गणित में खुला पाठ "बर्नौली योजना। बर्नौली और लाप्लास योजना का उपयोग करके समस्याओं का समाधान"
डिडक्टिक: संभावनाओं की गणना करने के लिए बर्नौली योजना के साथ काम करने के लिए कौशल और क्षमताओं का अधिग्रहण।
विकास: अभ्यास में ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल का विकास, छात्रों की कार्यात्मक सोच का गठन और विकास, तुलना, विश्लेषण और संश्लेषण के कौशल का विकास, जोड़े में काम करने का कौशल, पेशेवर शब्दावली का विस्तार।
इस खेल को कैसे खेलें:
शैक्षिक: सिद्धांत के व्यावहारिक अनुप्रयोग के माध्यम से विषय में रुचि को बढ़ावा देना, छात्रों की शैक्षिक सामग्री के प्रति जागरूक आत्मसात करना, एक टीम में काम करने की क्षमता का निर्माण, कंप्यूटर शब्दों का सही उपयोग, विज्ञान में रुचि, सम्मान भविष्य का पेशा।
वैज्ञानिक ज्ञान: बी
पाठ का प्रकार: संयुक्त पाठ:
- पिछली कक्षाओं में शामिल सामग्री का समेकन;
- विषयगत, सूचना-समस्या प्रौद्योगिकी;
- इस पाठ में अध्ययन की गई सामग्री का सामान्यीकरण और समेकन।
पढ़ाने का तरीका: व्याख्यात्मक - उदाहरणात्मक, समस्याग्रस्त।
नॉलेज कंट्रोल: फ्रंटल सर्वे, प्रॉब्लम सॉल्विंग, प्रेजेंटेशन।
पाठ की सामग्री और तकनीकी उपकरण। कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर।
पद्धति संबंधी समर्थन: संदर्भ सामग्री, पाठ के विषय पर प्रस्तुति, पहेली पहेली।
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण: 5 मिनट।
(अभिवादन, पाठ के लिए समूह की तत्परता)।
2. ज्ञान की जांच:
आगे की स्लाइड्स पर प्रश्नों की जांच करें: 10 मि।
- "संभाव्यता सिद्धांत" खंड की परिभाषा
- "संभाव्यता सिद्धांत" खंड की मुख्य अवधारणा
- "संभाव्यता सिद्धांत" द्वारा किन घटनाओं का अध्ययन किया जाता है
- एक यादृच्छिक घटना की विशेषता
- संभावनाओं की शास्त्रीय परिभाषा
संक्षेप। 5 मिनट।
3. पंक्तियों में समस्याओं को हल करना: 5 मिनट।
कार्य 1. एक पासा फेंका जाता है। 5 से कम एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
टास्क 2. एक बॉक्स में नौ समान रेडियो ट्यूब हैं, जिनमें से तीन उपयोग में थीं। कार्य दिवस के दौरान, उपकरण की मरम्मत के लिए मास्टर को दो रेडियो ट्यूब लेने पड़े। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों लैम्पों का प्रयोग किया गया था?
टास्क 3. तीन सिनेमा हॉल में तीन अलग-अलग फिल्में हैं। पहले हॉल के बॉक्स ऑफिस पर एक निश्चित घंटे के लिए टिकट होने की संभावना 0.3 है, दूसरे हॉल के बॉक्स ऑफिस पर - 0.2, और तीसरे हॉल के बॉक्स ऑफिस पर - 0.4। इसकी क्या प्रायिकता है कि दिए गए घंटे में कम से कम एक फिल्म के लिए टिकट खरीदना संभव है?
4. ब्लैकबोर्ड पर जाँच करना कि समस्याओं को कैसे हल किया जाए। आवेदन 1. 5 मिनट।
समस्याओं को हल करने पर 5 वां निष्कर्ष:
किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता प्रत्येक कार्य के लिए समान होती है: m और n - const
6. कार्य के माध्यम से लक्ष्य निर्धारण: 5 मि.
एक कार्य। शतरंज के दो बराबर खिलाड़ी शतरंज खेलते हैं। चार में से दो गेम जीतने की संभावना क्या है?
छह में से तीन गेम जीतने की संभावना क्या है (ड्रा को ध्यान में नहीं रखा जाता है)?
प्रश्न। इस समस्या के प्रश्नों और पिछली समस्याओं के प्रश्नों के बीच अंतर सोचें और नाम दें?
तर्क करके, तुलना करके, एक उत्तर प्राप्त करें: प्रश्नों में m और n भिन्न हैं।
7. पाठ विषय:
p-const के साथ n प्रयोगों में से k बार किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता की गणना।
यदि ऐसे परीक्षण किए जाते हैं जिनमें प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की घटना की संभावना अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है, तो ऐसे परीक्षणों को घटना ए के संबंध में स्वतंत्र कहा जाता है। परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक में घटना की संभावना है घटना एक ही है।
बर्नौली सूत्र। प्रायिकता कि n स्वतंत्र परीक्षणों में, जिनमें से प्रत्येक में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता p (0 .) के बराबर है या परिशिष्ट 2 बर्नौली सूत्र, जहाँ k,n-छोटी संख्याएँ जहाँ q = 1-p हल: समान शतरंज खिलाड़ी खेल रहे हैं, इसलिए जीतने की संभावना p=1/2 है; इसलिए q खोने की प्रायिकता भी 1/2 है। चूंकि सभी खेलों में जीतने की संभावना स्थिर होती है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि खेल किस क्रम में जीते जाते हैं, बर्नौली सूत्र लागू होता है। 5 मिनट चार में से दो गेम जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: छह में से तीन गेम जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: चूंकि P4 (2) > P6 (3), इसके छह में से तीन की तुलना में चार में से दो गेम जीतने की अधिक संभावना है। 243 परीक्षणों में घटना A के ठीक 70 बार घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि प्रत्येक परीक्षण में इस घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.25 है। k=70, n=243 इसका तात्पर्य है कि k और n बड़ी संख्याएँ हैं। इसका अर्थ है कि बर्नौली सूत्र के अनुसार गणना करना कठिन है। ऐसे मामलों के लिए, स्थानीय लाप्लास सूत्र लागू किया जाता है: x के धनात्मक मानों के लिए परिशिष्ट 3 परिशिष्ट 4 में दिया गया है; x के ऋणात्मक मानों के लिए समान तालिका और = का उपयोग करें। धारा 2. सूत्रों की तार्किक तुल्यता। प्रस्तावित बीजगणित सूत्रों के लिए सामान्य रूप तुल्यता संबंध सत्य तालिकाओं की सहायता से, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि इनपुट चर के सत्य मूल्यों के किस सेट के तहत सूत्र सही या गलत मान लेगा (साथ ही एक बयान जिसमें संबंधित तार्किक संरचना है), कौन से सूत्र टॉटोलॉजी होंगे या विरोधाभास, और यह भी स्थापित करें कि क्या दो दिए गए सूत्र बराबर। तर्क में, दो वाक्यों को समतुल्य कहा जाता है यदि वे दोनों सत्य हैं या दोनों असत्य हैं। इस वाक्यांश में "एक साथ" शब्द अस्पष्ट है। तो, वाक्यों के लिए "कल मंगलवार होगा" और "कल रविवार था" इस शब्द का शाब्दिक अर्थ है: सोमवार को वे दोनों सत्य हैं, और शेष सप्ताह में वे दोनों झूठे हैं। समीकरणों के लिए " एक्स = 2" तथा " 2x = 4» "एक साथ" का अर्थ है "चर के समान मूल्यों के साथ"। भविष्यवाणियां "कल बारिश होगी" और "यह सच नहीं है कि कल बारिश नहीं होगी" एक साथ पुष्टि की जाएगी (सच हो जाएगी) या पुष्टि नहीं की जाएगी (झूठी निकल जाएगी)। संक्षेप में, यह वही पूर्वानुमान है, जिसे दो अलग-अलग रूपों में व्यक्त किया जाता है, जिसे सूत्रों द्वारा दर्शाया जा सकता है एक्सतथा । ये सूत्र एक साथ "सत्य" या मान "गलत" मान लेते हैं। जाँच करने के लिए, यह एक सत्य तालिका बनाने के लिए पर्याप्त है: हम देखते हैं कि पहले और अंतिम कॉलम में सत्य मान समान हैं। ऐसे सूत्र, साथ ही उनके अनुरूप वाक्य, स्वाभाविक रूप से समकक्ष माने जाते हैं। फॉर्मूला एफ 1 और एफ 2 को समकक्ष कहा जाता है यदि उनके समकक्ष एक तनातनी है। दो सूत्रों की तुल्यता इस प्रकार लिखी जाती है: (पढ़ें: सूत्र एफ1सूत्र के बराबर है F2). यह जांचने के तीन तरीके हैं कि क्या सूत्र समतुल्य हैं: 1) उनके समकक्ष बनाएं और सत्य तालिका का उपयोग करके जांच करें कि क्या यह एक तनातनी है; 2) प्रत्येक सूत्र के लिए, एक सत्य तालिका बनाएं और अंतिम परिणामों की तुलना करें; यदि चर मानों के समान सेट के लिए कुल कॉलम में
दोनों सूत्रों के सत्य मान समान होंगे, तो सूत्र समतुल्य होंगे; 3) समकक्ष परिवर्तनों की सहायता से। उदाहरण 2.1:पता लगाएँ कि क्या सूत्र समतुल्य हैं: 1) , ; 2) , . 1) आइए हम तुल्यता निर्धारित करने के लिए पहली विधि का उपयोग करें, अर्थात यह पता करें कि क्या सूत्रों की तुल्यता एक तनातनी है। आइए सूत्रों की तुल्यता बनाएं: . परिणामी सूत्र में दो भिन्न चर होते हैं ( लेकिनतथा पर) और 6 ऑपरेशन: 1); 2) ; 3) ; चार) ; 5) ; 6)। इसका मतलब है कि संबंधित सत्य तालिका में 5 पंक्तियाँ और 8 स्तंभ होंगे: सत्य तालिका के अंतिम स्तंभ से, यह देखा जा सकता है कि संकलित तुल्यता एक तनातनी है और इसलिए, . 2) यह पता लगाने के लिए कि क्या सूत्र और समतुल्य हैं, हम दूसरी विधि का उपयोग करते हैं, अर्थात, हम प्रत्येक सूत्र के लिए एक सत्य तालिका संकलित करते हैं और अंतिम स्तंभों की तुलना करते हैं। ( टिप्पणी. दूसरी विधि का प्रभावी ढंग से उपयोग करने के लिए, यह आवश्यक है कि सभी संकलित सत्य तालिकाएँ एक ही तरह से शुरू हों, अर्थात, चर मानों के सेट संबंधित पंक्तियों में समान थे
.) सूत्र में दो अलग-अलग चर और 2 ऑपरेशन हैं, जिसका अर्थ है कि संबंधित सत्य तालिका में 5 पंक्तियाँ और 4 स्तंभ हैं: सूत्र में दो अलग-अलग चर और 3 ऑपरेशन हैं, जिसका अर्थ है कि संबंधित सत्य तालिका में 5 पंक्तियाँ और 5 स्तंभ हैं: संकलित सत्य तालिकाओं के अंतिम स्तंभों की तुलना (चूंकि तालिकाएँ उसी तरह से शुरू होती हैं, हम चर मानों के सेट को अनदेखा कर सकते हैं), हम देखते हैं कि वे मेल नहीं खाते हैं और इसलिए, सूत्र समतुल्य नहीं हैं ()। व्यंजक कोई सूत्र नहीं है (क्योंकि प्रतीक " " किसी तार्किक संक्रिया का उल्लेख नहीं करता है)। यह व्यक्त करता है रवैयासूत्रों के बीच (साथ ही संख्याओं के बीच समानता, रेखाओं के बीच समानता, आदि)। तुल्यता संबंध के गुणों पर प्रमेय मान्य है: प्रमेय 2.1.प्रस्तावक बीजगणित सूत्रों के बीच समानता संबंध: 1) प्रतिवर्त रूप से: ; 2) सममित रूप से: यदि, तो; 3) सकर्मक रूप से: यदि तथा , तो । तर्क के नियम प्रोपोज़िशनल लॉजिक फ़ार्मुलों की तुल्यता को अक्सर कहा जाता है तर्क के नियम. हम उनमें से सबसे महत्वपूर्ण सूचीबद्ध करते हैं: 1. - पहचान का नियम। 2. - बहिष्कृत मध्य का कानून 3. - विरोधाभास का नियम 4. - शून्य से वियोजन 5. - शून्य के साथ संयोजन 6. - इकाई के साथ वियोग 7. - इकाई के साथ संयोजन 8. - दोहरे निषेध का नियम 9. - संयोजन की कम्यूटेटिविटी 10.-वियोजन की क्रमविनिमेयता 11. - संयोजन की संबद्धता 12.-वियोजन संबद्धता 13. - संयोजन का वितरण 14. - डिस्ट्रीब्यूटिव डिसजंक्शन 15. - बेरोज़गारी के नियम 16. 17. 18. 19. 20. - अन्य तार्किक संक्रियाओं के माध्यम से तुल्यता व्यक्त करने वाले कानून तर्क के नियमों का उपयोग जटिल सूत्रों को सरल बनाने और यह साबित करने के लिए किया जाता है कि सूत्र समान रूप से सत्य या असत्य हैं। समतुल्य परिवर्तन। सरलीकरण सूत्र यदि सर्वत्र तुल्य सूत्रों में हम किसी चर के स्थान पर एक ही सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं, तो नए प्राप्त सूत्र भी प्रतिस्थापन नियम के अनुसार तुल्य होंगे। इस प्रकार, प्रत्येक तुल्यता से कितनी भी नई तुल्यताएँ प्राप्त की जा सकती हैं। उदाहरण 1:यदि डी मॉर्गन के नियम के बजाय एक्सस्थानापन्न , के बजाय यूस्थानापन्न करते हैं, तब हमें एक नई तुल्यता प्राप्त होती है। सत्य तालिका का उपयोग करके प्राप्त तुल्यता की वैधता की जांच करना आसान है। यदि कोई सूत्र जो सूत्र का भाग है एफ, सूत्र के समतुल्य सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए, तो परिणामी सूत्र सूत्र के समतुल्य होगा एफ. फिर, उदाहरण 2 के सूत्र के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन कर सकते हैं: - दोहरे निषेध का नियम; - डी मॉर्गन का नियम; - दोहरे निषेध का नियम; - सहयोगीता का नियम; तुल्यता संबंध की ट्रांजिटिविटी की संपत्ति से, हम यह दावा कर सकते हैं कि एक सूत्र के तुल्य दूसरे सूत्र द्वारा प्रतिस्थापित करने को कहते हैं समकक्ष परिवर्तन
सूत्र नीचे सरलीकरण
ऐसे सूत्र जिनमें निहितार्थ और तुल्यता चिह्न नहीं होते हैं, एक समतुल्य परिवर्तन को समझते हैं जो एक ऐसे सूत्र की ओर ले जाता है जिसमें गैर-प्राथमिक सूत्रों (विशेष रूप से, दोहरे निषेध) का निषेध नहीं होता है या कुल मिलाकर मूल की तुलना में संयोजन और वियोजन चिह्नों की एक छोटी संख्या होती है। एक। उदाहरण 2.2:आइए सूत्र को सरल करें पहले चरण में, हमने उस कानून को लागू किया जो निहितार्थ को एक विच्छेदन में बदल देता है। दूसरे चरण में, कम्यूटेटिव कानून लागू किया गया था। तीसरे चरण में, idempotency का नियम लागू किया गया था। चौथे पर - डी मॉर्गन का नियम। और पांचवें पर - दोहरे निषेध का नियम। टिप्पणी 1. यदि एक निश्चित सूत्र एक तनातनी है, तो उसके समकक्ष कोई भी सूत्र भी एक तनातनी है। इस प्रकार, कुछ सूत्रों के समान सत्य को साबित करने के लिए समकक्ष परिवर्तनों का भी उपयोग किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, इस सूत्र को एक सूत्र में समतुल्य परिवर्तनों द्वारा कम किया जाना चाहिए जो कि टॉटोलॉजी हैं। टिप्पणी 2. कुछ तनातनी और तुल्यता को जोड़े में जोड़ा जाता है (विरोधाभास का कानून और वैकल्पिक, कम्यूटेटिव, साहचर्य कानून, आदि का कानून)। इन पत्राचारों में, तथाकथित द्वैत का सिद्धांत
. दो सूत्र जिनमें निहितार्थ और तुल्यता के संकेत नहीं होते हैं, कहलाते हैं दोहरी
, यदि उनमें से प्रत्येक को क्रमशः चिन्हों के स्थान पर दूसरे से प्राप्त किया जा सकता है। द्वैत का सिद्धांत निम्नलिखित कहता है: प्रमेय 2.2:यदि दो सूत्र जिनमें निहितार्थ और तुल्यता चिह्न नहीं हैं, समतुल्य हैं, तो उनके दोहरे सूत्र भी समतुल्य हैं। सामान्य रूप सामान्य रूपएक सूत्र लिखने का एक वाक्यात्मक रूप से स्पष्ट तरीका है जो किसी दिए गए फ़ंक्शन को लागू करता है। तर्क के ज्ञात नियमों का प्रयोग करके किसी भी सूत्र को तुल्य सूत्र के रूप में परिवर्तित किया जा सकता है उदाहरण 2.3:बड़े फ़ार्मुलों में या कई परिवर्तनों के साथ, यह संयोजन चिह्न को छोड़ने के लिए प्रथागत है (गुणा चिह्न के साथ सादृश्य द्वारा): । हम देखते हैं कि किए गए परिवर्तनों के बाद, सूत्र तीन संयोजनों का एक संयोजन है। इस फॉर्म को कहा जाता है विच्छेदन सामान्य रूप
(डीएनएफ)। एक डीएनएफ के एक तत्व को कहा जाता है प्रारंभिक संयोजन
या घटक इकाई। इसी तरह, किसी भी सूत्र को एक समतुल्य सूत्र में घटाया जा सकता है, जो तत्वों का एक संयोजन होगा, जिनमें से प्रत्येक तार्किक चर का एक निषेध चिह्न के साथ या बिना एक संयोजन होगा। अर्थात्, प्रत्येक सूत्र को प्रपत्र के समतुल्य सूत्र में घटाया जा सकता है उदाहरण 2.4: CNF के एक एकल तत्व को कहा जाता है प्रारंभिक वियोजन
या शून्य का घटक। जाहिर है, हर फॉर्मूले में असीम रूप से कई डीएनएफ और सीएनएफ होते हैं। उदाहरण 2.5:आइए सूत्र के लिए कई DNF खोजें बिल्कुल सही सामान्य रूप SDNF (परफेक्ट DNF) एक ऐसा DNF है जिसमें प्रत्येक प्रारंभिक संयोजन में सभी प्रारंभिक कथन होते हैं, या एक बार उनके निषेध, प्राथमिक संयोजनों को दोहराया नहीं जाता है। SKNF (परफेक्ट CNF) एक ऐसा CNF है जिसमें प्रत्येक प्रारंभिक वियोजन में सभी प्राथमिक प्रस्ताव या उनके निषेध एक बार होते हैं, प्राथमिक वियोजन दोहराए नहीं जाते हैं। उदाहरण 2.6: 1) - एसडीएनएफ 2) 1 - एसकेएनएफ आइए हम एसडीएनएफ (एसकेएनएफ) की विशिष्ट विशेषताओं को तैयार करें। 1) विच्छेदन (संयोजन) के सभी सदस्य अलग हैं; 2) प्रत्येक संयोजन (वियोजन) के सभी सदस्य अलग-अलग होते हैं; 3) किसी भी संयोजन (वियोजन) में एक चर और इसके निषेध दोनों शामिल नहीं हैं; 4) प्रत्येक संयोजन (वियोजन) में मूल सूत्र में शामिल सभी चर शामिल हैं। जैसा कि हम देख सकते हैं, विशेषताएँ (लेकिन रूप नहीं!) द्वैत की परिभाषा को संतुष्ट करती हैं, इसलिए दोनों को कैसे प्राप्त किया जाए, यह जानने के लिए एक रूप को समझना पर्याप्त है। समकक्ष परिवर्तनों की सहायता से डीएनएफ (सीएनएफ) से एसडीएनएफ (एसकेएनएफ) प्राप्त करना आसान है। चूंकि पूर्ण सामान्य रूप प्राप्त करने के नियम भी दोहरे हैं, हम एसएमएनएफ प्राप्त करने के नियम का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, और द्वैत की परिभाषा का उपयोग करके स्वतंत्र रूप से एसकेएनएफ प्राप्त करने के लिए नियम तैयार करेंगे। समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग करके एक सूत्र को SDNF में कम करने का सामान्य नियम है:
सूत्र देने के लिए एफ, जो समान रूप से गलत नहीं है, SDNF के लिए, यह पर्याप्त है: 1) इसे कुछ डीएनएफ में लाएं; 2) वियोजन के सदस्यों को हटा दें जिसमें चर के साथ-साथ इसकी अस्वीकृति (यदि कोई हो) शामिल है; 3) विघटन के समान सदस्यों से (यदि कोई हो), एक को छोड़कर सभी को हटा दें; 4) प्रत्येक संयोजन (यदि कोई हो) के समान सदस्यों में से एक को छोड़कर सभी को हटा दें; 5) यदि किसी संयोजन में मूल सूत्र में शामिल चरों में से एक चर शामिल नहीं है, तो इस संयोजन में एक शब्द जोड़ें और संबंधित वितरण कानून लागू करें; 6) यदि परिणामी विच्छेदन में समान शर्तें हैं, तो नुस्खे 3 का उपयोग करें। परिणामी सूत्र इस सूत्र का SDNF है। उदाहरण 2.7:आइए सूत्र के लिए SDNF और SKNF खोजें चूंकि इस सूत्र के लिए डीएनएफ पहले ही मिल चुका है (उदाहरण 2.5 देखें), हम एसडीएनएफ प्राप्त करके शुरू करेंगे: 2) परिणामी वियोजन में उनके निषेधों के साथ कोई चर नहीं हैं; 3) विच्छेदन में कोई समान सदस्य नहीं हैं; 4) किसी भी संयोजन में समान चर नहीं होते हैं; 5) पहले प्राथमिक संयोजन में मूल सूत्र में शामिल सभी चर शामिल हैं, और दूसरे प्राथमिक संयोजन में एक चर का अभाव है जेड, तो चलिए इसमें एक शब्द जोड़ते हैं और वितरण कानून लागू करते हैं: ; 6) यह देखना आसान है कि समान शब्द वियोजन में दिखाई दिए, इसलिए हम एक को हटाते हैं (नुस्खे 3); 3) एक समान विच्छेदन को हटा दें: 4) शेष वियोजनों में कोई समान पद नहीं हैं; 5) किसी भी प्राथमिक वियोजन में मूल सूत्र में शामिल सभी चर शामिल नहीं हैं, इसलिए हम उनमें से प्रत्येक को संयोजन के साथ पूरक करते हैं: ; 6) परिणामी संयोजन में कोई समान वियोजन नहीं हैं, इसलिए पाया गया संयोजन रूप एकदम सही है। चूंकि SKNF और SDNF के योग में सूत्र एफ 8 सदस्य हैं, तो सबसे अधिक संभावना है कि वे सही पाए गए। प्रत्येक संतोषजनक (खंडन योग्य) सूत्र में एक एकल SDNF और एक एकल SKNF होता है। एक तनातनी में कोई SKNF नहीं होता है, और एक विरोधाभास में कोई SDNF नहीं होता है। 1. दो बराबर खिलाड़ी एक खेल खेलते हैं जिसमें ड्रॉ शामिल नहीं होते हैं। पहले खिलाड़ी के जीतने की प्रायिकता क्या है: a) दो में से एक गेम? बी) चार में से दो? ग) छह में से तीन? उत्तर:एक) ; बी) ; में) 3. कट अबएक बिंदु . द्वारा अलग किया गया से 2:1 के अनुपात में। इस खंड पर यादृच्छिक रूप से चार अंक फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से दो बिंदु C के बाईं ओर हैं, और दो दाईं ओर हैं। उत्तर: 4. 243 परीक्षणों में घटना A के ठीक 70 बार घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि प्रत्येक परीक्षण में इस घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.25 है। उत्तर: . 5. लड़का होने की प्रायिकता 0.515 है। 100 नवजात शिशुओं में लड़के और लड़कियों को समान रूप से विभाजित करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। उत्तर: 0,0782 6. स्टोर को कांच के कंटेनरों में 500 बोतलें मिलीं। परिवहन के दौरान किसी भी बोतल के टूटने की प्रायिकता 0.003 है। स्टोर को टूटी हुई बोतलें मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) ठीक दो; बी) दो से कम; ग) कम से कम दो; घ) कम से कम एक। उत्तर:क) 0.22; बी) 0.20; ग) 0.80; घ) 0.95 7. एक ऑटोमोबाइल प्लांट बिना किसी महत्वपूर्ण दोष के 80% कारों का उत्पादन करता है। क्या संभावना है कि कारखाने से ऑटोमोटिव एक्सचेंज में आने वाली 600 कारों में से कम से कम 500 कारें बिना किसी महत्वपूर्ण दोष के होंगी? उत्तर: 0,02. 8. आपको कितनी बार एक सिक्के को पलटने की आवश्यकता है ताकि 0.95 की संभावना के साथ आप उम्मीद कर सकें कि हथियारों के कोट की सापेक्ष आवृत्ति संभावना से विचलित हो जाएगी आर\u003d एक सिक्के के एक उछाल में हथियारों के कोट की 0.5 उपस्थिति 0.02 से अधिक नहीं है? उत्तर: नहीं ≥ 2401. 9. 100 स्वतंत्र घटनाओं में से प्रत्येक में होने वाली घटना की संभावना स्थिर और बराबर है पी=0.8. घटना के घटित होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: क) कम से कम 75 बार और अधिकतम 90 बार; बी) कम से कम 75 बार; ग) 74 बार से अधिक नहीं। उत्तर:ए बी सी)। 10. प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण में एक घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.2 है। ज्ञात कीजिए कि 5000 परीक्षणों में 0.9128 की प्रायिकता के साथ किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति का उसकी प्रायिकता से किस विचलन की अपेक्षा की जा सकती है। उत्तर: 11. एक सिक्के को कितनी बार उछालना चाहिए ताकि 0.6 की प्रायिकता के साथ यह उम्मीद की जा सके कि प्रायिकता से हथियारों के कोट की उपस्थिति की सापेक्ष आवृत्ति का विचलन पी=0.5 निरपेक्ष मान में 0.01 से अधिक नहीं होगा। उत्तर: नहीं = 1764. 12. 10,000 स्वतंत्र परीक्षणों में से प्रत्येक में होने वाली घटना की संभावना 0.75 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी घटना के घटित होने की आपेक्षिक आवृत्ति निरपेक्ष मान में इसकी प्रायिकता से 0.01 से अधिक नहीं भटकती है। उत्तर: . 13. प्रत्येक स्वतंत्र परीक्षण में एक घटना के घटित होने की प्रायिकता 0.5 है। परीक्षणों की संख्या ज्ञात कीजिए एन, जिस पर 0.7698 की संभावना के साथ यह उम्मीद की जा सकती है कि किसी घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति इसकी संभावना से निरपेक्ष मान में 0.02 से अधिक नहीं होती है।8. कार्य।
9. समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम लिखें: 5 मिनट।
10. ब्लैकबोर्ड पर विश्लेषण के साथ समस्या का समाधान। अनुबंध 5. 10 मि.
11. प्रस्तुतियों के माध्यम से पाठ की जानकारी को सारांशित करना
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- अवशोषण कानून
; 
- डी मॉर्गन के नियम
वियोजन के माध्यम से निहितार्थ व्यक्त करने वाला कानून है
- प्रतिपक्ष का कानून
नपुंसकता का नियम है।
.
.
, जहां और प्रत्येक या तो एक चर है, या एक चर का निषेध है, या चर का एक संयोजन या उनके निषेध हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी सूत्र को एक साधारण मानक रूप के समतुल्य सूत्र में कम किया जा सकता है, जो तत्वों का एक संयोजन होगा, जिनमें से प्रत्येक अलग-अलग तार्किक चर का संयोजन है, या तो एक निषेध चिह्न के साथ या बिना।
, जहां और प्रत्येक या तो एक चर है, या एक चर का निषेध है, या चर का एक संयोजन या उनके निषेध हैं। इस फॉर्म को कहा जाता है संयोजक सामान्य रूप
(केएनएफ)।
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