ए.वी. ग्लासको

गणितीय विश्लेषण पर व्याख्यान

"प्राथमिक कार्य और सीमाएं"

मॉस्को, एमएसटीयू आईएम। एन.ई. बाऊमन

§एक। तार्किक प्रतीकवाद।

गणितीय व्यंजक लिखते समय, हम निम्नलिखित तार्किक प्रतीकों का प्रयोग करेंगे:

	अर्थ		अर्थ
			किसी के लिए, सबके लिए, सबके लिए (से .)
			वहाँ है, वहाँ है, वहाँ है (अस्तित्व में)
			शामिल है, अनुसरण करता है (इसलिए)
			समान रूप से, यदि और केवल यदि,
			आवश्यक और पर्याप्त
तो अगर ए और बी कोई प्रस्ताव हैं, तो

			अर्थ
			ए या बी (या ए या बी, या ए और बी दोनों)
			किसी भी x के लिए हमारे पास A . है
			वहाँ x है जिसके लिए A धारण करता है
			A से B का अनुसरण होता है (यदि A सत्य है, तो B सत्य है)
(निहितार्थ)
			A, B के बराबर है, A तब होता है जब और केवल तभी होता है जब B होता है,
			A, B के लिए आवश्यक और पर्याप्त है
	टिप्पणी। "ए बी" का अर्थ है कि ए बी के लिए पर्याप्त है और बी ए के लिए आवश्यक है।

उदाहरण। (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2))।

कभी-कभी हम एक और विशेष वर्ण का उपयोग करेंगे: ए = डीएफ बी।

इसका मतलब है कि परिभाषा के अनुसार ए = बी।

2. सेट एक सेट के तत्व और भाग।

समुच्चय की अवधारणा एक प्राथमिक अवधारणा है, जिसे सरल शब्दों में परिभाषित नहीं किया गया है। शब्द: समुच्चय, परिवार, समुच्चय इसके पर्यायवाची हैं।

सेट के उदाहरण: कक्षा में कई छात्र, विभाग में कई शिक्षक, पार्किंग में कई कारें, आदि।

प्राथमिक अवधारणाएं भी अवधारणाएं हैं तत्व सेट करेंऔर रिश्ते

सेट के तत्वों के बीच।

उदाहरण। N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है, इसके अवयव संख्याएँ 1,2,3, ... हैं यदि x और y N के अवयव हैं, तो वे निम्नलिखित संबंधों में से एक में हैं: x = y, x वाई

हम बड़े अक्षरों द्वारा सेट को निरूपित करने के लिए सहमत हैं: ए, बी, सी, एक्स, वाई, …, और उनके तत्वों को लोअरकेस अक्षरों द्वारा: ए, बी, सी, एक्स, वाई, …

तत्वों या सेटों के बीच संबंधों को अक्षरों के बीच डाले गए प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए। A को कुछ सेट होने दें। तब संबंध A का अर्थ है कि a समुच्चय A का एक अवयव है। संकेतन a का अर्थ है कि a, A का अवयव नहीं है।

सेट को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। 1. इसके तत्वों की गणना।

उदाहरण के लिए, ए = (ए, बी, सी, डी), बी = (1, 7, 10)

2. तत्वों के गुणों को निर्दिष्ट करना। मान लीजिए कि A तत्वों का समुच्चय है, जिसका गुण p है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: A=(a:p) या A=(ap)।

उदाहरण के लिए, संकेतन А= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) का अर्थ है कि A वास्तविक संख्याओं का एक समूह है जो असमानता x2 -1>0 को संतुष्ट करता है।

आइए कुछ महत्वपूर्ण परिभाषाओं का परिचय दें।

डीईएफ़। एक सेट को परिमित कहा जाता है यदि इसमें तत्वों की एक निश्चित संख्या होती है। अन्यथा, इसे अनंत कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, कक्षा में विद्यार्थियों का समुच्चय परिमित होता है, लेकिन प्राकृत संख्याओं का समुच्चय या खंड के भीतर बिंदुओं का समुच्चय अनंत होता है।

डीईएफ़। वह समुच्चय जिसमें कोई अवयव न हो, रिक्त कहलाती है और उसे निरूपित किया जाता है।

डीईएफ़। दो समुच्चय समान कहलाते हैं यदि वे एक समान हों

वे। समुच्चय की अवधारणा तत्वों का एक विशेष क्रम नहीं दर्शाती है। डीईएफ़। एक समुच्चय X को समुच्चय Y का उपसमुच्चय कहा जाता है यदि समुच्चय X का कोई अवयव समुच्चय Y का अवयव है (इस मामले में, सामान्यतया, कोई नहीं

समुच्चय Y का एक अवयव समुच्चय X का अवयव है)। इस मामले में, पदनाम का उपयोग किया जाता है: एक्स वाई।

उदाहरण के लिए, संतरे का सेट O फलों के सेट F: O F का एक सबसेट है, और प्राकृतिक संख्याओं का सेट N वास्तविक संख्याओं R: N R के सेट का सबसेट है।

वर्ण "" और "" समावेशन वर्ण कहलाते हैं। प्रत्येक सेट को स्वयं का सबसेट माना जाता है। रिक्त समुच्चय किसी भी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

डीईएफ़। समुच्चय A का कोई भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय B जो A के बराबर नहीं है, कहलाता है

खुद का सबसेट।

3. यूलर-वेन आरेख। सेट पर प्राथमिक संचालन।

एक विमान पर क्षेत्रों के रूप में, ग्राफिक रूप से सेट का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक है। इसका तात्पर्य है कि क्षेत्र के बिंदु समुच्चय के तत्वों के अनुरूप हैं। समुच्चयों के ऐसे चित्रमय निरूपण को यूलर-वेन आरेख कहा जाता है।

उदाहरण। A MSTU छात्रों का समूह है, B दर्शकों में छात्रों का समूह है। चावल। 1 स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि ए बी।

यूलर-वेन आरेख प्राथमिक के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक हैं सेट पर संचालन. मुख्य संचालन में निम्नलिखित शामिल हैं।

चावल। 1. यूलर-वेन आरेख का एक उदाहरण।

1. समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन A B समुच्चय C है, जिसमें समुच्चय A और B दोनों के एक साथ सभी अवयव शामिल हैं:

सी = ए बी = डीएफ (जेड: (जेड ए) (जेड बी))

(चित्र 2 में, समुच्चय C को छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है)।

चावल। 2. सेटों का प्रतिच्छेदन।

2. समुच्चय A और B का संघ A B समुच्चय C है, जिसमें समुच्चय A या B में से कम से कम एक से संबंधित सभी तत्व होते हैं।

सी = ए बी = डीएफ (जेड: (जेड ए) (जेड बी))

(चित्र 3 में, समुच्चय C को छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है)।

चावल। 3. सेटों का संघ।

चावल। 4. सेट का अंतर।

3. सेट ए और बी का अंतर ए \ बी सेट सी है, जिसमें सेट ए से संबंधित सभी तत्व शामिल हैं, लेकिन सेट बी से संबंधित नहीं हैं:

ए \ बी = (जेड: (जेड ए) (जेड बी))

(चित्र 4 में, समुच्चय C को पीले रंग में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है)।

4 वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

आइए हम वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं R का एक समुच्चय बनाएँ। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, विचार करें, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, जिसे हम इस प्रकार परिभाषित करते हैं। आइए संख्या n=1 को पहले तत्व के रूप में लें। प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से एक जोड़कर प्राप्त किया जाएगा:

एन = (1, 1+1, (1+1)+1,…) = (1, 2, 3, …, एन,…)।

एन = (-1, -2, -3, ..., -एन, ...)।

पूर्णांकों का समुच्चय Zतीन सेटों के मिलन के रूप में परिभाषित करें: N, -N और एक एकल तत्व से युक्त एक सेट - शून्य:

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को पूर्णांकों के सभी संभावित अनुपातों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है:

क्यू = (एक्सएक्स = एम/एन; एम, एन जेड, एन 0)।

जाहिर है, एन जेड क्यू।

यह ज्ञात है कि प्रत्येक परिमेय संख्या को एक परिमित वास्तविक या अनंत आवर्त भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। क्या परिमेय संख्याएं उन सभी राशियों को मापने के लिए पर्याप्त हैं जो हम अपने आसपास के विश्व के अध्ययन में प्राप्त कर सकते हैं? पहले से ही प्राचीन ग्रीस में यह दिखाया गया था कि यह नहीं है: यदि हम एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं जिसकी लंबाई एक है, तो कर्ण की लंबाई को परिमेय संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, हम स्वयं को परिमेय संख्याओं के समुच्चय तक सीमित नहीं रख सकते। संख्या की अवधारणा का विस्तार करना आवश्यक है। यह विस्तार परिचय द्वारा प्राप्त किया जाता है अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय J, जिसे सभी गैर-आवधिक अनंत दशमलवों के समुच्चय के रूप में सोचना सबसे आसान है।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के मिलन को कहते हैं

वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का समुच्चय R: R =Q Y।

कभी-कभी वे वास्तविक संख्या R के एक विस्तारित सेट पर विचार करते हैं, समझते हैं

वास्तविक संख्याओं को आसानी से संख्या रेखा पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है।

डीईएफ़। संख्यात्मक अक्ष को एक सीधी रेखा कहा जाता है, जो संदर्भ की उत्पत्ति, पैमाने और दिशा को इंगित करती है।

वास्तविक संख्याओं और संख्यात्मक अक्ष के बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है: कोई भी वास्तविक संख्या संख्यात्मक अक्ष के एकल बिंदु से मेल खाती है और इसके विपरीत।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की पूर्णता (निरंतरता) का स्वयंसिद्ध। जो भी गैर-रिक्त सेट А= (ए) आर और बी= (बी) आर ऐसे हैं कि किसी भी ए और बी के लिए असमानता ए ≤ बी सच है, एक संख्या सी हैR ऐसा है कि a c ≤ b (चित्र 5)।

चित्र 5. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय की पूर्णता के स्वयंसिद्ध का चित्रण।

5. संख्यात्मक सेट। अड़ोस-पड़ोस।

डीईएफ़। संख्यात्मक सेटसमुच्चय R के किसी उपसमुच्चय को कहा जाता है। सबसे महत्वपूर्ण संख्यात्मक समुच्चय: N, Z, Q, J, और भी

खंड: (एक्स आर | ए एक्स बी),

अंतराल: (ए, बी) (एक्स आर |ए एक्स बी), (,)=आर

अर्ध-अंतराल: ( x R| a x b),

(एक्स आर | एक्स बी)।

गणितीय विश्लेषण में सबसे महत्वपूर्ण भूमिका संख्यात्मक अक्ष पर एक बिंदु के पड़ोस की अवधारणा द्वारा निभाई जाती है।

डीईएफ़। -बिंदु x 0 का पड़ोस बिंदु x 0 पर केंद्रित लंबाई 2 का अंतराल है (चित्र 6):

यू (एक्स 0) (एक्स 0, एक्स 0)।

चावल। 6. एक बिंदु का पड़ोस।

डीईएफ़। एक बिंदु का पंचर-पड़ोस इस बिंदु का पड़ोस है,

जिसमें से बिंदु x 0 को ही बाहर रखा गया है (चित्र 7):

यू (एक्स 0) यू (एक्स 0)\(एक्स 0) (एक्स 0, एक्स 0) (एक्स 0, एक्स 0)।

चावल। 7. एक बिंदु का पंचर पड़ोस।

डीईएफ़। बिंदु x0 . के दाहिने हाथ का पड़ोस अर्ध-अंतराल कहा जाता है

यू (एक्स 0) , रेंज: ई = [-π/2,π/2]।

चावल। 11. फलन का ग्राफ y चाप x पर है।

आइए अब हम एक जटिल फलन की अवधारणा का परिचय देते हैं ( प्रदर्शन रचनाएँ) मान लीजिए कि तीन समुच्चय D, E, M दिए गए हैं और f: D→E, g: E→M हैं। जाहिर है, एक नया मानचित्रण h: D→M बनाना संभव है, जिसे मैपिंग f और g का संयोजन या एक जटिल फलन कहा जाता है (चित्र 12)।

एक सम्मिश्र फलन को इस प्रकार निरूपित किया जाता है: z =h(x)=g(f(x)) या h = f o g।

चावल। 12. एक जटिल कार्य की अवधारणा के लिए चित्रण।

फलन f (x) कहलाता है आंतरिक कार्य, और फलन g ( y ) - बाहरी कार्य.

1. आंतरिक फलन f (x) = x², बाह्य g (y) sin y। जटिल फलन z= g(f(x))=sin(x²)

2. अब इसके विपरीत। आंतरिक फलन f (x)= sinx, बाहरी g (y) y 2 । यू = एफ (जी (एक्स)) = पाप² (एक्स)

चलो चर एक्स एनमूल्यों का एक अनंत क्रम लेता है

एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , ..., (1)

और चर के परिवर्तन का नियम ज्ञात है एक्स एन, अर्थात। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एनआप संबंधित मान निर्दिष्ट कर सकते हैं एक्स एन. इस प्रकार यह माना जाता है कि चर एक्स एनका एक कार्य है एन:

एक्स एन = एफ (एन)

आइए हम गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक को परिभाषित करें - एक अनुक्रम की सीमा, या, वही क्या है, एक चर की सीमा एक्स एनचल क्रम एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , ... . .

परिभाषा।स्थिर संख्या एबुलाया अनुक्रम सीमा एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन , ... . या एक चर की सीमा एक्स एन, यदि मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ई के लिए ऐसी प्राकृतिक संख्या मौजूद है एन(अर्थात संख्या एन) कि चर के सभी मान एक्स एन, इसके साथ शुरुआत एक्स एन, से अलग एई से निरपेक्ष मूल्य में कम। यह परिभाषा संक्षेप में इस प्रकार लिखी गई है:

| एक्स एन - ए |< (2)

सबके लिए एन  एन, या, जो एक ही है,

कॉची सीमा की परिभाषा. एक संख्या ए को एक बिंदु ए पर एक फ़ंक्शन एफ (एक्स) की सीमा कहा जाता है यदि यह फ़ंक्शन बिंदु ए के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, शायद बिंदु ए को छोड़कर, और प्रत्येक ε> 0 के लिए δ> 0 मौजूद है ऐसा है कि सभी x संतोषजनक स्थिति के लिए |x - a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

हाइन सीमा की परिभाषा. एक संख्या ए को एक बिंदु ए पर एक फ़ंक्शन एफ (एक्स) की सीमा कहा जाता है यदि यह फ़ंक्शन बिंदु ए के कुछ पड़ोस में परिभाषित किया गया है, शायद बिंदु ए को छोड़कर, और किसी भी अनुक्रम के लिए जैसे कि संख्या a में परिवर्तित होने पर, फ़ंक्शन के मानों का संगत क्रम संख्या A में परिवर्तित हो जाता है।

यदि फलन f(x) की सीमा बिंदु a पर है, तो यह सीमा अद्वितीय है।

संख्या ए 1 को बिंदु ए पर फ़ंक्शन f (x) की बाईं सीमा कहा जाता है यदि प्रत्येक ε> 0 के लिए δ> मौजूद है

संख्या ए 2 को बिंदु ए पर फ़ंक्शन f (x) की सही सीमा कहा जाता है यदि प्रत्येक ε> 0 के लिए δ> 0 मौजूद है जैसे कि असमानता

बाईं ओर की सीमा को दाईं ओर की सीमा के रूप में दर्शाया गया है - ये सीमाएँ फ़ंक्शन के व्यवहार को बिंदु a के बाईं और दाईं ओर दर्शाती हैं। उन्हें अक्सर एकतरफा सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है। x → 0 के रूप में एकतरफा सीमाओं के संकेतन में, पहला शून्य आमतौर पर छोड़ा जाता है: और। तो, समारोह के लिए

यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए एक बिंदु a का -पड़ोस मौजूद है, तो सभी x के लिए शर्त को संतुष्ट करने वाले |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >, तब हम कहते हैं कि फलन f (x) की बिंदु a पर अनंत सीमा है:

इस प्रकार, फ़ंक्शन की बिंदु x = 0 पर एक अनंत सीमा होती है। +∞ और –∞ के बराबर सीमाएं अक्सर प्रतिष्ठित होती हैं। इसलिए,

यदि प्रत्येक ε > 0 के लिए δ > 0 इस प्रकार मौजूद है कि किसी भी x > असमानता के लिए |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

कम से कम ऊपरी सीमा के लिए अस्तित्व प्रमेय

परिभाषा: AR mR, m - A का ऊपरी (निचला) चेहरा, यदि аА аm (аm)।

परिभाषा:समुच्चय A ऊपर (नीचे से) से घिरा है, यदि वहाँ m मौजूद है जैसे कि аА, तो аm (аm) संतुष्ट है।

परिभाषा: SupA=m, अगर 1) m - A की ऊपरी सीमा

2) m': m' m' A . का ऊपरी फलक नहीं है

InfA = n यदि 1) n, A का अधिकतम है

2) n': n'>n => n', A का न्यूनतम नहीं है

परिभाषा: SupA=m एक ऐसी संख्या है कि: 1) aA am

2) >0 a A, जैसे कि एक a-

InfA = n ऐसी संख्या कहलाती है कि:

2) >0 a A, जैसे कि एक E a+

प्रमेय:ऊपर से घिरे किसी भी गैर-रिक्त सेट АR में सबसे अच्छा ऊपरी बाउंड होता है, और उस पर एक अद्वितीय होता है।

प्रमाण:

हम वास्तविक रेखा पर एक संख्या m की रचना करते हैं और सिद्ध करते हैं कि यह A की सबसे छोटी ऊपरी सीमा है।

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - A का ऊपरी चेहरा

खंड [[एम], [एम] +1] - 10 भागों में विभाजित

एम 1 =अधिकतम:एए)]

एम 2 = अधिकतम, एम 1: एए)]

एम से =अधिकतम,एम 1 ...एम के-1:एए)]

[[एम], एम 1 ...एम के , [एम], एम 1 ...एम के + 1 10 के ]ए=>[एम],एम 1 ...एम के + 1/ 10 के - शीर्ष चेहरा ए

आइए हम सिद्ध करें कि m=[m],m 1 ...m K सबसे छोटी ऊपरी सीमा है और यह अद्वितीय है:

to: )