किसी भी मात्रा से जुड़े तीन मुख्य गुण होते हैं:
- नाम,
- अर्थ,
- प्रकार।
मूल्य का नामशायद अर्थपूर्ण और प्रतीकात्मक . शब्दार्थ नाम का एक उदाहरण "गैस का दबाव" है, उसी मात्रा का प्रतीकात्मक नाम R है।
यदि एक मात्रा मूल्यनहीं बदलता है, तो इसे स्थिर मान कहा जाता है या लगातार . एक स्थिरांक का एक उदाहरण पाइथागोरस संख्या ¶=3.14259... है। वह मात्रा जिसका मान बदल सकता है, कहलाती है चर . उदाहरण के लिए, किसी पिंड के गिरने की प्रक्रिया का वर्णन करने में, चर ऊँचाई H और गिरने का समय t हैं।
प्रकारमूल्यों के सेट को परिभाषित करता है जो एक मूल्य ले सकता है। मात्राओं के मूल प्रकार : संख्यात्मक, वर्ण, बूलियन। आयाम उन इकाइयों को निर्धारित करें जिनमें मात्राओं के मान प्रस्तुत किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, टी (एस) गिरावट का समय है; एच (एम) - गिरावट की ऊंचाई।
गणितीय मॉडल
यदि मात्राओं के बीच संबंध को गणितीय रूप में दर्शाया जा सकता है, तो यह गणित का मॉडल .
एक गणितीय मॉडल किसी वस्तु (प्रक्रिया) की मात्रात्मक विशेषताओं और उनके बीच संबंधों का एक समूह है, जिसे गणित की भाषा में प्रस्तुत किया जाता है।
यह कार्यात्मक रूप में प्रदर्शित निर्भरता का एक उदाहरण है। इस निर्भरता को मूल निर्भरता कहा जाता है (समय ऊंचाई के वर्गमूल के समानुपाती होता है)।
अधिक जटिल समस्याओं में, गणितीय मॉडल को समीकरणों या समीकरणों के सिस्टम के रूप में दर्शाया जाता है।
सारणीबद्ध और ग्राफिक मॉडल
ये अन्य, गैर-सूत्र, मात्राओं के बीच निर्भरता का प्रतिनिधित्व करने के तरीके हैं। उदाहरण के लिए, हमने प्रयोगात्मक रूप से किसी पिंड के मुक्त रूप से गिरने के नियम का परीक्षण करने का निर्णय लिया।
| हम प्रयोग को निम्नानुसार व्यवस्थित करते हैं: हम गेंद की प्रारंभिक स्थिति की ऊंचाई और गिरने के समय को मापने के लिए, 6 मीटर ऊंचाई, 9 मीटर ऊंचाई आदि (3 मीटर के बाद) से स्टील की गेंद फेंक देंगे। प्रयोग के परिणामों के आधार पर, हम एक तालिका संकलित करेंगे और एक आलेख तैयार करेंगे।यदि इस तालिका से एच और टी मानों की प्रत्येक जोड़ी को समय पर ऊंचाई की निर्भरता के लिए उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सूत्र एक समानता (सटीकता के साथ) में बदल जाएगामाप त्रुटि तक)। तो मॉडल अच्छा काम करता है। हालाँकि, यदि आप एक स्टील की गेंद नहीं, बल्कि एक बड़ी हल्की गेंद को गिराते हैं, तो समानता प्राप्त नहीं होगी, और यदि यह एक inflatable गेंद है, तो सूत्र के बाएँ और दाएँ भागों के मान बहुत भिन्न होंगे बहुत। आपको क्या लगता है? |  |  |
उसी तरह, ज्ञात सूत्रों द्वारा वर्णित भौतिक प्रकृति की किसी भी घटना की निर्भरता को प्रदर्शित किया जा सकता है।
समय के साथ सिस्टम के विकास का वर्णन करने वाले सूचना मॉडल का एक विशेष नाम है: गतिशील मॉडल . भौतिकी में, गतिशील सूचना मॉडल शरीर की गति का वर्णन करते हैं, जीव विज्ञान में - जीवों या जानवरों की आबादी का विकास, रसायन विज्ञान में - रासायनिक प्रतिक्रियाओं का कोर्स, आदि।
सांख्यिकीय भविष्यवाणी मॉडल
आंकड़े- बड़े पैमाने पर मात्रात्मक डेटा एकत्र करने, मापने और विश्लेषण करने का विज्ञान।
चिकित्सा आँकड़े, आर्थिक आँकड़े, सामाजिक आँकड़े और अन्य हैं। आँकड़ों का गणितीय तंत्र एक विज्ञान द्वारा विकसित किया जा रहा है जिसे कहा जाता है गणित के आँकड़े
.
| उदाहरण के लिए, कार्बन मोनोऑक्साइड का ब्रोन्कियल और फुफ्फुसीय रोगों पर सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है -। इस संबंध को निर्धारित करने का लक्ष्य निर्धारित करने के बाद, चिकित्सा सांख्यिकीविद डेटा एकत्र करते हैं। प्राप्त आंकड़ों को एक तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है, साथ ही एक स्कैटर प्लॉट के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। और इस घटना का गणितीय मॉडल कैसे बनाया जाए? जाहिर है, आपको एक सूत्र प्राप्त करने की आवश्यकता है जो कार्बन मोनोऑक्साइड सी की एकाग्रता पर पुराने रोगियों की संख्या पी की निर्भरता को दर्शाता है। गणित की भाषा में, इसे सी: पी (सी) पर पी का निर्भरता फ़ंक्शन कहा जाता है। इस तरह के एक फ़ंक्शन का रूप अज्ञात है, इसे प्रयोगात्मक डेटा से चयन विधि द्वारा खोजा जाना चाहिए। |  |  |
इससे वांछित कार्य के लिए बुनियादी आवश्यकताओं का पालन करें:
यह इतना सरल होना चाहिए कि आगे की गणनाओं में उपयोग किया जा सके;
इस फलन का ग्राफ प्रायोगिक बिंदुओं के पास से गुजरना चाहिए ताकि ग्राफ से इन बिंदुओं का विचलन न्यूनतम और एकसमान हो। आँकड़ों में परिणामी फलन को आमतौर पर कहा जाता है प्रतिगमन मॉडल.
कम से कम वर्ग विधि
प्रतिगमन मॉडल दो चरणों में प्राप्त किया जाता है:
1) फ़ंक्शन के प्रकार का चयन;
2) फ़ंक्शन मापदंडों की गणना।
पहली समस्या का कोई कठोर समाधान नहीं है।
सबसे अधिक बार, चुनाव निम्नलिखित कार्यों में से किया जाता है:
y \u003d कुल्हाड़ी + बी - रैखिक कार्य (पहली डिग्री का बहुपद);
वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी - द्विघात कार्य
वाई =ए एन एक्स एन + ए (एन -1) एक्स एन -1 +...+ए 2 एक्स 2 + ए 1 एक्स + ए 0 -nth डिग्री बहुपद;
वाई = ए एलएन(एक्स) + बी - लॉगरिदमिक फ़ंक्शन;
y = ae bx - घातांकीय फलन;
y = ax b एक शक्ति फलन है।
प्रस्तावित कार्यों में से एक को चुनने के बाद, आपको मापदंडों (ए, बी, सी, आदि) का चयन करने की आवश्यकता है ताकि फ़ंक्शन पैरामीटर गणना पद्धति का उपयोग करके प्रयोगात्मक बिंदुओं के यथासंभव करीब स्थित हो। यह विधि 18वीं शताब्दी में जर्मन गणितज्ञ के. गॉस द्वारा प्रस्तावित की गई थी। इसे कम से कम वर्गों की विधि (LSM) कहा जाता है और सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और इसे कई गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों में बनाया गया है। निम्नलिखित को समझना महत्वपूर्ण है: किसी दिए गए प्रयोगात्मक बिंदुओं के लिए कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके किसी भी फ़ंक्शन का निर्माण किया जा सकता है। लेकिन क्या यह हमें संतुष्ट करेगा, यह पहले से ही अनुपालन की कसौटी का सवाल है। हमारे उदाहरण के लिए, कम से कम वर्ग विधि द्वारा निर्मित तीन कार्यों पर विचार करें।
ये आंकड़े माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल स्प्रेडशीट का उपयोग करके प्राप्त किए गए थे। प्रतिगमन मॉडल के प्लॉट को कहा जाता है रुझान.
अंग्रेजी शब्द "ट्रेंड" का अनुवाद "सामान्य दिशा" या "ट्रेंड" के रूप में किया जा सकता है।
एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है। इस ग्राफ से इस वृद्धि की प्रकृति के बारे में कुछ भी कहना मुश्किल है। लेकिन द्विघात और घातांक प्रवृत्तियों विश्वसनीय
चार्ट पर ट्रेंडिंग के परिणामस्वरूप प्राप्त मूल्य होता है। इसे आर 2 के रूप में नामित किया गया है। आँकड़ों में, इसे कहा जाता है नियतत्ववाद का गुणांक. यह वह है जो निर्धारित करती है कि परिणामी प्रतिगमन मॉडल कितना सफल है। नियतत्ववाद का गुणांक हमेशा 0 से 1 की सीमा में होता है। R 2 1 के जितना करीब होगा, प्रतिगमन मॉडल उतना ही बेहतर होगा।
तीन चयनित मॉडलों में से, R 2 का मान रेखीय मॉडल के लिए सबसे छोटा है। तो वह सबसे खराब है। अन्य दो मॉडलों के लिए R2 का मान काफी करीब है (अंतर 0.01 से कम है)। वे समान रूप से सफल हैं।
प्रतिगमन मॉडल भविष्यवाणी
प्रतिगमन गणितीय मॉडल प्राप्त करने के बाद, गणना द्वारा प्रक्रिया की भविष्यवाणी करना संभव है, अर्थात न केवल उन मूल्यों के लिए अस्थमा की घटनाओं का अनुमान लगाना जो माप द्वारा प्राप्त किए गए थे, बल्कि अन्य मूल्यों के लिए भी।
यदि पूर्वानुमान प्रायोगिक मूल्यों के भीतर किया जाता है, तो इसे कहते हैं अर्थ की बहाली
.
प्रयोगात्मक डेटा से परे भविष्यवाणी करना कहलाता है एक्सट्रपलेशन।
प्रतिगमन मॉडल होने पर, स्प्रेडशीट का उपयोग करके गणना करके भविष्यवाणी करना आसान है।
कुछ मामलों में, एक्सट्रपलेशन को सावधानी से करना पड़ता है। किसी भी प्रतिगमन मॉडल की प्रयोज्यता सीमित है, विशेष रूप से परे
प्रायोगिक क्षेत्र। हमारे उदाहरण में, एक्सट्रपलेशन करते समय, किसी को 5 mg/m 3 के मान से दूर नहीं जाना चाहिए। इस क्षेत्र से दूर क्या होगा, हम नहीं जानते। कोई भी एक्सट्रपलेशन एक परिकल्पना पर टिका होता है: "मान लें कि पैटर्न प्रायोगिक क्षेत्र के बाहर बना रहता है।" क्या होगा अगर यह सहेजा नहीं गया है?
उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण में, 0 के करीब एकाग्रता पर द्विघात मॉडल 150 बीमार लोगों का उत्पादन करेगा, यानी 5 मिलीग्राम / मी 3 से अधिक। जाहिर है, यह बकवास है। सी के छोटे मूल्यों के क्षेत्र में, घातांक मॉडल बेहतर काम करता है। वैसे, यह काफी विशिष्ट स्थिति है: विभिन्न डेटा क्षेत्र विभिन्न मॉडलों के लिए बेहतर अनुकूल हो सकते हैं।
सहसंबंध निर्भरता की मॉडलिंग
कारक ए को किसी जटिल प्रणाली की एक महत्वपूर्ण विशेषता होने दें। कई अन्य कारक एक साथ इसे प्रभावित कर सकते हैं: बी, सी, डी, आदि।
मात्राओं के बीच संबंध, जिनमें से प्रत्येक एक अनियंत्रित प्रकीर्णन के अधीन होता है, कहलाते हैं सहसंबंध निर्भरता।
ऐसी निर्भरता का अध्ययन करने वाली गणितीय सांख्यिकी की शाखा कहलाती है सहसंबंध विश्लेषण।सहसंबंध विश्लेषण अन्य मात्रा के मूल्यों के साथ-साथ इस तरह की निर्भरता के माप के आधार पर प्रत्येक मात्रा के व्यवहार के औसत कानून का अध्ययन करता है।
मूल्यों के सहसंबंध का आकलन उनके मूल्यों के बीच संबंधों की संभावित प्रकृति के बारे में एक परिकल्पना के बयान से शुरू होता है। सबसे अधिक बार, एक रैखिक संबंध माना जाता है। इस मामले में, सहसंबंध निर्भरता का माप एक मान है जिसे कहा जाता है सहसंबंध गुणांक.
सहसंबंध गुणांक (आमतौर पर ग्रीक अक्षर . द्वारा दर्शाया जाता है) ρ ) -1 से +1 तक की श्रेणी से एक संख्या है;
अगरρ 1 के करीब मोडुलो, तो एक मजबूत सहसंबंध है, यदि 0 से, तो कमजोर;
निकटताρ +1 का अर्थ है कि एक सेट के मूल्यों में वृद्धि दूसरे सेट के मूल्यों में वृद्धि से मेल खाती है, -1 से निकटता का मतलब है कि एक सेट के मूल्यों में वृद्धि में कमी से मेल खाती है दूसरे सेट के मान;
अर्थρ एक्सेल का उपयोग करके खोजना आसान है, क्योंकि इस प्रोग्राम में संबंधित सूत्र बनाए गए हैं।
| एक जटिल प्रणाली के उदाहरण के रूप में, एक स्कूल पर विचार करें। बता दें कि स्कूल के आर्थिक खर्च को एक निश्चित अवधि (उदाहरण के लिए, पिछले 5 वर्षों में) स्कूल में छात्रों की संख्या (रूबल / व्यक्ति) से संबंधित रूबल की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। पिछले शैक्षणिक वर्ष के अंत के परिणामों के आधार पर स्कूली छात्रों के औसत स्कोर से प्रगति का अनुमान लगाएं। 20 स्कूलों के लिए डेटा संग्रह योग एक स्प्रेडशीट में दर्ज किया गया औरस्कैटर प्लॉटआंकड़ों में दिखाया गया है। दोनों मात्राओं के मूल्य: वित्तीय लागत और छात्र उपलब्धि - एक महत्वपूर्ण बिखराव है और, पहली नज़र में, उनके बीच संबंध दिखाई नहीं देता है। हालाँकि, यह अच्छी तरह से मौजूद हो सकता है। एक्सेल में, सहसंबंध गुणांक की गणना के लिए फ़ंक्शन को कहा जाता है कोरेलीऔर सांख्यिकीय कार्यों के समूह में शामिल है। आइए आपको दिखाते हैं कि इसका इस्तेमाल कैसे करना है। उसी एक्सेल शीट पर जहां टेबल स्थित है, आपको कर्सर को किसी भी फ्री सेल पर रखना होगा और CORREL फ़ंक्शन को चलाना होगा। यह मूल्यों की दो श्रेणियों के लिए पूछेगा। हम क्रमशः B2:B21 और C2:C21 इंगित करते हैं। उन्हें दर्ज करने के बाद, उत्तर प्रदर्शित होगा: p = 0.500273843। यह मान सहसंबंध के औसत स्तर को दर्शाता है। अब आइए विचार करें कि दोनों में से कौन से पैरामीटर: पाठ्यपुस्तकों या कंप्यूटरों की उपलब्धता अधिक सहसंबद्ध है, अर्थात। प्रदर्शन पर अधिक प्रभाव पड़ता है नीचेयह आंकड़ा 11 अलग-अलग स्कूलों में दोनों कारकों को मापने के परिणाम दिखाता है। दोनों निर्भरताओं के लिए, रैखिक सहसंबंध गुणांक प्राप्त किए गए थे। जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, पाठ्यपुस्तकों की उपलब्धता और अकादमिक प्रदर्शन के बीच संबंध कंप्यूटर प्रावधान और अकादमिक प्रदर्शन के बीच के संबंध से अधिक मजबूत है (हालांकि दोनों सहसंबंध गुणांक बहुत बड़े नहीं हैं)। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कुछ समय के लिए पुस्तक कंप्यूटर की तुलना में ज्ञान का अधिक महत्वपूर्ण स्रोत बनी हुई है। |  |
 |  |
एक यादृच्छिक चर की दूसरे यादृच्छिक चर (भौतिक विशेषता) के मूल्यों पर निर्भरता को आमतौर पर आंकड़ों में प्रतिगमन कहा जाता है। यदि इस निर्भरता को एक विश्लेषणात्मक रूप दिया जाता है, तो प्रस्तुति के इस रूप को एक प्रतिगमन समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है।
विभिन्न संख्यात्मक आबादी के बीच कथित संबंधों की खोज की प्रक्रिया में आमतौर पर निम्नलिखित चरण शामिल होते हैं:
उनके बीच संबंधों के महत्व को स्थापित करना;
गणितीय अभिव्यक्ति (प्रतिगमन समीकरण) के रूप में इस निर्भरता का प्रतिनिधित्व करने की संभावना।
इस सांख्यिकीय विश्लेषण में पहला कदम तथाकथित सहसंबंध, या सहसंबंध निर्भरता की पहचान से संबंधित है। सहसंबंध को एक संकेत के रूप में माना जाता है जो कई संख्यात्मक अनुक्रमों के संबंध को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, सहसंबंध डेटा में रिश्ते की ताकत को दर्शाता है। यदि यह दो संख्यात्मक सरणियों xi और yi के संबंध से संबंधित है, तो ऐसे सहसंबंध को युग्मित कहा जाता है।
सहसंबंध की खोज करते समय, एक मापा मान x (इसके परिवर्तन की कुछ सीमित सीमा के लिए, उदाहरण के लिए, x1 से xn तक) का एक अन्य मापा मान y (कुछ अंतराल y1 ... yn में भी परिवर्तन) के साथ एक संभावित कनेक्शन आमतौर पर होता है प्रकट किया। इस मामले में, हम दो संख्यात्मक अनुक्रमों से निपटेंगे, जिनके बीच एक सांख्यिकीय (सहसंबंध) संबंध की उपस्थिति स्थापित करना आवश्यक है। इस स्तर पर, यह निर्धारित करने के लिए कार्य अभी तक निर्धारित नहीं है कि इनमें से एक यादृच्छिक चर एक फ़ंक्शन है, और दूसरा एक तर्क है। एक विशिष्ट विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति y = f(x) के रूप में उनके बीच एक मात्रात्मक संबंध खोजना एक अन्य विश्लेषण, प्रतिगमन का कार्य है।
, सहसंबंध विश्लेषण डेटा जोड़े x और y के बीच संबंधों की ताकत का अनुमान लगाता है, जबकि प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग दूसरे (x) के आधार पर एक चर (y) की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है। दूसरे शब्दों में, इस मामले में, वे विश्लेषण की गई आबादी के बीच एक कारण संबंध की पहचान करने का प्रयास करते हैं।
कड़ाई से बोलते हुए, यह संख्यात्मक सेटों के बीच दो प्रकार के कनेक्शन के बीच अंतर करने के लिए प्रथागत है - एक कार्यात्मक निर्भरता या एक सांख्यिकीय (यादृच्छिक) हो सकता है। एक कार्यात्मक कनेक्शन की उपस्थिति में, प्रभावित करने वाले कारक (तर्क) का प्रत्येक मूल्य दूसरे संकेतक (फ़ंक्शन), ᴛ.ᴇ के कड़ाई से परिभाषित मूल्य से मेल खाता है। प्रभावी विशेषता में परिवर्तन पूरी तरह से कारक विशेषता की कार्रवाई के कारण होता है।
विश्लेषणात्मक रूप से, कार्यात्मक निर्भरता निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत की जाती है: y = f(x)।
एक सांख्यिकीय संबंध के मामले में, एक कारक का मूल्य अध्ययन के तहत पैरामीटर के कुछ अनुमानित मूल्य से मेल खाता है, इसका सटीक मूल्य अप्रत्याशित, अप्रत्याशित है, और इसलिए परिणामी संकेतक यादृच्छिक चर बन जाते हैं। इसका मतलब यह है कि प्रभावी विशेषता y में परिवर्तन कारक विशेषता x के प्रभाव के कारण केवल आंशिक रूप से होता है, क्योंकि अन्य कारकों का प्रभाव भी संभव है, जिसका योगदान є: y = f(x) + के रूप में दर्शाया गया है।
उनकी प्रकृति से, सहसंबंध सहसंबंधी संबंध हैं। वाणिज्यिक गतिविधि के संकेतकों के बीच सहसंबंध का एक उदाहरण है, उदाहरण के लिए, व्यापार की मात्रा पर वितरण लागत की मात्रा की निर्भरता। इस संबंध में, कारक चिह्न x (माल कारोबार की मात्रा) के अलावा, प्रभावी संकेत y (वितरण लागत का योग) अन्य कारकों से भी प्रभावित होता है, जिसमें बेहिसाब लोग शामिल हैं, जो योगदान उत्पन्न करते हैं।
यादृच्छिक चर के अध्ययन किए गए सेटों के बीच संबंध के अस्तित्व के मात्रात्मक मूल्यांकन के लिए, एक विशेष सांख्यिकीय संकेतक का उपयोग किया जाता है - सहसंबंध गुणांक आर।
यदि यह माना जाता है कि इस संबंध को y \u003d a + bx (जहां a और b स्थिरांक हैं) के रैखिक समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो यह एक रैखिक सहसंबंध के अस्तित्व के बारे में बात करने के लिए प्रथागत है।
गुणांक r एक विमाहीन मात्रा है, यह 0 से ±1 तक भिन्न हो सकती है। गुणांक का मान एकता के जितना करीब होता है (चाहे कोई भी चिन्ह क्यों न हो), उतना ही अधिक विश्वास यह तर्क दिया जा सकता है कि विचाराधीन चरों के दो सेटों के बीच एक रैखिक संबंध है। दूसरे शब्दों में, इनमें से एक यादृच्छिक चर (y) का मान अनिवार्य रूप से इस बात पर निर्भर करता है कि दूसरा (x) कितना मान लेता है।
यदि यह पता चलता है कि r = 1 (या -1), तो विशुद्ध रूप से कार्यात्मक निर्भरता का एक क्लासिक मामला है (ᴛ.ᴇ. एक आदर्श संबंध का एहसास होता है)।
द्वि-आयामी स्कैटरप्लॉट का विश्लेषण करते समय, विभिन्न संबंध पाए जा सकते हैं। सबसे सरल विकल्प एक रैखिक संबंध है, जिसका अर्थ है कि बिंदुओं को एक सीधी रेखा के साथ यादृच्छिक रूप से रखा जाता है। यदि बिंदु बेतरतीब ढंग से स्थित हैं और बाएं से दाएं जाने पर कोई ढलान (न तो ऊपर और न ही नीचे) का पता नहीं लगाया जा सकता है, तो आरेख कोई संबंध नहीं दर्शाता है।
यदि इस पर बिंदुओं को एक घुमावदार रेखा के साथ समूहीकृत किया जाता है, तो स्कैटर आरेख एक गैर-रैखिक संबंध की विशेषता है। ऐसी स्थितियां काफी संभव हैं।
मात्रा वस्तुओं के मात्रात्मक मूल्य, खंडों की लंबाई, समय, कोण आदि हैं।
परिभाषा। मान - एक माप का परिणाम, एक संख्या और माप की इकाई के नाम से दर्शाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1 किमी; 5 घंटे 60 किमी/घंटा; 15 किलो; 180°.
मात्रास्वतंत्र या एक दूसरे पर निर्भर हो सकते हैं। मात्राओं का संबंध कठोरता से स्थापित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, 1 डीएम \u003d 10 सेमी) या एक विशिष्ट संख्यात्मक मान निर्धारित करने के लिए सूत्र द्वारा व्यक्त मात्राओं के बीच संबंध को प्रतिबिंबित कर सकता है (उदाहरण के लिए, पथ गति और अवधि पर निर्भर करता है आंदोलन; वर्ग का क्षेत्रफल - इसकी लंबाई के किनारों पर, आदि)।
लंबाई के माप की मीट्रिक प्रणाली का आधार - मीटर - रूस में 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था, और इससे पहले, लंबाई मापने के लिए निम्नलिखित का उपयोग किया जाता था: अर्शिन (= 71 सेमी), वर्स्ट (= 1067 मीटर) ), तिरछा साज़ेन (= 2 मीटर 13 सेमी), चक्का थाह (= 1 मीटर 76 सेमी), साधारण थाह (= 1 मीटर 52 सेमी), चौथाई (= 18 सेमी), हाथ (लगभग 35 सेमी से 46 सेमी), अवधि (18 सेमी से 23 सेमी तक)।
जैसा कि आप देख सकते हैं, बहुत सारे थे मात्रालंबाई मापने के लिए। माप की मीट्रिक प्रणाली की शुरुआत के साथ, लंबाई मूल्यों की निर्भरता सख्ती से तय हो गई है:
- 1 किमी = 1,000 मीटर; 1 मीटर = 100 सेमी;
- 1 डीएम = 10 सेमी; 1 सेमी = 10 मिमी।
माप की मीट्रिक प्रणाली में, समय, लंबाई, द्रव्यमान, आयतन, क्षेत्र और गति के लिए माप की इकाइयाँ परिभाषित की जाती हैं।
दो या दो से अधिक मात्राओं या उपायों की प्रणालियों के बीच, संबंध स्थापित करना भी संभव है, यह सूत्रों में तय होता है, और सूत्र अनुभवजन्य रूप से व्युत्पन्न होते हैं।
परिभाषा। दो परस्पर आश्रित राशियाँ कहलाती हैं आनुपातिकयदि उनके मूल्यों का अनुपात अपरिवर्तित रहता है।
दो राशियों के अचर अनुपात को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है। आनुपातिकता कारकदिखाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरी मात्रा की प्रति इकाई हैं। यदि गुणांक बराबर हैं। वह रिश्ता बराबर है।
दूरी गति और गति के समय का उत्पाद है: यहाँ से गति का मूल सूत्र प्राप्त हुआ था:
कहाँ पे एस- मार्ग; वी- रफ़्तार; टी- समय।
गति का मूल सूत्र गति और गति पर दूरी की निर्भरता है। इस निर्भरता को कहा जाता है मसालेदार आनुपातिक.
परिभाषा। दो चर सीधे आनुपातिक होते हैं यदि, एक मान में कई गुना वृद्धि (या कमी) के साथ, दूसरा मान उसी राशि से बढ़ता (या घटता) है; वे। ऐसी मात्राओं के संगत मानों का अनुपात एक स्थिर मान होता है।
नियत दूरी पर गति और समय एक अन्य संबंध से जुड़े होते हैं, जिसे कहते हैं विपरीत समानुपाती.
नियम। दो चर व्युत्क्रमानुपाती होते हैं यदि, एक मान में कई बार वृद्धि (या कमी) के साथ, दूसरा मान उसी राशि से घटता (या बढ़ता) है; वे। ऐसी मात्राओं के संगत मानों का गुणनफल एक स्थिर मान होता है।
गति सूत्र से दो और संबंध निकाले जा सकते हैं, जो उनमें शामिल मात्राओं की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम निर्भरता को व्यक्त करते हैं:
टी = एस: वी- यात्रा के समय प्रत्यक्ष अनुपात मेंपथ यात्रा की और व्युत्क्रमानुपातीगति की गति (पथ के समान खंडों के लिए, गति जितनी अधिक होगी, दूरी को पार करने में उतना ही कम समय लगेगा)।
वी = एस: टी- आंदोलन को गति सीधे आनुपातिकपथ यात्रा की और विपरीत समानुपातीयात्रा का समय (पथ के समान खंडों के लिए, अधिक
जब कोई वस्तु चलती है, तो दूरियों को दूर करने के लिए कम गति की आवश्यकता होती है)।
सभी तीन गति सूत्र समतुल्य हैं और समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।
विषय: गणित
कक्षा: 4
पाठ का विषय: गति, तय की गई दूरी और समय के बीच संबंध
आंदोलन।
उद्देश्य: मात्राओं के बीच संबंध की पहचान करना और उसे सही ठहराना: गति, समय,
दूरी;
कार्य: गैर-मानक सोच के विकास को बढ़ावा देना, निष्कर्ष निकालने की क्षमता,
कारण; संज्ञानात्मक गतिविधि की शिक्षा में योगदान।
उपकरण: अलग-अलग रंगों में अलग-अलग कार्ड, मूल्यांकन मानदंड,
प्रतिबिंब कार्ड, दो रंगों के वृत्त।
कक्षाओं के दौरान।
1. आयोजन क्षण।
कार्ड दो रंगों में: पीला और नीला। कार्ड के साथ अपना मूड दिखाएं
पाठ की शुरुआत और अंत में।
पाठ की शुरुआत में कार्ड भरना (परिशिष्ट 1.)
संख्या अनुमोदन
पाठ का अंत
पाठ प्रारंभ
हां
नहीं
पता नहीं हाँ
नहीं नहीं
मुझे पता है
1. मुझे सारे फॉर्मूले पता हैं
आंदोलन कार्य
2. मैं निर्णय को समझता हूं
आंदोलन कार्य
3. मैं अपने लिए फैसला कर सकता हूं
कार्य
4. मैं रचना कर सकता हूँ
कार्यों के लिए योजनाएं
गति
5. मुझे पता है क्या गलतियां
निर्णय में स्वीकार करें
आंदोलन कार्य
2. दोहराव।
गति का पता कैसे लगाएं? समय? दूरी?
गति, दूरी, समय के लिए माप की इकाइयाँ क्या हैं।
3. पाठ के विषय का संदेश।
हम कक्षा में क्या सीखेंगे?
4. एक समूह में काम करें।
गति की वस्तुओं को जोड़ना (परिशिष्ट 2)
पैदल यात्री 70km/h
स्कीयर 5km/h
कार 10km/h
जेट विमान 12km/h
ट्रेन 50km/h
घोंघा 900km/h
घोड़ा 90 किमी/घंटा
जाँच का कार्य।
5. गणितीय पहेली (स्वतंत्र कार्य)
साइकिल चालक की गति ट्रेन की गति से कितनी कम है?
स्कीयर की गति चलने की गति से कितने किमी तेज है?
एक कार की गति जेट विमान की गति से कितनी गुना कम है?
सबसे तेज गति से चलने वाले वाहन की संयुक्त गति और सबसे तेज गति का पता लगाएं
धीमा।
साइकिल चालक और स्कीयर ट्रेन की संयुक्त गति ज्ञात कीजिए।
6. मापदंड के अनुसार कार्यों की स्व-जांच।
7. भौतिक मिनट।
वर्ग का लाल रंग खड़ा है
हरा - चलो चलें
पीला - अपने हाथों को 1 बार ताली
8. एक समूह में काम करें। (कार्ड पीला) (जेग्सो विधि)
काम।
दो महिलाओं ने तर्क दिया कि एक स्तूप या पोमेलो तेज था? यह वही
228 किमी की दूरी एक बाबायगा ने 4 घंटे में मोर्टार में और एक बाबायगा ने 3 घंटे में झाड़ू पर तय की थी। क्या
अधिक गति स्तूप या पोमेलो?
9. "प्रयोग" की एक जोड़ी में काम करें।
निम्नलिखित मानों का उपयोग करके एक आंदोलन समस्या के साथ आएं: 18 किमी/घंटा, 4 घंटे, 24 किमी, 3 घंटे।
जाँच का कार्य।
10. टेस्ट।
1. चाल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।
2. समय निकालने का सूत्र लिखिए।
3. दूरी कैसे ज्ञात करें? सूत्र लिखिए।
4. 8 किमी/मिनट को किमी/घंटा में लिखें
5. एक पैदल यात्री को 5 किमी/घंटा की गति से चलते हुए 42 किमी चलने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।
6. एक पैदल यात्री 5 किमी/घंटा की गति से 6 घंटे में कितनी दूरी तय करेगा?
11. पाठ का परिणाम।
तालिका में भरें कि पाठ के अंत में हमें क्या परिणाम प्राप्त हुए।
एक कार्ड दिखाएं जो आपके मूड से मेल खाता हो।
पाठ प्रारंभ
हां
नहीं
परिशिष्ट 1।
पाठ का अंत
पता नहीं हाँ
संख्या अनुमोदन
1. मुझे सारे फॉर्मूले पता हैं
आंदोलन कार्य
2. मैं निर्णय को समझता हूं
आंदोलन कार्य
3. मैं अपने लिए फैसला कर सकता हूं
कार्य
4. मैं रचना कर सकता हूँ
कार्यों के लिए योजनाएं
गति
5. मुझे पता है क्या गलतियां
निर्णय में स्वीकार करें
आंदोलन कार्य
मोशन ऑब्जेक्ट्स कनेक्ट करें।
पैदल यात्री 70km/h
स्कीयर 5km/h
कार 10km/h
जेट विमान 12km/h
ट्रेन 50km/h
घोंघा 900km/h
घोड़ा 90 किमी/घंटा
नहीं नहीं
मुझे पता है
परिशिष्ट 2
