घनाभ एक प्रकार का बहुफलक है जिसमें 6 फलक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है। बदले में, एक विकर्ण एक खंड है, जो एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। इसकी लंबाई दो प्रकार से ज्ञात की जा सकती है।

आपको चाहिये होगा

• समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई जानना।

अनुदेश

1. विधि 1. भुजाओं a, b, c और एक विकर्ण d के साथ एक आयताकार समांतर चतुर्भुज दिया गया है। समांतर चतुर्भुज के गुणों में से एक के अनुसार, एक विकर्ण का वर्ग उसकी 3 भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यह इस प्रकार है कि विकर्ण की लंबाई की गणना किसी दिए गए योग से एक वर्ग निकालने के समर्थन से की जा सकती है (चित्र 1)।

2. विधि 2. यह संभव है कि घनाभ एक घन हो। घन एक आयताकार समांतर चतुर्भुज है जिसमें प्रत्येक फलक एक वर्ग द्वारा दर्शाया जाता है। अतः इसकी सभी भुजाएँ समान हैं। तब इसके विकर्ण की लंबाई की गणना का सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा: d = a*?3

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म का एक विशेष मामला है जिसमें सभी छह चेहरे समांतर चतुर्भुज या आयत होते हैं। आयताकार फलकों वाली एक समानांतर चतुर्भुज को आयताकार भी कहा जाता है। एक समानांतर चतुर्भुज में चार प्रतिच्छेदी विकर्ण होते हैं। तीन किनारों ए, बी, सी को देखते हुए, अतिरिक्त निर्माण करके घनाभ के सभी विकर्णों को खोजना संभव है।

अनुदेश

1. एक आयताकार बॉक्स बनाएं। संचालित डेटा लिखें: तीन किनारों ए, बी, सी। पहले एक विकर्ण m का निर्माण करें। इसे निर्धारित करने के लिए, हम एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज की गुणवत्ता का उपयोग करते हैं, जिसके अनुसार इसके सभी कोने सही हैं।

2. समांतर चतुर्भुज के किसी एक फलक के विकर्ण n की रचना कीजिए। निर्माण को पूरा करें ताकि प्रसिद्ध किनारे, समानांतर चतुर्भुज का वांछित विकर्ण और चेहरे का विकर्ण एक साथ एक समकोण त्रिभुज a, n, m बना सके।

3. निर्मित चेहरे के विकर्ण का पता लगाएं। यह एक अन्य समकोण त्रिभुज b, c, n का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, n² = c² + b²। इस व्यंजक की गणना करें और परिणामी मान का वर्गमूल लें - यह फलक n का विकर्ण होगा।

4. बॉक्स m का विकर्ण ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज a, n, m में, एक अपरिचित कर्ण ज्ञात कीजिए: m² = n² + a²। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें, फिर वर्गमूल की गणना करें। परिणामी परिणाम समानांतर चतुर्भुज मीटर का पहला विकर्ण होगा।

5. इसी प्रकार, समान्तर चतुर्भुज के अन्य सभी तीन विकर्णों को चरणों में खींचिए। साथ ही, उन सभी के लिए आसन्न फलकों के विकर्णों की अतिरिक्त रचनाएँ करें। गठित समकोण त्रिभुजों को ध्यान में रखते हुए और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हुए, आयताकार समांतर चतुर्भुज के शेष विकर्णों के मान ज्ञात कीजिए।

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कई वास्तविक वस्तुओं में एक समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है। उदाहरण कमरे और पूल हैं। इस आकार वाले हिस्से उद्योग में असामान्य नहीं हैं। इस कारण से, दी गई आकृति का आयतन ज्ञात करने में अक्सर समस्या उत्पन्न होती है।

अनुदेश

1. एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज है। एक समानांतर चतुर्भुज के चेहरे होते हैं - सभी विमान जो एक दी गई आकृति बनाते हैं। प्रत्येक के छह फलक हैं, और वे सभी समांतर चतुर्भुज हैं। इसके विपरीत फलक एक दूसरे के समान और समांतर होते हैं। इसके अलावा, इसमें विकर्ण होते हैं जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस पर आधे में विभाजित होते हैं।

2. समांतर चतुर्भुज 2 प्रकार का होता है। पहले के लिए, सभी फलक समांतर चतुर्भुज हैं, और दूसरे के लिए, सभी आयत हैं। अंतिम को एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है। इसके सभी आयताकार फलक हैं, और पार्श्व फलक आधार के लंबवत हैं। यदि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के फलक हैं जिनके आधार वर्ग हैं, तो इसे घन कहा जाता है। इस मामले में, इसके चेहरे और किनारे बराबर हैं। एक किनारा किसी भी पॉलीहेड्रॉन का एक पक्ष होता है, जिसमें एक समानांतर चतुर्भुज शामिल होता है।

3. समांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा। समस्या की स्थितियों में कौन सा विशेष समानांतर चतुर्भुज दिखाई देता है, इसके आधार पर मात्रा पाई जाती है। एक साधारण समानांतर चतुर्भुज के आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है, जबकि एक आयताकार में एक आयत या एक वर्ग होता है, जिसमें हमेशा समकोण होता है। यदि एक समांतर चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज के आधार पर स्थित है, तो इसका आयतन निम्न प्रकार से पाया जाता है: V \u003d S * H, जहाँ S आधार का क्षेत्रफल है, H समानांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है। समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई आमतौर पर इसका पार्श्व किनारा होता है। समानांतर चतुर्भुज के आधार में एक समांतर चतुर्भुज भी हो सकता है जो आयत नहीं है। प्लैनीमेट्री पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर होता है: S=a*h, जहाँ h समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है, a आधार की लंबाई है, अर्थात। :वी=ए*एचपी*एच

4. यदि दूसरा मामला होता है, जब समानांतर चतुर्भुज का आधार एक आयत है, तो आयतन की गणना उसी सूत्र का उपयोग करके की जाती है, लेकिन आधार का क्षेत्रफल थोड़ा अलग तरीके से पाया जाता है: V=S*H,S= a*b, जहाँ a और b क्रमशः भुजाएँ आयत और समानांतर चतुर्भुज हैं।V=a*b*H

5. घन का आयतन ज्ञात करने के लिए, किसी को आदिम तार्किक विधियों द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए। इस तथ्य से कि घन के सभी चेहरे और किनारे समान हैं, और घन के आधार पर एक वर्ग है, जो ऊपर बताए गए सूत्रों द्वारा निर्देशित है, निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करना संभव है: V \u003d a ^ 3

एक दूसरे के विपरीत स्थित समान लंबाई के समानांतर खंडों के दो जोड़े द्वारा बनाई गई एक बंद ज्यामितीय आकृति को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है। एक समांतर चतुर्भुज जिसके सभी कोण 90° के बराबर हों, आयत भी कहलाता है। इस आकृति में, विपरीत शीर्षों - विकर्णों को जोड़ने वाली समान लंबाई के दो खंडों को खींचने की अनुमति है। इन विकर्णों की लंबाई की गणना कई तरीकों से की जाती है।

अनुदेश

1. यदि 2 आसन्न भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो आयत(ए और बी), तो विकर्ण (सी) की लंबाई निर्धारित करने के लिए बहुत ही आदिम है। मान लो की विकर्णइससे बने त्रिभुज और इन दोनों भुजाओं में समकोण के विपरीत स्थित है। यह आपको गणना में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने और ज्ञात पक्षों की वर्ग लंबाई के योग के वर्गमूल का पता लगाकर विकर्ण की लंबाई की गणना करने की अनुमति देता है: C \u003d v (A? + B?)।

2. यदि केवल एक भुजा की लंबाई ज्ञात हो आयत(ए), साथ ही कोण का मान (?), जो इसके साथ बनता है विकर्ण, फिर इस विकर्ण (सी) की लंबाई की गणना करने के लिए आपको प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक का उपयोग करना होगा - कोसाइन। प्रसिद्ध कोण के कोसाइन द्वारा संचालित पक्ष की लंबाई को विभाजित करें - यह विकर्ण की वांछित लंबाई होगी: C \u003d A / cos (?)।

3. यदि एक आयत को उसके शीर्षों के निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है, तो उसके विकर्ण की लंबाई की गणना करने का कार्य इस निर्देशांक प्रणाली में दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने तक कम हो जाएगा। पाइथागोरस प्रमेय को एक त्रिभुज पर लागू करें, जो किसी भी निर्देशांक अक्ष पर विकर्ण का प्रक्षेपण बनाता है। यह संभव है कि द्वि-आयामी निर्देशांक में आयत A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) और D(X?;Y?) शीर्षों से बनता है। ) फिर आपको अंक ए और सी के बीच की दूरी की गणना करने की आवश्यकता है। एक्स अक्ष पर इस खंड के प्रक्षेपण की लंबाई समन्वय अंतर के मापांक के बराबर होगी |X?-X?|, और Y अक्ष पर प्रक्षेपण - |वाई?-वाई?|। कुल्हाड़ियों के बीच का कोण 90° है, जिससे यह पता चलता है कि ये दो अनुमान टांगें हैं, और विकर्ण (कर्ण) की लंबाई उनकी लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है: AC=v(( एक्स?-एक्स?)?+(वाई?- वाई?)?)।

4. विकर्ण खोजने के लिए आयतत्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में, पिछले चरण की तरह ही आगे बढ़ें, केवल तीसरे समन्वय अक्ष पर प्रक्षेपण की लंबाई को सूत्र में जोड़ते हुए: AC=v((X?-X?)?+(Y ?-Y?)?+(Z?-Z?)?)

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कई लोगों की याद में एक गणितीय चुटकुला बना रहा: पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं। गणना करने के लिए इसका इस्तेमाल करें विकर्ण आयत .

आपको चाहिये होगा

• जड़ों की गणना के कार्य के साथ कागज, शासक, पेंसिल, कैलकुलेटर की शीट।

अनुदेश

1. एक आयत एक चतुर्भुज है जिसमें सभी समकोण होते हैं। विकर्ण आयतएक रेखा खंड जो दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

2. एक रूलर और पेंसिल के साथ कागज की एक शीट पर, एक मनमाना आयत ABCD बनाएं। चौकोर नोटबुक शीट पर ऐसा करना अधिक अच्छा है - समकोण बनाना आसान होगा। शीर्षों के एक खंड के साथ जुड़ें आयतए और सी। परिणामी खंड एसी है विकर्णयू आयतऐ बी सी डी।

3. टिप्पणी, विकर्ण AC ने आयत ABCD को त्रिभुज ABC और ACD में विभाजित किया। परिणामी त्रिभुज ABC और ACD समकोण त्रिभुज हैं, क्योंकि कोण ABC और ADC 90 डिग्री हैं आयत) पाइथागोरस प्रमेय याद रखें - कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

4. कर्ण एक त्रिभुज की भुजा है जो समकोण के विपरीत है। पैर एक समकोण से सटे त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुजों ABC और ACD के संबंध में: AB और BC, AD और DC - पैर, AC - दोनों त्रिभुजों के लिए सार्वत्रिक कर्ण (वांछित) विकर्ण) इसलिए, एसी वर्ग = एबी वर्ग + बीसी वर्ग, या एसी वर्ग = एडी वर्ग + डीसी वर्ग। पक्षों की लंबाई में प्लग करें आयतउपरोक्त सूत्र में और कर्ण की लंबाई की गणना करें (विकर्ण) आयत).

5. आइए बताते हैं पक्ष आयत ABCD आगे के मानों के बराबर है: AB = 5 सेमी और BC = 7 सेमी। किसी दिए गए के विकर्ण AC का वर्ग आयतपाइथागोरस प्रमेय द्वारा गणना: एसी वर्ग \u003d एबी वर्ग + बीसी वर्ग \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 वर्ग सेमी। कैलकुलेटर का उपयोग करके, 74 के वर्गमूल की गणना करें। आपको 8.6 सेमी (गोलाकार) मिलना चाहिए। ध्यान रखें कि गुणों में से एक आयत, इसके विकर्ण बराबर हैं। तो दूसरे विकर्ण की लंबाई BD आयत ABCD विकर्ण AC की लंबाई के बराबर है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, यह मान 8.6 सेमी है।

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युक्ति 6: समांतर चतुर्भुज दिए गए भुजाओं का विकर्ण कैसे ज्ञात करें

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसके सम्मुख कोणों को जोड़ने वाली सीधी रेखाएँ विकर्ण कहलाती हैं। उनकी लंबाई न केवल आकृति के किनारों की लंबाई पर निर्भर करती है, बल्कि इस बहुभुज के कोणों पर भी निर्भर करती है, इसलिए, किसी एक कोण की सच्चाई को जाने बिना, केवल विकर्णों की लंबाई की गणना करना संभव है असाधारण मामलों में। ये समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं - एक वर्ग और एक आयत।

अनुदेश

1. यदि समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाओं की लंबाई समान (a) हो, तो इस आकृति को वर्ग भी कहा जा सकता है। इसके सभी कोणों का मान 90° के बराबर है, और विकर्णों (L) की लंबाई समान है और एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी गणना की जा सकती है। वर्ग की भुजा की लंबाई को दो के मूल से गुणा करें - परिणाम इसके किसी भी विकर्ण की लंबाई होगी: L=a*?2.

2. यदि समांतर चतुर्भुज के बारे में यह ज्ञात हो कि यह शर्तों में निर्दिष्ट लंबाई (ए) और चौड़ाई (बी) के साथ एक आयत है, तो इस मामले में विकर्णों (एल) की लंबाई बराबर होगी। और यहाँ भी, एक त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें जिसमें कर्ण विकर्ण है, और पैर चतुर्भुज के दो आसन्न पक्ष हैं। आयत की वर्ग चौड़ाई और ऊँचाई के योग का मूल निकालकर वांछित मान की गणना करें: L=?(a?+b?)।

3. अन्य सभी मामलों के लिए, अकेले पक्षों की लंबाई का कौशल केवल उस मूल्य को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है जिसमें एक ही बार में दोनों विकर्णों की लंबाई शामिल है - उनके वर्गों का योग, परिभाषा के अनुसार, वर्गों के योग के दोगुने के बराबर है पक्षों की लंबाई। यदि, समांतर चतुर्भुज (ए और बी) के 2 आसन्न पक्षों की लंबाई के अलावा, उनके बीच का कोण (?) भी ज्ञात है, तो यह हमें आकृति के विपरीत कोनों को जोड़ने वाले किसी भी खंड की लंबाई की गणना करने की अनुमति देगा। . कोसाइन प्रमेय का उपयोग करते हुए, अग्रणी कोण के विपरीत स्थित विकर्ण (L?) की लंबाई ज्ञात करें - आसन्न पक्षों की लंबाई के वर्गों को जोड़ें, उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा समान लंबाई के उत्पाद को घटाएं। , और परिणामी मान से वर्गमूल निकालें: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). एक और विकर्ण (L?) की लंबाई ज्ञात करने के लिए, आप इस चरण की शुरुआत में दिए गए समांतर चतुर्भुज गुण का उपयोग कर सकते हैं - 2 भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग को दोगुना करें, कुल में से परिकलित विकर्ण की तुलना में संकरा वर्ग घटाएं , और परिणामी मान से रूट निकालें। सामान्य रूप में, इस सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: L? = ?(a?+b?- L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज (पीपी) एक प्रिज्म से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसका आधार एक आयत है। पीपी में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि इसके किसी भी विकर्ण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

• ए, पीपी के आधार की ओर;

  उसकी ऊंचाई के साथ।

कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली पर विचार करते हुए एक और परिभाषा दी जा सकती है:

पीपी विकर्ण, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में x, y और z निर्देशांक द्वारा दिए गए अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का त्रिज्या वेक्टर है। यह त्रिज्या वेक्टर मूल बिंदु से खींचा जाता है। और बिंदु के निर्देशांक निर्देशांक अक्षों पर त्रिज्या वेक्टर (विकर्ण पीपी) के अनुमान होंगे। अनुमान दिए गए समानांतर चतुर्भुज के शीर्षों के साथ मेल खाते हैं।



घनाभ एक प्रकार का बहुफलक होता है जिसमें 6 फलक होते हैं, जिसके आधार पर एक आयत होती है। एक विकर्ण एक रेखा खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

एक विकर्ण की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र यह है कि विकर्ण का वर्ग समांतर चतुर्भुज के तीनों आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।



मुझे इंटरनेट पर एक अच्छी योजना-तालिका मिली, जिसमें समांतर चतुर्भुज में मौजूद हर चीज की पूरी सूची थी। विकर्ण ज्ञात करने का एक सूत्र है जिसे d से दर्शाया जाता है।

बॉक्स के लिए एक चेहरे, एक शीर्ष और अन्य महत्वपूर्ण चीजों की एक छवि है।



यदि घनाभ की लंबाई, ऊँचाई और चौड़ाई (a,b,c) ज्ञात हो, तो विकर्ण की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:



आमतौर पर शिक्षक अपने छात्रों को नग्न सूत्र, लेकिन प्रयास करें ताकि वे प्रमुख प्रश्न पूछकर इसे स्वतंत्र रूप से प्राप्त कर सकें:

• हमें क्या जानने की जरूरत है, हमारे पास कौन सा डेटा है?
• एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय यहाँ लागू होता है? कैसे?
• क्या पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने के लिए पर्याप्त डेटा है, या क्या हमें कुछ और गणनाओं की आवश्यकता है?

आमतौर पर, पूछे गए प्रश्नों के उत्तर देने के बाद, छात्र इस फॉर्मूले को अपने आप आसानी से प्राप्त कर लेते हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं। साथ ही इसके विपरीत फलकों के विकर्ण भी। एक शीर्ष से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई जानकर विकर्ण की लंबाई की गणना की जा सकती है। यह लंबाई इसकी पसलियों की लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।



घनाभ तथाकथित पॉलीहेड्रा में से एक है, जिसमें 6 चेहरे होते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है। एक विकर्ण एक रेखा खंड है जो समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। यदि एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को क्रमशः a, b, c के रूप में लिया जाता है, तो इसके विकर्ण (D) का सूत्र इस तरह दिखेगा: D^2=a^2+b^2+c^2 .



घनाभ का विकर्णइसके विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला एक रेखाखंड है। तो हमारे पास घनाभविकर्ण d और भुजाओं a, b, c के साथ। एक समानांतर चतुर्भुज के गुणों में से एक यह है कि एक वर्ग विकर्ण लंबाई d इसके तीन आयामों a, b, c के वर्गों के योग के बराबर है। इसलिए निष्कर्ष है कि विकर्ण लंबाईनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके आसानी से गणना की जा सकती है:



भी:

समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें?

• विकर्ण वर्ग, एक वर्ग घनाभ (एक वर्ग घनाभ के गुण देखें) इसकी तीन अलग-अलग भुजाओं (चौड़ाई, ऊंचाई, मोटाई) के वर्गों के योग के बराबर होता है, और, तदनुसार, एक वर्ग घनाभ का विकर्ण इसके मूल के बराबर होता है यह राशि।

  मुझे ज्यामिति में स्कूली पाठ्यक्रम याद है, आप यह कह सकते हैं: एक समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसके तीन पक्षों के योग से प्राप्त वर्गमूल के बराबर होता है (उन्हें छोटे अक्षरों ए, बी, सी द्वारा दर्शाया जाता है)।

  एक आयताकार प्रिज्म के विकर्ण की लंबाई उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

  जहाँ तक मैं स्कूल के पाठ्यक्रम से जानता हूँ, कक्षा 9, अगर मुझसे गलती नहीं हुई है, और अगर स्मृति काम करती है, तो एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसके तीनों पक्षों के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है।

  विकर्ण का वर्ग चौड़ाई, ऊंचाई और लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है, इस सूत्र के आधार पर हमें उत्तर मिलता है, विकर्ण इसके तीन अलग-अलग आयामों के योग के वर्गमूल के बराबर होता है, जिसे वे किसके द्वारा निरूपित करते हैं अक्षर nсz abc

हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह सीखना उपयोगी होगा कि एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के आयतन और अन्य अज्ञात मापदंडों को खोजने के लिए USE की समस्याओं को कैसे हल किया जाए। पिछले वर्षों का अनुभव इस तथ्य की पुष्टि करता है कि कई स्नातकों के लिए ऐसे कार्य काफी कठिन हैं।

उसी समय, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण वाले हाई स्कूल के छात्रों को यह समझना चाहिए कि आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन या क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। केवल इस मामले में वे गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों के आधार पर प्रतिस्पर्धी अंक प्राप्त करने पर भरोसा कर सकेंगे।

याद रखने के लिए मुख्य बिंदु

• समांतर चतुर्भुज जो समानांतर चतुर्भुज बनाते हैं, इसके चेहरे हैं, उनके किनारे किनारे हैं। इन आकृतियों के शीर्षों को ही बहुफलक का शीर्ष माना जाता है।
• एक घनाभ के सभी विकर्ण बराबर होते हैं। चूँकि यह एक सीधा बहुफलक है, इसके पार्श्व फलक आयत हैं।
• चूँकि एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है, इस आकृति में प्रिज्म के सभी गुण होते हैं।
• एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के किनारे के किनारे आधार के लंबवत होते हैं। इसलिए, वे इसकी ऊंचाई हैं।

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अनुदेश

विधि 2 मान लें कि घनाभ एक घन है। एक घन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज होता है जिसका प्रत्येक फलक एक वर्ग द्वारा निरूपित किया जाता है। अतः इसकी सभी भुजाएँ समान हैं। फिर, इसके विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा:

स्रोत:

• आयत विकर्ण सूत्र

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म का एक विशेष मामला है जिसमें सभी छह चेहरे समांतर चतुर्भुज या आयत होते हैं। आयताकार फलकों वाली एक समानांतर चतुर्भुज को आयताकार भी कहा जाता है। एक समानांतर चतुर्भुज में चार प्रतिच्छेदी विकर्ण होते हैं। यदि तीन किनारों a, b, c दिए गए हैं, तो आप अतिरिक्त निर्माण करके एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण पा सकते हैं।

अनुदेश

समांतर चतुर्भुज m का विकर्ण ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, a, n, m में, अज्ञात कर्ण ज्ञात कीजिए: m² = n² + a²। ज्ञात मानों में प्लग करें, फिर वर्गमूल की गणना करें। प्राप्त परिणाम समांतर चतुर्भुज m का पहला विकर्ण होगा।

इसी तरह, समानांतर चतुर्भुज के अन्य सभी तीन विकर्णों को क्रमिक रूप से खींचिए। साथ ही, उनमें से प्रत्येक के लिए, आसन्न चेहरों के विकर्णों का अतिरिक्त निर्माण करें। गठित समकोण त्रिभुजों को ध्यान में रखते हुए और पाइथागोरस प्रमेय को लागू करते हुए, शेष विकर्णों के मान ज्ञात कीजिए।

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स्रोत:

• एक समानांतर चतुर्भुज ढूँढना

कर्ण समकोण के विपरीत पक्ष है। पैर एक समकोण से सटे त्रिभुज की भुजाएँ हैं। त्रिभुज एबीसी और एसीडी के संबंध में: एबी और बीसी, एडी और डीसी-, एसी दोनों त्रिभुजों के लिए सामान्य कर्ण है (इच्छित विकर्ण) इसलिए, AC = AB वर्ग + BC वर्ग, या AC B = AD वर्ग + DC वर्ग। पक्षों की लंबाई में प्लग करें आयतउपरोक्त सूत्र में और कर्ण की लंबाई की गणना करें (विकर्ण) आयत).

उदाहरण के लिए, पक्ष आयत ABCD निम्नलिखित मानों के बराबर है: AB = 5 सेमी और BC = 7 सेमी। किसी दिए गए के विकर्ण AC का वर्ग आयतपाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: एसी वर्ग \u003d एबी वर्ग + बीसी वर्ग \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 वर्ग सेमी। 74 के वर्गमूल की गणना के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। आपको 8.6 सेमी (गोलाकार) के साथ समाप्त होना चाहिए। ध्यान रखें कि गुणों में से एक आयत, इसके विकर्ण बराबर हैं। तो दूसरे विकर्ण की लंबाई BD आयत ABCD विकर्ण AC की लंबाई के बराबर है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, यह मान

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। साथ में भौतिक बिंदुआँख को, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: गणित में यह कैसे दर्शाया जाता है कि जो एक संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।