक।

बदले में, एक सीधी रेखा सीधी रेखाओं की तुलना में अधिक कठोर होती है। .

इसके विपरीत: ढलान मोडुलो जितना छोटा होगा, सीधी रेखा चापलूसी होगी.

सीधी रेखाओं के लिए असमानता सत्य है, इस प्रकार, सीधी रेखा एक छत्र से अधिक है। बच्चों की स्लाइड, ताकि चोट और धक्कों को न लगाया जाए।

इसकी आवश्यकता क्यों है?

अपनी पीड़ा को लम्बा करें उपरोक्त तथ्यों को जानने से आप अपनी गलतियों को तुरंत देख सकते हैं, विशेष रूप से, रेखांकन की साजिश करते समय त्रुटियां - यदि चित्र "स्पष्ट रूप से कुछ गलत है" निकला। यह वांछनीय है कि आप तुरंतयह स्पष्ट था कि, उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा बहुत खड़ी है और नीचे से ऊपर की ओर जाती है, और एक सीधी रेखा बहुत सपाट है, अक्ष के करीब है और ऊपर से नीचे तक जाती है।

ज्यामितीय समस्याओं में, कई सीधी रेखाएँ अक्सर दिखाई देती हैं, इसलिए उन्हें किसी तरह निरूपित करना सुविधाजनक है।

नोटेशन: सीधी रेखाएँ छोटे लैटिन अक्षरों द्वारा इंगित की जाती हैं: . एक लोकप्रिय विकल्प प्राकृतिक सबस्क्रिप्ट के साथ एक ही अक्षर का पदनाम है। उदाहरण के लिए, जिन पांच पंक्तियों पर हमने अभी विचार किया है, उन्हें द्वारा निरूपित किया जा सकता है .

चूँकि कोई भी रेखा दो बिंदुओं द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है, इसे इन बिंदुओं द्वारा निरूपित किया जा सकता है: आदि। संकेतन का स्पष्ट रूप से तात्पर्य है कि बिंदु रेखा से संबंधित हैं।

थोड़ा आराम करने का समय:

ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि एक बिंदु ज्ञात है जो एक निश्चित रेखा से संबंधित है, और इस रेखा का ढलान है, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

उदाहरण 1

एक ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए यदि यह ज्ञात हो कि बिंदु इस सीधी रेखा का है।

फेसला: हम सूत्र के अनुसार एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करेंगे . इस मामले में:

जवाब:

इंतिहानप्राथमिक रूप से प्रदर्शन किया। सबसे पहले, हम परिणामी समीकरण को देखते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारी ढलान अपनी जगह पर है। दूसरा, बिंदु के निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। आइए उन्हें समीकरण में प्लग करें:

सही समानता प्राप्त की जाती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

निष्कर्ष: समीकरण सही पाया गया।

स्वयं करें समाधान के लिए एक अधिक कठिन उदाहरण:

उदाहरण 2

एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए यदि यह ज्ञात हो कि इसका झुकाव कोण अक्ष की धनात्मक दिशा से है और बिंदु इस सीधी रेखा का है।

यदि आपको कोई कठिनाई है, तो सैद्धांतिक सामग्री को फिर से पढ़ें। अधिक सटीक, अधिक व्यावहारिक, मुझे कई प्रमाण याद आते हैं।

आखिरी घंटी बजी, स्नातक की गेंद मर गई, और हमारे मूल स्कूल के द्वार के पीछे, वास्तव में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति हमारी प्रतीक्षा कर रही है। मजाक खत्म हो गया... शायद यह अभी शुरू हो रहा है =)

उदासीन रूप से हम हैंडल को परिचित तक ले जाते हैं और एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से परिचित हो जाते हैं। चूंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति में यह ठीक यही है जो उपयोग में है:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का रूप होता है: , कुछ संख्याएँ कहाँ हैं। उसी समय, गुणांक इसके साथ हीशून्य के बराबर नहीं हैं, क्योंकि समीकरण अपना अर्थ खो देता है।

चलो एक सूट पहनते हैं और एक ढलान के साथ एक समीकरण बाँधते हैं। सबसे पहले, हम सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाते हैं:

"x" शब्द को पहले स्थान पर रखा जाना चाहिए:

सिद्धांत रूप में, समीकरण में पहले से ही रूप है, लेकिन गणितीय शिष्टाचार के नियमों के अनुसार, पहले पद का गुणांक (इस मामले में) सकारात्मक होना चाहिए। बदलते संकेत:

इस तकनीकी विशेषता को याद रखें!हम पहले गुणांक (सबसे अधिक बार) को सकारात्मक बनाते हैं!

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक सीधी रेखा का समीकरण लगभग हमेशा एक सामान्य रूप में दिया जाएगा। ठीक है, यदि आवश्यक हो, तो इसे ढलान के साथ "स्कूल" रूप में लाना आसान है (वाई-अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के अपवाद के साथ)।

आइए खुद से पूछें क्या बस एएक सीधी रेखा बनाना जानते हैं? दो बिंदु। लेकिन इस बचपन के मामले के बारे में बाद में, अब तीर के नियम के साथ चिपक जाता है। प्रत्येक सीधी रेखा में एक अच्छी तरह से परिभाषित ढलान होता है, जिसके लिए "अनुकूलन" करना आसान होता है वेक्टर.

एक सदिश जो एक रेखा के समानांतर होता है, उस रेखा का दिशा सदिश कहलाता है।. जाहिर है, किसी भी सीधी रेखा में असीम रूप से कई दिशा वाले वैक्टर होते हैं, और वे सभी समरेखीय होंगे (सह-निर्देशित या नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।

मैं दिशा वेक्टर को निम्नानुसार निरूपित करूंगा: ।

लेकिन एक सीधी रेखा बनाने के लिए एक वेक्टर पर्याप्त नहीं है, वेक्टर मुक्त है और विमान के किसी भी बिंदु से जुड़ा नहीं है। इसलिए, रेखा से संबंधित किसी बिंदु को जानना भी आवश्यक है।

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिए गए सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि रेखा से संबंधित कोई बिंदु और इस रेखा के निर्देशन सदिश ज्ञात हो, तो इस रेखा के समीकरण को सूत्र द्वारा संकलित किया जा सकता है:

कभी-कभी इसे कहा जाता है रेखा का विहित समीकरण .

क्या करें जब निर्देशांक में से एकशून्य है, हम नीचे व्यावहारिक उदाहरण देखेंगे। वैसे ध्यान दें- दोनों एक साथनिर्देशांक शून्य नहीं हो सकते, क्योंकि शून्य वेक्टर एक विशिष्ट दिशा निर्दिष्ट नहीं करता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें

फेसला: हम सूत्र के अनुसार एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करेंगे। इस मामले में:

अनुपात के गुणों का उपयोग करके, हम भिन्नों से छुटकारा पाते हैं:

और हम समीकरण को एक सामान्य रूप में लाते हैं:

जवाब:

ऐसे उदाहरणों में चित्र बनाना, एक नियम के रूप में, आवश्यक नहीं है, लेकिन समझने के लिए:

ड्राइंग में, हम प्रारंभिक बिंदु, मूल दिशा वेक्टर (इसे विमान के किसी भी बिंदु से स्थगित किया जा सकता है) और निर्मित रेखा देखते हैं। वैसे, कई मामलों में, ढलान समीकरण का उपयोग करके एक सीधी रेखा का निर्माण सबसे आसानी से किया जाता है। हमारे समीकरण को फॉर्म में बदलना आसान है और बिना किसी समस्या के एक सीधी रेखा बनाने के लिए एक और बिंदु उठाएं।

जैसा कि खंड की शुरुआत में उल्लेख किया गया है, एक रेखा में असीम रूप से कई दिशा सदिश होते हैं, और वे सभी संरेख हैं। उदाहरण के लिए, मैंने ऐसे तीन वैक्टर बनाए: . हम जो भी दिशा वेक्टर चुनते हैं, परिणाम हमेशा वही सीधी रेखा समीकरण होगा।

आइए एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें:

अनुपात को तोड़ना:

दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें और परिचित समीकरण प्राप्त करें:

जो लोग चाहते हैं वे इसी तरह वैक्टर का परीक्षण कर सकते हैं या कोई अन्य संरेख सदिश।

आइए अब व्युत्क्रम समस्या को हल करें:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा दिशा सदिश कैसे ज्ञात करें?

बहुत आसान:

यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सामान्य समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी जाती है, तो वेक्टर इस सीधी रेखा का दिशा वेक्टर होता है।

सीधी रेखाओं के दिशा सदिश खोजने के उदाहरण:

कथन हमें अनंत सेट से केवल एक दिशा वेक्टर खोजने की अनुमति देता है, लेकिन हमें और अधिक की आवश्यकता नहीं है। हालांकि कुछ मामलों में दिशा वैक्टर के निर्देशांक को कम करने की सलाह दी जाती है:

तो, समीकरण एक सीधी रेखा को निर्दिष्ट करता है जो अक्ष के समानांतर है, और परिणामी स्टीयरिंग वेक्टर के निर्देशांक आसानी से -2 से विभाजित होते हैं, स्टीयरिंग वेक्टर के रूप में बिल्कुल आधार वेक्टर प्राप्त करते हैं। तर्क में।

इसी तरह, समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, और वेक्टर के निर्देशांक को 5 से विभाजित करने पर, हमें दिशा वेक्टर के रूप में ort मिलता है।

अब अमल करते हैं उदाहरण की जाँच करें 3. उदाहरण ऊपर चला गया, इसलिए मैं आपको याद दिलाता हूं कि इसमें हमने एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाया था

सबसे पहले, एक सीधी रेखा के समीकरण के अनुसार, हम इसके निर्देशन वेक्टर को पुनर्स्थापित करते हैं: - सब कुछ ठीक है, हमें मूल वेक्टर मिला है (कुछ मामलों में, यह मूल वेक्टर के समरेखीय हो सकता है, और यह आमतौर पर संबंधित निर्देशांक की आनुपातिकता से देखना आसान होता है)।

दूसरे, बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। हम उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

सही समानता प्राप्त हुई है, जिससे हम बहुत प्रसन्न हैं।

निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ।

उदाहरण 4

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में समाधान और उत्तर। अभी विचार किए गए एल्गोरिथम के अनुसार जांच करना अत्यधिक वांछनीय है। मसौदे पर हमेशा (यदि संभव हो) जांच करने का प्रयास करें। ऐसी गलतियाँ करना मूर्खता है जहाँ उन्हें 100% टाला जा सकता है।

इस घटना में कि दिशा वेक्टर के निर्देशांक में से एक शून्य है, यह करना बहुत आसान है:

उदाहरण 5

फेसला: सूत्र अमान्य है क्योंकि दाईं ओर हर शून्य है। एक निकास है! अनुपात के गुणों का उपयोग करते हुए, हम फॉर्मूले को फॉर्म में फिर से लिखते हैं, और बाकी को एक गहरी रट के साथ घुमाते हैं:

जवाब:

इंतिहान:

1) सीधी रेखा के दिशा वेक्टर को पुनर्स्थापित करें:
- परिणामी वेक्टर मूल दिशा वेक्टर के समरेखीय है।

2) समीकरण में बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें:

सही समानता प्राप्त होती है

निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ

सवाल उठता है, अगर कोई सार्वभौमिक संस्करण है जो वैसे भी काम करेगा, तो सूत्र से परेशान क्यों हैं? दो कारण हैं। सबसे पहले, भिन्नात्मक सूत्र याद रखने के लिए बहुत बेहतर है. और दूसरी बात, सार्वभौमिक सूत्र का नुकसान यह है कि भ्रम का खतरा काफी बढ़ गयानिर्देशांक प्रतिस्थापित करते समय।

उदाहरण 6

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें।

यह स्वयं का उदाहरण है।

आइए सर्वव्यापी दो बिंदुओं पर लौटते हैं:

दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को सूत्र का उपयोग करके संकलित किया जा सकता है:

वास्तव में, यह एक प्रकार का सूत्र है, और यहाँ क्यों है: यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, तो सदिश इस रेखा का दिशा सदिश होगा। सबक पर डमी के लिए वेक्टरहमने सबसे सरल समस्या पर विचार किया - दो बिंदुओं से एक वेक्टर के निर्देशांक कैसे खोजें। इस समस्या के अनुसार, दिशा वेक्टर के निर्देशांक:

टिप्पणी : अंक "स्वैप" किए जा सकते हैं और सूत्र का उपयोग कर सकते हैं . ऐसा निर्णय समान होगा।

उदाहरण 7

दो बिंदुओं से एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए .

फेसला: सूत्र का प्रयोग करें:

हम भाजक को कंघी करते हैं:

और डेक को फेरबदल करें:

भिन्नात्मक संख्याओं से छुटकारा पाना अब सुविधाजनक है। इस मामले में, आपको दोनों भागों को 6 से गुणा करना होगा:

कोष्ठक खोलिए और समीकरण को ध्यान में रखिए:

जवाब:

इंतिहानस्पष्ट है - प्रारंभिक बिंदुओं के निर्देशांक परिणामी समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:

1) बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें:

सच्ची समानता।

2) बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें:

सच्ची समानता।

निष्कर्ष: सरल रेखा का समीकरण सही है।

यदि एक कम से कम एकअंक समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं, एक त्रुटि की तलाश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस मामले में चित्रमय सत्यापन मुश्किल है, क्योंकि एक रेखा बनाने और यह देखने के लिए कि क्या बिंदु इससे संबंधित हैं , इतना आसान नही।

मैं समाधान के कुछ तकनीकी बिंदुओं पर ध्यान दूंगा। शायद इस समस्या में दर्पण सूत्र का उपयोग करना अधिक लाभदायक है और, समान बिंदुओं के लिए एक समीकरण बनाओ:

कम अंश हैं। आप चाहें तो हल को अंत तक पूरा कर सकते हैं, परिणाम समान समीकरण होना चाहिए।

दूसरा बिंदु यह है कि अंतिम उत्तर को देखें और देखें कि क्या इसे और सरल बनाया जा सकता है? उदाहरण के लिए, यदि एक समीकरण प्राप्त होता है, तो इसे दो से कम करने की सलाह दी जाती है: - समीकरण समान सीधी रेखा सेट करेगा। हालाँकि, यह पहले से ही बातचीत का विषय है सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था.

उत्तर प्राप्त करने के बाद उदाहरण 7 में, केवल मामले में, मैंने जाँच की कि क्या समीकरण के सभी गुणांक 2, 3 या 7 से विभाज्य हैं। हालाँकि, अक्सर ऐसी कटौती समाधान के दौरान की जाती है।

उदाहरण 8

बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए .

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, जो आपको गणना तकनीक को बेहतर ढंग से समझने और काम करने की अनुमति देगा।

पिछले पैराग्राफ के समान: यदि सूत्र में हर में से एक (दिशा वेक्टर निर्देशांक) गायब हो जाता है, फिर हम इसे फिर से लिखते हैं। और फिर, ध्यान दें कि वह कितनी अजीब और भ्रमित दिखने लगी थी। मुझे व्यावहारिक उदाहरण देने का कोई मतलब नहीं दिखता, क्योंकि हम वास्तव में इस तरह की समस्या को पहले ही हल कर चुके हैं (देखें संख्या 5, 6)।

सीधी रेखा सामान्य वेक्टर (सामान्य वेक्टर)

सामान्य क्या है? सरल शब्दों में, एक सामान्य एक लंबवत है। अर्थात् किसी रेखा का अभिलंब सदिश दी गई रेखा पर लंबवत होता है। यह स्पष्ट है कि किसी भी सीधी रेखा में उनकी अनंत संख्या होती है (साथ ही निर्देशन वैक्टर), और सीधी रेखा के सभी सामान्य वैक्टर समरेखीय होंगे (कोडरेक्शनल या नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।

दिशा वैक्टर की तुलना में उनसे निपटना और भी आसान होगा:

यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सामान्य समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी जाती है, तो वेक्टर इस सीधी रेखा का सामान्य वेक्टर होता है।

यदि दिशा वेक्टर के निर्देशांक को समीकरण से सावधानीपूर्वक "बाहर निकाला" जाना है, तो सामान्य वेक्टर के निर्देशांक बस "हटाए गए" हो सकते हैं।

सामान्य वेक्टर हमेशा रेखा के दिशा वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल होता है। हम इन वैक्टरों की ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके सत्यापित करेंगे डॉट उत्पाद:

मैं दिशा वेक्टर के समान समीकरणों के साथ उदाहरण दूंगा:

क्या एक बिंदु और एक सामान्य सदिश को जानकर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखना संभव है? ऐसा लगता है कि यह संभव है। यदि सामान्य वेक्टर ज्ञात है, तो सबसे सीधी रेखा की दिशा भी विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है - यह 90 डिग्री के कोण के साथ एक "कठोर संरचना" है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि रेखा से संबंधित कोई बिंदु और इस रेखा के सामान्य सदिश ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यहाँ सब कुछ अंशों और अन्य आश्चर्यों के बिना चला गया। ऐसा हमारा सामान्य वेक्टर है। इसे प्यार करना। और सम्मान =)

उदाहरण 9

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें। सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।

फेसला: सूत्र का प्रयोग करें:

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है, आइए देखें:

1) समीकरण से सामान्य वेक्टर के निर्देशांक "निकालें": - हाँ, वास्तव में, मूल वेक्टर स्थिति से प्राप्त होता है (या वेक्टर मूल वेक्टर के समरेख होना चाहिए)।

2) जांचें कि क्या बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है:

सच्ची समानता।

जब हम आश्वस्त हो जाते हैं कि समीकरण सही है, तो हम कार्य के दूसरे, आसान भाग को पूरा करेंगे। हम सीधी रेखा के दिशा वेक्टर को बाहर निकालते हैं:

जवाब:

ड्राइंग में, स्थिति इस प्रकार है:

प्रशिक्षण के प्रयोजनों के लिए, एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान कार्य:

उदाहरण 10

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें। सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।

पाठ का अंतिम खंड कम सामान्य, लेकिन एक समतल में एक सीधी रेखा के महत्वपूर्ण प्रकार के समीकरणों के लिए समर्पित होगा

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।
पैरामीट्रिक रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है, जहाँ अशून्य स्थिरांक होते हैं। इस रूप में कुछ प्रकार के समीकरणों का प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता (चूंकि मुक्त शब्द शून्य है और दाईं ओर एक प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है)।

यह, लाक्षणिक रूप से, एक "तकनीकी" प्रकार का समीकरण है। सामान्य कार्य एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में प्रस्तुत करना है। यह सुविधाजनक क्यों है? खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण आपको समन्वय अक्षों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जल्दी से खोजने की अनुमति देता है, जो उच्च गणित की कुछ समस्याओं में बहुत महत्वपूर्ण है।

अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। हम "y" को रीसेट करते हैं, और समीकरण रूप लेता है। वांछित बिंदु स्वतः प्राप्त हो जाता है: .

अक्ष के साथ ही वह बिंदु है जहां रेखा y-अक्ष को काटती है।

इस लेख में, हम एक समतल में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण पर विचार करेंगे। आइए हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के निर्माण के उदाहरण दें यदि इस सीधी रेखा के दो बिंदु ज्ञात हैं या यदि इस सीधी रेखा के एक बिंदु और सामान्य सदिश ज्ञात हैं। आइए हम एक समीकरण को सामान्य रूप में विहित और पैरामीट्रिक रूपों में बदलने के तरीकों को प्रस्तुत करते हैं।

मान लीजिए कि एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली दी गई है ऑक्सी. प्रथम डिग्री समीकरण या रैखिक समीकरण पर विचार करें:

कुल्हाड़ी+बाई+सी=0,

(1)

कहाँ पे ए, बी, सीकुछ स्थिरांक हैं, और तत्वों में से कम से कम एक है एऔर बीशून्य से भिन्न।

हम दिखाएंगे कि समतल में एक रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। आइए हम निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध करें।

प्रमेय 1. एक समतल पर एक मनमाना कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, प्रत्येक सीधी रेखा को एक रैखिक समीकरण द्वारा दिया जा सकता है। इसके विपरीत, प्रत्येक रैखिक समीकरण (1) समतल पर एक मनमाना कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

प्रमाण। यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि रेखा लीकिसी एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली के लिए एक रैखिक समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है, तब से यह एक रैखिक समीकरण द्वारा और कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली के किसी भी विकल्प के लिए निर्धारित किया जाएगा।

माना समतल पर एक सीधी रेखा दी गई है ली. हम एक समन्वय प्रणाली चुनते हैं ताकि अक्ष बैललाइन के साथ संरेखित ली, और अक्ष ओएइसके लंबवत था। तब रेखा का समीकरण लीनिम्नलिखित रूप लेगा:

वाई = 0।

(2)

एक लाइन पर सभी बिंदु लीरैखिक समीकरण (2) को संतुष्ट करेगा, और इस सीधी रेखा के बाहर के सभी बिंदु समीकरण (2) को संतुष्ट नहीं करेंगे। प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।

मान लीजिए कि एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली दी गई है और रैखिक समीकरण (1) दिया गया है, जहां कम से कम एक तत्व एऔर बीशून्य से भिन्न। उन बिन्दुओं का बिन्दुपथ ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक समीकरण (1) को संतुष्ट करते हैं। चूंकि कम से कम एक गुणांक एऔर बीशून्य से भिन्न है, तो समीकरण (1) का कम से कम एक हल है एम(एक्स 0 ,आप 0)। (उदाहरण के लिए, जब ए 0, डॉट एम 0 (−सीए, 0) दिए गए बिंदुओं के स्थान से संबंधित है)। इन निर्देशांकों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर हमें सर्वसमिका प्राप्त होती है

कुल्हाड़ी 0 +द्वारा 0 +सी=0.

(3)

आइए पहचान (3) को (1) से घटाएं:

ए(एक्स−एक्स 0)+बी(आप−आप 0)=0.

(4)

जाहिर है, समीकरण (4) समीकरण (1) के बराबर है। इसलिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि (4) कुछ रेखा को परिभाषित करता है।

चूंकि हम एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार कर रहे हैं, यह समानता (4) से निम्नानुसार है कि घटकों के साथ वेक्टर ( एक्स−एक्स 0 , y−y 0 ) सदिश के लिए ओर्थोगोनल है एननिर्देशांक के साथ ( ए, बी}.

कुछ पंक्ति पर विचार करें लीबिंदु के माध्यम से गुजर रहा है एम 0 (एक्स 0 , आप 0) और वेक्टर के लंबवत एन(चित्र .1)। बात करने दो एम(एक्स,y) रेखा के अंतर्गत आता है ली. फिर निर्देशांक के साथ वेक्टर एक्स−एक्स 0 , y−y 0 लंबवत एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट है (सदिशों का अदिश गुणनफल एनऔर शून्य के बराबर)। इसके विपरीत, यदि बिंदु एम(एक्स,y) एक रेखा पर नहीं है ली, फिर निर्देशांक के साथ वेक्टर एक्स−एक्स 0 , y−y 0 सदिश के लिए ओर्थोगोनल नहीं है एनऔर समीकरण (4) संतुष्ट नहीं है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमाण। चूँकि रेखाएँ (5) और (6) एक ही रेखा को परिभाषित करती हैं, सामान्य सदिश एन 1 ={ए 1 ,बी 1) और एन 2 ={ए 2 ,बी 2) समरेखीय हैं। वैक्टर के बाद से एन 1 ≠0, एन 2 0, तो एक संख्या है λ , क्या एन 2 =एन 1 λ . इसलिए हमारे पास है: ए 2 =ए 1 λ , बी 2 =बी 1 λ . आइए साबित करें कि सी 2 =सी 1 λ . यह स्पष्ट है कि संपाती रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है एम 0 (एक्स 0 , आप 0)। समीकरण (5) को . से गुणा करना λ और इसमें से समीकरण (6) घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

चूँकि व्यंजकों (7) से प्रथम दो समानताएँ संतुष्ट हैं, तो सी 1 λ −सी 2=0. वे। सी 2 =सी 1 λ . टिप्पणी सिद्ध हो चुकी है।

ध्यान दें कि समीकरण (4) बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करता है एम 0 (एक्स 0 , आप 0) और एक सामान्य वेक्टर होना एन={ए, बी) इसलिए, यदि रेखा के सामान्य सदिश और इस रेखा से संबंधित बिंदु ज्ञात हैं, तो समीकरण (4) का उपयोग करके रेखा के सामान्य समीकरण का निर्माण किया जा सकता है।

उदाहरण 1. एक रेखा एक बिंदु . से होकर गुजरती है एम=(4,−1) और एक सामान्य सदिश है एन=(3, 5). एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना कीजिए।

फेसला। हमारे पास है: एक्स 0 =4, आप 0 =−1, ए=3, बी=5. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के निर्माण के लिए, हम इन मानों को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करते हैं:

जवाब:

रेखा के समानांतर वेक्टर लीऔर इसलिए रेखा के सामान्य वेक्टर के लंबवत है ली. आइए एक सामान्य रेखा वेक्टर का निर्माण करें ली, यह देखते हुए कि वैक्टर का अदिश उत्पाद एनऔर शून्य के बराबर है। हम लिख सकते हैं, उदाहरण के लिए, एन={1,−3}.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाने के लिए हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आइए हम बिंदु के निर्देशांक (4) में प्रतिस्थापित करें एम 1 (हम बिंदु के निर्देशांक भी ले सकते हैं एम 2) और सामान्य वेक्टर एन:

प्रतिस्थापन बिंदु निर्देशांक एम 1 और एम 2 में (9) हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि समीकरण (9) द्वारा दी गई सीधी रेखा इन बिंदुओं से होकर गुजरती है।

जवाब:

(1) से घटाना (10):

हमने एक सीधी रेखा का विहित समीकरण प्राप्त किया है। वेक्टर क्यू={−बी, ए) सीधी रेखा (12) की दिशा सदिश है।

रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन देखें।

उदाहरण 3. एक समतल में एक सीधी रेखा को निम्नलिखित सामान्य समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:

दूसरे पद को दाईं ओर ले जाएँ और समीकरण के दोनों पक्षों को 2 5 से विभाजित करें।

बिंदु K(x 0; y 0) से होकर जाने वाली रेखा और रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

वाई - वाई 0 \u003d के (एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1 ; y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा के समानांतर Ax+By+C=0 को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 । (2)

बिंदु K से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए। ;) रेखा y = . के समानांतर एक्स + .

उदाहरण 1। बिंदु M 0 (-2.1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें और उसी समय:
ए) सीधी रेखा के समानांतर 2x+3y -7 = 0;
ख) रेखा 2x+3y -7 = 0 के लंबवत।
फेसला . आइए ढलान समीकरण को y = kx + a के रूप में प्रस्तुत करें। ऐसा करने के लिए, हम y को छोड़कर सभी मानों को दाईं ओर स्थानांतरित करेंगे: 3y = -2x + 7 । फिर हम दाईं ओर को गुणांक 3 से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं: y = -2/3x + 7/3
सीधी रेखा y = -2 / 3 x + 7/3 के समानांतर बिंदु K(-2;1) से गुजरने वाला समीकरण NK ज्ञात कीजिए।
x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 को प्रतिस्थापित करने पर हमें मिलता है:
वाई-1 = -2 / 3 (एक्स-(-2))
या
y = -2 / 3 x - 1 / 3 या 3y + 2x +1 = 0

उदाहरण # 2। सीधी रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए और निर्देशांक अक्षों को मिलाकर एक ऐसा त्रिभुज बनाइए जिसका क्षेत्रफल 5 हो।
फेसला . चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b उसके पैर हैं। निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
;
.
तो, ए(-सी/2,0), बी(0,-सी/5)। क्षेत्र के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें: . हमें दो हल मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y - 10 = 0।

उदाहरण #3। बिंदु (-2; 5) और समांतर रेखा 5x-7y-4=0 से गुजरने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।
फेसला। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। वांछित रेखा का समीकरण y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7(y-5)=5(x+2) या 5x-7y+45=0 ।

उदाहरण # 4। उदाहरण 3 को हल करना (A=5, B=-7) सूत्र (2) का उपयोग करके, हम पाते हैं 5(x+2)-7(y-5)=0.

उदाहरण संख्या 5. बिंदु (-2;5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और एक समानांतर सीधी रेखा 7x+10=0 का समीकरण लिखिए।
फेसला। यहां ए = 7, बी = 0। फॉर्मूला (2) देता है 7(x+2)=0, यानी। एक्स+2=0. फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है)।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशेष मामले:

और अगर सी= 0, समीकरण (2) का रूप होगा

कुल्हाड़ी + द्वारा = 0,

और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है, क्योंकि मूल के निर्देशांक एक्स = 0, आप= 0 इस समीकरण को संतुष्ट करें।

बी) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) बी= 0, तब समीकरण रूप लेता है

कुल्हाड़ी + साथ में= 0, या।

समीकरण में एक चर शामिल नहीं है आप, और इस समीकरण द्वारा परिभाषित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर है ओए.

ग) यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में (2) ए= 0, तो यह समीकरण रूप लेता है

द्वारा + साथ में= 0, या;

समीकरण में एक चर शामिल नहीं है एक्स, और इसके द्वारा परिभाषित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर है बैल.

यह याद रखना चाहिए: यदि एक सीधी रेखा किसी समन्वय अक्ष के समानांतर है, तो उसके समीकरण में इस अक्ष के साथ समान नाम के निर्देशांक वाला कोई पद नहीं होता है।

घ) जब सी= 0 और ए= 0 समीकरण (2) रूप लेता है द्वारा= 0, या आप = 0.

यह है अक्ष समीकरण बैल.

ई) कब सी= 0 और बी= 0 समीकरण (2) के रूप में लिखा जा सकता है कुल्हाड़ी= 0 या एक्स = 0.

यह है अक्ष समीकरण ओए.

समतल पर सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था। समतल पर रेखाओं के बीच का कोण। समानांतर रेखाओं की स्थिति। रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति।

एल 1 एल 2 एल 1: ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0
एल 2: ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0

एस 2 एस 1 वैक्टर एस 1 और एस 2 को उनकी रेखाओं के लिए गाइड कहा जाता है।

लाइनों एल 1 और एल 2 के बीच का कोण दिशा वैक्टर के बीच के कोण से निर्धारित होता है।
प्रमेय 1:एल 1 और एल 2 \u003d कॉस (एल 1; एल 2) \u003d . के बीच कॉस कोण

प्रमेय 2: 2 पंक्तियों के बराबर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है:

प्रमेय 3:ताकि 2 रेखाएं लंबवत हों आवश्यक और पर्याप्त हों:

एल 1 एल 2 ó ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0

विमान का सामान्य समीकरण और उसके विशेष मामले। खंडों में एक विमान का समीकरण।

सामान्य समतल समीकरण:

कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0

विशेष स्थितियां:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - तल मूल बिंदु से होकर गुजरता है

2. С=0 कुल्हाड़ी+By+D = 0 - समतल || आउंस

3. В=0 कुल्हाड़ी+Cz+d = 0 - समतल || ओए

4. A=0 By+Cz+D = 0 - समतल || बैल

5. A=0 और D=0 By+Cz = 0 - विमान OX . से होकर गुजरता है

6. B=0 और D=0 Ax+Cz = 0 - विमान OY . से होकर गुजरता है

7. C=0 और D=0 Ax+By = 0 - विमान OZ . से होकर गुजरता है

अंतरिक्ष में विमानों और सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था:

1. अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है।

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. समतलों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों के बीच के कोण से निर्धारित होता है।

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1; N 2) = =

3. एक रेखा और एक तल के बीच के कोण की कोज्या रेखा के दिशा सदिश और समतल के अभिलंब सदिश के बीच के कोण के पाप के माध्यम से ज्ञात की जा सकती है।

4. 2 लाइन || अंतरिक्ष में जब उनका || वेक्टर गाइड

5. 2 विमान || कब || सामान्य वैक्टर

6. समान रूप से रेखाओं और तलों के लम्बवत्ता की अवधारणाओं का परिचय दिया जाता है।

प्रश्न #14

समतल पर एक सीधी रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरण (खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण, ढलान के साथ, आदि)

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण:
मान लीजिए कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में:

1. सी \u003d 0 आह + वू \u003d 0 - सीधी रेखा मूल से होकर गुजरती है।

2. ए \u003d 0 वू + सी \u003d 0 y \u003d

3. में \u003d 0 कुल्हाड़ी + सी \u003d 0 x \u003d

4. वी \u003d सी \u003d 0 कुल्हाड़ी \u003d 0 x \u003d 0

5. ए \u003d सी \u003d 0 वू \u003d 0 y \u003d 0

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण:

कोई भी सीधी रेखा जो y-अक्ष के बराबर नहीं है (B नहीं = 0) निम्नलिखित में लिखी जा सकती है। प्रपत्र:

k = tgα α सीधी रेखा और धनात्मक दिशा वाली रेखा के बीच का कोण है

बी - ओएस अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे का बिंदु

डॉक-इन:

कुल्हाड़ी+बाई+सी = 0

वू \u003d -एक्स-सी |: बी

दो बिंदुओं पर एक सीधी रेखा का समीकरण:

प्रश्न #16

एक बिंदु पर और x→∞ . के लिए किसी फ़ंक्शन की परिमित सीमा

बिंदु x 0 पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x → x 0 के लिए फ़ंक्शन y \u003d f (x) की सीमा कहा जाता है, यदि किसी E > 0 के लिए b > 0 ऐसा है कि x x 0 के लिए, असमानता को संतुष्ट करता है |x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

सीमा निरूपित है: = A

बिंदु +∞ पर अंतिम सीमा:

संख्या A को x . के लिए फलन y = f(x) की सीमा कहा जाता है → + ∞ , यदि किसी E > 0 के लिए C > 0 मौजूद है तो x > C के लिए असमानता |f(x) - A|< Е

सीमा निरूपित है: = A

बिंदु -∞ पर अंतिम सीमा:

संख्या A को . के लिए फलन y = f(x) की सीमा कहा जाता है एक्स → -∞,यदि किसी ई के लिए< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е