यह जुदा करने का समय है जड़ निकालने के तरीके. वे जड़ों के गुणों पर आधारित हैं, विशेष रूप से, समानता पर, जो किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या बी के लिए सही है।

नीचे हम बारी-बारी से जड़ों को निकालने की मुख्य विधियों पर विचार करेंगे।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - वर्गों की एक तालिका, क्यूब्स की एक तालिका, आदि का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं से जड़ें निकालना।

यदि वर्ग, घन आदि की सारणी हाथ में नहीं है, जड़ निकालने की विधि का उपयोग करना तर्कसंगत है, जिसमें मूल संख्या को सरल कारकों में विघटित करना शामिल है।

अलग-अलग, यह रहने लायक है, जो विषम घातांक वाली जड़ों के लिए संभव है।

अंत में, एक विधि पर विचार करें जो आपको रूट के मान के अंकों को क्रमिक रूप से खोजने की अनुमति देता है।

आएँ शुरू करें।

वर्गों की तालिका, घनों की तालिका आदि का उपयोग करना।

सरलतम मामलों में, वर्गों, घनों आदि की तालिकाएँ जड़ों को निकालने की अनुमति देती हैं। ये टेबल क्या हैं?

0 से 99 तक के पूर्णांकों के वर्गों की तालिका (नीचे दिखाया गया है) में दो क्षेत्र होते हैं। तालिका का पहला क्षेत्र ग्रे पृष्ठभूमि पर स्थित है; एक निश्चित पंक्ति और एक निश्चित कॉलम का चयन करके, यह आपको 0 से 99 तक की संख्या बनाने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, आइए 8 दहाई की एक पंक्ति और 3 इकाइयों के एक कॉलम का चयन करें, इसके साथ हमने संख्या 83 तय की। दूसरा ज़ोन शेष तालिका पर कब्जा करता है। इसकी प्रत्येक कोशिका एक निश्चित पंक्ति और एक निश्चित स्तंभ के चौराहे पर स्थित होती है, और इसमें 0 से 99 तक संबंधित संख्या का वर्ग होता है। हमारी चुनी हुई 8 दहाई की पंक्ति और एक के कॉलम 3 के चौराहे पर, संख्या 6889 वाली एक सेल है, जो संख्या 83 का वर्ग है।

घनों की सारणी, 0 से 99 तक की संख्याओं की चौथी घातों की सारणी आदि वर्ग सारणी के समान हैं, केवल उनमें घन, चतुर्थ घात आदि दूसरे क्षेत्र में हैं। संगत संख्याएँ।

वर्ग, घन, चतुर्थ घात आदि की सारणी। आपको वर्गमूल, घनमूल, चतुर्थ मूल आदि निकालने की अनुमति देता है। क्रमशः इन तालिकाओं की संख्याओं से। आइए हम जड़ों को निकालने में उनके आवेदन के सिद्धांत की व्याख्या करें।

मान लीजिए कि हमें संख्या a से nवीं डिग्री की जड़ निकालने की आवश्यकता है, जबकि संख्या a nth डिग्री की तालिका में निहित है। इस तालिका के अनुसार, हम संख्या b को इस प्रकार पाते हैं कि a=b n । फिर , इसलिए, संख्या b nth डिग्री का वांछित मूल होगा।

एक उदाहरण के रूप में, आइए दिखाते हैं कि क्यूब टेबल का उपयोग करके 19683 का क्यूब रूट कैसे निकाला जाता है। हम घनों की तालिका में संख्या 19, 683 पाते हैं, इससे हम पाते हैं कि यह संख्या संख्या 27 का घन है, इसलिए, .

यह स्पष्ट है कि जड़ें निकालते समय n-th डिग्री की तालिकाएँ बहुत सुविधाजनक होती हैं। हालांकि, वे अक्सर हाथ में नहीं होते हैं, और उनके संकलन के लिए एक निश्चित समय की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, अक्सर उन संख्याओं से जड़ें निकालना आवश्यक होता है जो संबंधित तालिकाओं में समाहित नहीं होती हैं। इन मामलों में, जड़ों को निकालने के अन्य तरीकों का सहारा लेना पड़ता है।

मूल संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन

एक प्राकृतिक संख्या से मूल निकालने का एक काफी सुविधाजनक तरीका है (यदि, निश्चित रूप से, जड़ निकाला जाता है) मूल संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करना है। उसका सार इस प्रकार है: वांछित संकेतक के साथ इसे डिग्री के रूप में प्रस्तुत करना काफी आसान है, जो आपको रूट का मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। आइए इस बिंदु की व्याख्या करते हैं।

मान लीजिए कि nवीं डिग्री का मूल एक प्राकृतिक संख्या a से निकाला जाता है, और इसका मान b के बराबर होता है। इस स्थिति में, समानता a=b n सत्य है। किसी भी प्राकृत संख्या के रूप में संख्या b को उसके सभी अभाज्य गुणनखंडों p 1 , p 2 , …, p m के गुणनफल के रूप में p 1 p 2 p m के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इस मामले में मूल संख्या a को (p 1 के रूप में दर्शाया गया है) पी 2 ... पी एम) एन। चूँकि संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन अद्वितीय है, मूल संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन ऐसा दिखाई देगा (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , जिससे मूल के मान की गणना करना संभव हो जाता है .

ध्यान दें कि यदि मूल संख्या a का गुणनखंडन (p 1 ·p 2 ·…·p m) n के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो ऐसी संख्या a से nवीं डिग्री का मूल पूरी तरह से निकाला नहीं जाता है।

आइए उदाहरणों को हल करते समय इससे निपटें।

उदाहरण।

144 का वर्गमूल लें।

फेसला।

यदि हम पिछले पैराग्राफ में दिए गए वर्गों की तालिका की ओर मुड़ें, तो यह स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि 144=12 2, जिससे यह स्पष्ट है कि 144 का वर्गमूल 12 है।

लेकिन इस बिंदु के आलोक में, हम इस बात में रुचि रखते हैं कि मूल संख्या 144 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके जड़ कैसे निकाली जाती है। आइए इस समाधान पर एक नजर डालते हैं।

आइए विघटित करें 144 से अभाज्य गुणनखंड:

अर्थात् 144=2 2 2 2 3 3 । परिणामी अपघटन के आधार पर, निम्नलिखित परिवर्तन किए जा सकते हैं: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. इसलिये, .

डिग्री के गुणों और जड़ों के गुणों का उपयोग करके, समाधान को थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है: .

जवाब:

सामग्री को समेकित करने के लिए, दो और उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

मूल मान की गणना करें।

फेसला।

मूल संख्या 243 का अभाज्य गुणनखंड 243=3 5 है। इस प्रकार, .

जवाब:

उदाहरण।

क्या जड़ का मान एक पूर्णांक है?

फेसला।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और देखें कि क्या इसे एक पूर्णांक के घन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हमारे पास 285 768=2 3 3 6 7 2 है। परिणामी अपघटन को पूर्णांक के घन के रूप में नहीं दर्शाया जाता है, क्योंकि अभाज्य गुणनखंड 7 की घात तीन का गुणज नहीं है। इसलिए, 285,768 का घनमूल पूरी तरह से नहीं लिया जाता है।

जवाब:

नहीं।

भिन्नात्मक संख्याओं से जड़ें निकालना

यह पता लगाने का समय है कि भिन्नात्मक संख्या से जड़ कैसे निकाली जाती है। मान लें कि भिन्नात्मक मूल संख्या p/q के रूप में लिखी जाती है। भागफल के मूल के गुण के अनुसार निम्नलिखित समानता सत्य है। इस समानता से यह निम्नानुसार है भिन्न मूल नियम: भिन्न का मूल अंश के मूल को हर के मूल से भाग देने वाले भागफल के बराबर होता है।

आइए भिन्न से मूल निकालने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्न 25/169 का वर्गमूल क्या है?

फेसला।

वर्गों की तालिका के अनुसार, हम पाते हैं कि मूल भिन्न के अंश का वर्गमूल 5 है, और हर का वर्गमूल 13 है। फिर . यह एक साधारण अंश 25/169 से जड़ की निकासी को पूरा करता है।

जवाब:

दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या का मूल मूल संख्याओं को साधारण भिन्नों से बदलने के बाद निकाला जाता है।

उदाहरण।

दशमलव 474.552 का घनमूल लें।

फेसला।

आइए मूल दशमलव को एक सामान्य भिन्न के रूप में प्रस्तुत करें: 474.552=474552/1000। फिर . यह घन जड़ों को निकालने के लिए बनी हुई है जो परिणामी अंश के अंश और हर में हैं। जैसा 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 और 1 000=10 3 , तो और . यह केवल गणनाओं को पूरा करने के लिए बनी हुई है .

जवाब:

.

ऋणात्मक संख्या का मूल निकालना

अलग-अलग, यह नकारात्मक संख्याओं से जड़ें निकालने पर ध्यान देने योग्य है। मूलों का अध्ययन करते समय हमने कहा था कि जब मूल का घातांक विषम संख्या हो, तो ऋणात्मक संख्या मूल के चिह्न के नीचे हो सकती है। हमने इस तरह के नोटेशन को निम्नलिखित अर्थ दिया है: एक ऋणात्मक संख्या −a और मूल 2 n−1 के एक विषम घातांक के लिए, हमारे पास है . यह समानता देता है ऋणात्मक संख्याओं से विषम मूल निकालने का नियम: ऋणात्मक संख्या का मूल निकालने के लिए, आपको विपरीत धनात्मक संख्या का मूल निकालना होगा, और परिणाम के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

मूल मान ज्ञात कीजिए।

फेसला।

आइए मूल व्यंजक को रूपांतरित करें ताकि मूल चिह्न के नीचे एक धनात्मक संख्या दिखाई दे: . अब हम मिश्रित संख्या को एक साधारण भिन्न से बदलते हैं: . हम एक साधारण भिन्न से मूल निकालने का नियम लागू करते हैं: . यह परिणामी अंश के अंश और हर में जड़ों की गणना करने के लिए बनी हुई है: .

यहाँ समाधान का सारांश दिया गया है: .

जवाब:

.

बिटवाइज़ रूट वैल्यू ढूँढना

सामान्य स्थिति में, मूल के नीचे एक संख्या होती है, जिसे ऊपर चर्चा की गई तकनीकों का उपयोग करके किसी भी संख्या की nth शक्ति के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। लेकिन साथ ही, किसी दिए गए मूल के मूल्य को जानने की जरूरत है, कम से कम एक निश्चित संकेत तक। इस मामले में, रूट निकालने के लिए, आप एक एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं जो आपको वांछित संख्या के अंकों के पर्याप्त संख्या में मान लगातार प्राप्त करने की अनुमति देता है।

इस एल्गोरिथम का पहला चरण यह पता लगाना है कि मूल मान का सबसे महत्वपूर्ण बिट क्या है। ऐसा करने के लिए, संख्या 0, 10, 100, ... को क्रमिक रूप से n तक बढ़ा दिया जाता है जब तक कि मूल संख्या से अधिक संख्या प्राप्त न हो जाए। फिर पिछले चरण में हमने जिस संख्या को n की घात तक बढ़ाया है, वह संबंधित उच्च क्रम को इंगित करेगी।

उदाहरण के लिए, पांच का वर्गमूल निकालते समय एल्गोरिथम के इस चरण पर विचार करें। हम संख्याएँ 0, 10, 100, ... लेते हैं और उन्हें तब तक वर्गाकार करते हैं जब तक हमें 5 से बड़ी कोई संख्या प्राप्त न हो जाए। हमारे पास 0 2 = 0 . है<5 , 10 2 =100>5, जिसका अर्थ है कि सबसे महत्वपूर्ण अंक इकाई अंक होगा। इस बिट का मान, साथ ही निचले वाले, रूट एक्सट्रैक्शन एल्गोरिथम के अगले चरणों में मिलेगा।

एल्गोरिथ्म के निम्नलिखित सभी चरणों का उद्देश्य रूट के मूल्य के क्रमिक शोधन के उद्देश्य से है क्योंकि रूट के वांछित मूल्य के अगले अंकों के मान पाए जाते हैं, उच्चतम से शुरू होकर निम्नतम तक चलते हैं . उदाहरण के लिए, पहले चरण में रूट का मान 2 है, दूसरे में - 2.2, तीसरे में - 2.23, और इसी तरह 2.236067977 ...। आइए वर्णन करें कि बिट्स के मूल्य कैसे पाए जाते हैं।

बिट्स का पता लगाना उनके संभावित मानों 0, 1, 2, ..., 9 की गणना द्वारा किया जाता है। इस मामले में, संबंधित संख्याओं की nth शक्तियों की गणना समानांतर में की जाती है, और उनकी तुलना मूल संख्या से की जाती है। यदि किसी स्तर पर डिग्री का मान मूलांक से अधिक हो जाता है, तो पिछले मान के अनुरूप अंक का मान पाया जाता है, और रूट निष्कर्षण एल्गोरिथ्म के अगले चरण में संक्रमण किया जाता है, यदि ऐसा नहीं होता है, तो इस अंक का मान 9 है।

आइए इन सभी बिंदुओं को पांच का वर्गमूल निकालने के समान उदाहरण का उपयोग करके समझाएं।

सबसे पहले, इकाइयों के अंक का मान ज्ञात कीजिए। हम 0, 1, 2, …, 9 के मानों पर पुनरावृति करेंगे, क्रमशः 0 2 , 1 2 , …, 9 2 की गणना करते हुए, जब तक कि हमें मूलांक 5 से अधिक मान नहीं मिल जाता। इन सभी गणनाओं को तालिका के रूप में आसानी से प्रस्तुत किया जाता है:

अतः इकाई अंक का मान 2 है (क्योंकि 2 2<5 , а 2 3 >5)। आइए दसवें स्थान का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं। इस मामले में, हम प्राप्त मूल्यों की तुलना मूल संख्या 5 से करते हुए, संख्या 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 का वर्ग करेंगे:

2.2 2 . के बाद से<5 , а 2,3 2 >5 है, तो दशम स्थान का मान 2 है। आप सौवें स्थान का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं:

तो पाँच के मूल का अगला मान मिलता है, यह 2.23 के बराबर होता है। और इसलिए आप आगे मूल्यों को खोजना जारी रख सकते हैं: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम माना एल्गोरिथम का उपयोग करके सौवें हिस्से की सटीकता के साथ जड़ के निष्कर्षण का विश्लेषण करेंगे।

सबसे पहले, हम वरिष्ठ अंक को परिभाषित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 0, 10, 100, आदि को घन करते हैं। जब तक हमें 2,151.186 से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। हमारे पास 0 3 = 0 . है<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, इसलिए सबसे महत्वपूर्ण अंक दहाई का अंक है।

आइए इसके मूल्य को परिभाषित करें।

10 3 . के बाद से<2 151,186 , а 20 3 >2,151.186 है, तो दहाई के अंक का मान 1 है। चलो इकाइयों पर चलते हैं।

अत: इकाई के स्थान का मान 2 है। चलो दस पर चलते हैं।

चूँकि 12.9 3 भी मूलांक 2 151.186 से कम है, दसवें स्थान का मान 9 है। यह एल्गोरिथम के अंतिम चरण को पूरा करना बाकी है, यह हमें आवश्यक सटीकता के साथ रूट का मान देगा।

इस अवस्था में जड़ का मान सौवें भाग तक पाया जाता है: .

इस लेख के अंत में मैं यह कहना चाहूंगा कि जड़ें निकालने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन अधिकांश कार्यों के लिए, जिनका हमने ऊपर अध्ययन किया है, वे पर्याप्त हैं।

ग्रंथ सूची।

• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थान।
• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

जड़ सूत्र। वर्गमूल के गुण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

पिछले पाठ में हमने जाना कि वर्गमूल क्या होता है। यह पता लगाने का समय है कि क्या हैं जड़ों के लिए सूत्र, क्या हैं मूल गुणऔर इसके बारे में क्या किया जा सकता है।

मूल सूत्र, मूल गुण, और मूल के साथ क्रियाओं के नियम- यह अनिवार्य रूप से वही बात है। वर्गमूलों के लिए आश्चर्यजनक रूप से कुछ सूत्र हैं। जो, ज़ाहिर है, प्रसन्न! इसके बजाय, आप सभी प्रकार के बहुत सारे सूत्र लिख सकते हैं, लेकिन जड़ों के साथ व्यावहारिक और आत्मविश्वास से काम करने के लिए केवल तीन ही पर्याप्त हैं। बाकी सब कुछ इन्हीं तीनों से प्रवाहित होता है। हालांकि कई लोग जड़ों के तीन सूत्रों में भटक जाते हैं, हां...

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साक्षरता का प्रतीक अनेक ज्ञानों में वर्णमाला का प्रथम स्थान है। अगला, वही "चिह्न" तत्व, जोड़-गुणा के कौशल हैं और, उनके निकट, लेकिन अर्थ में विपरीत, घटाव-विभाजन के अंकगणितीय संचालन। दूर के स्कूली बचपन में सीखे गए कौशल दिन-रात ईमानदारी से काम करते हैं: टीवी, अखबार, एसएमएस, और हर जगह हम पढ़ते हैं, लिखते हैं, गिनते हैं, जोड़ते हैं, घटाते हैं, गुणा करते हैं। और, मुझे बताओ, क्या आपको देश को छोड़कर अक्सर जीवन में जड़ें जमानी पड़ी हैं? उदाहरण के लिए, ऐसी मनोरंजक समस्या, जैसे, संख्या 12345 का वर्गमूल ... क्या पाउडर फ्लास्क में अभी भी बारूद है? क्या हम इसे कर सकते हैं? हाँ, कुछ भी आसान नहीं है! मेरा कैलकुलेटर कहाँ है ... और इसके बिना, हाथ से हाथ, कमजोर?

सबसे पहले, आइए स्पष्ट करें कि यह क्या है - किसी संख्या का वर्गमूल। सामान्यतया, "एक संख्या से जड़ निकालने के लिए" का अर्थ है एक शक्ति को बढ़ाने के विपरीत अंकगणितीय संचालन करना - यहां आपके पास जीवन के अनुप्रयोग में विरोधों की एकता है। मान लीजिए कि एक वर्ग अपने आप में एक संख्या का गुणन है, अर्थात, जैसा कि उन्होंने स्कूल में पढ़ाया था, X * X = A या किसी अन्य अंकन में X2 = A, और शब्दों में - "X वर्ग बराबर A"। फिर उलटा समस्या इस तरह लगती है: संख्या ए का वर्गमूल संख्या एक्स है, जो वर्ग होने पर ए के बराबर होता है।

वर्गमूल निकालना

अंकगणित के स्कूल पाठ्यक्रम से, "एक कॉलम में" गणना के तरीके ज्ञात हैं, जो पहले चार अंकगणितीय कार्यों का उपयोग करके किसी भी गणना को करने में मदद करते हैं। काश ... वर्ग के लिए, और न केवल वर्ग के लिए, ऐसे एल्गोरिदम की जड़ें मौजूद नहीं होती हैं। और इस मामले में, कैलकुलेटर के बिना वर्गमूल कैसे निकालें? वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर, केवल एक निष्कर्ष है - संख्याओं की क्रमिक गणना द्वारा परिणाम के मूल्य का चयन करना आवश्यक है, जिसका वर्ग मूल अभिव्यक्ति के मूल्य तक पहुंचता है। केवल और सब कुछ! एक या दो घंटे बीतने का समय नहीं होगा, क्योंकि आप किसी भी वर्गमूल को "कॉलम" में गुणा करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। यदि आपके पास कौशल है, तो इसके लिए कुछ मिनट पर्याप्त हैं। यहां तक ​​​​कि एक उन्नत कैलकुलेटर या पीसी उपयोगकर्ता भी इसे एक झटके में नहीं करता - प्रगति।

लेकिन गंभीरता से, वर्गमूल की गणना अक्सर "आर्टिलरी फोर्क" तकनीक का उपयोग करके की जाती है: सबसे पहले, वे एक संख्या लेते हैं जिसका वर्ग लगभग मूल अभिव्यक्ति से मेल खाता है। "हमारा वर्ग" इस अभिव्यक्ति से थोड़ा कम है तो बेहतर है। फिर वे अपने कौशल-समझ के अनुसार संख्या को सही करते हैं, उदाहरण के लिए, दो से गुणा करें, और ... इसे फिर से वर्ग करें। यदि परिणाम मूल संख्या से अधिक है, तो मूल संख्या को क्रमिक रूप से समायोजित करते हुए, धीरे-धीरे जड़ के नीचे अपने "सहयोगी" के पास पहुंचें। जैसा कि आप देख सकते हैं - कोई कैलकुलेटर नहीं, केवल "एक कॉलम में" गिनने की क्षमता। बेशक, वर्गमूल की गणना के लिए कई वैज्ञानिक रूप से तर्कपूर्ण और अनुकूलित एल्गोरिदम हैं, लेकिन "घरेलू उपयोग" के लिए उपरोक्त तकनीक परिणाम में 100% विश्वास देती है।

हां, मैं लगभग भूल गया था, हमारी बढ़ी हुई साक्षरता की पुष्टि करने के लिए, हम पहले बताई गई संख्या 12345 के वर्गमूल की गणना करते हैं। हम इसे चरण दर चरण करते हैं:

1. विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X=100 लें। आइए गणना करें: एक्स * एक्स = 10000। अंतर्ज्ञान शीर्ष पर है - परिणाम 12345 से कम है।

2. आइए कोशिश करें, विशुद्ध रूप से सहज रूप से, X = 120। फिर: X * X = 14400। और फिर, अंतर्ज्ञान के साथ, क्रम - परिणाम 12345 से अधिक है।

3. ऊपर, 100 और 120 का "कांटा" प्राप्त होता है। आइए नई संख्या चुनें - 110 और 115। हमें क्रमशः 12100 और 13225 मिलते हैं - कांटा संकरा होता है।

4. हम "शायद" X = 111 पर प्रयास करते हैं। हमें X * X = 12321 मिलता है। यह संख्या पहले से ही 12345 के काफी करीब है। आवश्यक सटीकता के अनुसार, प्राप्त परिणाम पर "फिटिंग" को जारी या रोका जा सकता है। बस इतना ही। जैसा कि वादा किया गया था - सब कुछ बहुत सरल और कैलकुलेटर के बिना है।

थोड़ा सा इतिहास...

यहां तक ​​​​कि पाइथागोरस, स्कूल के छात्र और पाइथागोरस के अनुयायी, वर्गमूल का उपयोग करने के बारे में सोचते थे, 800 ई.पू. और वहीं, संख्याओं के क्षेत्र में "नई खोजों" में भाग गया। और यह कहाँ से आया?

1. जड़ निकालने से समस्या का समाधान, एक नए वर्ग की संख्या के रूप में परिणाम देता है। उन्हें तर्कहीन कहा जाता था, दूसरे शब्दों में, "अनुचित", क्योंकि। उन्हें पूर्ण संख्या के रूप में नहीं लिखा जाता है। इस प्रकार का सबसे उत्कृष्ट उदाहरण 2 का वर्गमूल है। यह मामला 1 के बराबर एक वर्ग के विकर्ण की गणना से मेल खाता है - यहाँ यह है, पाइथागोरस स्कूल का प्रभाव। यह पता चला कि पक्षों के एक बहुत विशिष्ट इकाई आकार वाले त्रिभुज में, कर्ण का एक आकार होता है जिसे एक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है जिसका "कोई अंत नहीं है।" तो गणित में दिखाई दिया

2. यह ज्ञात है कि यह पता चला है कि इस गणितीय ऑपरेशन में एक और पकड़ शामिल है - जड़ निकालना, हम नहीं जानते कि किस संख्या का वर्ग, सकारात्मक या नकारात्मक, मूल अभिव्यक्ति है। यह अनिश्चितता, एक ऑपरेशन से दोहरा परिणाम, नीचे लिखा गया है।

इस घटना से जुड़ी समस्याओं का अध्ययन गणित में एक दिशा बन गया है जिसे जटिल चर का सिद्धांत कहा जाता है, जिसका गणितीय भौतिकी में बहुत व्यावहारिक महत्व है।

यह उत्सुक है कि रूट - रेडिकल - का पदनाम उनके "सार्वभौमिक अंकगणित" में उसी सर्वव्यापी I. न्यूटन द्वारा उपयोग किया गया था, और मूल रूप से रूट लिखने का आधुनिक रूप 1690 से फ्रेंचमैन रोल की पुस्तक "बीजगणित मैनुअल" से जाना जाता है। ".

एक वर्गाकार भूखंड का क्षेत्रफल 81 वर्गमीटर है। उसका पक्ष खोजें। मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई है एक्सडेसीमीटर तब भूखंड का क्षेत्रफल है एक्स² वर्ग डेसीमीटर। चूँकि, शर्त के अनुसार, यह क्षेत्रफल 81 dm² है, तो एक्स= 81. एक वर्ग की भुजा की लंबाई एक धनात्मक संख्या होती है। एक धनात्मक संख्या जिसका वर्ग 81 है, संख्या 9 है। समस्या को हल करते समय, संख्या x ज्ञात करना आवश्यक था, जिसका वर्ग 81 है, अर्थात समीकरण को हल करें एक्स= 81. इस समीकरण के दो मूल हैं: एक्स 1 = 9 और एक्स 2 \u003d - 9, 9² \u003d 81 और (- 9)² \u003d 81 के बाद से। दोनों संख्या 9 और - 9 को संख्या 81 का वर्गमूल कहा जाता है।

ध्यान दें कि वर्गमूलों में से एक एक्स= 9 एक धनात्मक संख्या है। इसे 81 का अंकगणितीय वर्गमूल कहा जाता है और इसे 81 से दर्शाया जाता है, इसलिए 81 = 9।

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए.

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 और 6, 36 का वर्गमूल हैं। संख्या 6, 36 का अंकगणितीय वर्गमूल है, क्योंकि 6 एक गैर-ऋणात्मक संख्या है और 6² = 36। संख्या -6 एक अंकगणितीय मूल नहीं है।

किसी संख्या का अंकगणित वर्गमूल एनिम्नानुसार दर्शाया गया है: ए।

चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है; एमूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। अभिव्यक्ति एपढ़ना इस तरह: किसी संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल ए।उदाहरण के लिए, 36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7। ऐसे मामलों में जहां यह स्पष्ट है कि हम एक अंकगणितीय मूल के बारे में बात कर रहे हैं, वे संक्षेप में कहते हैं: "का वर्गमूल ए«.

किसी संख्या का वर्गमूल निकालने की क्रिया को वर्गमूल निकालना कहते हैं। यह क्रिया चुकता का उल्टा है।

किसी भी संख्या का वर्ग किया जा सकता है, लेकिन प्रत्येक संख्या वर्गमूल नहीं हो सकती। उदाहरण के लिए, संख्या - 4 का वर्गमूल निकालना असंभव है। यदि ऐसा मूल मौजूद है, तो इसे अक्षर से निरूपित करते हुए एक्स, हमें गलत समानता x² \u003d - 4 मिलेगी, क्योंकि बाईं ओर एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, और दाईं ओर एक ऋणात्मक है।

अभिव्यक्ति एकेवल तभी समझ में आता है जब एक 0. वर्गमूल की परिभाषा को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: एक 0, (√ए)² = ए. समानता ए)² = एके लिए मान्य एक 0. इस प्रकार, यह सुनिश्चित करने के लिए कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एबराबरी बी, यानी, कि ए =बी, आपको यह जांचना होगा कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं: बी 0, बी² = ए।

भिन्न का वर्गमूल

आइए गणना करें। ध्यान दें कि 25 = 5, √36 = 6, और जाँच करें कि क्या समानता है।

जैसा और , तो समानता सत्य है। इसलिए, .

प्रमेय:यदि एक ए 0 और बी> 0, अर्थात् भिन्न का मूल हर के मूल से विभाजित अंश के मूल के बराबर होता है। यह साबित करना आवश्यक है कि: और .

चूंकि ए 0 और बी> 0, फिर।

भिन्न को घात तक बढ़ाने और वर्गमूल निर्धारित करने के गुण से प्रमेय सिद्ध होता है। आइए कुछ उदाहरण देखें।

सिद्ध प्रमेय के अनुसार गणना करें .

दूसरा उदाहरण: सिद्ध कीजिए कि , अगर ए ≤ 0, बी < 0. .

एक और उदाहरण: गणना करें।

.

वर्गमूल परिवर्तन

गुणक को जड़ के चिन्ह के नीचे से निकालना। एक अभिव्यक्ति दी जाए। यदि एक ए 0 और बी 0, तब गुणनफल के मूल पर प्रमेय द्वारा हम लिख सकते हैं:

इस तरह के परिवर्तन को मूल चिह्न का गुणनखंडन कहा जाता है। एक उदाहरण पर विचार करें;

पर गणना करें एक्स= 2. प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन एक्स= 2 मूल अभिव्यक्ति में जटिल गणनाओं की ओर जाता है। इन गणनाओं को सरल बनाया जा सकता है यदि हम पहले मूल चिह्न के नीचे के कारकों को हटा दें: . अब x = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इसलिए, जब मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालते हैं, तो मूलक व्यंजक को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें एक या अधिक गुणनखंड गैर-ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग होते हैं। फिर मूल उत्पाद प्रमेय लागू किया जाता है और प्रत्येक कारक की जड़ ली जाती है। एक उदाहरण पर विचार करें: पहले दो पदों में मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड निकालकर व्यंजक A = √8 + √18 - 4√2 को सरल कीजिए, हमें प्राप्त होता है: हम इस बात पर जोर देते हैं कि समानता तभी मान्य है जब ए 0 और बी 0. अगर ए < 0, то .

अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, हमें बड़ी संख्या में सामना करना पड़ता है जिससे हमें निकालने की आवश्यकता होती है वर्गमूल. कई छात्र तय करते हैं कि यह एक गलती है और पूरे उदाहरण को हल करना शुरू करते हैं। किसी भी हालत में ऐसा नहीं करना चाहिए! इसके लिए दो कारण हैं:

1. बड़ी संख्या की जड़ें समस्याओं में होती हैं। विशेष रूप से पाठ में;
2. एक एल्गोरिथ्म है जिसके द्वारा इन जड़ों को लगभग मौखिक रूप से माना जाता है।

हम आज इस एल्गोरिथम पर विचार करेंगे। शायद कुछ बातें आपको समझ से परे लगेंगी। लेकिन अगर आप इस पाठ पर ध्यान दें, तो आपको इसके खिलाफ सबसे शक्तिशाली हथियार मिल जाएगा वर्गमूल.

तो एल्गोरिथ्म:

1. वांछित रूट को ऊपर और नीचे 10 के गुणकों तक सीमित करें। इस प्रकार, हम खोज श्रेणी को 10 संख्याओं तक कम कर देंगे;
2. इन 10 संख्याओं में से उन संख्याओं को हटा दें जो निश्चित रूप से मूल नहीं हो सकतीं। नतीजतन, 1-2 नंबर रहेंगे;
3. इन 1-2 नंबरों को स्क्वायर करें। उनमें से जिसका वर्ग मूल संख्या के बराबर है, वह मूल होगा।

इस एल्गोरिथम को लागू करने से पहले व्यवहार में काम करता है, आइए प्रत्येक व्यक्तिगत चरण को देखें।

जड़ें बाधा

सबसे पहले हमें यह पता लगाना होगा कि हमारा मूल किन संख्याओं के बीच स्थित है। यह अत्यधिक वांछनीय है कि संख्याएँ दस की गुणज हों:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिलती है:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ये नंबर हमें क्या देते हैं? यह आसान है: हमें सीमाएं मिलती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 1296 लें। यह 900 और 1600 के बीच है। इसलिए, इसकी जड़ 30 से कम और 40 से अधिक नहीं हो सकती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ऐसा ही किसी अन्य संख्या के साथ है जिससे आप वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 3364:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इस प्रकार, एक समझ से बाहर की संख्या के बजाय, हमें एक बहुत विशिष्ट श्रेणी मिलती है जिसमें मूल मूल निहित होता है। खोज के दायरे को और कम करने के लिए, दूसरे चरण पर जाएँ।

स्पष्ट रूप से अनावश्यक संख्याओं का उन्मूलन

तो, हमारे पास 10 नंबर हैं - रूट के लिए उम्मीदवार। एक कॉलम में जटिल सोच और गुणा के बिना, हमने उन्हें बहुत जल्दी प्राप्त किया। आगे चलने का समय आ गया है।

मानो या न मानो, अब हम उम्मीदवारों की संख्या को घटाकर दो कर देंगे - और फिर बिना किसी जटिल गणना के! विशेष नियम को जान लेना ही पर्याप्त है। यह रहा:

वर्ग का अंतिम अंक केवल अंतिम अंक पर निर्भर करता है मूल संख्या.

दूसरे शब्दों में, वर्ग के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है - और हम तुरंत समझ जाएंगे कि मूल संख्या कहां समाप्त होती है।

केवल 10 अंक हैं जो अंतिम स्थान पर हो सकते हैं। आइए यह पता लगाने की कोशिश करें कि चुकता होने पर वे क्या बन जाते हैं। तालिका पर एक नज़र डालें:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

यह तालिका जड़ की गणना की दिशा में एक और कदम है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ पाँचों के सापेक्ष सममित निकलीं। उदाहरण के लिए:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दोनों मामलों में अंतिम अंक समान है। और इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, 3364 की जड़ अनिवार्य रूप से 2 या 8 में समाप्त होती है। दूसरी ओर, हम पिछले पैराग्राफ से प्रतिबंध को याद करते हैं। हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

लाल वर्ग दिखाते हैं कि हम अभी तक इस आंकड़े को नहीं जानते हैं। लेकिन आखिर मूल 50 और 60 के बीच होता है, जिस पर 2 और 8 में समाप्त होने वाली केवल दो संख्याएँ होती हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

बस इतना ही! सभी संभावित जड़ों में से, हमने केवल दो विकल्प छोड़े! और यह सबसे कठिन स्थिति में है, क्योंकि अंतिम अंक 5 या 0 हो सकता है। और फिर जड़ों के लिए एकमात्र उम्मीदवार होगा!

अंतिम गणना

तो, हमारे पास 2 उम्मीदवार संख्याएं शेष हैं। आप कैसे जानते हैं कि कौन सी जड़ है? उत्तर स्पष्ट है: दोनों संख्याओं का वर्ग करें। जो चुकता करेगा वह मूल संख्या देगा, और वह मूल होगा।

उदाहरण के लिए, संख्या 3364 के लिए, हमें दो उम्मीदवार संख्याएँ मिलीं: 52 और 58। आइए उनका वर्ग करें:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364।

बस इतना ही! यह पता चला कि जड़ 58 है! उसी समय, गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने योग और अंतर के वर्गों के सूत्र का उपयोग किया। इसके लिए धन्यवाद, आपको एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की भी आवश्यकता नहीं है! यह गणना के अनुकूलन का एक और स्तर है, लेकिन, निश्चित रूप से, यह पूरी तरह से वैकल्पिक है :)

रूट गणना उदाहरण

सिद्धांत अच्छा है, बिल्कुल। लेकिन आइए व्यवहार में इसका परीक्षण करें।

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

सबसे पहले, आइए जानें कि किन नंबरों के बीच 576 नंबर आता है:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

अब आखिरी नंबर पर नजर डालते हैं। यह 6 के बराबर है। यह कब होता है? केवल यदि मूल 4 या 6 में समाप्त होता है। हमें दो संख्याएँ प्राप्त होती हैं:

यह प्रत्येक संख्या का वर्ग करने और मूल के साथ तुलना करने के लिए बनी हुई है:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

बढ़िया! पहला वर्ग मूल संख्या के बराबर निकला। तो यह जड़ है।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

1369 → 9;
33; 37.

आइए इसे चौकोर करें:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369।

यहाँ उत्तर है: 37।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम संख्या सीमित करते हैं:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

2704 → 4;
52; 58.

आइए इसे चौकोर करें:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

हमें उत्तर मिला: 52. दूसरी संख्या को अब चुकता करने की आवश्यकता नहीं होगी।

काम। वर्गमूल की गणना करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम संख्या सीमित करते हैं:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

आइए अंतिम संख्या देखें:

4225 → 5;
65.

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरे चरण के बाद, केवल एक ही विकल्प रहता है: 65. यह वांछित जड़ है। लेकिन आइए अभी भी इसे वर्गाकार करें और जांचें:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

सब कुछ सही है। हम उत्तर लिखते हैं।

निष्कर्ष

काश, बेहतर नहीं। आइए कारणों पर एक नजर डालते हैं। उनमें से दो:

• किसी भी सामान्य गणित परीक्षा में कैलकुलेटर का उपयोग करना मना है, चाहे वह GIA हो या एकीकृत राज्य परीक्षा। और कक्षा में कैलकुलेटर ले जाने के लिए, उन्हें आसानी से परीक्षा से बाहर किया जा सकता है।
• बेवकूफ अमेरिकियों की तरह मत बनो। जो मूल की तरह नहीं हैं - वे दो अभाज्य संख्याएँ नहीं जोड़ सकते। और भिन्नों को देखते ही, वे आम तौर पर उन्मादी हो जाते हैं।