परिभाषा.

यह एक षट्भुज है, जिसके आधार दो समान वर्ग हैं, और पार्श्व फलक समान आयत हैं।

साइड रिबदो आसन्न भुजाओं का उभयनिष्ठ पक्ष है

प्रिज्म ऊँचाईप्रिज्म के आधारों के लंबवत एक रेखा खंड है

प्रिज्म विकर्ण- आधारों के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है

विकर्ण विमान- एक तल जो प्रिज्म के विकर्ण और उसके पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है

विकर्ण खंड- प्रिज्म और विकर्ण तल के प्रतिच्छेदन की सीमाएं। एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण खंड एक आयत है

लंबवत खंड (ऑर्थोगोनल सेक्शन)- यह एक प्रिज्म का प्रतिच्छेदन है और इसके किनारे के किनारों पर लंबवत खींचा गया एक विमान है

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के तत्व

यह आंकड़ा दो नियमित चतुर्भुज प्रिज्म दिखाता है, जो संबंधित अक्षरों से चिह्नित होते हैं:

• आधार एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं
• भुजा का मुख AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C और CC 1 D 1 D है, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है
• पार्श्व सतह - प्रिज्म के सभी पक्षों के क्षेत्रों का योग
• कुल सतह - सभी आधारों और पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग (पक्ष की सतह और आधारों के क्षेत्रफल का योग)
• साइड रिब्स एए 1, बीबी 1, सीसी 1 और डीडी 1।
• विकर्ण बी 1 डी
• आधार विकर्ण BD
• विकर्ण खंड बी बी 1 डी 1 डी
• लंबवत खंड ए 2 बी 2 सी 2 डी 2।

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के गुण

• आधार दो बराबर वर्ग हैं
• आधार एक दूसरे के समानांतर हैं
• भुजाएँ आयताकार हैं।
• पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर हैं
• पार्श्व फलक आधारों के लंबवत होते हैं
• पार्श्व पसलियां एक दूसरे के समानांतर और बराबर होती हैं
• लंबवत खंड सभी तरफ की पसलियों के लंबवत और आधारों के समानांतर
• लंबवत खंड कोण - दाएं
• एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण खंड एक आयत है
• लंबवत (ऑर्थोगोनल सेक्शन) आधारों के समानांतर

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के लिए सूत्र

समस्याओं के समाधान के निर्देश

विषय पर समस्याओं को हल करते समय " नियमित चतुर्भुज प्रिज्म" इसका आशय है:

सही प्रिज्म- एक प्रिज्म जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और किनारे के किनारे आधार के विमानों के लंबवत होते हैं। अर्थात्, एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म इसके आधार पर होता है वर्ग. (एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के गुणों के ऊपर देखें) टिप्पणी. यह ज्यामिति (सेक्शन सॉलिड ज्योमेट्री - प्रिज्म) में कार्यों के साथ पाठ का हिस्सा है। यहां ऐसे कार्य हैं जो हल करने में कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यदि आपको ज्यामिति में कोई समस्या हल करने की आवश्यकता है, जो यहाँ नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें. समस्याओं को हल करने में वर्गमूल निकालने की क्रिया को दर्शाने के लिए प्रतीक का प्रयोग किया जाता है√ .

एक कार्य।

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म में, आधार क्षेत्र 144 सेमी 2 और ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म का विकर्ण और कुल सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

समाधान.
एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है।
तदनुसार, आधार की भुजा बराबर होगी

√144 = 12 सेमी.
जहां से एक नियमित आयताकार प्रिज्म के आधार का विकर्ण बराबर होगा
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

एक नियमित प्रिज्म का विकर्ण आधार के विकर्ण और प्रिज्म की ऊंचाई के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है। तदनुसार, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का विकर्ण बराबर होगा:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 सेमी

उत्तर: 22 सेमी

एक कार्य

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि इसका विकर्ण 5 सेमी और पार्श्व फलक का विकर्ण 4 सेमी है।

समाधान.
चूंकि एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा आधार की भुजा (ए के रूप में निरूपित) पाई जाती है:

ए 2 + ए 2 = 5 2
2ए 2 = 25
ए = √12.5

पार्श्व फलक की ऊंचाई (एच के रूप में निरूपित) तब इसके बराबर होगी:

एच 2 + 12.5 \u003d 4 2
एच 2 + 12.5 = 16
ज 2 \u003d 3.5
एच = √3.5

कुल सतह क्षेत्र पार्श्व सतह क्षेत्र के योग के बराबर होगा और आधार क्षेत्र का दोगुना होगा

एस = 2a 2 + 4ah
एस = 25 + 4√12.5 * √3.5
एस = 25 + 4√43.75
एस = 25 + 4√ (175/4)
एस = 25 + 4√ (7*25/4)
एस \u003d 25 + 10√7 51.46 सेमी 2.

उत्तर: 25 + 10√7 51.46 सेमी 2.

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थि‍ति

एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA_1B_1C_1 में, आधार की भुजाएँ 4 हैं, और भुजाएँ 10 हैं। AB, AC, A_1B_1 और A_1C_1 किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा प्रिज्म का अनुभागीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।

खंड MN त्रिभुज A_1B_1C_1 की मध्य रेखा है, इसलिए एमएन = \frac12 B_1C_1=2.वैसे ही, केएल=\frac12BC=2.इसके अतिरिक्त, MK = NL = 10. इसका तात्पर्य है कि चतुर्भुज MNLK एक समांतर चतुर्भुज है। चूंकि MK\parallel AA_1, तो MK\perp ABC और MK\perp KL। अत: चतुर्भुज MNLK एक आयत है। एस_(एमएनएलके) = एमके\cdot केएल= 10\cdot 2 = 20.

उत्तर

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थि‍ति

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का आयतन ABCDA_1B_1C_1D_1 24 है। बिंदु K किनारे का मध्य है CC_1 । पिरामिड KBCD का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

शर्त के अनुसार, KC पिरामिड KBCD की ऊंचाई है। CC_1 प्रिज्म ABCDA_1B_1C_1D_1 की ऊंचाई है।

चूँकि K, CC_1 का मध्यबिंदु है, तो केसी=\frac12CC_1.चलो CC_1=H , फिर केसी=\frac12H. यह भी ध्यान दें कि S_(BCD)=\frac12S_(ABCD)।फिर, वी_(केबीसीडी)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).फलस्वरूप, वी_(केबीसीडी)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थि‍ति

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजा 6 है और इसकी ऊँचाई 8 है।

समाधान दिखाएं

समाधान

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र S भुजा द्वारा ज्ञात किया जाता है। = पी मुख्य। · h = 6a\cdot h, जहाँ P मुख्य। और h क्रमशः आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई 8 के बराबर है, और a एक नियमित षट्भुज की भुजा है, जो 6 के बराबर है। इसलिए, एस पक्ष। = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थि‍ति

एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म के आकार के बर्तन में पानी डाला जाता है। जल स्तर 40 सेमी तक पहुँच जाता है। जल स्तर कितनी ऊँचाई पर होगा यदि इसे उसी आकार के किसी अन्य बर्तन में डाला जाए, जिसका आधार पक्ष पहले की तुलना में दोगुना है? अपना उत्तर सेंटीमीटर में व्यक्त करें।

समाधान दिखाएं

समाधान

मान लीजिए a पहले बर्तन के आधार की भुजा है, तो 2a दूसरे बर्तन के आधार की भुजा है। शर्त के अनुसार, पहले और दूसरे बर्तन में तरल V का आयतन समान होता है। दूसरे बर्तन में द्रव जिस स्तर तक बढ़ा है, उसे H से निरूपित करें। फिर वी = \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,तथा, वी=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.यहाँ से \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4 एच, एच = 10।

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थि‍ति

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 में सभी किनारे 2 हैं। बिंदु A और E_1 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

त्रिभुज AEE_1 समकोण है, क्योंकि किनारा EE_1 प्रिज्म के आधार के तल के लंबवत है, कोण AEE_1 समकोण होगा।

फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2। कोज्या प्रमेय का प्रयोग करते हुए त्रिभुज AFE से AE ज्ञात कीजिए। एक नियमित षट्भुज का प्रत्येक आंतरिक कोण है 120^(\circ) । फिर एई^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right)।

अत: AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

एई_1=4.

उत्तर

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 8
थीम: प्रिज्म

स्थि‍ति

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार विकर्णों के बराबर समचतुर्भुज है 4\sqrt5और 8 , और एक पार्श्व किनारा 5 के बराबर है।

समाधान दिखाएं

समाधान

एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र S भुजा द्वारा ज्ञात किया जाता है। = पी मुख्य। · h = 4a\cdot h, जहाँ P मुख्य। और h, क्रमशः आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊँचाई, 5 के बराबर, और a समचतुर्भुज की भुजा है। आइए समचतुर्भुज की भुजा ज्ञात करें, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि समचतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित है।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म का आयतन ज्ञात करना आवश्यक है, जिसका आधार क्षेत्रफल S के बराबर है, और ऊँचाई के बराबर है एच= AA' = BB' = CC' (चित्र 306)।

हम प्रिज्म का आधार अलग से खींचते हैं, अर्थात त्रिभुज ABC (आकृति 307, a), और इसे एक आयत में पूरा करते हैं, जिसके लिए हम शीर्ष B से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा KM बनाते हैं || AC और बिंदु A और C से हम इस रेखा पर लंबवत AF और CE छोड़ते हैं। हमें ACEF आयत मिलता है। त्रिभुज ABC की ऊँचाई BD खींचकर, हम देखेंगे कि ACEF आयत 4 समकोण त्रिभुजों में विभाजित है। इसके अलावा, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD और \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. इसका मतलब है कि आयत ACEF का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का दोगुना है, यानी यह 2S के बराबर है।

आधार ABC वाले इस प्रिज्म में हम आधार ALL और BAF और ऊँचाई वाले प्रिज़्म जोड़ते हैं एच(चित्र। 307, बी)। हमें ACEF आधार के साथ एक आयताकार समांतर चतुर्भुज मिलता है।

यदि हम इस समानांतर चतुर्भुज को रेखाओं BD और BB' से गुजरने वाले तल से काटते हैं, तो हम देखेंगे कि आयताकार समानांतर चतुर्भुज में 4 प्रिज्म होते हैं जिनमें आधार BCD, ALL, BAD और BAF होते हैं।

आधार बीसीडी और सभी के साथ प्रिज्म को जोड़ा जा सकता है, क्योंकि उनके आधार बराबर हैं (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) और उनके पार्श्व किनारे, जो एक विमान के लंबवत हैं, भी बराबर हैं। अत: इन प्रिज्मों के आयतन बराबर होते हैं। BAD और BAF आधार वाले प्रिज्मों के आयतन भी बराबर होते हैं।

इस प्रकार, यह पता चला है कि आधार ABC के साथ दिए गए त्रिभुजाकार प्रिज्म का आयतन, आधार ACEF वाले आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयतन का आधा है।

हम जानते हैं कि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन उसके आधार और ऊँचाई के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात इस मामले में यह 2S के बराबर होता है। एच. अत: इस समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म का आयतन S . के बराबर है एच.

एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

2. एक सीधे बहुभुज प्रिज्म का आयतन।

एक सीधे बहुभुज प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, जैसे कि एक पंचकोणीय, जिसका आधार क्षेत्र S और ऊँचाई है एच, आइए इसे त्रिभुजाकार प्रिज्मों में तोड़ें (चित्र 308)।

एस 1, एस 2 और एस 3 के माध्यम से त्रिकोणीय प्रिज्म के आधार क्षेत्रों और वी के माध्यम से इस बहुभुज प्रिज्म के आयतन को निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

वी = एस 1 एच+S2 एच+ एस 3 एच, या

वी = (एस 1 + एस 2 + एस 3) एच.

और अंत में: वी = एस एच.

इसी तरह, किसी भी बहुभुज के आधार पर एक सीधे प्रिज्म के आयतन का सूत्र प्राप्त होता है।

माध्यम, किसी भी सीधे प्रिज्म का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

प्रिज्म वॉल्यूम

प्रमेय। एक प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल के गुणा ऊँचाई के बराबर होता है।

पहले हम इस प्रमेय को एक त्रिभुजाकार प्रिज्म के लिए सिद्ध करते हैं, और फिर एक बहुभुज के लिए।

1) त्रिभुज प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 के किनारे AA 1 के माध्यम से ड्रा (चित्र। 95) चेहरे के समानांतर एक विमान BB 1 C 1 C, और किनारे से CC 1 - चेहरे के समानांतर एक विमान AA 1 बी 1 बी; तब हम प्रिज्म के दोनों आधारों के तलों को तब तक जारी रखते हैं जब तक कि वे खींचे गए तलों के साथ प्रतिच्छेद न कर दें।

फिर हमें एक समानांतर चतुर्भुज BD 1 प्राप्त होता है, जो विकर्ण तल AA 1 C 1 C द्वारा दो त्रिभुजाकार प्रिज्मों में विभाजित होता है (उनमें से एक दिया गया है)। आइए हम सिद्ध करें कि ये प्रिज्म बराबर हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक लंबवत खंड खींचते हैं ए बी सी डी. अनुभाग में, आपको एक समांतर चतुर्भुज मिलता है, जो एक विकर्ण है ऐसदो समान त्रिभुजों में विभाजित है। यह प्रिज्म ऐसे सीधे प्रिज्म के बराबर है, जिसका आधार \(\Delta\) है एबीसी, और ऊँचाई AA 1 का किनारा है। एक अन्य त्रिभुजाकार प्रिज्म उस रेखा के क्षेत्रफल के बराबर है जिसका आधार \(\Delta\) है एडीसी, और ऊँचाई AA 1 का किनारा है। लेकिन समान आधार और समान ऊंचाई वाले दो सीधे प्रिज्म समान हैं (क्योंकि वे एम्बेडेड होने पर संयुक्त होते हैं), जिसका अर्थ है कि प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 और ADCA 1 D 1 C 1 बराबर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस प्रिज्म का आयतन समांतर चतुर्भुज BD 1 के आयतन का आधा है; इसलिए, एच के माध्यम से प्रिज्म की ऊंचाई को दर्शाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) बहुभुज प्रिज्म (चित्र 96) के किनारे AA 1 से होकर विकर्ण तल AA 1 C 1 C और AA 1 D 1 D खींचिए।

फिर इस प्रिज्म को कई त्रिभुजाकार प्रिज्मों में काट दिया जाएगा। इन प्रिज्मों के आयतनों का योग वांछित आयतन है। यदि हम उनके आधारों के क्षेत्रफल को द्वारा निरूपित करते हैं बी 1 , बी 2 , बी 3 , और H से होकर जाने वाली कुल ऊँचाई, हमें प्राप्त होती है:

बहुभुज प्रिज्म का आयतन = बी 1एच+ बी 2एच+ बी 3 एच =( बी 1 + बी 2 + बी 3) एच =

= (क्षेत्र एबीसीडीई) एच।

परिणाम। यदि V, B और H प्रिज्म के आयतन, आधार क्षेत्र और ऊँचाई को उपयुक्त इकाइयों में व्यक्त करने वाली संख्याएँ हैं, तो सिद्ध के अनुसार, हम लिख सकते हैं:

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