फजी(या धुंधली, धुंधली) गुच्छा- एल। ज़ादेह द्वारा पेश की गई एक अवधारणा, जिसने एक सेट की शास्त्रीय (कैंटोरियन) अवधारणा का विस्तार किया, यह मानते हुए कि विशेषता फ़ंक्शन (एक सेट में एक तत्व का सदस्यता फ़ंक्शन) अंतराल में कोई भी मान ले सकता है, न कि केवल मान 0 या 1.

परिभाषा: फजी सेट(एक फजी सेट)

रहने दो सीकुछ सार्वभौमिक सेट (ब्रह्मांड) है। फिर फजी सेट एमें सीजोड़े के एक आदेशित सेट के रूप में परिभाषित किया गया है

जहां तत्व का सदस्यता समारोह (एफपी) कहा जाता है एक्सफजी सेट के लिए ए.

ओपी प्रत्येक तत्व को असाइन करता है सीअंतराल से मूल्य, जिसे कहा जाता है सदस्यता डिग्री xको एया अस्पष्ट उपाय।

एक अस्पष्ट उपाय को एक तत्व की सच्चाई की डिग्री के रूप में सोचा जा सकता है एक्सअंतर्गत आता है ए.

परिभाषा: फजी सेट का आधार(एक फ़ज़ीसेट का समर्थन)

फ़ज़ी सेट का आधार एसभी बिंदुओं का समुच्चय ऐसा है कि .

इस प्रकार, फ़ज़ी सेट की परिभाषा एक शास्त्रीय सेट की परिभाषा का विस्तार है, जिसमें विशेषता फ़ंक्शन 0 और 1 के बीच निरंतर मान ले सकता है। ब्रह्मांड सीअसतत या निरंतर हो सकता है।

एफपी का प्रतिनिधित्व करने के लिए, आमतौर पर कई प्रकार के पैरामीट्रिक कार्यों का उपयोग किया जाता है।

विशिष्ट एफपी प्रतिनिधित्व

त्रिकोणीयएफपी (चित्र। 2.2, ए) तीन मापदंडों द्वारा वर्णित हैं ( ए, बी, सी), जो निर्धारित करते हैं एक्सत्रिभुज के तीनों कोनों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

समलम्बाकारएफपी (चित्र। 2.2, सी) चार मापदंडों द्वारा वर्णित हैं ( ऐ बी सी डी), जो निर्धारित करते हैं एक्ससमलम्ब चतुर्भुज के चारों कोनों के निर्देशांक इस प्रकार हैं:

चावल। 2.2. त्रिकोणीय और समलम्बाकार FP

गाऊसीएफपी (चित्र। 2.3) दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट हैं और निम्नलिखित फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं: .

चावल। 2.3. गाऊसी एफपी

भाषाई चर

मूल अवधारणाओं में से एक, जिसे एल। ज़ादेह द्वारा भी पेश किया गया है, एक भाषाई चर की अवधारणा है।

परिभाषा: भाषाई चर(एलपी) अगले पांच का प्रतिनिधित्व करता है , चर का नाम कहां है, शब्द-सेट है जो एलपी मानों के सेट को निर्दिष्ट करता है जो भाषा अभिव्यक्ति (वाक्यविन्यास) हैं, एक्स- ब्रम्हांड, जी- एक वाक्यात्मक नियम, जिसके उपयोग से हम वाक्य-विन्यास बना सकते हैं, एम- एक शब्दार्थ नियम, जिसके उपयोग से प्रत्येक वाक्य-विन्यास को अपना अर्थ सौंपा जाता है, जो ब्रह्मांड में एक फजी सेट है एक्स.

एलपी का एक उदाहरण है, उदाहरण के लिए, चर = "आयु"। इसका टर्म सेट, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित हो सकता है:

(आयु) = ( बहुत युवा, युवा, कम या ज्यादा युवा, अधेड़, पुराना, बहुत पुराना}.

वास्तविक संख्याओं का एक निश्चित सेट, उदाहरण के लिए, एक अंतराल, किसी दिए गए एलपी के लिए ब्रह्मांड के रूप में कार्य कर सकता है। शब्दार्थ नियम एमसे शर्तों का वर्णन करता है टी(आयु) मान जो फ़ज़ी सेट के विभिन्न संशोधन हैं।

आइए कार चलाने के अपने उदाहरण पर वापस आते हैं और फजी सेट का उपयोग करके उपरोक्त नियमों में भाषाई अर्थों का वर्णन करते हैं। निम्नलिखित भाषाई चर पर विचार करें:

एक्स – दूरीमशीनों के बीच

आप– रफ़्तारचलती कार के सामने;

जेड- नियंत्रित वाहन का त्वरण।

ओपी को विचाराधीन नियंत्रण स्थिति के अनुसार निर्धारित किया जाना चाहिए। इसलिए, उदाहरण के लिए, शहर की यातायात स्थिति में 70 किमी/घंटा की गति "बड़ी" है और इसे राजमार्ग यातायात की स्थिति में "छोटा" माना जा सकता है।

हमारे उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित ब्रह्मांडों को परिभाषित करते हैं:

[एम], [किमी/घंटा],

[किमी/घंटा 2]।

अंजीर पर। 2.4 गति के लिए भाषाई अर्थ "छोटा" (धीमा) और "बड़ा" (तेज) और दूरी के लिए "करीब" (छोटा) और "बड़ा" (लंबा) का वर्णन करने के लिए एफपी दिखाता है।

चावल। 2.4. सरलतम कार आंदोलन को नियंत्रित करने की समस्या के लिए फ़ज़ी सेट

शास्त्रीय और फजी सेट प्रतिनिधित्व के बीच अंतर

आइए निम्नलिखित उदाहरण का उपयोग करके इन अंतरों पर चर्चा करें। "लघु" (दूरी के लिए) के भाषाई अर्थ का वर्णन करने के लिए सेट के शास्त्रीय और अस्पष्ट प्रतिनिधित्व पर विचार करें।

अंजीर पर। 2.5 सेट के शास्त्रीय और अस्पष्ट प्रतिनिधित्व के बीच अंतर दिखाता है एइस उदाहरण के लिए।

चावल। 2.5. सेट ए का शास्त्रीय और अस्पष्ट प्रतिनिधित्व

हम सेट के शास्त्रीय प्रतिनिधित्व को परिभाषित करते हैं एजैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 2.5 शेष। इस मामले में, विशेषता कार्य होगा:

फजी सेट प्रतिनिधित्व एअंजीर में दिखाया गया है। 2.5 सही। इस मामले में, एफपी सदस्यता समारोह इस तरह दिखता है:

आइए अब निम्नलिखित प्रश्न पूछें: क्या बिंदु m या बिंदु m समुच्चय का है ए?

शास्त्रीय दृष्टिकोण से, उत्तर "नहीं" है। मानवीय धारणा के दृष्टिकोण से, उत्तर "नहीं" से अधिक "हां" है। एक अस्पष्ट प्रतिनिधित्व के दृष्टिकोण से, उत्तर हां है।

इस प्रकार, यह सरल उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि अस्पष्ट दृष्टिकोण प्राकृतिक, मानव के करीब है, और इसमें शास्त्रीय दृष्टिकोण की तुलना में अधिक लचीलापन है।

फ़ज़ी सेट की सहायता से हम फ़ज़ी सीमाओं का वर्णन कर सकते हैं।

फ़ज़ी सेट थ्योरी में बुनियादी संचालन

हम मुख्य फ़ज़ी ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं।

परिभाषा: फजी उपसमुच्चय(फजी कंटेनमेंट या फजी सबसेट)। फजी सेट एफजी सेट में निहित बी(या, समान रूप से, एएक उपसमुच्चय है बी) यदि और केवल यदि सभी के लिए। प्रतीकात्मक रूप में:

परिभाषा:फजी सेट तुल्यता(फजी सेट की समानता)। फ़ज़ी सेट की तुल्यता (समानता) एऔर बीनिम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

सबके लिए ।

परिभाषा:फजी मिलन या फजी डिसजंक्शन(फजी यूनियन) दो फजी सेटों का संघ एऔर बी(प्रतीकात्मक रूप से or . के रूप में लिखा गया है एया बीया ए बी) एक फजी सेट है जिसका एफपी निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा:अस्पष्ट चौराहा(फजी इंटरसेक्शन) दो फजी सेट का इंटरसेक्शन एऔर बी(प्रतीकात्मक रूप में इसे , or . के रूप में लिखा जाता है सी = एऔर बी, या सी= ए बी) एक फजी सेट है जिसका एफपी निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

परिभाषा:फजी जोड़।योग ए(प्रतीकात्मक रूप में इसे या के रूप में लिखा जाता है) एक अस्पष्ट है जिसका एफपी निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

.

चित्र 2.6 फ़ज़ी सेट पर फ़ज़ी ऑपरेशंस के उदाहरण दिखाता है।

चावल। 2.6. फ़ज़ी सेट पर फ़ज़ी ऑपरेशंस के उदाहरण

फजी सेट की विशेषताएं

आइए हम फजी सेट के सिद्धांत की महत्वपूर्ण विशेषताओं पर ध्यान दें।

1) बहिष्कृत मध्य का कानूनऔर विरोधाभास का कानून, जहां - शास्त्रीय सेट सिद्धांत में खाली सेट सही हैं, लेकिन सामान्य मामले में अस्पष्ट सेट सिद्धांत में वे पूरा नहीं किया गया.

अपवर्जित मध्य का नियम और फजी थ्योरी में अंतर्विरोध का नियम इस प्रकार है: और .

2) शास्त्रीय सेट सिद्धांत मेंसेट से बिंदु एदो संभावनाओं में से एक हो सकती है: या . अस्पष्ट सिद्धांत में, एक बिंदु एक सेट से संबंधित हो सकता है एऔर एक ही समय में संबंधित नहीं हैं ए(यानी सेट से संबंधित हैं) सदस्यता कार्यों के विभिन्न मूल्यों के साथ और जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 2.7.

आधुनिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी की कल्पना गणितीय मॉडलिंग के व्यापक उपयोग के बिना नहीं की जा सकती है, क्योंकि पूर्ण पैमाने पर प्रयोग हमेशा संभव नहीं होते हैं, वे अक्सर बहुत महंगे होते हैं और बहुत समय की आवश्यकता होती है, कई मामलों में वे जोखिम और उच्च सामग्री से जुड़े होते हैं या नैतिक लागत। गणितीय मॉडलिंग का सार एक वास्तविक वस्तु को उसकी "छवि" से बदलना है - एक गणितीय मॉडल - और कंप्यूटर पर लागू कम्प्यूटेशनल लॉजिक एल्गोरिदम की मदद से मॉडल का आगे का अध्ययन। गणितीय मॉडल के लिए सबसे महत्वपूर्ण आवश्यकता इसके गुणों की चुनी हुई प्रणाली के संबंध में अध्ययन के तहत वास्तविक वस्तु के लिए इसकी पर्याप्तता (सही पत्राचार) की स्थिति है। इससे सबसे पहले हमारा तात्पर्य वस्तु के माने गए गुणों के सही मात्रात्मक विवरण से है। सरल प्रणालियों के लिए ऐसे मात्रात्मक मॉडल का निर्माण संभव है।

जटिल प्रणालियों के साथ स्थिति अलग है। जटिल प्रणालियों के व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए, मॉडल के निर्माण में उच्च सटीकता और कठोरता को छोड़ना और इसके निर्माण दृष्टिकोणों में शामिल होना आवश्यक है जो प्रकृति में अनुमानित हैं। इनमें से एक दृष्टिकोण भाषाई चर के परिचय से जुड़ा है जो दुनिया भर में किसी व्यक्ति के अस्पष्ट प्रतिबिंब का वर्णन करता है। एक भाषाई चर के लिए एक पूर्ण गणितीय वस्तु बनने के लिए, एक फजी सेट की अवधारणा पेश की गई थी।

क्रिस्प सेट के सिद्धांत में, क्रिस्प सेट के विशिष्ट कार्य पर विचार किया गया था यूनिवर्सल स्पेस में
, 1 के बराबर अगर तत्व संपत्ति को संतुष्ट करता है और इसलिए सेट के अंतर्गत आता है , और 0 के बराबर अन्यथा। इस प्रकार, हम एक स्पष्ट दुनिया (बूलियन बीजगणित) के बारे में बात कर रहे थे, जिसमें किसी दिए गए संपत्ति की उपस्थिति या अनुपस्थिति 0 या 1 ("नहीं" या "हां") के मानों से निर्धारित होती है।

हालाँकि, दुनिया में सब कुछ केवल सफेद और काले, सच और झूठ में विभाजित नहीं किया जा सकता है। तो, बुद्ध ने भी विरोधाभासों से भरी दुनिया को देखा, चीजें कुछ हद तक सच हो सकती हैं और कुछ हद तक, एक ही समय में झूठी। प्लेटो ने इस बात की नींव रखी कि फजी लॉजिक क्या होगा, यह इंगित करते हुए कि एक तीसरा क्षेत्र था (सत्य और असत्य से परे) जहां ये विरोधाभास सापेक्ष हैं।

कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के प्रोफेसर ज़ादेह ने 1965 में "फ़ज़ी सेट्स" लेख प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने एक बंद अंतराल में 0 या 1 के दो-मूल्यवान अनुमान को 0 से ऊपर और 1 से नीचे असीमित बहु-मूल्यवान अनुमान तक बढ़ाया और पहली बार की अवधारणा को पेश किया। "फजी सेट"। शब्द "विशेषता समारोह" के बजाय ज़ादेह ने "सदस्यता समारोह" शब्द का इस्तेमाल किया। फजी सेट (उसी संकेतन को क्रिस्प सेट के लिए बरकरार रखा गया है) यूनिवर्सल स्पेस में
सदस्यता समारोह के माध्यम से
(विशेषता कार्य के लिए समान संकेतन) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

(3.1)

सदस्यता फ़ंक्शन की व्याख्या अक्सर इस प्रकार की जाती है: मान
का अर्थ है किसी तत्व की सदस्यता की डिग्री का व्यक्तिपरक मूल्यांकन फजी सेट , उदाहरण के लिए,
मतलब कि 80% स्वामित्व . इसलिए, "मेरी सदस्यता समारोह", "आपकी सदस्यता समारोह", "विशेषज्ञ सदस्यता समारोह", आदि मौजूद होना चाहिए। 1. एक अस्पष्ट सेट के सदस्यता समारोह में एक घंटी के आकार का ग्राफ होता है, जो एक कुरकुरा सेट अंजीर के आयताकार विशेषता कार्य के विपरीत होता है। एक।

क्रिस्प और फजी सेट के बीच संबंधों पर ध्यान देना चाहिए। विशेषता फ़ंक्शन के दो मान (0,1) सदस्यता फ़ंक्शन के मानों के एक बंद अंतराल से संबंधित हैं। इसलिए, एक कुरकुरा सेट एक फ़ज़ी सेट का एक विशेष मामला है, और फ़ज़ी सेट की अवधारणा एक विस्तारित अवधारणा है जिसमें एक कुरकुरा सेट की अवधारणा शामिल है। दूसरे शब्दों में, एक कुरकुरा सेट भी एक फजी सेट है।

फ़ज़ी सेट को सदस्यता फ़ंक्शन का उपयोग करके कड़ाई से परिभाषित किया गया है और इसमें कोई फ़ज़ीनेस नहीं है। तथ्य यह है कि बंद अंतराल के अनुमानित मूल्यों का उपयोग करके फ़ज़ी सेट को कड़ाई से परिभाषित किया गया है, और यह सदस्यता फ़ंक्शन है। यदि सार्वभौमिक सेट
तत्वों का एक असतत परिमित सेट होता है, फिर, व्यावहारिक कारणों से, सदस्यता फ़ंक्शन के मूल्य और संबंधित तत्व को पृथक्करण संकेतों / और + का उपयोग करके इंगित करता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि सार्वत्रिक समुच्चय में 10 से कम पूर्णांक हों, फिर फ़ज़ी समुच्चय "छोटी संख्या" को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

ए = 1/0 + 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4

यहाँ, उदाहरण के लिए, 0.8/2 का अर्थ है
. + चिन्ह मिलन को दर्शाता है। उपरोक्त रूप में फ़ज़ी सेट लिखते समय, यूनिवर्सल सेट के तत्वों को छोड़ दिया जाता है
सदस्यता फ़ंक्शन मान शून्य के बराबर है। आम तौर पर, सार्वभौमिक सेट के सभी तत्वों को सदस्यता समारोह के संबंधित मूल्यों के साथ लिखा जाता है। एक फजी सेट का संकेतन प्रयोग किया जाता है, जैसा कि संभाव्यता सिद्धांत में होता है,

परिभाषा।सामान्य तौर पर, फजी उपसमुच्चय सार्वसमुच्चय
आदेशित युग्मों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है

. (3.2)

फ़ज़ी सेट और भाषाई चर के सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

1. एक फजी सेट की अवधारणा और मुख्य विशेषताएं

परिभाषा 1.1. मान लीजिए X एक सार्वत्रिक समुच्चय है। फजी सेट एएक समुच्चय X पर (एक समुच्चय X का एक फजी उपसमुच्चय A) युग्मों का एक संग्रह है

ए = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

जहां एक्स एक्स,μ ए (एक्स) .एक्स कहा जाता है परिभाषा का क्षेत्रफजी सेट ए, और μ ए - सदस्यता समारोहयह सेट। किसी विशेष तत्व x X के लिए सदस्यता फलनμ A (x) का मान कहलाता है सदस्यता की डिग्रीफजी सेट ए के लिए यह तत्व।

सदस्यता फ़ंक्शन की व्याख्या एक व्यक्तिपरक उपाय है कि कैसे तत्व x X अवधारणा से मेल खाता है, जिसका अर्थ फजी सेट ए द्वारा औपचारिक रूप दिया गया है। इस मामले में, 1 के बराबर मान का अर्थ है पूर्ण (पूर्ण) अनुपालन, 0 के बराबर मान - पूर्ण (पूर्ण) गैर-अनुपालन।

परिभाषा 1.2. परिभाषा के असतत डोमेन वाले फ़ज़ी सेट कहलाते हैं असतत फजी सेट, नहीं-

परिभाषा के निरंतर डोमेन के साथ कुरकुरा सेट निरंतर हैं

अस्पष्ट सेट।

साधारण (स्पष्ट) सेटों को एक अस्पष्ट संदर्भ में भी माना जा सकता है। एक साधारण सेट का सदस्यता फ़ंक्शन केवल दो मान ले सकता है: 0 यदि तत्व सेट से संबंधित नहीं है, और 1 यदि तत्व करता है।

साहित्य में, फजी सेट लिखने के विभिन्न रूप मिल सकते हैं। असतत डोमेन X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) के लिए (केस n = ∞ भी संभव है) निम्नलिखित रूप हैं:

ए = ( , , …, };
ए = (μ ए (एक्स 1 )/एक्स 1 ,μ ए (एक्स 2 )/एक्स 2 , …,μ ए (एक्स एन)/एक्स एन);
ए \u003d μ ए (एक्स 1) / एक्स 1 + μ ए (एक्स 2) / एक्स 2 + ... + μ ए (एक्स एन) / एक्स एन \u003d∑ μ ए (एक्स जे) / एक्स जे।

जे = 1

जहां अभिन्न संकेत समझ में आता है बिंदुवार संघएक्स पर। इसके अलावा, असतत और निरंतर दोनों मामलों के लिए, एक सामान्यीकृत संकेतन का उपयोग किया जाता है:

B = (x x 2) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, लगभग समान 2, और C = (x x >> 1) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, पर-

1 से अधिक। इन सेटों के सदस्यता कार्यों के संभावित रूप क्रमशः चित्र 1.1 और चित्र 1.2 में प्रस्तुत किए गए हैं।

चावल। 1.1. सदस्यता समारोह							चावल। 1.2. सदस्यता समारोह
संख्याओं का फजी सेट,								संख्याओं का फजी सेट,
		लगभग 2 . के बराबर								बहुत बड़ा 1

असतत फ़ज़ी सेट के उदाहरण के रूप में, हम D = (n n 1) पर विचार कर सकते हैं - 1 के करीब पूर्णांकों का सेट,

असाइनमेंट का संभावित रूप इस प्रकार है:

एन = (0.2/-3; 0.4/-2; 0.6/-1; 0.8/0; 1/1; 0.8/2; 0.6/3; 0.4/4; 0.2/5) (अन्य बिंदुओं में सदस्यता डिग्री शून्य है) .

सदस्यता समारोह का विशिष्ट रूप किसी विशेष कार्य की शर्तों के तहत औपचारिक रूप से अवधारणा को दिए गए अर्थ पर निर्भर करता है, और अक्सर एक व्यक्तिपरक प्रकृति होती है। सदस्यता कार्यों के निर्माण की अधिकांश विधियाँ कुछ हद तक किसी विशेषज्ञ द्वारा प्राप्त जानकारी के प्रसंस्करण पर आधारित होती हैं।

नोट 1. यहाँ sup (सुप्रीमम) सदस्यता समारोह की सबसे छोटी ऊपरी सीमा है। यदि समुच्चय X (डोमेन) बंद है, तो फ़ंक्शन का सर्वोच्च इसके अधिकतम के साथ मेल खाता है।

परिभाषा 1.5. यदि h A = 1, तो फजी समुच्चय A कहलाता है

सामान्य है, अन्यथा (hA< 1) – субнормальным.

परिभाषा 1.6. फजी सेट ए का वाहक सेट है

परिभाषा के क्षेत्र के तत्व, कम से कम कुछ हद तक औपचारिक रूप से अवधारणा के अनुरूप।

नोट 2. पदनाम समर्थन और समर्थन भ्रमित नहीं होना चाहिए। पहला सुप्रीम के लिए छोटा है, दूसरा समर्थन के लिए छोटा है।

परिभाषा 1.7. फ़ज़ी का स्तर सेट α (α-कट)

इसलिए, फ़ज़ी सेट के मूल में परिभाषा के क्षेत्र के सभी तत्व शामिल हैं जो औपचारिक रूप से अवधारणा के अनुरूप हैं।

जहाँ से यह इस प्रकार है कि α के स्तर से संबंधित एक तत्व भी निचले स्तरों के सभी सेटों से संबंधित है β α ।

परिभाषा 1.9. मान लीजिए A और B समुच्चय X पर क्रमशः सदस्यता फलन μ A और μ B के साथ फजी समुच्चय हैं। बातचीत-

मान लीजिए कि A, B का एक अस्पष्ट उपसमुच्चय है (B में शामिल है

ए) यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

संख्यात्मक डोमेन वाले फ़ज़ी सेटों में फ़ज़ी संख्याओं का एक वर्ग भी होता है और अस्पष्ट अंतराल. इस वर्ग को परिभाषित करने के लिए, फजी सेट की उत्तलता की अवधारणा पेश की जाती है।

परिभाषा 1.11. वास्तविक अक्ष के एक अस्पष्ट उपसमुच्चय A को उत्तल कहा जाता है यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:

अंजीर पर। 1.3 उत्तल (बाएं) और गैर-उत्तल (दाएं) फजी सेट के उदाहरण दिखाता है।

चावल। 1.3. फजी सेट की उत्तलता की परिभाषा पर

फ़ज़ी सेट थ्योरी की मूल अवधारणाएँ

परिभाषा 1.12. फजी रिक्ति परिभाषा के संख्यात्मक डोमेन पर एक उत्तल सामान्य फ़ज़ी सेट है, जिसमें एक निरंतर सदस्यता फ़ंक्शन और एक गैर-रिक्त कर्नेल है।फजी नंबर एक फजी अंतराल है जिसके कर्नेल में ठीक एक तत्व होता है।

अस्पष्ट अंतरालों और संख्याओं के लिए, एक प्रतिनिधित्व प्रमेय है, जिसके अनुसार वास्तविक अक्ष का एक अस्पष्ट उपसमुच्चय ए एक अस्पष्ट अंतराल है यदि और केवल यदि इसकी सदस्यता फ़ंक्शन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

	एलए (एक्स), ए0 एक्स< a1 ,
	1, a1 x≤ b1
	(एक्स) =			(एक्सबी< u≤ b

फ़ज़ी नंबर सदस्यता फ़ंक्शन की क्रमशः बाएँ और दाएँ शाखाएँ L A और R A फ़ंक्शन कहलाती हैं। ये फलन सतत होते हैं, जबकि खंड पर L A, L A (a 0) = 0 से तक बढ़ जाता है

L A (a 1 ) = 1, और R A खंड पर R A (b 1) = 1 से घटकर R A (b 0) = 0 (चित्र 1.4) हो जाता है।

चावल। 1.4. एक फजी अंतराल की परिभाषा के लिए

परिभाषा 1.13. मान लीजिए A = (A 1,A 2 ,… ,A n ) डोमेन X पर परिभाषित फजी समुच्चयों का एक परिवार है। फजी पार्टीशन Xपैरामीटर α (0 .) के साथ<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

एक्स एक्स जे (1,…,एन)μ ए जे (एक्स)≥ α

(अर्थात, परिभाषा के क्षेत्र का कोई भी तत्व परिवार के कम से कम एक समुच्चय से संबंधित है, जिसकी डिग्री α से कम नहीं है - चित्र 1.5)।

वी। या। पिवकिन, ई। पी। बाकुलिन, डी। आई। कोरेनकोव

नियंत्रण प्रणालियों में फजी सेट

द्वारा संपादित
तकनीकी विज्ञान के डॉक्टर, प्रोफेसर यू.एन. ज़ोलोटुखिन

प्रस्तावना। 3

परिचय .. 4

1. फजी सेट .. 5

फ़ज़ी सेट लिखने के उदाहरण। 5

फजी सेट की मुख्य विशेषताएं। 5

फजी सेट के उदाहरण. 6

फजी सेट के सदस्यता कार्यों के निर्माण के तरीकों पर। 7

फजी सेट पर संचालन। आठ

फ़ज़ी सेट पर संचालन का दृश्य प्रतिनिधित्व। नौ

संचालन और के गुण। नौ

फजी सेट पर बीजगणितीय संक्रियाएं। दस

फ़ज़ी सेट, फ़ज़ी इंडेक्स के बीच की दूरी। तेरह

सामान्यीकरण सिद्धांत। सोलह

2. अस्पष्ट संबंध .. 17

फजी संबंधों पर संचालन। अठारह

दो अस्पष्ट संबंधों की संरचना। 21

सशर्त फ़ज़ी उपसमुच्चय। 23

3. अस्पष्ट और भाषाई चर.. 27

फजी नंबर। 28

फजी नंबर पर ऑपरेशन। 28

फ़ज़ी नंबर (L-R) -टाइप। 29

4. फ़ज़ी स्टेटमेंट और सिस्टम के फ़ज़ी मॉडल... 32

फजी बयानों को बदलने के नियम। 33

फजी निहितार्थ निर्धारित करने के तरीके। 33

सिस्टम का तार्किक-भाषाई विवरण, फजी मॉडल। 35

स्टीम बॉयलर नियंत्रण मॉडल .. 36

नियंत्रण नियमों की पूर्णता और निरंतरता। 39

साहित्य। 40

प्रस्तावना

शायद मानव बुद्धि की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता अधूरी और अस्पष्ट जानकारी के वातावरण में सही निर्णय लेने की क्षमता है। अनुमानित मानव तर्क के मॉडल बनाना और आने वाली पीढ़ियों के कंप्यूटर सिस्टम में उनका उपयोग करना आज विज्ञान की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक है।

इस दिशा में महत्वपूर्ण प्रगति 30 साल पहले कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय (बर्कले) के एक प्रोफेसर लोत्फी ए। ज़ादेह ने की थी। उनका काम "फ़ज़ी सेट्स", जो 1965 में सूचना और नियंत्रण, संख्या 8 पत्रिका में प्रकाशित हुआ, ने मानव बौद्धिक गतिविधि के मॉडलिंग की नींव रखी और एक नए गणितीय सिद्धांत के विकास के लिए प्रारंभिक प्रेरणा थी।

ज़ेड ने क्या प्रस्ताव रखा? सबसे पहले, उन्होंने शास्त्रीय कैंटर धारणा का विस्तार किया सेट, यह मानते हुए कि विशेषता फ़ंक्शन (एक सेट में किसी तत्व का सदस्यता फ़ंक्शन) अंतराल में कोई भी मान ले सकता है (0; 1), न कि केवल 0 या 1 मान। ऐसे सेटों का नाम उनके द्वारा रखा गया था फजी (फजी) L.Zadeh ने फ़ज़ी सेट पर कई ऑपरेशनों को भी परिभाषित किया और तार्किक अनुमान मोडस पोनेंस और मोडस टोलेंस के प्रसिद्ध तरीकों के सामान्यीकरण का प्रस्ताव रखा।

फिर पेश है धारणा भाषाई चरऔर यह मानते हुए कि फ़ज़ी सेट इसके मूल्यों (शर्तों) के रूप में कार्य करते हैं, एल। ज़ेड ने बौद्धिक गतिविधि की प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए एक उपकरण बनाया, जिसमें अस्पष्टता और अभिव्यक्ति की अनिश्चितता शामिल है।

प्रोफेसर एल। ज़ादेह और उनके अनुयायियों के आगे के काम ने एक नए सिद्धांत के लिए एक ठोस नींव रखी और इंजीनियरिंग अभ्यास में अस्पष्ट नियंत्रण विधियों की शुरूआत के लिए आवश्यक शर्तें तैयार कीं।

पिछले 5-7 वर्षों में उद्योग में नए तरीकों और मॉडलों का उपयोग शुरू हो गया है। और यद्यपि फ़ज़ी नियंत्रण प्रणालियों के पहले अनुप्रयोग यूरोप में हुए, इस तरह की प्रणालियाँ जापान में सबसे अधिक तीव्रता से लागू की जाती हैं। उनके अनुप्रयोगों की सीमा विस्तृत है: एक मेट्रो ट्रेन को भेजने और रोकने की प्रक्रिया के प्रबंधन से, फ्रेट लिफ्ट और ब्लास्ट फर्नेस को नियंत्रित करने से लेकर वाशिंग मशीन, वैक्यूम क्लीनर और माइक्रोवेव ओवन तक। उसी समय, फ़ज़ी सिस्टम संसाधन और ऊर्जा लागत को कम करते हुए उत्पाद की गुणवत्ता में सुधार करना संभव बनाता है और पारंपरिक स्वचालित नियंत्रण प्रणालियों की तुलना में हस्तक्षेप करने वाले कारकों के लिए उच्च प्रतिरोध प्रदान करता है।

दूसरे शब्दों में, नए दृष्टिकोण शास्त्रीय सिद्धांत की प्रयोज्यता की सीमा से परे स्वचालन प्रणालियों के आवेदन के दायरे का विस्तार करना संभव बनाते हैं। इस संबंध में, एल। ज़ादेह का दृष्टिकोण उत्सुक है: "मेरा मानना ​​​​है कि सटीकता की अत्यधिक इच्छा ने एक प्रभाव डालना शुरू कर दिया है जो नियंत्रण सिद्धांत और सिस्टम सिद्धांत को समाप्त कर देता है, क्योंकि यह इस तथ्य की ओर जाता है कि इस क्षेत्र में अनुसंधान है उन और केवल उन समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया जो सटीक समाधान के लिए खुद को उधार देते हैं नतीजतन, महत्वपूर्ण समस्याओं के कई वर्ग जिनमें डेटा, लक्ष्य और बाधाएं सटीक गणितीय विश्लेषण की अनुमति देने के लिए बहुत जटिल या गलत परिभाषित हैं, और अभी भी छोड़ी गई हैं क्योंकि वे गणितीय विश्लेषण के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। इस प्रकार की समस्याओं के लिए कुछ भी महत्वपूर्ण कहने के लिए, हमें सटीकता की अपनी मांगों को छोड़ देना चाहिए और कुछ अस्पष्ट या अनिश्चित परिणामों को स्वीकार करना चाहिए।"

फ़ज़ी सिस्टम के अनुसंधान केंद्र को व्यावहारिक अनुप्रयोगों की ओर ले जाने से कई समस्याओं का निर्माण हुआ है, जैसे फ़ज़ी कंप्यूटिंग के लिए नए कंप्यूटर आर्किटेक्चर, फ़ज़ी कंप्यूटर और नियंत्रकों का तत्व आधार, विकास उपकरण, गणना और विकास के लिए इंजीनियरिंग विधियाँ। अस्पष्ट नियंत्रण प्रणाली, और भी बहुत कुछ।

पाठकों का ध्यान आकर्षित करने के लिए पाठ्यपुस्तक का मुख्य लक्ष्य छात्रों, स्नातक छात्रों और युवा शोधकर्ताओं का ध्यान अस्पष्ट समस्याओं की ओर आकर्षित करना और आधुनिक विज्ञान के सबसे दिलचस्प क्षेत्रों में से एक के लिए एक सुलभ परिचय प्रदान करना है।

प्रोफेसर यू.एन. ज़ोलोटुखिन

परिचय

फजी सेट का गणितीय सिद्धांत प्रस्तावित एल.जादेहएक चौथाई सदी से भी पहले, आपको अस्पष्ट अवधारणाओं और ज्ञान का वर्णन करने, इस ज्ञान के साथ काम करने और अस्पष्ट निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। इस सिद्धांत के आधार पर, कंप्यूटर फ़ज़ी सिस्टम के निर्माण के तरीके कंप्यूटर के दायरे का काफी विस्तार करते हैं। हाल ही में, फ़ज़ी नियंत्रण फ़ज़ी सेट सिद्धांत के अनुप्रयोग पर अनुसंधान के सबसे सक्रिय और उत्पादक क्षेत्रों में से एक रहा है। अस्पष्ट नियंत्रण विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब पारंपरिक मात्रात्मक विधियों का उपयोग करके विश्लेषण करने के लिए तकनीकी प्रक्रियाएं बहुत जटिल होती हैं, या जब सूचना के उपलब्ध स्रोतों की गुणात्मक, गलत या अस्पष्ट रूप से व्याख्या की जाती है। यह प्रयोगात्मक रूप से दिखाया गया है कि फजी नियंत्रण पारंपरिक नियंत्रण एल्गोरिदम से प्राप्त की तुलना में बेहतर परिणाम देता है। फजी तरीके एक ब्लास्ट फर्नेस और एक रोलिंग मिल, एक कार और एक ट्रेन को नियंत्रित करने, भाषण और छवियों को पहचानने और स्पर्श और दृष्टि के साथ रोबोट को डिजाइन करने में मदद करते हैं। फ़ज़ी लॉजिक, जिस पर फ़ज़ी नियंत्रण आधारित है, पारंपरिक लॉजिक सिस्टम की तुलना में मानवीय सोच और प्राकृतिक भाषाओं के अधिक करीब है। फ़ज़ी लॉजिक मूल रूप से वास्तविक दुनिया की अनिश्चितताओं और अशुद्धियों का प्रतिनिधित्व करने का एक कुशल साधन प्रदान करता है। प्रारंभिक जानकारी की अस्पष्टता को प्रतिबिंबित करने के गणितीय साधनों की उपस्थिति से एक ऐसा मॉडल बनाना संभव हो जाता है जो वास्तविकता के लिए पर्याप्त हो।

1. फ़ज़ी सेट

रहने दो इ- सार्वसमुच्चय, एक्स - तत्व इ, ए आर- कुछ संपत्ति। नियमित (स्पष्ट) सबसेट एसार्वसमुच्चय इ, जिनके तत्व संपत्ति को संतुष्ट करते हैं आर, को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है ए = ( एम ए ( एक्स)/एक्स } , कहाँ पे

एम ए ( एक्स) - विशेषता कार्य, जो मान लेता है 1 , अगर एक्स संपत्ति को संतुष्ट करता है आर,और 0 - अन्यथा।

फजी उपसमुच्चय तत्वों के लिए सामान्य से भिन्न होता है एक्स से इकोई स्पष्ट उत्तर नहीं "ज़रुरी नहीं"संपत्ति के संबंध में आर. इस संबंध में, फजी उपसमुच्चय एसार्वसमुच्चय इआदेशित युग्मों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है ए = ( एम ए ( एक्स)/एक्स } , कहाँ पे

एम ए ( एक्स) - विशेषता सदस्यता समारोह(या सिर्फ एक सदस्यता समारोह) जो कुछ सुव्यवस्थित सेट में मान लेता है एम(उदाहरण के लिए, एम =) सदस्यता समारोह इंगित करता है डिग्री(या स्तर) किसी तत्व की सदस्यता एक्स सबसेट ए. गुच्छा एमबुलाया कई सामान. यदि एक एम = (0.1), फिर फजी सबसेट एएक साधारण या कुरकुरा सेट के रूप में माना जा सकता है।

फजी सेट- फजी लॉजिक की प्रमुख अवधारणा। रहने दो इ- सार्वसमुच्चय, एक्स- तत्व इ,एक आर कुछ संपत्ति है। नियमित (स्पष्ट) सबसेट लेकिनसार्वसमुच्चय इ,जिनके तत्व गुण R को संतुष्ट करते हैं, उन्हें क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है

ए = (μए(एक्स) / एक्स},

कहाँ पे μ ए (एक्स) विशेषता कार्य है,मान 1 लेना अगर एक्ससंपत्ति आर को संतुष्ट करता है, और 0 अन्यथा।

फजी उपसमुच्चय तत्वों के लिए सामान्य से भिन्न होता है एक्ससे इसंपत्ति आर के संबंध में कोई स्पष्ट "हां-नहीं" उत्तर नहीं है। इस संबंध में, अस्पष्ट उपसमुच्चय लेकिनसार्वसमुच्चय इआदेशित युग्मों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है

ए = (μए(एक्स) / एक्स},

कहाँ पे μ ए (एक्स) — विशेषता सदस्यता समारोह(या केवल सदस्यता समारोह), कुछ सुव्यवस्थित सेट में मान लेना एम(उदाहरण के लिए, एम = ).

सदस्यता फ़ंक्शन किसी तत्व की सदस्यता की डिग्री (या स्तर) को इंगित करता है एक्ससबसेट लेकिन।गुच्छा एमसामान का एक सेट कहा जाता है। यदि एक एम= (0, 1), फिर फजी उपसमुच्चय लेकिनएक साधारण या कुरकुरा सेट के रूप में माना जा सकता है।

फ़ज़ी सेट लिखने के उदाहरण

रहने दो इ = {एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स एस,एक्स 4 , एक्स 5), एम = ; लेकिनएक फजी समुच्चय है जिसके लिए μA ( एक्स 1 )= 0.3; μ ए ( एक्स 2)= 0; μ ए ( एक्स 3) = 1; μ ए (एक्स 4) \u003d 0.5; μ ए ( एक्स 5)= 0,9.

फिर लेकिनके रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

ए ={0,3/एक्स 1 ; 0/एक्स 2 ; 1/एक्स 3 ; 0,5/एक्स 4 ; 0,9/एक्स 5 } ,

या

लेकिन={0,3/एक्स 1 +0/एक्स 2 +1/एक्स 3 +0,5/एक्स 4 +0,9/एक्स 5 },

या

टिप्पणी. यहाँ, "+" चिन्ह जोड़ के संचालन का पदनाम नहीं है, बल्कि संघ का अर्थ है।

फजी सेट की मुख्य विशेषताएं

रहने दो एम= और लेकिन- यूनिवर्सल सेट के तत्वों के साथ फजी सेट इऔर कई सामान एम।

मान कहा जाता है ऊंचाईफजी सेट लेकिन।फजी सेट और यह ठीक हैअगर इसकी ऊंचाई 1 के बराबर है, यानी। इसके सदस्यता फलन की ऊपरी सीमा 1 (= 1) है। पर< 1нечеткое множество называется असामान्य

फजी सेट खाली,अगर एक्सई μ ए( एक्स) = 0. एक गैर-रिक्त असामान्य समुच्चय को सूत्र द्वारा सामान्यीकृत किया जा सकता है

फजी सेट यूनिमॉडलअगर μ ए( एक्स) = 1 केवल एक . पर एक्ससे इ।

. वाहकफजी सेट लेकिनसंपत्ति के साथ एक साधारण उपसमुच्चय है μ ए( एक्स)>0, यानी वाहक ए = {एक्स/ एक्स ई, μ ए( एक्स)>0}.

तत्वों एक्सई, जिसके लिए μ ए( एक्स) = 0,5 , कहा जाता है संक्रमण बिंदुसेट लेकिन।

फजी सेट के उदाहरण

1. चलो इ = {0, 1, 2, . . ., 10}, एम =. फजी सेट"कई" को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

"कई" = 0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8; इसकी विशेषताएं:ऊंचाई = 1, वाहक = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, संक्रमण बिंदु — {3, 8}.

2. चलो इ = {0, 1, 2, 3,…, एन,… ) फजी सेट "छोटा" परिभाषित किया जा सकता है:

3. चलो इ= (1, 2, 3, ..., 100) और "आयु" की अवधारणा से मेल खाती है, तो फजी सेट "यंग" का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है

फ़ज़ी सेट "यंग" यूनिवर्सल सेट पर इ"= (IVANOV, PETROV, SIDOROV,...) सदस्यता समारोह द्वारा दिया जाता है μ युवा ( एक्स) पर ई =(1, 2, 3,..., 100) (आयु), के संबंध में कहा जाता है इ"संगतता समारोह, जबकि:

कहाँ पे एक्स- सिदोरोव की उम्र।

4. चलो इ\u003d (ZAPOROZHETS, ZHIGULI, MERCEDES, ...) - कार ब्रांडों का एक सेट, और इ"= - सार्वभौमिक सेट "लागत", फिर पर इ"हम फजी सेट को परिभाषित कर सकते हैं जैसे:

चावल। 1.1. सदस्यता समारोह उदाहरण

"गरीबों के लिए", "मध्यम वर्ग के लिए", "प्रतिष्ठित", अंजीर की तरह संबंधित कार्यों के साथ। 1.1.

इन कार्यों को करने और कारों की कीमत जानने से इएक निश्चित समय पर, हम इस प्रकार निर्धारित करते हैं इ"एक ही नाम के फजी सेट।

इसलिए, उदाहरण के लिए, फ़ज़ी सेट "गरीबों के लिए", यूनिवर्सल सेट पर दिया गया ई =(ZAPORIZHETZ, ZHIGULI, MERCEDES,...), जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 1.2.

चावल। 1.2. फ़ज़ी सेट निर्दिष्ट करने का एक उदाहरण

इसी तरह, आप फ़ज़ी सेट "हाई-स्पीड", "मीडियम", "लो-स्पीड", आदि को परिभाषित कर सकते हैं।

5. चलो इ- पूर्णांकों का एक सेट:

इ= {-8, -5, -3, 0, 1, 2, 4, 6, 9}.

फिर निरपेक्ष मान में शून्य के करीब की संख्याओं का एक अस्पष्ट उपसमुच्चय परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नानुसार:

ए ={0/-8 + 0,5/-5 + 0,6/-3 +1/0 + 0,9/1 + 0,8/2 + 0,6/4 + 0,3/6 + 0/9}.

फजी सेट के सदस्यता कार्यों के निर्माण के तरीकों पर

उपरोक्त उदाहरण उपयोग करते हैं सीधाविधियाँ, जब विशेषज्ञ या तो बस प्रत्येक के लिए निर्धारित करता है एक्स ϵ इअर्थ μ ए (एक्स),या एक संगतता फ़ंक्शन को परिभाषित करता है। एक नियम के रूप में, प्रत्यक्ष सदस्यता फ़ंक्शन विधियों का उपयोग मापने योग्य अवधारणाओं जैसे गति, समय, दूरी, दबाव, तापमान इत्यादि के लिए किया जाता है, या जब ध्रुवीय मूल्यों को हाइलाइट किया जाता है।

कई कार्यों में, किसी वस्तु को चिह्नित करते समय, सुविधाओं के एक सेट को अलग करना और उनमें से प्रत्येक के लिए सदस्यता फ़ंक्शन, 0 या 1 के मूल्यों के अनुरूप ध्रुवीय मूल्यों को निर्धारित करना संभव है।

उदाहरण के लिए, चेहरा पहचानने के कार्य में, तालिका में दिखाए गए पैमानों का चयन किया जा सकता है। 1.1.

तालिका 1.1। चेहरे की पहचान की समस्या में तराजू

एक्स 1	माथे की ऊंचाई
एक्स 2	नाक प्रोफ़ाइल	अपमान	कुबड़ा
	नाक की लंबाई	कम
एक्स 4	आँख का आकार
	आँखों का रंग
	ठोड़ी का आकार	नुकीला	वर्ग
एक्स 7	होंठ की मोटाई
	चेहरे का रंग
	चेहरे की रूपरेखा	अंडाकार	वर्ग

एक विशिष्ट व्यक्ति के लिएलेकिनविशेषज्ञ, दिए गए पैमाने के आधार पर, सेटμ ए(एक्स), एक वेक्टर सदस्यता फ़ंक्शन बनाना (μ ए(एक्स 1) , μ ए(एक्स 2),…, μ ए(एक्स 9)}.

प्रत्यक्ष विधियों के साथ, समूह प्रत्यक्ष विधियों का भी उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, विशेषज्ञों के एक समूह को एक विशिष्ट व्यक्ति के साथ प्रस्तुत किया जाता है और सभी को दो में से एक उत्तर देना होगा: "यह व्यक्ति गंजा है" या "यह व्यक्ति गंजा नहीं है", फिर विशेषज्ञों की कुल संख्या से विभाजित सकारात्मक उत्तरों की संख्या, मान देती है μ गंजा (किसी दिए गए व्यक्ति का)। (इस उदाहरण में, आप संगतता फ़ंक्शन के माध्यम से कार्य कर सकते हैं, लेकिन फिर आपको विशेषज्ञ को प्रस्तुत किए गए प्रत्येक चेहरे के सिर पर बालों की संख्या गिननी होगी।)

अप्रत्यक्षसदस्यता फ़ंक्शन के मूल्यों को निर्धारित करने के तरीकों का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां कोई प्राथमिक औसत दर्जे का गुण नहीं होता है जिसके माध्यम से हमारे लिए ब्याज का फजी सेट निर्धारित किया जाता है। एक नियम के रूप में, ये जोड़ीदार तुलना के तरीके हैं। यदि सदस्यता कार्यों के मूल्य हमें ज्ञात थे, उदाहरण के लिए, μ ए(एक्स-मैं) = i , मैं= 1, 2, ..., एन, तो जोड़ीवार तुलना को संबंध मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है लेकिन= (ए आईजे), जहां ऐजो= मैं/ j(डिवीजन ऑपरेशन)।

व्यवहार में, विशेषज्ञ स्वयं मैट्रिक्स बनाता है लेकिन, जबकि यह माना जाता है कि विकर्ण तत्व 1 के बराबर हैं, और उन तत्वों के लिए जो विकर्ण a ij = 1/a ij के संबंध में सममित हैं, अर्थात। यदि एक तत्व का मूल्यांकन करता है α दूसरे की तुलना में कई गुना अधिक मजबूत है, तो बाद वाला पहले की तुलना में 1/α गुना अधिक मजबूत होना चाहिए। सामान्य स्थिति में, समस्या को एक वेक्टर खोजने के लिए कम किया जाता है जो फॉर्म के समीकरण को संतुष्ट करता है अरे= मैक्स वू, जहां अधिकतम मैट्रिक्स का सबसे बड़ा eigenvalue है लेकिन. मैट्रिक्स के बाद से लेकिननिर्माण से सकारात्मक है, इस समस्या का समाधान मौजूद है और सकारात्मक है।

दो और दृष्टिकोणों पर ध्यान दिया जा सकता है:

• मानक रूपों का उपयोगप्रयोगात्मक डेटा के अनुसार उनके मापदंडों के विनिर्देश के साथ सदस्यता कार्यों के असाइनमेंट के लिए घटता (फॉर्म (एल-आर) -टाइप - नीचे देखें);
• सापेक्ष आवृत्तियों का उपयोगप्रयोग के अनुसार सदस्यता मूल्यों के रूप में।