विमानों के बीच का कोण

आइए समीकरणों द्वारा दिए गए दो विमानों α 1 और α 2 पर विचार करें:

नीचे कोणदो तलों के बीच हमारा तात्पर्य इन तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोणों में से एक से है। जाहिर है, सामान्य वैक्टर और विमानों α 1 और α 2 के बीच का कोण संकेतित आसन्न डायहेड्रल कोणों में से एक के बराबर है या . इसलिए . क्योंकि और , तब

.

उदाहरण।विमानों के बीच का कोण निर्धारित करें एक्स+2आप-3जेड+4=0 और 2 एक्स+3आप+जेड+8=0.

दो तलों की समांतरता की स्थिति।

दो विमान α 1 और α 2 समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वैक्टर और समानांतर हैं, और इसलिए .

तो, दो विमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं यदि और केवल यदि संबंधित निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं:

या

विमानों के लंबवत होने की स्थिति।

यह स्पष्ट है कि दो विमान लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वेक्टर लंबवत हैं, और इसलिए, या।

इस प्रकार, ।

उदाहरण।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष।

सदिश समीकरण प्रत्यक्ष।

पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की स्थिति उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्धारित होती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक वेक्टर।

एक सीधी रेखा के समानांतर एक वेक्टर को कहा जाता है गाइडिंगइस लाइन का वेक्टर।

तो चलो सीधे मैंएक बिंदु से गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) वेक्टर के समानांतर एक सीधी रेखा पर लेटना।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम (एक्स, वाई, जेड)एक सीधी रेखा पर। चित्र से यह देखा जा सकता है कि .

सदिश और संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीबिंदु की स्थिति के आधार पर कोई भी संख्यात्मक मान ले सकता है एमएक सीधी रेखा पर। कारक टीएक पैरामीटर कहा जाता है। बिन्दुओं की त्रिज्या सदिशों को निरूपित करना एम 1 और एमक्रमशः, के माध्यम से और , हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरसीधी रेखा समीकरण। यह दर्शाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाती है एमएक सीधी रेखा पर लेटना।

हम इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखते हैं। नोटिस जो , और यहाँ से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकसीधी रेखा समीकरण।

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक परिवर्तन एक्स, आपऔर जेडऔर डॉट एमएक सीधी रेखा में चलता है।

विहित समीकरण प्रत्यक्ष

रहने दो एम 1 (एक्स 1 , आप 1 , जेड 1) - एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु मैं, और इसकी दिशा वेक्टर है। फिर से, एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम (एक्स, वाई, जेड)और वेक्टर पर विचार करें।

यह स्पष्ट है कि सदिश और संरेख हैं, इसलिए उनके संबंधित निर्देशांक समानुपाती होने चाहिए, इसलिए

– कैनन कासीधी रेखा समीकरण।

टिप्पणी 1.ध्यान दें कि लाइन के विहित समीकरणों को पैरामीटर को समाप्त करके पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किया जा सकता है टी. वास्तव में, पैरामीट्रिक समीकरणों से हम प्राप्त करते हैं या .

उदाहरण।एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक तरीके से।

निरूपित , इस तरह एक्स = 2 + 3टी, आप = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

टिप्पणी 2.रेखा को निर्देशांक अक्षों में से एक के लंबवत होने दें, उदाहरण के लिए, अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत है बैल, इस तरह, एम= 0। नतीजतन, सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप लेते हैं

समीकरणों से पैरामीटर को हटाना टी, हम रूप में सीधी रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से सीधी रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका अर्थ है कि रेखा संगत निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

इसी प्रकार, विहित समीकरण अक्षों के लंबवत सीधी रेखा से मेल खाती है बैलऔर ओएया समानांतर अक्ष आउंस.

उदाहरण।

सामान्य समीकरण दो योजनाओं के अंतःक्षेपण की एक रेखा के रूप में एक सीधी रेखा

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनंत विमानों की संख्या गुजरती है। उनमें से कोई दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। अतः ऐसे किन्हीं दो तलों के समीकरण, जिन्हें एक साथ माना जाए, इस रेखा के समीकरण हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके चौराहे की रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक सीधी रेखा की रचना कीजिए

एक रेखा बनाने के लिए, इसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। निर्देशांक विमानों के साथ रेखा के चौराहे के बिंदुओं को चुनना सबसे आसान तरीका है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyहम एक सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं, यह मानते हुए जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम बिंदु पाते हैं एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर आप= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से, कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों पर आगे बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कुछ बिंदु खोजने की जरूरत है एम 1 रेखा पर और रेखा की दिशा सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से प्राप्त करते हैं, निर्देशांक में से एक को मनमाना मान देते हैं। दिशा वेक्टर खोजने के लिए, ध्यान दें कि यह वेक्टर दोनों सामान्य वैक्टरों के लंबवत होना चाहिए और . इसलिए, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के लिए मैंआप सामान्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद ले सकते हैं:

.

उदाहरण।सरल रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में।

एक सीधी रेखा पर एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से निर्देशांक में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, आप= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले विमानों के सामान्य वैक्टर में निर्देशांक होते हैं इसलिए, दिशा वेक्टर सीधा होगा

. इसलिये, मैं: .

अधिकारों के बीच का कोण

कोनाअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बने किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

जाहिर है, रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा वैक्टर और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि , तब सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

ए। दो रेखाएँ दें।ये रेखाएँ, जैसा कि अध्याय 1 में बताया गया था, विभिन्न सकारात्मक और नकारात्मक कोण बनाती हैं, जो इस मामले में, न्यून और अधिक दोनों हो सकते हैं। इनमें से किसी एक कोण को जानकर हम किसी अन्य कोण को आसानी से खोज सकते हैं।

वैसे, इन सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा का संख्यात्मक मान समान होता है, अंतर केवल चिह्न में हो सकता है

रेखाओं के समीकरण। संख्याएं पहली और दूसरी पंक्तियों के निर्देशन वैक्टर के अनुमान हैं। इन वैक्टरों के बीच का कोण सीधी रेखाओं द्वारा बनाए गए कोणों में से एक के बराबर होता है। इसलिए, वैक्टर के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए समस्या कम हो जाती है, हमें मिलता है

सरलता के लिए, हम एक न्यून धनात्मक कोण को समझने के लिए दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण पर सहमत हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, चित्र 53 में)।

तब इस कोण की स्पर्श रेखा सदैव धनात्मक होगी। इस प्रकार, यदि सूत्र (1) के दाईं ओर ऋण चिह्न प्राप्त होता है, तो हमें इसे त्याग देना चाहिए, अर्थात केवल निरपेक्ष मान रखना चाहिए।

उदाहरण। रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

सूत्र द्वारा (1) हमारे पास है

साथ। यदि यह इंगित किया जाए कि कोण की कौन सी भुजा इसकी शुरुआत है और कौन सी इसका अंत है, तो कोण की दिशा को हमेशा वामावर्त गिनते हुए, हम सूत्रों (1) से कुछ और निकाल सकते हैं। जैसा कि अंजीर से देखना आसान है। 53 सूत्र के दाईं ओर प्राप्त चिह्न (1) इंगित करेगा कि कौन सा एक - न्यून या अधिक - कोण पहली के साथ दूसरी पंक्ति बनाता है।

(वास्तव में, अंजीर। 53 से हम देखते हैं कि पहली और दूसरी दिशा के वैक्टर के बीच का कोण या तो रेखाओं के बीच वांछित कोण के बराबर है, या इससे ± 180 ° से भिन्न है।)

डी। यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो उनके निर्देश देने वाले सदिश भी समानांतर होते हैं।दो सदिशों की समांतरता की स्थिति को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं!

दो रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

उदाहरण। सीधे

समानांतर हैं क्योंकि

इ। यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो उनके दिशा सदिश भी लंबवत हैं। दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति को लागू करने पर, हम दो रेखाओं के लंबवतता की स्थिति प्राप्त करते हैं, अर्थात्

उदाहरण। सीधे

लंबवत क्योंकि

समांतरता और लंबवतता की शर्तों के संबंध में, हम निम्नलिखित दो समस्याओं को हल करेंगे।

एफ। एक बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा खींचे

निर्णय इस तरह किया जाता है। चूंकि वांछित रेखा दी गई रेखा के समानांतर है, तो इसके निर्देशन सदिश के लिए हम दी गई रेखा के समान एक ले सकते हैं, अर्थात, ए और बी अनुमानों के साथ एक वेक्टर। और फिर वांछित रेखा का समीकरण लिखा जाएगा फॉर्म में (§ 1)

उदाहरण। एक सीधी रेखा के समांतर एक बिंदु (1; 3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

अगला होगा!

जी। दी गई रेखा के लंबवत बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें

यहां, अनुमान ए के साथ एक वेक्टर और एक निर्देशन वेक्टर के रूप में लेने के लिए अब उपयुक्त नहीं है, लेकिन इसके लिए एक वेक्टर लंबवत जीतना आवश्यक है। इसलिए इस वेक्टर के अनुमानों को इस शर्त के अनुसार चुना जाना चाहिए कि दोनों वैक्टर लंबवत हैं, यानी स्थिति के अनुसार

इस शर्त को अनंत तरीकों से पूरा किया जा सकता है, क्योंकि यहां दो अज्ञात के साथ एक समीकरण है। लेकिन इसे लेना सबसे आसान तरीका है। फिर वांछित सीधी रेखा का समीकरण रूप में लिखा जाएगा

उदाहरण। एक लंब रेखा में एक बिंदु (-7; 2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

निम्नलिखित होगा (दूसरे सूत्र के अनुसार)!

एच। उस स्थिति में जब रेखाएँ रूप के समीकरणों द्वारा दी जाती हैं

इन समीकरणों को अलग तरीके से फिर से लिखना, हमारे पास है

मैं संक्षिप्त रहूंगा। दो रेखाओं के बीच का कोण उनके दिशा सदिशों के बीच के कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, यदि आप दिशा वैक्टर a \u003d (x 1; y 1; z 1) और b \u003d (x 2; y 2; z 2) के निर्देशांक खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो आप कोण पा सकते हैं। अधिक सटीक रूप से, सूत्र के अनुसार कोण की कोज्या:

आइए देखें कि यह सूत्र विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करता है:

काम। अंक ई और एफ को क्रमशः एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1 में चिह्नित किया गया है। रेखा AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

चूंकि घन का किनारा निर्दिष्ट नहीं है, हम AB = 1 सेट करते हैं। हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु A पर है, और x, y, z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के साथ निर्देशित होते हैं। . इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। अब आइए अपनी रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

सदिश AE के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, हमें अंक ए = (0; 0; 0) और ई = (0.5; 0; 1) की आवश्यकता है। चूंकि बिंदु E खंड A 1 B 1 का मध्य है, इसके निर्देशांक सिरों के निर्देशांक के अंकगणितीय माध्य के बराबर हैं। ध्यान दें कि वेक्टर AE की उत्पत्ति मूल के साथ मेल खाती है, इसलिए AE = (0.5; 0; 1)।

अब बीएफ वेक्टर से निपटते हैं। इसी प्रकार, हम बिंदुओं B = (1; 0; 0) और F = (1; 0.5; 1) का विश्लेषण करते हैं, क्योंकि एफ - खंड बी 1 सी 1 के बीच में। हमारे पास है:
बीएफ = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1)।

तो, दिशा वैक्टर तैयार हैं। रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या दिशा सदिशों के बीच के कोण की कोज्या है, इसलिए हमारे पास है:

काम। एक नियमित त्रिभुज प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु D और E अंकित हैं - किनारों के मध्य बिंदु क्रमशः A 1 B 1 और B 1 C 1, हैं। AD और BE के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स-अक्ष एबी के साथ निर्देशित है, जेड - एए 1 के साथ। हम y अक्ष को इस प्रकार निर्देशित करते हैं कि OXY तल ABC तल के साथ संपाती हो। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है। वांछित रेखाओं के लिए दिशा सदिशों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए AD वेक्टर के निर्देशांक ज्ञात करें। बिंदुओं पर विचार करें: ए = (0; 0; 0) और डी = (0.5; 0; 1), क्योंकि डी - खंड ए 1 बी 1 के बीच में। चूँकि सदिश AD की शुरुआत मूल बिंदु से मेल खाती है, हमें AD = (0.5; 0; 1) मिलता है।

आइए अब सदिश BE के निर्देशांक ज्ञात करें। प्वाइंट बी = (1; 0; 0) की गणना करना आसान है। बिंदु ई के साथ - खंड सी 1 बी 1 के मध्य - थोड़ा अधिक जटिल। हमारे पास है:

यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

काम। एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म एबीसीडीईएफए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, अंक के और एल चिह्नित हैं - किनारों के मध्य बिंदु ए 1 बी 1 और बी 1 सी 1, क्रमश। रेखा AK और BL के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक प्रिज्म के लिए एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: हम निचले आधार के केंद्र में निर्देशांक की उत्पत्ति रखते हैं, एफसी के साथ एक्स-अक्ष को निर्देशित करते हैं, वाई-अक्ष सेगमेंट एबी और डीई के मध्य बिंदुओं के माध्यम से, और जेड-अक्ष लंबवत ऊपर की ओर। इकाई खंड फिर से AB = 1 के बराबर है। आइए हम अपनी रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखें:

बिंदु K और L क्रमशः खंड A 1 B 1 और B 1 C 1 के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक अंकगणितीय माध्य के माध्यम से पाए जाते हैं। बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AK और BL के निर्देशांक पाते हैं:

आइए अब कोण की कोज्या ज्ञात करें:

काम। एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर होते हैं, E और F को चिह्नित किया जाता है - क्रमशः SB और SC की भुजाओं के मध्य बिंदु। रेखा AE और BF के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

हम एक मानक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं: मूल बिंदु ए पर है, एक्स और वाई अक्ष क्रमशः एबी और एडी के साथ निर्देशित हैं, और जेड अक्ष लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित है। इकाई खंड AB = 1 के बराबर है।

अंक ई और एफ क्रमशः एसबी और एससी खंडों के मध्य बिंदु हैं, इसलिए उनके निर्देशांक सिरों के अंकगणितीय माध्य के रूप में पाए जाते हैं। हम अपने लिए रुचि के बिंदुओं के निर्देशांक लिखते हैं:
ए = (0; 0; 0); बी = (1; 0; 0)

बिंदुओं को जानने के बाद, हम दिशा वैक्टर AE और BF के निर्देशांक पाते हैं:

सदिश AE के निर्देशांक बिंदु E के निर्देशांकों से मेल खाते हैं, क्योंकि बिंदु A मूल बिंदु है। यह कोण के कोज्या को खोजने के लिए बनी हुई है:

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस लाइन के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

प्रमाण।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = पी /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

फेसला. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। क्योंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एऔर बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तो उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्न के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सरल रेखा के समीकरणों को सामान्य रूप में दिया जाता है

ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनकी समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

ख) उस स्थिति के लिए जब रेखाएँ समीकरणों द्वारा सामान्य रूप (6) में दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) उस स्थिति में जब रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

b) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनके लंबवत (आवश्यक और पर्याप्त) के लिए शर्त समानता को पूरा करना है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। रेखाएँ (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए, जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई रेखा l के लंबवत है।

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह ... ठीक है, यह छोटा है, जैसे कि आप खुद को वाक्य पढ़ते हैं =) हालांकि, फिर विश्राम मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं एक हंसमुख मूड रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो पंक्तियाँ कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर हो: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

डमी के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय चिन्ह को याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रवेश का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो पंक्तियों की आपेक्षिक स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक समानुपाती हों, यानी ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है कि समानताएं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरणों की रचना करें: . प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांकों को 2 से कम करें, आपको समान समीकरण मिलता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि चरों पर उनके गुणांक समानुपाती हों: , लेकिन.

एक उदाहरण के रूप में, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालांकि, यह स्पष्ट है कि .

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि चर के उनके गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, यानी "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मूल्य नहीं है कि समानताएं पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

पहले समीकरण से यह इस प्रकार है कि , और दूसरे समीकरण से: , इसलिए, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चरों पर गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह कोलिनियरिटी के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे हमने पाठ में माना था। वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता की अवधारणा। वेक्टर आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेज है:

उदाहरण 1

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

फेसलासीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अध्ययन पर आधारित:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस मामले में, मैं चौराहे पर पॉइंटर्स के साथ एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द डेथलेस =)

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहां निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता कारक "लैम्ब्डा" कोलाइनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से सीधे देखना आसान है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

जवाब:

बहुत जल्द आप कुछ ही सेकंड में मौखिक रूप से विचार की गई समस्या को हल करना सीखेंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ देने का कोई कारण नहीं दिखता है, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दिए गए के समानांतर एक रेखा कैसे खींचे?

इस सरल कार्य की अज्ञानता के लिए, कोकिला डाकू कड़ी सजा देता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

फेसला: अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि लाइन "सी" का निर्देशन वेक्टर भी लाइन "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

जवाब:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश संरेख होगा)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से बहुत से लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएं बिना किसी आरेखण के समानांतर कैसे होती हैं।

स्वयं को सुलझाने के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा के साथ प्रतिस्पर्धा करनी है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों का प्रेमी है।

उदाहरण 3

रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए यदि

हल करने का एक तर्कसंगत और बहुत तर्कसंगत तरीका नहीं है। पाठ के अंत में सबसे छोटा रास्ता है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। मेल खाने वाली रेखाओं का मामला कम दिलचस्पी का है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से पता हो:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक हल होते हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

यह आप के लिए है दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थएक समतल पर दो प्रतिच्छेद (अक्सर) सीधी रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

फेसला: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीका केवल दी गई रेखाओं को खींचना है और ड्राइंग से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:। जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। वास्तव में, हमने हल करने का एक ग्राफिकल तरीका माना रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह से निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के पदवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, पाठ पर जाएँ समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?

जवाब:

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को पूरा करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। समस्या को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

एक्शन एल्गोरिथम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं इस पर बार-बार ध्यान केंद्रित करूंगा।

ट्यूटोरियल के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

जूते की एक जोड़ी अभी तक खराब नहीं हुई है, जैसा कि हमें पाठ के दूसरे भाग में मिला है:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत महत्वपूर्ण कार्य से शुरू करें। पहले भाग में, हमने सीखा कि दी गई रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री की हो जाएगी:

किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा कैसे खींचना है?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

फेसला: यह अनुमान से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, इसलिए चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

जवाब:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

हम्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊंट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और मदद से वैक्टर का डॉट उत्पादहम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम कम से कम रास्ते में उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत के साथ आंदोलन होगा। अर्थात् एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "एम" से सीधी रेखा "डी" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

फेसला: आपको केवल संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना है और गणना करना है:

जवाब:

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी ड्राइंग के अनुसार दूसरे कार्य पर विचार करें:

कार्य बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा का पता लगाएं जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्य बिंदु है। हम मध्य के निर्देशांक और सिरों में से एक को जानते हैं। द्वारा खंड के मध्य के निर्देशांक के लिए सूत्रपाना ।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि दूरी भी 2.2 इकाइयों के बराबर है।

गणना में कठिनाइयाँ यहाँ उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टॉवर में एक माइक्रोकैलकुलेटर बहुत मदद करता है, जिससे आप साधारण अंशों को गिन सकते हैं। कई बार सलाह दी है और फिर से सिफारिश करेंगे।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक और उदाहरण है। एक छोटा सा संकेत: हल करने के असीमित तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग करते हुए, लेकिन बेहतर होगा कि आप अपने लिए अनुमान लगाने का प्रयास करें, मुझे लगता है कि आप अपनी सरलता को अच्छी तरह से फैलाने में कामयाब रहे।

दो रेखाओं के बीच का कोण

जो भी कोना है, फिर जाम:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटे कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी or विपरीत उन्मुखक्रिमसन कॉर्नर।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा से प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (घड़ी की दिशा) को इंगित करना अनिवार्य है।

दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

फेसलाऔर विधि एक

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

अगर सीधा लंबवत नहीं, तब उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

आइए भाजक पर पूरा ध्यान दें - यह ठीक है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि , तो सूत्र का हर गायब हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए फॉर्मूलेशन में लाइनों की गैर-लंबवतता के बारे में एक आरक्षण किया गया था।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं (अंजीर देखें। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

जवाब:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको सीधी रेखाओं को स्वैप करने की आवश्यकता है, अर्थात, दूसरे समीकरण से गुणांक लें , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .