हम समीकरणों की दो प्रकार की हल करने वाली प्रणालियों का विश्लेषण करेंगे:

1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
2. प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणाली का समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करने की आवश्यकता है:
1. हम व्यक्त करते हैं। किसी भी समीकरण से, हम एक चर को व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम व्यक्त चर, परिणामी मान के बजाय दूसरे समीकरण में स्थानापन्न करते हैं।
3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीजरुरत:
1. एक चर का चयन करें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं, परिणामस्वरूप हमें एक चर के साथ एक समीकरण मिलता है।
3. हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

2x+5y=1 (1 समीकरण)
x-10y=3 (दूसरा समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक वाला एक चर x है, इसलिए यह पता चला है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
एक्स=3+10y

2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में चर x के स्थान पर 3 + 10y को प्रतिस्थापित करते हैं।
2(3+10y)+5y=1

3. हम परिणामी समीकरण को एक चर से हल करते हैं।
2(3+10y)+5y=1 (खुले कोष्ठक)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
वाई=-5:25
वाई=-0.2

समीकरणों की प्रणाली का समाधान ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए हमें x और y खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y होते हैं। आइए x खोजें, पहले पैराग्राफ में जहां हमने व्यक्त किया था, हम वहां y को प्रतिस्थापित करते हैं।
एक्स=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

यह पहली जगह में अंक लिखने के लिए प्रथागत है, हम चर x लिखते हैं, और दूसरे स्थान पर चर y लिखते हैं।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण #2:

आइए शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा हल करें।

योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

3x-2y=1 (1 समीकरण)
2x-3y=-10 (दूसरा समीकरण)

1. एक चर का चयन करें, मान लें कि हम x का चयन करते हैं। पहले समीकरण में, चर x का गुणांक 3 है, दूसरे में - 2. हमें गुणांक समान बनाने की आवश्यकता है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। हम पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और दूसरे को 3 से गुणा करते हैं और कुल 6 का गुणांक प्राप्त करते हैं।

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. पहले समीकरण से, चर x से छुटकारा पाने के लिए दूसरे को घटाएं। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y=2

5y=32 | :5
वाई = 6.4

3. एक्स खोजें। हम किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करते हैं, मान लें कि पहले समीकरण में।
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8 = 1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
एक्स = 4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x=4.6 होगा; वाई = 6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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बीजीय जोड़ विधि

आप दो अज्ञात के साथ समीकरणों की एक प्रणाली को विभिन्न तरीकों से हल कर सकते हैं - एक ग्राफिकल विधि या एक परिवर्तनीय परिवर्तन विधि।

इस पाठ में, हम सिस्टम को हल करने के एक अन्य तरीके से परिचित होंगे जो आपको निश्चित रूप से पसंद आएगा - यह बीजीय जोड़ विधि है।

और विचार कहाँ से आया - सिस्टम में कुछ डालने का? सिस्टम को हल करते समय, मुख्य समस्या दो चर की उपस्थिति है, क्योंकि हम दो चर वाले समीकरणों को हल नहीं कर सकते हैं। इसलिए, उनमें से किसी एक को कानूनी तरीके से बाहर करना आवश्यक है। और ऐसे वैध तरीके हैं गणितीय नियम और गुण।

इनमें से एक गुण ऐसा लगता है: विपरीत संख्याओं का योग शून्य होता है। इसका अर्थ है कि यदि किसी एक चर के विपरीत गुणांक हैं, तो उनका योग शून्य के बराबर होगा और हम इस चर को समीकरण से बाहर करने में सक्षम होंगे। यह स्पष्ट है कि हमें केवल वेरिएबल के साथ शब्दों को जोड़ने का अधिकार नहीं है जिनकी हमें आवश्यकता है। समीकरणों को समग्र रूप से जोड़ना आवश्यक है, अर्थात्। अलग-अलग बाईं ओर समान शब्द जोड़ें, फिर दाईं ओर। नतीजतन, हमें एक नया समीकरण मिलेगा जिसमें केवल एक चर होगा। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर एक नज़र डालें।

हम देखते हैं कि पहले समीकरण में एक चर y है, और दूसरे में विपरीत संख्या y है। अतः इस समीकरण को योग विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

समीकरणों में से एक को वैसे ही छोड़ दिया जाता है। कोई भी जो आपको सबसे अच्छा लगे।

लेकिन दूसरा समीकरण इन दोनों समीकरणों को पद दर पद जोड़कर प्राप्त किया जाएगा। वे। 3x को 2x में जोड़ें, y को -y में जोड़ें, 8 से 7 जोड़ें।

हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है

इस प्रणाली का दूसरा समीकरण एक चर के साथ एक साधारण समीकरण है। इससे हम x \u003d 3 पाते हैं। पहले समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हुए, हम y \u003d -1 पाते हैं।

उत्तर: (3; - 1)।

डिजाइन नमूना:

बीजगणितीय योग द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें

इस प्रणाली में विपरीत गुणांक वाले कोई चर नहीं हैं। लेकिन हम जानते हैं कि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही संख्या से गुणा किया जा सकता है। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें।

तब पहला समीकरण रूप लेगा:

अब हम देखते हैं कि चर x के साथ विपरीत गुणांक हैं। इसलिए, हम पहले उदाहरण की तरह ही करेंगे: हम समीकरणों में से एक को अपरिवर्तित छोड़ देंगे। उदाहरण के लिए, 2y + 2x \u003d 10. और हम दूसरा जोड़कर प्राप्त करते हैं।

अब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है:

हम दूसरे समीकरण y = 1 से और फिर पहले समीकरण x = 4 से आसानी से पाते हैं।

डिजाइन नमूना:

आइए संक्षेप करें:

हमने सीखा है कि दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों के सिस्टम को बीजगणितीय जोड़ विधि का उपयोग करके कैसे हल किया जाए। इस प्रकार, अब हम ऐसी प्रणालियों को हल करने के तीन मुख्य तरीकों को जानते हैं: ग्राफिकल विधि, परिवर्तनीय विधि का परिवर्तन, और जोड़ विधि। इन विधियों का उपयोग करके लगभग किसी भी प्रणाली को हल किया जा सकता है। अधिक जटिल मामलों में, इन तकनीकों के संयोजन का उपयोग किया जाता है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

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2. मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित ग्रेड 7, 2 भागों में, भाग 2, शैक्षिक संस्थानों के लिए कार्य पुस्तक / [ए.जी. मोर्दकोविच और अन्य]; एजी द्वारा संपादित मोर्दकोविच - 10 वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, मेनेमोसिन, 2007।
3. उसकी। तुलचिंस्काया, बीजगणित ग्रेड 7. ब्लिट्ज सर्वेक्षण: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक गाइड, चौथा संस्करण, संशोधित और पूरक, मॉस्को, मेनेमोज़िना, 2008।
4. अलेक्जेंड्रोवा एल.ए., बीजगणित ग्रेड 7। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए नए रूप में विषयगत परीक्षण पत्र, ए.जी. मोर्दकोविच, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2011।
5. अलेक्जेंड्रोवा एल.ए. बीजगणित 7 वीं कक्षा। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए स्वतंत्र कार्य, ए.जी. मोर्दकोविच - 6 वां संस्करण, स्टीरियोटाइपिकल, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2010।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना जिसके लिए प्रणाली एक सच्ची समानता बन जाती है, या यह स्थापित करना कि x और y के कोई उपयुक्त मान नहीं हैं।

बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे करें और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम खोजें। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

सामान्य शिक्षा स्कूल कार्यक्रम के 7 वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों का समाधान काफी सरल है और इसे बहुत विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-दर-टर्म जोड़ और विभिन्न संख्याओं द्वारा समीकरणों का गुणन किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोगों के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय ऑपरेशन के परिणामस्वरूप, चर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यह उदाहरण से देखा जा सकता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक वर्ग ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

जाने-माने सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य हल होंगे।

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, आपको रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि से सिस्टम को हल करते समय बोझिल नोटेशन को कम करना संभव हो जाता है बड़ी मात्राचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को हल करने की गॉस-क्रैमर विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गाऊसी समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, कहता है कि यदि निकाय के समीकरणों में से किसी एक को तुल्य समीकरण से बदल दिया जाए, तो परिणामी निकाय भी मूल समीकरण के तुल्य होगा।

गॉस विधि मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए समझना मुश्किल है, लेकिन गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत अध्ययन कार्यक्रम में पढ़ रहे बच्चों की सरलता को विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त पद एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक ही रूप में घटाया गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।

दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक रैखिक समीकरण है जिसके लिए उनके सभी सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। हम दो अज्ञात वाले दो रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार करेंगे। दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का एक सामान्य दृश्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है:

(ए1*एक्स + बी1*वाई = सी1,
( a2*x + b2*y = c2

यहाँ x और y अज्ञात चर हैं, a1, a2, b1, b2, c1, c2 कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं। दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं की एक जोड़ी (x, y) है, जैसे कि यदि इन संख्याओं को सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण एक वास्तविक समानता में बदल जाते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के कई तरीके हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करें, अर्थात् जोड़ विधि।

जोड़ विधि द्वारा हल करने के लिए एल्गोरिदम

दो अज्ञात जोड़ विधियों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म।

1. यदि आवश्यक हो, समतुल्य परिवर्तनों के माध्यम से, दोनों समीकरणों में अज्ञात चरों में से एक के लिए गुणांकों को बराबर करें।

2. एक अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण प्राप्त करने के लिए परिणामी समीकरणों को जोड़ना या घटाना

3. परिणामी समीकरण को एक अज्ञात के साथ हल करें और एक चर ज्ञात करें।

4. परिणामी व्यंजक को निकाय के दो समीकरणों में से किसी एक में रखें और इस समीकरण को हल करें, इस प्रकार दूसरा चर प्राप्त करें।

5. समाधान की जाँच करें।

जोड़ विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण

अधिक स्पष्टता के लिए, हम जोड़ विधि द्वारा दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करते हैं:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

चूँकि किसी भी चर के गुणांक समान नहीं हैं, हम चर y के गुणांकों को बराबर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को तीन से और दूसरे समीकरण को दो से गुणा करें।

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

प्राप्त समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

अब पहले को दूसरे समीकरण से घटाएं। हम समान पदों को प्रस्तुत करते हैं और परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; एक्स = -6;

हम परिणामी मान को अपनी मूल प्रणाली से पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी समीकरण को हल करते हैं।

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;

परिणाम x=6 और y=14 संख्याओं का एक युग्म है। हम जाँच कर रहे हैं। हम एक प्रतिस्थापन करते हैं।

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो सच्ची समानताएँ मिलीं, इसलिए, हमने सही समाधान पाया।

बहुत बार, छात्रों को समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एक विधि चुनना मुश्किल लगता है।

इस लेख में, हम सिस्टम को हल करने के तरीकों में से एक पर विचार करेंगे - प्रतिस्थापन विधि।

यदि दो समीकरणों का एक उभयनिष्ठ हल मिल जाता है, तो इन समीकरणों को एक निकाय कहते हैं। समीकरणों की एक प्रणाली में, प्रत्येक अज्ञात सभी समीकरणों में समान संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यह दिखाने के लिए कि ये समीकरण एक प्रणाली बनाते हैं, उन्हें आमतौर पर एक के नीचे एक लिखा जाता है और एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए

हम देखते हैं कि x = 15 और y = 5 के लिए निकाय के दोनों समीकरण सही हैं। संख्याओं का यह युग्म समीकरणों के निकाय का हल है। अज्ञात मानों का प्रत्येक युग्म जो एक साथ निकाय के दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, निकाय का हल कहलाता है।

एक प्रणाली का एक समाधान हो सकता है (जैसा कि हमारे उदाहरण में है), असीम रूप से कई समाधान, और कोई समाधान नहीं।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को कैसे हल करें? यदि दोनों समीकरणों में किसी अज्ञात के गुणांक निरपेक्ष मान में समान हैं (यदि वे समान नहीं हैं, तो हम बराबर करते हैं), तो दोनों समीकरणों को जोड़कर (या दूसरे से घटाकर), आप एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। फिर हम इस समीकरण को हल करते हैं। हम एक अज्ञात को परिभाषित करते हैं। हम अज्ञात के प्राप्त मूल्य को सिस्टम के समीकरणों में से एक (पहले या दूसरे में) में प्रतिस्थापित करते हैं। हम एक और अज्ञात पाते हैं। आइए इस पद्धति के आवेदन के उदाहरण देखें।

उदाहरण 1समीकरणों की प्रणाली को हल करें

यहाँ y पर गुणांक निरपेक्ष मान में बराबर हैं, लेकिन चिह्न में विपरीत हैं। आइए सिस्टम के समीकरणों को जोड़ने के लिए शब्द दर शब्द प्रयास करें।

परिणामी मान x \u003d 4, हम सिस्टम के कुछ समीकरण (उदाहरण के लिए, पहले वाले में) को प्रतिस्थापित करते हैं और y का मान पाते हैं:

2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.

हमारे सिस्टम का एक हल x = 4, y = 3 है। या उत्तर को कोष्ठक में, किसी बिंदु के निर्देशांक के रूप में, पहले स्थान पर x, दूसरे y में लिखा जा सकता है।

उत्तर: (4; 3)

उदाहरण 2. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम चर x के गुणांकों को बराबर करते हैं, इसके लिए हम पहले समीकरण को 3 से गुणा करते हैं, और दूसरे को (-2) से गुणा करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

समीकरण जोड़ते समय सावधान रहें

फिर y \u003d - 2. हम पहले समीकरण में y के बजाय संख्या (-2) को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है

4x + 3 (-2) \u003d - 4. हम इस समीकरण को 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½ हल करते हैं।

उत्तर: (1/2; - 2)

उदाहरण 3समीकरणों की प्रणाली को हल करें

पहले समीकरण को (-2) से गुणा करें

सिस्टम को हल करना

हमें 0 = - 13 मिलता है।

कोई समाधान प्रणाली नहीं है, क्योंकि 0 (-13) के बराबर नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।

उदाहरण 4समीकरणों की प्रणाली को हल करें

ध्यान दें कि दूसरे समीकरण के सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं,

आइए दूसरे समीकरण को तीन से विभाजित करें और हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें दो समान समीकरण होते हैं।

इस प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान हैं, क्योंकि पहले और दूसरे समीकरण समान हैं (हमें दो चर के साथ केवल एक समीकरण मिला है)। इस प्रणाली का समाधान कैसे प्रस्तुत करें? आइए चर y को समीकरण x + y = 5 से व्यक्त करें। हमें y = 5 - x मिलता है।

फिर उत्तरइस तरह लिखा जाएगा: (x; 5-x), x कोई भी संख्या है।

हमने जोड़ विधि द्वारा समीकरण प्रणालियों के समाधान पर विचार किया। यदि आपके कोई प्रश्न हैं या कुछ स्पष्ट नहीं है, तो पाठ के लिए साइन अप करें और हम आपके साथ सभी समस्याओं का समाधान करेंगे।

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