वेक्टर आरेख। कंपन का जोड़।

दोलनों के सिद्धांत में कई समस्याओं का समाधान बहुत आसान हो जाता है और अधिक स्पष्ट हो जाता है यदि दोलनों को विधि का उपयोग करके रेखीय रूप से चित्रित किया जाता है वेक्टर आरेख।चलो कुछ धुरी चुनें एक्स. एक बिंदु से 0 अक्ष पर हम लंबाई सदिश आलेखित करते हैं, जो पहले अक्ष के साथ एक कोण बनाता है (चित्र 2.14.1)। यदि हम इस वेक्टर को कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण अक्ष पर होता है एक्सकानून के अनुसार समय के साथ बदल जाएगा

.

इसलिए, अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई के बराबर आयाम के साथ एक हार्मोनिक दोलन करेगा, वेक्टर के रोटेशन के कोणीय वेग के बराबर एक परिपत्र आवृत्ति के साथ, और प्रारंभिक चरण के बराबर उस कोण तक जो वेक्टर समय के प्रारंभिक क्षण में अक्ष के साथ बनता है। किसी निश्चित समय पर अक्ष के साथ सदिश द्वारा बनाया गया कोण उस क्षण में दोलन के चरण को निर्धारित करता है - .

जो कहा गया है, उससे यह इस प्रकार है कि एक हार्मोनिक दोलन को एक वेक्टर का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जिसकी लंबाई दोलन के आयाम के बराबर होती है, और इसकी दिशा दोलन के चरण के बराबर एक निश्चित अक्ष के साथ एक कोण बनाती है। यह वेक्टर आरेखों की विधि का सार है।

एक ही दिशा के दोलनों का जोड़।

दो हार्मोनिक दोलनों को जोड़ने पर विचार करें, जिनकी दिशाएँ समानांतर हैं:

. (2.14.1)

परिणामी ऑफसेट एक्सऔर का योग होगा। यह आयाम के साथ एक दोलन होगा।

आइए सदिश आरेखों की विधि का उपयोग करें (चित्र 2.14.2)। आकृति में, और क्रमशः परिणामी और जोड़े गए दोलनों के चरण हैं। यह देखना आसान है कि वैक्टर और . हालाँकि, यदि जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियाँ भिन्न होती हैं, तो परिणामी आयाम समय के साथ परिमाण में बदल जाता है और वेक्टर एक गैर-स्थिर गति से घूमता है, अर्थात। दोलन हार्मोनिक नहीं होगा, लेकिन कुछ जटिल दोलन प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करेगा। परिणामी दोलन के हार्मोनिक होने के लिए, जोड़े गए दोलनों की आवृत्तियाँ समान होनी चाहिए

और परिणामी दोलन उसी आवृत्ति पर होता है

.

निर्माण से स्पष्ट है कि

आइए हम परिणामी दोलन के आयाम के लिए व्यंजक (2.14.2) का विश्लेषण करें। यदि एक जोड़े गए दोलनों का चरण अंतर शून्य के बराबर है(दोलन चरण में हैं), आयाम जोड़े गए दोलनों के आयामों के योग के बराबर है, अर्थात। अधिकतम संभव मूल्य है . यदि एक चरण अंतर है(दोलन एंटीफेज में हैं), तब परिणामी आयाम आयाम अंतर के बराबर है, अर्थात। सबसे छोटा संभव मूल्य है .

परस्पर लंबवत कंपनों का जोड़।

कण को ​​एक ही आवृत्ति के साथ दो हार्मोनिक दोलन करने दें: एक दिशा के साथ, जिसे हम निरूपित करते हैं एक्स, दूसरा लंबवत दिशा में है आप. इस मामले में, कण कुछ के साथ आगे बढ़ेगा, सामान्य स्थिति में, एक वक्रतापूर्ण प्रक्षेपवक्र, जिसका आकार दोलनों के चरण अंतर पर निर्भर करता है।

हम समय संदर्भ की उत्पत्ति चुनते हैं ताकि एक दोलन का प्रारंभिक चरण शून्य के बराबर हो:

. (2.14.3)

कण प्रक्षेपवक्र समीकरण प्राप्त करने के लिए, (2.14.3) से बाहर करना आवश्यक है टी. पहले समीकरण से, ए। साधन, . आइए दूसरे समीकरण को फिर से लिखें

या

.

समीकरण के दायीं ओर से पहले पद को बायीं ओर स्थानांतरित करना, परिणामी समीकरण को चुकता करना और परिवर्तन करना, हम प्राप्त करते हैं

. (2.14.4)

यह समीकरण एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसकी कुल्हाड़ियों को अक्षों के सापेक्ष घुमाया जाता है एक्सऔर आपकिसी कोण पर। लेकिन कुछ विशेष मामलों में सरल परिणाम प्राप्त होते हैं।

1. चरण अंतर शून्य है। तब (2.14.4) से हमें प्राप्त होता है

या । (2.14.5)

यह एक सरल रेखा का समीकरण है (चित्र 2.14.3)। इस प्रकार, कण इस सीधी रेखा के साथ आवृत्ति और आयाम के बराबर दोलन करता है।

एक वेक्टर आरेख एक वेक्टर के रूप में एक दोलन गति को ग्राफिक रूप से परिभाषित करने का एक तरीका है।

एक दोलनशील मान (किसी भी भौतिक प्रकृति का) क्षैतिज अक्ष के अनुदिश आलेखित किया जाता है। बिंदु 0 से प्लॉट किया गया वेक्टर दोलन आयाम ए के निरपेक्ष मान के बराबर है और एक कोण α पर निर्देशित है, जो दोलन के प्रारंभिक चरण के बराबर है, अक्ष के लिए। यदि हम इस सदिश को दोलनों की चक्रीय आवृत्ति के बराबर कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो इस सदिश का अक्ष पर प्रक्षेपण समय में एक मनमाना क्षण पर दोलन मात्रा का मान देता है।

समान आवृत्ति और समान दिशा के दोलनों का योग

दो कंपन होने दें: हम वेक्टर आरेख बनाते हैं और वैक्टर जोड़ते हैं:

कोसाइन के नियम के अनुसार

जैसा तब

यह स्पष्ट है (आरेख देखें) कि परिणामी दोलन का प्रारंभिक चरण संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है:

निकट आवृत्तियों के दोलनों का जोड़

पी इस प्रकार, लगभग समान आवृत्तियों वाले दो दोलन जोड़े जाते हैं, अर्थात।

त्रिकोणमिति से:

हमारे मामले पर लागू होने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी दोलन का ग्राफ एक बीट ग्राफ है, अर्थात। आवृत्ति के लगभग हार्मोनिक दोलन, जिसका आयाम आवृत्ति के साथ धीरे-धीरे बदलता है।

आयाम मापांक के संकेत की उपस्थिति के कारण (आयाम हमेशा> 0) होता है, जिस आवृत्ति के साथ आयाम बदलता है वह Δω / 2 के बराबर नहीं होता है, लेकिन दो बार उच्च - होता है।

परस्पर लंबवत दोलनों का जोड़

एक छोटे से शरीर को समान कठोरता के परस्पर लंबवत स्प्रिंग्स पर दोलन करने दें। यह शरीर किस पथ पर गति करेगा?

ये पैरामीट्रिक रूप में प्रक्षेपवक्र समीकरण हैं। x और y निर्देशांकों के बीच एक स्पष्ट संबंध प्राप्त करने के लिए, पैरामीटर t को समीकरणों से बाहर रखा जाना चाहिए।

पहले समीकरण से: ,

दूसरे से

प्रतिस्थापन के बाद

आइए जड़ से छुटकारा पाएं:

एक दीर्घवृत्त का समीकरण है

एच
विशेष स्थितियां:

27. नम कंपन। मजबूर कंपन। अनुनाद।

मुक्त दोलनों का अवमंदन

प्रतिरोध के कारण, मुक्त दोलन हमेशा जल्दी या बाद में मर जाते हैं। आइए हम दोलन अवमंदन की प्रक्रिया पर विचार करें। आइए मान लें कि प्रतिरोध बल शरीर की गति के समानुपाती होता है। (आनुपातिकता कारक सुविधा के कारणों के लिए 2mg द्वारा इंगित किया गया है, जिसे बाद में प्रकट किया जाएगा)। आइए हम उस स्थिति को ध्यान में रखें जब दोलन की अवधि में इसका अवमंदन छोटा होता है। तब हम मान सकते हैं कि भिगोना आवृत्ति पर बहुत कम प्रभाव डालता है, लेकिन यह दोलनों के आयाम को प्रभावित करेगा। फिर भीगने वाले दोलनों के समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है क्योंकि यहाँ A(t) कुछ घटते फलन का प्रतिनिधित्व करता है जिसे निर्धारित करने की आवश्यकता है। हम ऊर्जा के संरक्षण और परिवर्तन के नियम से आगे बढ़ेंगे। दोलनों की ऊर्जा में परिवर्तन, अवधि के दौरान प्रतिरोध बल के औसत कार्य के बराबर होता है, अर्थात। हम समीकरण के दोनों पक्षों को dt से विभाजित करते हैं। दाईं ओर हमारे पास dx/dt होगा, यानी। गति v, और बाईं ओर आपको समय के संबंध में ऊर्जा का व्युत्पन्न मिलता है। इसलिए, ध्यान में रखते हुए लेकिन औसत गतिज ऊर्जा कुल ऊर्जा के आधे के बराबर। अतः लिखा जा सकता है कि इसके दोनों भागों को E से भाग दें और dt से गुणा करें। हमें वह मिलता है हम परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं: पोटेंशिएशन के बाद, हम प्राप्त करते हैं एकीकरण स्थिरांक सी प्रारंभिक स्थितियों से पाया जाता है। मान लीजिए t = 0 E = E0, तो E0 = C. इसलिए, लेकिन ई ~ ए ^ 2। इसलिए, घातीय कानून के अनुसार भीगने वाले दोलनों का आयाम भी कम हो जाता है:

और इसलिए, प्रतिरोध के कारण, दोलनों का आयाम कम हो जाता है और वे आम तौर पर अंजीर में दिखाए गए अनुसार दिखते हैं। 4.2. गुणांक को क्षीणन गुणांक कहा जाता है। हालांकि, यह क्षीणन की काफी विशेषता नहीं है। आमतौर पर, दोलनों के अवमंदन को अवमंदन में कमी की विशेषता होती है। उत्तरार्द्ध दिखाता है कि दोलन अवधि के बराबर समय में दोलन आयाम कितनी बार घटता है। अर्थात्, अवमंदन कारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: अवमंदन कमी के लघुगणक को लघुगणकीय कमी कहा जाता है, यह स्पष्ट रूप से बराबर है

मजबूर कंपन

यदि ऑसिलेटरी सिस्टम एक बाहरी आवधिक बल की कार्रवाई के अधीन है, तो तथाकथित मजबूर दोलन उत्पन्न होते हैं, जिनमें एक निर्विवाद चरित्र होता है। मजबूर दोलनों को स्व-दोलनों से अलग किया जाना चाहिए। सिस्टम में स्व-दोलन के मामले में, एक विशेष तंत्र ग्रहण किया जाता है, जो समय के साथ अपने स्वयं के दोलनों के साथ, कुछ ऊर्जा जलाशय से सिस्टम में ऊर्जा के छोटे हिस्से को "वितरित" करता है। इस प्रकार, प्राकृतिक दोलनों को बनाए रखा जाता है, जो क्षय नहीं होते हैं। स्व-दोलन के मामले में, सिस्टम, जैसा कि वह था, खुद को धक्का देता है। घड़ियाँ एक स्व-दोलन प्रणाली के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं। घड़ी एक शाफ़्ट तंत्र से सुसज्जित है, जिसकी सहायता से पेंडुलम अपने स्वयं के दोलनों के साथ समय में छोटे झटके (एक संकुचित वसंत से) प्राप्त करता है। मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम को बाहरी बल द्वारा धक्का दिया जाता है। नीचे हम इस मामले पर ध्यान देते हैं, यह मानते हुए कि सिस्टम में प्रतिरोध छोटा है और इसे उपेक्षित किया जा सकता है। मजबूर दोलनों के एक मॉडल के रूप में, हमारा मतलब वसंत पर निलंबित वही शरीर होगा, जो बाहरी आवधिक बल (उदाहरण के लिए, एक बल जिसमें विद्युत चुम्बकीय प्रकृति है) से प्रभावित होता है। प्रतिरोध को ध्यान में रखे बिना, एक्स-अक्ष पर प्रक्षेपण में ऐसे शरीर की गति के समीकरण का रूप है: जहाँ w* चक्रीय आवृत्ति है, B बाह्य बल का आयाम है। यह ज्ञात है कि उतार-चढ़ाव मौजूद हैं। इसलिए, हम साइनसॉइडल फ़ंक्शन के रूप में समीकरण के एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे हम फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके लिए हम समय के संबंध में दो बार अंतर करते हैं . प्रतिस्थापन संबंध की ओर जाता है

तीन शर्तें पूरी होने पर समीकरण एक पहचान में बदल जाता है:। फिर और मजबूर दोलनों के समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है वे बाहरी बल की आवृत्ति के साथ मेल खाने वाली आवृत्ति के साथ होते हैं, और उनका आयाम मनमाने ढंग से सेट नहीं होता है, जैसा कि मुक्त दोलनों के मामले में होता है, लेकिन स्वयं द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह स्थापित मूल्य प्रणाली के प्राकृतिक दोलन आवृत्ति और सूत्र के अनुसार बाहरी बल की आवृत्ति के अनुपात पर निर्भर करता है

एच और अंजीर। 4.3 बाहरी बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का एक भूखंड दिखाता है। यह देखा जा सकता है कि दोलनों का आयाम काफी बढ़ जाता है क्योंकि बाहरी बल की आवृत्ति प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के करीब पहुंचती है। जब प्राकृतिक आवृत्ति और बाहरी बल की आवृत्ति मेल खाती है तो मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना कहलाती है गूंज.

अनुनाद पर, दोलन आयाम असीम रूप से बड़ा होना चाहिए। वास्तव में, अनुनाद पर, मजबूर दोलनों का आयाम हमेशा परिमित होता है। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि अनुनाद पर और उसके पास, नगण्य रूप से छोटे प्रतिरोध की हमारी धारणा गलत हो जाती है। यदि निकाय में प्रतिरोध छोटा है तो भी यह अनुनाद में महत्वपूर्ण है। इसकी उपस्थिति अनुनाद में दोलन आयाम को एक परिमित मान बनाती है। इस प्रकार, आवृत्ति पर दोलन आयाम की निर्भरता का वास्तविक ग्राफ चित्र में दिखाया गया रूप है। 4.4. सिस्टम में जितना अधिक प्रतिरोध होगा, अनुनाद बिंदु पर अधिकतम आयाम उतना ही कम होगा।

एक नियम के रूप में, यांत्रिक प्रणालियों में प्रतिध्वनि एक अवांछनीय घटना है, और इसकी वे बचने की कोशिश करते हैं: वे यांत्रिक संरचनाओं को दोलनों और कंपनों के अधीन डिजाइन करने का प्रयास करते हैं ताकि दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति बाहरी प्रभावों की आवृत्तियों के संभावित मूल्यों से दूर हो। लेकिन कई उपकरणों में अनुनाद का उपयोग सकारात्मक घटना के रूप में किया जाता है। उदाहरण के लिए, रेडियो संचार में विद्युत चुम्बकीय दोलनों की प्रतिध्वनि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जी-रे की प्रतिध्वनि - सटीक उपकरणों में।

थर्मोडायनामिक प्रणाली की स्थिति। प्रक्रियाओं

थर्मोडायनामिक राज्य और थर्मोडायनामिक प्रक्रियाएं

जब, यांत्रिकी के नियमों के अलावा, थर्मोडायनामिक्स के नियमों के आवेदन की आवश्यकता होती है, तो सिस्टम को थर्मोडायनामिक सिस्टम कहा जाता है। इस अवधारणा का उपयोग करने की आवश्यकता तब उत्पन्न होती है जब सिस्टम के तत्वों की संख्या (उदाहरण के लिए, गैस के अणुओं की संख्या) बहुत बड़ी होती है, और सिस्टम की गति या इसके मैक्रोस्कोपिक की तुलना में इसके व्यक्तिगत तत्वों की गति सूक्ष्म होती है। अवयव। इस मामले में, थर्मोडायनामिक्स थर्मोडायनामिक सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक आंदोलनों (मैक्रोस्कोपिक राज्यों में परिवर्तन) का वर्णन करता है।

थर्मोडायनामिक सिस्टम के ऐसे आंदोलन (परिवर्तन) का वर्णन करने वाले पैरामीटर आमतौर पर बाहरी और आंतरिक में विभाजित होते हैं। यह विभाजन बहुत सशर्त है और विशिष्ट कार्य पर निर्भर करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक लोचदार खोल वाले गुब्बारे में गैस में बाहरी पैरामीटर के रूप में आसपास की हवा का दबाव होता है, और एक कठोर खोल वाले बर्तन में गैस के लिए, बाहरी पैरामीटर इस खोल से घिरा मात्रा होता है। एक थर्मोडायनामिक प्रणाली में, आयतन और दबाव एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से भिन्न हो सकते हैं। उनके परिवर्तन के सैद्धांतिक विवरण के लिए, कम से कम एक और पैरामीटर - तापमान का परिचय देना आवश्यक है।

अधिकांश थर्मोडायनामिक समस्याओं में, थर्मोडायनामिक प्रणाली की स्थिति का वर्णन करने के लिए तीन पैरामीटर पर्याप्त हैं। इस मामले में, संबंधित थर्मोडायनामिक मापदंडों से जुड़े तीन थर्मोडायनामिक निर्देशांक का उपयोग करके सिस्टम में परिवर्तन का वर्णन किया गया है।

संतुलन अवस्था- थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति - थर्मोडायनामिक प्रणाली की ऐसी स्थिति को कहा जाता है, जिसमें कोई प्रवाह (ऊर्जा, पदार्थ, गति, आदि) नहीं होता है, और सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक पैरामीटर स्थिर होते हैं और समय में नहीं बदलते हैं।

शास्त्रीय ऊष्मप्रवैगिकी में कहा गया है कि एक पृथक थर्मोडायनामिक सिस्टम (स्वयं के लिए छोड़ दिया गया) थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में जाता है और, उस तक पहुंचने के बाद, इसे स्वचालित रूप से नहीं छोड़ सकता है। इस कथन को अक्सर कहा जाता है ऊष्मप्रवैगिकी का शून्य नियम.

थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में सिस्टम में निम्नलिखित हैं: गुणमील:

यदि दो थर्मोडायनामिक सिस्टम जिनमें थर्मल संपर्क होता है, थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में होते हैं, तो कुल थर्मोडायनामिक सिस्टम भी थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में होता है।

यदि कोई थर्मोडायनामिक प्रणाली दो अन्य प्रणालियों के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन में है, तो ये दोनों सिस्टम एक दूसरे के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन में हैं।

आइए हम थर्मोडायनामिक सिस्टम पर विचार करें जो थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में हैं। उन प्रणालियों का विवरण जो एक गैर-संतुलन अवस्था में हैं, अर्थात ऐसी स्थिति में जहां मैक्रोस्कोपिक प्रवाह होता है, गैर-संतुलन थर्मोडायनामिक्स द्वारा निपटाया जाता है। एक ऊष्मागतिक अवस्था से दूसरी अवस्था में संक्रमण कहलाता है थर्मोडायनामिक प्रक्रिया. नीचे, केवल अर्ध-स्थिर प्रक्रियाओं या, जो समान है, अर्ध-संतुलन प्रक्रियाओं पर विचार किया जाएगा। अर्ध-संतुलन प्रक्रिया का सीमित मामला एक असीम रूप से धीमी संतुलन प्रक्रिया है जिसमें थर्मोडायनामिक संतुलन की लगातार क्रमिक अवस्थाएँ होती हैं। वास्तव में, ऐसी प्रक्रिया नहीं हो सकती है, हालांकि, यदि सिस्टम में मैक्रोस्कोपिक परिवर्तन धीरे-धीरे होते हैं (समय अंतराल के साथ थर्मोडायनामिक संतुलन स्थापित करने के लिए समय से काफी अधिक), तो वास्तविक प्रक्रिया को अर्ध-स्थैतिक (अर्ध-स्थिर) के रूप में अनुमानित करना संभव हो जाता है। संतुलन)। यह सन्निकटन व्यावहारिक समस्याओं के एक बड़े वर्ग के लिए पर्याप्त उच्च सटीकता के साथ गणना करना संभव बनाता है। संतुलन प्रक्रिया प्रतिवर्ती है, अर्थात्, जिसमें राज्य के मापदंडों के मूल्यों की वापसी जो पिछले समय में हुई थी, थर्मोडायनामिक सिस्टम को सिस्टम के आसपास के निकायों में किसी भी बदलाव के बिना पिछली स्थिति में लाना चाहिए। .

किसी भी तकनीकी उपकरण में अर्ध-संतुलन प्रक्रियाओं का व्यावहारिक अनुप्रयोग अप्रभावी है। इस प्रकार, एक गर्मी इंजन में एक अर्ध-संतुलन प्रक्रिया का उपयोग, उदाहरण के लिए, जो व्यावहारिक रूप से स्थिर तापमान पर होता है (तीसरे अध्याय में कार्नोट चक्र का विवरण देखें), अनिवार्य रूप से इस तथ्य की ओर जाता है कि ऐसी मशीन होगी बहुत धीमी गति से काम करें (सीमा में - असीम रूप से धीरे-धीरे) और बहुत कम शक्ति हो। इसलिए, व्यवहार में, तकनीकी उपकरणों में अर्ध-संतुलन प्रक्रियाओं का उपयोग नहीं किया जाता है। फिर भी, चूंकि वास्तविक प्रणालियों के लिए संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी की भविष्यवाणियां ऐसी प्रणालियों के प्रयोगात्मक डेटा के साथ पर्याप्त रूप से उच्च सटीकता के साथ मेल खाती हैं, इसलिए इसका व्यापक रूप से विभिन्न तकनीकी उपकरणों में थर्मोडायनामिक प्रक्रियाओं की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि थर्मोडायनामिक प्रक्रिया के दौरान सिस्टम अपनी मूल स्थिति में लौट आता है, तो ऐसी प्रक्रिया को वृत्ताकार या चक्रीय कहा जाता है। परिपत्र प्रक्रियाएं, साथ ही साथ किसी भी अन्य थर्मोडायनामिक प्रक्रियाएं, संतुलन (और इसलिए प्रतिवर्ती) और गैर-संतुलन (अपरिवर्तनीय) दोनों हो सकती हैं। एक प्रतिवर्ती परिपत्र प्रक्रिया में, थर्मोडायनामिक प्रणाली की अपनी मूल स्थिति में लौटने के बाद, इसके आसपास के निकायों में कोई थर्मोडायनामिक गड़बड़ी नहीं होती है, और उनकी स्थिति संतुलन में रहती है। इस मामले में, सिस्टम के बाहरी पैरामीटर, चक्रीय प्रक्रिया के कार्यान्वयन के बाद, अपने मूल मूल्यों पर वापस आ जाते हैं। एक अपरिवर्तनीय परिपत्र प्रक्रिया में, इसके पूरा होने के बाद, आसपास के निकाय गैर-संतुलन राज्यों में चले जाते हैं और थर्मोडायनामिक सिस्टम के बाहरी पैरामीटर बदल जाते हैं।

जटिल आयाम विधि

एक विमान पर एक बिंदु की स्थिति को एक जटिल संख्या द्वारा विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

यदि बिंदु ($A$) घूमता है, तो इस बिंदु के निर्देशांक कानून के अनुसार बदलते हैं:

फॉर्म में $z$ लिखें:

जहाँ $Re(z)=x$, अर्थात् भौतिक मात्रा x सम्मिश्र व्यंजक (4) के वास्तविक भाग के बराबर है। इस मामले में, जटिल अभिव्यक्ति का मापांक दोलन आयाम के बराबर है - $a$, इसका तर्क चरण के बराबर है ($(\omega )_0t+\delta $)। कभी-कभी, $z$ का वास्तविक भाग लेते समय, ऑपरेशन Re का चिन्ह हटा दिया जाता है और एक प्रतीकात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

अभिव्यक्ति (5) को शाब्दिक रूप से नहीं लिया जाना चाहिए। अक्सर औपचारिक रूप से सरल (5):

जहां $A=ae^(i \delta)$ जटिल दोलन आयाम है। $A$ आयाम की जटिल प्रकृति का अर्थ है कि दोलन का एक प्रारंभिक चरण है जो शून्य के बराबर नहीं है।

(6) जैसी अभिव्यक्ति के भौतिक अर्थ को प्रकट करने के लिए, हम मानते हैं कि दोलन आवृत्ति ($(\omega )_0$) में वास्तविक और काल्पनिक भाग होते हैं, और इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

तब व्यंजक (6) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

यदि $(\omega )2>0,$ तो व्यंजक (8) वृत्ताकार आवृत्ति $\omega1$ और अवमंदन सूचकांक $(\omega )_2$ के साथ नम हार्मोनिक दोलनों का वर्णन करता है। अगर $(\omega )_2

टिप्पणी

कई गणितीय संक्रियाओं को जटिल मात्राओं पर किया जा सकता है जैसे कि मात्राएँ वास्तविक हों। संचालन संभव है यदि वे स्वयं रैखिक और वास्तविक हैं (जैसे जोड़, गुणा, वास्तविक चर के संबंध में भेदभाव, और अन्य, लेकिन सभी नहीं)। यह याद रखना चाहिए कि जटिल मात्राएँ अपने आप में किसी भौतिक राशि के अनुरूप नहीं होती हैं।

वेक्टर आरेख विधि

बिंदु $A$ को $r$ त्रिज्या के वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमने दें (चित्र 1), इसकी घूर्णन गति $(\omega )_0$ है।

चित्र 1।

वृत्त पर बिंदु $A$ की स्थिति को कोण $\varphi $ का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। यह कोण है:

जहां $\delta =\varphi (t=0)$ समय के प्रारंभिक क्षण में त्रिज्या वेक्टर $\overrightarrow(r)$ के रोटेशन का कोण है। यदि बिंदु $M$ घूमता है, तो $X$ अक्ष पर इसका प्रक्षेपण सर्कल के व्यास के साथ चलता है, जिससे $M$ $N$ बिंदुओं के बीच हार्मोनिक दोलन होते हैं। $A$ का भुज इस प्रकार लिखा जा सकता है:

इसी तरह, किसी भी परिमाण के उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

केवल उस मात्रा की छवि लेना आवश्यक है जो बिंदु $A$ के भुज के साथ दोलन करती है, जो वृत्त के चारों ओर समान रूप से घूमती है। आप निश्चित रूप से, निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं:

टिप्पणी 1

नम दोलनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक सर्कल नहीं, बल्कि एक लॉगरिदमिक सर्पिल लेना आवश्यक है, जो फोकस के करीब पहुंचता है। यदि एक सर्पिल में गतिमान बिंदु के दृष्टिकोण की गति स्थिर है और बिंदु फोकस की ओर बढ़ता है, तो इस बिंदु का $X-अक्ष पर प्रक्षेपण नम दोलनों के लिए सूत्र देगा।

टिप्पणी 2

एक बिंदु के बजाय, आप एक त्रिज्या वेक्टर का उपयोग कर सकते हैं जो मूल बिंदु के चारों ओर समान रूप से घूमेगा। फिर हार्मोनिक दोलन करने वाले मान को इस वेक्टर के $X$ अक्ष पर प्रक्षेपण के रूप में दर्शाया जाएगा। इस स्थिति में, $x$ की मात्रा पर गणितीय संक्रियाओं को एक सदिश पर संक्रियाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

तो दो मात्राओं के योग का संचालन:

दो सदिशों के योग द्वारा प्रतिस्थापित करना अधिक सुविधाजनक है (समानांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करके)। वैक्टर को चुना जाता है ताकि चुने हुए $axis X$ पर उनके अनुमान $x_1\ और\ x_2$ के भाव हों। फिर x-अक्ष पर प्रक्षेपण में वैक्टर के योग का परिणाम $x_1+\ x_2$ के बराबर होगा।

उदाहरण 1

आइए हम सदिश आरेखों की विधि के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करें।

तो, आइए सम्मिश्र संख्याओं को सम्मिश्र तल पर सदिशों के रूप में निरूपित करते हैं। एक मात्रा जो हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलती है उसे एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है जो आवृत्ति $(\omega )0$ के साथ अपने मूल के चारों ओर वामावर्त घूमता है। वेक्टर की लंबाई दोलनों के आयाम के बराबर होती है।

हल करने के लिए चित्रमय विधि, उदाहरण के लिए, समीकरण:

जहां $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$ प्रतिबाधा है, हम इसे Fig.2 की मदद से निरूपित कर सकते हैं। यह आंकड़ा एक एसी सर्किट में वोल्टेज का एक वेक्टर आरेख दिखाता है।

चित्र 2।

आइए इस बात को ध्यान में रखें कि एक जटिल मात्रा को एक जटिल इकाई से गुणा करने का मतलब है कि इसका घूर्णन कोण $90^0$ वामावर्त, और गुणा ($-i$) उसी कोण से दक्षिणावर्त। चित्र 2 से यह इस प्रकार है:

जहां $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ कोण में परिवर्तन $\varphi $ सर्किट तत्वों की बाधाओं के बीच संबंध पर निर्भर करता है और आवृत्तियों। बाहरी वोल्टेज चरण में बदल सकता है, अधिष्ठापन में वोल्टेज के साथ मेल खाने से, कैपेसिटेंस में वोल्टेज के साथ मेल खाने के लिए। यह आमतौर पर सर्किट तत्वों पर वोल्टेज चरणों और बाहरी वोल्टेज के चरण के बीच अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है:

प्रारंभ करनेवाला पर वोल्टेज का चरण $((U)L=i\omega LI)$ हमेशा बाहरी वोल्टेज के चरण को $0$ से $\pi के कोण तक ले जाता है।

समाई पर वोल्टेज का चरण $((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) हमेशा बाहरी वोल्टेज के चरण से $0$ और --$\ \pi के बीच के कोण से पिछड़ जाता है $

इस मामले में, प्रतिरोध पर चरण या तो बाहरी वोल्टेज के चरण के पीछे $\frac(\pi )(2)$ और $\frac(\pi )(2)$ के बीच के कोण से आगे बढ़ सकता है या पिछड़ सकता है।

वेक्टर आरेख (चित्र 2) हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है:

प्रारंभ करनेवाला के पार वोल्टेज का चरण $\frac(\pi )(2)$ द्वारा वर्तमान के चरण की ओर जाता है।

वर्तमान चरण के पीछे समाई वोल्टेज चरण $\frac(\eth )(2)\ $ है।

प्रतिरोध के पार वोल्टेज का चरण धारा के चरण के साथ मेल खाता है।

उदाहरण 2

व्यायाम:प्रदर्शित करें कि वास्तविक संख्याओं के रूप में जटिल मात्राओं पर स्क्वायरिंग ऑपरेशन लागू नहीं किया जा सकता है।

फेसला:

मान लीजिए कि हमें एक वास्तविक संख्या $x$ का वर्ग करना है। सही उत्तर: $x^2$। औपचारिक रूप से, हम जटिल विधि लागू करते हैं। आइए प्रतिस्थापित करें:

$x\से x+iy$. हम परिणामी अभिव्यक्ति का वर्ग करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

\[(\बाएं(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

अभिव्यक्ति का वास्तविक भाग (2.1) है:

\[(Re\left(x+iy\right))^2=Re\left(x^2-y^2+2xyi\right)=x^2-y^2\ne x^2.\]

त्रुटि का कारण यह है कि स्क्वेरिंग ऑपरेशन रैखिक नहीं है।

हार्मोनिक कंपन

वे। वास्तव में, साइन ग्राफ वेक्टर के घूर्णन से प्राप्त होता है, जिसे सूत्र द्वारा वर्णित किया जाता है:

एफ (एक्स) = एक पाप (ωt + ),

जहां ए वेक्टर की लंबाई (दोलन आयाम) है, शून्य समय पर वेक्टर का प्रारंभिक कोण (चरण) है, रोटेशन का कोणीय वेग है, जो इसके बराबर है:

ω=2 f, जहां f हर्ट्ज़ में आवृत्ति है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, सिग्नल की आवृत्ति, आयाम और कोण को जानकर, हम एक हार्मोनिक सिग्नल बना सकते हैं।

जादू तब शुरू होता है जब यह पता चलता है कि बिल्कुल किसी भी संकेत का प्रतिनिधित्व विभिन्न साइनसोइड्स के योग (अक्सर अनंत) के रूप में किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, फूरियर श्रृंखला के रूप में।
मैं अंग्रेजी विकिपीडिया से एक उदाहरण दूंगा। आइए एक उदाहरण के रूप में एक sawtooth संकेत लेते हैं।

चूरा संकेत

इसकी राशि को निम्न सूत्र द्वारा निरूपित किया जाएगा:

यदि हम एक-एक करके योग करते हैं, तो पहले n=1 लें, फिर n=2, आदि, हम देखेंगे कि कैसे हमारा हार्मोनिक साइनसॉइडल सिग्नल धीरे-धीरे आरा में बदल जाता है:

शायद इसका वर्णन करने का सबसे सुंदर तरीका एक प्रोग्राम है जो मुझे इंटरनेट पर मिला है। यह पहले ही ऊपर कहा जा चुका है कि साइन ग्राफ एक घूर्णन वेक्टर का प्रक्षेपण है, लेकिन अधिक जटिल संकेतों के बारे में क्या? यह, अजीब तरह से पर्याप्त है, घूर्णन वैक्टर के एक सेट का प्रक्षेपण है, या बल्कि उनकी राशि है, और यह सब इस तरह दिखता है:

वेक्टर ड्राइंग देखा।

सामान्य तौर पर, मैं अनुशंसा करता हूं कि आप स्वयं लिंक का अनुसरण करें और मापदंडों के साथ स्वयं खेलने का प्रयास करें, और देखें कि सिग्नल कैसे बदलता है। आईएमएचओ मैंने अभी तक समझने के लिए और अधिक दृश्य खिलौना नहीं देखा है।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक उलटा प्रक्रिया है जो आपको किसी दिए गए सिग्नल से आवृत्ति, आयाम और प्रारंभिक चरण (कोण) प्राप्त करने की अनुमति देती है, जिसे फूरियर ट्रांसफॉर्म कहा जाता है।

कुछ ज्ञात आवधिक कार्यों का फूरियर श्रृंखला विस्तार ( यहां से )

मैं इस पर विस्तार से ध्यान नहीं दूंगा, लेकिन मैं यह दिखाऊंगा कि इसे जीवन में कैसे लागू किया जा सकता है। संदर्भों की सूची में मैं अनुशंसा करूंगा कि आप सामग्री के बारे में और अधिक कहां पढ़ सकते हैं।

चलो व्यावहारिक अभ्यास पर चलते हैं!

मुझे ऐसा लगता है कि प्रत्येक छात्र व्याख्यान में बैठकर एक प्रश्न पूछता है, उदाहरण के लिए, मटन में: मुझे यह सब बकवास क्यों चाहिए? और एक नियम के रूप में, निकट भविष्य में उत्तर नहीं मिलने पर, दुर्भाग्य से, वह इस विषय में रुचि खो देता है। इसलिए, मैं तुरंत इस ज्ञान का व्यावहारिक अनुप्रयोग दिखाऊंगा, और आप पहले से ही इस ज्ञान में महारत हासिल कर लेंगे :)।

मैं इस साइट पर आगे सब कुछ लागू करूंगा। मैंने सब कुछ, निश्चित रूप से, लिनक्स के तहत किया, लेकिन मैंने किसी भी बारीकियों का उपयोग नहीं किया, सिद्धांत रूप में कार्यक्रम अन्य प्लेटफार्मों के तहत संकलित और काम करेगा।

सबसे पहले, एक ऑडियो फाइल बनाने के लिए एक प्रोग्राम लिखते हैं। एक WAV फ़ाइल को सबसे सरल के रूप में लिया गया था। आप इसकी संरचना के बारे में पढ़ सकते हैं।
संक्षेप में, wav-file संरचना को इस प्रकार वर्णित किया गया है: एक हेडर जो फ़ाइल प्रारूप का वर्णन करता है, और फिर (हमारे मामले में) 16-बिट डेटा की एक सरणी (इंगित) की लंबाई के साथ आता है: sample_rate*t सेकंड या 44100 * टी टुकड़े।

ध्वनि फ़ाइल बनाने के लिए एक उदाहरण लिया गया था। मैंने इसे थोड़ा संशोधित किया, त्रुटियों को ठीक किया, और मेरे संपादन के साथ अंतिम संस्करण अब यहां जीथब पर है

आइए 100 हर्ट्ज की शुद्ध साइन आवृत्ति के साथ दो सेकंड की ध्वनि फ़ाइल उत्पन्न करें। ऐसा करने के लिए, हम कार्यक्रम को निम्नलिखित तरीके से संशोधित करते हैं:

# परिभाषित करें S_RATE (44100) // नमूना दर # परिभाषित करें BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 सेकंड बफर */…। int main(int argc, char * argv) (... फ्लोट आयाम = 32000; // अधिकतम संभव आयाम फ्लोट freq_Hz = 100 लें; // सिग्नल फ्रीक्वेंसी / * साइन वेव के साथ बफर भरें */ के लिए (i = 0 मैं

मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता हूं कि शुद्ध ज्या सूत्र उस सूत्र से मेल खाता है जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी। आयाम 32000 (32767 लेना संभव था) उस मान से मेल खाती है जो एक 16-बिट संख्या ले सकती है (माइनस 32767 से प्लस 32767 तक)।

नतीजतन, हमें निम्न फ़ाइल मिलती है (आप इसे किसी भी ध्वनि-उत्पादक प्रोग्राम के साथ भी सुन सकते हैं)। आइए इस दुस्साहस फ़ाइल को खोलें और देखें कि सिग्नल ग्राफ वास्तव में शुद्ध साइन से मेल खाता है:

शुद्ध ट्यूब साइन

आइए इस साइन के स्पेक्ट्रम को देखें (विश्लेषण-> प्लॉट स्पेक्ट्रम)

स्पेक्ट्रम प्लॉट

100 हर्ट्ज (लघुगणक पैमाने) पर एक स्वच्छ शिखर दिखाई देता है। एक स्पेक्ट्रम क्या है? यह आवृत्ति प्रतिक्रिया है। एक चरण प्रतिक्रिया भी है। यदि आपको याद हो, मैंने ऊपर कहा था कि सिग्नल बनाने के लिए, आपको इसकी आवृत्ति, आयाम और चरण जानने की आवश्यकता है? तो, आप इन मापदंडों को सिग्नल से प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में, हमारे पास आवृत्तियों और आयाम के बीच पत्राचार का एक ग्राफ है, और आयाम वास्तविक इकाइयों में नहीं, बल्कि डेसिबल में है।

मैं समझता हूं कि यह समझाने के लिए कि कार्यक्रम कैसे काम करता है, यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि फास्ट फूरियर रूपांतरण क्या है, और यह कम से कम एक और खट्टा लेख है।

सबसे पहले, आइए सरणियाँ आवंटित करें:

सी = कॉलोक (आकार_एरे * 2, आकार (फ्लोट)); // रोटेशन कारकों की सरणी = कॉलोक (आकार_एरे * 2, आकार (फ्लोट)); // इनपुट सरणी आउट = कॉलोक (आकार_एरे * 2, आकार (फ्लोट)); // आउटपुट सरणी

मुझे केवल इतना कहना है कि कार्यक्रम में हम डेटा को लंबाई size_array (जिसे हम wav फ़ाइल के शीर्षलेख से लेते हैं) की सरणी में पढ़ते हैं।

जबकि (फ़्रेड (और मूल्य, आकार (मान), 1, wav)) ([जे] = (फ्लोट) मान में; जे + = 2; अगर (जे> 2 * आकार_एरे) टूट जाता है;)

तेजी से फूरियर रूपांतरण के लिए सरणी एक अनुक्रम होना चाहिए (पुनः, आईएम, पुन, आईएम, ... पुन, आईएम), जहां fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
यह जटिल संख्याओं की एक सरणी है। मैं यह कल्पना करने से भी डरता हूं कि जटिल फूरियर रूपांतरण का उपयोग कहां किया जाता है, लेकिन हमारे मामले में, काल्पनिक भाग शून्य है, और वास्तविक भाग सरणी में प्रत्येक बिंदु के मान के बराबर है।
फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म की एक अन्य विशेषता यह है कि यह उन सरणियों की गणना करता है जो केवल दो की शक्तियों के गुणक हैं। नतीजतन, हमें दो की न्यूनतम शक्ति की गणना करनी चाहिए:

इंट p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

डेटा में बाइट्स की संख्या का लघुगणक एक बिंदु पर बाइट्स की संख्या से विभाजित होता है।

उसके बाद, हम रोटेशन कारकों की गणना करते हैं:

Fft_make(p2,c);// FFT के लिए रोटेशन कारकों की गणना के लिए कार्य (पहला पैरामीटर दो की शक्ति है, दूसरा रोटेशन कारकों की एक आवंटित सरणी है)।

और हम अपने रीड ऐरे को फूरियर ट्रांसफॉर्म में फीड करते हैं:

Fft_calc (पी 2, सी, इन, आउट, 1); // (एक का मतलब है कि हमें एक सामान्यीकृत सरणी मिलती है)।

आउटपुट पर, हमें फॉर्म की जटिल संख्याएँ मिलती हैं (re, im, re, im, ... re, im)। उन लोगों के लिए जो एक जटिल संख्या नहीं जानते हैं, मैं समझाऊंगा। मैंने इस लेख को एक कारण से कताई वैक्टर और जीआईएफ के एक समूह के साथ शुरू किया था। तो, जटिल विमान पर वेक्टर वास्तविक निर्देशांक a1 और काल्पनिक निर्देशांक a2 द्वारा निर्धारित किया जाता है। या लंबाई (यह हमारा आयाम Am) और कोण Psi (चरण) है।

जटिल विमान पर वेक्टर

ध्यान दें कि size_array=2^p2. सरणी का पहला बिंदु 0 हर्ट्ज (स्थिर) की आवृत्ति से मेल खाता है, अंतिम बिंदु नमूना आवृत्ति से मेल खाता है, अर्थात् 44100 हर्ट्ज। नतीजतन, हमें प्रत्येक बिंदु के अनुरूप आवृत्ति की गणना करनी चाहिए, जो डेल्टा आवृत्ति से भिन्न होगी:

डबल डेल्टा = ((फ्लोट) हैडर। आवृत्ति)/(फ्लोट) size_array; // नमूना दर प्रति सरणी आकार।

हम आयामों की एक सरणी आवंटित करते हैं:

डबल * एम्पली; एएमपीएल = कॉलोक (आकार_एरे * 2, आकार (डबल));

और चित्र को देखें: आयाम वेक्टर की लंबाई है। और हमारे पास वास्तविक और काल्पनिक अक्ष पर इसके प्रक्षेपण हैं। नतीजतन, हमारे पास एक समकोण त्रिभुज होगा, और यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को याद करते हैं, और प्रत्येक वेक्टर की लंबाई की गणना करते हैं, और तुरंत इसे एक टेक्स्ट फ़ाइल में लिखते हैं:

के लिए(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
परिणाम एक फ़ाइल है जो इस तरह दिखती है:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

कोशिश करते हैं!

अब हम परिणामी प्रोग्राम को फीड करते हैं जो कि साइन साउंड फाइल है

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav प्रारूप: 16 बिट्स, पीसीएम असम्पीडित, चैनल 1, फ्रीक 44100, 88200 बाइट्स प्रति सेकेंड, कैप्चर द्वारा 2 बाइट्स, प्रति नमूना 2 बिट्स, डेटा खंड में 882000 बाइट्स = 441000 लॉग 2 = 18 आकार सरणी = 262144 wav प्रारूप अधिकतम आवृत्ति = 99.928, amp = 7216.136

और हमें आवृत्ति प्रतिक्रिया की एक टेक्स्ट फ़ाइल मिलती है। हम gnuplot का उपयोग करके इसका ग्राफ बनाते हैं

स्क्रिप्ट बनाएं:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set Terminal postscript eps एन्हांस्ड कलर सॉलिड सेट आउटपुट "result.ps" #set टर्मिनल png साइज 800, 600 #set आउटपुट "result.png" सेट ग्रिड xtics ytics सेट लॉग xy सेट xlabel "Freq, Hz" सेट यालेबल "Amp, dB" सेट xrange #set yrange प्लॉट "test.txt" 1:2 शीर्षक का उपयोग कर "(!LANG:AFC" with lines linestyle 1 !}

X में अंकों की संख्या पर स्क्रिप्ट में सीमा पर ध्यान दें: xrange सेट करें। हमारे पास 44100 की एक नमूना आवृत्ति है, और अगर हम कोटेलनिकोव प्रमेय को याद करते हैं, तो संकेत आवृत्ति नमूना आवृत्ति के आधे से अधिक नहीं हो सकती है, इसलिए, हम 22050 हर्ट्ज से ऊपर के संकेत में रुचि नहीं रखते हैं। ऐसा क्यों है, मैं आपको विशेष साहित्य में पढ़ने की सलाह देता हूं।
तो (ड्रम रोल), स्क्रिप्ट चलाएँ और देखें:

हमारे सिग्नल का स्पेक्ट्रम

100 हर्ट्ज पर तेज चोटी पर ध्यान दें । यह मत भूलो कि कुल्हाड़ियाँ लघुगणक हैं! दाईं ओर ऊन है, मुझे लगता है, फूरियर त्रुटियों को बदल देता है (विंडोज़ यहां दिमाग में आती हैं)।

चलो लिप्त, हम करेंगे?

और चलो! आइए अन्य संकेतों के स्पेक्ट्रा को देखें!

चारों तरफ शोर...

सबसे पहले, चलो शोर स्पेक्ट्रम की साजिश रचते हैं। शोर, यादृच्छिक संकेतों आदि के बारे में विषय। एक अलग पाठ्यक्रम का हकदार है। लेकिन हम उस पर थोड़ा स्पर्श करेंगे। आइए हमारे wav-file जनरेशन प्रोग्राम को संशोधित करें, एक प्रक्रिया जोड़ें:

डबल d_random(डबल मिनट, डबल मैक्स) (वापसी मिनट + (अधिकतम - मिनट) / RAND_MAX * रैंड (); )

यह दी गई सीमा के भीतर एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करेगा। नतीजतन, मुख्य इस तरह दिखेगा:

int main(int argc, char * argv) ( int i; फ्लोट आयाम = 32000; srand ((अहस्ताक्षरित int) समय (0));//यादृच्छिक संख्या जनरेटर को प्रारंभ करें (i = 0; i)

आइए एक फ़ाइल उत्पन्न करें, (मैं सुनने की सलाह देता हूं)। आइए इसे दुस्साहस में देखें।

दुस्साहस में संकेत

आइए स्पेक्ट्रम को दुस्साहस में देखें।

श्रेणी

और आइए हमारे कार्यक्रम का उपयोग करते हुए स्पेक्ट्रम देखें:

हमारा स्पेक्ट्रम

मैं एक बहुत ही रोचक तथ्य और शोर की विशेषता पर ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं - इसमें सभी हार्मोनिक्स के स्पेक्ट्रा शामिल हैं। जैसा कि ग्राफ से देखा जा सकता है, स्पेक्ट्रम काफी सम है। आमतौर पर, सफेद शोर का उपयोग बैंडविड्थ के आवृत्ति विश्लेषण के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, ऑडियो उपकरण। अन्य प्रकार के शोर हैं: गुलाबी, नीला और अन्य. गृहकार्य यह पता लगाना है कि वे कैसे भिन्न हैं।

कॉम्पोट के बारे में क्या?

और अब एक और दिलचस्प संकेत देखते हैं - एक मेन्डियर। मैंने ऊपर फूरियर श्रृंखला में विभिन्न संकेतों के विस्तार की एक तालिका दी है, आप देखते हैं कि मेन्डर कैसे विघटित होता है, इसे कागज के एक टुकड़े पर लिखें, और हम जारी रखेंगे।

25 हर्ट्ज की आवृत्ति के साथ एक मेन्डियर उत्पन्न करने के लिए, हम एक बार फिर अपने wav-file जनरेटर को संशोधित करते हैं:

int main(int argc, char * argv) ( int i; short int mendr_value=32767; /* बफ़र को साइन वेव से भरें */ for (i=0; i)

नतीजतन, हमें एक ऑडियो फ़ाइल मिलती है (फिर से, मैं आपको सुनने की सलाह देता हूं), जिसे आपको तुरंत दुस्साहस में देखना चाहिए

उनकी महिमा एक स्वस्थ व्यक्ति का पथिक या पथिक है

आइए सुस्त न हों और इसके स्पेक्ट्रम को देखें:

मेन्डर स्पेक्ट्रम

अब तक, यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि यह क्या है ... और आइए पहले कुछ हार्मोनिक्स देखें:

पहला हार्मोनिक्स

बिलकुल दूसरी बात! खैर, आइए बोर्ड को देखें। देखिए, हमारे पास केवल 1, 3, 5, आदि हैं, अर्थात्। अजीब हार्मोनिक्स। हम देख सकते हैं कि हमारे पास 25 हर्ट्ज का पहला हार्मोनिक, अगला (तीसरा) 75 हर्ट्ज, फिर 125 हर्ट्ज आदि है, जबकि हमारा आयाम धीरे-धीरे कम हो जाता है। सिद्धांत अभ्यास से मिलता है!
और अब ध्यान! वास्तविक जीवन में, हमारे मेन्डर सिग्नल में उच्च और उच्च आवृत्ति के हार्मोनिक्स की एक अनंत मात्रा होती है, लेकिन एक नियम के रूप में, वास्तविक विद्युत सर्किट एक निश्चित आवृत्ति (पटरियों के अधिष्ठापन और समाई के कारण) से अधिक आवृत्तियों को पारित नहीं कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, आप अक्सर आस्टसीलस्कप स्क्रीन पर निम्न संकेत देख सकते हैं:

मींडर धूम्रपान करने वाला

यह तस्वीर विकिपीडिया से एक तस्वीर की तरह है, जहां सभी आवृत्तियों को एक मेन्डर के उदाहरण के रूप में नहीं लिया जाता है, लेकिन केवल पहले कुछ को ही लिया जाता है।

पहले हार्मोनिक्स का योग, और सिग्नल कैसे बदलता है

रेडियो इंजीनियरिंग में भी मेन्डर का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है (यह कहा जाना चाहिए कि यह सभी डिजिटल तकनीक का आधार है), और यह समझने योग्य है कि लंबी श्रृंखलाओं के साथ इसे फ़िल्टर किया जा सकता है ताकि आपकी अपनी मां इसे पहचान न सके। इसका उपयोग विभिन्न उपकरणों की आवृत्ति प्रतिक्रिया की जांच के लिए भी किया जाता है। एक और दिलचस्प तथ्य यह है कि टीवी जैमर ने उच्च हार्मोनिक्स के सिद्धांत पर ठीक काम किया, जब माइक्रोक्रिकिट ने स्वयं दसियों मेगाहर्ट्ज का एक मेन्डर उत्पन्न किया, और इसके उच्च हार्मोनिक्स में सैकड़ों मेगाहर्ट्ज की आवृत्तियां हो सकती हैं, बस टीवी की आवृत्ति पर, और उच्चतर हार्मोनिक्स ने टीवी प्रसारण सिग्नल को सफलतापूर्वक जाम कर दिया।

सामान्य तौर पर, ऐसे प्रयोगों का विषय अंतहीन होता है, और अब आप इसे स्वयं जारी रख सकते हैं।

किताब

उन लोगों के लिए जो यह नहीं समझते हैं कि हम यहां क्या कर रहे हैं, या इसके विपरीत, उन लोगों के लिए जो समझते हैं, लेकिन और भी बेहतर समझना चाहते हैं, साथ ही डीएसपी का अध्ययन करने वाले छात्रों के लिए, मैं इस पुस्तक की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं। यह डमी के लिए एक डीएसपी है, जो इस पोस्ट के लेखक हैं। वहां, सबसे जटिल अवधारणाओं को एक बच्चे के लिए भी सुलभ भाषा में बताया जाता है।

निष्कर्ष

अंत में, मैं कहना चाहता हूं कि गणित विज्ञान की रानी है, लेकिन वास्तविक अनुप्रयोग के बिना, बहुत से लोग इसमें रुचि खो देते हैं। मुझे उम्मीद है कि यह पोस्ट आपको सिग्नल प्रोसेसिंग और सामान्य एनालॉग सर्किट्री जैसे अद्भुत विषय का अध्ययन करने के लिए प्रेरित करेगी (अपने कानों को प्लग करें ताकि आपका दिमाग लीक न हो!) :)
सफलता मिले!

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कई मुद्दों का समाधान, विशेष रूप से एक ही दिशा के कई दोलनों को जोड़ना (या, वही क्या है, कई हार्मोनिक कार्यों का जोड़), बहुत सुविधा प्रदान करता है और स्पष्ट हो जाता है यदि दोलनों को सदिशों के रूप में चित्रित किया जाता है एक विमान। इस प्रकार प्राप्त योजना को सदिश आरेख कहते हैं।

अक्ष को लीजिए, जिसे हम अक्षर x से व्यक्त करते हैं (चित्र 55.1)। अक्ष पर लिए गए बिंदु O से, हम लंबाई a का एक सदिश बनाते हैं, जो अक्ष के साथ एक कोण बनाते हैं।

यदि हम इस वेक्टर को कोणीय वेग के साथ घूर्णन में लाते हैं, तो वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण x-अक्ष के साथ -a से +a तक की सीमा में आगे बढ़ेगा, और इस प्रक्षेपण का समन्वय समय के अनुसार बदल जाएगा कानून

नतीजतन, अक्ष पर वेक्टर के अंत का प्रक्षेपण वेक्टर की लंबाई के बराबर आयाम के साथ एक हार्मोनिक दोलन करेगा, वेक्टर के रोटेशन के कोणीय वेग के बराबर एक परिपत्र आवृत्ति के साथ, और प्रारंभिक चरण के बराबर समय के प्रारंभिक क्षण में अक्ष के साथ वेक्टर द्वारा बनाए गए कोण तक।

जो कहा गया है, उससे यह इस प्रकार है कि एक हार्मोनिक दोलन को एक वेक्टर का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसकी लंबाई दोलन के आयाम के बराबर है, और वेक्टर की दिशा एक्स-अक्ष के साथ एक कोण बनाती है जो प्रारंभिक चरण के बराबर है। दोलन

एक ही दिशा और एक ही आवृत्ति के दो हार्मोनिक दोलनों को जोड़ने पर विचार करें। दोलन करने वाले पिंड का विस्थापन x, विस्थापनों का योग होगा, जिसे इस प्रकार लिखा जाएगा:

आइए वैक्टर की मदद से दोनों उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व करते हैं (अंजीर। 55.2)। आइए हम सदिश योग के नियमों के अनुसार परिणामी सदिश a की रचना करें।

यह देखना आसान है कि एक्स-अक्ष पर इस वेक्टर का प्रक्षेपण वैक्टर की शर्तों के अनुमानों के योग के बराबर है:

इसलिए, वेक्टर a परिणामी दोलन का प्रतिनिधित्व करता है। यह वेक्टर वैक्टर के समान कोणीय वेग के साथ घूमता है ताकि परिणामी गति आवृत्ति आयाम a और प्रारंभिक चरण a के साथ एक हार्मोनिक दोलन हो। निर्माण से स्पष्ट है कि

तो, वैक्टर के माध्यम से हार्मोनिक दोलनों का प्रतिनिधित्व वैक्टर जोड़ने के संचालन के लिए कई दोलनों के योग को कम करना संभव बनाता है। यह तकनीक विशेष रूप से उपयोगी है, उदाहरण के लिए, प्रकाशिकी में, जहां एक निश्चित बिंदु पर प्रकाश कंपन को तरंग मोर्चे के विभिन्न हिस्सों से किसी बिंदु पर आने वाले कई कंपनों के सुपरपोजिशन के परिणाम के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सूत्र (55.2) और (55.3) निश्चित रूप से, व्यंजकों (55.1) को जोड़कर और संबंधित त्रिकोणमितीय परिवर्तनों को निष्पादित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। लेकिन इन सूत्रों को प्राप्त करने के लिए हमने जिस तरह से उपयोग किया है वह अधिक सरल और स्पष्ट है।

आइए हम आयाम के लिए व्यंजक (55.2) का विश्लेषण करें। यदि दोनों दोलनों का चरण अंतर शून्य के बराबर है, तो परिणामी दोलन का आयाम a और के योग के बराबर है। यदि चरण अंतर बराबर है या , यानी, दोनों दोलन एंटीफेज में हैं, तो परिणामी दोलन का आयाम बराबर है

यदि दोलन आवृत्तियाँ समान नहीं हैं, तो सदिश a और भिन्न गति से घूमेंगे। इस मामले में, परिणामी वेक्टर a परिमाण में स्पंदित होता है और एक गैर-स्थिर दर पर घूमता है। नतीजतन, इस मामले में परिणामी गति एक हार्मोनिक दोलन नहीं होगी, बल्कि कुछ जटिल दोलन प्रक्रिया होगी।