ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए समन्वय विधि का सार
समन्वय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने का सार एक समन्वय प्रणाली शुरू करना है जो एक मामले या किसी अन्य में हमारे लिए सुविधाजनक है और इसका उपयोग करके सभी डेटा को फिर से लिखना है। उसके बाद, इस प्रणाली का उपयोग करके सभी अज्ञात मात्राओं या प्रमाणों को रखा जाता है। किसी भी समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के निर्देशांक कैसे दर्ज करें, हमारे द्वारा एक अन्य लेख में चर्चा की गई थी - हम यहां इस पर ध्यान नहीं देंगे।
आइए हम उन मुख्य अभिकथनों का परिचय दें जो समन्वय विधि में उपयोग किए जाते हैं।
कथन 1:वेक्टर निर्देशांक इस वेक्टर के अंत और इसकी शुरुआत के संगत निर्देशांक के बीच के अंतर से निर्धारित किए जाएंगे।
कथन 2:खंड के मध्यबिंदु निर्देशांक को इसकी सीमाओं के संगत निर्देशांकों के योग के आधे के रूप में परिभाषित किया जाएगा।
कथन 3:दिए गए निर्देशांक $(δ_1,δ_2,δ_3)$ के साथ किसी भी वेक्टर $\overline(δ)$ की लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी
$|\overline(δ)|=\sqrt(δ_1^2+δ_2^2+δ_3^2)$
कथन 4:निर्देशांक $(δ_1,δ_2,δ_3)$ और $(β_1,β_2,β_3)$ द्वारा दिए गए किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी सूत्र द्वारा निर्धारित की जाएगी
$d=\sqrt((δ_1-β_1)^2+(δ_2-β_2)^2+(δ_3-β_3)^2)$
निर्देशांक विधि का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की योजना
निर्देशांक पद्धति का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, इस योजना का उपयोग करना सबसे अच्छा है:
- कार्य के लिए सबसे उपयुक्त समन्वय प्रणाली सेट करें;
- गणितीय रूप से, समस्या की स्थिति, समस्या का प्रश्न नीचे लिखा जाता है, इस समस्या के लिए एक चित्र बनाया जाता है।
समस्या के सभी डेटा को चयनित समन्वय प्रणाली के निर्देशांक में लिखें।
- समस्या की स्थिति से आवश्यक संबंधों की रचना करें, और इन संबंधों को जो खोजने की आवश्यकता है (समस्या में सिद्ध) से भी जोड़ें।
- प्राप्त परिणाम का ज्यामिति की भाषा में अनुवाद किया जाता है।
विश्लेषण करें कि समस्या में क्या दिया गया है:
समन्वय विधि द्वारा हल की गई समस्याओं के उदाहरण
निम्नलिखित कार्यों को समन्वय विधि की ओर ले जाने वाले मुख्य कार्यों के रूप में अलग किया जा सकता है (उनके समाधान यहां नहीं दिए जाएंगे):
- एक वेक्टर के अंत और शुरुआत में निर्देशांक खोजने के लिए कार्य।
- किसी भी प्रकार से खंड के विभाजन से संबंधित कार्य।
- प्रमाण है कि तीन बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं या कि चार बिंदु एक ही तल पर स्थित हैं।
- दो दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए कार्य।
- ज्यामितीय आकृतियों के आयतन और क्षेत्रफल ज्ञात करने में समस्याएँ।
पहली और चौथी समस्याओं को हल करने के परिणाम हमारे द्वारा उपरोक्त मुख्य कथनों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं और अक्सर समन्वय विधि का उपयोग करके अन्य समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
समन्वय विधि को लागू करने के कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1
एक नियमित पिरामिड की भुजा ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई $3$ cm है यदि आधार की भुजा $4$ cm है।
आइए हमें एक नियमित पिरामिड $ABCDS$ दिया जाए, जिसकी ऊँचाई $SO$ है। आइए एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।
चूँकि बिंदु $A$ हमारे द्वारा निर्मित समन्वय प्रणाली का केंद्र है, तो
चूंकि अंक $B$ और $D$ क्रमशः कुल्हाड़ियों $Ox$ और $Oy$ से संबंधित हैं, तो
$B=(4,0,0)$, $D=(0,4,0)$
चूंकि बिंदु $C$ विमान $Oxy$ से संबंधित है, तो
चूंकि पिरामिड नियमित है, तो $O$ खंड $$ का मध्यबिंदु है। कथन 2 के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
$O=(\frac(0+4)(2),\frac(0+4)(2),\frac(0+0)(2))=(2,2,0)$
ऊंचाई $SO$ . के बाद से
11 वीं कक्षा में ज्यामिति में पाठ परीक्षण
विषय: "अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि"।
लक्ष्य: वेक्टर, वेक्टर-समन्वय तरीकों में समस्याओं को हल करने में इस ज्ञान को लागू करने के लिए छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान, उनके कौशल और क्षमताओं की जांच करें।
कार्य:
1 ज्ञान और कौशल को आत्मसात करने के नियंत्रण (आत्म-नियंत्रण, आपसी नियंत्रण) के लिए स्थितियां बनाएं।
2. गणितीय सोच, भाषण, ध्यान विकसित करें।
3. गतिविधि, गतिशीलता, संवाद करने की क्षमता, छात्रों की सामान्य संस्कृति को बढ़ावा देना।
आचरण प्रपत्र: समूहों में काम।
उपकरण और सूचना के स्रोत: स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्प्रेडशीट, क्रेडिट कार्ड, परीक्षण।
कक्षाओं के दौरान
1. मोबिलाइज़िंग पल.
सीएसआर का उपयोग करने वाला पाठ; छात्रों को 3 गतिशील समूहों में विभाजित किया जाता है, जिसमें स्वीकार्य, इष्टतम और उन्नत स्तर वाले छात्र होते हैं। प्रत्येक समूह में एक समन्वयक होता है जो पूरे समूह के कार्य का प्रबंधन करता है।
2 . प्रत्याशा के आधार पर छात्रों का आत्मनिर्णय।
काम:योजना के अनुसार लक्ष्य-निर्धारण: याद रखना-सीखना-सक्षम होना।
प्रवेश परीक्षा - रिक्त स्थान भरें (प्रिंटआउट पर)
प्रवेश परीक्षा
अंतराल को भरने…
1.अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं
हम, उनमें से प्रत्येक पर, खंडों की माप की दिशा और इकाई का चयन किया जाता है,
तब वे कहते हैं कि यह सेट है ……………. अंतरिक्ष में।
2. उन पर चुनी गई दिशाओं वाली सीधी रेखाएं …………….. कहलाती हैं।
और उनका उभयनिष्ठ बिंदु ……….. .
3. एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु M तीन संख्याओं से जुड़ा होता है जो इसे ……………….. कहते हैं।
4. अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक ……………….. कहलाते हैं।
5. जिस सदिश की लंबाई एक के बराबर होती है उसे ………….. कहा जाता है।
6. वैक्टर मैंआपककहा जाता है…………।
7. बाधाएं एक्सआपजेडअपघटन में ए= एक्समैं + आपजे + जेडकबुलाया
……………वेक्टर ए .
8. दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक …………….. के बराबर होता है।
9. दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक ……………… के बराबर होता है।
10. एक सदिश और एक संख्या के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक ……….. के बराबर होता है।
11. सदिश का प्रत्येक निर्देशांक ……… के बराबर होता है।
12. खंड के मध्य का प्रत्येक निर्देशांक ……… के बराबर होता है।
13. वेक्टर लंबाई ए { एक्सआपजेड) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है ………………
14. बिंदुओं के बीच की दूरी M 1(एक्स 1 ; आप 1; जेड 1) और एम 2 (एक्स 2; आप 2 ; जेड2) सूत्र द्वारा गणना की जाती है …………………
15. दो सदिशों का अदिश गुणनफल ……….. कहलाता है।
16. शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य के बराबर होता है ………………..
17. वैक्टर का डॉट उत्पादए{ एक्स 1; आप 1; जेड 1} बी { एक्स 2 ; आप 2 ; जेड 2) में सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया …………………
प्रवेश परीक्षा का पारस्परिक सत्यापन। स्क्रीन पर परीक्षण के कार्यों के उत्तर।
मूल्यांकन के मानदंड:
1-2 गलतियाँ - "5"
3-4 त्रुटियां - "4"
5-6 त्रुटियां - "3"
अन्य मामलों में - "2"
3. काम करना। (कार्ड के लिए)।
प्रत्येक कार्ड में दो कार्य होते हैं: नंबर 1 - प्रमाण के साथ सैद्धांतिक, नंबर 2 में कार्य शामिल हैं।
कार्य में शामिल कार्यों की कठिनाई के स्तर की व्याख्या करें। समूह एक कार्य करता है, लेकिन उसके 2 भाग होते हैं। समूह समन्वयक पूरे समूह के कार्य का प्रबंधन करता है। कई भागीदारों के साथ एक ही जानकारी पर चर्चा करने से न केवल अपनी सफलताओं के लिए, बल्कि सामूहिक कार्य के परिणामों के लिए भी जिम्मेदारी बढ़ जाती है, जिसका टीम में माइक्रॉक्लाइमेट पर सकारात्मक प्रभाव पड़ता है।
कार्ड #1
1. खंड के मध्य के निर्देशांकों को उसके सिरों के निर्देशांकों के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
2. कार्य: 1) अंक ए (-3; 1; 2) और बी (1; -1; 2) दिए गए हैं
पाना:
ए) खंड एबी के मध्य बिंदु के निर्देशांक
बी) वेक्टर एबी के निर्देशांक और लंबाई
2) घन ABCDA1 B1 C1 D1 दिया गया है। निर्देशांक विधि का प्रयोग करते हुए, कोण ज्ञात कीजिए
लाइनों AB1 और A1 D के बीच।
कार्ड#2
किसी सदिश के निर्देशांकों से उसकी लंबाई की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
कार्य: 1) दिए गए अंक M(-4; 7; 0),एन(0; -1; 2)। निर्देशांक की उत्पत्ति से खंड M . के मध्य तक की दूरी ज्ञात कीजिएएन.
→ → → → →
2) वेक्टर डेटा एऔर बी. पाना बी (ए + बी),अगर ए(-2;3;6),बी=6i-8k
कार्ड #3
दिए गए निर्देशांक के साथ बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें।
कार्य: 1) अंक ए(2;1;-8), बी(1;-5;0), सी(8;1;-4) दिए गए हैं।
सिद्ध कीजिए कि ABC समद्विबाहु है और भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले त्रिभुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
2) सीधी रेखाओं AB और SD के बीच के कोण की गणना करें यदि A(1;1;0),
बी(3;-1;2), डी(0;1;0)।
कार्ड#4
दिए गए निर्देशांकों के साथ शून्येतर सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
कार्य: 1) समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं:
ए(-6;-;4;0),बी(6;-6;2),सी(10;0;4)। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
2) रेखाओं AB और CD के बीच का कोण ज्ञात कीजिए, यदि A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .
कार्ड#5
हमें बताएं कि इन रेखाओं के दिशा सदिशों का उपयोग करके अंतरिक्ष में दो रेखाओं के बीच के कोण की गणना कैसे करें। →→
कार्य: 1) सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिएएऔर बी, अगर:
→ → → ^ →
क) | ए| =4; | बी| =√3 (एबी)=30◦
बी) ए {2 ;-3; 1}, बी = 3 मैं +2 क
2) अंक A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) और D(2;4;4) दिए गए हैं। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
4. कार्ड पर गतिशील समूहों के काम की जाँच करना.
हम समूहों के प्रतिनिधियों के भाषण सुनते हैं। समूहों के काम का मूल्यांकन शिक्षक द्वारा छात्रों की भागीदारी से किया जाता है।
5. प्रतिबिंब। क्रेडिट के लिए ग्रेड।
उत्तर के विकल्प के साथ अंतिम परीक्षा (प्रिंटआउट में)।
1) सदिश दिए गए हैं ए {2 ;-4 ;3} बी(-3; ; 1)। वेक्टर निर्देशांक खोजें
→ 2
सी = ए+ बी
ए) (-5; 3 -; 4); बी) (-1; -3.5; 4) सी) (5; -4 -; 2) डी) (-1; 3.5; -4)
2) सदिश दिए गए हैं ए(4; -3; 5) और बी(-3; 1; 2)। वेक्टर निर्देशांक खोजें
सी=2 ए – 3 बी
क) (7;-2;3); बी) (11; -7; 8); ग) (17; -9; 4); घ) (-1; -3; 4)।
→ → → → → →
3) सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिएएमऔर एन, अगर एम = ए + 2 बी- सी
→ → → → →^ → → → → →
एन= 2 ए - बीअगर | ए|=2 , | बी |=3, (एबी)=60°, सी ┴ ए , सी ┴ बी.
ए) -1; बी) -27; पहले में; घ) 35.
4) वेक्टर लंबाई ए { एक्सआपजेड) 5 के बराबर है। सदिश a if . के निर्देशांक ज्ञात कीजिएएक्स=2, जेड=-√5
क) 16; बी) 4 या -4; 9 पर; घ) 3 या -3।
5) ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि A(1;-1;3); बी(3;-1;1) और सी(-1;1;-3)।
क) 4√3; बी) 3; ग) 2√3; डी) 8।
क्रॉस-सत्यापन परीक्षण। स्क्रीन पर कार्यों का परीक्षण करने के लिए प्रतिक्रिया कोड: 1(बी); 2 (सी);
3 (ए); 4 (बी); 5 (सी)।
मूल्यांकन के मानदंड:
सब कुछ सही है - "5"
1 गलती - "4"
2 त्रुटियां - "3"
अन्य मामलों में - "2"
छात्र ज्ञान तालिका
पर काम
पत्ते
अंतिम
परीक्षण
क्रेडिट अंक
कार्य
लिखित
अभ्यास
1 समूह
2 समूह
3 समूह
परीक्षा के लिए छात्रों की तैयारी का मूल्यांकन।
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स्लाइड कैप्शन:
अंतरिक्ष में आयताकार समन्वय प्रणाली। वेक्टर निर्देशांक।
आयताकार समन्वय प्रणाली
यदि अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से तीन जोड़ीदार लंबवत रेखाएं खींची जाती हैं, उनमें से प्रत्येक पर एक दिशा चुनी जाती है और खंडों की माप की एक इकाई चुनी जाती है, तो वे कहते हैं कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली अंतरिक्ष में स्थापित है
सीधी रेखाएँ, जिन पर दिशाएँ चुनी जाती हैं, निर्देशांक अक्ष कहलाती हैं, और उनके उभयनिष्ठ बिंदु को निर्देशांक का मूल कहा जाता है। इसे आमतौर पर ओ अक्षर से दर्शाया जाता है। समन्वय अक्षों को निम्नानुसार दर्शाया जाता है: ऑक्स, ओए, ओ जेड - और नाम हैं: एब्सिस्सा अक्ष, वाई-अक्ष, अनुप्रयुक्त अक्ष।
संपूर्ण समन्वय प्रणाली को ऑक्सी z निरूपित किया जाता है। निर्देशांक अक्षों ऑक्स और ओए, ओए और ओ जेड, ओ जेड और ऑक्स से गुजरने वाले विमानों को क्रमशः समन्वय विमान कहा जाता है और इन्हें ऑक्सी, ओए जेड, ओ जेड एक्स दर्शाया जाता है।
बिंदु O प्रत्येक निर्देशांक अक्ष को दो पुंजों में विभाजित करता है। वह किरण जिसकी दिशा अक्ष की दिशा से मेल खाती है धनात्मक अर्ध-अक्ष कहलाती है, और दूसरी किरण ऋणात्मक अर्ध-अक्ष कहलाती है।
एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु M तीन संख्याओं से जुड़ा होता है, जिन्हें इसके निर्देशांक कहा जाता है।
यह आंकड़ा छह अंक ए (9; 5; 10), बी (4; -3; 6), सी (9; 0; 0), डी (4; 0; 5), ई (0; 3; 0) दिखाता है। , एफ(0; 0; -3)।
वेक्टर निर्देशांक
किसी भी सदिश को निर्देशांक सदिशों में विघटित किया जा सकता है, अर्थात इसे उस रूप में निरूपित किया जा सकता है जहां विस्तार गुणांक x, y, z विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
निर्देशांक सदिशों के रूप में एक सदिश के प्रसार में गुणांक x, y और z, दिए गए निर्देशांक तंत्र में सदिश के निर्देशांक कहलाते हैं।
उन नियमों पर विचार करें जो हमें इन वैक्टरों के निर्देशांक का उपयोग करके, उनके योग और अंतर के निर्देशांक, साथ ही किसी दिए गए वेक्टर के उत्पाद के निर्देशांक को किसी दिए गए नंबर से खोजने की अनुमति देते हैं।
दस । दो या दो से अधिक सदिशों के योग का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के योग के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2, y 2, z 2) को सदिश दिए गए हैं, तो सदिश a + b के निर्देशांक हैं (x 1 + x 2, y 1 + वाई 2, जेड 1 + जेड 2)।
20. दो सदिशों के अंतर का प्रत्येक निर्देशांक इन सदिशों के संगत निर्देशांकों के अंतर के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x 1, y 1, z 1) और b (x 2 y 2; z 2) को सदिश दिए गए हैं, तो सदिश a-b के निर्देशांक हैं (x 1 - x 2, y 1 - y 2, जेड 1 - जेड 2 )।
तीस । किसी संख्या बटा सदिश के गुणनफल का प्रत्येक निर्देशांक उस संख्या द्वारा सदिश के संगत निर्देशांक के गुणनफल के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, यदि a (x; y; x) एक दिया गया वेक्टर है, α एक दी गई संख्या है, तो वेक्टर α a में निर्देशांक (αx; αy; α z) होते हैं।
विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स
व्याख्यान के रूप में पाठ आयोजित करने के लिए "अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि" विषय पर छात्रों के लिए नोट्स का एक सेट। ज्यामिति ग्रेड 10-11 ....
पाठ का उद्देश्य: "C2 USE कार्यों को हल करने के लिए अंतरिक्ष में निर्देशांक की विधि का उपयोग करना" विषय पर छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करना। नियोजित शैक्षिक परिणाम: छात्र प्रदर्शित करते हैं: ...
अंतरिक्ष में स्टीरियोमेट्रिक वस्तुओं के बीच किसी भी कोण या दूरी को खोजने के लिए समन्वय विधि एक बहुत ही कुशल और बहुमुखी तरीका है। यदि आपका गणित का शिक्षक अत्यधिक योग्य है, तो उसे यह पता होना चाहिए। अन्यथा, मैं "सी" भाग के लिए ट्यूटर बदलने की सलाह दूंगा। गणित C1-C6 में परीक्षा के लिए मेरी तैयारी में आमतौर पर नीचे वर्णित बुनियादी एल्गोरिदम और सूत्रों का विश्लेषण शामिल होता है।
रेखा a और b . के बीच का कोण
अंतरिक्ष में रेखाओं के बीच का कोण उनके समानांतर किसी भी प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण होता है। यह कोण इन रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है (या इसे 180 डिग्री तक पूरक करता है)।
कोण का पता लगाने के लिए गणित का शिक्षक किस एल्गोरिथम का उपयोग करता है?
1) कोई भी वेक्टर चुनें 
और रेखाओं a और b (उनके समानांतर) की दिशाएँ हैं।
2) हम वैक्टर के निर्देशांक और उनकी शुरुआत और अंत के संबंधित निर्देशांक निर्धारित करते हैं (शुरुआत के निर्देशांक वेक्टर के अंत के निर्देशांक से घटाए जाने चाहिए)।
3) हम पाए गए निर्देशांक को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
. कोण को स्वयं खोजने के लिए, आपको परिणाम के चाप कोसाइन को खोजने की आवश्यकता है।
विमान के लिए सामान्य
एक विमान के लिए एक सामान्य उस विमान के लंबवत कोई भी वेक्टर होता है।
सामान्य कैसे खोजें?अभिलंब के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए दिए गए तल में स्थित किन्हीं तीन बिंदुओं M, N और K के निर्देशांकों को जानना पर्याप्त है। इन निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, हम सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करते हैं और आवश्यकता होती है कि शर्तें और संतुष्ट हों। वैक्टर के स्केलर उत्पाद को शून्य के बराबर करते हुए, हम तीन चर के साथ समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं, जिससे हम सामान्य के निर्देशांक पा सकते हैं।
गणित शिक्षक का नोट : सिस्टम को पूरी तरह से हल करना बिल्कुल भी जरूरी नहीं है, क्योंकि कम से कम एक सामान्य चुनने के लिए पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप इसके किसी भी अज्ञात निर्देशांक के बजाय किसी भी संख्या (उदाहरण के लिए, एक) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और शेष दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं। यदि इसका कोई समाधान नहीं है, तो इसका मतलब है कि मानदंडों के परिवार में ऐसा कोई नहीं है जिसके पास चयनित चर के लिए एक इकाई हो। फिर एक को दूसरे वेरिएबल (दूसरे कोऑर्डिनेट) से बदलें और एक नई प्रणाली को हल करें। यदि आप फिर से चूक जाते हैं, तो आपके सामान्य में अंतिम समन्वय पर एक इकाई होगी, और यह कुछ समन्वय विमान के समानांतर हो जाएगा (इस मामले में, इसे सिस्टम के बिना ढूंढना आसान है)।
मान लीजिए कि हमें दिशा वेक्टर और सामान्य के निर्देशांक के साथ एक रेखा और एक विमान दिया गया है
एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच के कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
मान लीजिए और दिए गए तलों के कोई दो अभिलंब हैं। 
तब तलों के बीच के कोण का कोज्या, अभिलंबों के बीच के कोण के कोज्या के मापांक के बराबर होता है:
अंतरिक्ष में एक विमान का समीकरण
समानता को संतुष्ट करने वाले बिंदु सामान्य के साथ एक विमान बनाते हैं। गुणांक समान दिए गए सामान्य के साथ दो विमानों के बीच विचलन (समानांतर बदलाव) की मात्रा के लिए जिम्मेदार है। एक विमान के समीकरण को लिखने के लिए, आपको पहले इसका सामान्य (जैसा कि ऊपर वर्णित है) खोजना होगा, और फिर विमान पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक को समीकरण में, सामान्य के निर्देशांक के साथ, समीकरण में बदलना होगा और गुणांक का पता लगाना होगा .
निर्देशांक विधि का उपयोग करने के लिए, आपको सूत्रों को अच्छी तरह से जानना होगा। उनमें से तीन हैं:
पहली नज़र में, यह खतरनाक लगता है, लेकिन बस थोड़ा सा अभ्यास - और सब कुछ बढ़िया काम करेगा।
काम। सदिश a = (4; 3; 0) और b = (0; 12; 5) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
फेसला। चूँकि हमें सदिशों के निर्देशांक दिए गए हैं, हम उन्हें पहले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
काम। बिंदुओं M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए, यदि यह ज्ञात हो कि वह इससे नहीं गुजरता है। मूल।
फेसला। विमान का सामान्य समीकरण: कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड + डी = 0, लेकिन चूंकि वांछित विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है - बिंदु (0; 0; 0) - तो हम डी = 1 सेट करते हैं। चूंकि यह विमान गुजरता है अंक एम, एन और के के माध्यम से, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदलना चाहिए।
आइए हम x, y और z के स्थान पर बिंदु M = (2; 0; 1) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास है:
ए 2 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 2 ए + सी + 1 = 0;
इसी तरह, अंक N = (0; 1; 1) और K = (2; 1; 0) के लिए हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
ए 0 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 बी + सी + 1 = 0;
ए 2 + बी 1 + सी 0 + 1 = 0 2ए + बी + 1 = 0;
तो हमारे पास तीन समीकरण और तीन अज्ञात हैं। हम समीकरणों की प्रणाली बनाते और हल करते हैं:
हमने पाया कि समतल के समीकरण का रूप है: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0।
काम। यह तल समीकरण 7x - 2y + 4z + 1 = 0 द्वारा दिया गया है। दिए गए तल के लंबवत सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
फेसला। तीसरे सूत्र का प्रयोग करते हुए, हम n = (7; − 2; 4) प्राप्त करते हैं - बस!
वैक्टर के निर्देशांक की गणना
लेकिन क्या होगा अगर समस्या में कोई वैक्टर नहीं हैं - केवल सीधी रेखाओं पर स्थित बिंदु हैं, और इन सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करना आवश्यक है? यह सरल है: बिंदुओं के निर्देशांक जानने - वेक्टर की शुरुआत और अंत - आप स्वयं वेक्टर के निर्देशांक की गणना कर सकते हैं।
एक वेक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए, इसके अंत के निर्देशांक से शुरुआत के निर्देशांक घटाना आवश्यक है।
यह प्रमेय समतल और अंतरिक्ष में समान रूप से कार्य करता है। अभिव्यक्ति "घटाना निर्देशांक" का अर्थ है कि दूसरे बिंदु के x निर्देशांक को एक बिंदु के x निर्देशांक से घटाया जाता है, फिर y और z निर्देशांक के साथ भी ऐसा ही किया जाना चाहिए। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
काम। अंतरिक्ष में तीन बिंदु हैं, जो उनके निर्देशांकों द्वारा दिए गए हैं: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) और C = (- 4; 3; - 2)। सदिश AB, AC और BC के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
वेक्टर एबी पर विचार करें: इसकी शुरुआत बिंदु ए पर है, और इसका अंत बिंदु बी पर है। इसलिए, इसके निर्देशांक खोजने के लिए, बिंदु ए के निर्देशांक को बिंदु बी के निर्देशांक से घटाना आवश्यक है:
एबी = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4)।
इसी तरह, वेक्टर एसी की शुरुआत अभी भी वही बिंदु ए है, लेकिन अंत बिंदु सी है। इसलिए, हमारे पास है:
एसी = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5)।
अंत में, वेक्टर बीसी के निर्देशांक खोजने के लिए, बिंदु बी के निर्देशांक को बिंदु सी के निर्देशांक से घटाना आवश्यक है:
बीसी = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9)।
उत्तर: एबी = (2; - 7; 4); एसी = (−5;−3;−5); ईसा पूर्व = (−7; 4; - 9)
अंतिम वेक्टर बीसी के निर्देशांक की गणना पर ध्यान दें: नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करते समय बहुत से लोग गलतियां करते हैं। यह चर y पर लागू होता है: बिंदु B में निर्देशांक y = -1 है, और बिंदु C में y = 3 है। हमें ठीक 3 - (- 1) = 4 मिलता है, न कि 3 - 1 जैसा कि कई लोग सोचते हैं। ऐसी मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करें!
सीधी रेखाओं के लिए अभिकलन दिशा सदिश
यदि आप समस्या C2 को ध्यान से पढ़ें तो आपको यह जानकर आश्चर्य होगा कि वहां कोई सदिश नहीं है। केवल सीधी रेखाएँ और समतल हैं।
आइए सीधी रेखाओं से शुरू करते हैं। यहां सब कुछ सरल है: किसी भी रेखा पर कम से कम दो अलग-अलग बिंदु होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं...
क्या कोई समझता है कि पिछले पैराग्राफ में क्या लिखा गया है? मैंने इसे स्वयं नहीं समझा, इसलिए मैं इसे और अधिक सरलता से समझाता हूँ: समस्या C2 में, रेखाएँ हमेशा बिंदुओं के एक जोड़े द्वारा दी जाती हैं। यदि हम एक समन्वय प्रणाली शुरू करते हैं और इन बिंदुओं पर शुरुआत और अंत के साथ एक वेक्टर पर विचार करते हैं, तो हमें एक सीधी रेखा के लिए तथाकथित निर्देशन वेक्टर मिलता है:
इस वेक्टर की आवश्यकता क्यों है? तथ्य यह है कि दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच का कोण होता है। इस प्रकार, हम समझ से बाहर सीधी रेखाओं से विशिष्ट सदिशों की ओर बढ़ रहे हैं, जिनके निर्देशांक आसानी से परिकलित किए जा सकते हैं। कितना आसान है? उदाहरणों पर एक नज़र डालें:
काम। घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में रेखाएँ AC और BD 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
चूंकि क्यूब के किनारों की लंबाई इस स्थिति में निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम AB = 1 सेट करते हैं। आइए हम बिंदु A पर मूल बिंदु के साथ एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें और AB, AD और AA की रेखाओं के साथ निर्देशित कुल्हाड़ियों x, y, z का परिचय दें। 1, क्रमशः। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।
आइए अब सीधी रेखा AC के लिए दिशा सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। हमें दो बिंदुओं की आवश्यकता है: ए = (0; 0; 0) और सी = (1; 1; 0)। यहाँ से हमें सदिश AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) के निर्देशांक प्राप्त होते हैं - यह दिशा सदिश है।
अब आइए सीधी रेखा BD 1 से निपटें। इसके भी दो बिंदु हैं: बी = (1; 0; 0) और डी 1 = (0; 1; 1)। हम दिशा सदिश BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (-1; 1; 1) प्राप्त करते हैं।
उत्तर: एसी = (1; 1; 0); बीडी 1 = (-1; 1; 1)
काम। एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, सीधी रेखाएं AB 1 और AC 1 खींची गई हैं। इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हम एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स-अक्ष एबी के साथ मेल खाता है, जेड-अक्ष एए 1 के साथ मेल खाता है, वाई-अक्ष एक्स-अक्ष के साथ ओएक्सवाई विमान बनाता है, जो एबीसी विमान के साथ मेल खाता है .
सबसे पहले, आइए सीधी रेखा AB 1 से निपटें। यहां सब कुछ सरल है: हमारे पास अंक ए = (0; 0; 0) और बी 1 = (1; 0; 1) हैं। हम दिशा सदिश AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) प्राप्त करते हैं।
आइए अब AC 1 के लिए दिशा सदिश ज्ञात करें। सब कुछ समान है - अंतर केवल इतना है कि बिंदु C 1 में अपरिमेय निर्देशांक हैं। तो, ए = (0; 0; 0), तो हमारे पास है:
उत्तर: एबी 1 = (1; 0; 1);
अंतिम उदाहरण के बारे में एक छोटा लेकिन बहुत महत्वपूर्ण नोट। यदि वेक्टर की शुरुआत मूल के साथ मेल खाती है, तो गणना बहुत सरल हो जाती है: वेक्टर के निर्देशांक अंत के निर्देशांक के बराबर होते हैं। दुर्भाग्य से, यह केवल वैक्टर के लिए सच है। उदाहरण के लिए, विमानों के साथ काम करते समय, उन पर निर्देशांक की उत्पत्ति की उपस्थिति केवल गणना को जटिल बनाती है।
विमानों के लिए सामान्य वैक्टर की गणना
सामान्य वैक्टर ऐसे वैक्टर नहीं हैं जो अच्छा कर रहे हैं, या जो अच्छा महसूस करते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर (सामान्य) दिए गए विमान के लंबवत एक वेक्टर है।
दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए विमान में किसी भी वेक्टर के लिए एक सामान्य एक वेक्टर लंबवत है। निश्चित रूप से आप इस तरह की परिभाषा से परिचित हो गए हैं - हालांकि, वैक्टर के बजाय, यह सीधी रेखाओं के बारे में था। हालाँकि, इसके ठीक ऊपर दिखाया गया था कि C2 समस्या में कोई भी किसी भी सुविधाजनक वस्तु के साथ काम कर सकता है - यहाँ तक कि एक सीधी रेखा, यहाँ तक कि एक वेक्टर भी।
मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि अंतरिक्ष में किसी भी तल को समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां A, B, C और D कुछ गुणांक हैं। समाधान की व्यापकता को कम किए बिना, हम डी = 1 मान सकते हैं यदि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, या डी = 0 यदि ऐसा होता है। किसी भी स्थिति में, इस तल के अभिलंब सदिश के निर्देशांक n = (A; B; C) हैं।
तो, विमान को एक वेक्टर द्वारा भी सफलतापूर्वक बदला जा सकता है - वही सामान्य। अंतरिक्ष में किसी भी विमान को तीन बिंदुओं से परिभाषित किया जाता है। समतल का समीकरण कैसे ज्ञात करें (और इसलिए सामान्य), हम पहले ही लेख की शुरुआत में चर्चा कर चुके हैं। हालाँकि, यह प्रक्रिया कई लोगों के लिए समस्याएँ पैदा करती है, इसलिए मैं कुछ और उदाहरण दूंगा:
काम। खंड A 1 BC 1 घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में खींचा गया है। इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें, यदि मूल बिंदु A पर है, और x, y, और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ मेल खाते हैं।
चूंकि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, इसलिए इसका समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz + 1 = 0, यानी। गुणांक डी \u003d 1. चूंकि यह विमान बिंदु ए 1, बी और सी 1 से गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।
ए 0 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 सी + 1 = 0 ⇒ सी = - 1;
इसी तरह, अंक बी = (1; 0; 0) और सी 1 = (1; 1; 1) के लिए हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
ए 1 + बी 0 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ ए + 1 = 0 ⇒ ए = - 1;
ए 1 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ए + बी + सी + 1 = 0;
लेकिन गुणांक A = - 1 और C = - 1 हमें पहले से ही ज्ञात हैं, इसलिए यह गुणांक B ज्ञात करना बाकी है:
बी = - 1 - ए - सी = - 1 + 1 + 1 = 1।
हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता है: - A + B - C + 1 = 0, इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (- 1; 1; - 1) हैं।
काम। एक खंड एए 1 सी 1 सी क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में खींचा गया है। इस खंड के विमान के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि मूल बिंदु ए पर है, और एक्स, वाई और जेड अक्ष के साथ मेल खाते हैं किनारों एबी, एडी और एए 1 क्रमशः।
इस मामले में, विमान मूल से गुजरता है, इसलिए गुणांक डी \u003d 0, और विमान का समीकरण इस तरह दिखता है: कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड \u003d 0. चूंकि विमान बिंदु ए 1 और सी से गुजरता है, इसलिए इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।
आइए हम x, y और z के बजाय बिंदु A 1 = (0; 0; 1) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास है:
ए 0 + बी 0 + सी 1 = 0 ⇒ सी = 0;
इसी तरह, बिंदु C = (1; 1; 0) के लिए हमें समीकरण मिलता है:
ए 1 + बी 1 + सी 0 = 0 ⇒ ए + बी = 0 ए = - बी;
मान लीजिए B = 1. फिर A = - B = - 1, और पूरे तल का समीकरण है: - A + B = 0। इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (-1; 1; 0) हैं।
सामान्यतया, उपरोक्त समस्याओं में समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करना और उसे हल करना आवश्यक है। तीन समीकरण और तीन चर होंगे, लेकिन दूसरे मामले में उनमें से एक मुक्त होगा, अर्थात। मनमाना मूल्य लें। इसलिए हमारे पास समाधान की व्यापकता और उत्तर की शुद्धता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना B = 1 लगाने का अधिकार है।
बहुत बार समस्या C2 में उन बिंदुओं के साथ काम करना आवश्यक होता है जो खंड को आधे में विभाजित करते हैं। ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक की गणना आसानी से की जाती है यदि खंड के सिरों के निर्देशांक ज्ञात हों।
तो, खंड को इसके सिरों द्वारा दिया जाए - अंक A \u003d (x a; y a; z a) और B \u003d (x b; y b; z b)। फिर खंड के मध्य के निर्देशांक - हम इसे बिंदु एच द्वारा निरूपित करते हैं - सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:
दूसरे शब्दों में, किसी खंड के मध्य के निर्देशांक उसके सिरों के निर्देशांकों के अंकगणितीय माध्य होते हैं।
काम। इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को समन्वय प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z कुल्हाड़ियों को क्रमशः AB, AD और AA 1 किनारों के साथ निर्देशित किया जाए, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता है। बिंदु K है किनारे का मध्यबिंदु ए 1 बी एक। इस बिंदु के निर्देशांक खोजें।
चूंकि बिंदु K खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। आइए सिरों के निर्देशांक लिखें: ए 1 = (0; 0; 1) और बी 1 = (1; 0; 1)। आइए अब बिंदु K के निर्देशांक ज्ञात करें:
काम। इकाई घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 को निर्देशांक प्रणाली में रखा गया है ताकि x, y और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 किनारों के साथ निर्देशित हों, और मूल बिंदु A के साथ मेल खाता हो। निर्देशांक खोजें बिंदु L पर जहां वे वर्ग A 1 B 1 C 1 D 1 के विकर्णों को काटते हैं।
योजनामिति के क्रम से यह ज्ञात होता है कि एक वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसके सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। विशेष रूप से, ए 1 एल = सी 1 एल, यानी। बिंदु L खंड A 1 C 1 का मध्यबिंदु है। लेकिन ए 1 = (0; 0; 1), सी 1 = (1; 1; 1), तो हमारे पास है:
उत्तर: एल = (0.5; 0.5; 1)
