जब मैंने पहली बार इस सिद्धांत के बारे में सीखा, तो मुझे किसी प्रकार के रहस्यवाद की अनुभूति हुई। ऐसा लगता है कि प्रकृति रहस्यमय तरीके से सिस्टम की गति के सभी संभावित तरीकों को छांटती है और उनमें से सर्वश्रेष्ठ को चुनती है।

आज मैं सबसे उल्लेखनीय भौतिक सिद्धांतों में से एक के बारे में बात करना चाहता हूं - कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत।

पार्श्वभूमि

गैलीलियो के समय से, यह ज्ञात है कि जिन पिंडों पर किसी भी बल द्वारा कार्रवाई नहीं की जाती है, वे सीधी रेखाओं में चलते हैं, अर्थात सबसे छोटे रास्ते पर। प्रकाश किरणें भी सीधी रेखा में गमन करती हैं।

परावर्तित होने पर प्रकाश भी इस प्रकार गति करता है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सबसे कम समय में पहुँचता है। चित्र में सबसे छोटा पथ हरा पथ होगा, जिस पर आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। कोई अन्य पथ, जैसे लाल वाला, लंबा होगा।

यह केवल दर्पण के विपरीत दिशा में किरणों के पथ को प्रतिबिंबित करके साबित करना आसान है। उन्हें चित्र में बिंदीदार रेखाओं में दिखाया गया है।

यह देखा जा सकता है कि हरा पथ एसीबी एक सीधी रेखा एसीबी में बदल जाता है। और लाल पथ एक टूटी हुई रेखा ADB ' में बदल जाता है, जो निश्चित रूप से हरे रंग से लंबी होती है।

1662 में, पियरे फ़र्मेट ने सुझाव दिया कि कांच जैसे घने पदार्थ में प्रकाश की गति हवा की तुलना में कम होती है। इससे पहले, आम तौर पर स्वीकृत संस्करण डेसकार्टेस था, जिसके अनुसार अपवर्तन का सही नियम प्राप्त करने के लिए पदार्थ में प्रकाश की गति हवा से अधिक होनी चाहिए। फ़र्मेट के लिए, यह धारणा कि प्रकाश एक दुर्लभ माध्यम की तुलना में सघन माध्यम में तेजी से आगे बढ़ सकता है, अप्राकृतिक लग रहा था। इसलिए, उन्होंने माना कि सब कुछ बिल्कुल विपरीत था और एक आश्चर्यजनक बात साबित हुई - इस धारणा के तहत, प्रकाश को अपवर्तित किया जाता है ताकि कम से कम समय में अपने गंतव्य तक पहुंच सके।

आकृति में फिर से, हरा रंग उस पथ को दर्शाता है जिससे प्रकाश किरण वास्तव में यात्रा करती है। लाल रंग में चिह्नित पथ सबसे छोटा है, लेकिन सबसे तेज़ नहीं है, क्योंकि प्रकाश के पास कांच में यात्रा करने के लिए लंबा रास्ता है, और इसकी गति धीमी है। सबसे तेज़ प्रकाश पुंज का वास्तविक पथ है।

इन सभी तथ्यों ने सुझाव दिया कि प्रकृति कुछ तर्कसंगत तरीके से कार्य करती है, प्रकाश और शरीर सबसे इष्टतम तरीके से चलते हैं, जितना संभव हो उतना कम प्रयास करते हैं। लेकिन ये प्रयास क्या थे और इनकी गणना कैसे की जाए, यह एक रहस्य बना हुआ है।

1744 में, माउपर्टुइस ने "कार्रवाई" की अवधारणा की शुरुआत की और सिद्धांत तैयार किया जिसके अनुसार एक कण का वास्तविक प्रक्षेपवक्र किसी अन्य से भिन्न होता है कि इसके लिए कार्रवाई न्यूनतम होती है। हालाँकि, मौपर्टुइस स्वयं यह स्पष्ट परिभाषा नहीं दे सका कि यह क्रिया किसके बराबर है। कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण अन्य गणितज्ञों - यूलर, लैग्रेंज द्वारा विकसित किया गया था, और अंततः विलियम हैमिल्टन द्वारा दिया गया था:

गणितीय भाषा में, कम से कम क्रिया का सिद्धांत काफी संक्षेप में तैयार किया गया है, लेकिन सभी पाठक उपयोग किए गए संकेतन का अर्थ नहीं समझ सकते हैं। मैं इस सिद्धांत को अधिक स्पष्ट और सरल शब्दों में समझाने की कोशिश करना चाहता हूं।

ढीला शरीर

तो, कल्पना कीजिए कि आप एक बिंदु पर एक कार में बैठे हैं और एक समय में आपको एक सरल कार्य दिया जाता है: उस समय तक आपको बिंदु तक कार चलाने की आवश्यकता होती है।

कार के लिए ईंधन महंगा है और निश्चित रूप से, आप इसे जितना संभव हो उतना कम खर्च करना चाहते हैं। आपकी कार नवीनतम सुपर-टेक्नोलॉजी का उपयोग करके बनाई गई है और जितनी तेजी से आप चाहें उतनी तेजी से बढ़ सकती हैं या कम कर सकती हैं। हालाँकि, इसे इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि यह जितनी तेज़ी से जाता है, उतना ही अधिक ईंधन की खपत करता है। इसके अलावा, ईंधन की खपत गति के वर्ग के समानुपाती होती है। यदि आप दुगनी गति से गाड़ी चलाते हैं, तो आप उतने ही समय में 4 गुना अधिक ईंधन की खपत करते हैं। गति के अलावा, ईंधन की खपत, निश्चित रूप से, कार के द्रव्यमान से प्रभावित होती है। हमारी कार जितनी भारी होगी, वह उतना ही अधिक ईंधन की खपत करेगी। हमारी कार की ईंधन की खपत प्रत्येक क्षण में होती है, अर्थात। कार की गतिज ऊर्जा के ठीक बराबर है।

तो समय पर पहुंचने और जितना संभव हो उतना कम ईंधन का उपयोग करने के लिए आपको ड्राइव करने की क्या ज़रूरत है? यह स्पष्ट है कि आपको एक सीधी रेखा में जाने की आवश्यकता है। यात्रा की गई दूरी में वृद्धि के साथ, ईंधन की खपत बिल्कुल कम नहीं होगी। और फिर आप विभिन्न रणनीति चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप जल्दी से बिंदु पर पहले से पहुंच सकते हैं और बस बैठ सकते हैं, आने वाले समय की प्रतीक्षा कर सकते हैं। ड्राइविंग की गति, और इसलिए समय के प्रत्येक क्षण में ईंधन की खपत अधिक होगी, लेकिन ड्राइविंग का समय भी कम हो जाएगा। शायद इस मामले में कुल ईंधन की खपत इतनी बड़ी नहीं होगी। या आप समान गति से समान रूप से जा सकते हैं, जैसे कि, बिना जल्दी किए, ठीक समय पर पहुंचें। या तेजी से जाने के रास्ते का हिस्सा, और हिस्सा धीमा। जाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?

यह पता चला है कि ड्राइव करने का सबसे इष्टतम, सबसे किफायती तरीका स्थिर गति से ड्राइव करना है, जैसे कि नियत समय पर बिंदु पर होना। कोई अन्य विकल्प अधिक ईंधन का उपयोग करेगा। आप कुछ उदाहरणों के साथ अपने लिए जाँच कर सकते हैं। कारण यह है कि गति के वर्ग के साथ ईंधन की खपत बढ़ जाती है। इसलिए, जैसे-जैसे गति बढ़ती है, ड्राइविंग समय कम होने की तुलना में ईंधन की खपत तेजी से बढ़ती है, और कुल ईंधन की खपत भी बढ़ जाती है।

इसलिए, हमने पाया कि यदि कोई कार अपनी गतिज ऊर्जा के अनुपात में किसी भी समय ईंधन की खपत करती है, तो निश्चित समय पर बिंदु से बिंदु तक पहुंचने का सबसे किफायती तरीका समान रूप से और सीधी रेखा में ड्राइव करना है, जैसे कोई पिंड उस पर कार्य करने वाले बलों की अनुपस्थिति में गति करता है। ड्राइविंग के किसी अन्य तरीके से समग्र ईंधन की खपत अधिक होगी।

गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में

आइए अब अपनी कार में थोड़ा सुधार करें। आइए इसमें जेट इंजन लगाएं ताकि यह किसी भी दिशा में स्वतंत्र रूप से उड़ सके। सामान्य तौर पर, डिजाइन समान रहा, इसलिए ईंधन की खपत फिर से कार की गतिज ऊर्जा के समानुपाती रही। यदि कार्य अब एक समय पर एक बिंदु से प्रस्थान करने और समय t पर एक बिंदु पर पहुंचने के लिए दिया जाता है, तो सबसे किफायती तरीका, निश्चित रूप से, पहले की तरह, समान रूप से और एक सीधी रेखा में बिल्कुल बिंदु पर पहुंचने के लिए उड़ान भरेगा। नियत समय टी. यह फिर से त्रि-आयामी अंतरिक्ष में शरीर की मुक्त गति से मेल खाता है।

हालांकि, कार के लेटेस्ट मॉडल में एक असामान्य डिवाइस लगाया गया था। यह इकाई कुछ भी नहीं से सचमुच ईंधन का उत्पादन करने में सक्षम है। लेकिन डिजाइन ऐसा है कि कार जितनी ऊंची होगी, डिवाइस किसी भी समय उतना ही अधिक ईंधन पैदा करेगा। ईंधन उत्पादन सीधे उस ऊंचाई के समानुपाती होता है जिस पर वाहन वर्तमान में स्थित है। साथ ही, कार जितनी भारी होती है, उस पर उतना ही शक्तिशाली उपकरण स्थापित होता है और जितना अधिक ईंधन पैदा होता है, और आउटपुट कार के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक होता है। उपकरण ऐसा निकला कि ईंधन उत्पादन बिल्कुल बराबर है (जहां फ्री फॉल एक्सेलेरेशन है), यानी। कार की संभावित ऊर्जा।

समय के प्रत्येक क्षण में ईंधन की खपत कार की संभावित ऊर्जा को घटाकर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है (संभावित ऊर्जा को घटाकर, क्योंकि स्थापित वाहन ईंधन का उत्पादन करता है, और खर्च नहीं करता है)। अब हमारा काम बिंदुओं के बीच कार की सबसे किफायती आवाजाही है और यह और अधिक कठिन हो जाता है। इस मामले में रेक्टिलिनियर एकसमान गति सबसे प्रभावी नहीं है। यह पता चला है कि थोड़ा चढ़ना अधिक इष्टतम है, थोड़ी देर के लिए वहां रुकें, अधिक ईंधन विकसित करें, और फिर बिंदु पर उतरें। सही उड़ान पथ के साथ, चढ़ाई के कारण कुल ईंधन की खपत पथ की लंबाई बढ़ाने और गति बढ़ाने के लिए अतिरिक्त ईंधन लागत को कवर करेगी। यदि सावधानी से गणना की जाए, तो कार के लिए सबसे किफायती तरीका एक परवलय में उड़ना होगा, ठीक उसी प्रक्षेपवक्र में और ठीक उसी गति से जैसे कि एक पत्थर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उड़ता है।

यहां यह स्पष्टीकरण देने लायक है। बेशक, एक पत्थर को एक बिंदु से कई अलग-अलग तरीकों से फेंकना संभव है ताकि वह बिंदु से टकराए। लेकिन आपको इसे इस तरह से फेंकने की जरूरत है कि, एक समय में एक बिंदु से बाहर निकलने के बाद, यह ठीक समय पर एक बिंदु से टकराए। यह आंदोलन है जो हमारी कार के लिए सबसे किफायती होगा।

लैग्रेंज फ़ंक्शन और कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

अब हम इस सादृश्य को वास्तविक भौतिक निकायों में स्थानांतरित कर सकते हैं। निकायों के लिए ईंधन की खपत की तीव्रता के एक एनालॉग को लैग्रेंज फ़ंक्शन या लैग्रेंजियन (लैग्रेंज के सम्मान में) कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। लैग्रैंजियन दिखाता है कि एक निश्चित समय में शरीर कितना "ईंधन" खर्च करता है। एक संभावित क्षेत्र में गतिमान पिंड के लिए, लैग्रैन्जियन उसकी गतिज ऊर्जा घटा उसकी स्थितिज ऊर्जा के बराबर है।

आंदोलन के पूरे समय के लिए खपत किए गए ईंधन की कुल मात्रा का एक एनालॉग, अर्थात। गति के पूरे समय में संचित लैग्रेंजियन के मूल्य को "क्रिया" कहा जाता है।

कम से कम क्रिया का सिद्धांत यह है कि शरीर इस तरह से चलता है कि क्रिया (जो गति के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर करती है) न्यूनतम हो। इस मामले में, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रारंभिक और अंतिम शर्तें दी गई हैं, अर्थात। जहां शरीर समय और समय पर होता है।

इस मामले में, शरीर को एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में नहीं जाना पड़ता है, जिसे हमने अपनी कार के लिए माना था। आप पूरी तरह से अलग स्थितियों पर विचार कर सकते हैं। एक शरीर रबर बैंड पर दोलन कर सकता है, एक पेंडुलम पर झूल सकता है या सूर्य के चारों ओर उड़ सकता है, इन सभी मामलों में यह इस तरह से चलता है कि "कुल ईंधन खपत" को कम किया जा सके। गतिविधि।

यदि प्रणाली में कई निकाय होते हैं, तो इस तरह की प्रणाली का लैग्रैन्जियन सभी निकायों की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होगा जो सभी निकायों की कुल संभावित ऊर्जा घटाएगा। और फिर से, सभी निकाय एक साथ चलेंगे ताकि इस तरह के आंदोलन के दौरान पूरे सिस्टम का प्रभाव कम से कम हो।

इतना आसान नहीं

वास्तव में, मैंने यह कहकर थोड़ा धोखा दिया कि शरीर हमेशा इस तरह से चलते हैं कि कार्रवाई कम से कम हो। हालांकि बहुत से मामलों में यह सच है, उन स्थितियों के बारे में सोचना संभव है जिनमें कार्रवाई स्पष्ट रूप से न्यूनतम नहीं है।

उदाहरण के लिए, आइए एक गेंद लें और उसे किसी खाली जगह पर रखें। इससे कुछ दूरी पर हम एक लोचदार दीवार लगाते हैं। मान लीजिए कि हम चाहते हैं कि गेंद कुछ समय बाद उसी स्थान पर समाप्त हो जाए। इन दी गई शर्तों के तहत, गेंद दो अलग-अलग तरीकों से आगे बढ़ सकती है। सबसे पहले, वह बस लगा रह सकता है। दूसरे, आप इसे दीवार की ओर धकेल सकते हैं। गेंद दीवार तक पहुंचेगी, उसे उछालकर वापस आ जाएगी। यह स्पष्ट है कि आप इसे इतनी गति से धक्का दे सकते हैं कि यह बिल्कुल सही समय पर वापस आ जाए।

गेंद की गति के दोनों प्रकार संभव हैं, लेकिन दूसरे मामले में क्रिया अधिक होगी, क्योंकि इस समय गेंद गैर-शून्य गतिज ऊर्जा के साथ चलेगी।

कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को कैसे बचाया जा सकता है ताकि ऐसी स्थितियों में यह सच हो? हम इस बारे में में बात करेंगे।

1. एक भौतिक बिंदु की कीनेमेटीक्स। एक भौतिक बिंदु को एक भौतिक वस्तु के रूप में समझा जाता है, ज्यामितीय रूप से गणितीय बिंदु के बराबर, लेकिन द्रव्यमान होता है। काइनेमेटिक्स भौतिकी की एक शाखा है जो गति के कारणों पर विचार किए बिना पिंडों की गति के प्रकारों का अध्ययन करती है। अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति एक त्रिज्या वेक्टर द्वारा विशेषता है। एक बिंदु का त्रिज्या-सदिश एक सदिश है जिसकी शुरुआत समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, और जिसका अंत माना बिंदु के साथ मेल खाता है। आर = मैंएक्स + जेवाई + कजेड वेग किसी पिंड द्वारा प्रति इकाई समय में तय की गई दूरी है। वी(टी) = डी आर/ डीटी। वी(टी) = मैंडीएक्स/डीटी+ जेडाई/डीटी+ कडीजे / डीटी। त्वरण गति के परिवर्तन की दर है। ए=डी वी/dt = d2 आर/dt2= मैं d2x/dt2 + जेडी 2 वाई/डीटी 2 + कडी 2 जेड/डीटी 2। ए = ए τ + एएन = τ डीवी/डीटी + एन v2/आर.

डी आर = वीडीटी; डी वी = एडीटी, इसलिए वी = वी 0 + एटी; आर = आर 2 – आर 1 = वी 0 टी + एटी2/2.

2. एक भौतिक बिंदु की गतिशीलता। न्यूटन के नियम। गतिकी में मूल अवधारणाएं द्रव्यमान और बल की अवधारणा हैं। बल गति का कारण है, अर्थात। शरीर के बल के प्रभाव में गति प्राप्त होती है। बल एक सदिश राशि है। द्रव्यमान किसी पिंड की जड़ता का माप है। द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग कहते हैं। पी= एम वी. किसी भौतिक बिंदु का कोणीय संवेग सदिश होता है ली = आर * पी. भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले बल के क्षण को सदिश कहा जाता है एम = आर * एफ. यदि हम कोणीय संवेग के व्यंजक में अंतर करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: d ली/ डीटी = डी आर/डीटी* पी + आर*डी पी/ डीटी। यह ध्यान में रखते हुए आर/ डीटी = वीऔर वीसमानांतर पी, हमें मिलता है ली/ डीटी = एम.न्यूटन के नियम।न्यूटन के पहले नियम में कहा गया है कि यदि कोई अन्य बल उस पर कार्य नहीं करते हैं या उनकी कार्रवाई को मुआवजा नहीं दिया जाता है, तो एक शरीर आराम की स्थिति या एकसमान रेक्टिलाइनियर गति को बरकरार रखता है। न्यूटन का दूसरा नियम कहता है कि समय के साथ संवेग में परिवर्तन एक स्थिर मान है और कार्य बल d के बराबर है पी/ डीटी = डी / डीटी (एम वी) = एमडी वी/ डीटी = एफयह न्यूटन का दूसरा नियम है जो डिफरेंशियल फॉर्म में लिखा गया है। न्यूटन का तीसरा नियम कहता है कि दो पिंडों की परस्पर क्रिया में, उनमें से प्रत्येक एक दूसरे पर समान मूल्य के साथ कार्य करता है, लेकिन दिशा में विपरीत, बल। एफ 1 = - एफ 2 .

3. भौतिक बिंदुओं की प्रणाली की गतिशीलता। संरक्षण कानून। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली उनकी परिमित संख्या की समग्रता है। प्रणाली का प्रत्येक बिंदु आंतरिक (अन्य बिंदुओं से) और बाहरी ताकतों से प्रभावित होता है। मान लीजिए m द्रव्यमान है, r त्रिज्या सदिश है। एक्स आई, वाई आई, जेड आई - कॉर्ड। मैं-वें बिंदु। भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली का आवेग भौतिक बिंदुओं के आवेगों का योग है जो सिस्टम को बनाते हैं: पी= (i=1,n) पीमैं = [ पी 1 + पी 2 +…+ पीएन]। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली की कोणीय गति गति के क्षणों का योग है जो भौतिक बिंदुओं की प्रणाली बनाती है: ली = Σ [ लीमैं ] = [ आरमैं * पीमैं ]। भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली पर कार्य करने वाले बल को सिस्टम के बिंदुओं पर कार्य करने वाले सभी बलों के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें सिस्टम के बिंदुओं के बीच बातचीत की ताकतें शामिल हैं: एफ = Σ [ एफमैं कहां एफमैं = एफमैं' + (जे ≠ मैं) एफजी प्रणाली के भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाला बल है, जिसे सूचकांक i द्वारा दर्शाया गया है। यह एक बाहरी बल से बना है एफमैं ' और आंतरिक बल (i j) [ एफजी], सिस्टम के अन्य बिंदुओं के साथ बातचीत के परिणामस्वरूप बिंदु पर कार्य करना। तब: एफ = (i=1,n) [ एफमैं '] + (i=1,n) Σ(j i) [ एफजी]। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार (i=1,n) Σ(j i) [ एफजी] = 0, सो एफ = Σ [ एफमैं']। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली पर कार्य करने वाले बल का क्षण प्रणाली के बिंदुओं पर लागू बलों के क्षणों का योग है एम= (i) [ एममैं ] = (i) [ आरमैं * एफमैं ] = (i) [ आरमैं * एफमैं']। भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के लिए, गति के समीकरण का रूप d . होता है पी/ डीटी = = [ एफमैं ]।

भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र त्रिज्या वेक्टर के साथ एक काल्पनिक बिंदु है आर= 1/एमΣ। उनके आंदोलन की गति वी=डी आर/ डीटी। तब गति का समीकरण m d वी/ डीटी = एफ. भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के लिए क्षणों का समीकरण d ली/ डीटी = एम. संरक्षण कानून।एक पृथक प्रणाली वह है जो बाहरी ताकतों से प्रभावित नहीं होती है। उसके एफ= 0, तो डी पी/dt = 0. तब पी= स्थिरांक एक पृथक प्रणाली में, बाहरी बलों का क्षण एम= 0. इसलिए, डी ली/dt = 0, जिसका अर्थ है ली= स्थिरांक एक भौतिक बिंदु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन जब वह दो स्थितियों के बीच चलता है, बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है। एम 0 वी 2 2/2 - एम 0 वी 1 2 /2 = (1,2) एफडी मैंया एम 0 वी 2 /2 + ई पी \u003d कास्ट।

4. एक केंद्रीय सममित क्षेत्र में गति। केप्लर के नियम। क्षेत्र को केंद्रीय कहा जाता है यदि इसमें शरीर की स्थितिज ऊर्जा केवल एक निश्चित निश्चित बिंदु की दूरी r पर निर्भर करती है। बल एफ= - U(r)/ आर= - डीयू/डीआर आर/r कण पर अभिनय, निरपेक्ष मूल्य में भी केवल r पर निर्भर करता है और त्रिज्या वेक्टर के साथ प्रत्येक बिंदु पर निर्देशित होता है। केंद्रीय क्षेत्र में चलते समय, क्षेत्र के केंद्र के सापेक्ष प्रणाली का क्षण संरक्षित होता है। एक कण क्षण के लिए एम = [आर*आर]. चूंकि वेक्टर एम और आर परस्पर लंबवत हैं, एम की स्थिरता का मतलब है कि जब कण चलता है, तो इसका त्रिज्या वेक्टर हमेशा एक ही विमान में रहता है - विमान एम के लंबवत होता है। इस प्रकार, केंद्रीय क्षेत्र में कण का प्रक्षेपवक्र पूरी तरह से स्थित होता है एक विमान में। इसमें ध्रुवीय निर्देशांक r, का परिचय देते हुए, हम लैग्रेंज फ़ंक्शन को L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r) के रूप में लिखते हैं। इस फ़ंक्शन में स्पष्ट रूप से निर्देशांक शामिल नहीं है। ऐसे निर्देशांक के लिए, इसके संगत सामान्यीकृत संवेग p, गति का समाकलन होता है। इस स्थिति में, सामान्यीकृत संवेग p = mr 2 (∙) क्षण M z = M के साथ मेल खाता है, जिससे कि M = mr 2 (∙) (1)। ध्यान दें कि एक केंद्रीय क्षेत्र में एक कण की समतल गति के लिए, यह कानून एक सरल ज्यामितीय व्याख्या को स्वीकार करता है। व्यंजक 1/2 r r d दो अपरिमित निकट त्रिज्या सदिशों और प्रक्षेप पथ के एक चाप तत्व द्वारा निर्मित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है। इसे df से निरूपित करते हुए, हम कण के संवेग को M = 2mf के रूप में लिखते हैं, जहाँ अवकलज f को खण्डीय वेग कहते हैं। इसलिए, संवेग के संरक्षण का अर्थ है क्षेत्रीय वेग की स्थिरता - समान अवधि के लिए, एक गतिमान बिंदु का त्रिज्या वेक्टर समान क्षेत्रों का वर्णन करता है ( केप्लर का दूसरा नियम) (∙) को M से (1) से व्यक्त करने और ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + एम 2 / 2 एमआर 2 + यू (आर)। इसलिए r(∙) = √(2/m (E - U(r)) - M 2 /m 2 r 2) या, चर को अलग करना और एकीकृत करना: t = ∫dr/√(2/m (E – U( आर)) - एम 2 / एम 2 आर 2) + कास्ट। इसके अलावा, (1) को dφ = M 2 /mr 2 dt के रूप में लिखते हुए, dt को यहां प्रतिस्थापित करते हुए और एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं: = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E - U(r)) - एम 2 /आर 2) + स्थिरांक। केप्लर का प्रथम नियम।प्रत्येक ग्रह एक दीर्घवृत्त में सूर्य के साथ अपने एक फोकस पर परिक्रमा करता है। केप्लर का तीसरा नियम।ग्रहों के नाक्षत्र काल के वर्ग उनकी कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्षों के घनों के रूप में संबंधित हैं T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 ।

5. लैग्रेंज फ़ंक्शन और भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के लैग्रेंज समीकरण। गति के अभिन्न अंग। भौतिक बिंदुओं की एक बंद प्रणाली पर विचार करें। इसके लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप एल = Σ (ए) - यू (आर 1, आर 2, …) है, जहां टी = Σ (ए) गतिज ऊर्जा है और यू कण बातचीत की संभावित ऊर्जा है। तब गति के समीकरण d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a रूप लेते हैं m a DV a /dt = - ∂U/∂r a । गति के इन समीकरणों को न्यूटन के समीकरण कहते हैं। वेक्टर एफ a = - U/∂r a को बल कहते हैं। यदि आंदोलन का वर्णन करने के लिए बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग नहीं किया जाता है, लेकिन मनमाने ढंग से सामान्यीकृत निर्देशांक q i , तो लैग्रैंगियन फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए, संबंधित परिवर्तन करना आवश्यक है: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)], आदि। इन व्यंजकों को फंक्शन L= 1/2 (a) – U में प्रतिस्थापित करने पर, हम फॉर्म का वांछित लैग्रेंज फंक्शन प्राप्त करते हैं। एल = 1/2 (आई, के) - यू (क्यू)। गति के अभिन्न अंग।सामान्यीकृत निर्देशांक के ऐसे कार्य हैं जो केवल प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर, आंदोलन के दौरान निरंतर मूल्यों को बनाए रखते हैं। उन्हें गति के अभिन्न अंग कहा जाता है। समय की एकरूपता के कारण, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]। लैग्रेंज समीकरणों के अनुसार L/∂q i को d/dt (∂L/∂q i (∙)) से बदलने पर हमें dL/dt = Σ(i) या d/dt (Σ(i) - L) = 0 प्राप्त होता है। इससे पता चलता है कि मात्रा E = (i) - L, जिसे ऊर्जा कहा जाता है, परिवर्तित नहीं होती है, अर्थात। गति अभिन्न। असीम रूप से छोटे स्थानांतरण ε पर स्थान की समरूपता के कारण, जब सिस्टम के सभी बिंदुओं को ε = r द्वारा विस्थापित किया जाता है, लैग्रेंज फ़ंक्शन में परिवर्तन, δL = ε (a) [∂L/∂r a ] के बराबर होता है, शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात (a) [∂L/∂r a ] = 0. लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके, हम Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ L/∂v a ]) = 0 प्राप्त करते हैं। तब मात्रा आर= Σ(a)[ L/∂v a ], जिसे संवेग कहा जाता है, अपरिवर्तित रहता है, अर्थात। गति अभिन्न। कोण के माध्यम से एक असीम रूप से छोटे घूर्णन पर अंतरिक्ष के समस्थानिक के कारण, L = Σ(a) [∂L/∂r a के बराबर लैग्रेंज फ़ंक्शन में परिवर्तन आरए + ∂L/∂v एक वीए] शून्य होना चाहिए। परिवर्तन करना L/∂ वीए = पीए और एल/∂ आरए = पी a (∙) की मनमानी को देखते हुए, हम d/dt (a) प्राप्त करते हैं [ आरए पी a ] = 0. मान = (a) [ आरए पी a], जिसे कोणीय संवेग कहा जाता है, स्थिर रहता है, अर्थात। गति अभिन्न।

6. बिल्कुल कठोर शरीर की गतिशीलता। जड़ता का टेंसर। यूलर समीकरण। एक कठोर शरीर भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली है, जिसके बीच की दूरी स्थिर रहती है। एक दृढ़ पिंड की गति के पूर्ण विवरण के लिए, इसके एक बिंदु की गति के अलावा, इस बिंदु के पास पिंड की गति को निर्धारण बिंदु के रूप में जानना आवश्यक है। मान लीजिए कि पिंड बिंदु O पर स्थिर है। हम O . के संबंध में बिंदु m i की त्रिज्या सदिश को निरूपित करते हैं आरमैं , वूशरीर का तात्कालिक कोणीय वेग है, तो कोणीय गति ली= Σ [ आरमैं*एम मैं वीमैं ] = = वू- इस सदिश समानता को निर्देशांक अक्षों L x = w x Σ - पर तीन अनुमानों के रूप में लिखा जा सकता है; एल वाई = डब्ल्यू वाई Σ - Σ; एल जेड = डब्ल्यू जेड Σ - Σ। मान लीजिये ( वू आर i) = x i w x + y i w y + z i w z हमें L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z मिलता है; एल वाई = जे वाईएक्स डब्ल्यू एक्स + जे वाई वाई वाई वाई + जे वाईजेड डब्ल्यू जेड; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , जहां J xx = Σ , J xy = , अन्य समान हैं। मान J xx , J yy , J zz जड़त्व के अक्षीय क्षण कहलाते हैं, और J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy जड़त्व के केन्द्रापसारक क्षण कहलाते हैं। J ij के मानों के समुच्चय को जड़त्व टेंसर कहा जाता है। J ii के तत्वों को विकर्ण कहा जाता है। यदि सभी विकर्णीय तत्व शून्य के बराबर हैं, तो वे कहते हैं कि निर्देशांक अक्षों के साथ मेल खाने वाले पिंड की कुल्हाड़ियाँ जड़त्व की मुख्य कुल्हाड़ियाँ हैं, और मात्रा J ii को जड़त्व के मुख्य क्षण कहा जाता है। इस तरह के टेंसर को एक विकर्ण रूप में घटाया जाता है।

यूलर समीकरण। पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गति के समीकरण का रूप m d . है वी 0 / डीटी = एमडी / डीटी ( वू * आर 0) = एफ, कहाँ पे आर 0 शरीर के द्रव्यमान के केंद्र का त्रिज्या वेक्टर है, जो इसके लगाव के बिंदु से खींचा गया है। जड़ता के मुख्य अक्षों के साथ शरीर से जुड़े समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों को निर्देशित करना सुविधाजनक है। इस मामले में, कोणीय गति एक साधारण रूप प्राप्त करती है एल 1 = जे 1 डब्ल्यू 1, एल 2 = जे 2 डब्ल्यू 2, एल 3 = जे 3 डब्ल्यू 3, और डब्ल्यू मैं एक साथ चलने वाले समन्वय अक्षों पर कोणीय वेग के अनुमान हैं शरीर के साथ। सामान्य सूत्र का उपयोग करना d ए/ डीटी = ए/∂t + वू* ए, हम क्षणों के समीकरण को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं: ली/∂t + वू * ली = एम. इस बात को ध्यान में रखते हुए कि एल एक्स = जे एक्स डब्ल्यू एक्स, एल वाई = जे वाई डब्ल्यू वाई, एल जेड = जे जेड डब्ल्यू जेड, हम इस समीकरण को चलती समन्वय प्रणाली के अक्षों पर अनुमानों में फिर से लिखते हैं: जे एक्स डीडब्ल्यू एक्स / डीटी + (जे जेड - जे वाई )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x - J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y - J x)w x w y = M z । इन समीकरणों को यूलर समीकरण कहते हैं।

7. संदर्भ के गैर-जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष गति। एनआईएसओ एक प्रणाली है जिसमें शरीर आराम के सापेक्ष त्वरण के साथ चलता है। सिस्टम संयोजित करें। यहाँ समरूपता और स्थान और समय की समरूपता की अवधारणाएँ पूरी नहीं होती हैं, क्योंकि एनआईएसओ में अवधि और लंबाई अलग-अलग होती है। इसके अलावा, तीसरे न्यूटन के नियम और संरक्षण कानूनों की सामग्री खो जाती है। सब कुछ का कारण केवल समन्वय प्रणाली, बिल्ली से जुड़ी जड़ता बल है। शरीर की गति को प्रभावित करते हैं। तब। त्वरण को बाहरी बल या जड़ता द्वारा बदला जा सकता है। F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), जहां Fi जड़ता का बल है, a त्वरण है। IFR में निकाय, a′-accel। एनआईएसओ में एक ही शरीर। NISO में पहला न्यूटन का नियम पूरा नहीं होता है! Fi=-m(a′-a), यानी। जड़त्वीय बल न्यूटन के तीसरे जेड-वेल का पालन नहीं करते, क्योंकि वे अल्पकालिक हैं। आईएसओ से एनआईएसओ में संक्रमण के दौरान, जड़त्वीय बल गायब हो जाते हैं। जड़ता बलों को हमेशा पलकों के खिलाफ निर्देशित किया जाता है। बाहरी ताक़तें। जड़ता की शक्तियों को वेक्टर रूप से जोड़ा जा सकता है। आईएसओ में: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x । एनआईएसओ में निरपेक्ष, सापेक्ष और अनुवाद संबंधी गति की अवधारणाएं पेश की गई हैं: यू 0 - पूर्ण गति, 0 - सापेक्ष त्वरण। प्रसुप्त सिस्टम संयोजित करें।

यू एक्स 0 \u003d वी + यू एक्स 0 '; ए एक्स 0 \u003d ए ' + ए एक्स; यू एक्स 'ए एक्स - सापेक्ष गति और त्वरण। आंदोलन सिस्टम संयोजित करें। (रिश्तेदार) ; वी, ए′-गति। और तेज किया। को संदर्भित करता है। कश्मीर, यानी पोर्टेबल गति और त्वरण

8. हैमिल्टन का परिवर्तनशील सिद्धांत। (कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत)।

सामान्यीकृत समन्वय, गति, समय का एक -कार्य है। एक 2S आयामी स्थान पर विचार करें, फिर सिस्टम की स्थिति S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L लैग्रेंज फ़ंक्शन है; एस-क्रिया। क्रिया के कार्य को बिल्ली के साथ itnegral S=∫ Ldt=0 कहा जाता है। गति के सही प्रक्षेपवक्र के साथ लिया गया, सिस्टम का न्यूनतम मूल्य होगा, अर्थात। एस = स्मिन, δएस = 0। वे। 1 से 2 तक की प्रणाली इस तरह के प्रक्षेपवक्र के साथ चलती है कि इसकी क्रिया न्यूनतम हो - हैमिल्टन का कम से कम क्रिया का सिद्धांत। एल = टी - यू प्रणाली की गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच का अंतर है। हैमिल्टन के अनुसार, वास्तविक प्रक्षेपवक्र न्यूनतम क्रिया से मेल खाती है। आइए एक प्रक्षेपवक्र खोजें। वास्तविक प्रक्षेपवक्र न्यूनतम प्रक्षेपवक्र है। एस-कार्यात्मक। आइए इसका मिन ज्ञात करें। δS = 0 पहली भिन्नता। S = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i g i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) g i ( )])dt; (t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) g i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - (t 1 ,t 2) g i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg मैं एक दूसरे पर निर्भर नहीं हूँ
=0
वास्तविक प्रक्षेपवक्र पर, निम्नलिखित समीकरण संतुष्ट होना चाहिए:
- लैग्रेंज समीकरण (किसी भी i= 1,…S के लिए)।

9. एक और कई डिग्री की स्वतंत्रता के साथ प्रणालियों का दोलन। मुक्त और मजबूर कंपन . सबसे सरल मामला तब होता है जब सिस्टम में एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है। एक स्थिर संतुलन बिल्ली में सिस्टम की ऐसी स्थिति से मेल खाता है। उसकी क्षमता। एन. यू (क्यू) में न्यूनतम है। इस स्थिति से विचलन से एक बल - dU/dq का उदय होता है, जो तंत्र को वापस लाने की ओर प्रवृत्त होता है। क्यू 0 - सामान्यीकृत समन्वय। हम शक्तियों में U(q) - U(q0) का विस्तार करते हैं और U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 प्राप्त करते हैं जहां k \u003d U '' (q 0) एक सकारात्मक गुणांक है . U(q 0) \u003d 0, हम x \u003d q - q 0 को निरूपित करते हैं - संतुलन मूल्य से समन्वय का विचलन, फिर U (x) \u003d kx 2/2 संभावित ऊर्जा है। 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2-गतिज ऊर्जा q = q0 और a(q0) = m पर हमें एक-आयामी दोलन करने वाले सिस्टम के लिए लैग्रेंज फ़ंक्शन मिलता है: L = mx 2 (∙) / 2 - केएक्स 2 / 2। इस फलन के अनुरूप गति का समीकरण होगा: mx(∙∙) + kx = 0 या x(∙∙) + w 2 x = 0, जहाँ w = (k/m) चक्रीय दोलन आवृत्ति है। इन उर-वें का समाधान x \u003d a cos (wt + α) है जहां a दोलनों का आयाम है, wt + α दोलनों का चरण है। तब। दोलन प्रणाली की ऊर्जा E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 होगी। मजबूर कंपन।इस मामले में, अपनी स्वयं की संभावित ऊर्जा ½ kx 2 के साथ, सिस्टम में बाहरी क्षेत्र की क्रिया से जुड़ी एक संभावित ऊर्जा U e (x, m) भी होती है। तदनुसार, ऐसी प्रणाली का लैग्रेंज फ़ंक्शन होगा: एल = एमएक्स 2 (∙)/2 + केएक्स 2/2 + एक्स एफ (टी), जहां एफ (टी) एक बाहरी बल है।

संगत गति समीकरण mx(∙∙) + kx = F(t), या x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m होगा। यदि F(t) कुछ आवृत्ति γ: F(t) = f cos(γt + β) के साथ समय का एक साधारण आवर्त फलन है, तो गति के समीकरणों का हल होगा: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 - 2)) a और α प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। उस। एक ड्राइविंग बल की कार्रवाई के तहत, सिस्टम दो दोलनों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करते हुए एक आंदोलन करता है - सिस्टम w की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ और ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ - । कई डिग्री की स्वतंत्रता के साथ सिस्टम का दोलन . मटका। एन. सिस्टम U(q i) का न्यूनतम q i =q i 0 है। छोटे विस्थापन x i = q i - q i 0 का परिचय देते हुए और दूसरे क्रम की शर्तों की सटीकता के साथ उनमें U का विस्तार करते हुए, हम क्षमता प्राप्त करते हैं। ऊर्जा: यू = 1/2 (i,k) , k ik =k ki । काइनेट। एन. ऐसी प्रणाली के लिए 1/2 (i,k) होगा, जहां m ik =m ki । ऐसी प्रणाली के लिए लैग्रेंज समीकरण होगा: एल = 1/2 (i,k) । तब dL = (i,k) । हम x k (t) को x k \u003d A k exp (-iwt) के रूप में देख रहे हैं, A k एक स्थिरांक है। इसे लैग्रेंज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - अभिलक्षणिक समीकरण, इसकी विभिन्न जड़ें हैं w 2 α (α=1,2,….,s) w α - की प्राकृतिक आवृत्तियां प्रणाली। सिस्टम के एक विशेष समाधान का रूप है: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t)। सामान्य समाधान सभी विशेष समाधानों का योग है: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], जहां Q = Re (C α exp(-iw α t))।

10. हैमिल्टन का विहित समीकरण। यांत्रिकी के प्रश्नों के अध्ययन में कई फायदे सामान्यीकृत निर्देशांक और गति की सहायता से विवरण हैं, एक स्वतंत्र चर के एक सेट से दूसरे में संक्रमण लेजेंड्रे परिवर्तन द्वारा किया जा सकता है। इस मामले में, यह नीचे आता है। निर्देशांक और वेगों के एक फलन के रूप में लैग्रेंज कार्यों का कुल अंतर है: dL = (i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]। इस व्यंजक को dL = (i) + (i) के रूप में लिखा जा सकता है। आइए इसे इस रूप में फिर से लिखें: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) । अंतर के संकेत के तहत मूल्य निर्देशांक और गति के संदर्भ में व्यक्त प्रणाली की ऊर्जा है, और इसे हैमिल्टनियन फ़ंक्शन कहा जाता है: एच (पी, क्यू, टी) = Σ (i) - एल। dif से। समानताएं dH = - Σ(i) + Σ(i) समीकरणों का पालन करें: q i (∙) = H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i हैमिल्टनियन समीकरण हैं। इनकी सरलता और समरूपता को देखते हुए इन्हें भी कहा जाता है। विहित पॉइज़न कोष्ठक।सामान्यीकृत निर्देशांक, संवेग और समय के किसी भी फलन F का समय व्युत्पन्न है dF/dt = F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ पी मैं डीपीआई / डीटी]। हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके, हम इस समीकरण को निम्नलिखित रूप में फिर से लिख सकते हैं: dF/dt = F/∂t +, जहाँ = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ पी मैं ] - कहा जाता है। पॉइसन ब्रैकेट। जाहिर है, हैमिल्टन के समीकरण को पॉइसन कोष्ठक का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

11. हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण . कम से कम क्रिया के सिद्धांत से, हमारे पास S = (t 1,t 2)Ldt है। क्रिया (एस) को एक मात्रा के रूप में मानें जो वास्तविक प्रक्षेपवक्र के साथ आंदोलन की विशेषता है। एक प्रक्षेपवक्र से दूसरे प्रक्षेपवक्र (स्वतंत्रता की एक डिग्री के साथ) में जाने पर क्रिया को बदलने के लिए लैग्रेंज समीकरण के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं: S = pδq या स्वतंत्रता की किसी भी संख्या के लिए: δS = Σ(i) । यह इस प्रकार है कि निर्देशांक के संबंध में क्रिया के आंशिक व्युत्पन्न संगत क्षण के बराबर हैं: S/∂q i = p i (1)। दूसरी ओर, परिभाषा के अनुसार, dS/dt = L, S को निर्देशांक और समय के एक फलन के रूप में मानते हुए और सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: dS/dt = ∂S/∂t + (i) [∂S /∂q मैं क्यू मैं (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) । दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें ∂S/∂t = L - (i) या ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2) प्राप्त होता है। सूत्र (1), (2) को एक साथ dS = (i) - Hdt के रूप में लिखा जा सकता है। और क्रिया (S) स्वयं S = (Σ(i) – Hdt) होगी। t से स्वतंत्र H के लिए, S(q,t)=S 0 (q) - Et, जहाँ S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] एक संक्षिप्त क्रिया है और Еt को H(p) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है , क्यू)। फलन S(q,t) एक निश्चित अंतर को संतुष्ट करता है। समीकरण जो हम S/∂q: S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, S/∂q s ;q 1,… ,q s ,t) = 0 प्रथम कोटि के आंशिक अवकलजों में एक समीकरण है जिसे कहा जाता है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण। तो, बाहरी क्षेत्र U(x,y,z,t) में एक कण के लिए इसका रूप है: S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂) वाई) 2 + (∂S/∂z) 2) + यू (एक्स, वाई, जेड, टी) = 0।

12. ठोस पदार्थों में विकृति और तनाव। यंग का मोडुली, कतरनी। जहर के अनुपात . विरूपण बाहरी ताकतों की कार्रवाई के तहत शरीर के आकार और मात्रा में परिवर्तन है। बाहरी बल की क्रिया के तहत, शरीर का आकार बदल जाता है। प्रकृति में सभी विकृतियों को घटाकर 3 . किया जा सकता है एममुख्य विकृतियाँ: 1) तनाव, संपीड़न; 2) कतरनी; 3) मरोड़। सजातीय और अमानवीय विकृतियों के बीच भेद। यदि सभी भागों को एक ही तरह से विकृत किया जाता है, तो यह समान रूप से विकृत।यदि शरीर के सभी अंग अलग-अलग विकृत हों, तो यह अमानवीय रूप से विकृत।केवल लोचदार विरूपण के क्षेत्र में हुक का नियम संतुष्ट है। = ई'। एफ/एस = ई l/एल 0; एफ नियंत्रण = ES∆l/l 0 = kx; के = ईएस/एल 0; एफ नियंत्रण \u003d ईएसएक्स / एल 0। हुक का नियम और के बीच संबंध को परिभाषित करता है। k लोच का गुणांक है, यह ज्यामितीय आयामों पर निर्भर करता है, जिस सामग्री से शरीर बनाया जाता है। E यंग का मापांक है। यंग का मापांक उस बल के बराबर होता है जिसे इकाई क्रॉस-सेक्शन के शरीर पर लागू किया जाना चाहिए ताकि उसके शरीर में 2 गुना वृद्धि हो सके। एक अन्य प्रकार की विकृति कतरनी विकृति है, यह तब देखा जाता है जब सतह को स्पर्शरेखा रूप से लागू किया जाता है; यह कतरनी विरूपण सतह के समानांतर है, स्पर्शरेखा बलों की कार्रवाई के तहत मनाया जाता है, यानी, बलों को स्पर्शरेखा रूप से लागू किया जाता है। Ψ ~ एफ टी / एस (शिफ्ट कोण)। = एनएफ टी / एस; n शिफ्ट फैक्टर है। एफ टी = एनएस। (ई> एन, ई ~ 4 एन)।

ई और एन के बीच मात्रात्मक संबंध पॉसों के अनुपात के माध्यम से दिया जाता है। N = E/(2(1+μ)), जहां पॉइसन का अनुपात है। μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |। पॉइसन का अनुपात तनाव या संपीड़न के दौरान अनुप्रस्थ आयामों में परिवर्तन को निर्धारित करता है। 0.5.

13. तरल पदार्थ और गैसों के यांत्रिकी। सभी तरल पदार्थ और गैसों के लिए, एकीकृत पैरामीटर है: घनत्व , दबाव पी = एफ एन / एस। द्रवों और गैसों में, यंग का मापांक होता है, लेकिन कतरनी मापांक |σ|=|P|, σ - तनाव नहीं होता है। यदि तरल (गैस) गतिहीन है, तो हम हाइड्रोस्टैटिक्स (एरोस्टैटिक्स) के साथ काम कर रहे हैं। विशेषता नियम: पास्कल का नियम: गैसों और तरल पदार्थों में निर्मित अतिरिक्त दबाव सभी दिशाओं में समान रूप से प्रसारित होता है। Zn आर्किमिडीज तरल और गैस दोनों के लिए मान्य है। आर्किमिडीज बल हमेशा गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करता है। आर्किमिडीज बल के उद्भव का कारण मात्रा V के एक पिंड की उपस्थिति है। Z-n आर्किमिडीज: एक तरल या गैस में एक पिंड हमेशा तरल या गैस के वजन के बराबर बल से प्रभावित होता है जो कि डूबे हुए हिस्से द्वारा विस्थापित होता है। शरीर, और लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित। यदि F A >F HEAVY है, तो शरीर तैरता है, यदि इसके विपरीत, तो यह डूब जाता है। यदि कोई द्रव (गैस) प्रवाहित हो रहा है, तो इन समीकरणों में जेट निरंतरता समीकरण जोड़ दिया जाता है। किसी द्रव में किसी कण की गति के प्रक्षेप पथ को कहते हैं। वर्तमान लाइन। अंतरिक्ष का वह भाग जो धारा रेखा से घिरा होता है, कहलाता है। वर्तमान ट्यूब। धारा ट्यूब में द्रव स्थिर या गैर-स्थिर प्रवाहित हो सकता है। करंट कहा जाता है स्टेशन यदि प्रति यूनिट वर्तमान ट्यूब के दिए गए खंड के माध्यम से। समय समान मात्रा में तरल (गैस) से गुजरता है, अन्यथा, गैर-स्थिर प्रवाह। आइए हमारे पास निम्न रूप की एक वर्तमान ट्यूब है: यदि द्रव प्रवाह स्थिर है। तब m 1 =m 2 =…=m n प्रति इकाई समय, यदि द्रव असंपीड्य है, तो 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ एन वी एन , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d n Δx n, ρ 1 υ 1 tS 1 = = एन एस एन , υS=const; υ=const/S जेट निरंतरता समीकरण है। पी डी वी/ डीटी = जी- ग्रेड पी - ईक। यूलर - दूसरा क्रम। तरल पदार्थ और गैसों के लिए न्यूटन। कानून संरक्षित है। तरल पदार्थ और गैसों में ऊर्जा। एल.वी. बर्नौली। पहचान। नाज़। एक असंपीड्य द्रव जिसमें श्यान घर्षण बलों की उपेक्षा की जा सकती है। गतिज ऊर्जा घर्षण बलों के विरुद्ध कार्य करने में खर्च नहीं होती है। 2 /2+ρgh + P = const - eq। बर्नौली, 2 / 2 - गतिशील दबाव, ρgh - हाइड्रोस्टेट। दबाव, पी - आणविक दबाव। एमυ 2 /2 \u003d ई के; एमυ 2 /2 वी = ई के / वी = ρυ 2 / 2। श्यान घर्षण बल F A = ​​- S/ΔZ 6 r η - स्टोक्स बल। - गुणांक। चिपचिपापन, /ΔZ - ग्रेड , r - शरीर के आयाम। यह श्यान घर्षण बलों के लिए न्यूटन का सूत्र है। यदि द्रव में घर्षण बल हैं, तो id. द्रव चिपचिपा हो जाता है। v 1 2 /2 + gh 1 + P 1 = v 2 2 /2 + gh 2 + P 2; (पी 1 - पी 2) \u003d (υ 2 2 - 1 2) / 2। यदि ΔP = 0, तो 2 2 - 1 2 = 0, और कोई द्रव प्रवाह नहीं होगा। जहां पी बड़ा है, वहां तेज है। कम करंट। यदि क्रॉस सेक्शन S बढ़ता है, तो P बढ़ता है और घटता है। यदि वर्तमान ट्यूब क्षैतिज रूप से झूठ नहीं बोलती है, तो 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - टोरिसेली का सूत्र।

1. हैमिल्टन-ओस्ट्रोग्रैडस्की का सिद्धांत

यह अब यांत्रिकी के मूलभूत सिद्धांतों में से एक बन गया है। होलोनोमिक मैकेनिकल सिस्टम के लिए, इसे डी'अलेम्बर्ट-लैग्रेंज सिद्धांत के परिणामस्वरूप सीधे प्राप्त किया जा सकता है। बदले में, होलोनोमिक मैकेनिकल सिस्टम की गति के सभी गुण हैमिल्टन-ओस्ट्रोग्रैडस्की सिद्धांत से प्राप्त किए जा सकते हैं।

सक्रिय बलों की कार्रवाई के तहत संदर्भ के कुछ जड़त्वीय फ्रेम के सापेक्ष भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली की गति पर विचार करें। सिस्टम के बिंदुओं के संभावित विस्थापन को आदर्श होलोनोमिक बाधाओं से बाधित होने दें। आइए हम बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक को निरूपित करते हैं और स्वतंत्र लैग्रैन्जियन निर्देशांक के रूप में कार्तीय और लैग्रैन्जियन निर्देशांक के बीच संबंध संबंधों द्वारा दिया जाता है

निम्नलिखित में, हम मान लेंगे कि निर्देशांक चर के एकल-मूल्यवान, निरंतर और मनमाने ढंग से भिन्न कार्यों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इसके अलावा, हम यह मानेंगे कि सिस्टम की प्रत्येक स्थिति से, पैरामीटर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों दिशाओं में बदल सकते हैं। . हम एक निश्चित समय से शुरू होने वाले सिस्टम की गति पर विचार करेंगे जब तक कि सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति मानों के अनुरूप न हो

Lagrangian निर्देशांक और इस समय सिस्टम की स्थिति - मान आइए हम निर्देशांक और समय के आयामी विस्तारित स्थान पर विचार करें जिसमें एक बिंदु सिस्टम की प्रत्येक विशिष्ट स्थिति से मेल खाता है। इस तरह के एक विस्तारित-आयामी अंतरिक्ष में, सिस्टम की गति को एक निश्चित वक्र द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे सिस्टम का प्रक्षेपवक्र कहा जाएगा। दो बिंदु यहां सिस्टम की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के अनुरूप होंगे। सिस्टम की स्थिति से स्थिति की वास्तविक गति में, लैग्रैंगियन निर्देशांक लगातार बदलते रहते हैं, एक वक्र को -आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं, जिसे हम सिस्टम का वास्तविक प्रक्षेपवक्र कहेंगे। गति के समीकरणों को संतुष्ट करने के बारे में चिंता किए बिना, एक ही समय अंतराल में स्थिति से स्थिति में सिस्टम पर लगाए गए बाधाओं के अनुसार सिस्टम को स्थानांतरित करना संभव है, लेकिन एक अलग प्रक्षेपवक्र के साथ, वास्तविक के करीब। हम इस तरह के एक प्रक्षेपवक्र को -आयामी अंतरिक्ष में एक गोल चक्कर प्रक्षेपवक्र कहते हैं। वास्तविक और चक्कर लगाने वाले प्रक्षेपवक्रों के साथ गति की तुलना करते हुए, आइए हम अपने आप को चक्करों के बीच वास्तविक प्रक्षेपवक्र का निर्धारण करने का लक्ष्य निर्धारित करें। वास्तविक प्रक्षेपवक्र पर एक पल में सिस्टम की स्थिति को एक बिंदु P के साथ चिह्नित किया जाना चाहिए, और एक गोल चक्कर पर एक ही समय में सिस्टम की स्थिति को एक बिंदु P (चित्र। 252) के साथ चिह्नित किया जाना चाहिए।

एक ही समय में अलग-अलग प्रक्षेपवक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड इस समय सिस्टम के संभावित आंदोलन का प्रतिनिधित्व करेगा। यह स्थिति पी से स्थिति पी में एक राशि से स्थानांतरित होने पर उस समय लैग्रैंगियन निर्देशांक में बदलाव से मेल खाती है। संभव सिस्टम की गति कार्टेशियन निर्देशांक में भिन्नता के अनुरूप होगी, जिसे समानता के रूप में लैग्रेंज निर्देशांक की विविधताओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

"प्रक्षेपवक्र" के एक मनमाना एक-पैरामीटर परिवार पर विचार करें

जिनमें से प्रत्येक क्रमशः उनके माध्यम से गुजरने वाले बिंदुओं को जोड़ता है, और पैरामीटर का मान वास्तविक प्रक्षेपवक्र (प्रत्यक्ष पथ) से मेल खाता है जो सिस्टम समय से स्थिति से स्थिति में गुजरता है, यानी, बिंदुओं को जोड़ने वाले अन्य सभी प्रक्षेपवक्र समय। किसी भी प्रक्षेपवक्र के साथ सिस्टम की गति समय में परिवर्तन के कारण लैग्रैंगियन निर्देशांक में परिवर्तन के अनुरूप होगी जब पैरामीटर अपरिवर्तित रहता है। एक प्रक्षेपवक्र से दूसरे प्रक्षेपवक्र में जाने पर ही पैरामीटर a बदल जाएगा। निर्देशांक भिन्नता को अब निम्नानुसार परिभाषित किया जाएगा:

और निर्देशांक के समय व्युत्पन्न का रूप होगा

लैग्रैजियन निर्देशांकों को एकल-मूल्यवान निरंतर अवकलनीय फलन होने दें। फिर

यांत्रिकी में प्राप्त संबंधों को "परिवर्तनीय" कहा जाता है। विभेदन संक्रियाएं तभी क्रमपरिवर्तनीय होती हैं जब सभी निर्देशांक स्वतंत्र होते हैं और गैर-अभिन्न संबंधों से जुड़े नहीं होते हैं।

आइए हम दिखाते हैं कि भिन्नता और विभेदन के संचालन की क्रमपरिवर्तनशीलता कार्टेशियन निर्देशांक के लिए भी मान्य है। रहने दो

के समय व्युत्पन्न पर विचार करें

दूसरी ओर,

पहली से दूसरी समानता घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह कहाँ से अनुसरण करता है

अर्थात। यदि भौतिक बिंदुओं की प्रणाली पर केवल होलोनोमिक आदर्श बाधाएं लगाई जाती हैं, तो कार्टेशियन निर्देशांक के लिए भेदभाव और भिन्नता के संचालन भी अनुमेय होते हैं।

आइए हम सभी चक्करों के बीच वास्तविक प्रक्षेपवक्र की परिभाषा पर आगे बढ़ें। सिस्टम की वास्तविक गति d'Alembert-Lagrange सिद्धांत के अनुसार होती है

जो समय के प्रत्येक क्षण में वास्तविक गति (वास्तविक गति) की "प्रवृत्ति" को निर्धारित करता है। अभिन्न पर विचार करें

प्रणाली के वास्तविक प्रक्षेपवक्र के साथ लिया गया। सिस्टम के सभी तुलनात्मक प्रक्षेपवक्र एक ही समय में और एक ही बिंदु से -आयामी अंतरिक्ष में शुरू होते हैं। वे सभी एक ही समय पर एक ही बिंदु पर समाप्त होते हैं। इसलिए, प्रक्षेपवक्र के सिरों पर , स्थितियां

हम व्यंजक को भागों द्वारा समाकलित करके परिणामी समीकरण को रूपांतरित करते हैं

और चूंकि प्रक्षेपवक्र के सिरों पर भिन्नताएं गायब हो जाती हैं, हमारे पास है

विभेदन और भिन्नता के संचालन की परिवर्तनशीलता के कारण, हमारे पास है

जिसके बाद समीकरण रूप लेता है

इस रूप में, परिणामी समीकरण सामान्य यांत्रिक प्रणालियों के लिए हैमिल्टन के "कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत" को व्यक्त करता है। सिस्टम के वास्तविक प्रक्षेपवक्र पर, फ़ंक्शन का अभिन्न अंग गायब हो जाता है

यदि निकाय पर कार्य करने वाले बलों का बल कार्य होता है, तो निम्नलिखित संबंध होता है:

और उपरोक्त समीकरण रूप लेता है

चूंकि भिन्नता समय में बदलाव से जुड़ी नहीं है, इसलिए भिन्नता और एकीकरण के संचालन को बदला जा सकता है:

अर्थात। वास्तविक प्रक्षेपवक्र पर अभिन्न का एक स्थिर मूल्य होता है।

हमने वास्तविक प्रक्षेप पथ पर समाकलन के स्थिर मान की आवश्यकता को दर्शाया है। आइए हम दिखाते हैं कि सिस्टम की वास्तविक गति के लिए अभिन्न भिन्नता का गायब होना एक पर्याप्त शर्त है। ऐसा करने के लिए, हैमिल्टन के सिद्धांत से सिस्टम की गति के समीकरण प्राप्त करना पर्याप्त है।

होलोनोमिक आदर्श बाधाओं के साथ एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें, जिसकी स्थिति लैग्रैंगियन निर्देशांक और जीवित बल द्वारा निर्धारित की जाती है

सामान्यीकृत वेग, निर्देशांक और समय पर निर्भर करता है। प्रसिद्ध संबंध को ध्यान में रखते हुए

आइए हम हैमिल्टन सिद्धांत को इस रूप में फिर से लिखें

जनशक्ति भिन्नता का प्रदर्शन

और फिर भागों द्वारा एकीकृत करना

चूंकि अंतराल के अंत में निर्देशांक की भिन्नता शून्य के बराबर होती है, हैमिल्टन सिद्धांत से हम प्राप्त करते हैं

अंतराल के भीतर भिन्नताएं मनमानी और स्वतंत्र होती हैं, और फिर, विविधताओं के कलन के मुख्य सिद्धांत के आधार पर, समानता तभी संभव होगी जब सभी गुणांक गायब हो जाएं, अर्थात, जब स्थितियां

परिणामी समीकरण यांत्रिक प्रणाली की वास्तविक गति में मान्य होने चाहिए। हैमिल्टन के सिद्धांत की पर्याप्तता इस तथ्य से साबित होती है कि ये समीकरण दूसरी तरह के लैग्रेंज के समीकरण हैं, जो एक यांत्रिक प्रणाली की गति का वर्णन करते हैं जिस पर होलोनोमिक आदर्श बाधाएं लगाई जाती हैं।

होलोनोमिक आदर्श बाधाओं के साथ यांत्रिक प्रणालियों के लिए हैमिल्टन के सिद्धांत को अब निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

दो दिए गए पदों के बीच होलोनोमिक आदर्श कनेक्शन वाले सिस्टम की वास्तविक गति एक ही समय अंतराल पर किए गए इन पदों के बीच कीनेमेटिक रूप से संभावित गति से भिन्न होती है, जिसमें वास्तविक गति पर अभिन्न गायब हो जाता है

उन सभी मानों के लिए जो निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करते हैं।

डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत का उपयोग बांड की प्रतिक्रिया बलों को ध्यान में नहीं रखना संभव बनाता है और मनमाने ढंग से सामान्यीकृत निर्देशांक लागू करना संभव बनाता है। हालांकि, डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत (2.13) में स्केलर उत्पादों की उपस्थिति के कारण सामान्यीकृत निर्देशांक में समीकरण प्राप्त करना मुश्किल हो सकता है। निर्देशांक परिवर्तनों की सहायता से, समीकरणों (2.13) को एक ऐसे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें सामान्यीकृत निर्देशांक के केवल अदिश फलन होते हैं। हम दूसरे तरीके का संकेत देंगे, जब पहली बार में डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत से इंटीग्रल वेरिएबल सिद्धांत तक जाता है। परिवर्तनशील सिद्धांत से यांत्रिकी के समीकरणों की व्युत्पत्ति ने कई महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त करना संभव बना दिया। भविष्य में, सैद्धांतिक भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में परिवर्तनशील सिद्धांतों का उपयोग किया जाने लगा।

उस मामले पर विचार करें जब बलों में क्षमता हो। तब बलों के आभासी कार्य को रूप में लिखा जाएगा (2.14)

सामान्य तौर पर, संभावित ऊर्जा समय पर निर्भर हो सकती है। चूंकि भिन्नता की गणना एक निश्चित मूल्य पर की जाती है, यह किसी भी तरह से निष्कर्षों को प्रभावित नहीं करता है। सामान्यीकृत निर्देशांक का उपयोग करते समय, संभावित ऊर्जा अंततः सामान्यीकृत निर्देशांक का एक कार्य है। तब स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन का रूप होगा

(2.15)

व्यंजकों (1.12) के सादृश्य द्वारा, सामान्यीकृत निर्देशांकों के संबंध में स्थितिज ऊर्जा के आंशिक अवकलज कहलाते हैं सामान्यीकृत बल:

त्वरण वाले पदों को अदिश फलन से भिन्नता में बदलने के लिए, हम पहले समीकरण को एकीकृत करते हैं (2.9) समय में: . (2.17)

(2.18)

हम मान लेंगे कि समय के समय पर प्रारंभिक और भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के समय पर अंतिम स्थिति दी गई है। इसलिए, इन क्षणों के लिए यह शून्य के बराबर है, और (2.18) में पहला पद गायब हो जाता है। चूंकि निर्देशांक भिन्नताओं को निश्चित समय के लिए माना जाता है, इसलिए समय व्युत्पन्न और भिन्नता को आपस में बदला जा सकता है। (2.18) में दूसरा पद रूप में बदल जाता है

(2.19)

सभी भौतिक बिंदुओं के सभी निर्देशांक के लिए समान परिवर्तन किए जा सकते हैं। हम संभावित कार्य के संदर्भ में आभासी कार्य के लिए अभिव्यक्ति (2.14) को भी ध्यान में रखते हैं। परिणामस्वरूप, अभिन्न (2.17) के लिए हम प्राप्त करते हैं

. (2.20) सूत्र (2.20) में अंतिम समाकलों में शामिल गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं के बीच के अंतर को कहा जाता है लैग्रेंज फ़ंक्शनऔर पत्र के साथ चिह्नित है . लैग्रेंज फ़ंक्शन भौतिक बिंदुओं के निर्देशांक और वेग पर निर्भर करता है। सामान्यीकृत निर्देशांक को पास करते समय, इसे सामान्यीकृत निर्देशांक और सामान्यीकृत वेगों के रूप में व्यक्त किया जाता है:

लैग्रेंज फ़ंक्शन में समय शामिल नहीं किया जा सकता है। (2.20) से समाकलन को एक अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे कहा जाता है गतिविधि; (2.22)

इन नोटेशन को शुरू करने के बाद, कंडीशन (2.20) का रूप ले लेता है। (2.23)

क्रिया की भिन्नता शून्य है। इसका मतलब यह है कि क्रिया का एक चरम है, सबसे बड़ा या सबसे छोटा मूल्य लेता है, अगर यांत्रिक प्रणाली के आंदोलन का वर्णन करने वाले कार्यों को एक निर्भरता के रूप में अभिन्न (2.22) में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसलिए, क्रिया चरम की स्थिति का उपयोग भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली की गति के नियम को खोजने के लिए किया जा सकता है।

अब हम बना सकते हैं अभिन्न सिद्धांत,बुलाया हैमिल्टन का सिद्धांत: एक यांत्रिक प्रणाली की गति एक निश्चित समयावधि में से पहले यह इस तरह से होता है कि क्रिया की चरम सीमा होती है।

रूढ़िवादी प्रणालियों के लिए, हैमिल्टन का सिद्धांत न्यूटन के नियमों के बराबर है। इसलिए, इसे यांत्रिकी का मूल सिद्धांत माना जा सकता है, जिससे यांत्रिकी के सभी समीकरण व्युत्पन्न होते हैं। यह एक परिवर्तनशील सिद्धांत है, क्योंकि समय पर सामान्यीकृत निर्देशांक की निर्भरता न्यूनतम क्रिया अभिन्न की स्थिति से पाई जाती है। हैमिल्टन के सिद्धांत को लागू करने के फायदों में से एक यह है कि इसमें केवल स्केलर फ़ंक्शन शामिल हैं जिन्हें मनमाने ढंग से सामान्यीकृत निर्देशांक के लिए पुनर्गणना किया जा सकता है। इसलिए, परिवर्तनशील सिद्धांत से आने वाले समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक में तुरंत लिखे जाते हैं। परिवर्तनशील सिद्धांत से यांत्रिकी के समीकरण प्राप्त करने से शास्त्रीय यांत्रिकी के कई मूलभूत प्रश्नों को हल करना भी संभव हो गया।

व्याख्यान 2 इलेक्ट्रॉन - तरंग और कण

आइए एक नजर डालते हैं इस प्रयोग पर। एक निश्चित ऊर्जा के इलेक्ट्रॉन, एक स्रोत से बाहर उड़ते हुए, एक-एक करके अपने रास्ते में रखे अवरोध में छोटे छिद्रों से गुजरते हैं, और फिर एक फोटोग्राफिक प्लेट पर, या एक ल्यूमिनसेंट स्क्रीन पर गिरते हैं, जहां वे एक निशान छोड़ते हैं। एक फोटोग्राफिक प्लेट विकसित करने के बाद, उस पर बारी-बारी से प्रकाश और अंधेरे धारियों का संयोजन देखा जा सकता है, अर्थात। एक विवर्तन पैटर्न, जो एक जटिल भौतिक घटना है, जिसमें वास्तव में, विवर्तन (यानी, एक लहर द्वारा एक बाधा को गोल करना) और हस्तक्षेप (लहरों का सुपरपोजिशन) शामिल है।

विवरण पर ध्यान दिए बिना, आइए इस घटना पर विचार करें। हम निम्नलिखित बिंदुओं को लिखते हैं:

− ऐसे प्रयोग में विवर्तन और व्यतिकरण दोनों देखे गए हैं

साथ इलेक्ट्रॉनों, वे उनके द्वारा (और, सामान्य रूप से, माइक्रोपार्टिकल्स द्वारा) तरंग गुणों की अभिव्यक्ति के बारे में बात करते हैं, क्योंकि केवल तरंगें एक बाधा के चारों ओर जाने में सक्षम होती हैं और बैठक बिंदु पर एक दूसरे को ओवरलैप करती हैं;

- यहां तक ​​कि जब इलेक्ट्रॉन एक बार में (यानी एक बड़े अंतराल के साथ) छेद से गुजरते हैं, तो परिणामी विवर्तन पैटर्न बड़े पैमाने पर गोलाबारी के समान रहता है, जिसका अर्थ है

के विषय में प्रत्येक व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन के तरंग गुणों की अभिव्यक्ति;

− इलेक्ट्रॉनों के विवर्तन की व्याख्या करने के लिए, उनकी गति के साथ तुलना करना आवश्यक हैकुछ तरंग फलन, जिसके गुण प्रेक्षित विवर्तन पैटर्न को निर्धारित करते हैं। लेकिन चूँकि एक तरंग फलन है, तो एक तरंग समीकरण होना चाहिए, जिसका हल यह फलन है।

इस प्रकार, हम स्वयं समीकरण का नहीं, बल्कि फलन का अध्ययन शुरू करेंगे, अर्थात्। तरंग समीकरण समाधान। लेकिन पहले, हम हैमिल्टन के सिद्धांत को याद करते हैं, जो क्वांटम यांत्रिकी में एक स्वयंसिद्ध के रूप में काम करता है।

हैमिल्टन सिद्धांत

1833 में सर हैमिल्टन, "एक निश्चित विशेषता फ़ंक्शन के गुणांक द्वारा प्रकाश और ग्रहों के पथों को व्यक्त करने की एक सामान्य विधि पर," इस विचार की व्याख्या की, जो इस प्रकार था:

यांत्रिकी के नियमों की प्रस्तुति आमतौर पर न्यूटन के नियमों से शुरू होती है। लेकिन, कोई "दूसरे छोर" से शुरू कर सकता है, अर्थात्, एक बहुत ही सामान्य कथन के निर्माण से, जिसे कहा जाता है कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत. इस सिद्धांत के अनुसार, एक यांत्रिक प्रणाली की वास्तविक गति (इसके सभी अन्य बोधगम्य के विपरीत)

संचलन) समाकल के चरम (और पर्याप्त रूप से छोटे समय अंतराल t = t 2 - t 1 - न्यूनतम) मान से मेल खाती है, जिसे कहा जाता है

"कार्रवाई" द्वारा दिया गया S = Ldt ,

जहां एल निर्देशांक, वेग और, सामान्यतया, समय का कुछ कार्य है, जिसे "लैग्रेंज फ़ंक्शन" कहा जाता है।

जैसा कि हैमिल्टन ने दिखाया, यांत्रिकी में कोई भी मात्रा ज्यामितीय प्रकाशिकी में इसके अनुरूप मात्रा से मेल खाती है। इस प्रकार, एक समतल तरंग के प्रसार को एक स्थिर चरण = const की सतह के स्थान में विस्थापन के रूप में दर्शाया जा सकता है। उसी समय, प्रक्षेपवक्र के एक बंडल के साथ समान सामग्री बिंदुओं की एक प्रणाली की गति को निरंतर क्रिया S = const की कुछ सतह के अंतरिक्ष में आंदोलन के साथ जोड़ा जा सकता है। सादृश्य "चरण" - "क्रिया" जारी रखा जा सकता है, फिर ऊर्जा और आवृत्ति, साथ ही गति और तरंग वेक्टर जैसी मात्राएं "समान" होंगी (अर्थात, सूत्र समान हैं, हालांकि अर्थ अलग है)।

ई = - ∂ एस टी; = - ∂ टी ; पी = एस; के = ।

- nabla″ ऑपरेटर हैमिल्टन द्वारा पेश किया गया

= x i + y j + z k ।

हैमिल्टन द्वारा खोजी गई ऑप्टिकल-मैकेनिकल सादृश्यता ने 100 से अधिक वर्षों तक ध्यान आकर्षित नहीं किया। और केवल डी ब्रोगली ने सूक्ष्म-वस्तु की दोहरी प्रकृति के लिए इस सादृश्य के महत्व को समझा (हम बाद में डी ब्रोगली के संबंध पर ध्यान देंगे)। हालांकि, आगे के काम के लिए, हमें किसी वस्तु की तुलना बाकी द्रव्यमान और तरंग से करनी होगी।

प्लेन वेव फॉर्मूला।

हैमिल्टन के सिद्धांत के अनुसार, "x" अक्ष की दिशा में एक इलेक्ट्रॉन (एक आराम द्रव्यमान वाली वस्तु) की एक-आयामी गति को एक समतल मोनोक्रोमैटिक तरंग से जोड़ा जा सकता है:

	Ψ = एक cos 2π					−νt
	= एक पाप 2π					−νt

Ψ - आयाम (अधिकतम निरपेक्ष मान A के साथ),

- तरंग दैर्ध्य, ν - आवृत्ति, टी - समय।

आइए हम वृत्तीय आवृत्ति = 2 और तरंग सदिश k = 2 n का परिचय दें,

जहाँ n एक इकाई सदिश है जो समतल तरंग की गति की दिशा को दर्शाता है; फिर:

Ψ = एकोस (केएक्स - ω टी)

Ψ = एक पाप (केएक्स - ω टी) (6)

व्यंजक (kx - t ) को तरंग की प्रावस्था (ϕ ) कहा जाता है।

एक समान जटिल रूप में अभिव्यक्ति (6) लिखना अधिक सुविधाजनक है:

= ए (cosϕ + i sinϕ ) = एई मैं ϕ , (7)

जहाँ A - जटिल भी हो सकता है। व्यंजक e i = cos + i sin ϕ (8) यूलर सूत्र है।

फलन (8) आवर्त 2 n (n = 0, ± 1; ± 2;...) के साथ आवर्त है। पर

(7) अवधि (8) के अनुरूप तरंग और असतत दोनों विशेषताएं हैं। इस प्रकार, हमने एक तरंग फलन प्राप्त करने की दिशा में पहला कदम उठाया है जो सूत्र (7) लिखकर एक मुक्त इलेक्ट्रॉन की गति के बराबर है।

इलेक्ट्रॉनिक शेल की खोज के लिए प्रयोग।

तो, एक इलेक्ट्रॉन को एक ऐसे कण के साथ जोड़ा जा सकता है जिसमें कोई विराम द्रव्यमान नहीं होता है, जो तरंग गुणों को प्रदर्शित करता है। इस तथ्य की पहली बार प्रख्यात फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लुई डी ब्रोगली ने 1924 में हैमिल्टन के सिद्धांत के आधार पर भविष्यवाणी की थी, और फिर 1927 में प्रयोगात्मक रूप से स्थापित की गई थी। अमेरिकी जे. डेविसन और ए. जर्मर।

लुई डी ब्रोगली ने सुझाव दिया कि गति p और ऊर्जा E के साथ एक स्वतंत्र रूप से गतिमान इलेक्ट्रॉन तरंग वेक्टर k और आवृत्ति के साथ एक तरंग से जुड़ा हो सकता है, और:

	पी = एच					(9) और ई = एच ω (10)।

(याद रखें कि एच \u003d 2 एच π \u003d 1.054 10 - 34 जे एस)

इन संबंधों ने क्वांटम भौतिकी के निर्माण के इतिहास में एक उत्कृष्ट भूमिका निभाई है, क्योंकि वे ऐसे रिश्ते हैं जो प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध हुए हैं। आइए डेविसन और गेरमर के प्रयोगों के सार को समझते हैं। डेविसन, ठोस से इलेक्ट्रॉनों के प्रतिबिंब का अध्ययन करते हुए, एक व्यक्तिगत परमाणु के आसपास के विद्युत क्षेत्र के विन्यास की "जांच" करने की मांग की, अर्थात। इलेक्ट्रॉनिक गोले की खोज की

की परमाणु। 1923 में अपने छात्र जी. कान्समैन के साथ, उन्होंने प्रारंभिक (बिखरे हुए) बीम के वेग के आधार पर कोणों पर बिखरे हुए इलेक्ट्रॉनों के वितरण के लिए वक्र प्राप्त किए।

स्थापना योजना बहुत सरल है, बीम ऊर्जा, लक्ष्य पर घटना का कोण, और डिटेक्टर की स्थिति बदल गई थी। शास्त्रीय भौतिकी के अनुसार, बिखरे हुए इलेक्ट्रॉनों को सभी दिशाओं में उड़ना चाहिए। उनकी तीव्रता कोण या ऊर्जा पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। डेविसन और कंसमैन के प्रयोगों में यही हुआ। लगभग ..., लेकिन ऊर्जा से कोणों में वितरण के वक्रों पर अभी भी छोटे मैक्सिमा थे, उन्हें लक्ष्य परमाणुओं के पास के क्षेत्रों की असमानता से समझाया गया था। जर्मन भौतिकविदों जे. फ्रैंक और डब्ल्यू. एल्सासर ने सुझाव दिया कि यह इलेक्ट्रॉन विवर्तन के कारण है। विवाद ने मामले को सुलझाने में मदद की। 1927 में डेविसन ने जर्मर के साथ मिलकर निकल प्लेट के साथ प्रयोग किया। हवा गलती से स्थापना में आ गई, और धातु की सतह ऑक्सीकृत हो गई। कम करने वाले वातावरण में उच्च तापमान वाली भट्टी में क्रिस्टल को एनीलिंग करके ऑक्साइड फिल्म को हटाना आवश्यक था, जिसके बाद प्रयोग जारी रखा गया था। लेकिन परिणाम अलग थे। कोण के साथ बिखरे हुए इलेक्ट्रॉनों की तीव्रता में एक मोनोटोनिक (या लगभग मोनोटोनिक) परिवर्तन के बजाय, उच्चारित मैक्सिमा और मिनिमा देखे गए, जिनकी स्थिति इलेक्ट्रॉन ऊर्जा पर निर्भर करती थी। प्रकीर्णन पैटर्न में इस तरह के तेज बदलाव का कारण फायरिंग के परिणामस्वरूप निकल सिंगल क्रिस्टल का बनना है, जो विवर्तन झंझरी के रूप में कार्य करता है। यदि डी ब्रोगली सही है, और इलेक्ट्रॉनों में तरंग गुण होते हैं, तो प्रकीर्णन पैटर्न एक एक्स-रे पैटर्न जैसा होना चाहिए, और एक्स-रे पैटर्न की गणना ब्रैग सूत्र के अनुसार की जाती है, जो पहले से ही ज्ञात था। इस प्रकार, चित्र में दिखाए गए मामले के लिए, ब्रैग विमान के बीच का कोण α और अधिकतम इलेक्ट्रॉन बिखरने की दिशा 650 है। नी सिंगल क्रिस्टल में विमानों के बीच एक्स-रे विधि द्वारा मापी गई दूरी "ए" 0.091 एनएम है।

विवर्तन के दौरान मैक्सिमा की स्थिति का वर्णन करने वाले ब्रैग समीकरण का रूप है: n = 2asin α (n एक पूर्णांक है)।

n = 1 मानते हुए और a″ के प्रायोगिक मूल्यों का उपयोग करते हुए

और α , हम λ के लिए प्राप्त करते हैं:

λ = 2 0.091 पाप 650 = 0.165 एनएम।

डी ब्रोगली सूत्र:

जो प्रयोग के साथ उत्कृष्ट समझौते में है। इसके बाद, टॉम द्वारा इसी तरह के परिणाम प्राप्त किए गए-

बेटा (1928) और 1930 में कई अन्य भौतिकविदों द्वारा।

इस प्रकार, प्रयोग और सिद्धांत दोनों ने इलेक्ट्रॉन के व्यवहार के द्वंद्व को दिखाया है। इस दृष्टिकोण की क्रांतिकारी प्रकृति के बावजूद, इलेक्ट्रॉन की आंतरिक संरचना अभी भी अस्पष्ट बनी हुई है। हालांकि, विज्ञान में अक्सर घटनाएं होती हैं, जिसकी बदौलत ज्ञान के दुर्गम क्षेत्रों को दरकिनार करना और एक चक्कर में प्रगति के मार्ग पर कुछ कदम उठाना संभव है।

1920 के दशक में, क्वांटम यांत्रिकी के भोर में, भौतिकविदों ने खुद को एक और कार्य निर्धारित किया - माइक्रोवर्ल्ड के यांत्रिकी का निर्माण करने के लिए, अर्थात। विभिन्न परिस्थितियों में एक इलेक्ट्रॉन की गति को निर्धारित करने वाले कानूनों को खोजें

परिस्थितियों, मॉडल का सहारा लिए बिना जो इसकी आंतरिक संरचना का वर्णन करते हैं।

तो: हमारे पास एक नकारात्मक चार्ज और एक निश्चित द्रव्यमान के साथ एक सूक्ष्म वस्तु है, जो किसी तरह एक तरंग और एक कण के गुणों को जोड़ती है। सवाल यह है कि ऐसी सूक्ष्म वस्तु की गति के भौतिक विवरण की विशेषताएं क्या हैं? एक विशेषता पहले से ही स्पष्ट है। ऊर्जा के नुकसान के बिना आंदोलन केवल एक कण द्वारा आराम द्रव्यमान के बिना किया जा सकता है, जिसमें विशेष रूप से तरंग गुण होते हैं, यानी एक फोटॉन। लेकिन इस वस्तु की एक और विशेषता यह है कि यह आराम से रहित है। एक माइक्रोपार्टिकल की इन दो विशेषताओं के संयोजन के लिए विशेष स्वयंसिद्ध या सिद्धांतों की आवश्यकता होती है। ऐसी वस्तुओं का वर्णन करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांतों में से एक, जो मायावी क्षणों में अपना सार बदल देता है और तरंग या कणिका गुणों को दर्शाता है, अनिश्चितता का सिद्धांत है।