भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में लाने के लिए, आपको: 1) इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात करना होगा, यह सबसे छोटा सामान्य हर होगा। 2) प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए, जिसके लिए हम प्रत्येक भिन्न के हर द्वारा नए हर को विभाजित करते हैं। 3) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

उदाहरण। निम्न भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में कम करें।

हम हरों का सबसे छोटा सार्व गुणज पाते हैं: LCM(5; 4) = 20, क्योंकि 20 सबसे छोटी संख्या है जो 5 और 4 दोनों से विभाज्य है। हम पहली भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड 4 (20) पाते हैं : 5 = 4)। दूसरी भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणक 5 (20 .) है : 4=5)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 20 ).

इन भिन्नों का लघुत्तम समापवर्तक 8 है, क्योंकि 8, 4 और स्वयं से विभाज्य है। पहली भिन्न का कोई अतिरिक्त गुणक नहीं होगा (या हम कह सकते हैं कि यह एक के बराबर है), दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 2 है (8 : 4=2)। हम दूसरी भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम उभयनिष्ठ हर में घटा दिया है ( 8 ).

ये अंश इरेड्यूसबल नहीं हैं।

हम पहली भिन्न को 4 से घटाते हैं, और हम दूसरी भिन्न को 2 से घटाते हैं। ( साधारण भिन्नों को घटाने के उदाहरण देखें: साइटमैप → 5.4.2। साधारण भिन्नों को घटाने के उदाहरण) एलसीएम खोजें(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. पहली भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 5 (80 .) है : 16=5)। दूसरे भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक 4 (80 .) है : 20=4)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं, और दूसरी भिन्न के अंश और हर को 4 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया ( 80 ).

एनओसी(5 .) का सबसे छोटा आम भाजक खोजें ; 6 और 15) = एलसीएम(5 .) ; 6 और 15) = 30। पहली भिन्न का अतिरिक्त गुणक 6 (30 .) है : 5=6), दूसरी भिन्न का अतिरिक्त गुणक 5 (30 .) है : 6=5), तीसरे भिन्न का अतिरिक्त गुणक 2 (30 .) है : 15=2)। हम पहली भिन्न के अंश और हर को 6 से, दूसरे भिन्न के अंश और हर को 5 से, तीसरे भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमने इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया है ( 30 ).

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एक आम भाजक में कमी की योजना

1. यह निर्धारित करना आवश्यक है कि भिन्नों के हरों के लिए कम से कम सामान्य गुणक क्या होगा। यदि आप एक मिश्रित या पूर्णांक संख्या के साथ काम कर रहे हैं, तो आपको पहले इसे एक भिन्न में बदलना होगा, और उसके बाद ही कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करना होगा। एक पूर्णांक को भिन्न में बदलने के लिए, आपको संख्या को अंश में और एक को हर में लिखना होगा। उदाहरण के लिए, भिन्न के रूप में संख्या 5 इस प्रकार दिखाई देगी: 5/1। मिश्रित संख्या को भिन्न में बदलने के लिए, आपको पूर्ण संख्या को हर से गुणा करना होगा और उसमें अंश जोड़ना होगा। उदाहरण: 8 पूर्णांक और 3/5 भिन्न के रूप में = 8x5+3/5 = 43/5।
2. उसके बाद, एक अतिरिक्त कारक खोजना आवश्यक है, जो प्रत्येक अंश के हर द्वारा NOZ को विभाजित करके निर्धारित किया जाता है।
3. अंतिम चरण भिन्न को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करना है।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि न केवल जोड़ या घटाव के लिए एक सामान्य हर में कमी की आवश्यकता है। विभिन्न भिन्नों के साथ कई भिन्नों की तुलना करने के लिए, पहले उनमें से प्रत्येक को एक सामान्य हर में कम करना भी आवश्यक है।

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

एक भिन्न को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए, यह समझने के लिए, भिन्नों के कुछ गुणों को समझना आवश्यक है। तो, NOZ को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक महत्वपूर्ण संपत्ति भिन्नों की समानता है। दूसरे शब्दों में, यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक संख्या से गुणा किया जाता है, तो परिणाम पिछले एक के बराबर भिन्न होता है। आइए निम्नलिखित उदाहरण को एक उदाहरण के रूप में लें। भिन्न 5/9 और 5/6 को निम्नतम सामान्य हर में कम करने के लिए, आपको निम्नलिखित करने की आवश्यकता है:

1. सबसे पहले, भाजक के कम से कम सामान्य गुणक खोजें। ऐसे में 9 और 6 नंबर के लिए एनओसी 18 होगी।
2. हम प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक निर्धारित करते हैं। यह निम्न प्रकार से किया जाता है। हम प्रत्येक भिन्न के हर द्वारा LCM को विभाजित करते हैं, परिणामस्वरूप हमें 18: 9 \u003d 2, और 18: 6 \u003d 3 मिलता है। ये संख्याएँ अतिरिक्त कारक होंगी।
3. हम NOZ में दो भिन्न लाते हैं। किसी भिन्न को किसी संख्या से गुणा करते समय, आपको अंश और हर दोनों को गुणा करना होगा। भिन्न 5/9 को 2 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप दी गई एक के बराबर भिन्न - 10/18 प्राप्त होती है। हम दूसरे भिन्न के साथ भी ऐसा ही करते हैं: 5/6 को 3 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप 15/18 प्राप्त होता है।

जैसा कि आप ऊपर के उदाहरण से देख सकते हैं, दोनों भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटा दिया गया है। अंत में यह समझने के लिए कि एक सामान्य भाजक कैसे खोजा जाए, आपको भिन्नों के एक और गुण में महारत हासिल करने की आवश्यकता है। यह इस तथ्य में निहित है कि एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से कम किया जा सकता है, जिसे सामान्य भाजक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अंश 12/30 को 2/5 तक घटाया जा सकता है यदि इसे एक सामान्य भाजक - संख्या 6 से विभाजित किया जाता है।

इस पाठ में, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने पर विचार करेंगे और इस विषय पर समस्याओं को हल करेंगे। आइए एक सामान्य भाजक की अवधारणा की परिभाषा दें और एक अतिरिक्त कारक, सहअभाज्य संख्याओं के बारे में याद रखें। आइए कम से कम सामान्य भाजक (एलसीडी) की अवधारणा को परिभाषित करें और इसे खोजने के लिए कई समस्याओं को हल करें।

विषय: भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना

पाठ: भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

दोहराव। एक अंश की मूल संपत्ति।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या भाग दिया जाए, तो उसके बराबर भिन्न प्राप्त होती है।

उदाहरण के लिए, एक भिन्न के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है। हमें एक भिन्न प्राप्त होती है। इस ऑपरेशन को अंश कमी कहा जाता है। आप भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करके भी विपरीत परिवर्तन कर सकते हैं। इस मामले में, हम कहते हैं कि हमने भिन्न को एक नए हर में घटा दिया है। संख्या 2 को एक अतिरिक्त कारक कहा जाता है।

निष्कर्ष।एक भिन्न को किसी भी हर में घटाया जा सकता है जो दिए गए भिन्न के हर का गुणज हो। एक भिन्न को नए हर में लाने के लिए, उसके अंश और हर को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा किया जाता है।

1. भिन्न को हर 35 में लाओ।

संख्या 35, 7 का गुणज है, अर्थात 35 बिना शेषफल के 7 से विभाज्य है। तो यह परिवर्तन संभव है। आइए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, हम 35 को 7 से विभाजित करते हैं। हमें 5 मिलता है। हम मूल भिन्न के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं।

2. भिन्न को हर 18 में लाओ।

आइए एक अतिरिक्त कारक खोजें। ऐसा करने के लिए, हम नए भाजक को मूल भाजक से विभाजित करते हैं। हमें 3 मिलता है। हम इस भिन्न के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं।

3. भिन्न को हर 60 में लाओ।

60 को 15 से भाग देने पर हमें एक अतिरिक्त गुणक प्राप्त होता है। यह 4 के बराबर है। आइए अंश और हर को 4 से गुणा करें।

4. भिन्न को हर में लाएँ 24

साधारण मामलों में, मन में एक नए भाजक की कमी की जाती है। यह केवल ब्रैकेट के पीछे एक अतिरिक्त कारक को दाईं ओर और मूल अंश के ऊपर इंगित करने के लिए प्रथागत है।

एक भिन्न को 15 के हर में घटाया जा सकता है और एक भिन्न को 15 के हर में घटाया जा सकता है। भिन्नों का एक सामान्य हर 15 होता है।

भिन्नों का सामान्य हर उनके हर का कोई भी सामान्य गुणक हो सकता है। सरलता के लिए, भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर में घटाया जाता है। यह दी गई भिन्नों के हरों के सबसे छोटे सामान्य गुणज के बराबर होता है।

उदाहरण। भिन्न के कम से कम आम भाजक को कम करें और .

सबसे पहले, इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए। यह संख्या 12 है। आइए पहले और दूसरे भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड खोजें। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 4 और 6 से विभाजित करते हैं। तीन पहले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक है, और दूसरे के लिए दो। हम भिन्नों को हर 12 में लाते हैं।

हमने भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाया, अर्थात्, हमें उनके बराबर भिन्न मिले, जिनका हर समान है।

नियम।भिन्नों को निम्नतम सामान्य हर में लाने के लिए,

सबसे पहले, इन भिन्नों के हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणक ज्ञात कीजिए, जो उनका सबसे छोटा सामान्य हर होगा;

दूसरे, इन भिन्नों के हरों द्वारा कम से कम उभयनिष्ठ हर को विभाजित करें, अर्थात प्रत्येक भिन्न के लिए एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात करें।

तीसरा, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को उसके अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।

ए) भिन्नों को कम करें और एक सामान्य हर में।

सबसे छोटा सामान्य हर 12 है। पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 4 है, दूसरे के लिए - 3. हम भिन्नों को हर 24 में लाते हैं।

बी) भिन्नों को कम करें और एक सामान्य हर में।

सबसे छोटा सामान्य हर 45 है। 45 को 9 से 15 से विभाजित करने पर, हमें क्रमशः 5 और 3 मिलते हैं। हम भिन्नों को हर 45 में लाते हैं।

ग) भिन्नों और एक सामान्य हर को कम करें।

सार्व हर 24 है। अतिरिक्त गुणनखंड क्रमशः 2 और 3 हैं।

कभी-कभी दिए गए भिन्नों के हरों के लिए मौखिक रूप से कम से कम सामान्य गुणक खोजना मुश्किल होता है। फिर सामान्य भाजक और अतिरिक्त गुणनखंडों को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके पाया जाता है।

भिन्न और के एक सामान्य भाजक को कम करें।

आइए संख्या 60 और 168 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें। आइए संख्या 60 का विस्तार लिखें और दूसरे विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ें। 60 को 14 से गुणा करें और 840 का एक सामान्य हर प्राप्त करें। पहले भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 14 है। दूसरी भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 5 है।

ग्रन्थसूची

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आप खंड 1.2 में निर्दिष्ट पुस्तकें डाउनलोड कर सकते हैं। यह सबक।

गृहकार्य

विलेंकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस. और अन्य। गणित 6. - एम।: मेमोज़िना, 2012। (लिंक 1.2 देखें)

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अन्य कार्य: #270, #290

यह लेख बताता है कि भिन्नों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए और सबसे छोटा आम भाजक कैसे खोजा जाए। परिभाषाएँ दी गई हैं, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का नियम दिया गया है, और व्यावहारिक उदाहरणों पर विचार किया जाता है।

एक सामान्य भाजक के लिए एक अंश को कम करना क्या है?

साधारण अंशों में एक अंश होता है - ऊपरी भाग, और एक भाजक - निचला भाग। यदि भिन्नों का हर समान होता है, तो उन्हें एक सामान्य भाजक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 11 14 , 17 14 , 9 14 में एक ही हर 14 है। दूसरे शब्दों में, वे एक सामान्य भाजक के लिए कम हो जाते हैं।

यदि भिन्नों में अलग-अलग हर होते हैं, तो उन्हें सरल क्रियाओं की सहायता से हमेशा एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश और हर को कुछ अतिरिक्त कारकों से गुणा करना होगा।

जाहिर है, भिन्न 4 5 और 3 4 एक सामान्य हर में कम नहीं होते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको उन्हें 20 के हर में लाने के लिए अतिरिक्त कारक 5 और 4 का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह वास्तव में कैसे करें? भिन्न 4 5 के अंश और हर को 4 से गुणा करें और भिन्न 3 4 के अंश और हर को 5 से गुणा करें। भिन्न 4 5 और 3 4 के स्थान पर हमें क्रमशः 16 20 और 15 20 प्राप्त होते हैं।

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना भिन्नों के अंशों और हरों का गुणन इस तरह से करना है कि परिणाम समान भाजक के साथ समान भिन्न हों।

आम भाजक: परिभाषा, उदाहरण

एक सामान्य भाजक क्या है?

आम विभाजक

किसी भिन्न का उभयनिष्ठ भाजक कोई भी धनात्मक संख्या होती है जो दी गई सभी भिन्नों का एक सामान्य गुणज होती है।

दूसरे शब्दों में, भिन्नों के कुछ समुच्चय का उभयनिष्ठ हर एक ऐसी प्राकृत संख्या होगी जो इन भिन्नों के सभी हरों द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य हो।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत है, और इसलिए, परिभाषा के अनुसार, उभयनिष्ठ भिन्नों के प्रत्येक समुच्चय में उभयनिष्ठ भाजक की अनंत संख्या होती है। दूसरे शब्दों में, भिन्नों के मूल समुच्चय के सभी हरों के लिए अपरिमित रूप से अनेक उभयनिष्ठ गुणज होते हैं।

परिभाषा का उपयोग करके कई भिन्नों के लिए सामान्य हर को खोजना आसान है। मान लीजिए कि भिन्न 1 6 और 3 5 हैं। भिन्नों का उभयनिष्ठ हर, संख्या 6 और 5 का कोई धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज होगा। ऐसे धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, इत्यादि हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 1. आम भाजक

क्या भिन्न भिन्नों 1 3, 21 6, 5 12 को एक सार्व हर में घटाया जा सकता है, जो कि 150 के बराबर है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या यह मामला है, आपको यह जांचना होगा कि क्या 150 भिन्नों के हरों का एक सामान्य गुणक है, अर्थात संख्या 3, 6, 12 के लिए। दूसरे शब्दों में, संख्या 150 बिना किसी शेषफल के 3, 6, 12 से विभाज्य होनी चाहिए। चलो देखते है:

150 3 = 50, 150 6 = 25, 150 12 = 12, 5

इसका मतलब है कि 150 संकेतित भिन्नों का एक सामान्य हर नहीं है।

न्यूनतम सार्व भाजक

भिन्नों के कुछ समुच्चय के उभयनिष्ठ हरों के समुच्चय में से सबसे छोटी प्राकृत संख्या लघुत्तम समापवर्तक कहलाती है।

न्यूनतम सार्व भाजक

भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य भाजक उन भिन्नों के सभी सामान्य हरों में सबसे छोटी संख्या होती है।

दी गई संख्याओं के समुच्चय का लघुत्तम समापवर्तक लघुत्तम समापवर्तक (LCM) है। भिन्नों के सभी हरों का LCM उन भिन्नों का सबसे छोटा सामान्य हर होता है।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें? इसका पता लगाना भिन्नों के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए नीचे आता है। आइए एक उदाहरण देखें:

उदाहरण 2: सबसे छोटा आम भाजक खोजें

हमें भिन्नों 1 10 और 127 28 के लिए सबसे छोटा सार्व भाजक ज्ञात करना है।

हम संख्या 10 और 28 के एलसीएम की तलाश कर रहे हैं। हम उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 एन ओ के (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140

भिन्नों को निम्नतम सामान्य हर में कैसे लाया जाए

एक नियम है जो बताता है कि अंशों को एक सामान्य हर में कैसे कम किया जाए। नियम में तीन बिंदु होते हैं।

भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने का नियम

1. भिन्नों का सबसे छोटा सार्व भाजक ज्ञात कीजिए।
2. प्रत्येक भिन्न के लिए, एक अतिरिक्त गुणनखंड ज्ञात कीजिए। गुणक को खोजने के लिए, आपको प्रत्येक भिन्न के हर से कम से कम सामान्य भाजक को विभाजित करना होगा।
3. अतिरिक्त गुणनखंड से अंश और हर को गुणा करें।

एक विशिष्ट उदाहरण पर इस नियम के आवेदन पर विचार करें।

उदाहरण 3. भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

भिन्न 3 14 और 5 18 हैं। आइए उन्हें सबसे कम आम भाजक पर लाते हैं।

एक नियम के रूप में, हम पहले भिन्नों के हरों का एलसीएम पाते हैं।

14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 एन ओ के (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126

हम प्रत्येक अंश के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करते हैं। 3 14 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126 14 = 9 है, और भिन्न 5 18 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 126 18 = 7 है।

हम भिन्नों के अंश और हर को अतिरिक्त कारकों से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

3 9 14 9 \u003d 27 126, 5 7 18 7 \u003d 35 126।

कम से कम आम भाजक के लिए कई अंश लाना

माना नियम के अनुसार, न केवल भिन्नों के जोड़े, बल्कि उनमें से अधिक को भी एक सामान्य हर में घटाया जा सकता है।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 4. भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना

भिन्नों 3 2 , 5 6 , 3 8 और 17 18 को निम्नतम उभयनिष्ठ हर में लाओ।

हर के एलसीएम की गणना करें। तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए:

एन ओ सी (2, 6) = 6 एन ओ सी (6, 8) = 24 एन ओ सी (24, 18) = 72 एन ओ सी (2, 6, 8, 18) = 72

3 2 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 2 = 36 है, 5 6 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 6 = 12 है, 3 8 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 8 = 9 है, अंत में, 17 18 के लिए अतिरिक्त गुणनखंड 72 है 18 = 4 ।

भिन्नों को अतिरिक्त कारकों से गुणा करें और निम्नतम सामान्य हर पर जाएँ:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

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