(2.1) के अनुरूप, प्रणाली (5.1) को निम्नलिखित समकक्ष रूप में दर्शाया जा सकता है:
जहाँ g(x) सदिश तर्क का एक पुनरावृत्त सदिश फलन है। गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली अक्सर (5.2) (उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक योजनाओं में) के रूप में सीधे उत्पन्न होती है, इस स्थिति में समीकरणों (5.1) को सिस्टम (5.2) में बदलने के लिए कोई अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता नहीं होती है। यदि हम एक समीकरण के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि के साथ सादृश्य को जारी रखते हैं, तो समीकरण (5.2) पर आधारित पुनरावृत्ति प्रक्रिया को निम्नानुसार व्यवस्थित किया जा सकता है:
- 1) कुछ प्रारंभिक सदिश x ((,) e 5 o (x 0 , ए)(यह माना जाता है कि x * e 5 "(x 0, ए));
- 2) बाद के अनुमानों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
तब पुनरावृति प्रक्रिया पूरी हो जाती है और
पहले की तरह, हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि किन परिस्थितियों में
आइए एक सरल विश्लेषण करके इस मुद्दे पर चर्चा करें। सबसे पहले, हम i-वें सन्निकटन की त्रुटि का परिचय इस प्रकार देते हैं:
हम इन व्यंजकों को (5.3) में प्रतिस्थापित करते हैं और g(x* + e (/i)) को घातों में विस्तारित करते हैं ई (के>वेक्टर तर्क के एक समारोह के रूप में x* के पड़ोस में (यह मानते हुए कि फ़ंक्शन g(x) के सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। यह भी ध्यान में रखते हुए कि x* = g(x*), हम प्राप्त करते हैं
या मैट्रिक्स रूप में
बी = (बी एनएम)= मैं (х*)1 - पुनरावृत्त मैट्रिक्स।
अगर त्रुटि दर ||e®|| काफी छोटा है, तो व्यंजक के दायीं ओर के दूसरे पद (5.4) की उपेक्षा की जा सकती है, और फिर यह व्यंजक (2.16) के साथ मेल खाता है। नतीजतन, सटीक समाधान के पास पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5.3) के अभिसरण की स्थिति प्रमेय 3.1 द्वारा वर्णित है।
सरल पुनरावृत्ति विधि का अभिसरण। पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त (5.3): 
और एक पर्याप्त शर्त:
ये शर्तें व्यावहारिक महत्व के बजाय सैद्धांतिक हैं, क्योंकि हम x' को नहीं जानते हैं। (1.11) के अनुरूप, हम एक ऐसी स्थिति प्राप्त करते हैं जो उपयोगी हो सकती है। मान लीजिए x* e 5 o (x 0, ए)और फ़ंक्शन g(x) के लिए जैकोबी मैट्रिक्स
सभी x e . के लिए मौजूद है एस एन (एक्स 0 , ए) (ध्यान दें कि सी(एक्स*) = बी)। यदि मैट्रिक्स C(x) के तत्व असमानता को संतुष्ट करते हैं
सभी के लिए x e 5 (x 0, ए),तब पर्याप्त स्थिति (5.5) किसी भी मैट्रिक्स मानदंड के लिए भी होती है।
उदाहरण 5.1 (सरल पुनरावृत्ति विधि) समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली पर विचार करें:
इस प्रणाली को समतुल्य रूप (5.2) में प्रस्तुत करने का एक तरीका व्यक्त करना है एक्सपहले समीकरण से और एक्स 2दूसरे समीकरण से: 
फिर पुनरावृत्त योजना का रूप है
सटीक समाधान x* e 5n((2, 2), 1)। हम एक प्रारंभिक वेक्टर चुनते हैं x (0) = (2,2) और ? पी =सीटी 5। गणना परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.1.
तालिका 5.1
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||एक्स - एक्स (i_1 > | 2 / एक्स (ए) 2 |
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इन परिणामों से पता चलता है कि अभिसरण धीमा है। अभिसरण की मात्रात्मक विशेषता प्राप्त करने के लिए, हम एक सरल विश्लेषण करते हैं, यह मानते हुए कि x (1/) सटीक समाधान है। हमारे पुनरावृत्त फलन के लिए जैकोबी मैट्रिक्स C(x) का रूप है
तो मैट्रिक्स बी लगभग अनुमानित है
यह जांचना आसान है कि न तो शर्त (5.5) और न ही शर्त (5.6) संतुष्ट हैं, लेकिन 5(B) ~ 0.8 के बाद से अभिसरण होता है।
गणना प्रक्रिया को थोड़ा बदलकर एक साधारण पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण को तेज करना अक्सर संभव होता है। इस तरह के संशोधन का विचार बहुत सरल है: गणना करना पी-वेक्टर का घटक एक्स (ए+1)न केवल इस्तेमाल किया जा सकता है (टी = एन,..., एन), लेकिन अगले सन्निकटन वेक्टर के पहले से ही गणना किए गए घटक भी एक्स के ^ (/= 1,पी -एक)। इस प्रकार, संशोधित सरल पुनरावृत्ति विधि को निम्नलिखित पुनरावृत्त योजना के रूप में दर्शाया जा सकता है:
यदि पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5.3) द्वारा उत्पन्न सन्निकटन अभिसरण करते हैं, तो पुनरावृत्ति प्रक्रिया (5.8) एक नियम के रूप में, सूचना के अधिक पूर्ण उपयोग के कारण तेजी से परिवर्तित होती है।
उदाहरण 5.2 (संशोधित सरल पुनरावृत्ति विधि) प्रणाली के लिए संशोधित सरल पुनरावृत्ति (5.7) को इस प्रकार दर्शाया गया है:
पहले की तरह, हम प्रारंभिक वेक्टर x (0) = (2, 2) और . चुनते हैं जी पी == 10 -5। गणना परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 5.2.
तालिका 5.2
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मैं गणना के क्रम में टेबोलिन परिवर्तन के कारण पुनरावृत्तियों की संख्या में आधे से कमी आई, और इसलिए संचालन की संख्या में आधे से कमी आई।
समीकरणों का संख्यात्मक हलऔर उनकी प्रणालियों में एक समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों का अनुमानित निर्धारण होता है और इसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां सटीक समाधान विधि अज्ञात या श्रमसाध्य होती है।
समस्या का निरूपण[ | ]
समीकरणों और समीकरण प्रणालियों को संख्यात्मक रूप से हल करने के तरीकों पर विचार करें:
f (x 1 , x 2 ,… , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(array)(lcr)f_(1) )(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_( n))&=&0\end(array))\right.)
समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके[ | ]
आइए दिखाते हैं कि आप अनुकूलन विधियों का सहारा लिए बिना समीकरणों की मूल प्रणाली को कैसे हल कर सकते हैं। यदि हमारा सिस्टम एक SLAE है, तो यह सलाह दी जाती है कि गॉस विधि या रिचर्डसन पद्धति जैसे तरीकों का सहारा लिया जाए। हालांकि, हम अभी भी इस धारणा से आगे बढ़ेंगे कि फ़ंक्शन का रूप हमारे लिए अज्ञात है, और हम संख्यात्मक समाधान के पुनरावृत्त विधियों में से एक का उपयोग करेंगे। उनमें से विस्तृत विविधता के बीच, हम सबसे प्रसिद्ध में से एक का चयन करेंगे - न्यूटन की विधि। यह विधि, बदले में, संकुचन मानचित्रण के सिद्धांत पर आधारित है। इसलिए, उत्तरार्द्ध का सार पहले कहा जाएगा।
कंप्रेसिव मैपिंग[ | ]
आइए शब्दावली को परिभाषित करें:
समारोह करने के लिए कहा जाता है संकुचन मानचित्रण पर अगर
फिर निम्नलिखित मुख्य प्रमेय धारण करता है:
| बनच का प्रमेय (संकुचन मानचित्रण का सिद्धांत)। यदि एक (\displaystyle \varphi )- संकुचन मानचित्रण पर [ए, बी] (\displaystyle), तब: |
यह प्रमेय के अंतिम बिंदु से इस प्रकार है कि संकुचन मानचित्रण के आधार पर किसी भी विधि के अभिसरण की दर कम से कम रैखिक होती है।
पैरामीटर का अर्थ समझाएं α (\displaystyle \alpha )एक चर के मामले में। लैग्रेंज प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है:
(एक्स) ∈ सी 1 [ए, बी]। एक्स 1 , एक्स 2 (ए , बी), एक्स 1< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}इसलिए यह इस प्रकार है कि α | (ξ) | (\displaystyle \alpha \लगभग |\varphi "(\xi)|). इस प्रकार, अभिसरण की विधि के लिए, यह पर्याप्त है कि एक्स ∈ [ ए , बी ] | (एक्स) | 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)
क्रमिक सन्निकटन का सामान्य एल्गोरिथम[ | ]
जैसा कि ऑपरेटर समीकरणों के सामान्य मामले में लागू होता है, इस विधि को कहा जाता है क्रमिक सन्निकटन की विधिया सरल पुनरावृत्ति विधि. हालांकि, समीकरण को संकुचन मानचित्रण में बदला जा सकता है, जिसकी जड़ एक ही है, अलग-अलग तरीकों से। यह कई विशेष विधियों को जन्म देता है जिनमें रैखिक और उच्च अभिसरण दर दोनों होते हैं।
जैसा कि SLAU पर लागू होता है[ | ]
प्रणाली पर विचार करें:
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+)) \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(सरणी))\दाएं।)
इसके लिए, पुनरावृत्त गणना इस तरह दिखेगी:
(एक्स 1 एक्स 2 ⋮ एक्स एन) आई + 1 = (ए 11 + 1 ए 12 … ए 1 एन ए 21 ए 22 + 1 … ए 2 एन ⋮ ए एन 1 ए एन 2 … ए एन एन + 1) (एक्स 1 एक्स 2 ) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\ अंत (सरणी))\दाएं)^(i+1)=\बाएं((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_ ( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(array))\ दाएं)\बाएं((\शुरू(सरणी)(सी)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(सरणी))\दाएं)^(i)-\बाएं ((\ start(array)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(array))\right))
विधि एक रेखीय दर पर अभिसरण करेगी यदि ए 11 + 1… ए 1 एन ⋮ ए एन 1… ए एन एन + 1< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
डबल वर्टिकल बार का मतलब कुछ मैट्रिक्स मानदंड है।
न्यूटन की विधि द्वारा समीकरण f(x)=0 का हल, प्रारंभिक सन्निकटन: x 1 =a.
न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)[ | ]
एक आयामी मामला[ | ]
मूल समीकरण के परिवर्तन का अनुकूलन f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)संकुचन मानचित्रण में x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x))आपको अभिसरण की द्विघात दर के साथ एक विधि प्राप्त करने की अनुमति देता है।
मैपिंग सबसे कुशल होने के लिए, यह आवश्यक है कि अगले पुनरावृत्ति के बिंदु पर x (\displaystyle x^(*))किया गया (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). हम इस समीकरण का हल इस रूप में खोजेंगे (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), तब:
′ (x ∗) = 1 + α ′ (x ∗) f (x ∗) + α (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\alpha (x^(*))f"(x^(*))=0)आइए उपयोग करें क्या f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0), और हमें के लिए अंतिम सूत्र मिलता है α (x) (\displaystyle \alpha (x)):
α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))इसे ध्यान में रखते हुए, संकुचन कार्य रूप लेगा:
φ (x) = x - f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))फिर समीकरण का संख्यात्मक हल खोजने के लिए एल्गोरिथ्म f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)एक पुनरावृत्त गणना प्रक्रिया को कम करता है:
x i + 1 = x i − f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i)))(f”(x_(i) ))))पुनरावृत्त तरीके
पुनरावृत्ति विधियाँ निम्नलिखित तीन चरणों के कार्यान्वयन को मानती हैं: क्रमिक सन्निकटन की गणना के लिए सटीक समाधान में परिवर्तित होने वाली एक पुनरावृत्त प्रक्रिया का निर्माण (अर्थात, सटीक समाधान में परिवर्तित होने वाले वैक्टर के अनुक्रम का निर्माण करना) ; इस प्रक्रिया के अभिसरण मानदंड का निर्धारण, जो आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के क्षण को निर्धारित करने की अनुमति देता है; आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक संचालन की संख्या को कम करने के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण और अनुकूलन की दर का अध्ययन।
यदि विधि का अभिसरण सिद्ध हो जाता है, तो पुनरावृत्त विधियाँ पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करना संभव बनाती हैं। पुनरावृत्त विधियां कड़ाई से सटीक समाधान नहीं देती हैं, क्योंकि इसे वैक्टर के अनुक्रम की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाता है। प्रत्यक्ष विधि आम तौर पर एक सटीक समाधान देती है, लेकिन सभी कंप्यूटरों पर होने वाली गोलाई त्रुटियों के कारण, उस तक नहीं पहुंचा जा सकता है, और संभवतःयह आकलन करना और भी मुश्किल है कि यह समाधान सटीक समाधान से कितना भिन्न है। उपरोक्त के संबंध में, पुनरावृत्त विधियां कभी-कभी प्रत्यक्ष की तुलना में अधिक सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करना संभव बनाती हैं।
रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए कई पुनरावृत्त विधियों पर विचार करें।
सरल पुनरावृत्ति विधि
सरल पुनरावृत्ति विधि में, रैखिक बीजीय समीकरणों का निकाय (2.1) कुल्हाड़ी = बीप्रपत्र की एक समान प्रणाली में घटाया गया है
प्रणाली का समाधान (2.9) और, परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली (2.1) का समाधान वैक्टर के अनुक्रम की सीमा के रूप में मांगा जाता है:
के = 0, 1, 2,…,(2.10)
जहां समाधान वेक्टर के लिए प्रारंभिक सन्निकटन है।
सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए एक पर्याप्त शर्त निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है।
प्रमेय 1. यदि वेक्टर के माने गए मानदंड के अनुरूप मैट्रिक्स का कोई भी मानदंड एकता () से कम है, तो सरल पुनरावृत्ति विधि में अनुक्रम प्रणाली के सटीक समाधान (2.9) में दर से कम नहीं की दर से परिवर्तित होता है किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति का।
प्रमाण। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम एक त्रुटि का परिचय देते हैं। संबंध से समानता (2.10) घटाकर, हम प्राप्त करते हैं। मानदंडों को पार करते हुए, हमारे पास है
ध्यान दें कि असमानता 
पिछली अभिव्यक्ति से मैट्रिक्स और वेक्टर के मानदंड के लिए स्थिरता की स्थिति है। यदि एक
, तो किसी भी प्रारंभिक त्रुटि वेक्टर (या अन्यथा, किसी भी प्रारंभिक वेक्टर के लिए) के लिए, त्रुटि दर शून्य के साथ एक ज्यामितीय प्रगति की तुलना में धीमी गति से शून्य हो जाती है।
यदि हम मानदंड को मैट्रिक्स मानदंड के रूप में चुनते हैं 
या 
फिर सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के प्रश्न को हल करने के लिए, कोई प्रमेय 1 से कोरोलरी का उपयोग कर सकता है: सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है यदि मैट्रिक्स के लिए निम्न में से कोई एक स्थिति संतुष्ट है:
, मैं = 1,2, …, एन,
, जे = 1, 2, …, एन।(2.11)
सिस्टम लाने का सबसे सरल और सबसे आम तरीका कुल्हाड़ी = बीफ़ॉर्म के लिए (2.9), पुनरावृत्तियों के लिए सुविधाजनक, विकर्ण तत्वों का चयन है, प्रत्येक के साथ i-वेंसमीकरण के संबंध में हल किया गया है i-वेंअनजान:
, मैं = 1, 2, …, एन, (2.12)
और सरल पुनरावृत्ति विधि के रूप में लिखा जा सकता है
तब मैट्रिक्स का रूप होता है
.
इस मैट्रिक्स के तत्व के रूप में लिखा जा सकता है 
क्रोनकर प्रतीक कहां है। इस मामले में, सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त स्थिति मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों के प्रभुत्व के लिए शर्त के रूप में तैयार की जा सकती है लेकिन, जो (2.11) और मैट्रिक्स के अंकन से अनुसरण करता है, अर्थात्।
मैं = 1, 2, …, एन।
हम एक बार फिर इस बात पर जोर देते हैं कि पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए शर्त के माने हुए रूप ही पर्याप्त हैं। उनका निष्पादन विधि के अभिसरण की गारंटी देता है, लेकिन सामान्य मामले में उनकी विफलता का मतलब यह नहीं है कि सरल पुनरावृत्ति विधि अलग हो जाती है। सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि पूर्णांक भाग (जहां मैट्रिक्स का अधिकतम मॉड्यूलो ईजेनवेल्यू है) लेकिन); कम्प्यूटेशनल अभ्यास में इस स्थिति का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।
आइए हम समाधान की त्रुटि के आकलन के प्रश्न की ओर मुड़ें। समाधान की त्रुटि का आकलन करने के लिए रुचि के दो संबंध हैं: पहला त्रुटि के मानदंड को दो क्रमिक सन्निकटन के अंतर के मानदंड से संबंधित करता है और इसका उपयोग केवल गणना की प्रक्रिया में त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है; दूसरा प्रारंभिक सन्निकटन के वेक्टर के मानदंडों और सिस्टम (2.9) में मुक्त अवधि के वेक्टर के लिए त्रुटि के मानदंड से संबंधित है। आवश्यक संबंध निम्नलिखित दो प्रमेयों द्वारा दिए गए हैं।
प्रमेय 2. यदि मैट्रिक्स का कोई मानदंड वेक्टर के माने गए मानदंड के अनुरूप है एक्स
. (2.13)
प्रमाण। आइए हम समानता (2.10) को समानता से घटाएं:
दोनों भागों से सन्निकटन मान घटाकर, हम इस अनुपात को रूप में बदल देते हैं
मानदंडों को पार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
चूंकि, प्रमेय की परिकल्पना से,
उस संबंध का उपयोग करना जिससे यह अनुसरण करता है कि 
अंत में हमें मिलता है:
प्रमेय 3. यदि कोई मानदण्ड एक मैट्रिक्स है जो सदिश के माने गए मानदण्ड के अनुरूप है एक्स, एक से कम (), तो निम्न त्रुटि अनुमान होता है:
आइए दो टिप्पणियां करें। सबसे पहले, संबंध (2.13) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
जो पहले दो पुनरावृत्तियों के परिणामों के आधार पर त्रुटि का अनुमान प्राप्त करना संभव बनाता है। सबसे पहले, पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते समय, कभी-कभी गणना त्रुटि के अनुमान के रूप में दो क्रमिक सन्निकटन के अंतर के मानदंड का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। यह त्रुटि के लिए सहसंबंधों का अनुसरण करता है कि सामान्य मामले में यह सच नहीं है। यदि मानदंड एकता के करीब है, तो गुणांक काफी बड़ा हो सकता है।
क्रमिक पुनरावृत्तियों की त्रुटियाँ संबंध से संबंधित हैं
वे। त्रुटि एक कदम पर रैखिक रूप से बदलती है। विधि कहा जाता है रैखिक अभिसरणया प्रथम क्रम अभिसरण। हालांकि, आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या के मूल्य और प्रारंभिक सन्निकटन पर निर्भर करती है।
इस प्रकार, एक उदाहरण के रूप में सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते हुए, पुनरावृत्त विधियों के तीन चरणों का प्रदर्शन किया जाता है: सूत्र द्वारा उत्पन्न वैक्टर के अनुक्रम का निर्माण (1.10); प्रमेय 1 के अनुसार अभिसरण की स्थिति का निर्धारण और प्रमेय 2 और 3 का उपयोग करके अभिसरण की दर का अनुमान।
सीडल विधि
सरल पुनरावृत्ति विधि पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण में सुधार की स्पष्ट संभावना का उपयोग नहीं करती है - गणना में वेक्टर के नए गणना किए गए घटकों का तत्काल परिचय। इस संभावना का उपयोग पुनरावृत्त सीडल विधि में किया जाता है। सिस्टम के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया (2.9) इस मामले में संबंध के अनुसार की जाती है
मैं = 1, 2, …, n (2.14)
या सिस्टम के लिए (1.1)
विवरण में जाने के बिना, हम ध्यान दें कि सीडल पुनरावृत्ति विधि अक्सर सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण की ओर ले जाती है। हालांकि, ऐसे मामले हैं जहां सीडल पुनरावृत्ति विधि सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में अधिक धीरे-धीरे परिवर्तित होती है, और यहां तक कि ऐसे मामले भी जहां सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है लेकिन सीडल पुनरावृत्ति विधि अलग हो जाती है।
ध्यान दें कि सीडल विधि अभिसरण करती है,अगर मैट्रिक्स लेकिनसकारात्मक निश्चित और सममित।
आइए हम दिखाते हैं कि सीडल पुनरावृत्ति विधि विशेष रूप से निर्मित मैट्रिक्स और संबंध में वेक्टर (2.10) के साथ कुछ सरल पुनरावृत्ति विधि के बराबर है। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम (2.14) को फॉर्म में लिखते हैं आव्यूह (एह)एक के बराबर विकर्ण तत्वों के साथ एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। इसलिए, इस मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य (एक के बराबर) है और इसका उलटा मैट्रिक्स है। फिर
समाधान (2.10) के साथ इस संबंध की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सीडल पुनरावृत्ति विधि वास्तव में इस अर्थ में सरल पुनरावृत्ति विधि के बराबर है कि, सीडल पुनरावृत्ति विधि के लिए स्थिति और अभिसरण मानदंड स्थापित करने के लिए, दिए गए प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए, यदि हम सेट करते हैं 
सिस्टम के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया (2.12) को अधिक सामान्य रूप में भी लिखा जा सकता है, अर्थात्
मान लीजिए कि n अज्ञात के साथ n बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:
सरल पुनरावृत्ति विधि एल्गोरिथ्म:
ध्यान दें कि यहां और आगे क्या है, सबस्क्रिप्ट अज्ञात के वेक्टर के संबंधित घटक को दर्शाता है, और सुपरस्क्रिप्ट पुनरावृत्ति (सन्निकटन) संख्या को दर्शाता है।
फिर एक चक्रीय गणितीय प्रक्रिया बनती है, जिसका प्रत्येक चक्र एक पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, अज्ञात के वेक्टर का एक नया मान प्राप्त होता है। पुनरावृति प्रक्रिया को व्यवस्थित करने के लिए हम उपरोक्त रूप में सिस्टम (1) लिखते हैं। इस मामले में, मुख्य विकर्ण की शर्तें सामान्यीकृत होती हैं और समान चिह्न के बाईं ओर रहती हैं, जबकि शेष दाईं ओर स्थानांतरित हो जाती हैं। समीकरणों की कम प्रणालीकी तरह लगता है:
नोटिस जो कभी नहीं पहुंचा जा सकता है, हालांकि, प्रत्येक बाद के पुनरावृत्ति के साथ, अज्ञात के वेक्टर सटीक समाधान के करीब और करीब आते हैं।
12. एक गैर-रेखीय समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि में उपयोग किया जाने वाला मुख्य पुनरावृत्त सूत्र:
13. एक अरेखीय समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि में पुनरावृत्ति प्रक्रिया को रोकने के लिए मानदंड:
पुनरावृत्ति प्रक्रिया समाप्त होती है यदि अज्ञात के वेक्टर के प्रत्येक i-वें घटक के लिए सटीकता प्राप्त करने की स्थिति संतुष्ट होती है।
नोटिस जो सरल पुनरावृत्ति विधि में सटीक समाधानकभी नहीं पहुंचा जा सकता है, हालांकि, प्रत्येक बाद के पुनरावृत्ति के साथ, अज्ञात के वेक्टर सटीक समाधान के करीब और करीब आ रहे हैं
14. अंतराल के पुनरावृति खंड के लिए सहायक फलन F(x) चुनने के लिए मानदंड:
सरल पुनरावृत्ति विधि को हल करने के लिए गणित की परीक्षा करते समय, पहले अभिसरण की स्थिति की जाँच की जानी चाहिए। विधि के अभिसरण के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स ए में सभी विकर्ण तत्वों का निरपेक्ष मान संबंधित पंक्ति में अन्य सभी तत्वों के मॉड्यूल के योग से अधिक हो:
पुनरावृत्त विधियों का नुकसानयह एक काफी कठोर अभिसरण शर्त है, जो समीकरणों की सभी प्रणालियों के लिए संतुष्ट होने से बहुत दूर है।
यदि अभिसरण की स्थिति संतुष्ट है, तो अगले चरण में अज्ञात के वेक्टर का प्रारंभिक सन्निकटन निर्धारित करना आवश्यक है, जो आमतौर पर शून्य वेक्टर होता है:
15. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली गॉस विधि प्रदान करती है:
विधि मैट्रिक्स परिवर्तन पर त्रिकोणीय रूप पर आधारित है। यह सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
सरल पुनरावृत्ति की विधि, जिसे क्रमिक सन्निकटन की विधि भी कहा जाता है, एक अज्ञात मात्रा के मूल्य को धीरे-धीरे परिष्कृत करके खोजने के लिए एक गणितीय एल्गोरिथम है। इस पद्धति का सार यह है कि, जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, बाद वाले को प्रारंभिक सन्निकटन से धीरे-धीरे व्यक्त करते हुए, वे अधिक से अधिक परिष्कृत परिणाम प्राप्त करते हैं। इस पद्धति का उपयोग किसी दिए गए फ़ंक्शन में एक चर के मान को खोजने के लिए किया जाता है, साथ ही साथ रैखिक और गैर-रैखिक दोनों समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में भी किया जाता है।
आइए विचार करें कि SLAE को हल करते समय इस पद्धति को कैसे लागू किया जाता है। सरल पुनरावृत्ति विधि में निम्नलिखित एल्गोरिथम है:
1. मूल मैट्रिक्स में अभिसरण स्थिति का सत्यापन। अभिसरण प्रमेय: यदि प्रणाली के मूल मैट्रिक्स में विकर्ण प्रभुत्व है (अर्थात, प्रत्येक पंक्ति में, मुख्य विकर्ण के तत्व मापांक में पक्ष विकर्णों के तत्वों के योग से अधिक होना चाहिए), तो सरल की विधि पुनरावृत्तियां अभिसरण हैं।
2. मूल प्रणाली के मैट्रिक्स में हमेशा विकर्ण प्रभुत्व नहीं होता है। ऐसे में व्यवस्था में बदलाव किया जा सकता है। अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण अछूते रह जाते हैं, और जो नहीं करते हैं, वे रैखिक संयोजन बनाते हैं, अर्थात। वांछित परिणाम प्राप्त होने तक गुणा करें, घटाएं, समीकरण जोड़ें।
यदि परिणामी प्रणाली में मुख्य विकर्ण पर असुविधाजनक गुणांक हैं, तो इस तरह के समीकरण के दोनों हिस्सों में फॉर्म c i *x i की शर्तें जोड़ दी जाती हैं, जिनमें से संकेत विकर्ण तत्वों के संकेतों के साथ मेल खाना चाहिए।
3. परिणामी प्रणाली का सामान्य रूप में परिवर्तन:
एक्स - =β - +α*x -
यह कई तरीकों से किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार: पहले समीकरण से, अन्य अज्ञात के संदर्भ में x 1 व्यक्त करें, दूसरे से - x 2, तीसरे से - x 3, आदि। यहां हम सूत्रों का उपयोग करते हैं:
α ij = -(एक आईजे / ए ii)
मैं = बी मैं / एक ii
आपको फिर से यह सुनिश्चित करना चाहिए कि सामान्य रूप की परिणामी प्रणाली अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करती है:
(j=1) |α ij |≤ 1, जबकि i= 1,2,...n
4. हम वास्तव में, क्रमिक सन्निकटन की विधि को ही लागू करना शुरू करते हैं।
x (0) - प्रारंभिक सन्निकटन, हम इसके माध्यम से x (1) व्यक्त करते हैं, फिर x (1) के माध्यम से हम x (2) व्यक्त करते हैं। मैट्रिक्स रूप में सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:
एक्स (एन) = β - +α*x (एन-1)
हम तब तक गणना करते हैं जब तक हम आवश्यक सटीकता तक नहीं पहुंच जाते:
अधिकतम |x मैं (के)-एक्स मैं (के+1)
तो, आइए अभ्यास में सरल पुनरावृत्ति विधि को देखें। उदाहरण:
SLAE हल करें:
4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 सटीकता के साथ ε=10 -3
आइए देखें कि क्या विकर्ण तत्व मॉड्यूलो को प्रबल करते हैं।
हम देखते हैं कि केवल तीसरा समीकरण अभिसरण की स्थिति को संतुष्ट करता है। हम पहले और दूसरे समीकरण को बदलते हैं, दूसरे को पहले समीकरण में जोड़ते हैं:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
पहले को तीसरे से घटाएं:
2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
हमने मूल प्रणाली को एक समकक्ष में बदल दिया है:
7.6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4
अब सिस्टम को सामान्य स्थिति में लाते हैं:
x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2
हम पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण की जाँच करते हैं:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 यानी। शर्त पूरी की जाती है।
0,3947
प्रारंभिक अनुमान x(0) = 0.4762
0,8511
इन मानों को सामान्य रूप समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, हम निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:
0,08835
एक्स(1) = 0.486793
0,446639
नए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
0,215243
एक्स(2) = 0.405396
0,558336
हम गणना तब तक जारी रखते हैं जब तक हम दी गई शर्त को पूरा करने वाले मानों के करीब नहीं पहुंच जाते।
एक्स(7) = 0.441091
आइए प्राप्त परिणामों की शुद्धता की जांच करें:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
मूल समीकरणों में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त परिणाम समीकरण की शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करते हैं।
जैसा कि हम देख सकते हैं, सरल पुनरावृत्ति विधि काफी सटीक परिणाम देती है, हालांकि, इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें बहुत समय व्यतीत करना पड़ा और बोझिल गणना करना पड़ा।
