घूर्णन का प्रारंभिक कोण, कोणीय वेग
चित्र 9. घूर्णन का प्रारंभिक कोण ()
प्राथमिक (असीम रूप से छोटे) घुमावों को वैक्टर के रूप में माना जाता है। वेक्टर का मॉड्यूल रोटेशन के कोण के बराबर होता है, और इसकी दिशा स्क्रू की नोक के ट्रांसलेशनल मूवमेंट की दिशा से मेल खाती है, जिसका सिर सर्कल के साथ बिंदु की गति की दिशा में घूमता है, अर्थात , यह सही पेंच के नियम का पालन करता है।
कोणीय गति
वेक्टर को सही पेंच नियम के अनुसार रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है, अर्थात, उसी तरह जैसे वेक्टर (चित्र 10 देखें)।
चित्र 10.
चित्र 11
समय के संबंध में शरीर के रोटेशन के कोण के पहले व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित वेक्टर मान।
रैखिक और कोणीय वेग के मॉड्यूल के बीच संबंध
चित्र 12
रैखिक और कोणीय वेग वैक्टर के बीच संबंध
विचाराधीन बिंदु की स्थिति त्रिज्या सदिश द्वारा दी गई है (रोटेशन की धुरी पर स्थित मूल 0 से खींची गई)। वेक्टर उत्पाद वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है और इसका मापांक बराबर होता है
कोणीय वेग की इकाई है।
स्यूडोवेक्टर (अक्षीय सदिश) वे सदिश होते हैं जिनकी दिशाएँ घूर्णन की दिशा से जुड़ी होती हैं (उदाहरण के लिए,)। इन वैक्टर में विशिष्ट अनुप्रयोग बिंदु नहीं होते हैं: इन्हें रोटेशन की धुरी पर किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है।
वृत्त के अनुदिश किसी पदार्थ बिंदु की एकसमान गति
एक वृत्त में एकसमान गति - एक गति जिसमें एक भौतिक बिंदु (पिंड) समान अवधि के लिए एक समान लंबाई वाले वृत्त के चापों को पार करता है।
कोणीय गति
: (-- रोटेशन का कोण)।
घूर्णन अवधि T वह समय है जिसके दौरान भौतिक बिंदु परिधि के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति करता है, अर्थात, एक कोण से घूमता है।
चूंकि यह समय अंतराल से मेल खाता है, इसलिए।
रोटेशन की आवृत्ति - प्रति इकाई समय में एक सर्कल के साथ एक समान गति के साथ एक भौतिक बिंदु द्वारा किए गए पूर्ण क्रांतियों की संख्या।
चित्र 13
एक वृत्त में एकसमान गति की एक विशिष्ट विशेषता
यूनिफ़ॉर्म सर्कुलर मोशन वक्रीय गति का एक विशेष मामला है। एक गति स्थिर मॉड्यूल () के साथ एक वृत्त के साथ गति तेज होती है। यह इस तथ्य के कारण है कि एक स्थिर मापांक पर, वेग की दिशा हर समय बदलती रहती है।
एक वृत्त में समान रूप से गतिमान किसी भौतिक बिंदु का त्वरण
एक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति में त्वरण का स्पर्शरेखा घटक शून्य के बराबर होता है।
त्वरण का सामान्य घटक (केन्द्रीय त्वरण) त्रिज्या के साथ वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है (चित्र 13 देखें)। वृत्त के किसी भी बिंदु पर, सामान्य त्वरण वेक्टर वेग वेक्टर के लंबवत होता है। किसी वृत्त के अनुदिश एकसमान रूप से गतिमान किसी भौतिक बिंदु का उसके किसी भी बिंदु पर त्वरण अभिकेंद्री होता है।
कोणीय त्वरण। रैखिक और कोणीय मात्राओं के बीच संबंध
कोणीय त्वरण समय के संबंध में कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित एक वेक्टर मात्रा है।
कोणीय त्वरण वेक्टर की दिशा
जब शरीर एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो कोणीय त्वरण वेक्टर को रोटेशन अक्ष के साथ कोणीय वेग के प्रारंभिक वेतन वृद्धि के वेक्टर की ओर निर्देशित किया जाता है।
त्वरित गति के साथ, वेक्टर वेक्टर के साथ संरेखित होता है, धीमी गति के साथ, यह इसके विपरीत होता है। एक वेक्टर एक छद्म वेक्टर है।
कोणीय त्वरण की इकाई है।
रैखिक और कोणीय मात्राओं के बीच संबंध
(- वृत्त की त्रिज्या; - रैखिक वेग; - स्पर्शरेखा त्वरण; - सामान्य त्वरण; - कोणीय वेग)।
रैखिक मूल्यों के साथ।
कोणीय गति- एक वेक्टर मात्रा जो अपने आंदोलन की प्रक्रिया में कोणीय समन्वय में परिवर्तन की विशेषता है।
कोणीय गति- वेक्टर भौतिक मात्रा जो शरीर के घूमने की गति को दर्शाती है। कोणीय वेग वेक्टर प्रति इकाई समय में शरीर के घूर्णन कोण के परिमाण के बराबर है:
और गिलेट के नियम के अनुसार रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है, अर्थात, जिस दिशा में दाहिने हाथ के धागे के साथ गिलेट को उसी दिशा में घुमाया जाएगा, तो उसे खराब कर दिया जाएगा।
SI और CGS सिस्टम में अपनाए गए कोणीय वेग के मापन की इकाई) रेडियन प्रति सेकंड है। (नोट: रेडियन, कोण माप की किसी भी इकाई की तरह, भौतिक रूप से आयामहीन है, इसलिए कोणीय वेग का भौतिक आयाम सरल है)। तकनीक प्रति सेकंड क्रांतियों का भी उपयोग करती है, बहुत कम बार - डिग्री प्रति सेकंड, डिग्री प्रति सेकंड। शायद, प्रौद्योगिकी में प्रति मिनट क्रांतियों का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है - यह उस समय से चल रहा है जब कम गति वाले भाप इंजनों की घूर्णी गति को केवल "मैन्युअल रूप से" प्रति यूनिट क्रांतियों की संख्या की गणना करके निर्धारित किया गया था।
कोणीय वेग से घूमने वाले (बिल्कुल) कठोर शरीर के किसी भी बिंदु का (तात्कालिक) वेग वेक्टर द्वारा दिया जाता है:
शरीर के घूर्णन के अक्ष पर स्थित मूल बिंदु से दिए गए बिंदु तक त्रिज्या वेक्टर कहां है, और वर्ग ब्रैकेट वेक्टर उत्पाद को दर्शाता है। रोटेशन की धुरी से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) r पर एक बिंदु की रैखिक गति (वेग वेक्टर के मापांक के साथ मेल खाती है) को निम्नानुसार माना जा सकता है: v = rω। यदि रेडियन के बजाय कोणों की अन्य इकाइयों का उपयोग किया जाता है, तो अंतिम दो सूत्रों में एक गुणक दिखाई देगा जो एक के बराबर नहीं है।
समतल घूर्णन की स्थिति में, अर्थात जब पिंड के बिंदुओं के सभी वेग सदिश (हमेशा) एक ही तल ("घूर्णन तल") में होते हैं, तो पिंड का कोणीय वेग हमेशा इस तल के लंबवत होता है, और वास्तव में - यदि रोटेशन के विमान को पहले से जाना जाता है - एक स्केलर द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है - रोटेशन के विमान के लिए ऑर्थोगोनल अक्ष पर प्रक्षेपण। इस मामले में, रोटेशन की कीनेमेटीक्स बहुत सरल है, हालांकि, सामान्य मामले में, कोणीय वेग समय के साथ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिशा बदल सकता है, और इस तरह की एक सरलीकृत तस्वीर काम नहीं करती है।
समय के संबंध में कोणीय वेग का व्युत्पन्न कोणीय त्वरण है।
एक स्थिर कोणीय वेग वेक्टर के साथ गति को एकसमान घूर्णन गति कहा जाता है (इस मामले में, कोणीय त्वरण शून्य है)।
कोणीय वेग (एक मुक्त वेक्टर के रूप में माना जाता है) संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम में समान होता है, हालांकि, संदर्भ के विभिन्न जड़त्वीय फ्रेम में, एक ही समय में एक ही विशिष्ट शरीर के घूर्णन का धुरी या केंद्र भिन्न हो सकता है (वह है, कोणीय गति का एक अलग "आवेदन का बिंदु" होगा)।
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु की गति के मामले में, आप चयनित मूल के सापेक्ष इस बिंदु के कोणीय वेग के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:
बिंदु का त्रिज्या सदिश (मूल बिंदु से) कहाँ है, इस बिंदु की गति है। - सदिश उत्पाद, - सदिशों का अदिश गुणन। हालांकि, यह सूत्र विशिष्ट रूप से कोणीय वेग का निर्धारण नहीं करता है (एक बिंदु के मामले में, आप अन्य वैक्टर चुन सकते हैं जो परिभाषा के अनुसार उपयुक्त हैं, अन्यथा - मनमाने ढंग से - रोटेशन की धुरी की दिशा चुनना), लेकिन सामान्य मामले के लिए (जब शरीर में एक से अधिक भौतिक बिंदु शामिल हों) - यह सूत्र पूरे शरीर के कोणीय वेग के लिए सही नहीं है (क्योंकि यह प्रत्येक बिंदु के लिए अलग-अलग मान देता है, और परिभाषा के अनुसार, बिल्कुल कठोर शरीर के घूर्णन के दौरान, इसके घूर्णन का कोणीय वेग ही एकमात्र सदिश है)। इस सब के साथ, द्वि-आयामी मामले में (विमान रोटेशन के मामले में) यह सूत्र काफी पर्याप्त, स्पष्ट और सही है, क्योंकि इस विशेष मामले में रोटेशन की धुरी की दिशा निश्चित रूप से विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है।
एकसमान घूर्णी गति (अर्थात, एक स्थिर कोणीय वेग वेक्टर के साथ गति) के मामले में, इस तरह से घूमने वाले शरीर के बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक कोणीय के मापांक के बराबर कोणीय (चक्रीय) आवृत्ति के साथ हार्मोनिक दोलन करते हैं वेग वेक्टर।
प्रति सेकंड (r/s) क्रांतियों में कोणीय वेग को मापते समय, समान घूर्णी गति के कोणीय वेग का मापांक घूर्णी गति f के समान होता है, जिसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है।
(अर्थात ऐसी इकाइयों में)।
कोणीय वेग की सामान्य भौतिक इकाई का उपयोग करने के मामले में - रेडियन प्रति सेकंड - कोणीय वेग का मापांक घूर्णी गति से निम्नानुसार संबंधित है:
अंत में, डिग्री प्रति सेकंड का उपयोग करते समय, RPM से संबंध होगा:
कोणीय त्वरण- स्यूडोवेक्टर भौतिक मात्रा एक कठोर शरीर के कोणीय वेग के परिवर्तन की दर को दर्शाती है।
जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो कोणीय त्वरण मापांक होता है:
कोणीय त्वरण वेक्टर α को रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है (त्वरित रोटेशन के साथ और इसके विपरीत - धीमी रोटेशन के साथ)।
एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमते समय, कोणीय त्वरण वेक्टर को समय के संबंध में कोणीय वेग वेक्टर के पहले व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात
और इसके संगत बिंदु पर वेक्टर के होडोग्राफ को स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है।
स्पर्शरेखा और कोणीय त्वरण के बीच एक संबंध है:
जहाँ R एक निश्चित समय पर बिंदु प्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या है। तो, कोणीय त्वरण समय के संबंध में रोटेशन के कोण के दूसरे व्युत्पन्न या समय के संबंध में कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न के बराबर है। कोणीय त्वरण को rad/sec2 में मापा जाता है।
कोणीय वेग और कोणीय त्वरण
एक दृढ़ पिंड पर विचार करें जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। फिर इस पिंड के अलग-अलग बिंदु विभिन्न त्रिज्याओं के वृत्तों का वर्णन करेंगे, जिनके केंद्र घूर्णन के अक्ष पर स्थित हैं। किसी बिंदु को त्रिज्या वाले वृत्त के अनुदिश गति करने दें आर(चित्र 6)। समय की अवधि के बाद इसकी स्थिति डी टीकोण डी सेट करें। प्राथमिक (असीम रूप से छोटे) घुमावों को वैक्टर के रूप में माना जा सकता है (उन्हें या द्वारा दर्शाया जाता है) . वेक्टर का मॉड्यूल रोटेशन के कोण के बराबर होता है, और इसकी दिशा स्क्रू की नोक के ट्रांसलेशनल मूवमेंट की दिशा से मेल खाती है, जिसका सिर सर्कल के साथ बिंदु की गति की दिशा में घूमता है, अर्थात। का अनुसरण करता है सही पेंच नियम(चित्र 6)। वे सदिश जिनकी दिशाएँ घूर्णन की दिशा से जुड़ी होती हैं, कहलाती हैं स्यूडोवेक्टरया अक्षीय वैक्टर।इन वैक्टर में विशिष्ट अनुप्रयोग बिंदु नहीं होते हैं: इन्हें रोटेशन अक्ष पर किसी भी बिंदु से खींचा जा सकता है।
कोणीय गतिसमय के संबंध में पिंड के घूर्णन कोण के प्रथम अवकलज के बराबर सदिश राशि कहलाती है:
वेक्टर को सही पेंच नियम के अनुसार रोटेशन अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है, अर्थात। वेक्टर के समान (चित्र। 7)। कोणीय वेग का आयाम मंद w = टी - 1 , और इसकी इकाई रेडियन प्रति सेकंड (रेड/सेक) है।
बिंदु रैखिक गति (चित्र 6 देखें)
वेक्टर रूप में, रैखिक वेग का सूत्र एक क्रॉस उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:
इस मामले में, वेक्टर उत्पाद का मॉड्यूल, परिभाषा के अनुसार, बराबर होता है, और दिशा सही स्क्रू के ट्रांसलेशनल मूवमेंट की दिशा के साथ मेल खाती है जब यह से घूमता है आर.
यदि (= स्थिरांक, तो घूर्णन एकसमान है और इसे अभिलक्षित किया जा सकता है रोटेशन अवधि टी - वह समय जिसके लिए बिंदु एक पूर्ण क्रांति करता है, अर्थात। 2p के कोण से घूमता है। समय अंतराल के बाद से D टी= टीके संगत = 2p, तो = 2p/ टी, कहाँ पे
प्रति इकाई समय में एक वृत्त में अपनी एकसमान गति के दौरान पिंड द्वारा किए गए पूर्ण चक्करों की संख्या को रोटेशन की आवृत्ति कहा जाता है:
कोणीय त्वरण समय के संबंध में कोणीय वेग के पहले व्युत्पन्न के बराबर एक वेक्टर मात्रा है:
जब शरीर एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो कोणीय त्वरण वेक्टर को रोटेशन अक्ष के साथ कोणीय वेग के प्रारंभिक वेतन वृद्धि के वेक्टर की ओर निर्देशित किया जाता है। त्वरित गति के साथ, वेक्टर वेक्टर (चित्र 8) के लिए सह-निर्देशित होता है, धीमी गति के साथ, यह इसके विपरीत होता है (चित्र 9)।
त्वरण का स्पर्शरेखा घटक
त्वरण का सामान्य घटक
इस प्रकार, रैखिक (पथ की लंबाई .) के बीच संबंध एसत्रिज्या के एक वृत्त के चाप के अनुदिश बिंदु द्वारा पारित किया गया आर, रैखिक गति वी,स्पर्शरेखा त्वरण , सामान्य त्वरण) और कोणीय मात्रा (घूर्णन का कोण j, कोणीय वेग w, कोणीय त्वरण e) निम्नलिखित सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जाता है:
वृत्त के अनुदिश एक बिंदु की समान रूप से परिवर्तनशील गति के मामले में (e=const)
जहाँ w 0 प्रारंभिक कोणीय वेग है।
न्यूटन के नियम।
न्यूटन का पहला नियम। वज़न। ताकत
गतिकी यांत्रिकी की मुख्य शाखा है, यह न्यूटन के तीन नियमों पर आधारित है, जिसे उनके द्वारा 1687 में तैयार किया गया था। न्यूटन के नियम यांत्रिकी में एक असाधारण भूमिका निभाते हैं और (सभी भौतिक कानूनों की तरह) विशाल मानव अनुभव के परिणामों का एक सामान्यीकरण हैं। उन्हें माना जाता है परस्पर कानूनों की प्रणालीऔर हर एक कानून प्रयोगात्मक सत्यापन के अधीन नहीं है, बल्कि पूरी प्रणाली है।
न्यूटन का पहला नियम: कोई भी भौतिक बिंदु (शरीर) आराम की स्थिति या एक समान सीधी गति को तब तक बनाए रखता है जब तक कि अन्य निकायों के प्रभाव से यह स्थिति बदल नहीं जाती. शरीर की आराम की स्थिति या एकसमान सीधा गति बनाए रखने की इच्छा को कहा जाता है जड़ता. इसलिए न्यूटन का पहला नियम भी कहा जाता है जड़ता का नियम.
यांत्रिक गति सापेक्ष है, और इसकी प्रकृति संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करती है। न्यूटन का पहला नियम संदर्भ के किसी भी फ्रेम में मान्य नहीं है, और जिन प्रणालियों के संबंध में इसे किया जाता है उन्हें कहा जाता है जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली. संदर्भ का एक जड़त्वीय ढांचा संदर्भ का एक ऐसा ढांचा है, जिसके सापेक्ष एक भौतिक बिंदु, बाहरी प्रभावों से मुक्त,या तो आराम से या समान रूप से और एक सीधी रेखा में चल रहा है। न्यूटन का पहला नियम संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के अस्तित्व को बताता है।
यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि संदर्भ के सूर्यकेंद्रित (तारकीय) फ्रेम को जड़त्वीय माना जा सकता है (निर्देशांक की उत्पत्ति सूर्य के केंद्र में है, और कुल्हाड़ियों को कुछ सितारों की दिशा में खींचा जाता है)। पृथ्वी से जुड़ा संदर्भ फ्रेम, सख्ती से बोल रहा है, गैर-जड़त्वीय है, लेकिन इसकी गैर-जड़ता (पृथ्वी अपनी धुरी के चारों ओर और सूर्य के चारों ओर घूमती है) के कारण प्रभाव कई समस्याओं को हल करने में नगण्य हैं, और इन मामलों में यह जड़त्वीय माना जा सकता है।
अनुभव से यह ज्ञात होता है कि एक ही प्रभाव के तहत, विभिन्न निकाय अपनी गति की गति को असमान रूप से बदलते हैं, अर्थात, दूसरे शब्दों में, अलग-अलग त्वरण प्राप्त करते हैं। त्वरण न केवल प्रभाव के परिमाण पर निर्भर करता है, बल्कि शरीर के गुणों (उसके द्रव्यमान पर) पर भी निर्भर करता है।
वज़नपिंड - एक भौतिक मात्रा, जो पदार्थ की मुख्य विशेषताओं में से एक है, जो इसकी जड़ता को निर्धारित करती है ( जड़त्वीय द्रव्यमान) और गुरुत्वाकर्षण ( गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान) गुण। वर्तमान में, यह सिद्ध माना जा सकता है कि जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान एक दूसरे के बराबर हैं (सटीकता के साथ उनके मूल्यों के 10-12 से कम नहीं)।
न्यूटन के प्रथम नियम में वर्णित प्रभावों का वर्णन करने के लिए बल की अवधारणा का परिचय दिया गया है। बलों की कार्रवाई के तहत, शरीर या तो गति की गति को बदलते हैं, अर्थात, त्वरण (बलों की गतिशील अभिव्यक्ति) प्राप्त करते हैं, या विकृत होते हैं, अर्थात, अपना आकार और आयाम बदलते हैं (बलों की स्थिर अभिव्यक्ति)। समय के प्रत्येक क्षण में, बल को एक संख्यात्मक मान, अंतरिक्ष में एक दिशा और अनुप्रयोग के एक बिंदु की विशेषता होती है। इसलिए, ताकत- यह एक वेक्टर मात्रा है, जो अन्य निकायों या क्षेत्रों से शरीर पर यांत्रिक प्रभाव का एक उपाय है, जिसके परिणामस्वरूप शरीर त्वरण प्राप्त करता है या अपना आकार और आकार बदलता है।
न्यूटन का दूसरा नियम
न्यूटन का दूसरा नियम - अनुवाद गति की गतिकी का मूल नियम -इस सवाल का जवाब देता है कि किसी भौतिक बिंदु (शरीर) की यांत्रिक गति उस पर लागू बलों की कार्रवाई के तहत कैसे बदलती है।
यदि हम एक ही शरीर पर विभिन्न बलों की कार्रवाई पर विचार करते हैं, तो यह पता चलता है कि शरीर द्वारा प्राप्त त्वरण हमेशा लागू बलों के परिणाम के समानुपाती होता है:
ए ~ एफ (टी = स्थिरांक). (6.1)
अलग-अलग द्रव्यमान वाले पिंडों पर एक ही बल की कार्रवाई के तहत, उनके त्वरण भिन्न हो जाते हैं, अर्थात्
ए ~ 1 / टी (एफ= स्थिरांक). (6.2)
व्यंजकों (6.1) और (6.2) का उपयोग करके और यह ध्यान में रखते हुए कि बल और त्वरण सदिश राशियाँ हैं, हम लिख सकते हैं
ए = केएफ / एम। (6.3)
संबंध (6.3) न्यूटन के दूसरे नियम को व्यक्त करता है: एक भौतिक बिंदु (शरीर) द्वारा प्राप्त त्वरण, इसके कारण होने वाले बल के समानुपाती, दिशा में इसके साथ मेल खाता है और भौतिक बिंदु (शरीर) के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
SI में, आनुपातिकता कारक कश्मीर = 1. तब
(6.4)
यह देखते हुए कि शास्त्रीय यांत्रिकी में एक भौतिक बिंदु (शरीर) का द्रव्यमान एक स्थिर मूल्य है, अभिव्यक्ति (6.4) में इसे व्युत्पन्न के संकेत के तहत लाया जा सकता है:
वेक्टर क्वांटिटी
संख्यात्मक रूप से एक भौतिक बिंदु के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर और गति की दिशा वाले, को कहा जाता है गति (गति)यह सामग्री बिंदु।
(6.6) को (6.5) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
यह अभिव्यक्ति - न्यूटन के दूसरे नियम का अधिक सामान्य सूत्रीकरण: किसी भौतिक बिंदु के संवेग परिवर्तन की दर उस पर लगने वाले बल के बराबर होती है। व्यंजक (6.7) कहलाता है एक भौतिक बिंदु की गति का समीकरण.
एसआई में बल की इकाई - न्यूटन(एन): 1 एन एक बल है जो बल की दिशा में 1 किलो के द्रव्यमान के लिए 1 मीटर / एस 2 का त्वरण प्रदान करता है:
1 एन \u003d 1 किग्रा × मी / से 2.
न्यूटन का दूसरा नियम केवल जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में मान्य है। न्यूटन का पहला नियम दूसरे से लिया जा सकता है। वास्तव में, यदि परिणामी बल शून्य (अन्य निकायों से शरीर पर प्रभाव के अभाव में) के बराबर है, तो त्वरण (देखें (6.3)) भी शून्य के बराबर है। हालांकि न्यूटन का पहला नियममाना स्वतंत्र कानून(और दूसरे कानून के परिणाम के रूप में नहीं), क्योंकि यह वह है जो संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के अस्तित्व पर जोर देता है, जिसमें केवल समीकरण (6.7) संतुष्ट होता है।
यांत्रिकी में, इसका बहुत महत्व है बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता का सिद्धांत: यदि एक भौतिक बिंदु पर कई बल एक साथ कार्य करते हैं, तो इनमें से प्रत्येक बल न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार भौतिक बिंदु पर त्वरण प्रदान करता है, जैसे कि कोई अन्य बल नहीं थे। इस सिद्धांत के अनुसार, बलों और त्वरण को घटकों में विघटित किया जा सकता है, जिसके उपयोग से समस्या समाधान का एक महत्वपूर्ण सरलीकरण होता है। उदाहरण के लिए, अंजीर में। 10 अभिनय बल एफ = एम a दो घटकों में विघटित होता है: स्पर्शरेखा बल F t , (प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित) और सामान्य बल F एन(सामान्य के साथ वक्रता के केंद्र की ओर निर्देशित)। भावों का उपयोग करना और , साथ ही , तुम लिख सकते हो:
यदि एक भौतिक बिंदु पर कई बल एक साथ कार्य करते हैं, तो, बलों की कार्रवाई की स्वतंत्रता के सिद्धांत के अनुसार, न्यूटन के दूसरे नियम में F को परिणामी बल के रूप में समझा जाता है।
न्यूटन का तीसरा नियम
भौतिक बिंदुओं (निकायों) के बीच परस्पर क्रिया द्वारा निर्धारित किया जाता है न्यूटन का तीसरा नियम: एक दूसरे पर भौतिक बिंदुओं (निकायों) की किसी भी क्रिया में बातचीत का चरित्र होता है; वे बल जिनके साथ भौतिक बिंदु एक दूसरे पर कार्य करते हैं, हमेशा निरपेक्ष मान के बराबर होते हैं, विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं और इन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ कार्य करते हैं:
एफ 12 = - एफ 21, (7.1)
जहां एफ 12 दूसरे से पहले भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाला बल है;
एफ 21 - पहले से दूसरे भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाला बल। इन बलों को लागू किया जाता है विभिन्नभौतिक बिंदु (निकाय), हमेशा कार्य करते हैं जोंड़ों मेंऔर बल हैं एक प्रकृति।
न्यूटन का तीसरा नियम गतिकी से संक्रमण की अनुमति देता है अलगगतिकी के लिए सामग्री बिंदु प्रणालीसामग्री अंक। यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के लिए, सामग्री बिंदुओं के बीच जोड़ी बातचीत की ताकतों के लिए बातचीत कम हो जाती है।
एक विस्तारित पिंड की गति जिसके आयामों को विचाराधीन समस्या की स्थितियों में उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। शरीर को गैर-विकृत माना जाएगा, दूसरे शब्दों में, बिल्कुल कठोर।
वह आंदोलन जिसमें कोईगतिमान पिंड से जुड़ी एक सीधी रेखा अपने आप के समानांतर रहती है, कहलाती है प्रगतिशील।
एक सीधी रेखा "कठोरता से एक पिंड से जुड़ी" को ऐसी सीधी रेखा के रूप में समझा जाता है, जिसके किसी भी बिंदु से शरीर के किसी भी बिंदु तक की दूरी उसके आंदोलन के दौरान स्थिर रहती है।
एक बिल्कुल कठोर शरीर की अनुवाद गति को इस शरीर के किसी भी बिंदु की गति से चिह्नित किया जा सकता है, क्योंकि अनुवाद गति में शरीर के सभी बिंदु समान गति और त्वरण के साथ चलते हैं, और उनकी गति के प्रक्षेपवक्र समान होते हैं। किसी दृढ़ पिंड के किसी भी बिंदु की गति निर्धारित करने के साथ ही हम उसके अन्य सभी बिंदुओं की गति भी निर्धारित करेंगे। इसलिए, अनुवाद गति का वर्णन करते समय, भौतिक बिंदु की गतिज की तुलना में कोई नई समस्या उत्पन्न नहीं होती है। ट्रांसलेशनल मूवमेंट का एक उदाहरण अंजीर में दिखाया गया है। 2.20.
चित्र 2.20। शरीर की अनुवादकीय गति
अनुवाद गति का एक उदाहरण निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है:
चित्र 2.21। प्लेनर बॉडी मूवमेंट
एक कठोर पिंड की गति का एक अन्य महत्वपूर्ण विशेष मामला वह गति है जिसमें पिंड के दो बिंदु स्थिर रहते हैं।
वह गति जिसमें शरीर के दो बिंदु स्थिर रहते हैं, कहलाती है एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना।
इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा भी स्थिर होती है और कहलाती है अक्ष।
चित्र.2.22। एक कठोर शरीर का घूर्णन
इस तरह के एक आंदोलन के साथ, शरीर के सभी बिंदु घूर्णन की धुरी के लंबवत विमानों में स्थित मंडलियों के साथ चलते हैं। वृत्तों के केंद्र घूर्णन अक्ष पर स्थित होते हैं। इस मामले में, रोटेशन की धुरी शरीर के बाहर भी स्थित हो सकती है।
वीडियो 2.4. अनुवाद और घूर्णी आंदोलनों।
कोणीय वेग, कोणीय त्वरण।जब कोई पिंड एक अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो उसके सभी बिंदु अलग-अलग त्रिज्या के वृत्तों का वर्णन करते हैं और इसलिए, अलग-अलग विस्थापन, वेग और त्वरण होते हैं। हालाँकि, शरीर के सभी बिंदुओं की घूर्णी गति का एक ही तरह से वर्णन करना संभव है। इसके लिए, अन्य (भौतिक बिंदु की तुलना में) गति की गतिज विशेषताओं का उपयोग किया जाता है - रोटेशन का कोण, कोणीय वेग, कोणीय त्वरण।
चावल। 2.23. एक वृत्त में गतिमान बिंदु के त्वरण सदिश
घूर्णी गति में विस्थापन की भूमिका किसके द्वारा निभाई जाती है छोटा मोड़ वेक्टर, रोटेशन की धुरी के चारों ओर 00" (चित्र। 2.24।)। यह किसी भी बिंदु के लिए समान होगा बिल्कुल कठोर शरीर(उदाहरण के लिए, डॉट्स 1, 2, 3 ).
चावल। 2.24. एक निश्चित धुरी के बारे में पूरी तरह से कठोर शरीर का घूर्णन
रोटेशन वेक्टर का मॉड्यूल रोटेशन के कोण के मान के बराबर है, और कोण को रेडियन में मापा जाता है.
रोटेशन की धुरी के साथ एक असीम रोटेशन के वेक्टर को शरीर के समान दिशा में घुमाए गए दाहिने पेंच (गिलेट) की गति की ओर निर्देशित किया जाता है।
वीडियो 2.5. अंतिम कोणीय विस्थापन सदिश नहीं हैं, क्योंकि वे समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार नहीं जुड़ते हैं। अपरिमित रूप से छोटे कोणीय विस्थापन सदिश होते हैं।
वे सदिश जिनकी दिशाएँ गिलेट नियम से जुड़ी होती हैं, कहलाती हैं AXIAL(अंग्रेजी से। एक्सिस- अक्ष) के विपरीत ध्रुवीय. वैक्टर जो हमने पहले इस्तेमाल किए थे। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय सदिश त्रिज्या सदिश, वेग सदिश, त्वरण सदिश और बल सदिश हैं। अक्षीय वैक्टर को स्यूडोवेक्टर भी कहा जाता है, क्योंकि वे दर्पण में प्रतिबिंब ऑपरेशन के दौरान अपने व्यवहार में सच्चे (ध्रुवीय) वैक्टर से भिन्न होते हैं (उलटा या, जो समान है, दाएं से बाएं समन्वय प्रणाली में संक्रमण)। यह दिखाया जा सकता है (यह बाद में किया जाएगा) कि अन्तर्निहित घुमावों के वैक्टरों का जोड़ उसी तरह होता है जैसे कि सच्चे वैक्टर का जोड़, यानी समानांतर चतुर्भुज (त्रिकोण) नियम के अनुसार। इसलिए, यदि दर्पण में प्रतिबिंब के संचालन पर विचार नहीं किया जाता है, तो छद्मवेक्टर और सच्चे वैक्टर के बीच का अंतर किसी भी तरह से प्रकट नहीं होता है और उन्हें सामान्य (सच्चे) वैक्टर के साथ व्यवहार करना संभव और आवश्यक है।
एक अतिसूक्ष्म घूर्णन के सदिश का उस समय से अनुपात, जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ था
बुलाया घूर्णन की कोणीय गति।
कोणीय वेग के परिमाण को मापने की मूल इकाई है रेड/एस. मुद्रित प्रकाशनों में, जिन कारणों का भौतिकी से कोई लेना-देना नहीं है, वे अक्सर लिखते हैं 1/एसया 1 सेजो, सख्ती से बोलना, झूठा है। कोण एक आयामहीन मात्रा है, लेकिन इसकी माप की इकाइयाँ भिन्न हैं (डिग्री, rhumbs, grads ...) और उन्हें कम से कम गलतफहमी से बचने के लिए इंगित किया जाना चाहिए।
वीडियो 2.6. स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव और रोटेशन के कोणीय वेग के दूरस्थ माप के लिए इसका उपयोग।
कोणीय वेग, जिस सदिश के समानुपाती होता है, उसके समान एक अक्षीय सदिश होता है। घूमते समय स्तब्धअक्ष कोणीय वेग इसकी दिशा नहीं बदलता है। एकसमान घूर्णन के साथ इसका मान भी स्थिर रहता है, जिससे सदिश । कोणीय वेग के मान के समय में पर्याप्त स्थिरता के मामले में, रोटेशन को इसकी अवधि के आधार पर आसानी से चित्रित किया जा सकता है टी :
रोटेशन अवधि- यह वह समय है जिसके लिए शरीर घूर्णन की धुरी के चारों ओर एक चक्कर (2π के कोण के माध्यम से घूर्णन) करता है।
शब्द "पर्याप्त स्थिरता" का स्पष्ट रूप से अर्थ है कि अवधि (एक क्रांति के समय) के दौरान कोणीय वेग का मॉड्यूल महत्वहीन रूप से बदलता है।
अक्सर इस्तेमाल किया जाता है प्रति इकाई समय में क्रांतियों की संख्या
उसी समय, तकनीकी अनुप्रयोगों में (सबसे पहले, सभी प्रकार के इंजन), यह एक सेकंड नहीं, बल्कि समय की एक इकाई के रूप में एक मिनट लेने के लिए प्रथागत है। अर्थात्, घूर्णन का कोणीय वेग प्रति मिनट क्रांतियों में इंगित किया जाता है। जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, (प्रति सेकंड रेडियन में) और (प्रति मिनट क्रांतियों में) के बीच संबंध इस प्रकार है
कोणीय वेग वेक्टर की दिशा अंजीर में दिखाई गई है। 2.25.
रैखिक त्वरण के अनुरूप, कोणीय त्वरण को कोणीय वेग वेक्टर के परिवर्तन की दर के रूप में पेश किया जाता है। कोणीय त्वरण भी एक अक्षीय सदिश (स्यूडोवेक्टर) है।
कोणीय त्वरण - कोणीय वेग के समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित अक्षीय वेक्टर
एक निश्चित अक्ष के बारे में घूमते समय, अधिक सामान्यतः जब एक अक्ष के बारे में घूर्णन करते हैं जो स्वयं के समानांतर रहता है, कोणीय वेग वेक्टर भी रोटेशन की धुरी के समानांतर निर्देशित होता है। कोणीय वेग के मान में वृद्धि के साथ || कोणीय त्वरण इसके साथ दिशा में मेल खाता है, जबकि घटता है - यह विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह केवल रोटेशन की धुरी की दिशा के अपरिवर्तन का एक विशेष मामला है, सामान्य मामले में (एक बिंदु के चारों ओर घूर्णन) घूर्णन की धुरी स्वयं घूमती है और फिर उपरोक्त सत्य नहीं है।
कोणीय और रैखिक वेग और त्वरण का कनेक्शन।घूर्णन पिंड के प्रत्येक बिंदु एक निश्चित रैखिक वेग के साथ स्पर्शरेखा से संबंधित सर्कल में निर्देशित होते हैं (चित्र 19 देखें)। सामग्री बिंदु को अक्ष के चारों ओर घूमने दें 00" त्रिज्या वाले वृत्त के चारों ओर आर. थोड़े समय के लिए, यह रोटेशन के कोण के अनुरूप पथ से गुजरेगा। फिर
सीमा को पार करते हुए, हम एक घूर्णन पिंड के एक बिंदु के रैखिक वेग के मापांक के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं।
यहां याद करें आर- शरीर के विचार बिंदु से रोटेशन की धुरी तक की दूरी।
चावल। 2.26.
चूंकि सामान्य त्वरण है
फिर, कोणीय और रैखिक गति के संबंध को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
एक घूर्णन कठोर पिंड में बिंदुओं के सामान्य त्वरण को अक्सर कहा जाता है केन्द्राभिमुख त्वरण।
समय के संबंध में के लिए व्यंजक में अंतर करते हुए, हम पाते हैं
त्रिज्या वाले वृत्त के अनुदिश गतिमान बिंदु का स्पर्शरेखा त्वरण कहाँ है आर.
इस प्रकार, दोनों स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण बढ़ते त्रिज्या के साथ रैखिक रूप से बढ़ते हैं आर- रोटेशन की धुरी से दूरी। कुल त्वरण भी रैखिक रूप से निर्भर करता है आर :
उदाहरण।आइए हम भूमध्य रेखा पर और मास्को के अक्षांश पर पृथ्वी की सतह पर स्थित बिंदुओं का रैखिक वेग और अभिकेंद्रीय त्वरण ज्ञात करें (= 56°) हम पृथ्वी की अपनी धुरी के चारों ओर घूमने की अवधि जानते हैं टी \u003d 24 घंटे \u003d 24x60x60 \u003d 86,400 s. यहाँ से घूर्णन का कोणीय वेग है
पृथ्वी माध्य त्रिज्या
अक्षांश पर घूर्णन अक्ष की दूरी है
यहाँ से हम रैखिक वेग ज्ञात करते हैं
और अभिकेन्द्र त्वरण
भूमध्य रेखा पर = 0, cos = 1, इसलिए,
मास्को के अक्षांश पर cos = cos 56° = 0.559और हमें मिलता है:
हम देखते हैं कि पृथ्वी के घूर्णन का प्रभाव इतना अधिक नहीं है: भूमध्य रेखा पर अभिकेन्द्रीय त्वरण और मुक्त पतन त्वरण का अनुपात है
हालाँकि, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, पृथ्वी के घूमने के प्रभाव काफी देखे जा सकते हैं।
रैखिक और कोणीय वेग वैक्टर के बीच संबंध।ऊपर प्राप्त कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध वैक्टर के मॉड्यूल के लिए लिखे गए हैं और . इन संबंधों को सदिश रूप में लिखने के लिए, हम एक सदिश उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करते हैं।
होने देना 0z- बिल्कुल कठोर पिंड के घूमने की धुरी (चित्र। 2.28)।
चावल। 2.28. रैखिक और कोणीय वेग वैक्टर के बीच संबंध
दूरसंचार विभाग लेकिनएक त्रिज्या के साथ एक वृत्त के चारों ओर घूमता है आर. आर- रोटेशन की धुरी से शरीर के विचार बिंदु तक की दूरी। आइए एक बिंदु लेते हैं 0 निर्देशांक की उत्पत्ति के लिए। फिर
और तबसे
फिर वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, शरीर के सभी बिंदुओं के लिए
यहाँ पिंड के बिंदु का त्रिज्या सदिश है, जो बिंदु O से शुरू होता है, एक मनमाना निश्चित स्थान पर स्थित है, आवश्यक रूप से रोटेशन की धुरी पर
लेकिन दूसरी तरफ
पहला पद शून्य के बराबर है, क्योंकि समरेखी सदिशों का सदिश गुणन शून्य के बराबर है। फलस्वरूप,
जहां वेक्टर आरघूर्णन की धुरी के लंबवत है और इससे दूर निर्देशित है, और इसका मॉड्यूलस सर्कल के त्रिज्या के बराबर है जिसके साथ भौतिक बिंदु चलता है और यह वेक्टर इस सर्कल के केंद्र से शुरू होता है.
चावल। 2.29. रोटेशन के तात्कालिक अक्ष की परिभाषा के लिए
सामान्य (केन्द्रापसारक) त्वरण को सदिश रूप में भी लिखा जा सकता है:
और चिह्न "-" दर्शाता है कि यह घूर्णन के अक्ष की ओर निर्देशित है। समय के संबंध में रैखिक और कोणीय वेग के संबंध में अंतर करते हुए, हम कुल त्वरण के लिए व्यंजक पाते हैं
पहला पद एक घूर्णन पिंड पर एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है और इसका मापांक होता है, क्योंकि
स्पर्शरेखा त्वरण के व्यंजक की तुलना में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यह स्पर्शरेखा त्वरण सदिश है
इसलिए, दूसरा पद उसी बिंदु का सामान्य त्वरण है:
दरअसल, यह त्रिज्या के साथ निर्देशित है आररोटेशन की धुरी और उसके मापांक के बराबर है
इसलिए, सामान्य त्वरण के लिए यह संबंध पहले प्राप्त सूत्र को लिखने का दूसरा रूप है।
अतिरिक्त जानकारी
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - शिवुखिन डी.वी. भौतिकी का सामान्य पाठ्यक्रम, खंड 1, यांत्रिकी एड। विज्ञान 1979 - पीपी 242-243 (§46, पृष्ठ 7): एक कठोर शरीर के कोणीय घुमावों की वेक्टर प्रकृति के बारे में समझने में मुश्किल प्रश्न पर चर्चा की गई है;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - शिवुखिन डी.वी. भौतिकी का सामान्य पाठ्यक्रम, खंड 1, यांत्रिकी एड। विज्ञान 1979 - पीपी 233-242 (§45, §46 पीपी। 1-6): एक कठोर शरीर के रोटेशन की तात्कालिक धुरी, घुमावों का जोड़;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - क्वांट पत्रिका - बास्केटबॉल थ्रो किनेमेटिक्स (आर। विनोकुर);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - क्वांट पत्रिका, 2003, नंबर 6, - पीपी। 5–11, एक कठोर शरीर के तात्कालिक वेग का क्षेत्र (एस। क्रोटोव);
यूलर कोण, विमान (जहाज) कोण।
परंपरागत रूप से, यूलर कोणों को निम्नानुसार पेश किया जाता है। संदर्भ स्थिति से वास्तविक स्थिति में संक्रमण तीन मोड़ (चित्र। 4.3) द्वारा किया जाता है:
1. कोने के चारों ओर घुमाएं अग्रगमनउसी समय, यह स्थिति में चला जाता है, (सी) .
2. कोने के चारों ओर घुमाएं सिर का इशारा. वहीं, . (4.10)
4. कोने के चारों ओर घुमाएं अपना (शुद्ध) रोटेशन
बेहतर समझ के लिए, चित्र 4.4 एक शीर्ष और यूलर कोणों को दिखाता है जो इसका वर्णन करते हैं
संदर्भ स्थिति से वास्तविक स्थिति में संक्रमण तीन मोड़ों द्वारा किया जा सकता है (इसे स्वयं चालू करें!) (चित्र। 4.5):
1. कोने के चारों ओर घुमाएं रास्ते से हटना, जिसमें
2. पिच कोण से घुमाएँ, जबकि (4.12)
3. चारों ओर कोण रोल करें
अभिव्यक्ति "किया जा सकता है" आकस्मिक नहीं है; यह समझना मुश्किल नहीं है कि अन्य विकल्प संभव हैं, उदाहरण के लिए, निश्चित अक्षों के चारों ओर घूमना
1. कोने के चारों ओर घुमाएं घूमना(पंख टूटने का खतरा)
2. कोने के चारों ओर घुमाएं पिच("नाक उठाना") (4.13)
3. एक कोण पर घूमें रास्ते से हटना
हालांकि, (4.12) और (4.13) की पहचान को भी साबित करने की जरूरत है।
आइए मैट्रिक्स रूप में किसी भी बिंदु (चित्र 4.6) की स्थिति वेक्टर के लिए एक स्पष्ट वेक्टर सूत्र लिखें। संदर्भ आधार के सापेक्ष सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। आइए हम वास्तविक आधार के अनुसार वेक्टर का विस्तार करें और एक "स्थानांतरित" वेक्टर पेश करें जिसका संदर्भ आधार में निर्देशांक वास्तविक में वेक्टर के निर्देशांक के बराबर हैं; दूसरे शब्दों में, - शरीर के साथ एक वेक्टर "घुमाया" (चित्र। 4.6)।
| चावल। 4.6. |
संदर्भ के आधार पर सदिशों का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
हम एक रोटेशन मैट्रिक्स और कॉलम पेश करते हैं,
मैट्रिक्स संकेतन में वेक्टर सूत्र का रूप है
1. रोटेशन मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल है, यानी।
इस कथन का प्रमाण सूत्र है (4.9)
उत्पाद के सारणिक (4.15) की गणना करते हुए, हम प्राप्त करते हैं और चूंकि संदर्भ स्थिति में, तब ((+1) के बराबर सारणिक वाले ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स कहलाते हैं उचितऑर्थोगोनल या रोटेशन मैट्रिसेस)। रोटेशन मैट्रिक्स, जब वैक्टर द्वारा गुणा किया जाता है, तो वैक्टर की लंबाई या उनके बीच के कोणों में कोई बदलाव नहीं होता है, अर्थात। वास्तव में उन्हें मुड़ता है।
2. रोटेशन मैट्रिक्स में एक आइजनवेक्टर (निश्चित) होता है जो रोटेशन की धुरी को परिभाषित करता है। दूसरे शब्दों में, यह दिखाना आवश्यक है कि समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है। हम सिस्टम को फॉर्म में लिखते हैं (। इस सजातीय प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, क्योंकि
इसलिए सिस्टम में एक गैर-शून्य समाधान है। यह मानते हुए कि दो समाधान हैं, हम तुरंत इस निष्कर्ष पर आते हैं कि उनके लिए लंबवत भी एक समाधान है (सदिशों के बीच के कोण नहीं बदलते हैं), जिसका अर्थ है कि। कोई मोड़ नहीं..
| चित्र 4.7 |
एक ऑर्थोनॉर्मल आधार में मैट्रिक्स
एक नज़र है।
2. विभेदन (4.15), हम प्राप्त करते हैं या, निरूपित करते हैं - मैट्रिक्स पीछे (इंग्लैंड। स्पिन करने के लिए - घुमा)।इस प्रकार, स्पिन मैट्रिक्स तिरछा-सममित है:। दाईं ओर से गुणा करके, हम रोटेशन मैट्रिक्स के लिए पॉइसन सूत्र प्राप्त करते हैं:
हम मैट्रिक्स विवरण के ढांचे के भीतर सबसे कठिन क्षण में आ गए हैं - कोणीय वेग वेक्टर का निर्धारण।
बेशक, आप एक मानक तरीके से कार्य कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, विधि देखें और लिखें: " हम तिरछा-सममित मैट्रिक्स के तत्वों के लिए संकेतन का परिचय देते हैंएस सूत्र के अनुसार
अगर हम एक वेक्टर बनाते हैं , तो एक वेक्टर द्वारा मैट्रिक्स को गुणा करने का परिणाम एक क्रॉस उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है". उपरोक्त उद्धरण में - कोणीय वेग का सदिश।
विभेदित (4.14), हम एक कठोर शरीर के कीनेमेटीक्स के लिए मूल सूत्र का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं :
मैट्रिक्स दृष्टिकोण, गणना के लिए सुविधाजनक होने के कारण, संबंधों के विश्लेषण और व्युत्पन्न के लिए बहुत कम उपयुक्त है; वेक्टर और टेंसर भाषा में लिखे गए किसी भी सूत्र को मैट्रिक्स रूप में आसानी से लिखा जा सकता है, लेकिन मैट्रिक्स रूप में किसी भी भौतिक घटना का वर्णन करने के लिए एक कॉम्पैक्ट और अभिव्यक्तिपूर्ण सूत्र प्राप्त करना मुश्किल है।
इसके अलावा, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि मैट्रिक्स तत्व किसी आधार पर टेंसर के निर्देशांक (घटक) हैं। टेंसर स्वयं आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन इसके घटक करते हैं। मैट्रिक्स रूप में त्रुटि-मुक्त लेखन के लिए, यह आवश्यक है कि व्यंजक में शामिल सभी वैक्टर और टेंसर एक ही आधार पर लिखे जाएं, और यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है, क्योंकि अलग-अलग टेंसरों का अलग-अलग आधारों में "सरल" रूप होता है, इसलिए आप ट्रांज़िशन मैट्रिसेस का उपयोग करके मैट्रिसेस को पुनर्गणना करने की आवश्यकता है।
