इस पाठ में, हम सीखेंगे कि विभेदीकरण के सूत्रों और नियमों को कैसे लागू किया जाए।
उदाहरण। कार्यों के व्युत्पन्न खोजें।
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9। नियम लागू करना मैं, सूत्र 4, 2 और 1. हम पाते हैं:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1।
2. वाई=3x6 -2x+5. हम समान सूत्रों और सूत्रों का उपयोग करके समान रूप से हल करते हैं 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2।
नियम लागू करना मैं, सूत्र 3, 5
और 6
और 1.
नियम लागू करना चतुर्थ, सूत्र 5 और 1 .
पांचवें उदाहरण में, नियम के अनुसार मैंयोग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है, और हमने अभी पहले पद का व्युत्पन्न पाया है (उदाहरण 4 ), इसलिए, हम व्युत्पन्न पाएंगे 2और 3निबंधन और 1st . के लिएशब्द, हम तुरंत परिणाम लिख सकते हैं।
फर्क 2और 3सूत्र के अनुसार शर्तें 4
. ऐसा करने के लिए, हम हर में तीसरी और चौथी डिग्री की जड़ों को नकारात्मक घातांक वाली शक्तियों में बदलते हैं, और फिर, के अनुसार 4
सूत्र, हम शक्तियों के व्युत्पन्न पाते हैं।
इस उदाहरण और परिणाम को देखें। क्या आपने पैटर्न पकड़ा? अच्छा। इसका मतलब है कि हमारे पास एक नया फॉर्मूला है और इसे हमारी डेरिवेटिव टेबल में जोड़ सकते हैं।
आइए छठे उदाहरण को हल करें और एक और सूत्र प्राप्त करें।
हम नियम का उपयोग करते हैं चतुर्थऔर सूत्र 4
. हम परिणामी अंशों को कम करते हैं।
हम इस फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न को देखते हैं। आप, निश्चित रूप से, पैटर्न को समझ गए हैं और सूत्र का नाम देने के लिए तैयार हैं:
नए सूत्र सीखना!
उदाहरण।
1. तर्क वृद्धि और फ़ंक्शन वृद्धि खोजें y= x2यदि तर्क का प्रारंभिक मान था 4 , और नया 4,01 .
फेसला।
नया तर्क मान एक्स \u003d एक्स 0 + x. डेटा को प्रतिस्थापित करें: 4.01=4+Δx, इसलिए तर्क की वृद्धि मैं=4.01-4=0.01। किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन के नए और पिछले मानों के बीच के अंतर के बराबर होती है, अर्थात। y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0)। चूंकि हमारे पास एक फ़ंक्शन है वाई = x2, तब у\u003d (x 0 + x) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · x+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
जवाब: तर्क वृद्धि मैं=0.01; समारोह वृद्धि у=0,0801.
फ़ंक्शन वृद्धि को किसी अन्य तरीके से खोजना संभव था: y\u003d y (x 0 + x) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801।
2. फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण का पता लगाएं वाई = एफ (एक्स)बिंदु पर एक्स 0, अगर च "(एक्स 0) \u003d 1.
फेसला।
संपर्क के बिंदु पर व्युत्पन्न का मूल्य एक्स 0और स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा का मान है (व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ)। हमारे पास है: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,जैसा टीजी45°=1.
जवाब: इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा, ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण बनाती है, बराबर 45°.
3. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र प्राप्त करें वाई = एक्सएन.
भेदभावकिसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का कार्य है।
डेरिवेटिव ढूंढते समय, व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्रों का उपयोग किया जाता है, उसी तरह जैसे हमने व्युत्पन्न डिग्री के लिए सूत्र प्राप्त किया था: (एक्स एन)" = एनएक्स एन -1.
उसके सूत्र इस प्रकार हैं।
व्युत्पन्न तालिकामौखिक योगों का उच्चारण करके याद रखना आसान होगा:
1. एक स्थिर मान का व्युत्पन्न शून्य है।
2. एक्स स्ट्रोक एक के बराबर है।
3. अचर गुणनखंड को व्युत्पन्न के चिह्न से निकाला जा सकता है।
4. एक डिग्री का व्युत्पन्न एक ही आधार के साथ इस डिग्री के घातांक के गुणनफल के बराबर होता है, लेकिन घातांक एक कम होता है।
5. जड़ का व्युत्पन्न एक के बराबर होता है जो समान जड़ों के दो से विभाजित होता है।
6. एकता का व्युत्पत्ति x से विभाजित होता है, शून्य से एक को x वर्ग से विभाजित किया जाता है।
7. ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर होता है।
8. कोज्या का व्युत्पन्न ऋण साइन के बराबर है।
9. स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न कोज्या के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है।
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न शून्य से एक है जिसे ज्या के वर्ग से विभाजित किया जाता है।
हम पढ़ाते हैं भेदभाव नियम.
1.
बीजीय योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न पदों के बीजीय योग के बराबर होता है।
2. उत्पाद का व्युत्पन्न दूसरे कारक के पहले कारक के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है और दूसरे के व्युत्पन्न द्वारा पहले कारक के उत्पाद के बराबर होता है।
3. "y" का व्युत्पन्न "ve" से विभाजित एक अंश के बराबर है, जिसके अंश में "y एक स्ट्रोक है जिसे "ve" माइनस "y, एक स्ट्रोक से गुणा" से गुणा किया जाता है, और हर में - "ve चुकता" "
4. सूत्र का एक विशेष मामला 3.
आइए एक साथ सीखें!
1 1 का पेज 1
तालिका का पहला सूत्र प्राप्त करते समय, हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा से आगे बढ़ेंगे। चलो कहाँ ले एक्स- कोई भी वास्तविक संख्या, अर्थात्, एक्स- फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र से कोई भी संख्या। आइए हम फ़ंक्शन वृद्धि के अनुपात की सीमा को तर्क वृद्धि पर लिखें: 
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सीमा के संकेत के तहत, एक अभिव्यक्ति प्राप्त की जाती है, जो शून्य से विभाजित शून्य की अनिश्चितता नहीं है, क्योंकि अंश में एक असीम मान नहीं होता है, लेकिन ठीक शून्य होता है। दूसरे शब्दों में, एक स्थिर फ़ंक्शन की वृद्धि हमेशा शून्य होती है।
इस प्रकार, एक स्थिर कार्य का व्युत्पन्नपरिभाषा के पूरे क्षेत्र पर शून्य के बराबर है.
एक शक्ति समारोह का व्युत्पन्न।
पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र का रूप है 
, जहां घातांक पीकोई वास्तविक संख्या है।
आइए पहले प्राकृतिक घातांक के सूत्र को सिद्ध करें, अर्थात् पी = 1, 2, 3, ...
हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करेंगे। आइए हम तर्क की वृद्धि के लिए पावर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा लिखें: 
अंश में व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम न्यूटन के द्विपद सूत्र की ओर मुड़ते हैं: 
इसलिये, 
यह एक प्राकृतिक घातांक के लिए एक शक्ति फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र को साबित करता है।
घातीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
हम परिभाषा के आधार पर व्युत्पन्न सूत्र प्राप्त करते हैं:
अनिश्चितता में आ गया। इसका विस्तार करने के लिए, हम एक नया चर पेश करते हैं, और के लिए। फिर । पिछले संक्रमण में, हमने लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग किया था।
आइए मूल सीमा में प्रतिस्थापन करें: 
यदि हम दूसरी उल्लेखनीय सीमा को याद करते हैं, तो हम घातीय फलन के व्युत्पन्न के सूत्र पर आते हैं: 
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
आइए हम सभी के लिए लघुगणकीय फलन के अवकलज का सूत्र सिद्ध करें एक्सदायरे से और सभी मान्य आधार मान एलघुगणक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: 
जैसा कि आपने देखा, सबूत में, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके परिवर्तन किए गए थे। समानता 
दूसरी उल्लेखनीय सीमा के कारण मान्य है।
त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव।
त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों के सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए, हमें कुछ त्रिकोणमिति सूत्रों को याद करना होगा, साथ ही पहली उल्लेखनीय सीमा भी।
साइन फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है 
.
हम ज्या अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: 
यह पहली उल्लेखनीय सीमा की ओर मुड़ना बाकी है: 
तो फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाप xवहाँ है क्योंकि x.
कोसाइन व्युत्पन्न का सूत्र ठीक उसी तरह सिद्ध होता है। 
इसलिए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न क्योंकि xवहाँ है -पाप x.
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए डेरिवेटिव की तालिका के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति भेदभाव के सिद्ध नियमों (एक अंश के व्युत्पन्न) का उपयोग करके की जाएगी। 
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न।
विभेदीकरण के नियम और डेरिवेटिव की तालिका से घातीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र हमें हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के डेरिवेटिव के लिए सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। 
प्रतिलोम फलन का व्युत्पन्न।
ताकि प्रस्तुति में कोई भ्रम न हो, आइए निचले सूचकांक में फ़ंक्शन के तर्क को निरूपित करें जिसके द्वारा विभेदन किया जाता है, अर्थात यह फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है एफ (एक्स)पर एक्स.
अब हम बनाते हैं प्रतिलोम फलन का अवकलज ज्ञात करने का नियम।
कार्यों को करने दें वाई = एफ (एक्स)और एक्स = जी (वाई)पारस्परिक रूप से उलटा, अंतराल पर और क्रमशः परिभाषित। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का एक परिमित गैर-शून्य व्युत्पन्न मौजूद है एफ (एक्स), तो बिंदु पर प्रतिलोम फलन का एक परिमित अवकलज होता है जी (वाई), और 
. एक अन्य प्रविष्टि में 
.
इस नियम को किसी के लिए भी सुधारा जा सकता है एक्सअंतराल से, तो हम प्राप्त करते हैं 
.
आइए इन सूत्रों की वैधता की जाँच करें।
आइए प्राकृतिक लघुगणक के लिए व्युत्क्रम कार्य खोजें 
(यहाँ आपएक समारोह है, और एक्स- बहस)। के लिए इस समीकरण को हल करना एक्स, हमें मिलता है (यहाँ एक्सएक समारोह है, और आपउसका तर्क)। अर्थात, 
और परस्पर उलटा कार्य।
डेरिवेटिव की तालिका से, हम देखते हैं कि 
और 
.
आइए सुनिश्चित करें कि व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजने के सूत्र हमें समान परिणामों की ओर ले जाते हैं: 
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया को विभेदन कहते हैं।
तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा के रूप में व्युत्पन्न को परिभाषित करके सबसे सरल (और बहुत सरल नहीं) कार्यों के डेरिवेटिव खोजने की समस्याओं को हल करने के परिणामस्वरूप, डेरिवेटिव की एक तालिका और भेदभाव के सटीक परिभाषित नियम दिखाई दिए . आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज (1646-1716) ने डेरिवेटिव खोजने के क्षेत्र में काम करने वाले पहले व्यक्ति थे।
इसलिए, हमारे समय में, किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की उपर्युक्त सीमा की गणना तर्क की वृद्धि के लिए करना आवश्यक नहीं है, लेकिन केवल तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है डेरिवेटिव और भेदभाव के नियम। निम्नलिखित एल्गोरिदम व्युत्पन्न खोजने के लिए उपयुक्त है।
व्युत्पन्न खोजने के लिए, आपको स्ट्रोक साइन के तहत एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है सरल कार्यों को तोड़ोऔर निर्धारित करें कि क्या कार्रवाई (उत्पाद, योग, भागफल)ये कार्य संबंधित हैं। इसके अलावा, हम डेरिवेटिव की तालिका में प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न पाते हैं, और उत्पाद, योग और भागफल के डेरिवेटिव के लिए सूत्र - भेदभाव के नियमों में। पहले दो उदाहरणों के बाद व्युत्पन्न और विभेदन नियमों की तालिका दी गई है।
उदाहरण 1किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। विभेदन के नियमों से हम पाते हैं कि कार्यों के योग का व्युत्पन्न कार्यों के व्युत्पन्न का योग है, अर्थात।
डेरिवेटिव की तालिका से, हम पाते हैं कि "एक्स" का व्युत्पन्न एक के बराबर है, और साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है। हम इन मानों को डेरिवेटिव के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक व्युत्पन्न पाते हैं:
उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। हम योग के व्युत्पन्न के रूप में अंतर करते हैं, जिसमें एक स्थिर कारक के साथ दूसरा शब्द व्युत्पन्न के संकेत से निकाला जा सकता है:
यदि अभी भी प्रश्न हैं कि कुछ कहाँ से आता है, तो वे, एक नियम के रूप में, डेरिवेटिव की तालिका और भेदभाव के सबसे सरल नियमों को पढ़ने के बाद स्पष्ट हो जाते हैं। हम अभी उनके पास जा रहे हैं।
सरल कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
| 1. एक स्थिरांक (संख्या) का व्युत्पन्न। कोई भी संख्या (1, 2, 5, 200...) जो फलन व्यंजक में है। हमेशा शून्य। यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसकी बहुत बार आवश्यकता होती है | |
| 2. स्वतंत्र चर का व्युत्पन्न। सबसे अधिक बार "एक्स"। हमेशा एक के बराबर। यह भी याद रखना जरूरी है | |
| 3. डिग्री का व्युत्पन्न। समस्याओं को हल करते समय, आपको गैर-वर्गमूलों को एक शक्ति में बदलने की आवश्यकता होती है। | |
| 4. -1 . की घात के लिए एक चर का व्युत्पन्न | |
| 5. वर्गमूल का व्युत्पन्न | |
| 6. साइन व्युत्पन्न | |
| 7. कोसाइन व्युत्पन्न |  |
| 8. स्पर्शरेखा व्युत्पन्न |  |
| 9. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न |  |
| 10. आर्क्सिन का व्युत्पन्न |  |
| 11. चाप कोज्या का व्युत्पन्न |  |
| 12. चाप स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 13. व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का व्युत्पन्न |  |
| 14. प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न | |
| 15. एक लघुगणकीय फलन का व्युत्पन्न |  |
| 16. घातांक का व्युत्पन्न | |
| 17. घातीय फलन का व्युत्पन्न |
विभेदन नियम
| 1. योग या अंतर का व्युत्पन्न |  |
| 2. उत्पाद का व्युत्पन्न |  |
| 2ए. एक स्थिर कारक से गुणा किए गए व्यंजक का व्युत्पन्न | |
| 3. भागफल का व्युत्पन्न |  |
| 4. एक जटिल कार्य का व्युत्पन्न |  |
नियम 1यदि कार्य
किसी बिंदु पर अलग-अलग होते हैं, फिर उसी बिंदु पर कार्य
और
वे। फलनों के बीजीय योग का अवकलज इन फलनों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
परिणाम। यदि दो अवकलनीय फलन एक अचर से भिन्न हैं, तो उनके अवकलज हैं, अर्थात।
नियम 2यदि कार्य
किसी बिंदु पर अवकलनीय होते हैं, तो उनका गुणनफल भी उसी बिंदु पर अवकलनीय होता है
और
वे। दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है।
परिणाम 1. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है:
परिणाम 2. कई अलग-अलग कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न प्रत्येक कारक और अन्य सभी के व्युत्पन्न के उत्पादों के योग के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, तीन गुणकों के लिए:
नियम 3यदि कार्य
किसी बिंदु पर अलग-अलग और , तो इस बिंदु पर उनका भागफल भी अवकलनीय है।यू/वी, और
वे। दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और हर पूर्व अंश का वर्ग होता है .
अन्य पृष्ठों पर कहां देखें
वास्तविक समस्याओं में उत्पाद के व्युत्पन्न और भागफल को खोजने पर, एक साथ कई भेदभाव नियम लागू करना हमेशा आवश्यक होता है, इसलिए इन डेरिवेटिव पर अधिक उदाहरण लेख में हैं।"एक उत्पाद और एक भागफल का व्युत्पन्न".
टिप्पणी।आपको एक स्थिरांक (अर्थात एक संख्या) को योग में एक पद के रूप में और एक स्थिर गुणनखंड के रूप में भ्रमित नहीं करना चाहिए! एक पद के मामले में, इसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, और एक स्थिर कारक के मामले में, इसे व्युत्पन्न के चिह्न से निकाल दिया जाता है। यह एक सामान्य गलती है जो डेरिवेटिव के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में होती है, लेकिन जैसा कि औसत छात्र कई एक-दो-घटक उदाहरणों को हल करता है, यह गलती अब नहीं होती है।
और यदि, किसी उत्पाद या भागफल में अंतर करते समय, आपके पास एक पद है तुम"वी, जिसमें तुम- एक संख्या, उदाहरण के लिए, 2 या 5, यानी एक स्थिर, तो इस संख्या का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होगा और इसलिए, पूरा पद शून्य के बराबर होगा (ऐसे मामले का विश्लेषण उदाहरण 10 में किया गया है) .
एक अन्य सामान्य गलती एक साधारण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का यांत्रिक समाधान है। इसलिए एक जटिल कार्य का व्युत्पन्नएक अलग लेख के लिए समर्पित। लेकिन पहले हम सरल फलनों के अवकलज ज्ञात करना सीखेंगे।
साथ ही, आप भावों के परिवर्तन के बिना नहीं कर सकते। ऐसा करने के लिए, आपको नए विंडोज़ मैनुअल में खोलने की आवश्यकता हो सकती है शक्तियों और जड़ों के साथ क्रियाऔर भिन्न के साथ क्रिया .
यदि आप शक्तियों और जड़ों के साथ डेरिवेटिव के समाधान की तलाश में हैं, यानी, जब फ़ंक्शन जैसा दिखता है 
, फिर पाठ का पालन करें " शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न"।
यदि आपके पास कोई कार्य है जैसे 
, तो आप "सरल त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्न" पाठ में हैं।
चरण-दर-चरण उदाहरण - व्युत्पन्न कैसे खोजें
उदाहरण 3किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। हम फ़ंक्शन की अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को निर्धारित करते हैं: संपूर्ण अभिव्यक्ति उत्पाद का प्रतिनिधित्व करती है, और इसके कारक योग होते हैं, जिनमें से दूसरे शब्दों में से एक में एक स्थिर कारक होता है। हम उत्पाद भेदभाव नियम लागू करते हैं: दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न इन कार्यों में से प्रत्येक के उत्पादों के योग और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर है:
इसके बाद, हम योग के विभेदन के नियम को लागू करते हैं: कार्यों के बीजीय योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के बीजीय योग के बराबर होता है। हमारे मामले में, प्रत्येक योग में, दूसरा पद एक ऋण चिह्न के साथ। प्रत्येक योग में, हम दोनों एक स्वतंत्र चर देखते हैं, जिसका व्युत्पन्न एक के बराबर होता है, और एक स्थिरांक (संख्या), जिसका व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है। तो, "x" एक में बदल जाता है, और माइनस 5 - शून्य में। दूसरे व्यंजक में, "x" को 2 से गुणा किया जाता है, इसलिए हम "x" के अवकलज के समान इकाई से दो गुणा करते हैं। हमें डेरिवेटिव के निम्नलिखित मूल्य मिलते हैं:
हम पाए गए डेरिवेटिव को उत्पादों के योग में प्रतिस्थापित करते हैं और समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक संपूर्ण फ़ंक्शन का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 4किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। हमें भागफल का अवकलज ज्ञात करना है। हम एक भागफल को अलग करने के लिए सूत्र लागू करते हैं: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न एक अंश के बराबर होता है जिसका अंश हर के उत्पादों और अंश और अंश के व्युत्पन्न और हर के व्युत्पन्न के बीच का अंतर होता है, और भाजक पूर्व अंश का वर्ग है। हम पाते हैं:
हम पहले ही उदाहरण 2 में अंश में कारकों का व्युत्पन्न पा चुके हैं। आइए यह भी न भूलें कि उत्पाद, जो अंश में दूसरा कारक है, को वर्तमान उदाहरण में ऋण चिह्न के साथ लिया गया है:
यदि आप ऐसी समस्याओं के समाधान की तलाश में हैं जिनमें आपको किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की आवश्यकता है, जहां जड़ों और डिग्री का निरंतर ढेर होता है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, 
फिर कक्षा में स्वागत है "शक्तियों और जड़ों के साथ अंशों के योग का व्युत्पन्न" .
यदि आपको ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता है, अर्थात, जब फ़ंक्शन ऐसा दिखता है , तो आपके पास एक सबक है "सरल त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव" .
उदाहरण 5किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। इस फ़ंक्शन में, हम एक उत्पाद देखते हैं, जिनमें से एक कारक स्वतंत्र चर का वर्गमूल है, जिसके व्युत्पन्न के साथ हमने खुद को डेरिवेटिव की तालिका में परिचित किया है। उत्पाद विभेदन नियम और वर्गमूल के व्युत्पन्न के सारणीबद्ध मान के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:
उदाहरण 6किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं
फेसला। इस फलन में हम भागफल देखते हैं, जिसका लाभांश स्वतंत्र चर का वर्गमूल होता है। भागफल के विभेदन के नियम के अनुसार, जिसे हमने उदाहरण 4 में दोहराया और लागू किया, और वर्गमूल के व्युत्पन्न का सारणीबद्ध मान, हम प्राप्त करते हैं:
अंश में भिन्न से छुटकारा पाने के लिए अंश और हर को से गुणा करें।
एक समारोह का व्युत्पन्न स्कूल पाठ्यक्रम में सबसे कठिन विषयों में से एक है। हर स्नातक इस सवाल का जवाब नहीं देगा कि व्युत्पन्न क्या है।
यह लेख सरल और स्पष्ट रूप से बताता है कि व्युत्पन्न क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है।. अब हम प्रस्तुति की गणितीय कठोरता के लिए प्रयास नहीं करेंगे। सबसे महत्वपूर्ण बात अर्थ को समझना है।
आइए परिभाषा याद रखें:
व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है।
आंकड़ा तीन कार्यों के रेखांकन दिखाता है। आपको क्या लगता है कि कौन सबसे तेजी से बढ़ता है?
उत्तर स्पष्ट है - तीसरा। इसमें परिवर्तन की उच्चतम दर है, जो कि सबसे बड़ा व्युत्पन्न है।
यहाँ एक और उदाहरण है।
कोस्त्या, ग्रिशा और मैटवे को एक ही समय में नौकरी मिली। आइए देखें कि वर्ष के दौरान उनकी आय कैसे बदली:
आप चार्ट पर सब कुछ तुरंत देख सकते हैं, है ना? छह महीने में कोस्त्या की आय दोगुनी से अधिक हो गई है। और ग्रिशा की आमदनी भी बढ़ी, लेकिन बस थोड़ी सी। और मैथ्यू की आय घटकर शून्य हो गई। प्रारंभिक स्थितियां समान हैं, लेकिन फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर, अर्थात। यौगिक, - को अलग। मैटवे के लिए, उनकी आय का व्युत्पन्न आम तौर पर नकारात्मक होता है।
सहज रूप से, हम किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का आसानी से अनुमान लगा सकते हैं। लेकिन हम इसे कैसे करते हैं?
हम वास्तव में जो देख रहे हैं वह यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर (या नीचे) जाता है। दूसरे शब्दों में, x के साथ y कितनी तेजी से बदलता है। जाहिर है, अलग-अलग बिंदुओं पर एक ही फ़ंक्शन का व्युत्पन्न का एक अलग मूल्य हो सकता है - अर्थात, यह तेजी से या धीमी गति से बदल सकता है।
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को द्वारा दर्शाया जाता है।
आइए दिखाते हैं कि ग्राफ का उपयोग करके कैसे खोजा जाए।
किसी फलन का आलेख खींचा जाता है। उस पर एक एब्सिस्सा के साथ एक बिंदु लें। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं। हम मूल्यांकन करना चाहते हैं कि फ़ंक्शन का ग्राफ कितनी तेजी से ऊपर जाता है। इसके लिए एक उपयोगी मूल्य है स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा.
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
कृपया ध्यान दें - स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण के रूप में, हम स्पर्शरेखा और अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण लेते हैं।
कभी-कभी छात्र पूछते हैं कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा क्या है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें इस खंड में ग्राफ के साथ एकमात्र सामान्य बिंदु है, इसके अलावा, जैसा कि हमारे आंकड़े में दिखाया गया है। यह एक वृत्त की स्पर्श रेखा जैसा दिखता है।
हमे पता करने दें । हमें याद है कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्श रेखा विपरीत टांग के आसन्न पैर के अनुपात के बराबर होती है। त्रिभुज से:
हमने फ़ंक्शन के सूत्र को जाने बिना भी ग्राफ़ का उपयोग करके व्युत्पन्न पाया। इस तरह के कार्य अक्सर गणित में परीक्षा में अंक के तहत मिलते हैं।
एक और महत्वपूर्ण सहसंबंध है। याद रखें कि सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है
इस समीकरण में मात्रा कहलाती है एक सीधी रेखा का ढलान. यह सीधी रेखा के अक्ष पर झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।
.
हमें वह मिलता है
आइए इस सूत्र को याद करें। यह व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ को व्यक्त करता है।
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है।
दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा के बराबर है।
हम पहले ही कह चुके हैं कि एक ही फलन के विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न अवकलज हो सकते हैं। आइए देखें कि व्युत्पन्न फ़ंक्शन के व्यवहार से कैसे संबंधित है।
आइए किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं। इस फ़ंक्शन को कुछ क्षेत्रों में बढ़ने दें, और दूसरों में घटने दें, और अलग-अलग दरों पर। और इस फ़ंक्शन को अधिकतम और न्यूनतम अंक दें।
एक बिंदु पर, समारोह बढ़ रहा है। बिंदु पर खींची गई ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक न्यून कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। तो व्युत्पन्न बिंदु पर सकारात्मक है।
इस बिंदु पर, हमारा कार्य कम हो रहा है। इस बिंदु पर स्पर्शरेखा एक अधिक कोण बनाती है; सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ। चूँकि अधिक कोण की स्पर्श रेखा ऋणात्मक होती है, इसलिए बिंदु पर अवकलज ऋणात्मक होता है।
यहाँ क्या होता है:
यदि कोई फ़ंक्शन बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्पन्न सकारात्मक है।
यदि यह घटता है, तो इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।
और अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर क्या होगा? हम देखते हैं कि (अधिकतम बिंदु) और (न्यूनतम बिंदु) पर स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। इसलिए, इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा शून्य है, और व्युत्पन्न भी शून्य है।
बिंदु अधिकतम बिंदु है। इस बिंदु पर, फ़ंक्शन की वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है। नतीजतन, व्युत्पन्न का संकेत "प्लस" से "माइनस" के बिंदु पर बदल जाता है।
बिंदु पर - न्यूनतम बिंदु - व्युत्पन्न भी शून्य के बराबर होता है, लेकिन इसका चिन्ह "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है।
निष्कर्ष: व्युत्पन्न की मदद से, आप वह सब कुछ पा सकते हैं जो हमें फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में रुचिकर लगता है।
यदि व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ रहा है।
यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट रहा है।
अधिकतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और संकेत को प्लस से माइनस में बदलता है।
न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न भी शून्य है और साइन को माइनस से प्लस में बदलता है।
हम इन निष्कर्षों को एक तालिका के रूप में लिखते हैं:
| बढ़ती है | अधिकतम बिंदु | कम हो जाती है | न्यूनतम बिंदु | बढ़ती है | |
| + | 0 | - | 0 | + |
आइए दो छोटे स्पष्टीकरण करें। समस्या को हल करते समय आपको उनमें से एक की आवश्यकता होगी। एक और - पहले वर्ष में, कार्यों और डेरिवेटिव के अधिक गंभीर अध्ययन के साथ।
एक मामला संभव है जब किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम होता है। यह तथाकथित :
एक बिंदु पर, ग्राफ की स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है और अवकलज शून्य होता है। हालाँकि, बिंदु से पहले फ़ंक्शन बढ़ता है - और बिंदु के बाद यह बढ़ता रहता है। व्युत्पत्ति का चिह्न नहीं बदलता है - यह जैसा था वैसा ही सकारात्मक बना हुआ है।
ऐसा भी होता है कि अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु पर, व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है। ग्राफ पर, यह एक तीव्र विराम से मेल खाता है, जब किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है।
लेकिन व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें यदि फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा नहीं, बल्कि एक सूत्र द्वारा दिया गया हो? इस मामले में, यह लागू होता है
