असतत यादृच्छिक चर का फैलाव (बिखरना) D(X) किसी यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा से उसकी गणितीय अपेक्षा है
1 संपत्ति. अचर C का परिक्षेपण शून्य है; डी (सी) = 0।
प्रमाण।प्रसरण की परिभाषा के अनुसार, D(C) = M( 2)।
उम्मीद की पहली संपत्ति से डी (सी) = एम [(सी - सी) 2] = एम (0) = 0।
2 संपत्ति।अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:
डी (सीएक्स) = सी 2 डी (एक्स)
प्रमाण।प्रसरण की परिभाषा के अनुसार, D(CX) = M( 2 )
दूसरी अपेक्षा संपत्ति से D(CX)=M( 2 )= C 2 M( 2 )=C 2 D(X)
3 संपत्ति।दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण इन चरों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है:
डी = डी [एक्स] + डी।
प्रमाण।प्रसरण की गणना के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है
डी (एक्स + वाई) = एम [(एक्स + वाई) 2] - 2
कोष्ठकों को खोलना और कई मात्राओं के योग और दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
डी (एक्स + वाई) = एम - 2 = एम (एक्स 2) + 2 एम (एक्स) एम (वाई) + एम (वाई 2) - एम 2 (एक्स) - 2 एम (एक्स) एम (वाई) - एम 2 (वाई) = ( एम (एक्स 2) - 2) + (एम (वाई 2) - 2) = डी (एक्स) + डी (वाई)। तो डी (एक्स + वाई) = डी (एक्स) + डी (वाई)
4 संपत्ति. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के अंतर का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है:
डी (एक्स - वाई) = डी (एक्स) + डी (वाई)
प्रमाण।तीसरी संपत्ति के आधार पर, डी (एक्स - वाई) = डी (एक्स) + डी (-वाई)। दूसरी संपत्ति द्वारा
डी (एक्स - वाई) = डी (एक्स) + (-1) 2 डी (वाई) या डी (एक्स - वाई) = डी (एक्स) + डी (वाई)
यादृच्छिक चर के सिस्टम की संख्यात्मक विशेषताएं। सहसंबंध गुणांक, सहसंबंध गुणांक के गुण।
सहसंबंध क्षण।यादृच्छिक चर के बीच निर्भरता की विशेषता विचलन के उत्पाद और उनके वितरण केंद्रों से गणितीय अपेक्षा है (जैसा कि एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा को कभी-कभी कहा जाता है), जिसे सहसंबंध क्षण या सहप्रसरण कहा जाता है:
असतत मानों के सहसंबंध क्षण की गणना करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:
और निरंतर मात्रा के लिए - सूत्र:
सहसंबंध गुणांकयादृच्छिक चर X और Y का rxy, मानों के मानक विचलन के गुणनफल से सहसंबंध आघूर्ण का अनुपात है:
- सहसंबंध गुणांक;
सहसंबंध गुणांक गुण:
1. यदि X और Y स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, तो r = 0;
2. -1≤ r ≤1 इसके अलावा, अगर |r| = 1, तो एक्स और वाई के बीच एक कार्यात्मक, अर्थात् एक रैखिक संबंध है;
3. आर एम (एक्स) एम (वाई) से एम (एक्सवाई) के विचलन के सापेक्ष मूल्य को दर्शाता है, और चूंकि विचलन केवल आश्रित मात्राओं के लिए होता है, फिर r निर्भरता की जकड़न को दर्शाता है।
रैखिक प्रतिगमन समारोह।
एक द्वि-आयामी यादृच्छिक चर (X, Y) पर विचार करें, जहाँ X और Y आश्रित यादृच्छिक चर हैं। हम एक मात्रा को दूसरे के फलन के रूप में निरूपित करते हैं। हम खुद को एक्स के रैखिक कार्य के रूप में वाई के अनुमानित प्रतिनिधित्व (सटीक अनुमान, आम तौर पर बोलना असंभव है) तक सीमित रखते हैं:
जहां α और β निर्धारित किए जाने वाले पैरामीटर हैं।
प्रमेय। रैखिक माध्य वर्ग प्रतिगमन X पर Y का रूप है
कहाँ पेएम एक्स = एम (एक्स), एम वाई = एम (वाई), σ एक्स = √ डी (एक्स), σ वाई = √ डी (वाई), आर = μ xy / (σ एक्स σ वाई) - X और Y मानों का सहसंबंध गुणांक।
गुणांक β=rσ y /σ x कहा जाता है प्रतिगमन गुणांक Y से X, और एक सीधी रेखा
सीधा कहा जाता है माध्य वर्ग प्रतिगमन
वाई से एक्स.
मार्कोव की असमानता।
मार्कोव की असमानता का कथन
यदि यादृच्छिक चर X के कोई ऋणात्मक मान नहीं हैं, तो यह प्रायिकता कि यह कुछ मान लेगा जो धनात्मक संख्या A से अधिक है, एक भिन्न से अधिक नहीं है, अर्थात।
और संभावना है कि यह एक सकारात्मक संख्या ए से अधिक नहीं कुछ मान लेगा, से कम नहीं है, यानी।
चेबीशेव की असमानता।
चेबीशेव की असमानता. प्रायिकता कि यादृच्छिक चर X का निरपेक्ष मान में गणितीय अपेक्षा से विचलन एक धनात्मक संख्या से कम है, 1 −D[X]ε 2 से कम नहीं है
पी(|एक्स - एम(एक्स)|< ε) ≥ 1 –D(X)ε 2
प्रमाण।चूंकि घटनाओं में असमानताओं की प्राप्ति शामिल है
पी(|एक्स−एम(एक्स)|< ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.
पी(|एक्स - एम(एक्स)|< ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.
इसलिए संभावना है कि हम में रुचि रखते हैं
पी(|एक्स - एम(एक्स)|< ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).
इस प्रकार, प्रायिकता P(|X -M(X)| ) की गणना करने के लिए समस्या कम हो जाती है।
आइए यादृच्छिक चर X . के प्रसरण के लिए एक व्यंजक लिखें
डी(एक्स) = 2p1 + 2p2 + । . . + 2पीएन
इस राशि की सभी शर्तें गैर-ऋणात्मक हैं। हम उन पदों को त्याग देते हैं जिनके लिए |x i – M(X)|< ε (для оставшихся слагаемых |x j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,
डी (एक्स) ≥ 2 पी के + 1 + 2 पी के + 2 +। . . + 2पीएन
असमानता के दोनों भाग |x j -M(X)| (j = k+1, k+2, . .., n) धनात्मक हैं, इसलिए, उन्हें वर्ग करने पर, हम समतुल्य असमानता प्राप्त करते हैं |x j - M(X)| 2 2 प्रत्येक गुणनखंड को शेष योग में बदलना
|एक्सजे - एम (एक्स) | 2 संख्या 2 से (इस मामले में, असमानता केवल बढ़ सकती है), हम प्राप्त करते हैं
डी (एक्स) ε 2 (पी के + 1 + पी के + 2 + ... + पी एन)
योग प्रमेय द्वारा, प्रायिकताओं का योग p k+1 +p k+2 + है। . .+p n यह प्रायिकता है कि X, x k+1 +x k+2 + के मानों में से कोई भी एक ले लेगा, चाहे जो भी हो। . .+x n , और उनमें से किसी के लिए विचलन असमानता को संतुष्ट करता है |x j - M(X)| . यह इस प्रकार है कि योग p k+1 + p k+2 + । . . + पी एन संभावना व्यक्त करता है
पी (| एक्स - एम (एक्स) | )।
यह हमें डी (एक्स) के लिए असमानता को फिर से लिखने की अनुमति देता है:
डी (एक्स) 2 पी (| एक्स - एम (एक्स) | )
पी(|एक्स-एम(एक्स)|≥ ) डी(एक्स)/ε 2
अंत में हमें मिलता है
पी(|एक्स - एम(एक्स)|< ε) ≥D(X)/ε 2
चेबीशेव का प्रमेय।
चेबीशेव का प्रमेय. यदि एक - जोड़ीदार स्वतंत्र यादृच्छिक चर, और उनके प्रसरण समान रूप से सीमित हैं (एक स्थिर संख्या से अधिक न होंसाथ में ), तो सकारात्मक संख्या कितनी भी छोटी क्यों न होε , असमानता की संभावना
यादृच्छिक चर की संख्या काफी बड़ी होने पर मनमाने ढंग से एकता के करीब होगी।
दूसरे शब्दों में, प्रमेय की शर्तों के तहत
प्रमाण. आइए हम एक नए यादृच्छिक चर पर विचार करें - यादृच्छिक चर का अंकगणितीय माध्य
आइए हम गणितीय अपेक्षा X का पता लगाएं। गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करना (गणितीय अपेक्षा के संकेत से एक स्थिर कारक निकाला जा सकता है, योग की गणितीय अपेक्षा शर्तों की गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर है) , हमने प्राप्त किया
| (1) |
चेबीशेव असमानता को एक्स पर लागू करने पर, हमारे पास है
या, संबंध को ध्यान में रखते हुए (1)
प्रसरण के गुणों का उपयोग करते हुए (स्थिर गुणनखंड को विचरण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है; स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है), हम प्राप्त करते हैं
शर्त के अनुसार, सभी यादृच्छिक चर के फैलाव एक स्थिर संख्या C द्वारा सीमित होते हैं, अर्थात। असमानताएं हैं:
 (2)
|
(2) के दाहिने हिस्से को असमानता (1) में बदलना (क्यों बाद वाले को केवल मजबूत किया जा सकता है), हमारे पास है
इसलिए, n→∞ के रूप में सीमा तक जाने पर, हम प्राप्त करते हैं
अंत में, यह देखते हुए कि संभावना एक से अधिक नहीं हो सकती है, हम अंत में लिख सकते हैं
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
बर्नौली का प्रमेय।
बर्नौली की प्रमेय. यदि प्रत्येक n स्वतंत्र परीक्षणों में घटना A के घटित होने की प्रायिकता p स्थिर है, तो प्रायिकता मनमाने ढंग से एकता के करीब है कि निरपेक्ष मान में प्रायिकता p से सापेक्ष आवृत्ति का विचलन मनमाने ढंग से छोटा होगा यदि परीक्षणों की संख्या काफी बड़ा है।
दूसरे शब्दों में, यदि एक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या है, तो प्रमेय की शर्तों के तहत हमारे पास समानता है
प्रमाण. द्वारा निरूपित करें x1असतत यादृच्छिक चर - पहले परीक्षण में घटना की घटनाओं की संख्या, के माध्यम से x2- क्षण में, ..., एक्स एन- में एनवें परीक्षण। यह स्पष्ट है कि प्रत्येक मात्रा केवल दो मान ले सकती है: 1 (घटना ए हुई है) संभावना के साथ पीऔर 0 (घटना नहीं हुई) प्रायिकता के साथ।
विषय 8.12. एक यादृच्छिक चर का फैलाव।
ओएक यादृच्छिक चर का विचरण एक यादृच्छिक चर के वर्ग विचलन की गणितीय अपेक्षा से इसकी गणितीय अपेक्षा है।
फैलाव इसकी गणितीय अपेक्षा के सापेक्ष एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के फैलाव की डिग्री की विशेषता है। यदि एक यादृच्छिक चर के सभी मान उसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास केंद्रित हैं और गणितीय अपेक्षा से बड़े विचलन की संभावना नहीं है, तो ऐसे यादृच्छिक चर का एक छोटा फैलाव होता है। यदि एक यादृच्छिक चर के मान बिखरे हुए हैं और गणितीय अपेक्षा से बड़े विचलन की उच्च संभावना है, तो ऐसे यादृच्छिक चर का एक बड़ा फैलाव होता है।
विचरण की परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक असतत यादृच्छिक चर के लिए, विचरण की गणना के लिए सूत्र को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:
आप भिन्नता की गणना के लिए एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:
इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर का प्रसरण यादृच्छिक चर के वर्ग की गणितीय अपेक्षा और उसकी गणितीय अपेक्षा के वर्ग के बीच के अंतर के बराबर होता है।
फैलाव गुण।
हम इस संपत्ति को बिना सबूत के छोड़ देते हैं।
द्विपद वितरण कानून।
नंबर दिए जाने दें n संबंधित है एनऔर पी(0 <पी< एक)। फिर अंतराल से प्रत्येक पूर्णांक को बर्नौली सूत्र का उपयोग करके परिकलित एक प्रायिकता दी जा सकती है। आइए एक यादृच्छिक चर के वितरण का नियम प्राप्त करें (चलिए इसे B(betta) कहते हैं)
हम कहेंगे कि बर्नौली नियम के अनुसार यादृच्छिक चर वितरित किया जाता है। ऐसा यादृच्छिक चर घटना A के घटित होने की आवृत्ति है एनबार-बार स्वतंत्र परीक्षण, यदि प्रत्येक परीक्षण घटना में ए संभावना के साथ होता है पी.
एक अलग पर विचार करें मैं- ई परीक्षण। इसके लिए प्राथमिक परिणामों के स्थान का रूप है
पिछले विषय में यादृच्छिक चर के वितरण के नियम पर विचार किया गया था
के लिए मैं= 1,2, ... , एनहमें सिस्टम मिलता है एनसमान वितरण नियमों वाले स्वतंत्र यादृच्छिक चर। 
उदाहरण।
नियंत्रण के लिए चुने गए 20 उत्पाद नमूनों में से 4 गैर-मानक निकले। आइए हम इस संभावना का अनुमान लगाएं कि उत्पाद की यादृच्छिक रूप से चुनी गई प्रति अनुपात द्वारा मानक को पूरा नहीं करती है आर *= 4/20 = 0,2.
जैसा एक्सयादृच्छिक मूल्य, आर *एक यादृच्छिक चर भी है। मूल्यों आर *एक प्रयोग से दूसरे प्रयोग में भिन्न हो सकता है (विचाराधीन मामले में, प्रयोग 20 उत्पादों का एक यादृच्छिक चयन और नियंत्रण है)। गणितीय अपेक्षा क्या है आर *? जहां तक कि एक्ससफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला एक यादृच्छिक चर है एनबर्नौली परीक्षण, एम( एक्स) = एनपी. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए आर* परिभाषा के अनुसार हमें मिलता है: एम(पी*) = एम (एक्स / एन), लेकिन एनयहाँ एक स्थिरांक है, इसलिए अपेक्षित संपत्ति से
एम(पी*) = 1/एन*एम(एक्स)=1/एन एनपी=पी
इस प्रकार, "औसत" सही मूल्य है आर, जो अपेक्षित है। यह मूल्यांकन संपत्ति है आर*मात्रा आरनाम है: आर*एक निष्पक्षके लिए मूल्यांकन आर. अनुमानित पैरामीटर के मूल्य से कोई व्यवस्थित विचलन नहीं आरमूल्य का उपयोग करने की व्यवहार्यता की पुष्टि करता है आर*एक अनुमान के रूप में। हम अभी के लिए अनुमान की सटीकता के प्रश्न को खुला छोड़ देते हैं।
गणितीय अपेक्षा और विचरण एक यादृच्छिक चर की सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विशेषताएँ हैं। वे वितरण की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं की विशेषता रखते हैं: इसकी स्थिति और फैलाव की डिग्री। अभ्यास की कई समस्याओं में, एक यादृच्छिक चर का पूर्ण, संपूर्ण विवरण - वितरण का नियम - या तो बिल्कुल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, या इसकी बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। इन मामलों में, वे संख्यात्मक विशेषताओं का उपयोग करके एक यादृच्छिक चर के अनुमानित विवरण तक सीमित हैं।
गणितीय अपेक्षा को अक्सर एक यादृच्छिक चर के औसत मान के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक यादृच्छिक चर का फैलाव फैलाव की एक विशेषता है, इसकी गणितीय अपेक्षा के आसपास एक यादृच्छिक चर का फैलाव।
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
आइए गणितीय अपेक्षा की अवधारणा को देखें, पहले एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण की यांत्रिक व्याख्या से आगे बढ़ते हुए। मान लीजिए कि इकाई द्रव्यमान को x-अक्ष के बिंदुओं के बीच वितरित किया जाता है एक्स1 , एक्स 2 , ..., एक्सएन, और प्रत्येक भौतिक बिंदु का द्रव्यमान इसके अनुरूप होता है पी1 , पी 2 , ..., पीएन. एक्स-अक्ष पर एक बिंदु चुनना आवश्यक है, जो उनके द्रव्यमान को ध्यान में रखते हुए भौतिक बिंदुओं की पूरी प्रणाली की स्थिति को दर्शाता है। भौतिक बिंदुओं की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र को ऐसे बिंदु के रूप में लेना स्वाभाविक है। यह यादृच्छिक चर का भारित औसत है एक्स, जिसमें प्रत्येक बिंदु का भुज एक्समैंसंबंधित संभावना के बराबर "वजन" के साथ प्रवेश करता है। इस प्रकार प्राप्त यादृच्छिक चर का माध्य मान एक्सइसकी गणितीय अपेक्षा कहलाती है।
असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा इसके सभी संभावित मूल्यों के उत्पादों और इन मूल्यों की संभावनाओं का योग है:
उदाहरण 1विन-विन लॉटरी का आयोजन किया। 1000 जीत हैं, जिनमें से 400 प्रत्येक 10 रूबल हैं। 300 - 20 रूबल प्रत्येक 200 - 100 रूबल प्रत्येक। और 100 - 200 रूबल प्रत्येक। एक टिकट खरीदने वाले व्यक्ति की औसत जीत क्या है?
फेसला। हम औसत जीत पाएंगे यदि जीत की कुल राशि, जो 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 रूबल के बराबर है, को 1000 (जीत की कुल राशि) से विभाजित किया जाता है। तब हमें 50000/1000 = 50 रूबल मिलते हैं। लेकिन औसत लाभ की गणना के लिए व्यंजक को निम्नलिखित रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
दूसरी ओर, इन शर्तों के तहत, जीत की राशि एक यादृच्छिक चर है जो 10, 20, 100 और 200 रूबल के मूल्यों को ले सकती है। क्रमशः 0.4 के बराबर संभावनाओं के साथ; 0.3; 0.2; 0.1. इसलिए, अपेक्षित औसत अदायगी अदायगी के आकार के उत्पादों के योग और उन्हें प्राप्त करने की संभावना के बराबर है।
उदाहरण 2प्रकाशक ने एक नई पुस्तक प्रकाशित करने का निर्णय लिया। वह पुस्तक को 280 रूबल में बेचने जा रहा है, जिसमें से उसे 200, किताबों की दुकान को 50 और लेखक को 30 रुपये दिए जाएंगे। तालिका पुस्तक को प्रकाशित करने की लागत और पुस्तक की एक निश्चित संख्या में प्रतियों को बेचने की संभावना के बारे में जानकारी देती है।
प्रकाशक का अपेक्षित लाभ ज्ञात कीजिए।
फेसला। यादृच्छिक चर "लाभ" बिक्री से आय और लागत की लागत के बीच के अंतर के बराबर है। उदाहरण के लिए, यदि किसी पुस्तक की 500 प्रतियां बेची जाती हैं, तो बिक्री से होने वाली आय 200 * 500 = 100,000 है, और प्रकाशन की लागत 225,000 रूबल है। इस प्रकार, प्रकाशक को 125,000 रूबल के नुकसान का सामना करना पड़ता है। निम्न तालिका यादृच्छिक चर - लाभ के अपेक्षित मूल्यों को सारांशित करती है:
| संख्या | लाभ एक्समैं | संभावना पीमैं | एक्समैं पीमैं |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| कुल: | 1,00 | 25000 |
इस प्रकार, हम प्रकाशक के लाभ की गणितीय अपेक्षा प्राप्त करते हैं:
.
उदाहरण 3एक शॉट से हिट करने का मौका पी= 0.2. गोले की खपत निर्धारित करें जो 5 के बराबर हिट की संख्या की गणितीय अपेक्षा प्रदान करते हैं।
फेसला। उसी अपेक्षा सूत्र से जो हमने अब तक प्रयोग किया है, हम व्यक्त करते हैं एक्स- गोले की खपत:
.
उदाहरण 4एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा निर्धारित करें एक्सतीन शॉट्स के साथ हिट की संख्या, यदि प्रत्येक शॉट के साथ हिट होने की संभावना है पी = 0,4 .
संकेत: द्वारा यादृच्छिक चर के मानों की प्रायिकता ज्ञात कीजिए बर्नौली सूत्र .
उम्मीद गुण
गणितीय अपेक्षा के गुणों पर विचार करें।
संपत्ति 1.स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा इस स्थिरांक के बराबर है:
संपत्ति 2.निरंतर कारक को उम्मीद के संकेत से निकाला जा सकता है:
संपत्ति 3.यादृच्छिक चर के योग (अंतर) की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग (अंतर) के बराबर है:
संपत्ति 4.यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है:
संपत्ति 5.यदि यादृच्छिक चर के सभी मान एक्सएक ही संख्या से कमी (वृद्धि) साथ में, तो इसकी गणितीय अपेक्षा उसी संख्या से घटेगी (वृद्धि) होगी:
जब आप केवल गणितीय अपेक्षा तक सीमित नहीं रह सकते हैं
ज्यादातर मामलों में, केवल गणितीय अपेक्षा एक यादृच्छिक चर को पर्याप्त रूप से चिह्नित नहीं कर सकती है।
यादृच्छिक चर दें एक्सऔर यूनिम्नलिखित वितरण कानूनों द्वारा दिए गए हैं:
| अर्थ एक्स | संभावना |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| अर्थ यू | संभावना |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
इन राशियों की गणितीय अपेक्षाएँ समान हैं - शून्य के बराबर:
हालांकि, उनका वितरण अलग है। यादृच्छिक मूल्य एक्सकेवल वे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा और यादृच्छिक चर से थोड़े अलग हैं यूवे मान ले सकते हैं जो गणितीय अपेक्षा से महत्वपूर्ण रूप से विचलित होते हैं। एक समान उदाहरण: औसत वेतन उच्च और निम्न वेतन वाले श्रमिकों के अनुपात का न्याय करना संभव नहीं बनाता है। दूसरे शब्दों में, गणितीय अपेक्षा से कोई यह नहीं आंक सकता कि इससे कम से कम औसतन क्या विचलन संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक यादृच्छिक चर के विचरण को खोजने की आवश्यकता है।
असतत यादृच्छिक चर का फैलाव
फैलावअसतत यादृच्छिक चर एक्सगणितीय अपेक्षा से इसके विचलन के वर्ग की गणितीय अपेक्षा कहलाती है:
एक यादृच्छिक चर का मानक विचलन एक्सइसके प्रसरण के वर्गमूल का अंकगणितीय मान है:
.
उदाहरण 5यादृच्छिक चरों के प्रसरणों और मानक विचलनों की गणना करें एक्सऔर यू, जिनके वितरण नियम ऊपर तालिका में दिए गए हैं।
फेसला। यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षाएं एक्सऔर यू, जैसा कि ऊपर पाया गया, शून्य के बराबर है। के लिए फैलाव सूत्र के अनुसार इ(एक्स)=इ(आप) = 0 हमें मिलता है:
फिर यादृच्छिक चर के मानक विचलन एक्सऔर यूगठित करना
.
इस प्रकार, समान गणितीय अपेक्षाओं के साथ, यादृच्छिक चर का प्रसरण एक्सबहुत छोटा और यादृच्छिक यू- सार्थक। यह उनके वितरण में अंतर का परिणाम है।
उदाहरण 6निवेशक के पास 4 वैकल्पिक निवेश परियोजनाएं हैं। तालिका इन परियोजनाओं में अपेक्षित लाभ पर संबंधित संभावना के साथ डेटा को सारांशित करती है।
| प्रोजेक्ट 1 | परियोजना 2 | परियोजना 3 | परियोजना 4 |
| 500, पी=1 | 1000, पी=0,5 | 500, पी=0,5 | 500, पी=0,5 |
| 0, पी=0,5 | 1000, पी=0,25 | 10500, पी=0,25 | |
| 0, पी=0,25 | 9500, पी=0,25 |
प्रत्येक विकल्प के लिए गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन खोजें।
फेसला। आइए हम दिखाते हैं कि तीसरे विकल्प के लिए इन मात्राओं की गणना कैसे की जाती है:
तालिका सभी विकल्पों के लिए पाए गए मानों को सारांशित करती है।
सभी विकल्पों की गणितीय अपेक्षा समान होती है। इसका मतलब है कि लंबे समय में सभी की आय समान है। मानक विचलन की व्याख्या जोखिम के माप के रूप में की जा सकती है - यह जितना बड़ा होगा, निवेश का जोखिम उतना ही अधिक होगा। एक निवेशक जो अधिक जोखिम नहीं चाहता है, वह प्रोजेक्ट 1 का चयन करेगा क्योंकि इसमें सबसे छोटा मानक विचलन (0) है। यदि निवेशक कम अवधि में जोखिम और उच्च रिटर्न को प्राथमिकता देता है, तो वह सबसे बड़े मानक विचलन वाली परियोजना का चयन करेगा - परियोजना 4।
फैलाव गुण
आइए हम फैलाव के गुणों को प्रस्तुत करें।
संपत्ति 1.एक स्थिर मान का फैलाव शून्य है:
संपत्ति 2.अचर गुणनखंड को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है:
.
संपत्ति 3.एक यादृच्छिक चर का विचरण इस मान के वर्ग की गणितीय अपेक्षा के बराबर होता है, जिसमें से मान की गणितीय अपेक्षा का वर्ग ही घटाया जाता है:
,
कहाँ पे 
.
संपत्ति 4.यादृच्छिक चरों के योग (अंतर) का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग (अंतर) के बराबर होता है:
उदाहरण 7यह ज्ञात है कि एक असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है: −3 और 7. इसके अलावा, गणितीय अपेक्षा ज्ञात है: इ(एक्स) = 4। एक असतत यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
फेसला। द्वारा निरूपित करें पीवह प्रायिकता जिसके साथ एक यादृच्छिक चर मान लेता है एक्स1 = −3 . तब मान की प्रायिकता एक्स2 = 7 1 − . होगा पी. आइए गणितीय अपेक्षा के लिए समीकरण प्राप्त करें:
इ(एक्स) = एक्स 1 पी + एक्स 2 (1 − पी) = −3पी + 7(1 − पी) = 4 ,
जहां हमें संभावनाएं मिलती हैं: पी= 0.3 और 1 − पी = 0,7 .
यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:
| एक्स | −3 | 7 |
| पी | 0,3 | 0,7 |
हम प्रसरण के गुण 3 से सूत्र का उपयोग करके इस यादृच्छिक चर के प्रसरण की गणना करते हैं:
डी(एक्स) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा स्वयं खोजें, और फिर समाधान देखें
उदाहरण 8असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान लेता है। यह 0.4 की प्रायिकता के साथ 3 का बड़ा मान लेता है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात है डी(एक्स) = 6। एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का पता लगाएं।
उदाहरण 9एक कलश में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें ली जाती हैं। खींची गई गेंदों के बीच सफेद गेंदों की संख्या एक असतत यादृच्छिक चर है एक्स. इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और प्रसरण ज्ञात कीजिए।
फेसला। यादृच्छिक मूल्य एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना की जा सकती है प्रायिकताओं के गुणन का नियम. यादृच्छिक चर के वितरण का नियम:
| एक्स | 0 | 1 | 2 | 3 |
| पी | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
इसलिए इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा:
एम(एक्स) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
किसी दिए गए यादृच्छिक चर का प्रसरण है:
डी(एक्स) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और फैलाव
एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, गणितीय अपेक्षा की यांत्रिक व्याख्या एक ही अर्थ को बरकरार रखेगी: घनत्व के साथ एक्स-अक्ष पर लगातार वितरित एक इकाई द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान का केंद्र एफ(एक्स) एक असतत यादृच्छिक चर के विपरीत, जिसके लिए फ़ंक्शन तर्क एक्समैंएक सतत यादृच्छिक चर के लिए अचानक परिवर्तन, तर्क लगातार बदलता रहता है। लेकिन एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा भी इसके माध्य मान से संबंधित है।
एक सतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण को खोजने के लिए, आपको निश्चित समाकलों को खोजने की आवश्यकता है . यदि एक सतत यादृच्छिक चर का घनत्व फलन दिया जाता है, तो यह सीधे समाकलन में प्रवेश करता है। यदि एक प्रायिकता बंटन फलन दिया गया है, तो उसे विभेदित करके, आपको घनत्व फलन ज्ञात करना होगा।
एक सतत यादृच्छिक चर के सभी संभावित मूल्यों के अंकगणितीय औसत को कहा जाता है गणितीय अपेक्षा, या द्वारा निरूपित।
पिछले एक में, हमने कई सूत्र दिए थे जो हमें तर्कों के वितरण के नियमों के ज्ञात होने पर कार्यों की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजने की अनुमति देते हैं। हालाँकि, कई मामलों में, कार्यों की संख्यात्मक विशेषताओं को खोजने के लिए, तर्कों के वितरण के नियमों को जानना भी आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल उनकी कुछ संख्यात्मक विशेषताओं को जानना पर्याप्त है; इस मामले में, हम वितरण के किसी भी कानून के बिना करते हैं। तर्कों की दी गई संख्यात्मक विशेषताओं द्वारा कार्यों की संख्यात्मक विशेषताओं का निर्धारण व्यापक रूप से संभाव्यता सिद्धांत में किया जाता है और कई समस्याओं के समाधान को काफी सरल बनाना संभव बनाता है। अधिकांश भाग के लिए, ऐसे सरलीकृत तरीके रैखिक कार्यों से संबंधित हैं; हालांकि, कुछ प्राथमिक गैर-रैखिक कार्य भी इस दृष्टिकोण की अनुमति देते हैं।
वर्तमान में, हम कार्यों की संख्यात्मक विशेषताओं पर कई प्रमेय प्रस्तुत करते हैं, जो उनकी समग्रता में इन विशेषताओं की गणना के लिए एक बहुत ही सरल उपकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो कि कई प्रकार की स्थितियों में लागू होते हैं।
1. गैर-यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा
घोषित संपत्ति बल्कि स्पष्ट है; यह एक गैर-यादृच्छिक चर को एक विशेष प्रकार के यादृच्छिक के रूप में मानते हुए साबित किया जा सकता है, जिसमें एक की संभावना के साथ एक संभावित मान होता है; फिर गणितीय अपेक्षा के सामान्य सूत्र के अनुसार:
.
2. एक गैर-यादृच्छिक चर का फैलाव
यदि एक गैर-यादृच्छिक मान है, तो
3. गणितीय अपेक्षा के संकेत से परे एक गैर-यादृच्छिक चर को हटाना
, (10.2.1)
यानी, उम्मीद के संकेत से एक गैर-यादृच्छिक मूल्य निकाला जा सकता है।
प्रमाण।
a) असंतत मात्रा के लिए
बी) निरंतर मात्रा के लिए
.
4. विचरण और मानक विचलन के संकेत के लिए एक गैर-यादृच्छिक मान को हटाना
यदि एक गैर-यादृच्छिक चर है, और यादृच्छिक है, तो
, (10.2.2)
अर्थात्, एक गैर-यादृच्छिक मान को परिक्षेपण चिह्न से चुकता करके निकाला जा सकता है।
प्रमाण। विचरण की परिभाषा के अनुसार
परिणाम
,
यानी, एक गैर-यादृच्छिक मान को मानक विचलन के संकेत से उसके निरपेक्ष मान से निकाला जा सकता है। हम सूत्र (10.2.2) से वर्गमूल निकालने और इस बात को ध्यान में रखते हुए प्रमाण प्राप्त करते हैं कि r.s.c. एक अनिवार्य रूप से सकारात्मक मूल्य है।
5. यादृच्छिक चर के योग की गणितीय अपेक्षा
आइए हम सिद्ध करें कि किन्हीं दो यादृच्छिक चरों के लिए और
यानी दो यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।
इस संपत्ति को अपेक्षा जोड़ प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
प्रमाण।
ए) आज्ञा देना असंतत यादृच्छिक चर की एक प्रणाली हो। आइए हम दो तर्कों के एक फलन की गणितीय अपेक्षा के लिए सामान्य सूत्र (10.1.6) यादृच्छिक चर के योग पर लागू करें:
.
हो कुल संभावना से अधिक कुछ नहीं है कि मूल्य मूल्य पर ले जाएगा:
;
इस तरह,
.
इसी प्रकार हम सिद्ध करेंगे कि
,
और प्रमेय सिद्ध होता है।
बी) चलो निरंतर यादृच्छिक चर की एक प्रणाली बनें। सूत्र के अनुसार (10.1.7)
. (10.2.4)
हम पहले इंटीग्रल (10.2.4) को बदलते हैं:
;
वैसे ही
,
और प्रमेय सिद्ध होता है।
यह विशेष रूप से ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय अपेक्षाओं के योग का प्रमेय किसी भी यादृच्छिक चर के लिए मान्य है - आश्रित और स्वतंत्र दोनों।
उम्मीद जोड़ प्रमेय को शब्दों की एक मनमानी संख्या के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
, (10.2.5)
यानी कई यादृच्छिक चरों के योग की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के योग के बराबर होती है।
इसे साबित करने के लिए, पूर्ण प्रेरण की विधि को लागू करना पर्याप्त है।
6. एक रैखिक फलन की गणितीय अपेक्षा
कई यादृच्छिक तर्कों के रैखिक कार्य पर विचार करें:
जहां गैर-यादृच्छिक गुणांक हैं। आइए साबित करें कि
, (10.2.6)
अर्थात् एक रैखिक फलन का माध्य तर्कों के माध्य के समान रैखिक फलन के बराबर होता है।
प्रमाण। जोड़ प्रमेय का उपयोग करना मो. और एक गैर-यादृच्छिक चर को m. o के चिह्न से बाहर निकालने का नियम, हम प्राप्त करते हैं:
.
7. डिस्पईपीयादृच्छिक चर का यह योग
दो यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के साथ-साथ दो बार सहसंबंध क्षण के बराबर होता है:
प्रमाण। निरूपित
गणितीय अपेक्षाओं के योग प्रमेय के अनुसार
आइए यादृच्छिक चर से संबंधित केंद्रित चर पर जाएं। समानता (10.2.8) समानता (10.2.9) से पद को घटाकर, हमारे पास है:
विचरण की परिभाषा के अनुसार
क्यू.ई.डी.
योग के विचरण के लिए सूत्र (10.2.7) को किसी भी संख्या में शब्दों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
,
(10.2.10)
मूल्यों का सहसंबंध क्षण कहां है, योग के तहत संकेत का अर्थ है कि योग यादृच्छिक चर के सभी संभावित जोड़ीदार संयोजनों पर लागू होता है 
.
प्रमाण पिछले एक के समान है और एक बहुपद के वर्ग के लिए सूत्र से अनुसरण करता है।
सूत्र (10.2.10) को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है:
, (10.2.11)
जहां दोहरा योग मात्राओं की प्रणाली के सहसंबंध मैट्रिक्स के सभी तत्वों तक फैला हुआ है , जिसमें सहसंबंध क्षण और प्रसरण दोनों शामिल हैं।
यदि सभी यादृच्छिक चर , सिस्टम में शामिल हैं, असंबद्ध हैं (यानी, at ), सूत्र (10.2.10) रूप लेता है:
, (10.2.12)
अर्थात्, असंबद्ध यादृच्छिक चरों के योग का प्रसरण पदों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है।
इस प्रस्ताव को प्रसरण जोड़ प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
8. एक रैखिक फलन का प्रकीर्णन
कई यादृच्छिक चर के एक रैखिक कार्य पर विचार करें।
जहां गैर-यादृच्छिक चर हैं।
आइए हम सिद्ध करें कि इस रैखिक फलन का फैलाव सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है
, (10.2.13)
मात्राओं का सहसंबंध क्षण कहाँ है , .
प्रमाण। आइए संकेतन का परिचय दें:
. (10.2.14)
सूत्र (10.2.10) को व्यंजक के दायीं ओर के योग के प्रसरण (10.2.14) को लागू करने और इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
मात्राओं का सहसंबंध क्षण कहाँ है:
.
आइए इस पल की गणना करें। हमारे पास है:
;
वैसे ही
इस व्यंजक को (10.2.15) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम सूत्र (10.2.13) पर पहुंचते हैं।
विशेष मामले में जब सभी मात्राएँ असंबद्ध, सूत्र (10.2.13) रूप लेता है:
, (10.2.16)
अर्थात्, असंबद्ध यादृच्छिक चरों के रैखिक फलन का प्रसरण गुणांकों के वर्गों के गुणनफलों और संगत तर्कों के प्रसरणों के योग के बराबर होता है।
9. यादृच्छिक चरों के गुणनफल की गणितीय अपेक्षा
दो यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के साथ-साथ सहसंबंध क्षण के बराबर है:
प्रमाण। हम सहसंबंध क्षण की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे:
हम गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति को बदलते हैं:
जो स्पष्ट रूप से सूत्र (10.2.17) के बराबर है।
यदि यादृच्छिक चर असंबंधित हैं, तो सूत्र (10.2.17) रूप लेता है:
अर्थात्, दो असंबद्ध यादृच्छिक चरों के गुणनफल का माध्य उनके माध्य के गुणनफल के बराबर होता है।
इस कथन को अपेक्षा गुणन प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
फॉर्मूला (10.2.17) दूसरे मिश्रित प्रारंभिक क्षण और गणितीय अपेक्षाओं के संदर्भ में सिस्टम के दूसरे मिश्रित केंद्रीय क्षण की अभिव्यक्ति के अलावा और कुछ नहीं है:
. (10.2.19)
सहसंबंध क्षण की गणना करते समय इस अभिव्यक्ति का उपयोग अक्सर व्यवहार में किया जाता है, जैसे कि एक यादृच्छिक चर के लिए भिन्नता की गणना अक्सर दूसरे प्रारंभिक क्षण और गणितीय अपेक्षा के माध्यम से की जाती है।
अपेक्षा गुणन प्रमेय को कारकों की एक मनमानी संख्या के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है, केवल इस मामले में इसके आवेदन के लिए यह पर्याप्त नहीं है कि मात्राएं असंबद्ध हैं, लेकिन यह आवश्यक है कि कुछ उच्च मिश्रित क्षण भी गायब हो जाएं, जिनकी संख्या निर्भर करती है उत्पाद में शर्तों की संख्या। यदि उत्पाद में शामिल यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं तो ये शर्तें निश्चित रूप से संतुष्ट हैं। इस मामले में
, (10.2.20)
यानी स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद की गणितीय अपेक्षा उनकी गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर है।
इस प्रस्ताव को पूर्ण प्रेरण द्वारा आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।
10. स्वतंत्र यादृच्छिक चर के उत्पाद का फैलाव
आइए हम सिद्ध करें कि स्वतंत्र मात्राओं के लिए
प्रमाण। आइए निरूपित करें। विचरण की परिभाषा के अनुसार
चूँकि मात्राएँ स्वतंत्र हैं, तथा
स्वतंत्र के लिए, मात्राएँ भी स्वतंत्र होती हैं; इस तरह,
,
लेकिन मात्रा के दूसरे प्रारंभिक क्षण के अलावा और कुछ नहीं है, और इसलिए, भिन्नता के रूप में व्यक्त किया जाता है:
;
वैसे ही
.
इन व्यंजकों को सूत्र (10.2.22) में प्रतिस्थापित करते हुए और समान पदों को लाते हुए, हम सूत्र (10.2.21) पर पहुंचते हैं।
मामले में जब केंद्रित यादृच्छिक चर गुणा किया जाता है (शून्य के बराबर गणितीय अपेक्षाओं वाले मान), सूत्र (10.2.21) रूप लेता है:
, (10.2.23)
अर्थात्, स्वतंत्र केन्द्रित यादृच्छिक चरों के गुणनफल का प्रसरण उनके प्रसरणों के गुणनफल के बराबर होता है।
11. यादृच्छिक चर के योग के उच्च क्षण
कुछ मामलों में स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के उच्च क्षणों की गणना करना आवश्यक है। आइए कुछ संबंधित संबंधों को सिद्ध करें।
1) यदि मात्राएँ स्वतंत्र हैं, तो
प्रमाण।
जहां से अपेक्षा गुणन प्रमेय
लेकिन किसी भी मात्रा के लिए पहला केंद्रीय क्षण शून्य होता है; दो मध्य पद लुप्त हो जाते हैं और सूत्र (10.2.24) सिद्ध हो जाता है।
संबंध (10.2.24) को स्वतंत्र शब्दों की एक मनमानी संख्या में शामिल करके आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है:
. (10.2.25)
2) दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का चौथा केंद्रीय क्षण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है
और के फैलाव कहां हैं।
प्रमाण बिल्कुल पिछले वाले जैसा ही है।
पूर्ण प्रेरण की विधि का उपयोग करके, सूत्र के सामान्यीकरण (10.2.26) को स्वतंत्र पदों की एक मनमानी संख्या में सिद्ध करना आसान है।
एक यादृच्छिक चर और उसके गुणों का फैलाव।
कई यादृच्छिक चर में समान गणितीय अपेक्षा होती है लेकिन विभिन्न संभावित मान होते हैं। इसलिए, एक यादृच्छिक चर को चिह्नित करने के लिए एक गणितीय अपेक्षा पर्याप्त नहीं है।
आय होने दो एक्सऔर यू(डॉलर में) दो फर्मों के वितरण द्वारा दिए गए हैं:
कभी-कभी किसी अन्य सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, जिसे गणितीय अपेक्षा के गुणों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है,
फैलाव मौजूद है यदि श्रृंखला (क्रमशः, अभिन्न) अभिसरण करती है।
गैर-ऋणात्मक संख्या 
बुलाया मानक विचलनअनियमित चर एक्स।इसमें एक यादृच्छिक चर का आयाम है एक्सऔर कुछ मानक आरएमएस फैलाव अंतराल को परिभाषित करता है, गणितीय अपेक्षा के संबंध में सममित। मान को कभी-कभी मानक विचलन कहा जाता है।
यादृच्छिक चर कहा जाता है केंद्रित, अगर । यादृच्छिक चर कहा जाता है सामान्यीकृत(मानक) यदि .
आइए उदाहरण जारी रखें. दो फर्मों की आय के अंतर की गणना करें:
विचरण की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि दूसरी फर्म की आय पहली की तुलना में अधिक भिन्न होती है।
फैलाव गुण.
1. एक स्थिर मान का परिक्षेपण शून्य के बराबर होता है, अर्थात्। , अगर लगातार। यह स्पष्ट है, क्योंकि स्थिर मान की गणितीय अपेक्षा स्थिर मान के बराबर होती है, अर्थात। .
2. लगातार गुणक सीइसे पहले वर्ग करके परिक्षेपण चिह्न से निकाला जा सकता है।
सच में,
3. दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के बीजीय योग का प्रसरण उनके प्रसरणों के योग के बराबर होता है, अर्थात्।
अभिव्यक्ति कहा जाता है X और Y . का सहप्रसरण(विषय 4, 2 देखें)। स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए, सहप्रसरण शून्य है, अर्थात।
इस समानता का उपयोग करके, आप गणितीय अपेक्षा के गुणों की सूची में जोड़ सकते हैं। यदि यादृच्छिक चर X और Y स्वतंत्र हैं, तो उत्पाद की गणितीय अपेक्षा गणितीय अपेक्षाओं के उत्पाद के बराबर होती है, अर्थात्:
यदि यादृच्छिक चर को रैखिक रूप से रूपांतरित किया जाता है, अर्थात। , तब
.
उदाहरण 1. इसे बनने दें एनस्वतंत्र परीक्षण, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता लेकिनजिनमें से प्रत्येक स्थिर और बराबर है पी. घटना की घटनाओं की संख्या का अंतर क्या है लेकिनइन परीक्षणों में?
फेसला। आज्ञा देना घटना की घटना की संख्या हो लेकिनपहले परीक्षण में, घटना के घटित होने की संख्या है लेकिनदूसरे परीक्षण में, और इसी तरह। तब घटना के घटित होने की कुल संख्या लेकिनमें एनपरीक्षण बराबर
परिक्षेपण के गुणधर्म 3 का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
यहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि 
, मैं= (उदाहरण 1 और 2 देखें, आइटम 3.3.1।)।
उदाहरण 2. चलो एक्स -बैंक में जमा राशि (डॉलर में) - संभाव्यता वितरण द्वारा दी गई
| एक्स | ||||||
| मैं = | 0,01 | 0,03 | 0,10 | 0,30 | 0,5 | 0,06 |
औसत योगदान राशि और विचरण ज्ञात कीजिए।
फेसला। औसत जमा राशि गणितीय अपेक्षा के बराबर है
विचरण की गणना करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं
डी (एक्स) \u003d 8196 - 7849.96 \u003d 348.04।
मानक विचलन
क्षण।
यादृच्छिक चर के उन संभावित मूल्यों की गणितीय अपेक्षा पर प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए एक्स, जो बड़े हैं लेकिन कम संभावना है, एक यादृच्छिक चर की सकारात्मक पूर्णांक शक्ति की गणितीय अपेक्षाओं पर विचार करना उचित है।
