कौन सा पैरामीटर दिए गए फ़ंक्शन को महत्व देता है। द्विघात फलन के गुणों का उपयोग करते हुए प्राचलों के साथ समस्याओं को हल करना

1. कार्य।
पैरामीटर के किस मूल्य पर एकसमीकरण ( एक - 1)एक्स 2 + 2एक्स + एक- 1 = 0 का ठीक एक मूल है?

1. निर्णय।
पर एक= 1 समीकरण का रूप 2 है एक्स= 0 और जाहिर तौर पर एक ही रूट है एक्स= 0. अगर एकनंबर 1, तो यह समीकरण द्विघात है और पैरामीटर के उन मानों के लिए एक मूल है जिसके लिए वर्ग त्रिपद का विवेचक शून्य के बराबर है। विविक्तकर को शून्य के बराबर करने पर, हमें प्राचल के लिए एक समीकरण प्राप्त होता है एक 4एक 2 - 8एक= 0, जहाँ से एक= 0 या एक = 2.

1. उत्तर:समीकरण की एक ही जड़ है एकओ (0; 1; 2)।

2. कार्य।
सभी पैरामीटर मान खोजें एक, जिसके लिए समीकरण के दो भिन्न मूल हैं एक्स 2 +4कुल्हाड़ी+8एक+3 = 0.
2. निर्णय।
समीकरण एक्स 2 +4कुल्हाड़ी+8एक+3 = 0 के दो भिन्न मूल हैं यदि और केवल यदि डी = 16एक 2 -4(8एक+3) > 0. हम प्राप्त करते हैं (4 के एक सामान्य कारक द्वारा कमी के बाद) 4 एक 2 -8एक-3 > 0, जहां से

2. उत्तर:

एकओ (-Ґ ; 1 -

सी 7 2

) और (1 +

सी 7 2

; Ґ ).

3. कार्य।
यह जाना जाता है कि
एफ 2 (एक्स) = 6एक्स-एक्स 2 -6.
ए) फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें एफ 1 (एक्स) पर एक = 1.
बी) किस मूल्य पर एकसमारोह रेखांकन एफ 1 (एक्स) तथा एफ 2 (एक्स) एक सामान्य बिंदु है?

3. समाधान।
3.क.कायापलट करते हैं एफ 1 (एक्स) इस अनुसार
इस समारोह का ग्राफ एक= 1 दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है।
3.बी.हम तुरंत ध्यान देते हैं कि फ़ंक्शन ग्राफ़ वाई = केएक्स+बीतथा वाई = कुल्हाड़ी 2 +bx+सी (एकनंबर 0) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है अगर और केवल अगर द्विघात समीकरण केएक्स+बी = कुल्हाड़ी 2 +bx+सीएक ही जड़ है। व्यू का उपयोग करना एफ 1 का 3.क, हम समीकरण के विविक्तकर की बराबरी करते हैं एक = 6एक्स-एक्स 2 -6 से शून्य। समीकरण 36-24-4 से एक= 0 हमें प्राप्त होता है एक= 3. समीकरण 2 के साथ ऐसा ही करना एक्स-एक = 6एक्स-एक्स 2 -6 खोजें एक= 2. यह सत्यापित करना आसान है कि ये पैरामीटर मान समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं। उत्तर: एक= 2 या एक = 3.

4. कार्य।
सभी मान खोजें एक, जिसके तहत असमानता के समाधान का सेट एक्स 2 -2कुल्हाड़ी-3एक i 0 में खंड शामिल है।

4. समाधान।
परवलय के शीर्ष का पहला निर्देशांक एफ(एक्स) = एक्स 2 -2कुल्हाड़ी-3एकके बराबर है एक्स 0 = एक. द्विघात फलन के गुणों से, स्थिति एफ(एक्स) अंतराल पर मैं 0 तीन प्रणालियों की समग्रता के बराबर है
ठीक दो समाधान हैं?

5. निर्णय।
आइए इस समीकरण को रूप में फिर से लिखें एक्स 2 + (2एक-2)एक्स - 3एक+7 = 0. यह एक द्विघात समीकरण है, इसके बिल्कुल दो समाधान हैं यदि इसका विभेदक शून्य से अधिक है। विवेचक की गणना करने पर, हम पाते हैं कि ठीक दो मूलों के होने की शर्त असमानता की पूर्ति है एक 2 +एक-6 > 0. असमानता को हल करने पर, हम पाते हैं एक < -3 или एक> 2. जाहिर है, असमानताओं में से पहली का प्राकृतिक संख्या में कोई समाधान नहीं है, और दूसरी का सबसे छोटा प्राकृतिक समाधान संख्या 3 है।

5. उत्तर: 3.

6. टास्क (10 सेल)
सभी मान खोजें एक, जिसके लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ या, स्पष्ट परिवर्तनों के बाद, एक-2 = | 2-एक| . अंतिम समीकरण असमानता के बराबर है एकमैं 2।

6. उत्तर: एक O, और विवेचक के चिन्ह पर निर्भर नहीं करता है। चलो योजनाबद्ध चित्र बनाते हैं (डी> 0 के लिए)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image020_10.jpg" width="624" height="209 src=">

तीन मामलों में से प्रत्येक के लिए a), b), c) फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान f(t) = t2-8at+7a2

खंड पर क्रमशः x = 1, x = 2a, x = 1/4 बिंदुओं पर प्राप्त किया जाता है। फिर उत्तर देने वाला प्रश्न तीन प्रणालियों की समग्रता का समाधान है:

1≤4ए 1/4<4а<1 4а<1/4

च (1)<0 или f(4а)<0 или f(1/4)<0

a≥1/4 1/16<а<1/4 а≤1/16

1 - 8क + 7क2<0 или 16а2 – 32а2 + 7а2<0 или 1/16 – 2а + 7а2<0.

उत्तर: 1/28<а<1.

परीक्षण कार्य

एक)। पैरामीटर के किन मानों के लिए फ़ंक्शंस y = 2x – a और y = (a + 1)x2 + 1 के ग्राफ़ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं?

2). पैरामीटर के सभी मान खोजें जिनके लिए कार्यों के ग्राफ y = (a + 5)x2 - 1 और

y \u003d (3a + 15) x - 4 में सामान्य बिंदु नहीं हैं?

3). पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए समीकरण (a +4)x2 +6x –1 = 0 का एक अनूठा समाधान है?

चार)। पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए समीकरण (2a + 8) x2 - (a + 4) x + 3 = 0 का एक अनूठा समाधान है?

5). पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए समीकरण में एक से अधिक समाधान हैं?

ए) (ए + 6)x2 - 8x + ए \u003d 0

बी) ए (2ए + 4) एक्स 2 - (ए + 2) एक्स - 5ए - 10 = 0।

6). प्राचल k के वे सभी मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए वक्र y = x2 + kx + 4 x-अक्ष को स्पर्श करता है।

7). वर्ग ट्रिनोमियल के लिए पैरामीटर k का सबसे छोटा पूर्णांक मान क्या है

(k–2)x2+8x + k+4 x के सभी वास्तविक मानों के लिए धनात्मक है?

आठ)। संख्याएँ x, y, और ऐसी हैं कि x + y = a -1, x2 + y2 = 5a2 - 3a + 0.5। पैरामीटर के किन मूल्यों पर उत्पाद xy अधिकतम मान लेता है?

9). संख्याएँ x, y, और ऐसी हैं कि x + y = a +1, xy = a2 - 3a + 4। पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए

और योग x2 + y2 अधिकतम मान लेता है?

दस)। खंड पर फ़ंक्शन y \u003d 2x2 - 2ax + का सबसे बड़ा और 1 सबसे छोटा मान ज्ञात करें

ग्यारह)। खण्ड पर वर्ग ट्रिनोमियल 1 - (a - 2) x - x2 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए

12). पैरामीटर के किस मान पर -4 के बराबर सेगमेंट पर फ़ंक्शन y = x2 + (a + 4) x + 2a + 3 का सबसे छोटा मान है?

13). पैरामीटर के किन मूल्यों पर फ़ंक्शन y \u003d x2 का सबसे छोटा मान है - (a + 2) x + a2 सेगमेंट पर [-1; 1] 4 के बराबर?

चौदह)। पैरामीटर के किन मूल्यों पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान है

f (x) \u003d - (1 / a) x + (7 / a) 3-x - 3a2 सेगमेंट पर [-1; 0] नकारात्मक है?

परीक्षण कार्य के उत्तर

1) ए=-2, ए=-1, ए=0।

2) –19/3<а≤-5.

3) ए=-4, ए=-13।

5) क) -8<а<-6 и -6<а<2

बी) ए = -2; -1/40 0.

10) यदि ए<-2, то наименьшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

अगर -2≤a<0, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

अगर 0≤a<2, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

यदि a≥2, तो x= 1 पर फलन का सबसे छोटा मान और 3–2a के बराबर, x=-1 पर फलन का सबसे बड़ा मान और 3+2a के बराबर;

11) यदि a≤0, तो -6a2-a+2, यदि 0<а<8/5, то 2- 6а +а2/4, если а ≥8/5, то 19а-6а2 -14

13) ए=-2 या ए=(1+√21)/2

14) |ए|>(7√3)/12.

एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ों का स्थान

वर्ग ट्रिनोमियल ax2 + bx + c की जड़ों के स्थान से संबंधित कई विशिष्ट समस्याओं पर विचार करें। हम a> 0 मानते हुए सभी तर्कों को पूरा करेंगे। यदि एक<0,то рассуждения проводятся аналогично.

टास्क नंबर 1।

किन परिस्थितियों में द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दोनों मूल किसी दी गई संख्या k से बड़े हैं?

समाधान।

हम एक वर्ग ट्रिनोमियल y= ax2+bx+c के फ़ंक्शन के योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाते हैं, जहाँ x1 और x2 शर्तों को पूरा करते हैं: x1>k, x2>k। चलो f(x)=ax2+bx+c. ग्राफ y= f(x) या तो OX अक्ष (D>0) को पार करता है या इसे छूता है (D=0)। फिर इस शर्त को पूरा करना आवश्यक है: х>к, y(к)>0. यदि एक< 0 условие: х1>k, x2>k असमानताओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image023_20.gif" width="14" height="86">

चित्र 4

टास्क 11।उस पैरामीटर के सभी मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण के सभी मूल हैं

x2–6ax+2–2a+9a2 = 0 3 से अधिक।

समाधान।

यदि आवश्यक शर्त पूरी की जाती है, तो पैराबोला के निम्नलिखित स्थान संभव हैं, जो फ़ंक्शन का ग्राफ है f(x)= x2–6ax+2–2a+9a2

चित्र 5

आइए असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image026_8.jpg" align="left" width="324" height="239 src=">

यह शर्त पूरी करने के लिए पर्याप्त है: y(k)<0, если а >0. जब ए<0, y(к) > 0.

चावल। 6

टास्क 12।पैरामीटर के सभी मान खोजें जिनके लिए 1 समीकरण की जड़ों के बीच स्थित है x2–2ax+3–4a+2a2=0.

समाधान।

चूंकि अग्रणी गुणांक सकारात्मक है, यह स्थिति f(1) को संतुष्ट करने के लिए पर्याप्त है<0, где f(х)=х2–2ах+3–4а+2а2

4–6क+2क2<0, 1<а<2.

उत्तर: 1<а<2

टास्क नंबर 3।किन परिस्थितियों में द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का ठीक एक मूल, जिसके भिन्न-भिन्न मूल हैं, अंतराल (k, e) पर स्थित है?

आइए इस समस्या की स्थिति के अनुसार a > 0 के लिए रेखांकन y = ax2 + bx + c का योजनाबद्ध रूप से निर्माण करें।

https://pandia.ru/text/78/525/images/image028_8.jpg" width="623" height="246 src=">

असमानता को हल करें: f(1) f(2)<0.

(ए2+8ए+7)(ए2+14ए+16)<0

7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

उत्तर: -7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

टास्क 14.पैरामीटर ए के सभी मान खोजें जिसके लिए समीकरण 2cos(2x)+2asin(x)+a-1=0 अंतराल (-π/2;0) पर एक अद्वितीय समाधान है।

समाधान.

2cos(2x)+2a sinx+a-1=0

2(1–2 sin2х)+ 2a sinx+a–1=0

4 sin2х–2а sinx –a–1=0

माना sinx=t चूँकि -π/2<х<0, то -1< t <0

प्राचल a के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण 4t2– 2at–a–1=0 अंतराल (-1; 0) पर अद्वितीय हल है।

समीकरण 4t2– 2at–a–1=0 अंतराल (-1; 0) पर एक अद्वितीय समाधान है यदि:

एक)। डी \u003d 0 डी / 4 \u003d (ए + 2) 2 डी \u003d 0 ए \u003d -2 के लिए।

2). फलन f(t)= 4t2– 2at–a–1 पर विचार करें

हम फ़ंक्शन y=f(t) का एक योजनाबद्ध ग्राफ बनाते हैं

https://pandia.ru/text/78/525/images/image030_16.gif" width="14" height="50 src=">

f(0) f(1) ≤0 a≤-3; ए≥-1

उत्तर:ए≤-3; ए≥-1; ए = -2।

टास्क नंबर 4।किन परिस्थितियों में द्विघात समीकरण ax2 + bx + c के दोनों मूल (आवश्यक रूप से भिन्न नहीं) खंड [k; इ]। स्थिति a>0 के तहत विचार करें। मान लीजिए कि एक फलन f(x)= ax2+bx+c है

https://pandia.ru/text/78/525/images/image032_14.gif" width="14" height="110"> D≥0

के≤ हो≤ ई

टास्क 15. प्राचल a के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण के सभी मूल हैं

х2- 2(а–3)х–а +3=0 अंतराल (-3; 0) में स्थित है।

समाधान।

बशर्ते कि कम से कम एक जड़ मौजूद हो, फ़ंक्शन f (x) \u003d x2- 2 (a-3) x-a + 3 का ग्राफ योजनाबद्ध रूप से दो तरीकों में से एक में स्थित हो सकता है

https://pandia.ru/text/78/525/images/image034_12.gif" width="14" height="110"> D≥0 4(а – 3)(а – 2) ≥0

3<хо<0 3<а – 3 <0 1,2<а≤2.

f(-3) >0 5ए – 6>0

f(0) >0 -a+3>0

समीकरण sin x - 1 + a = sin x - 2। sin x − 2 sin x − 3 हल। t = sin x सेट करने पर, हम समीकरण को 2 − 5at + 6a − 1 = 0 के रूप में घटाते हैं। यदि a = 0 है, तो कोई हल नहीं है। a = 0 के लिए और शर्त के तहत a ∈ (−∞; −4] ∪ (0; +∞) √ 2 + 4a हम समीकरण t1,2 = 5a ± 2aa के मूल प्राप्त करते हैं। परवलय f के शीर्ष के बाद से (t) = at2 − 5at + 6a − 1 बिंदु पर स्थित है tв = 2 , 5 शर्त |t|1 जड़ों में से सबसे छोटी के लिए संतुष्ट हो जाएगा यदि फलन के खंड के सिरों पर अलग-अलग चिह्न हैं [− 1;1]: f (−1) f (1) 0 या (2a−1)(12a−1) 0. अंतिम 1 असमानता का समाधान अंतराल a ∈ 12;1 .2 √ a2 उत्तर है: यदि a ∈ 12 ;2: x = (−1)n आर्क्सिन 5a− 2a +4a +πn, n∈Z, 1 1 अन्य a के लिए कोई समाधान नहीं हैं। समस्या 6.7 पैरामीटर के किन मानों के लिए फ़ंक्शन f (x) = 8ax - a sin 6x - 7x - sin 5x पूरे वास्तविक अक्ष पर बढ़ रहा है और इसका कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है? हल। फलन f (x) a और f (x) = 8a के किसी भी मान के लिए अवकलनीय है - 6a cos 6x − 7 − 5 cos 5x. समस्या को निम्न प्रकार से निरुपित किया जा सकता है: जिसके लिए a असमानता 6a cos 6x + 5 cos 5x< 8a − 7 справедливо для любого x? Так как последнее неравенство должно выполняться для любого значения x, оно должно быть справедливо и для x = 0, от- куда 6a + 5 < 8a − 7 или a >6. अब यह मानते हुए कि 6a cos 6x + 5 cos 5x 6|a| +5< 8a − 7, приходим к выводу, что при a >6 असमानता किसी भी एक्स के लिए मान्य है। उत्तर: a > 6. समस्या के स्वतंत्र समाधान के लिए समस्या 6.8. (SGAU) पैरामीटर a के मानों के आधार पर, समीकरण cos4 x - (a + 2) cos2 x √ a - 3 = 0 को हल करें। - उत्तर: यदि a ∈ [−3; −2] : x = arccos a + 3 + πk, k ∈ Z, यदि a ∈ [−3; −2] : कोई समाधान नहीं। समस्या 6.9। (एसजीएयू) पैरामीटर ए के मूल्यों के आधार पर, समीकरण को हल करें sin4 x + cos4 x + sin 2x + a = 0. 61 √ उत्तर: यदि एक ∈ - 3; 2: x = 1 (−1)k आर्क्सिन(1− 2a−3) + πk, 2 1 2 3 ; 1: कोई समाधान नहीं। यदि a ∈ - 2 2 k ∈ Z, समस्या 6.10। (एसजीएयू) पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए समीकरण करता है (a2 +8a+16)(2−2 cos x− sin2 x)+(32+2a2 +16a)(cos x−1)+3a+10 = 0 समाधान? उत्तर: ए< − 10 ; −3 < a < −2. 3 Задача 6.11. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga−2 17 + cos x − sin x = 3 8 имеет решение? √ 2 3 Ответ: a ∈ 2 5 ; 3 ∪ 3; 2 + 26 . 2 Задача 6.12. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga+1 25 + cos x − 2 sin x = 3 8 2 имеет решение? √3 37 Ответ: a ∈ − 1 ; 0 ∪ 0; 2 − 1 . 2 Задача 6.13. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x? √ √ Ответ: a ∈ −2 10; 2 10 . Задача 6.14. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 3 + sin x · (2 sin x + a cos x) будет равно −1 хотя бы при одном значении x? √ √ Ответ: a ∈ −∞; −4 6 ∪ 4 6; +∞ . Задача 6.15. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x? Ответ: a ∈ [ 2; 12 ]. Задача 6.16. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 4 sin x · sin y · cos(x + y) − 0,5 = 0 x−y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. 62 Ответ: Если α = 2πn: x = ±π 6 + π(k+n) π y = ±6 + π(k−n); если α = π+2πn: x = ±π 3 + π + π(k+n) 2 y = ±π 3 − π + π(k−n), 2 n, k ∈ Z. Задача 6.17. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 2 sin x · cos y · sin(x − y) + 0,25 = 0 x+y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. Ответ: Если α = π +2πn: x = (−1)k+1 π + π + π (2n+k) 2 12 4 2 k π + π + π (2n−k); y = (−1) 12 4 2 если α = − 2 π +2πn: x = (−1)k π − π + π (2n+k) 12 4 2 y = (−1) k+1 π − π + π (2n−k), 12 4 2 n, k ∈ Z. Задача 6.18. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ 2 2 (sin x − cos x) − a + 7 log 2a+34 15 <0 35 выполняется для любых значений x? 1 Ответ: a ∈ (−17; −12) ∪ 2 ; 3 . Задача 6.19. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ log 3−2a 3 sin x + 3 3 cos x − 2a − 12 >0 23 28 x के किसी भी मान के लिए है? उत्तर: a ∈ (−∞; −23) ∪ (−10; −9)। समस्या 6.20। प्राचल a के मानों के आधार पर असमिका cos x 2 − a2 को हल कीजिए। उत्तर: |ए| √ : x ∈ आर, 1 1<|a| √3: x ∈ arccos(2−a2)+2πk; π− arccos(2−a2)+2πk , |a|>3: कोई समाधान नहीं। k∈Z समस्या 6.21। पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए समीकरण tg x (a + 1) tg2 x - 2 cos x + a = 0 का कोई हल नहीं है? उत्तर: ए -3; ए 1. 63 स्टडी गाइड प्रॉब्लम विथ पैरामीटर्स द्वारा संकलित: एफिमोव एवगेनी एलेक्जेंड्रोविच कोलोमीएट्स ल्यूडमिला वादिमोव्ना कंप्यूटर टाइपसेटिंग और लेआउट ई.ए. एफिमोव समारा स्टेट एयरोस्पेस यूनिवर्सिटी का नाम शिक्षाविद् एस.पी. रानी। 443086, समारा, मास्को राजमार्ग, 34. - RIO समारा स्टेट एयरोस्पेस यूनिवर्सिटी का नाम शिक्षाविद् एस.पी. रानी। 443086, समारा, मास्को राजमार्ग, 34।

समारा क्षेत्र के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

विशेषज्ञों की अतिरिक्त व्यावसायिक शिक्षा (योग्यता विकास) के राज्य स्वायत्त शैक्षिक संस्थान

पेशेवर विकास के लिए समारा क्षेत्रीय संस्थान

और शैक्षिक श्रमिकों का पुनर्प्रशिक्षण

अंतिम काम

उन्नत प्रशिक्षण पाठ्यक्रमों पर

डब्ल्यूबी आईओसीएच के अनुसार

"नए शैक्षिक मानकों के संक्रमण के संदर्भ में एक पैरामीटर के साथ समस्याओं को हल करने के लिए शिक्षण की पद्धति संबंधी विशेषताएं"

(15.06 - 19.06.2015)

विषय पैरामीटर के साथ कार्यों की बहु-स्तरीय प्रणाली को डिजाइन करना:

"व्युत्पन्न"

प्रदर्शन किया:

वलीवा एफ.जी.,

गणित शिक्षक

GBOU माध्यमिक विद्यालय उन्हें। एम. के. Ovsyannikova

साथ। इसाक्ला

समेरा

2015

व्याख्यात्मक नोट

पूरा नाम (पूरा नाम)

वलीवा फानुज़्या गैलिमज़्यानोव्ना

काम की जगह

GBOU माध्यमिक विद्यालय उन्हें। एम. के. इसाकली का ओवस्यानिकोवा गांव,

इसाक्लिंस्की जिला, समारा क्षेत्र

नौकरी का नाम

गणित शिक्षक

विषय

गणित

कक्षा

लक्ष्य:

विषय का अध्ययन करते समय संघीय राज्य शैक्षिक मानक एलएलसी की आवश्यकताओं का कार्यान्वयन: "व्युत्पन्न"
"व्युत्पन्न" विषय पर ज्ञान और गतिविधि के तरीकों का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण; मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए कौशल का गठन।
अनुसंधान और संज्ञानात्मक गतिविधि का विकास।

रूस के नागरिक के व्यक्तित्व के आध्यात्मिक और नैतिक विकास और शिक्षा की अवधारणासामान्य शिक्षा के लिए संघीय राज्य शैक्षिक मानक के विकास और कार्यान्वयन के लिए पद्धतिगत आधार है।

गणित के स्कूल पाठ्यक्रम पर बुनियादी सामान्य शिक्षा के लिए संघीय राज्य शैक्षिक मानक।

मानक पर आधारित हैप्रणाली-गतिविधि दृष्टिकोण।

मानक बुनियादी सामान्य शिक्षा के मुख्य शैक्षिक कार्यक्रम के छात्रों द्वारा महारत हासिल करने के परिणामों के लिए आवश्यकताओं को स्थापित करता है:

व्यक्तिगत;

मेटासब्जेक्ट;

विषय ।

कार्य:

- शैक्षिक: कार्य के पाठ का विश्लेषण करें और समझें, स्वतंत्र रूप से एक संज्ञानात्मक लक्ष्य की पहचान करें और तैयार करें, स्थिति को सुधारें, तर्क की तार्किक श्रृंखला का निर्माण करें, गंभीर रूप से प्राप्त उत्तर का मूल्यांकन करें, एक भाषण बयान के सचेत और मनमाने निर्माण का चयन करें, हल करने का सबसे प्रभावी तरीका चुनें समस्याएँ, एक समस्या तैयार करना और तैयार करना, परिकल्पनाएँ सामने रखना और उन्हें सही ठहराना, सिमेंटिक रीडिंग;

- विकसित होना: लक्ष्य-निर्धारण, विशिष्ट परिस्थितियों के आधार पर उनकी गतिविधियों की योजना बनाना; कार्रवाई के तरीकों और शर्तों का प्रतिबिंब, प्रक्रिया का नियंत्रण और मूल्यांकन और गतिविधियों के परिणाम, स्व-नियमन,समस्या समाधान के माध्यम से, छात्रों की रचनात्मक और मानसिक गतिविधि, बौद्धिक गुणों को विकसित करने के लिए: समस्या को "दृष्टि" करने की क्षमता, मूल्यांकन क्रियाएं, स्वतंत्रता, सोच का लचीलापन;

- शैक्षिक: भावना निर्माण, सुनने की क्षमता और संवाद में प्रवेश करने की क्षमता, समस्याओं की सामूहिक चर्चा में भाग लेने के लिए, जिम्मेदारी और सटीकता पैदा करने के लिए।

कार्य मापदंडों के साथ - ये गैर-मानक कार्य हैं, अर्थात।सूत्रीकरण और सामग्री, और समाधान के तरीकों दोनों में असामान्य। ऐसे की भूमिकातार्किक सोच, अंतर्ज्ञान के विकास के लिए कार्य, उनका महत्व और लाभ,छात्रों की रचनात्मक क्षमता, उनके उच्च गणितीय गठनसंस्कृतियाँ बहुत बड़ी हैं। मालूम हो कि शिक्षक गंभीर हैंऐसी समस्याओं को हल करने के लिए शिक्षण में पद्धति संबंधी समस्याएं, उपस्थिति के बावजूद,काफी बड़ी संख्या में ट्यूटोरियल और जर्नल लेख। इसका कारण बिल्कुल स्पष्ट है: स्कूल में गणितीय शिक्षा की मुख्य रणनीति मानक समस्याओं के एक निश्चित समूह को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं का विकास है, जिनमें से अधिकांश बीजगणितीय रूपांतरण की तकनीक से संबंधित हैं। मापदंडों के साथ समीकरण (असमानता) एक अलग प्रकार के कार्यों को संदर्भित करते हैं - जिन कार्यों को हल करने के लिए, सबसे पहले, प्रदर्शन करने की क्षमता - कभी-कभी काफी शाखित - तार्किक निर्माण और अनुसंधान आवश्यक है।

मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करने के लिए शोध की आवश्यकता होती है, भले ही समस्या कथन में इस शब्द का उल्लेख न हो। सूत्रों का यांत्रिक अनुप्रयोग पर्याप्त नहीं है, पैटर्न को समझना आवश्यक है, वस्तु के ज्ञात सामान्य गुणों के आधार पर किसी विशिष्ट मामले का विश्लेषण करने की क्षमता, समाधान में स्थिरता और स्थिरता, विचार किए गए विशेष मामलों को संयोजित करने की क्षमता एक परिणाम में। इसका कारण छात्रों को इस तरह की समस्याओं को हल करने में आने वाली दिक्कतें हैं।

वर्तमान में, उन्हें डिजाइन करने के लिए सीखने के साथ समस्याओं को हल करने के लिए सीखने के संयोजन का विचार काफी व्यापक हो गया है। एक कार्य का निर्माण करके, हम एक नया कार्य बनाने की प्रक्रिया को समझेंगे। समस्या का निर्माण वर्ग ट्रिनोमियल बनाने की क्षमता पर आधारित है। इस मामले में, विभिन्न तकनीकों का उपयोग किया जाता है: सादृश्य, एक वर्ग ट्रिनोमियल के गुणांक की भिन्नता, एक नए चर की भिन्नता, कार्यों की आवश्यकताओं की भिन्नता। अधिक जटिल कार्य गुणांक और एक नए चर के रूप में कार्य कर सकते हैं। इस प्रकार, आप ऐसे वर्ग त्रिपद का उपयोग कर सकते हैं, जो अधिक जटिल कार्यों की पुनरावृत्ति को व्यवस्थित करने में मदद करेगा: घातीय, लघुगणक, त्रिकोणमितीय। एक ओर, आपको वर्ग ट्रिनोमियल के गुणों को जानने की आवश्यकता है, और दूसरी ओर, फ़ंक्शन के गुणों को दोहराया जाता है, जिससे समस्या का संयोजन प्राप्त होता है।

उनके समाधान और डिजाइन को पढ़ाने के लिए मापदंडों के साथ समस्या का चुनाव निम्नलिखित परिस्थितियों द्वारा समझाया जा सकता है:

मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करते समय, पुनरावृत्ति होती है, और परिणामस्वरूप, कार्यक्रम के मुद्दों का गहरा, अधिक ठोस आत्मसात;

मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करना गणितीय क्षितिज का विस्तार करता है, समस्याओं को हल करने के लिए नए दृष्टिकोण देता है;

गणितीय, तार्किक सोच, विश्लेषण करने, तुलना करने, सामान्यीकरण करने की क्षमता का विकास होता है;

शोध कार्य के लिए कौशल अर्जित किए जाते हैं;

परीक्षा की तैयारी में सहायता;

परिश्रम, उद्देश्यपूर्णता, दृढ़ता, इच्छाशक्ति, सटीकता जैसे व्यक्तित्व लक्षणों का निर्माण होता है।

मापदंडों के साथ समस्याओं को हल करते समय संघीय राज्य शैक्षिक मानक के ढांचे के भीतर गठित यूयूडी:

समस्या समाधान के चरण

यूयूडी का गठन किया

स्थिति विश्लेषण(अक्षरों का परिचय)

लक्ष्य की स्थापना;
सामग्री की जानकारी पर प्रकाश डालना;
समस्या का सूत्रीकरण और समाधान का पूर्वानुमान;
अमूर्त;
सादृश्य;
वर्गीकरण (टाइपोलॉजी);
प्रतीकात्मक क्रियाएं।

तालिका, आरेख, ग्राफ के रूप में समस्या की स्थिति का योजनाबद्ध रिकॉर्डदर्ज अक्षरों के साथ

योजना;
व्यवस्थितकरण;
प्रतीकात्मक क्रियाएं;
मॉडलिंग।

एक मॉडल का निर्माण(एनालॉग की खोज करें, गणित या भौतिकी से ज्ञात कानून का आकर्षण)

ज़लाची को हल करने के लिए एक विधि का निर्माण;
स्थिति समायोजन;
चित्रमय रूप में मॉडलिंग।

समीकरणों, प्रणालियों आदि को हल करना।(अज्ञात के लिए खोजें)

भौतिक जानकारी का विश्लेषण और पहचान;
परिणामों की व्युत्पत्ति;
तर्क की एक श्रृंखला का निर्माण;
परिकल्पनाओं का विकास और परीक्षण;
मॉडल परिवर्तन।

मॉडल व्याख्या(सत्यापन और समाधान, जड़ों का मूल्यांकन)

विश्लेषण;
परिणामों की व्युत्पत्ति;
विशिष्टता;
प्रतीकात्मक क्रिया (व्याख्या)।

पढाई करना(समस्या का सामान्यीकरण या संशोधित स्थितियों के लिए इसे हल करने की विधि, हल करने के अन्य तरीके)

विश्लेषण;
संश्लेषण;
एनालॉग्स की खोज करें;
तर्क की एक श्रृंखला का निर्माण;
सामग्री को संक्षिप्त रूप से संप्रेषित करने की क्षमता;
कौशल आरेख, प्रतीक, मॉडल;
खोज, रचनात्मक प्रकृति की समस्याओं को हल करने के तरीकों का निर्माण।

प्रतिबिंब

अर्थ गठन;
योजना;
नियंत्रण;
सुधार;
श्रेणी;
अस्थिर स्व-नियमन;
स्व-विकास के लिए, स्व-शिक्षा के लिए तत्परता;
स्वतंत्र रूप से उनके प्रशिक्षण के लक्ष्यों को निर्धारित करने की क्षमता;
अपने लिए नए कार्य निर्धारित करें और तैयार करें;
उनकी शैक्षिक गतिविधियों के उद्देश्यों और रुचियों को विकसित करना।

बहु स्तरीय कार्य प्रणाली

कार्यों की बहु-स्तरीय प्रणाली पर आधारित शिक्षण पद्धति का आधार इसके मैट्रिक्स के ब्लॉकों का क्रमिक विकास है। इस तकनीक की मुख्य विशेषता यह है कि प्रत्येक स्तर पर, अर्थात्। मैट्रिक्स के संबंधित कॉलम में महारत हासिल करते समय, छात्र हर बार उन सभी तीन प्रकार की सीखने की स्थितियों का सामना करता है जो समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होती हैं।

पाठ्यक्रम के प्रत्येक विषय के लिए कार्यों की एक बहु-स्तरीय प्रणाली इसके मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग करके बनाई गई है, शिक्षा की सामग्री के बुनियादी तत्वों की एक क्रमबद्ध सूची और उनके अनुरूप बुनियादी कार्यों को उजागर करके, एक ओर, और सीखने के स्तर दूसरी ओर परिचित, संशोधित और अपरिचित कार्यों को हल करने की क्षमता को दर्शाता है।

विषय कार्य प्रणाली के इस तरह के एक मैट्रिक्स में तीन प्रकार की सीखने की स्थितियों के अनुरूप 3 पंक्तियाँ होती हैं जो समस्याओं को हल करते समय उत्पन्न होती हैं, औरएन कॉलम विषय के बुनियादी कार्यों की संख्या को दर्शाता है। विषय के कार्यों की प्रणाली का ऐसा सारणीबद्ध (मैट्रिक्स) प्रतिनिधित्व इसके गणितीय और गतिविधि (यूयूडी के गठन) घटकों के प्रत्येक स्तर पर पूर्ण रूप से भरने में मदद करता है और इस तरह कार्यान्वित करता हैविषय और गतिविधि पूर्णता के लिए मानदंड (मतलब संज्ञानात्मक UUD) शैक्षिक कार्यों की गठित प्रणाली। इसके अलावा, यदि सिस्टम में बुनियादी कार्य विषय-सामग्री घटक के एक प्रकार के इंटीग्रेटर्स की भूमिका निभाते हैं, तो सीखने की प्रक्रिया के डिजाइन और कार्यान्वयन में, समान भूमिका सार्वभौमिक शिक्षण गतिविधियों (सामान्य विधियों और तकनीकों) द्वारा निभाई जानी चाहिए। गतिविधि का) चयनित स्थितियों में।

मैट्रिक्स की पहली पंक्ति में शामिल समस्याओं को हल करने में शैक्षिक गतिविधि एक प्रजनन प्रकृति की है (जैसे वर्गीकरण के रूप में सामान्य शैक्षिक क्रियाएं, एक अवधारणा के तहत योग करना, परिणाम प्राप्त करना, क्रियाएं, तर्क की तार्किक श्रृंखला का निर्माण, प्रमाण, आदि। ) उपयोग किया जाता है। शामिल कार्य अलग हैं।स्पष्ट कनेक्शन डेटा और आवश्यक (ज्ञात और अज्ञात) तत्वों के बीच। छात्र पहचानता है (समान कार्यों में परिचित कार्यों को पहचानता है), अध्ययन किए गए तरीकों या कार्यों के एल्गोरिदम को पुन: उत्पन्न करता है, कुछ ज्ञात वर्ग के कार्यों के लिए व्यावहारिक रूप से अर्जित ज्ञान को लागू करता है और सीखे गए गतिविधि मॉडल के आवेदन के आधार पर नई जानकारी प्राप्त करता है। .

दूसरी पंक्ति की समस्याओं को हल करते समय, प्रजनन सीखने की गतिविधि को पुनर्निर्माण गतिविधि के साथ जोड़ दिया जाता है, जिसमें गतिविधि के पैटर्न को केवल स्मृति से पुन: उत्पन्न नहीं किया जाता है, बल्कि कुछ संशोधित स्थितियों के तहत पुनर्निर्माण किया जाता है (यहाँ, चयन के रूप में सामान्य शैक्षिक क्रियाएं और एक का सूत्रीकरण संज्ञानात्मक लक्ष्य, आवश्यक जानकारी की खोज और चयन, गणितीय मॉडलिंग, ज्ञान संरचना सहित प्रतीकात्मक प्रतीकात्मक क्रियाएं)।

अंत में, तीसरी पंक्ति की समस्याओं को हल करते समय, शैक्षिक गतिविधि अनुसंधान रचनात्मक प्रकृति की होती है। छात्र को नई स्थितियों में नेविगेट करने और कार्रवाई के मौलिक रूप से नए कार्यक्रमों को विकसित करने में सक्षम होना चाहिए (एक परिकल्पना को आगे बढ़ाएं, जांच करें: पुष्टि या खंडन करें, एक नया आगे बढ़ाएं, आदि, अनुसंधान गतिविधियों को पूरा करें)। संबंधित ब्लॉक की समस्याओं को हल करने के लिए छात्र के पास सिद्ध और त्वरित रूप से तैनात एल्गोरिदम का एक व्यापक कोष होना आवश्यक है; सांकेतिक-प्रतीकात्मक रूप से ग्राफ़िक में और इसके विपरीत, ग्राफ़िक से सांकेतिक-प्रतीकात्मक रूप में जानकारी को जल्दी से रिकोड करने की क्षमता; पाठ्यक्रम की प्रणालीगत दृष्टि। साथ ही, यह न केवल नई स्थितियों में पुराने एल्गोरिदम का उपयोग और तकनीकी जटिलता में वृद्धि को शामिल करता है, बल्कि अध्ययन किए गए एल्गोरिदम के अनुप्रयोग और संयोजन की अस्पष्टता से अलग है। इस स्तर के कार्यों में एक जटिल तार्किक संरचना होती है और इसकी उपस्थिति की विशेषता होती हैछिपे हुए कनेक्शन आपके द्वारा खोजे जा रहे डेटा और तत्वों के बीच। इस तरह के कार्यों को आमतौर पर आवेदकों की गणितीय तैयारी के लिए और KIM USE के कार्यों 17, 18, 20, 21 में उच्च आवश्यकताओं वाले विश्वविद्यालयों में प्रवेश परीक्षा में सबसे कठिन के रूप में पेश किया जाता है।

"व्युत्पन्न" विषय पर कार्यों की बहुस्तरीय प्रणाली

№ पी/एन

कार्य का नाम

कार्य प्रकार

परिभाषा द्वारा व्युत्पन्न गणना।

मोह

न्यूजीलैंड

रकम, उत्पादों, निजी कार्यों के डेरिवेटिव ढूँढना

मोह

न्यूजीलैंड

एक समारोह की एकरसता की जांच

समारोह पूर्ण संख्या रेखा के साथ बढ़ता है?

मोह

पैरामीटर के किस मूल्य परसमारोह सभी मूल्यों के लिए घट रहा है ?

न्यूजीलैंड

सभी संख्याओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक के लिए फलन हैएफ(एक्स) = पाप 2 एक्स – 8(एक + 1) sinx + (4 एक 2 + 8 एक – 14) एक्ससंपूर्ण वास्तविक रेखा पर बढ़ रहा है और इसके कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।

चरम बिंदु ढूँढना

एक निश्चित बिंदु है?

मोह

पैरामीटर के किस मूल्य पर निर्धारित करें समारोह अधिकतम 9 है

न्यूजीलैंड

पैरामीटर के किस मान के लिए a फ़ंक्शनएफ(एक्स) = (एक 2 – 3 एक + 2) (क्योंकि 2 – पाप 2 + (एक – 1) एक्स + पाप1 का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है?

एक अंतराल पर एक निरंतर कार्य के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का पता लगाना और एक अंतराल पर अलग-अलग करना

पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए पता करेंएक सबसे छोटा फ़ंक्शन मानवाई = एक्स 2 -12 एक्स + एक खंड पर शून्य है।

मोह

पैरामीटर के किस मूल्य पर सबसे छोटा फ़ंक्शन मानबराबरी

न्यूजीलैंड

पैरामीटर के किस मूल्य परसमारोह किसी के लिए 5 से कम मान लेता है

पूर्ण अन्वेषण और साजिश रचने

3+3x2

मोह

प्राचल a के किस मान पर फलन f(x) = ax का न्यूनतम है 2 - 6ax + a 2 - 9 बराबर 1 है?

न्यूजीलैंड

किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का समीकरण

पैरामीटर के किस मूल्य परसीधा समारोह के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा है ?

मोह

पैरामीटर के किस मूल्य पर कार्य ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा क्षेत्रफल के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज को पहली तिमाही से काटता है

न्यूजीलैंड

पैरामीटर के किस मूल्य पर समारोह के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर खींचा गया, एक कोण बनाओ

ज्यामिति, भौतिकी और अर्थशास्त्र में समस्याओं को हल करने के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

एक परिधि के साथ एक आयत की भुजाएँ क्या होनी चाहिएपीअपने क्षेत्र को अधिकतम करने के लिए?

मोह

खिड़की में एक अर्धवृत्त (चित्र 3) द्वारा शीर्ष पर बंधे आयत का आकार होता है। खिड़की का परिमाप P है। अर्धवृत्त R की त्रिज्या निर्धारित करें, जिस पर खिड़की का क्षेत्रफल सबसे बड़ा है।

न्यूजीलैंड

ऊँचाई का एक चित्र दीवार पर इस प्रकार लटकाया जाता है कि उसका निचला किनारा प्रेक्षक की आँख के स्तर से h इकाई ऊपर हो। पेंटिंग का देखने का कोण सबसे बड़ा होने के लिए पर्यवेक्षक को दीवार से कितनी दूरी x पर होना चाहिए (चित्र 7ए)?

समाधान

समाधान :

1. व्युत्पन्न होने पर x के सभी मूल्यों के लिए फ़ंक्शन f(x) घटता है

एफ'(एक्स) = 6ax 2 + 18ax + 30a = 6a(x 2 + 3x + 5)< 0

सभी एक्स के लिए

2. अतः हम पाते हैं कि a< 0.

3 . उत्तर: ए (–∞; 0).

सभी संख्याओं का समूह खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए फ़ंक्शन f (x) \u003d sin 2x - 8 (a + 1) sinx + (4a 2 + 8a - 14) x संपूर्ण वास्तविक रेखा पर बढ़ रहा है और नहीं महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

1. किसी स्थिर a के लिए, यह फलन वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय होता है।

2. चूँकि फलन f(x) बढ़ रहा है, असमानता f'(x) ≥ 0 प्रत्येक बिंदु x पर होनी चाहिए।

3. चूंकि, इसके अलावा, f(x) का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है, तो किसी भी x के लिए असमानता f′(x) ≠ 0 होनी चाहिए।

4. इस प्रकार, यदि फलन समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो सभी x के लिए असमानता f (x) > 0 संतुष्ट होनी चाहिए।

5. दूसरी ओर, यदि असमानता f′(x) > 0 सभी x पर लागू होती है, तो फलन का स्पष्ट रूप से कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है और यह बढ़ रहा है।

6. इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

एफ′( एक्स) = 2 क्योंकि 2 एक्स – 8( एक + 1) cosx + 4 एक 2 + 8 एक – 14.

अब समस्या को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: पैरामीटर a के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक के लिए, किसी भी x के लिए, असमानता

cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a 2 + 4ए - 7> 0।(1)

7. दिया गया है कि cos 2x = 2 cos 2 x - 1, और सेटिंग cos x = t, जहाँ -1 ≤ t ≤ 1, हम असमिका (1) को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

2t 2 - 1 - 4 (ए + 1) टी + 2ए 2 + 4ए - 7 > 0,

या

टी 2 - 2 (ए + 1) टी + ए 2 + 2ए - 4 > 0. (2)

8. असमानता के बाईं ओर फ़ंक्शन (2) को ϕ(t) द्वारा निरूपित करते हुए, हम मूल समस्या का एक नया सूत्रीकरण देते हैं: a के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक के लिए फ़ंक्शन का न्यूनतम मान ϕ( टी) अंतराल पर [-1; 1] सकारात्मक है।

9. व्युत्पन्न ϕ'(t) = 2t - 2(a + 1) टी पर गायब हो जाता है 0 = ए + 1।

10. अंतराल [-1; 1] है:

ϕ (-1) = ए 2 + 4ए - 1,यदिए + 1 ≤ -1;

ϕ (ए + 1) = -5,यदि –1 < a + 1 < 1;

ϕ(1) = ए 2 - 5 अगर ए + 1 ≥ 1।

11. चूंकि सेगमेंट [-1; 1] सकारात्मक होना चाहिए, फिर समस्या की स्थिति को संतुष्ट करने वाले पैरामीटर के मान दो अंतराल से संबंधित हैं: a ≤ –2 और a ≥ 0।

12. यदि a ≤ -2 है, तो पैरामीटर a के वांछित मान असमानता a को संतुष्ट करते हैं 2 + 4ए - 1> 0।

13. यदि a ≥ 0 है, तो पैरामीटर a के वांछित मान असमानता a को संतुष्ट करते हैं 2 – 5 > 0.

14. नतीजतन, वांछित मूल्यों का सेट असमानताओं की दो प्रणालियों के समाधान का मिलन है:

(3)

एक ≥ 0

एक 2 -5 > 0 (4)

15. सिस्टम (3) के समाधान का सेट अंतराल -∞ है< a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)- промежуток a >√5 .

16. उत्तर: ए (–∞; –2 –√5) (√5; +∞).

1. चूँकि यह फलन संपूर्ण वास्तविक रेखा पर अवकलनीय है, फलन f(x) के क्रांतिक बिंदु वे बिंदु हैं जिन पर व्युत्पन्न f'(x) = 0 है।

2. इस स्थिति में, हमारे पास f (x) = है(ए - 1) (ए - 2) (-सिन+ (ए - 1)।

3. जाहिर है, अगर a = 1, तो किसी भी x के लिए f (x) = 0 आर, यानी

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, प्रत्येक बिंदु x आर क्रिटिकल है।

4. मान लीजिए कि ए 1. तब समीकरण f (x) = 0 रूप लेता है

(अ-2) पाप = 2. (1)

इससे यह पता चलता है कि यदि |a – 2|< 2, т. е. если a (0; 1) (1; 4),

तब समीकरण (1) की कोई जड़ नहीं है और इसलिए, a के संकेतित मानों के लिए, फ़ंक्शन f(x) का कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।

5 . उत्तर: एक (0; 1) (1; 4).

अंश के सबसे छोटे मान और हर के सबसे बड़े मान को x के विभिन्न मानों पर प्राप्त किया जाता है। इसलिए, किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, डेरिवेटिव का उपयोग करना सुविधाजनक है। आइए असमानता को रूप में फिर से लिखें

कहाँ पेटी=3- क्योंकि 2 एक्स, टी

फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिएएफ( टी) = , खंड पर. व्युत्पन्न के बाद सेएफ "( टी) = पर नकारात्मकटीफिरएफघटता है और पर सबसे छोटा मान लेता हैटी=3, एफ नाम = एफ (3) = .

उत्तर:एक

सबसे छोटा प्राकृतिक k क्या है जिसके लिए समीकरण x 3+3x2 – 45x + k = 0 का ठीक एक मूल है?

1. फलन y के ग्राफ का एक चित्र बनाइए 1 = एक्स 3 + 3x 2 - 45x और k का सबसे छोटा प्राकृतिक मान निर्धारित करें जिसके लिए यह ग्राफ लाइन y को काटता है 2 = -k बिल्कुल एक बिंदु पर।

2. ए) डी (वाई 1 ) = आर;

बू 1 / = 3x 2 + 6x - 45; 1 / अंतरालों में (–∞; –5), (–5; 3) और (3; +∞) चित्र में दिखाया गया है। 1. अंजीर में। 2 फ़ंक्शन y के ग्राफ़ का एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व है 1 .

3. जाहिर है, इस समीकरण का एक अनूठा समाधान है यदि -k> 175 या -k< –81, т. е. k < –175 или k >81. k का सबसे छोटा प्राकृतिक मान 82 है।

4. उत्तर: के = 82।

प्राचल a के किस मान पर फलन f(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9 का न्यूनतम मान 1 है?

1. f'(x) = -6x 2 + 6x + 12।

2. x के लिए y' = 0 1 = 2.

6. उत्तर: ए = 2।

प्राचल a के किस मान पर फलन f(x) = –2x का न्यूनतम है 3 + 3x 2 + 12x + 4a 1 है?

पैरामीटर के किन मूल्यों के लिए लाइन है y=ax-2 समारोह के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा y=1+ln⁡ x?

पैरामीटर के किन मूल्यों पर फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा y=a-x^2 पहली तिमाही से 9/32 के क्षेत्र के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है

इसलिये , शर्त के अनुसार स्पर्शरेखा को फलन को प्रतिच्छेद करना चाहिएक्वार्टर का मतलब है. एक समद्विबाहु त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है इसलिए अन्य कोण बराबर होते हैं, लेकिनजहां से स्पर्शरेखा रूप लेती है एक्स-अक्ष के साथ ग्राफ के साथ स्पर्शरेखा के संपर्क बिंदु के बराबर है . ग्राफ के स्पर्शरेखा सूत्र के अनुसार चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल होना चाहिए , फिर इसलिये त्रिमास।कहाँ पे

पैरामीटर ए के किन मूल्यों पर, एक्स-अक्ष के साथ अपने चौराहे के बिंदुओं पर खींचे गए फ़ंक्शन y=4x^2-|a|x के ग्राफ के स्पर्शरेखा, उनके बीच 60 डिग्री का कोण बनाते हैं

परिमाप P वाले आयत का क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए उसकी भुजाएँ क्या होनी चाहिए?

साहित्य

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चित्र 4

चित्र 5

समाधान

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