साइनसनंबर एकसंख्या वृत्त पर इस संख्या को दर्शाने वाले बिंदु की कोटि कहलाती है। कोण की ज्या in एकरेडियन को किसी संख्या की ज्या कहा जाता है एक.

साइनस- संख्या समारोह एक्स. उसकी कार्यक्षेत्र

साइन रेंज- से खंड -1 इससे पहले 1 , क्योंकि y-अक्ष पर इस खंड की कोई भी संख्या वृत्त पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण है, लेकिन इस खंड के बाहर कोई भी बिंदु इनमें से किसी भी बिंदु का प्रक्षेपण नहीं है।

साइन अवधि

साइन साइन:

1. ज्या शून्य है, जहां एन- कोई पूर्णांक;

2. ज्या धनात्मक है, जहाँ एन- कोई पूर्णांक;

3. साइन नकारात्मक है

कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक।

साइनस- समारोह अजीब एक्सतथा -एक्स, तो उनके निर्देशांक - ज्या - भी विपरीत होंगे। वह है किसी के लिए भी एक्स.

1. खण्डों पर ज्या बढ़ जाती है , कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक।

2. खण्ड पर ज्या घटती है , कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक।

पर ;

पर .

कोज्या

कोज्यानंबर एकसंख्या वृत्त पर इस संख्या को दर्शाने वाले बिंदु का भुज कहलाता है। कोण की कोज्या in एकरेडियन को किसी संख्या का कोज्या कहा जाता है एक.

कोज्याएक संख्या समारोह है। उसकी कार्यक्षेत्र- सभी संख्याओं का समुच्चय, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए आप उसे निरूपित करने वाले बिंदु की कोटि ज्ञात कर सकते हैं।

कोसाइन की रेंज- से खंड -1 इससे पहले 1 , चूंकि x-अक्ष पर इस खंड की कोई भी संख्या वृत्त पर किसी बिंदु का प्रक्षेपण है, लेकिन इस खंड के बाहर कोई भी बिंदु इनमें से किसी भी बिंदु का प्रक्षेपण नहीं है।

कोज्या अवधिके बराबर है । आखिरकार, हर बार संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की स्थिति बिल्कुल दोहराई जाती है।

कोसाइन चिन्ह:

1. कोज्या शून्य पर है, जहां एन- कोई पूर्णांक;

2. कोज्या धनात्मक है , कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक;

3. कोज्या ऋणात्मक है , कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक।

कोज्या- समारोह यहाँ तक की. सबसे पहले, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सभी संख्याओं का समूह है, जिसका अर्थ है कि यह मूल के संबंध में सममित है। और दूसरी बात, अगर हम शुरू से ही दो विपरीत संख्याओं को स्थगित करते हैं: एक्सतथा -एक्स, तो उनके भुज - कोज्या - बराबर होंगे। वह है

किसी के लिए भी एक्स.

1. खंडों पर कोसाइन बढ़ता है , कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक।

2. खंडों पर कोसाइन घटता है , कहाँ पे एन- कोई पूर्णांक।

पर ;

पर .

स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखासंख्या इस संख्या की ज्या का इस संख्या की कोज्या से अनुपात है:।

स्पर्शरेखाकोण में एकरेडियन को किसी संख्या की स्पर्श रेखा कहा जाता है एक.

स्पर्शरेखाएक संख्या समारोह है। उसकी कार्यक्षेत्र- उन सभी संख्याओं का समुच्चय जिनकी कोज्या शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि स्पर्शरेखा की परिभाषा पर कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं। और चूँकि कोज्या शून्य है, तो , कहाँ पे ।

स्पर्शरेखा रेंज

स्पर्शरेखा अवधि एक्स(बराबर नहीं), एक दूसरे से भिन्न होते हुए, और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो यह सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरेगी और किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा की रेखा को काटेगी। टी. तो यह पता चला है कि, संख्या स्पर्शरेखा की अवधि है।

स्पर्शरेखा चिह्न:स्पर्शरेखा साइन और कोसाइन का अनुपात है। इसलिए वह

1. शून्य है जब ज्या शून्य है, अर्थात, कब , कहाँ एन- कोई पूर्णांक।

2. धनात्मक होता है जब ज्या और कोज्या का चिन्ह समान होता है। ऐसा केवल पहली और तीसरी तिमाही में होता है, यानी जब , कहाँ पे एक- कोई पूर्णांक।

3. नकारात्मक है जब साइन और कोसाइन के अलग-अलग संकेत होते हैं। ऐसा केवल दूसरी और चौथी तिमाही में होता है, यानी जब , कहाँ पे एक- कोई पूर्णांक।

स्पर्शरेखा- समारोह अजीब. सबसे पहले, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में सममित है। और दूसरी बात, . साइन की विषमता और कोसाइन की समता के कारण, परिणामी भिन्न का अंश बराबर होता है, और इसका हर बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि यह अंश स्वयं के बराबर है।

तो यह पता चला।

माध्यम, इसकी परिभाषा के क्षेत्र के प्रत्येक खंड में स्पर्शरेखा बढ़ जाती है, अर्थात्, प्रपत्र के सभी अंतरालों पर , कहाँ पे एक- कोई पूर्णांक।

कोटैंजेंट

कोटैंजेंटसंख्या इस संख्या की कोज्या का इस संख्या की ज्या से अनुपात है: . कोटैंजेंटकोण में एकरेडियन को किसी संख्या का कोटैंजेंट कहा जाता है एक. कोटैंजेंटएक संख्या समारोह है। उसकी कार्यक्षेत्र- उन सभी संख्याओं का समुच्चय जिनकी ज्या शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि कोटैंजेंट की परिभाषा पर कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं। और चूँकि ज्या शून्य है , तब , जहाँ

कोटेंजेंट रेंजसभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

कोटैंजेंट अवधिके बराबर है । आखिरकार, अगर हम कोई दो संभावित मान लेते हैं एक्स(बराबर नहीं), एक दूसरे से भिन्न होते हुए, और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो यह सीधी रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरेगी और किसी बिंदु पर कोटंगेंट की रेखा को काटेगी। टी. तो यह पता चलता है कि, वह संख्या है, जो कोटैंजेंट की अवधि है।

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त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गणना करना।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह लगभग पिछले पाठ की तरह ही है। कुल्हाड़ी हैं, एक वृत्त है, एक कोण है, सब कुछ ठोड़ी-चीन है। जोड़े गए क्वार्टरों की संख्या (एक बड़े वर्ग के कोनों में) - पहले से चौथे तक। और फिर अचानक कौन नहीं जानता? जैसा कि आप देख सकते हैं, क्वार्टर (उन्हें सुंदर शब्द "चतुर्थांश" भी कहा जाता है) को वामावर्त क्रमांकित किया जाता है। कुल्हाड़ियों पर जोड़े गए कोण मान। सब कुछ स्पष्ट है, कोई तामझाम नहीं।

और एक हरा तीर जोड़ा। एक प्लस के साथ। उसका कहने का क्या मतलब है? आपको याद दिला दूं कि कोने का निश्चित पक्ष हमेशा धनात्मक अक्ष OH पर बंधा हुआ है। इसलिए, यदि हम कोने के गतिमान पक्ष को मोड़ते हैं प्लस तीर, अर्थात। आरोही तिमाही संख्या में, कोण सकारात्मक माना जाएगा।उदाहरण के लिए, चित्र +60° का धनात्मक कोण दिखाता है।

अगर हम कोनों को स्थगित कर देते हैं विपरीत दिशा में, दक्षिणावर्त, कोण नकारात्मक माना जाएगा।चित्र पर होवर करें (या टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें), आपको ऋण के साथ एक नीला तीर दिखाई देगा। यह कोणों के ऋणात्मक पठन की दिशा है। एक ऋणात्मक कोण (-60°) को उदाहरण के रूप में दिखाया गया है। और आप यह भी देखेंगे कि कुल्हाड़ियों पर संख्या कैसे बदल गई है ... मैंने उन्हें नकारात्मक कोणों में भी अनुवादित किया है। चतुर्भुजों की संख्या नहीं बदलती है।

यहां, आमतौर पर, पहली गलतफहमी शुरू होती है। ऐसा कैसे!? और अगर वृत्त पर ऋणात्मक कोण धनात्मक के साथ मेल खाता है !? और सामान्य तौर पर, यह पता चला है कि चल पक्ष (या संख्या चक्र पर एक बिंदु) की एक ही स्थिति को नकारात्मक कोण और सकारात्मक दोनों कहा जा सकता है !?

हाँ। बिल्कुल। मान लीजिए कि एक वृत्त पर 90 डिग्री का धनात्मक कोण लगता है ठीक वैसा शून्य से 270 डिग्री के ऋणात्मक कोण के रूप में स्थिति। एक धनात्मक कोण, उदाहरण के लिए +110° डिग्री, लेता है ठीक वैसा ऋणात्मक कोण के रूप में स्थिति -250° है।

कोई बात नहीं। सब कुछ सही है।) कोण की सकारात्मक या नकारात्मक गणना का चुनाव असाइनमेंट की स्थिति पर निर्भर करता है। अगर शर्त कुछ नहीं कहती सादे पाठ कोण के चिह्न के बारे में, (जैसे "सबसे छोटा निर्धारित करें सकारात्मककोण", आदि), फिर हम उन मूल्यों के साथ काम करते हैं जो हमारे लिए सुविधाजनक हैं।

एक अपवाद (और उनके बिना कैसे?!) त्रिकोणमितीय असमानताएं हैं, लेकिन वहां हम इस चाल में महारत हासिल करेंगे।

और अब आपके लिए एक सवाल। मुझे कैसे पता चलेगा कि 110° कोण की स्थिति -250° कोण की स्थिति के समान है?
मैं संकेत दूंगा कि यह पूर्ण कारोबार के कारण है। 360° में... स्पष्ट नहीं है? फिर हम एक वृत्त खींचते हैं। हम कागज पर खींचते हैं। कोने को चिह्नित करना के बारे में 110°. और माननाएक पूर्ण मोड़ तक कितना शेष है। बस 250° बाकी है...

समझ गया? और अब - ध्यान! यदि कोण 110° और -250° वृत्त पर स्थित हैं वही स्थिति, तो क्या? हाँ, तथ्य यह है कि कोण 110 ° और -250 ° . हैं ठीक वैसा ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट!
वे। sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) इत्यादि। अब यह वास्तव में महत्वपूर्ण है! और अपने आप में - ऐसे बहुत से कार्य हैं जहां अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक है, और बाद में कमी के सूत्रों और त्रिकोणमिति की अन्य पेचीदगियों के विकास के आधार के रूप में।

बेशक, मैंने 110 ° और -250 ° यादृच्छिक रूप से लिया, विशुद्ध रूप से उदाहरण के लिए। ये सभी समानताएं वृत्त पर समान स्थिति वाले किसी भी कोण के लिए कार्य करती हैं। 60° और -300°, -75° और 285°, इत्यादि। मैं तुरंत ध्यान देता हूं कि इन जोड़ों में कोने - विभिन्न।लेकिन उनके त्रिकोणमितीय कार्य हैं - वही।

मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि नकारात्मक कोण क्या हैं। यह काफी सरल है। वामावर्त एक सकारात्मक गणना है। रास्ते में, यह नकारात्मक है। कोण सकारात्मक या नकारात्मक पर विचार करें हम पर निर्भर करता है. हमारी चाहत से। ठीक है, और कार्य से अधिक, निश्चित रूप से ... मुझे आशा है कि आप समझते हैं कि त्रिकोणमितीय कार्यों को नकारात्मक से सकारात्मक कोणों में कैसे स्थानांतरित किया जाए और इसके विपरीत। एक वृत्त खींचिए, एक सन्निकट कोण, और देखें कि एक पूर्ण मोड़ से पहले कितना गायब है, अर्थात। 360 डिग्री तक।

360° से अधिक कोण।

आइए उन कोणों से निपटें जो 360 ° से अधिक हैं। और ऐसी बातें होती हैं? बेशक हैं। उन्हें एक सर्कल में कैसे आकर्षित करें? एक समस्या नहीं है! मान लीजिए हमें यह समझने की जरूरत है कि 1000° का कोण किस तिमाही में गिरेगा? सरलता! हम एक पूर्ण मोड़ वामावर्त बनाते हैं (कोण हमें सकारात्मक दिया गया था!)। 360° रिवाइंड करें। अच्छा, चलो चलते हैं! एक और मोड़ - यह पहले ही 720 ° निकला है। कितना बचा है? 280°. यह एक पूर्ण मोड़ के लिए पर्याप्त नहीं है ... लेकिन कोण 270 ° से अधिक है - और यह तीसरी और चौथी तिमाही के बीच की सीमा है। तो हमारा 1000° का कोण चौथी तिमाही में आता है। हर चीज़।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह काफी सरल है। मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि 1000° का कोण और 280° का कोण, जो हमने "अतिरिक्त" पूर्ण घुमावों को हटाकर प्राप्त किया है, सख्ती से बोल रहे हैं, विभिन्नकोने। लेकिन इन कोणों के त्रिकोणमितीय फलन ठीक वैसा! वे। sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° आदि। अगर मैं साइन होता, तो मुझे इन दोनों कोणों के बीच का अंतर नज़र नहीं आता...

यह सब क्यों जरूरी है? हमें कोणों को एक से दूसरे में अनुवाद करने की आवश्यकता क्यों है? हाँ, सब कुछ उसी के लिए।) भावों को सरल बनाने के लिए। भावों का सरलीकरण, वास्तव में, स्कूली गणित का मुख्य कार्य है। खैर, रास्ते में, सिर प्रशिक्षण ले रहा है।)

अच्छा, क्या हम अभ्यास करेंगे?)

हम सवालों के जवाब देते हैं। पहले सरल।

1. कोण -325° किस तिमाही में पड़ता है?

2. कोण 3000° किस तिमाही में पड़ता है?

3. कोण -3000° किस तिमाही में पड़ता है?

एक समस्या है? या असुरक्षा? हम भाग 555 में जाते हैं, त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ व्यावहारिक कार्य। वहाँ, इस "व्यावहारिक कार्य ..." के पहले पाठ में सब कुछ विस्तृत है ... In ऐसाअनिश्चितता के प्रश्न नहीं चाहिए!

4. sin555° का चिन्ह क्या है?

5. tg555° का चिन्ह क्या होता है?

निर्धारित? उत्कृष्ट! शक? यह धारा 555 के लिए आवश्यक है ... वैसे, वहाँ आप सीखेंगे कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटंगेंट कैसे खींचना है। एक बहुत ही उपयोगी चीज।

और अब होशियार सवाल।

6. व्यंजक sin777° को सबसे छोटे धनात्मक कोण की ज्या पर लाएँ।

7. व्यंजक cos777° को सबसे बड़े ऋणात्मक कोण की कोज्या पर लाएँ।

8. व्यंजक cos(-777°) को सबसे छोटे धनात्मक कोण की कोज्या में बदलें।

9. व्यंजक sin777° को सबसे बड़े ऋणात्मक कोण की ज्या पर लाएँ।

क्या, प्रश्न 6-9 हैरान करने वाले हैं? इसकी आदत डालें, परीक्षा में ऐसे फॉर्मूलेशन नहीं होते हैं ... तो हो, मैं इसका अनुवाद करूंगा। सिर्फ तुम्हारे लिए!

शब्द "अभिव्यक्ति को कम करें ..." का अर्थ अभिव्यक्ति को रूपांतरित करना है ताकि उसका मूल्य नहीं बदला हैऔर कार्य के अनुसार उपस्थिति बदल गई है। तो, कार्य 6 और 9 में, हमें एक साइन प्राप्त करना चाहिए, जिसके अंदर है सबसे छोटा सकारात्मक कोण।बाकी सब कुछ मायने नहीं रखता।

मैं उत्तर क्रम में दूंगा (हमारे नियमों का उल्लंघन करते हुए)। लेकिन क्या करें, केवल दो संकेत हैं, और केवल चार तिमाहियों ... आप विकल्पों में नहीं बिखरेंगे।

6. पाप57°।

7.cos (-57°)।

8.cos57°।

9.-पाप (-57°)

मुझे लगता है कि 6-9 प्रश्नों के उत्तर कुछ लोगों को भ्रमित करते हैं। विशेषकर -पाप (-57°), है ना?) दरअसल, कोणों की गिनती के लिए प्राथमिक नियमों में त्रुटियों के लिए जगह है ... यही कारण है कि मुझे एक सबक बनाना पड़ा: "कार्यों के संकेतों को कैसे निर्धारित करें और त्रिकोणमितीय सर्कल पर कोण कैसे दें?" धारा 555 में। वहाँ कार्य 4 - 9 हल किए जाते हैं। अच्छी तरह से क्रमबद्ध, सभी नुकसानों के साथ। और वे यहाँ हैं।)

अगले पाठ में, हम रहस्यमय रेडियन और संख्या "पाई" से निपटेंगे। डिग्री को रेडियन में और इसके विपरीत आसानी से और सही तरीके से परिवर्तित करना सीखें। और हमें यह जानकर आश्चर्य होगा कि साइट पर यह प्राथमिक जानकारी बहुत हो गया कुछ गैर-मानक त्रिकोणमिति पहेली को हल करने के लिए!

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन का चिन्ह पूरी तरह से उस निर्देशांक तिमाही पर निर्भर करता है जिसमें संख्यात्मक तर्क स्थित होता है। पिछली बार हमने सीखा कि रेडियन माप से तर्कों को डिग्री माप में कैसे अनुवादित किया जाता है (पाठ "कोण का रेडियन और डिग्री माप" देखें), और फिर इसी समन्वय तिमाही का निर्धारण करें। अब, वास्तव में, साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के चिह्न की परिभाषा के साथ सौदा करते हैं।

कोण की ज्या α त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु का कोटि (निर्देशांक y) है, जो तब होता है जब त्रिज्या को कोण α से घुमाया जाता है।

कोण α का कोज्या त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु का भुज (x निर्देशांक) है, जो तब होता है जब त्रिज्या कोण α से घूमती है।

कोण α की स्पर्शरेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है। या, समकक्ष रूप से, y-निर्देशांक का x-निर्देशांक से अनुपात।

संकेतन: पाप α = y; cosα = एक्स; टीजीα = वाई: एक्स।

ये सभी परिभाषाएँ आपको हाई स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम से परिचित हैं। हालाँकि, हम स्वयं परिभाषाओं में रुचि नहीं रखते हैं, बल्कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर उत्पन्न होने वाले परिणामों में रुचि रखते हैं। नज़र रखना:

नीला रंग ओए अक्ष (ऑर्डिनेट अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है, लाल रंग ओएक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है। इस "रडार" पर त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत स्पष्ट हो जाते हैं। विशेष रूप से:

1. sin α > 0 यदि कोण α I या II निर्देशांक तिमाही में स्थित है। इसका कारण यह है कि, परिभाषा के अनुसार, ज्या एक कोटि (y निर्देशांक) है। और y निर्देशांक I और II निर्देशांक तिमाहियों में ठीक-ठीक सकारात्मक होगा;
2. cos α > 0 यदि कोण α I या IV निर्देशांक तिमाही में स्थित है। क्योंकि केवल वहाँ x निर्देशांक (यह भी भुज है) शून्य से अधिक होगा;
3. tg α > 0 यदि कोण α I या III निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। यह परिभाषा से इस प्रकार है: आखिरकार, tg α = y: x, इसलिए यह केवल सकारात्मक है जहां x और y के संकेत मिलते हैं। यह पहली समन्वय तिमाही में होता है (यहां x> 0, y> 0) और तीसरा समन्वय तिमाही (x .)< 0, y < 0).

स्पष्टता के लिए, हम अलग-अलग "रडार" पर प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - के संकेतों को नोट करते हैं। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

नोट: मेरे तर्क में, मैंने चौथे त्रिकोणमितीय फलन के बारे में कभी बात नहीं की - कोटैंजेंट। तथ्य यह है कि स्पर्शरेखा के संकेत स्पर्शरेखा के संकेतों से मेल खाते हैं - वहां कोई विशेष नियम नहीं हैं।

अब मैं गणित में परीक्षण परीक्षा, जो 27 सितंबर, 2011 को हुई थी, से कार्यों B11 के समान उदाहरणों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं। आखिरकार, सिद्धांत को समझने का सबसे अच्छा तरीका अभ्यास है। अधिमानतः बहुत अभ्यास। बेशक, कार्यों की शर्तों को थोड़ा बदल दिया गया था।

एक कार्य। त्रिकोणमितीय कार्यों और अभिव्यक्तियों के संकेतों को निर्धारित करें (कार्यों के मूल्यों पर स्वयं विचार करने की आवश्यकता नहीं है):

1. पाप (3π/4);
2. कॉस (7π/6);
3. तन (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. कॉस (2π/3) टीजी (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. टैन (3π/4) cos (5π/3);
8. सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6)।

कार्य योजना इस प्रकार है: पहले, हम सभी कोणों को रेडियन माप से डिग्री माप (π → 180°) में परिवर्तित करते हैं, और फिर देखते हैं कि परिणामी संख्या किस निर्देशांक तिमाही में है। तिमाहियों को जानने के बाद, हम आसानी से संकेत पा सकते हैं - अभी वर्णित नियमों के अनुसार। हमारे पास है:

1. पाप (3π/4) = पाप (3 180°/4) = पाप 135°। 135° के बाद से, यह द्वितीय निर्देशांक चतुर्थांश से एक कोण है। लेकिन दूसरी तिमाही में साइन सकारात्मक है, इसलिए पाप (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°। इसलिये 210° , यह तृतीय निर्देशांक चतुर्थांश से एक कोण है जिसमें सभी कोज्या ऋणात्मक हैं। इसलिए, cos (7π/6)< 0;
3. टीजी (5π/3) = टीजी (5 180°/3) = टीजी 300°। चूंकि 300° , हम चतुर्थांश IV में हैं, जहां स्पर्शरेखा ऋणात्मक मान लेती है। इसलिए टीजी (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°। आइए साइन से निपटें: क्योंकि 135° , यह दूसरी तिमाही है, जिसमें ज्या धनात्मक होती है, अर्थात्। sin (3π/4) > 0. अब हम कोज्या के साथ काम करते हैं: 150° - फिर से दूसरी तिमाही, वहाँ कोसाइन ऋणात्मक हैं। इसलिए cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°। हम कोज्या को देखते हैं: 120° द्वितीय निर्देशांक तिमाही है, इसलिए cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. फिर से हमें एक उत्पाद मिला जिसमें विभिन्न संकेतों के कारक हैं। चूँकि "एक माइनस टाइम्स ए प्लस माइनस देता है", हमारे पास है: कॉस (2π/3) टीजी (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°। हम ज्या के साथ काम करते हैं: 150° के बाद से, हम द्वितीय समन्वय तिमाही के बारे में बात कर रहे हैं, जहां साइन सकारात्मक हैं। इसलिए, sin (5π/6) > 0. इसी तरह, 315° चतुर्थ निर्देशांक तिमाही है, वहां कोसाइन धनात्मक हैं। इसलिए, cos (7π/4) > 0. हमें दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होता है - ऐसा व्यंजक सदैव धनात्मक होता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°। लेकिन कोण 135° दूसरी तिमाही है, यानी। तन (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. चूंकि "एक माइनस प्लस एक माइनस साइन देता है", हमारे पास है: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6) = सीटीजी (4 180 डिग्री/3) टीजी (180 डिग्री/6) = सीटीजी 240 डिग्री टीजी 30 डिग्री। हम कोटैंजेंट तर्क को देखते हैं: 240° III निर्देशांक तिमाही है, इसलिए ctg (4π/3) > 0. इसी तरह, स्पर्शरेखा के लिए हमारे पास: 30° I निर्देशांक तिमाही है, अर्थात। सबसे आसान कोना। इसलिए, tg (π/6) > 0. फिर से, हमें दो धनात्मक व्यंजक मिले - उनका गुणनफल भी धनात्मक होगा। इसलिए सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6)> 0।

अंत में, आइए कुछ और जटिल समस्याओं को देखें। त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह का पता लगाने के अलावा, यहाँ आपको थोड़ी गणना करनी है - ठीक वैसे ही जैसे वास्तविक समस्याओं B11 में की जाती है। सिद्धांत रूप में, ये लगभग वास्तविक कार्य हैं जो वास्तव में गणित में परीक्षा में पाए जाते हैं।

एक कार्य। sin α खोजें यदि sin 2 α = 0.64 और α [π/2; ].

चूँकि sin 2 α = 0.64, हमारे पास है: sin α = ±0.8। यह तय करना बाकी है: प्लस या माइनस? धारणा से, कोण α [π/2; π] द्वितीय समन्वय तिमाही है, जहां सभी साइन सकारात्मक हैं। इसलिए, पाप α = 0.8 - संकेतों के साथ अनिश्चितता समाप्त हो जाती है।

एक कार्य। यदि cos 2 α = 0.04 और α [π; 3π/2]।

हम इसी तरह कार्य करते हैं, अर्थात्। हम वर्गमूल लेते हैं: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2। धारणा से, कोण α [π; 3π/2], यानी। हम III समन्वय तिमाही के बारे में बात कर रहे हैं। वहां, सभी कोज्या ऋणात्मक हैं, इसलिए cos α = −0.2 है।

एक कार्य। sin α ज्ञात कीजिये यदि sin 2 α = 0.25 और α ।

हमारे पास है: पाप 2 α = 0.25 ⇒ पाप α = ± 0.5। फिर से हम कोण को देखते हैं: α चतुर्थ समन्वय तिमाही है, जिसमें, जैसा कि आप जानते हैं, साइन नकारात्मक होगा। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं: sin α = -0.5।

एक कार्य। यदि tg 2 α = 9 और α हो तो tg α ज्ञात कीजिए।

सब कुछ समान है, केवल स्पर्शरेखा के लिए। हम वर्गमूल लेते हैं: tg 2 α = 9 tg α = ±3। लेकिन शर्त के अनुसार, कोण α मैं निर्देशांक चतुर्थांश है। सभी त्रिकोणमितीय कार्य, सहित। स्पर्शरेखा, सकारात्मक हैं, इसलिए tg α = 3. बस!