फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

गणितीय विश्लेषण की अवधारणा। किसी फ़ंक्शन द्वारा सेट के किसी बिंदु पर लिया गया मान, जिस पर यह फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, इस सेट पर सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान कहलाता है यदि फ़ंक्शन का सेट में किसी अन्य बिंदु पर बड़ा (छोटा) मान नहीं है। एन. और एन. एच। एफ। इसके मूल्यों की तुलना में सभी पर्याप्त रूप से करीब बिंदुओं को फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा (क्रमशः, मैक्सिमा और मिनिमा) कहा जाता है। एन. और एन. एच। f., एक खंड पर दिया गया है, या तो उन बिंदुओं पर प्राप्त किया जा सकता है जहां व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, या उन बिंदुओं पर जहां यह मौजूद नहीं है, या खंड के सिरों पर प्राप्त किया जा सकता है। एक खंड पर दिया गया एक सतत कार्य अनिवार्य रूप से अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है; यदि एक अंतराल पर एक निरंतर कार्य पर विचार किया जाता है (अर्थात, बहिष्कृत सिरों वाला एक खंड), तो इस अंतराल पर इसके मूल्यों के बीच अधिकतम या न्यूनतम नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर = एक्स, अंतराल पर दिया गया, क्रमशः सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों तक पहुंचता है एक्स= 1 और एक्स= 0 (अर्थात, खंड के सिरों पर); यदि हम इस फ़ंक्शन को अंतराल (0; 1) पर मानते हैं, तो इस अंतराल पर इसके मूल्यों में से प्रत्येक के लिए न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा है X 0इस अंतराल का एक बिंदु हमेशा दायीं ओर (बाईं ओर) होता है X 0, और ऐसा कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान बिंदु से अधिक (क्रमशः, कम) होगा X 0. इसी तरह के बयान कई चर के कार्यों के लिए मान्य हैं। चरम भी देखें।

महान सोवियत विश्वकोश। - एम .: सोवियत विश्वकोश. 1969-1978 .

देखें कि "फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

गणितीय विश्लेषण की अवधारणाएँ। फ़ंक्शन द्वारा सेट के किसी बिंदु पर लिया गया मान, जिस पर यह फ़ंक्शन दिया जाता है, इस सेट पर सबसे बड़ा (सबसे छोटा) कहलाता है, यदि किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन का बड़ा (छोटा) नहीं है ... ... विश्वकोश शब्दकोश

गणित की अवधारणाएं। विश्लेषण। सेट के किसी विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन द्वारा लिया गया मान, इस फ़ंक्शन को दिया जाता है, कहा जाता है। इस सेट पर सबसे बड़ा (सबसे छोटा), यदि किसी अन्य बिंदु पर फ़ंक्शन का बड़ा (छोटा) मान नहीं है ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश

अधिकतम और न्यूनतम समारोह- क्रमशः, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान सभी पर्याप्त रूप से करीब बिंदुओं पर इसके मूल्यों की तुलना में। उच्च और निम्न बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है... महान पॉलिटेक्निक विश्वकोश

सबसे बड़ा और, तदनुसार, किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान जो वास्तविक मान लेता है। प्रश्न में फलन की परिभाषा के क्षेत्र का वह बिंदु जिसमें यह अधिकतम या न्यूनतम लेता है, कहलाता है। क्रमशः अधिकतम बिंदु या न्यूनतम बिंदु ... ... गणितीय विश्वकोश

कार्यात्मक प्रणालियों और टर्नरी लॉजिक के सिद्धांत में एक टर्नरी फ़ंक्शन प्रकार का एक फ़ंक्शन है, जहां एक टर्नरी सेट है, और एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, जिसे फ़ंक्शन की एरिटी या स्थानीयता कहा जाता है। सेट के तत्व डिजिटल हैं ... ... विकिपीडिया

सामान्य रूपों द्वारा बूलियन कार्यों का प्रतिनिधित्व (बूलियन फ़ंक्शन सामान्य रूप देखें)। जटिलता के कुछ उपाय के संबंध में सबसे सरल। आमतौर पर, एक सामान्य रूप की जटिलता को उसमें अक्षरों की संख्या के रूप में समझा जाता है। इस मामले में, सबसे सरल रूप को कहा जाता है ... ... गणितीय विश्वकोश

एक फ़ंक्शन जो तर्क के रूप में इनफिनिटिमल इंक्रीमेंट प्राप्त करता है, असीम रूप से बढ़ता है। एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन f (x) को तर्क x0 के मान के लिए निरंतर कहा जाता है, यदि तर्क x के सभी मानों के लिए x0 से पर्याप्त रूप से भिन्न होता है ... महान सोवियत विश्वकोश

- (लैटिन अधिकतम और न्यूनतम, शाब्दिक रूप से सबसे बड़ा और सबसे छोटा) (गणित), किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान पर्याप्त रूप से निकट बिंदुओं में इसके मूल्यों की तुलना में। आकृति में, फ़ंक्शन y \u003d f (x) में अधिकतम बिंदु x1 और x3 है, और बिंदु x2 ... ... विश्वकोश शब्दकोश

- (लैटिन अधिकतम और न्यूनतम से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा) (गणितीय), किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान पर्याप्त रूप से निकट बिंदुओं में इसके मूल्यों की तुलना में। उच्च और निम्न बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है... आधुनिक विश्वकोश

कभी-कभी समस्याओं में B15 "खराब" कार्य होते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न खोजना मुश्किल होता है। पहले, यह केवल जांच पर था, लेकिन अब ये कार्य इतने सामान्य हैं कि इस परीक्षा की तैयारी करते समय अब ​​इन्हें अनदेखा नहीं किया जा सकता है।

ऐसे में अन्य तरकीबें काम आती हैं, जिनमें से एक है - एक लय.

फलन f (x) को खंड पर एकरसता से बढ़ते हुए कहा जाता है, यदि इस खंड के किसी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1) < f (x2).

फलन f (x) को खंड पर नीरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड के किसी बिंदु x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित सत्य है:

एक्स 1< x 2 ⇒ f (एक्स 1)> एफ ( x2).

दूसरे शब्दों में, एक बढ़ते फलन के लिए, बड़ा x जितना बड़ा होता है, उतना ही बड़ा f(x) होता है। घटते फलन के लिए, विपरीत सत्य है: अधिक x , the छोटेएफ (एक्स)।

उदाहरण के लिए, यदि आधार a > 1 है तो लघुगणक नीरस रूप से बढ़ता है और यदि 0 . हो तो नीरस रूप से घटता है< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = लॉग a x (a > 0; a 1; x > 0)

अंकगणितीय वर्ग (और न केवल वर्ग) की जड़ परिभाषा के पूरे क्षेत्र में एकरस रूप से बढ़ती है:

घातांकीय फलन लघुगणक के समान व्यवहार करता है: यह a > 1 के लिए बढ़ता है और 0 . के लिए घटता है< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

एफ (एक्स) = एक एक्स (ए> 0)

अंत में, एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। आप इन्हें भिन्न के रूप में लिख सकते हैं। उनके पास एक विराम बिंदु है जहां एकरसता टूट जाती है।

ये सभी कार्य अपने शुद्ध रूप में कभी नहीं पाए जाते हैं। उनमें बहुपद, भिन्न और अन्य बकवास जोड़ दिए जाते हैं, जिसके कारण व्युत्पन्न की गणना करना मुश्किल हो जाता है। इस मामले में क्या होता है - अब हम विश्लेषण करेंगे।

परवलय शीर्ष निर्देशांक

अक्सर, फ़ंक्शन तर्क को इसके साथ बदल दिया जाता है वर्ग त्रिपद y = ax 2 + bx + c के रूप का। इसका ग्राफ एक मानक परवलय है, जिसमें हम रुचि रखते हैं:

1. परवलय शाखाएँ - ऊपर जा सकती हैं (a> 0) या नीचे (a . के लिए)< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. एक परवलय का शीर्ष एक द्विघात फलन का चरम बिंदु होता है, जिस पर यह फलन अपना सबसे छोटा (a> 0) या सबसे बड़ा (a) लेता है।< 0) значение.

सबसे बड़ी दिलचस्पी है एक परवलय के ऊपर, जिसके भुज की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

तो, हमें द्विघात फलन का चरम बिंदु मिल गया है। लेकिन यदि मूल फलन मोनोटोनिक है, तो इसके लिए बिंदु x 0 भी एक चरम बिंदु होगा। इस प्रकार, हम मुख्य नियम बनाते हैं:

वर्ग ट्रिनोमियल के चरम बिंदु और जटिल कार्य जो संयोग में प्रवेश करता है। इसलिए, आप एक वर्ग ट्रिनोमियल के लिए x 0 देख सकते हैं, और फ़ंक्शन के बारे में भूल सकते हैं।

उपरोक्त तर्क से, यह स्पष्ट नहीं है कि हमें किस प्रकार का बिंदु मिलता है: अधिकतम या न्यूनतम। हालाँकि, कार्यों को विशेष रूप से डिज़ाइन किया गया है ताकि इससे कोई फर्क न पड़े। अपने लिए न्यायाधीश:

1. समस्या की स्थिति में कोई खंड नहीं है। इसलिए, f(a) और f(b) की गणना करना आवश्यक नहीं है। यह केवल चरम बिंदुओं पर विचार करने के लिए बनी हुई है;
2. लेकिन ऐसा केवल एक ही बिंदु है - यह परवलय x 0 का शीर्ष है, जिसके निर्देशांक की गणना शाब्दिक रूप से और बिना किसी व्युत्पन्न के की जाती है।

इस प्रकार, समस्या का समाधान बहुत सरल हो जाता है और केवल दो चरणों में सिमट जाता है:

1. परवलय समीकरण y = ax 2 + bx + c लिखें और सूत्र का उपयोग करके इसका शीर्ष ज्ञात करें: x 0 = −b /2a;
2. इस बिंदु पर मूल फलन का मान ज्ञात कीजिए: f (x 0)। यदि कोई अतिरिक्त शर्तें नहीं हैं, तो यह उत्तर होगा।

पहली नज़र में, यह एल्गोरिथ्म और इसका औचित्य जटिल लग सकता है। मैं जानबूझकर "नंगे" समाधान योजना पोस्ट नहीं करता, क्योंकि ऐसे नियमों का विचारहीन अनुप्रयोग त्रुटियों से भरा है।

गणित में परीक्षण परीक्षा से वास्तविक कार्यों पर विचार करें - यह वह जगह है जहाँ यह तकनीक सबसे आम है। साथ ही हम यह सुनिश्चित करेंगे कि इस तरह बी15 की कई समस्याएं लगभग मौखिक हो जाएं।

जड़ के नीचे एक द्विघात फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि गुणांक a \u003d 1\u003e 0 है।

परवलय के ऊपर:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

चूँकि परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, बिंदु x 0 \u003d −3 पर, फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 6x + 13 सबसे छोटा मान लेता है।

जड़ नीरस रूप से बढ़ रहा है, इसलिए x 0 पूरे फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है। हमारे पास है:

काम। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लघुगणक 2 (x 2 + 2x + 9)

लघुगणक के तहत फिर से एक द्विघात कार्य है: y \u003d x 2 + 2x + 9. ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय है, क्योंकि ए = 1> 0।

परवलय के ऊपर:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

तो, बिंदु x 0 = -1 पर, द्विघात फलन सबसे छोटा मान लेता है। लेकिन फलन y = log 2 x एक स्वर है, इसलिए:

y मिनट = y (−1) = लघुगणक 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = लघुगणक 2 8 = 3

घातांक एक द्विघात फलन y = 1 - 4x - x 2 है। आइए इसे सामान्य रूप में फिर से लिखें: y = −x 2 − 4x + 1।

जाहिर है, इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, नीचे की शाखाएं (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

मूल फ़ंक्शन घातीय है, यह एकरस है, इसलिए सबसे बड़ा मान पाए गए बिंदु x 0 = -2 पर होगा:

एक चौकस पाठक निश्चित रूप से नोटिस करेगा कि हमने रूट और लॉगरिदम के अनुमेय मूल्यों के क्षेत्र को नहीं लिखा है। लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं थी: अंदर ऐसे कार्य होते हैं जिनके मूल्य हमेशा सकारात्मक होते हैं।

एक समारोह के दायरे से परिणाम

कभी-कभी, समस्या B15 को हल करने के लिए, केवल परवलय के शीर्ष का पता लगाना पर्याप्त नहीं होता है। वांछित मूल्य झूठ हो सकता है खंड के अंत में, लेकिन चरम बिंदु पर नहीं। यदि कार्य एक खंड को बिल्कुल भी निर्दिष्ट नहीं करता है, तो देखें सहिष्णुता सीमामूल समारोह। अर्थात्:

फिर से ध्यान दें: शून्य जड़ के नीचे हो सकता है, लेकिन किसी अंश के लघुगणक या हर में कभी नहीं। आइए देखें कि यह विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करता है:

काम। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें:

जड़ के नीचे फिर से एक द्विघात कार्य है: y \u003d 3 - 2x - x 2। इसका ग्राफ एक परवलय है, लेकिन शाखाएं नीचे की ओर हैं क्योंकि a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

हम अनुमेय मूल्यों (ODZ) के क्षेत्र को लिखते हैं:

3 − 2x - x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; एक]

अब परवलय का शीर्ष ज्ञात कीजिए:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

बिंदु x 0 = −1 ODZ खंड से संबंधित है - और यह अच्छा है। अब हम बिंदु x 0 पर और साथ ही ODZ के सिरों पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

y(−3) = y(1) = 0

तो, हमें संख्याएँ 2 और 0 मिलीं। हमें सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए कहा गया है - यह संख्या 2 है।

काम। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

y = लॉग 0.5 (6x - x 2 - 5)

लघुगणक के अंदर एक द्विघात कार्य y \u003d 6x - x 2 - 5 है। यह नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है, लेकिन लघुगणक में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं हो सकती हैं, इसलिए हम ODZ लिखते हैं:

6x - x 2 - 5 > 0 x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

कृपया ध्यान दें: असमानता सख्त है, इसलिए छोर ODZ से संबंधित नहीं हैं। इस प्रकार, लघुगणक मूल से भिन्न होता है, जहाँ खंड के सिरे हमें काफी अच्छे लगते हैं।

परवलय के शीर्ष की तलाश में:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

परवलय का शीर्ष ODZ के साथ फिट बैठता है: x 0 = 3 (1; 5)। लेकिन चूंकि खंड के सिरों में हमारी रुचि नहीं है, इसलिए हम केवल बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन के मान पर विचार करते हैं:

y मिनट = y (3) = लघुगणक 0.5 (6 3 - 3 2 - 5) = लघुगणक 0.5 (18 - 9 - 5) = लघुगणक 0.5 4 = -2

फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े मान को सबसे बड़ा कहा जाता है, सबसे छोटा मान उसके सभी मानों में सबसे छोटा होता है।

एक फ़ंक्शन में केवल एक सबसे बड़ा और केवल एक सबसे छोटा मान हो सकता है, या कोई भी नहीं हो सकता है। निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजना इन कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:

1) यदि किसी अंतराल (परिमित या अनंत) में फलन y=f(x) निरंतर है और उसका केवल एक चरम है, और यदि यह अधिकतम (न्यूनतम) है, तो यह फलन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होगा इस अंतराल में।

2) यदि फ़ंक्शन f(x) किसी खंड पर निरंतर है, तो यह आवश्यक रूप से इस खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है। ये मान या तो खंड के अंदर स्थित चरम बिंदुओं पर या इस खंड की सीमाओं पर पहुंच जाते हैं।

खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1. व्युत्पन्न खोजें।

2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें जहां = 0 या मौजूद नहीं है।

3. महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों का पता लगाएं और उनमें से सबसे बड़ा f अधिकतम और सबसे छोटा f मिनट चुनें।

लागू समस्याओं को हल करते समय, विशेष रूप से अनुकूलन समस्याओं में, अंतराल X पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान (वैश्विक अधिकतम और वैश्विक न्यूनतम) खोजने की समस्याएं महत्वपूर्ण हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, स्थिति के आधार पर, किसी को चाहिए , एक स्वतंत्र चर चुनें और इस चर के माध्यम से अध्ययन के तहत मूल्य व्यक्त करें। फिर परिणामी फलन का वांछित अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए। इस मामले में, स्वतंत्र चर के परिवर्तन का अंतराल, जो परिमित या अनंत हो सकता है, समस्या की स्थिति से भी निर्धारित होता है।

उदाहरण।टैंक, जिसमें एक चौकोर तल के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार है, शीर्ष पर खुला है, टिन के साथ अंदर टिन किया जाना चाहिए। 108 लीटर की क्षमता वाले टैंक के आयाम क्या होने चाहिए। पानी ताकि इसकी टिनिंग की लागत कम से कम हो?

फेसला।टैंक को टिन से कोटिंग करने की लागत सबसे कम होगी, यदि दी गई क्षमता के लिए, इसकी सतह न्यूनतम है। एक डीएम द्वारा निरूपित करें - आधार की तरफ, बी डीएम - टैंक की ऊंचाई। तब इसकी सतह का क्षेत्रफल S के बराबर है

और

परिणामी संबंध टैंक एस (फ़ंक्शन) के सतह क्षेत्र और आधार के पक्ष (तर्क) के बीच संबंध स्थापित करता है। हम एक चरम के लिए फ़ंक्शन एस की जांच करते हैं। पहला व्युत्पन्न खोजें, इसे शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें:

अत: a = 6. (a) > 0 a > 6 के लिए, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

उदाहरण. किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें बीच में।

फेसला: निर्दिष्ट फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर निरंतर है। फ़ंक्शन व्युत्पन्न

पर और पर व्युत्पन्न। आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

.

दिए गए अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन मान बराबर होते हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान पर है, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान पर है।

आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न

1. फॉर्म की अनिश्चितताओं के प्रकटीकरण के लिए L'Hopital का नियम तैयार करें। विभिन्न प्रकार की अनिश्चितताओं की सूची बनाइए जिनके लिए L'Hospital के नियम का उपयोग किया जा सकता है।

2. बढ़ते और घटते फलन के संकेत बनाइए।

3. किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को परिभाषित करें।

4. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त तैयार करें।

5. तर्क के किन मूल्यों (किस बिंदु) को आलोचनात्मक कहा जाता है? इन बिंदुओं को कैसे खोजें?

6. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के पर्याप्त संकेत क्या हैं? पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके एक चरम के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एक योजना की रूपरेखा तैयार करें।

7. द्वितीय अवकलज का प्रयोग करते हुए एक चरम के फलन का अध्ययन करने की योजना की रूपरेखा तैयार कीजिए।

8. वक्र की उत्तलता, अवतलता को परिभाषित कीजिए।

9. फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु क्या है? निर्दिष्ट करें कि इन बिंदुओं को कैसे खोजें।

10. दिए गए खण्ड पर वक्र की उत्तलता और अवतलता के आवश्यक और पर्याप्त चिह्न बनाइए।

11. वक्र के स्पर्शोन्मुख को परिभाषित करें। फ़ंक्शन ग्राफ़ के लंबवत, क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख कैसे खोजें?

12. किसी फलन पर शोध करने और उसका आलेख बनाने की सामान्य योजना की रूपरेखा तैयार कीजिए।

13. किसी दिए गए खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के लिए एक नियम तैयार करें।

किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे खोजें?

इसके लिए हम प्रसिद्ध एल्गोरिथम का पालन करते हैं:

1 . हम ODZ फ़ंक्शन पाते हैं।

2 . किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढना

3 . व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें

4 . हम उन अंतरालों को पाते हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न बनाए रखता है, और उनसे हम फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के अंतराल निर्धारित करते हैं:

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} इस अंतराल में बढ़ता है।

यदि अंतराल पर I फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, तो फ़ंक्शन इस अंतराल में घट जाती है।

5 . हम ढूंढे फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदु.

पर फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु, व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है.

पर समारोह का न्यूनतम बिंदुव्युत्पन्न परिवर्तन संकेत "-" से "+".

6 . हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन का मान पाते हैं,

• फिर हम खंड के सिरों पर और अधिकतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करते हैं, और उनमें से सबसे बड़ा चुनें यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने की आवश्यकता है
• या हम खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की तुलना करते हैं, और यदि आपको फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है, तो उनमें से सबसे छोटा चुनें

हालांकि, अंतराल पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है, इस पर निर्भर करते हुए, इस एल्गोरिदम को काफी कम किया जा सकता है।

समारोह पर विचार करें . इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ इस तरह दिखता है:

आइए ओपन टास्क बैंक से समस्याओं को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें

एक । टास्क बी15 (#26695)

कट पर।

1. फ़ंक्शन को x . के सभी वास्तविक मानों के लिए परिभाषित किया गया है

जाहिर है, इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और व्युत्पन्न x के सभी मूल्यों के लिए सकारात्मक है। इसलिए, फलन बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर, यानी x=0 पर सबसे बड़ा मान लेता है।

उत्तर : 5.

2 . टास्क बी15 (नंबर 26702)

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें खंड पर।

1.ODZ समारोह शीर्षक = "(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

व्युत्पन्न शून्य है, हालांकि, इन बिंदुओं पर यह संकेत नहीं बदलता है:

इसलिए, शीर्षक = "(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} बढ़ता है और अंतराल के दाहिने छोर पर सबसे बड़ा मूल्य लेता है, पर।

यह स्पष्ट करने के लिए कि व्युत्पन्न चिह्न क्यों नहीं बदलता है, हम व्युत्पन्न के लिए व्यंजक को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं:

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

उत्तर : 5.

3. टास्क बी15 (#26708)

अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

1. ODZ फ़ंक्शन: शीर्षक = "(!LANG:x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

आइए इस समीकरण की जड़ों को त्रिकोणमितीय वृत्त पर रखें।

अंतराल में दो संख्याएँ होती हैं: तथा

चलो निशान लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम बिंदु x = 0 पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं: . बिंदुओं से गुजरते समय और व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

आइए समन्वय रेखा पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेतों के परिवर्तन को चित्रित करें:

जाहिर है, बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है (जहां व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" पर हस्ताक्षर करते हैं), और खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन मानों की तुलना करने की आवश्यकता है न्यूनतम बिंदु और खंड के बाएं छोर पर, .

और इसे हल करने के लिए, आपको विषय का न्यूनतम ज्ञान होना चाहिए। अगला शैक्षणिक वर्ष समाप्त हो रहा है, हर कोई छुट्टी पर जाना चाहता है, और इस क्षण को करीब लाने के लिए, मैं तुरंत व्यवसाय में उतर जाता हूं:

आइए क्षेत्र से शुरू करते हैं। स्थिति में निर्दिष्ट क्षेत्र है सीमित बंद किया हुआ विमान में बिंदुओं का सेट। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज से घिरे बिंदुओं का एक समूह, जिसमें संपूर्ण त्रिभुज शामिल है (यदि से सीमाओं"पॉक आउट" कम से कम एक बिंदु, फिर क्षेत्र अब बंद नहीं होगा). व्यवहार में, आयताकार, गोल और थोड़े अधिक जटिल आकार के क्षेत्र भी होते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में सख्त परिभाषाएं दी गई हैं सीमाएं, अलगाव, सीमाएं, आदि।, लेकिन मुझे लगता है कि हर कोई सहज स्तर पर इन अवधारणाओं से अवगत है, और अब और अधिक की आवश्यकता नहीं है।

समतल क्षेत्र को मानक रूप से अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, और, एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है - कई समीकरणों द्वारा (जरूरी नहीं कि रैखिक हो); कम अक्सर असमानता। एक विशिष्ट मौखिक कारोबार: "बंद क्षेत्र लाइनों द्वारा सीमित"।

विचाराधीन कार्य का एक अभिन्न अंग ड्राइंग पर क्षेत्र का निर्माण है। यह कैसे करना है? सभी सूचीबद्ध रेखाएँ खींचना आवश्यक है (इस मामले में 3 .) सीधा) और विश्लेषण करें कि क्या हुआ। वांछित क्षेत्र आमतौर पर हल्के से रचा जाता है, और इसकी सीमा को एक बोल्ड लाइन के साथ हाइलाइट किया जाता है:


वही क्षेत्र सेट किया जा सकता है रैखिक असमानताएं: , जो किसी कारण से अधिक बार एक गणना सूची के रूप में लिखा जाता है, और नहीं प्रणाली.
चूंकि सीमा क्षेत्र की है, इसलिए सभी असमानताएं, निश्चित रूप से, गैर सख्त.

और अब मामले की जड़। कल्पना कीजिए कि निर्देशांक की उत्पत्ति से धुरी सीधे आप तक जाती है। एक समारोह पर विचार करें कि निरंतर प्रत्येक मेंक्षेत्र बिंदु। इस फ़ंक्शन का ग्राफ है सतह, और छोटी सी खुशी यह है कि आज की समस्या को हल करने के लिए हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि यह सतह कैसी दिखती है। यह ऊपर, नीचे, विमान को पार कर सकता है - यह सब महत्वपूर्ण नहीं है। और निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: के अनुसार वीयरस्ट्रैस प्रमेय, निरंतरमें सीमित बंदक्षेत्र, फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है ("उच्चतम")और कम से कम ("सबसे कम")मूल्यों का पता लगाना है। ये मूल्य प्राप्त होते हैं यामें स्थिर बिंदु, क्षेत्र से संबंधितडी , याइस क्षेत्र की सीमा पर स्थित बिंदुओं पर। जिससे एक सरल और पारदर्शी समाधान एल्गोरिथम इस प्रकार है:

उदाहरण 1

एक सीमित संलग्न क्षेत्र में

फेसला: सबसे पहले, आपको ड्राइंग पर क्षेत्र को चित्रित करना होगा। दुर्भाग्य से, मेरे लिए समस्या का एक इंटरैक्टिव मॉडल बनाना तकनीकी रूप से कठिन है, और इसलिए मैं तुरंत अंतिम उदाहरण दूंगा, जो अध्ययन के दौरान पाए गए सभी "संदिग्ध" बिंदुओं को दर्शाता है। आमतौर पर उन्हें एक के बाद एक नीचे रखा जाता है जैसे वे पाए जाते हैं:

प्रस्तावना के आधार पर, निर्णय को आसानी से दो बिंदुओं में विभाजित किया जा सकता है:

I) आइए स्थिर बिंदु खोजें। यह एक मानक क्रिया है जिसे हमने पाठ में बार-बार किया है। कई चर के चरम के बारे में:

स्थिर बिंदु मिला अंतर्गत आता हैक्षेत्र: (इसे ड्राइंग पर चिह्नित करें), जिसका अर्थ है कि हमें किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करनी चाहिए:

- जैसा कि लेख में है किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, मैं महत्वपूर्ण परिणामों को बोल्ड में हाइलाइट करूंगा। एक नोटबुक में, उन्हें पेंसिल से घेरना सुविधाजनक होता है।

हमारी दूसरी खुशी पर ध्यान दें - चेक करने का कोई मतलब नहीं है एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति. क्यों? भले ही उस बिंदु पर फ़ंक्शन पहुंचता है, उदाहरण के लिए, स्थानीय न्यूनतम, तो इसका मतलब यह नहीं है कि परिणामी मूल्य होगा कम से कमपूरे क्षेत्र में (पाठ की शुरुआत देखें बिना शर्त चरम सीमाओं के बारे में) .

क्या होगा यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है? लगभग कुछ नहीं! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि और अगले पैराग्राफ पर जाएं।

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं।

चूंकि सीमा में एक त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं, इसलिए अध्ययन को 3 उप-अनुच्छेदों में विभाजित करना सुविधाजनक है। लेकिन इसे किसी भी तरह से नहीं करना बेहतर है। मेरे दृष्टिकोण से, सबसे पहले समन्वय अक्षों के समानांतर खंडों पर विचार करना अधिक फायदेमंद है, और सबसे पहले, जो स्वयं कुल्हाड़ियों पर पड़े हैं। क्रियाओं के पूरे अनुक्रम और तर्क को पकड़ने के लिए, "एक सांस में" अंत का अध्ययन करने का प्रयास करें:

1) आइए त्रिभुज के निचले हिस्से से निपटें। ऐसा करने के लिए, हम सीधे फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं:

वैकल्पिक रूप से, आप इसे इस तरह कर सकते हैं:

ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि निर्देशांक तल (जो समीकरण द्वारा भी दिया गया है)से "कट आउट" सतह"स्थानिक" परवलय, जिसका शीर्ष तुरंत संदेह के दायरे में आता है। चलो पता करते हैं वह कहाँ है:

- परिणामी मूल्य क्षेत्र में "हिट", और यह अच्छी तरह से उस बिंदु पर हो सकता है (ड्राइंग पर निशान)फ़ंक्शन पूरे क्षेत्र में सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक पहुंचता है। वैसे भी, चलो गणना करते हैं:

अन्य "उम्मीदवार", निश्चित रूप से, खंड के अंत हैं। बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें (ड्राइंग पर निशान):

यहाँ, वैसे, आप "स्ट्रिप्ड डाउन" संस्करण पर एक मौखिक मिनी-चेक कर सकते हैं:

2) त्रिभुज के दाईं ओर का अध्ययन करने के लिए, हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और "चीजों को वहां क्रम में रखते हैं":

यहां हम खंड के पहले से संसाधित अंत को "रिंगिंग" करते हुए तुरंत एक मोटा चेक करते हैं:
, पूरी तरह से ठीक।

ज्यामितीय स्थिति पिछले बिंदु से संबंधित है:

- परिणामी मूल्य भी "हमारे हितों के दायरे में प्रवेश किया", जिसका अर्थ है कि हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन उस बिंदु पर क्या है जो दिखाई दिया है:

आइए खंड के दूसरे छोर की जांच करें:

फ़ंक्शन का उपयोग करना , चलो देखते है:

3) शायद हर कोई जानता है कि शेष पक्ष का पता कैसे लगाया जाए। हम फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

लाइन समाप्त होती है पहले ही जांच की जा चुकी है, लेकिन मसौदे पर हम अभी भी जांचते हैं कि क्या हमें फ़ंक्शन सही ढंग से मिला है :
- 1 उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है;
- दूसरे उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है।

यह पता लगाना बाकी है कि क्या सेगमेंट के अंदर कुछ दिलचस्प है:

- वहाँ है! समीकरण में एक सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें इस "रुचिकरता" का कोटि प्राप्त होता है:

हम ड्राइंग पर एक बिंदु को चिह्नित करते हैं और फ़ंक्शन का संबंधित मान पाते हैं:

आइए "बजट" संस्करण के अनुसार गणनाओं को नियंत्रित करें :
, गण।

और अंतिम चरण: सभी "वसा" संख्याओं को ध्यान से देखें, मैं शुरुआती लोगों को भी एक सूची बनाने की सलाह देता हूं:

जिसमें से हम सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनते हैं। जवाबखोजने की समस्या की शैली में लिखें खंड पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:

बस मामले में, मैं एक बार फिर परिणाम के ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करूंगा:
- यहाँ इस क्षेत्र में सतह का उच्चतम बिंदु है;
- यहाँ क्षेत्र में सतह का सबसे निचला बिंदु है।

विश्लेषण की गई समस्या में, हमें 7 "संदिग्ध" अंक मिले, लेकिन उनकी संख्या प्रत्येक कार्य में भिन्न होती है। त्रिकोणीय क्षेत्र के लिए, न्यूनतम "अन्वेषण सेट" में तीन बिंदु होते हैं। यह तब होता है जब फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सेट करता है विमान- यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, और फ़ंक्शन केवल त्रिभुज के शीर्षों पर अधिकतम/न्यूनतम मान तक पहुंच सकता है। लेकिन ऐसे उदाहरण एक बार, दो बार नहीं मिलते - आमतौर पर आपको किसी न किसी तरह से निपटना पड़ता है दूसरे क्रम की सतह.

यदि आप ऐसे कार्यों को थोड़ा हल करते हैं, तो त्रिकोण आपके सिर को घुमा सकते हैं, और इसलिए मैंने आपके लिए इसे चौकोर बनाने के लिए असामान्य उदाहरण तैयार किए हैं :))

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें लाइनों से घिरे एक बंद क्षेत्र में

उदाहरण 3

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें।

क्षेत्र की सीमा का अध्ययन करने के तर्कसंगत क्रम और तकनीक के साथ-साथ मध्यवर्ती जांच की श्रृंखला पर विशेष ध्यान दें, जो कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से लगभग पूरी तरह से बच जाएगा। सामान्यतया, आप इसे अपनी इच्छानुसार हल कर सकते हैं, लेकिन कुछ समस्याओं में, उदाहरण के लिए, उसी उदाहरण 2 में, आपके जीवन को महत्वपूर्ण रूप से जटिल बनाने का हर मौका है। पाठ के अंत में असाइनमेंट पूरा करने का एक अनुमानित उदाहरण।

हम समाधान एल्गोरिदम को व्यवस्थित करते हैं, अन्यथा, एक मकड़ी के मेरे परिश्रम के साथ, यह किसी भी तरह 1 उदाहरण की टिप्पणियों के लंबे धागे में खो गया:

- पहले चरण में, हम एक क्षेत्र का निर्माण करते हैं, इसे छायांकित करना वांछनीय है, और एक बोल्ड लाइन के साथ सीमा को उजागर करना। समाधान के दौरान, अंक दिखाई देंगे जिन्हें ड्राइंग पर डालने की आवश्यकता है।

- स्थिर बिंदु खोजें और फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें केवल उन्हीं में, जो क्षेत्र के अंतर्गत आता है। प्राप्त मूल्यों को पाठ में हाइलाइट किया गया है (उदाहरण के लिए, एक पेंसिल के साथ परिक्रमा)। यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है, तो हम इस तथ्य को एक चिह्न या मौखिक रूप से चिह्नित करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, तो हम एक लिखित निष्कर्ष निकालते हैं कि वे अनुपस्थित हैं। किसी भी मामले में, इस आइटम को छोड़ा नहीं जा सकता!

- सीमा क्षेत्र की खोज। सबसे पहले, समन्वय अक्षों के समानांतर सीधी रेखाओं से निपटना फायदेमंद होता है (अगर वहां कोई है). "संदिग्ध" बिंदुओं पर गणना किए गए फ़ंक्शन मान भी हाइलाइट किए जाते हैं। ऊपर समाधान तकनीक के बारे में बहुत कुछ कहा गया है और कुछ और नीचे कहा जाएगा - पढ़ें, फिर से पढ़ें, गहराई से पढ़ें!

- चयनित संख्याओं में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का चयन करें और उत्तर दें। कभी-कभी ऐसा होता है कि फ़ंक्शन एक साथ कई बिंदुओं पर ऐसे मूल्यों तक पहुंच जाता है - इस मामले में, इन सभी बिंदुओं को उत्तर में प्रतिबिंबित किया जाना चाहिए। चलो, उदाहरण के लिए, और यह पता चला कि यह सबसे छोटा मूल्य है। तब हम लिखते हैं कि

अंतिम उदाहरण अन्य उपयोगी विचारों के लिए समर्पित हैं जो व्यवहार में काम आएंगे:

उदाहरण 4

किसी बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें .

मैंने लेखक के सूत्र को रखा है, जिसमें क्षेत्र को दोहरी असमानता के रूप में दिया गया है। इस स्थिति को इस समस्या के लिए एक समान प्रणाली या अधिक पारंपरिक रूप में लिखा जा सकता है:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि गैर रेखीयहमें असमानताओं का सामना करना पड़ा, और यदि आप प्रविष्टि के ज्यामितीय अर्थ को नहीं समझते हैं, तो कृपया देरी न करें और अभी स्थिति स्पष्ट करें ;-)

फेसला, हमेशा की तरह, क्षेत्र के निर्माण से शुरू होता है, जो एक प्रकार का "एकमात्र" है:

हम्म, कभी-कभी आपको न केवल विज्ञान के ग्रेनाइट को कुतरना पड़ता है ....

I) स्थिर बिंदु खोजें:

इडियट्स ड्रीम सिस्टम :)

स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित है, अर्थात् इसकी सीमा पर स्थित है।

और इसलिए, यह कुछ भी नहीं है ... मजेदार सबक चला गया - यही सही चाय पीने का मतलब है =)

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं। आगे की हलचल के बिना, आइए x-अक्ष से शुरू करते हैं:

1) यदि , तो

पता लगाएँ कि परवलय का शीर्ष कहाँ है:
- ऐसे पलों की सराहना करें - "हिट" सही बिंदु पर, जहां से सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। लेकिन जांचना न भूलें:

आइए खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

2) हम "एकमात्र" "एक बैठक में" के निचले हिस्से से निपटेंगे - बिना किसी कॉम्प्लेक्स के हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं, इसके अलावा, हम केवल सेगमेंट में रुचि लेंगे:

नियंत्रण:

अब यह पहले से ही एक घुमावदार ट्रैक पर नीरस सवारी के लिए कुछ पुनरुद्धार ला रहा है। आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

हमने निर्णय किया द्विघात समीकरणक्या आपको यह याद है? ... हालांकि, याद रखें, निश्चित रूप से, अन्यथा आपने इन पंक्तियों को नहीं पढ़ा होगा =) यदि पिछले दो उदाहरणों में दशमलव अंशों में गणना सुविधाजनक थी (जो, वैसे, दुर्लभ है), तो यहां हम प्रतीक्षा कर रहे हैं सामान्य साधारण अंश। हम "x" जड़ों को ढूंढते हैं और समीकरण का उपयोग करते हुए, "उम्मीदवार" बिंदुओं के संबंधित "गेम" निर्देशांक निर्धारित करते हैं:


आइए पाए गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:

फ़ंक्शन को स्वयं जांचें।

अब हम जीती हुई ट्राफियों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं और लिखते हैं जवाब:

यहाँ "उम्मीदवार" हैं, इसलिए "उम्मीदवार"!

एक स्टैंडअलोन समाधान के लिए:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान ज्ञात करें बंद क्षेत्र में

घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ एक प्रविष्टि इस तरह पढ़ती है: "बिंदुओं का एक सेट ऐसा"।

कभी-कभी ऐसे उदाहरणों में वे उपयोग करते हैं लैग्रेंज गुणक विधि, लेकिन इसका उपयोग करने की वास्तविक आवश्यकता उत्पन्न होने की संभावना नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि समान क्षेत्र "डी" वाला कोई फ़ंक्शन दिया जाता है, तो उसमें प्रतिस्थापन के बाद - बिना किसी कठिनाई के व्युत्पन्न के साथ; इसके अलावा, ऊपरी और निचले अर्धवृत्त पर अलग से विचार करने की आवश्यकता के बिना सब कुछ "एक पंक्ति" (संकेतों के साथ) में तैयार किया गया है। लेकिन, निश्चित रूप से, अधिक जटिल मामले हैं, जहां लैग्रेंज फ़ंक्शन के बिना (जहां, उदाहरण के लिए, एक ही वृत्त समीकरण है)इसे प्राप्त करना कठिन है - एक अच्छे आराम के बिना इसे प्राप्त करना कितना कठिन है!

सत्र को पारित करने और अगले सत्र में जल्द ही आपको देखने के लिए शुभकामनाएं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: फेसला: ड्राइंग पर क्षेत्र बनाएं: