असमानता के प्रतीक के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है? चिह्न असमानताएं अधिक (> ), या छोटे (< ) कहा जाता है कठोर।आइकन के साथ अधिक या बराबर (≥ ), कम या बराबर (≤ ) कहा जाता है गैर सख्त।आइकन सम नही (≠ ) अकेला खड़ा है, लेकिन आपको हर समय ऐसे आइकन के साथ उदाहरणों को भी हल करना होगा। और हम करेंगे।)

समाधान प्रक्रिया पर स्वयं आइकन का अधिक प्रभाव नहीं पड़ता है। लेकिन समाधान के अंत में, अंतिम उत्तर चुनते समय, आइकन का अर्थ पूरी ताकत से प्रकट होता है! जैसा कि हम नीचे देखेंगे, उदाहरणों में। कुछ चुटकुले हैं...

असमानताएँ, समानता की तरह, हैं वफादार और अविश्वासी।यहाँ सब कुछ सरल है, बिना तरकीब के। मान लीजिए 5 > 2 सही असमानता है। 5 < 2 गलत है।

ऐसी तैयारी असमानताओं के लिए काम करती है किसी भी प्रकार काऔर डरावनी से सरल।) आपको बस दो (केवल दो!) प्राथमिक क्रियाओं को सही ढंग से करने की आवश्यकता है। ये क्रियाएं सभी से परिचित हैं। लेकिन, जो विशिष्ट है, इन कार्यों में जाम असमानताओं को हल करने में मुख्य गलती है, हां ... इसलिए, इन कार्यों को दोहराया जाना चाहिए। इन क्रियाओं को इस प्रकार कहा जाता है:

असमानताओं की पहचान परिवर्तन।

असमानताओं के पहचान परिवर्तन समीकरणों के पहचान परिवर्तनों के समान हैं। दरअसल, यह मुख्य समस्या है। मतभेद सिर से निकल गए और ... आ गए।) इसलिए, मैं इन अंतरों को विशेष रूप से उजागर करूंगा। तो, असमानताओं का पहला समान परिवर्तन:

1. असमानता के दोनों भागों में समान संख्या या व्यंजक को जोड़ा (घटाया) जा सकता है। कोई भी। असमानता का संकेत नहीं बदलेगा।

व्यवहार में, इस नियम को असमानता के बाईं ओर से दाईं ओर (और इसके विपरीत) एक संकेत परिवर्तन के साथ शब्दों के हस्तांतरण के रूप में लागू किया जाता है। पद के चिन्ह में परिवर्तन के साथ, असमानता नहीं! एक-पर-एक नियम समीकरणों के नियम के समान है। लेकिन असमानताओं में निम्नलिखित समान परिवर्तन समीकरणों से काफी भिन्न होते हैं। तो मैं उन्हें लाल रंग में हाइलाइट करता हूं:

2. असमानता के दोनों हिस्सों को उसी से गुणा (विभाजित) किया जा सकता हैसकारात्मकसंख्या। किसी के लिएसकारात्मक बदलेगा नहीं।

3. असमानता के दोनों भागों को उसी से गुणा (विभाजित) किया जा सकता हैनकारात्मकसंख्या। किसी के लिएनकारात्मकसंख्या। इस से असमानता का संकेतविपरीत में बदल जाएगा।

आपको याद है (उम्मीद है...) कि एक समीकरण को किसी भी चीज़ से गुणा/विभाजित किया जा सकता है। और किसी भी संख्या के लिए, और x के साथ व्यंजक के लिए। जब तक यह शून्य न हो। वह, समीकरण, इससे न तो गर्म है और न ही ठंडा।) यह नहीं बदलता है। लेकिन असमानताएँ गुणन/भाग के प्रति अधिक संवेदनशील होती हैं।

लंबी याददाश्त के लिए एक अच्छा उदाहरण। हम एक असमानता लिखते हैं जो संदेह पैदा नहीं करती है:

5 > 2

दोनों पक्षों को से गुणा करें +3, हम पाते हैं:

15 > 6

क्या कोई आपत्ति है? कोई आपत्ति नहीं है।) और यदि हम मूल असमानता के दोनों भागों को गुणा करते हैं -3, हम पाते हैं:

15 > -6

और यह सरासर झूठ है।) एक पूरा झूठ! लोगों को बेवकूफ बनाना! लेकिन जैसे ही असमानता का चिन्ह उलट जाता है, सब कुछ ठीक हो जाता है:

15 < -6

झूठ और छल के बारे में - मैं सिर्फ कसम नहीं खाता।) "मैं असमानता के संकेत को बदलना भूल गया ..."- यह घरअसमानताओं को हल करने में त्रुटि। इस तुच्छ और सरल नियम ने कितने लोगों को आहत किया है! कौन भूल गया है ...) तो मैं कसम खाता हूँ। शायद याद रहे...)

जो लोग विशेष रूप से चौकस हैं वे देखेंगे कि असमानता को x के साथ व्यंजक से गुणा नहीं किया जा सकता है। सम्मान चौकस!) और क्यों नहीं? उत्तर सीधा है। हम x के साथ इस व्यंजक का चिह्न नहीं जानते हैं। यह धनात्मक, ऋणात्मक हो सकता है ... इसलिए, हम नहीं जानते कि गुणन के बाद असमानता का क्या चिन्ह लगाया जाए। इसे बदलें या नहीं? अनजान। बेशक, इस सीमा (एक्स के साथ एक अभिव्यक्ति द्वारा एक असमानता को गुणा / विभाजित करने का निषेध) को दरकिनार किया जा सकता है। अगर आपको वास्तव में इसकी आवश्यकता है। लेकिन यह अन्य पाठों के लिए एक विषय है।

यह असमानताओं के सभी समान परिवर्तन हैं। मैं आपको फिर से याद दिला दूं कि वे काम करते हैं कोई भीअसमानताएं और अब आप विशिष्ट प्रकारों पर आगे बढ़ सकते हैं।

रैखिक असमानताएँ। समाधान, उदाहरण।

रेखीय असमानताएँ असमानताएँ कहलाती हैं जिनमें x पहली डिग्री में होता है और x से कोई विभाजन नहीं होता है। प्रकार:

एक्स+3 > 5x-5

इन असमानताओं का समाधान कैसे किया जाता है? उन्हें हल करना बहुत आसान है! अर्थात्: मदद से हम सबसे भ्रमित रैखिक असमानता को कम करते हैं सीधे उत्तर पर।वह पूरा समाधान है। मैं समाधान के मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालूंगा। मूर्खतापूर्ण गलतियों से बचने के लिए।)

हम इस असमानता को हल करते हैं:

एक्स+3 > 5x-5

हम एक रेखीय समीकरण की तरह ही हल करते हैं। केवल अंतर के साथ:

असमानता के संकेत पर पूरा ध्यान दें!

पहला कदम सबसे आम है। एक्स के साथ - बाएं, बिना एक्स - दाएं ... यह पहला समान परिवर्तन है, सरल और परेशानी मुक्त।) केवल स्थानांतरित सदस्यों के संकेतों को बदलना न भूलें।

असमानता संकेत संरक्षित है:

एक्स-5X > -5-3

हम ऐसे ही पेश करते हैं।

असमानता संकेत संरक्षित है:

4 एक्स > -8

यह अंतिम समान परिवर्तन को लागू करने के लिए बनी हुई है: दोनों भागों को -4 से विभाजित करें।

से भाग नकारात्मकसंख्या।

असमानता का चिन्ह उलट जाएगा:

एक्स < 2

यही उत्तर है।

इस प्रकार सभी रैखिक असमानताओं को हल किया जाता है।

ध्यान! बिंदु 2 को सफेद रंग में खींचा गया है, अर्थात। अप्रकाशित। अंदर खाली है। इसका मतलब है कि वह उत्तर में शामिल नहीं है! मैंने उसे उद्देश्य से इतना स्वस्थ बनाया। गणित में ऐसा बिंदु (खाली, स्वस्थ नहीं!)) कहलाता है प्वाइंट आउट किया।

अक्ष पर शेष संख्याओं को चिह्नित किया जा सकता है, लेकिन आवश्यक नहीं। बाहरी संख्याएँ जो हमारी असमानता से संबंधित नहीं हैं, भ्रमित करने वाली हो सकती हैं, हाँ ... आपको बस यह याद रखने की आवश्यकता है कि संख्याओं में वृद्धि तीर की दिशा में होती है, अर्थात। संख्या 3, 4, 5, आदि। हैं दांई ओरदो, और संख्या 1, 0, -1, आदि। - बांई ओर।

असमानता x < 2 - कठोर। X सख्ती से दो से कम है। जब संदेह होता है, तो चेक सरल होता है। हम असमानता में एक संदिग्ध संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं और सोचते हैं: "दो दो से कम है? बिल्कुल नहीं!" बिल्कुल। असमानता 2 < 2 गलत।एक उत्तर के लिए एक ड्यूस अच्छा नहीं है।

क्या एक ही काफी है? निश्चित रूप से। कम ... और शून्य अच्छा है, और -17, और 0.34 ... हाँ, दो से कम वाली सभी संख्याएँ अच्छी हैं! और 1.9999 भी .... कम से कम थोड़ा, लेकिन कम!

अतः हम इन सभी संख्याओं को अंक अक्ष पर अंकित करते हैं। कैसे? यहां विकल्प हैं। पहला विकल्प हैचिंग है। हम चित्र पर माउस मँडराते हैं (या टैबलेट पर चित्र को स्पर्श करते हैं) और देखते हैं कि सभी x का क्षेत्र जो x स्थिति से मेल खाता है, छायांकित है < 2 . बस इतना ही।

आइए दूसरे उदाहरण में दूसरे विकल्प पर विचार करें:

एक्स ≥ -0,5

एक अक्ष बनाएं, संख्या -0.5 को चिह्नित करें। ऐशे ही:

क्या आपने अंतर देखा?) ठीक है, हाँ, इसे नोटिस नहीं करना मुश्किल है... यह बिंदु काला है! ऊपर चित्रित। इसका मतलब है कि -0.5 उत्तर में शामिल है।यहाँ, वैसे, किसी की जाँच करना और भ्रमित करना। हम स्थानापन्न करते हैं:

-0,5 ≥ -0,5

ऐसा कैसे? -0.5 -0.5 से ज्यादा कुछ नहीं है! और भी आइकॉन है...

ठीक है। एक गैर-सख्त असमानता में, जो कुछ भी आइकन फिट बैठता है वह उपयुक्त है। और बराबरीफिट और अधिकअच्छा। इसलिए, -0.5 प्रतिक्रिया में शामिल है।

इसलिए, हमने अक्ष पर -0.5 चिह्नित किया है, यह -0.5 से अधिक सभी संख्याओं को चिह्नित करने के लिए बनी हुई है। इस बार मैं उपयुक्त x मानों की श्रेणी को चिह्नित करता हूं बेड़ी(शब्द से आर्क) हैचिंग के बजाय। चित्र पर होवर करें और इस धनुष को देखें।

हैचिंग और मेहराब के बीच कोई विशेष अंतर नहीं है। शिक्षक के कहे अनुसार करो। यदि कोई शिक्षक नहीं है, तो हाथ खींचे। अधिक जटिल कार्यों में, हैचिंग कम स्पष्ट होती है। आप भ्रमित हो सकते हैं।

इस प्रकार अक्ष पर रैखिक असमानताएँ खींची जाती हैं। हम असमानताओं की अगली विलक्षणता की ओर बढ़ते हैं।

असमानताओं का उत्तर लिखिए।

यह समीकरणों में अच्छा था।) हमने x पाया, और उत्तर लिखा, उदाहरण के लिए: x \u003d 3। असमानताओं में, उत्तर लिखने के दो रूप होते हैं। एक - अंतिम असमानता के रूप में। साधारण मामलों के लिए अच्छा है। उदाहरण के लिए:

एक्स< 2.

यह एक पूर्ण उत्तर है।

कभी-कभी एक ही चीज़ को लिखने की आवश्यकता होती है, लेकिन एक अलग रूप में, संख्यात्मक अंतराल के माध्यम से। तब प्रविष्टि बहुत वैज्ञानिक लगने लगती है):

एक्स (-∞; 2)

आइकन के तहत ∈ शब्द छुपाना "संबंधित"।

प्रविष्टि इस तरह पढ़ती है: x माइनस इनफिनिटी से टू के अंतराल के अंतर्गत आता है शामिल नहीं. काफी तार्किक। एक्स सभी संभावित संख्याओं से शून्य से अनंत तक दो तक कोई भी संख्या हो सकती है। डबल एक्स नहीं हो सकता, जो शब्द हमें बताता है "शामिल नहीं"।

जवाब में ऐसा कहां है कि "शामिल नहीं"? इस तथ्य को उत्तर में नोट किया गया है। गोलड्यूस के तुरंत बाद कोष्ठक। यदि ड्यूस को शामिल किया जाता है, तो कोष्ठक होगा वर्ग।यह रहा: ]। निम्नलिखित उदाहरण ऐसे ब्रैकेट का उपयोग करता है।

आइए उत्तर लिखें: x ≥ -0,5 अंतराल के माध्यम से:

एक्स [-0.5; +∞)

पढ़ता है: x शून्य से 0.5 के अंतराल से संबंधित है, समेत,प्लस अनंत तक।

अनंत कभी चालू नहीं हो सकता। यह एक संख्या नहीं है, यह एक प्रतीक है। इसलिए, ऐसी प्रविष्टियों में, अनंत हमेशा एक कोष्ठक के साथ सहअस्तित्व में रहता है।

रिकॉर्डिंग का यह रूप कई अंतराल वाले जटिल उत्तरों के लिए सुविधाजनक है। लेकिन - सिर्फ अंतिम उत्तरों के लिए। मध्यवर्ती परिणामों में, जहां एक और समाधान की उम्मीद की जाती है, सामान्य असमानता के रूप में सामान्य रूप का उपयोग करना बेहतर होता है। हम संबंधित विषयों में इससे निपटेंगे।

असमानताओं के साथ लोकप्रिय कार्य।

रैखिक असमानताएँ स्वयं सरल हैं। इसलिए, कार्य अक्सर अधिक कठिन हो जाते हैं। तो सोचना जरूरी था। यह, आदत से बाहर, बहुत सुखद नहीं है।) लेकिन यह उपयोगी है। मैं ऐसे कार्यों के उदाहरण दिखाऊंगा। आपके लिए उन्हें सीखना नहीं है, यह अतिश्योक्तिपूर्ण है। और इसी तरह के उदाहरणों से मिलते समय डरने के लिए नहीं। थोड़ा विचार - और सब कुछ सरल है!)

1. 3x - 3 असमानता के कोई दो हल खोजें< 0

यदि यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि क्या करना है, तो गणित का मुख्य नियम याद रखें:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

एक्स < 1

तो क्या? खास नहीं। हमसे क्या पूछा जा रहा है? हमें दो विशिष्ट संख्याएँ खोजने के लिए कहा जाता है जो एक असमानता का समाधान हैं। वे। जवाब फिट। दो कोई भीसंख्याएं। दरअसल, यह शर्मनाक है।) 0 और 0.5 के जोड़े उपयुक्त हैं। एक युगल -3 और -8। हाँ, इन जोड़ों की संख्या अनंत है! सही उत्तर क्या है?!

मैं जवाब देता हूं: सब कुछ! संख्याओं का कोई भी युग्म, जिनमें से प्रत्येक एक से कम हो, सही उत्तर होगा।आप जो चाहते हैं उसे लिखें। चलिए और आगे बढ़ते हैं।

2. असमानता को हल करें:

4x - 3 ≠ 0

ऐसी नौकरियां दुर्लभ हैं। लेकिन, सहायक असमानताओं के रूप में, उदाहरण के लिए, ODZ खोजने पर, या किसी फ़ंक्शन के डोमेन को खोजने पर, वे हर समय सामने आते हैं। ऐसी रैखिक असमानता को एक साधारण रैखिक समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है। केवल हर जगह, "=" चिह्न को छोड़कर ( बराबरी) चिन्ह लगाएं" ≠ " (सम नही) तो आप असमानता के संकेत के साथ उत्तर पर आएंगे:

एक्स ≠ 0,75

अधिक जटिल उदाहरणों में, चीजों को अलग तरीके से करना बेहतर होता है। असमानता को समान बनाओ। ऐशे ही:

4x - 3 = 0

सिखाए गए तरीके से इसे शांति से हल करें, और उत्तर प्राप्त करें:

एक्स = 0.75

मुख्य बात, अंत में, अंतिम उत्तर लिखते समय, यह नहीं भूलना है कि हमने x पाया है, जो देता है समानता।और हमें चाहिए - असमानता।इसलिए, हमें इस एक्स की आवश्यकता नहीं है।) और हमें इसे सही आइकन के साथ लिखना होगा:

एक्स ≠ 0,75

इस दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप कम त्रुटियां होती हैं। जो मशीन पर समीकरण हल करते हैं। और जो लोग समीकरणों को हल नहीं करते हैं, उनके लिए असमानताएं वास्तव में बेकार हैं ...) एक लोकप्रिय कार्य का एक और उदाहरण:

3. असमानता का सबसे छोटा पूर्णांक हल ज्ञात कीजिए:

3(x - 1) < 5x + 9

सबसे पहले, हम केवल असमानता को हल करते हैं। हम कोष्ठक खोलते हैं, स्थानांतरित करते हैं, समान देते हैं ... हम प्राप्त करते हैं:

एक्स > - 6

ऐसा नहीं हुआ!? क्या आपने संकेतों का पालन किया? और सदस्यों के संकेतों के पीछे, और असमानता के संकेत के पीछे ...

आइए फिर से कल्पना करें। हमें एक विशिष्ट संख्या खोजने की आवश्यकता है जो उत्तर और शर्त दोनों से मेल खाती हो "सबसे छोटा पूर्णांक"।यदि यह तुरंत आप पर नहीं पड़ता है, तो आप बस कोई भी संख्या ले सकते हैं और उसका पता लगा सकते हैं। दो माइनस सिक्स से बड़ा है? निश्चित रूप से! क्या कोई उपयुक्त छोटी संख्या है? बेशक। उदाहरण के लिए, शून्य -6 से बड़ा है। और भी कम? हमें सबसे छोटा संभव चाहिए! माइनस थ्री माइनस सिक्स से ज्यादा है! आप पहले से ही पैटर्न को पकड़ सकते हैं और मूर्खतापूर्ण तरीके से संख्याओं को छांटना बंद कर सकते हैं, है ना?)

हम -6 के करीब एक संख्या लेते हैं। उदाहरण के लिए, -5। प्रतिक्रिया निष्पादित, -5 > - 6. क्या आप -5 से कम लेकिन -6 से बड़ी कोई अन्य संख्या ज्ञात कर सकते हैं? आप, उदाहरण के लिए, -5.5 ... रुक सकते हैं! हमें बताया गया है पूरा का पूराफेसला! -5.5 रोल नहीं करता है! माइनस सिक्स के बारे में क्या? ईई! असमानता सख्त है, माइनस 6 माइनस 6 से कम नहीं है!

तो सही उत्तर है -5।

मुझे उम्मीद है कि सामान्य समाधान से मूल्य की पसंद के साथ सब कुछ स्पष्ट है। एक और उदाहरण:

4. असमानता को हल करें:

7 < 3x+1 < 13

कैसे! ऐसी अभिव्यक्ति कहलाती है ट्रिपल असमानता।कड़ाई से बोलते हुए, यह असमानताओं की प्रणाली का एक संक्षिप्त संकेतन है। लेकिन आपको अभी भी कुछ कार्यों में ऐसी ट्रिपल असमानताओं को हल करना है ... इसे बिना किसी सिस्टम के हल किया जाता है। उसी समान परिवर्तनों से।

इस असमानता को शुद्ध X पर लाना, सरल करना आवश्यक है। लेकिन... क्या ट्रांसफर करें कहां!? यहाँ यह याद रखने का समय है कि बाएँ-दाएँ शिफ्ट करना है छोटा रूपपहला समान परिवर्तन।

और फुल फॉर्म इस तरह दिखता है: आप समीकरण (असमानता) के दोनों भागों में किसी भी संख्या या व्यंजक को जोड़ / घटा सकते हैं।

यहाँ तीन भाग हैं। तो हम तीनों भागों में समान परिवर्तन लागू करेंगे!

तो, आइए असमानता के मध्य भाग में से एक से छुटकारा पाएं। एक को पूरे मध्य भाग से घटाएं। ताकि असमानता न बदले, हम शेष दो भागों में से एक घटा देते हैं। ऐशे ही:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

पहले से ही बेहतर है, है ना?) यह तीनों भागों को तीन में विभाजित करना बाकी है:

2 < एक्स < 4

बस इतना ही। यही उत्तर है। X दो (शामिल नहीं) से लेकर चार (शामिल नहीं) तक कोई भी संख्या हो सकती है। यह उत्तर भी अंतराल पर लिखा जाता है, ऐसी प्रविष्टियाँ वर्ग असमानताओं में होंगी। वहां वे सबसे आम हैं।

पाठ के अंत में, मैं सबसे महत्वपूर्ण बात दोहराऊंगा। रैखिक असमानताओं को हल करने में सफलता रैखिक समीकरणों को बदलने और सरल बनाने की क्षमता पर निर्भर करती है। अगर उसी समय असमानता के संकेत का पालन करें,कोई समस्या नहीं होगी। मैं आपकी क्या कामना करता हूं। कोई समस्या नहीं।)

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उदाहरण के लिए, व्यंजक \(x>5\) एक असमानता है।

असमानताओं के प्रकार:

यदि \(a\) और \(b\) संख्याएँ हैं या , तो असमानता कहलाती है संख्यात्मक. वास्तव में, यह केवल दो संख्याओं की तुलना है। इन असमानताओं को उप-विभाजित किया गया है वफ़ादारऔर विश्वासघाती.

उदाहरण के लिए:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) एक अमान्य संख्यात्मक असमानता है क्योंकि \(17+3=20\) और \(20\) \(115\) से कम है (इससे बड़ा या इसके बराबर नहीं)।

यदि \(a\) और \(b\) एक चर वाले व्यंजक हैं, तो हमारे पास है चर के साथ असमानता. इस तरह की असमानताओं को सामग्री के आधार पर प्रकारों में विभाजित किया जाता है:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				केवल पहली शक्ति के लिए परिवर्तनीय
\(3x^2-x+5>0\)				दूसरी शक्ति (वर्ग) में एक चर है, लेकिन कोई उच्च शक्ति (तीसरी, चौथी, आदि) नहीं है।
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... आदि।

असमानता का समाधान क्या है?

यदि किसी संख्या को एक चर के बजाय असमानता में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वह एक संख्यात्मक संख्या में बदल जाएगी।

यदि x के लिए दिया गया मान मूल असमानता को वास्तविक संख्यात्मक बना देता है, तो इसे कहते हैं असमानता का समाधान. यदि नहीं, तो यह मान कोई समाधान नहीं है। और करने के लिए असमानता को हल करें- आपको इसके सभी समाधान खोजने होंगे (या दिखाएँ कि वे मौजूद नहीं हैं)।

उदाहरण के लिए,यदि हम रैखिक असमानता \(x+6>10\) में हैं, तो हम x के बजाय संख्या \(7\) को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें सही संख्यात्मक असमानता मिलती है: \(13>10\)। और यदि हम \(2\) को प्रतिस्थापित करते हैं, तो एक गलत संख्यात्मक असमानता होगी \(8>10\)। अर्थात्, \(7\) मूल असमानता का समाधान है, लेकिन \(2\) नहीं है।

हालांकि, असमानता \(x+6>10\) के अन्य समाधान हैं। वास्तव में, और \(5\), और \(12\), और \(138\) ... को प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक असमानताएं मिलेंगी और हम सभी संभावित समाधान कैसे प्राप्त कर सकते हैं? ऐसा करने के लिए, हमारे मामले के लिए उपयोग करें, हमारे पास है:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

यानी हम चार से बड़ी किसी भी संख्या का प्रयोग कर सकते हैं। अब हमें इसका उत्तर लिखना है। असमानताओं के समाधान, एक नियम के रूप में, संख्यात्मक रूप से लिखे जाते हैं, साथ ही उन्हें हैचिंग के साथ संख्यात्मक अक्ष पर चिह्नित करते हैं। हमारे मामले के लिए हमारे पास है:

जवाब: \(x\in(4;+\infty)\)

असमानता में चिन्ह कब बदलता है?

असमानताओं में एक बड़ा जाल है, जिसमें छात्र वास्तव में "पसंद" करते हैं:

जब असमानता को एक ऋणात्मक संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाता है, तो इसे उलट दिया जाता है ("इससे बड़ा" "कम", "इससे बड़ा या बराबर" "इससे कम या बराबर", और इसी तरह)

ऐसा क्यों हो रहा है? इसे समझने के लिए, आइए संख्यात्मक असमानता \(3>1\) के परिवर्तनों को देखें। यह सही है, ट्रिपल वास्तव में एक से अधिक है। पहले, आइए इसे किसी धनात्मक संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, दो:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

जैसा कि आप देख सकते हैं, गुणन के बाद, असमानता सही रहती है। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी सकारात्मक संख्या गुणा करते हैं, हमें हमेशा सही असमानता मिलेगी। और अब आइए ऋणात्मक संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, शून्य से तीन:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

यह एक गलत असमानता साबित हुई, क्योंकि माइनस नौ माइनस थ्री से कम है! यही है, असमानता के सच होने के लिए (जिसका अर्थ है कि एक नकारात्मक द्वारा गुणा का परिवर्तन "कानूनी" था), आपको तुलना चिह्न को इस तरह से फ़्लिप करने की आवश्यकता है: \(−9<− 3\).
विभाजन के साथ, यह उसी तरह निकलेगा, आप इसे स्वयं देख सकते हैं।

ऊपर लिखा गया नियम सभी प्रकार की असमानताओं पर लागू होता है, न कि केवल संख्यात्मक पर।

उदाहरण: असमानता को हल करें \(2(x+1)-1<7+8x\)
फेसला:

\(2x+2-1<7+8x\)	आइए \(8x\) को बाईं ओर, और \(2\) और \(-1\) को दाईं ओर ले जाएं, संकेतों को बदलना न भूलें
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	असमानता के दोनों पक्षों को \(-6\) से विभाजित करें, "कम" से "अधिक" में बदलना न भूलें
	आइए अक्ष पर एक संख्यात्मक अंतराल को चिह्नित करें। असमानता, इसलिए मूल्य \(-1\) "छिद्रित" है और हम इसे प्रतिक्रिया में नहीं लेते हैं
	आइए उत्तर को अंतराल के रूप में लिखें

जवाब: \(x\in(-1;\infty)\)

असमानताएं और डीएचएस

असमानताओं के साथ-साथ समीकरणों पर, यानी x के मानों पर प्रतिबंध हो सकते हैं। तदनुसार, वे मान जो ODZ के अनुसार अस्वीकार्य हैं, उन्हें समाधान अंतराल से बाहर रखा जाना चाहिए।

उदाहरण: असमानता को हल करें \(\sqrt(x+1)<3\)

फेसला: यह स्पष्ट है कि बाईं ओर \(3\) से कम होने के लिए, मूल अभिव्यक्ति \(9\) से कम होनी चाहिए (आखिरकार, \(9\) से बस \(3\))। हम पाते हैं:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(एक्स<8\)

सभी? \(8\) से कम x का कोई भी मान हमारे अनुकूल होगा? नहीं! क्योंकि यदि हम, उदाहरण के लिए, मान \(-5\) लेते हैं जो आवश्यकता के अनुरूप प्रतीत होता है, तो यह मूल असमानता का समाधान नहीं होगा, क्योंकि यह हमें ऋणात्मक संख्या की जड़ की गणना करने के लिए प्रेरित करेगा।

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

इसलिए, हमें x के मानों पर प्रतिबंधों को भी ध्यान में रखना चाहिए - ऐसा नहीं हो सकता कि मूल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या हो। इस प्रकार, हमारे पास x के लिए दूसरी आवश्यकता है:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

और x के लिए एक अंतिम समाधान होने के लिए, इसे एक ही बार में दोनों आवश्यकताओं को पूरा करना होगा: यह \(8\) (समाधान होने के लिए) से कम और \(-1\) (सिद्धांत रूप में मान्य होने के लिए) से अधिक होना चाहिए। संख्या रेखा पर आलेखन करने पर हमें अंतिम उत्तर प्राप्त होता है:

जवाब: \(\बाएं[-1;8\दाएं)\)

लघुगणकीय असमानताओं की पूरी विविधता के बीच, एक चर आधार के साथ असमानताओं का अलग से अध्ययन किया जाता है। उन्हें एक विशेष सूत्र के अनुसार हल किया जाता है, जो किसी कारण से स्कूल में शायद ही कभी पढ़ाया जाता है:

लॉग के (एक्स) एफ (एक्स) ∨ लॉग के (एक्स) जी (एक्स) ⇒ (एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1) ∨ 0

जैकडॉ "∨" के बजाय, आप कोई असमानता चिन्ह लगा सकते हैं: कम या ज्यादा। मुख्य बात यह है कि दोनों असमानताओं में संकेत समान हैं।

इसलिए हम लघुगणक से छुटकारा पाते हैं और समस्या को तर्कसंगत असमानता में कम करते हैं। उत्तरार्द्ध को हल करना बहुत आसान है, लेकिन लॉगरिदम को त्यागते समय, अतिरिक्त जड़ें दिखाई दे सकती हैं। उन्हें काटने के लिए, स्वीकार्य मूल्यों की सीमा को खोजने के लिए पर्याप्त है। यदि आप लघुगणक के ODZ को भूल गए हैं, तो मैं इसे दोहराने की दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं - "एक लघुगणक क्या है" देखें।

स्वीकार्य मूल्यों की सीमा से संबंधित सब कुछ अलग से लिखा और हल किया जाना चाहिए:

एफ (एक्स)> 0; जी (एक्स)> 0; के (एक्स)> 0; के (एक्स) 1.

ये चार असमानताएं एक प्रणाली का निर्माण करती हैं और इन्हें एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। जब स्वीकार्य मूल्यों की सीमा पाई जाती है, तो इसे तर्कसंगत असमानता के समाधान के साथ पार करना बाकी है - और उत्तर तैयार है।

काम। असमानता को हल करें:

सबसे पहले, हम लघुगणक का ODZ लिखते हैं:

पहली दो असमानताएँ स्वचालित रूप से की जाती हैं, और अंतिम को लिखना होगा। चूँकि किसी संख्या का वर्ग शून्य होता है, यदि और केवल यदि वह संख्या स्वयं शून्य हो, तो हमें प्राप्त होता है:

एक्स 2 + 1 1;
x2 0;
एक्स 0.

यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ हैं: x (−∞ 0)∪(0; +∞)। अब हम मुख्य असमानता को हल करते हैं:

हम लघुगणकीय असमानता से परिमेय में संक्रमण करते हैं। मूल असमानता में "से कम" चिह्न होता है, इसलिए परिणामी असमानता भी "इससे कम" चिह्न के साथ होनी चाहिए। हमारे पास है:

(10 - (एक्स 2 + 1)) (एक्स 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

इस व्यंजक के शून्यक: x = 3; एक्स = -3; x = 0. इसके अलावा, x = 0 दूसरी बहुलता का मूल है, जिसका अर्थ है कि इससे गुजरने पर फलन का चिह्न नहीं बदलता है। हमारे पास है:

हमें x (−∞ −3)∪(3; +∞) प्राप्त होता है। यह सेट पूरी तरह से लघुगणक के ODZ में समाहित है, जिसका अर्थ है कि यह उत्तर है।

लॉगरिदमिक असमानताओं का परिवर्तन

अक्सर मूल असमानता ऊपर वाले से भिन्न होती है। लॉगरिदम के साथ काम करने के मानक नियमों के अनुसार इसे ठीक करना आसान है - "लघुगणक के मूल गुण" देखें। अर्थात्:

1. किसी भी संख्या को दिए गए आधार के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है;
2. समान आधार वाले लघुगणक के योग और अंतर को एकल लघुगणक से बदला जा सकता है।

अलग से, मैं आपको स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के बारे में याद दिलाना चाहता हूं। चूंकि मूल असमानता में कई लघुगणक हो सकते हैं, इसलिए उनमें से प्रत्येक का डीपीवी खोजना आवश्यक है। इस प्रकार, लघुगणकीय असमानताओं को हल करने की सामान्य योजना इस प्रकार है:

1. असमानता में शामिल प्रत्येक लघुगणक का ODZ ज्ञात कीजिए;
2. लघुगणक जोड़ने और घटाने के सूत्रों का उपयोग करके असमानता को मानक एक तक कम करें;
3. उपरोक्त योजना के अनुसार परिणामी असमानता को हल करें।

काम। असमानता को हल करें:

पहले लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (ODZ) ज्ञात कीजिए:

हम अंतराल विधि द्वारा हल करते हैं। अंश का शून्य ज्ञात करना:

3x - 2 = 0;
एक्स = 2/3।

तब - हर के शून्य:

एक्स - 1 = 0;
एक्स = 1.

हम निर्देशांक तीर पर शून्य और चिह्न अंकित करते हैं:

हमें x (−∞ 2/3)∪(1; +∞) प्राप्त होता है। ODZ का दूसरा लघुगणक वही होगा। अगर आपको मेरी बात पर विश्वास नहीं है तो आप चेक कर सकते हैं। अब हम दूसरे लघुगणक को रूपांतरित करते हैं ताकि आधार दो हो:

जैसा कि आप देख सकते हैं, आधार पर और लघुगणक से पहले के त्रिगुण सिकुड़ गए हैं। एक ही आधार के दो लघुगणक प्राप्त करें। आइए उन्हें एक साथ रखें:

लॉग 2 (x - 1) 2< 2;
लॉग 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

हमने मानक लघुगणकीय असमानता प्राप्त की है। हम सूत्र द्वारा लघुगणक से छुटकारा पाते हैं। चूँकि मूल असमानता में कम से कम का चिह्न है, परिणामी परिमेय व्यंजक भी शून्य से कम होना चाहिए। हमारे पास है:

(एफ (एक्स) - जी (एक्स)) (के (एक्स) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
एक्स 2 - 2x - 3< 0;
(एक्स - 3)(एक्स + 1)< 0;
एक्स (−1; 3)।

हमें दो सेट मिले:

1. ओडीजेड: एक्स ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. उत्तर उम्मीदवार: x (−1; 3)।

इन सेटों को पार करना बाकी है - हमें असली जवाब मिलता है:

हम समुच्चयों के प्रतिच्छेदन में रुचि रखते हैं, इसलिए हम दोनों तीरों पर छायांकित अंतरालों को चुनते हैं। हमें x (−1; 2/3)∪(1; 3) मिलता है - सभी बिंदु पंचर हैं।